Yamuk orta hattının belirtileri. Trapezoidin medyan çizgisi

Yamuğun orta çizgisi kavramı

İlk olarak, hangi şekle yamuk dendiğini hatırlayalım.

tanım 1

Bir yamuk, iki kenarı paralel ve diğer ikisi paralel olmayan bir dörtgendir.

Bu durumda, paralel taraflara yamuğun tabanları denir ve paralel değil - yamuğun kenarları.

tanım 2

Bir yamuğun orta çizgisi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir çizgi parçasıdır.

Yamuk orta hat teoremi

Şimdi teoremi bir yamuğun orta çizgisi üzerinde tanıtacağız ve vektör yöntemiyle ispatlayacağız.

teorem 1

Yamuğun ortanca çizgisi tabanlara paraleldir ve toplamlarının yarısına eşittir.

Kanıt.

Bize tabanları $AD\ ve\BC$ olan bir yamuk $ABCD$ verilsin. Ve $MN$ bu yamuğun orta çizgisi olsun (Şekil 1).

Şekil 1. Yamuğun orta çizgisi

$MN||AD\ ve\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ olduğunu ispatlayalım.

$\overrightarrow(MN)$ vektörünü düşünün. Ardından, vektör toplama için çokgen kuralını kullanırız. Bir yandan bunu anlıyoruz.

Diğer taraftan

Son iki eşitliği toplarsak,

$M$ ve $N$ yamuğun kenarlarının orta noktaları olduğundan,

Alırız:

Sonuç olarak

Aynı eşitlikten ($\overrightarrow(BC)$ ve $\overrightarrow(AD)$ eş yönlü olduğundan ve dolayısıyla eşdoğrusal olduğundan), bu $MN||AD$'ı elde ederiz.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir yamuğun orta çizgisi kavramına ilişkin görev örnekleri

örnek 1

Yamuğun kenarları sırasıyla $15\cm$ ve $17\cm$ şeklindedir. Yamuğun çevresi 52$\cm$'dır. Yamuğun orta çizgisinin uzunluğunu bulun.

Çözüm.

Yamuğun orta çizgisini $n$ ile belirtin.

Kenarların toplamı

Bu nedenle, çevre $52\ cm$ olduğundan, tabanların toplamı

Dolayısıyla, Teorem 1 ile elde ederiz

Cevap: 10$\cm$.

Örnek 2

Çemberin çapının uçları tanjantından sırasıyla 9$ cm ve 5$ cm'dir.Bu dairenin çapını bulun.

Çözüm.

Bize merkezi $O$ ve çapı $AB$ olan bir daire verilsin. $l$ tanjantını çizin ve $AD=9\ cm$ ve $BC=5\ cm$ uzaklıklarını oluşturun. $OH$ yarıçapını çizelim (Şekil 2).

Şekil 2.

$AD$ ve $BC$ teğete olan uzaklıklar olduğundan, $AD\bot l$ ve $BC\bot l$ ve $OH$ yarıçap olduğundan, $OH\bot l$, dolayısıyla $OH | \sol|AD\sağ||BC$. Tüm bunlardan, $ABCD$'nin bir yamuk olduğunu ve $OH$'ın orta çizgisi olduğunu elde ederiz. Teorem 1'e göre,

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi ya da onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize izin verir benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı usulüne uygun olarak, dava ve/veya genel istek veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Yamuğun alanı. Selamlar! Bu yayında, bu formülü ele alacağız. Neden böyle ve bunu nasıl anlayabilirsiniz? Bir anlayış varsa, onu öğrenmenize gerek yoktur. Sadece bu formülü ve acil olanı görmek istiyorsanız, hemen sayfayı aşağı kaydırabilirsiniz))

Şimdi ayrıntılı ve sırayla.

Bir yamuk bir dörtgendir, bu dörtgenin iki kenarı paraleldir, diğer ikisi değildir. Paralel olmayanlar yamuk tabanıdır. Diğer ikisine taraf denir.

Kenarlar eşitse, yamuğa ikizkenar denir. Kenarlardan biri tabanlara dik ise, böyle bir yamuk dikdörtgen olarak adlandırılır.

Klasik formda, yamuk aşağıdaki gibi gösterilir - daha büyük taban sırasıyla altta, daha küçük olan üsttedir. Ancak hiç kimse onu tasvir etmeyi yasaklamaz ve bunun tersi de geçerlidir. İşte eskizler:

Bir sonraki önemli kavram.

Bir yamuğun medyan çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Ortanca çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Şimdi daha derine inelim. Neden tam olarak?

Tabanları olan bir yamuk düşünün a ve B ve orta çizgi ile ben ve bazı ek yapılar gerçekleştirin: tabanlarla kesişene kadar tabanlardan düz çizgiler ve orta hattın uçlarından dikey çizgiler çizin:

*Gereksiz gösterimlerden kaçınmak için köşelerin ve diğer noktaların harf gösterimleri kasıtlı olarak girilmez.

