Karşı köşeden) ve elde edilen ürünü ikiye bölün. Formda şöyle görünür:

S = ½ * a * h,

nerede:
S, üçgenin alanıdır,
a, kenarının uzunluğudur,
h, bu tarafa indirilen yüksekliktir.

Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı birimlerde sunulmalıdır. Bu durumda, üçgenin alanı karşılık gelen "" birimlerde ortaya çıkacaktır.

Örnek.
20 cm uzunluğundaki bir skalen üçgenin kenarlarından birinde, 10 cm uzunluğundaki karşı köşeden bir dik aşağı indirilir.
Üçgenin alanı gereklidir.
Çözüm.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Bir skalen üçgenin herhangi iki kenarının uzunluklarını ve aralarındaki açıyı biliyorsanız, aşağıdaki formülü kullanın:

S = ½ * a * b * sinγ,

burada: a, b iki keyfi kenarın uzunluklarıdır ve γ aralarındaki açıdır.

Pratikte, örneğin ölçüm yaparken araziler, yukarıdaki formüllerin kullanımı bazen zordur, çünkü ek yapılar ve açıların ölçülmesini gerektirir.

Bir skalen üçgenin üç kenarının da uzunluklarını biliyorsanız, Heron formülünü kullanın:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))),

a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır,
р – yarı çevre: p = (a+b+c)/2.

Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak, üçgende yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:

burada: r, yazılı dairenin yarıçapıdır (p, yarı çevredir).

Çevrelenmiş dairenin bir skalen üçgeninin alanını ve kenarlarının uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

burada: R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu ve üç açı biliniyorsa (prensipte iki tane yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180º), o zaman kullanın formül:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

α, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ üçgenin kalan iki açısının değerleridir.

Alan dahil olmak üzere çeşitli unsurları bulma ihtiyacı üçgen, gökbilimciler arasında çağımızdan yüzyıllar önce ortaya çıktı Antik Yunan. Meydan üçgen hesaplanabilir Farklı yollar farklı formüller kullanarak. Hesaplama yöntemi, hangi öğelere bağlı olduğuna bağlıdır. üçgen bilinen.

Talimat

Koşuldan iki tarafın b, c değerlerini ve bunların oluşturduğu açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = (bcsin?)/2.

Koşuldan iki tarafın a, b değerlerini ve bunların oluşturmadığı açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu şekilde bulunur:
Açıyı bulmak?, günah mı? = bsin? / a, tablonun devamında açının kendisini belirleriz.
Bir açı bulmak? = 180°-?-?.
Alanın kendisini S = (absin?)/2'yi bulun.

Koşuldan sadece üç tarafın değerlerini biliyorsak üçgen a, b ve c, sonra alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , burada p yarı çevredir p = (a+b+c)/2

Sorunun durumundan yüksekliği biliyorsak üçgen h ve bu yüksekliğin düşürüldüğü taraf, ardından alan üçgen Formüle göre ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kenarların değerlerini bilsek üçgen a, b, c ve verilenlere yakın çevrelenenlerin yarıçapı üçgen R, sonra bunun alanı üçgen ABC şu formülle belirlenir:
S = abc/4R.
Üç kenar a, b, c ve yazılı olanın yarıçapı biliniyorsa, alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = pr, burada p yarı çevredir, p = (a+b+c)/2.

ABC eşkenar ise, alan şu formülle bulunur:
S = (a^2v3)/4.
ABC üçgeni ikizkenar ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, burada c üçgen.
ABC üçgeni bir dik üçgen ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = ab/2, burada a ve b bacaklardır üçgen.
ABC üçgeni bir dik ikizkenar üçgen ise, alan şu formülle belirlenir:
S = c^2/4 = a^2/2, burada c hipotenüstür üçgen, a=b - bacak.

İlgili videolar

Kaynaklar:

• üçgenin alanı nasıl ölçülür

İpucu 3: Açıyı biliyorsanız, üçgenin alanını nasıl bulabilirsiniz?

Sadece bir parametreyi (açının değerini) bilmek alanı bulmak için yeterli değildir. tre Meydan . Ek boyutlar varsa, alanı belirlemek için, bilinen değişkenlerden biri olarak açı değerinin de kullanıldığı formüllerden birini seçebilirsiniz. En sık kullanılan formüllerden birkaçı aşağıda listelenmiştir.

Talimat

İki tarafın oluşturduğu açıya (γ) ek olarak tre Meydan , bu kenarların (A ve B) uzunlukları da biliniyorsa, o zaman Meydan(S) rakamları, kenar uzunluklarının ve bu bilinen açının sinüsünün çarpımının yarısı olarak tanımlanabilir: S=½×A×B×sin(γ).

Bir üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmak için uygundur. Formüller bir resim şeklinde sunulur, işte bunların doğruluğunun uygulanması veya gerekçelendirilmesi için açıklamalar. Ayrıca, ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembollerinin ve çizimdeki grafik sembollerin karşılıklarını gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıdaki formülleri ve ayrıca yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan özel formülleri kullanabilirsiniz:

• "Eşkenar üçgenin alanı için formüller"

Üçgen alan formülleri

Formüller için açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
r- üçgende yazılı dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı
h- yana indirilmiş üçgenin yüksekliği
p- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β - üçgenin b tarafının karşısındaki açı
γ - üçgenin c tarafının karşısındaki açı
h a, h b , h c- a, b, c tarafına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen yukarıdaki gösterimin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın, böylece gerçek bir geometri problemini çözerken görsel olarak yerine koymanız daha kolay olacaktır. doğru yerler formüller doğru değerler.

• Üçgenin alanı bir üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin indirildiği kenarın uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, keyfi bir üçgeni iki dikdörtgen olana bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgene tamamlarsak, o zaman açıkçası, bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam olarak yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarının çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problem çözme örneğine bakın). Bir öncekinden farklı görünmesine rağmen, kolayca ona dönüştürülebilir. Yüksekliği B açısından b kenarına düşürürsek, bir dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a kenarı ile γ açısının sinüsünün çarpımı, tarafından çizilen üçgenin yüksekliğine eşit olur. bize önceki formülü verecek olan
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı bulunabilir vasıtasıyla iş tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı tarafından içine yazılan bir dairenin yarıçapının yarısı(Formül 3), başka bir deyişle, üçgenin yarım çevresini yazılı dairenin yarıçapı ile çarpmanız gerekir (böyle hatırlamak daha kolay)
• Rastgele bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımını, etrafı çevrili dairenin 4 yarıçapına bölerek bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi (tüm kenarlarının toplamının yarısı) cinsinden bir üçgenin alanını bulmaktır.
• balıkçıl formülü(6) aynı formülün yarım çevre kavramı kullanılmadan, sadece kenarların uzunlukları üzerinden bir temsilidir.
• Rastgele bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin ürününe ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin, bu kenarın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, etrafı çevrili bir dairenin iki karesinin ve her bir açısının sinüsünün ürünü olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir kenarın uzunluğu ve ona bitişik iki açının büyüklüğü biliniyorsa, o zaman üçgenin alanı, bu tarafın karesi olarak, bunların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir. açılar (Formül 9)
• Bir üçgenin yalnızca yüksekliklerinin her birinin uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülünde olduğu gibi bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanızı sağlar köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, köşelerin her biri için (x;y) değerleri olarak verilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler alanında olabileceğinden, elde edilen değerin modulo alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