Bakın, üçgenlerin ikinci eşitliğine göre 1 ve 2 üçgenleri eşittir, 3 ve 4 üçgenleri de aynıdır. Üçgenlerin eşitliğinden, elemanların, yani bacakların eşitliğini takip eder (sırasıyla mavi ve kırmızı ile gösterilirler).

Şimdi dikkat! Mavi ve kırmızı bölümleri alt tabandan zihinsel olarak "kesersek", orta hatta eşit bir segmentimiz (bu dikdörtgenin kenarıdır) olacaktır. Ayrıca, kesilmiş mavi ve kırmızı parçaları yamuğun üst tabanına "yapıştırırsak", yamuğun orta çizgisine eşit bir parça da (bu aynı zamanda dikdörtgenin kenarıdır) elde ederiz.

Anladım? Bazların toplamının yamuğun iki medyanına eşit olacağı ortaya çıktı:

Başka bir açıklamaya bakın

Aşağıdakileri yapalım - yamuğun alt tabanından geçen düz bir çizgi ve A ve B noktalarından geçecek düz bir çizgi oluşturun:

1 ve 2 üçgenlerini alıyoruz, yan ve bitişik açılarda eşittirler (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti). Bu, ortaya çıkan parçanın (çizimde mavi ile işaretlenmiştir) yamuğun üst tabanına eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi bir üçgen düşünün:

*Bu yamuğun orta çizgisi ile üçgenin orta çizgisi çakışıyor.

Üçgenin kendisine paralel olan tabanın yarısına eşit olduğu bilinmektedir, yani:

Tamam anladım. Şimdi yamuğun alanı hakkında.

Yamuk alan formülü:

Derler ki: bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısının ürününe eşittir.

Yani, orta hat ve yüksekliğin ürününe eşit olduğu ortaya çıktı:

Muhtemelen bunun açık olduğunu zaten fark etmişsinizdir. Geometrik olarak bu şu şekilde ifade edilebilir: 2 ve 4 numaralı üçgenleri yamuktan zihinsel olarak kesip sırasıyla 1 ve 3 numaralı üçgenlere koyarsak:

Sonra alanda bir dikdörtgen elde ederiz. alana eşit bizim yamuk. Bu dikdörtgenin alanı orta çizgi ile yüksekliğin çarpımına eşit olacaktır, yani şunu yazabiliriz:

Ama burada önemli olan, elbette, yazmak değil, anlamaktır.

Makalenin materyalini *pdf formatında indirin (görüntüleyin)

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, İskender.

Sadece iki kenarı paralel olan dörtgene denir trapez.

Bir yamuğun paralel kenarlarına onun adı verilir. zemin, paralel olmayan kenarlara denir taraf. Kenarlar eşitse, böyle bir yamuk ikizkenardır. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir.

Yamuk orta çizgisi

Ortanca çizgi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Bir yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir.

teorem:

Bir kenarın orta noktasını kesen bir doğru, bir yamuğun tabanlarına paralel ise, ikinciyi ikiye böler. yan taraf yamuk.

teorem:

Orta çizginin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.

MN orta hat, AB ve CD - tabanlar, AD ve BC - taraflar

MN=(AB+DC)/2

teorem:

Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.

Ana görev: Bir yamuğun orta çizgisinin, uçları yamuğun tabanlarının ortasında bulunan bir parçayı ikiye böldüğünü kanıtlayın.

Üçgenin Orta Çizgisi

Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta çizgisi denir. Üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısı kadardır.
teorem: Üçgenin bir kenarının orta noktasını kesen doğru, verilen üçgenin diğer kenarına paralel ise, üçüncü kenarı ikiye böler.

AM = MC ve BN = NC =>

Üçgen ve Yamuk Orta Çizgi Özelliklerini Uygulama

Bir parçanın belirli sayıda eşit parçaya bölünmesi.
Görev: AB parçasını 5 eşit parçaya bölün.
Çözüm:
p, orijini A noktası olan ve AB doğrusu üzerinde olmayan rastgele bir ışın olsun. 5 eşit parçayı sırasıyla p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5 üzerine ayırıyoruz.
A 5'i B'ye bağlarız ve A 4 , A 3 , A 2 ve A 1 boyunca A 5 B'ye paralel çizgiler çizeriz. Bunlar AB ile sırasıyla B 4 , B 3 , B 2 ve B 1'de kesişir. Bu noktalar AB doğrusunu 5 eşit parçaya böler. Gerçekten de, BB 3 A 3 A 5 yamuğundan BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görüyoruz. Aynı şekilde, yamuk B 4 B 2 A 2 A 4'ten B 4 B 3 = B 3 B 2 elde ederiz.

Yamuktan B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
O halde B 2 AA 2'den B 2 B 1 = B 1 A sonucu çıkar. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB doğru parçasını başka sayıda eşit parçaya bölmek için, aynı sayıda eşit parçayı p ışınına yansıtmamız gerektiği açıktır. Ve sonra yukarıda açıklanan şekilde devam edin.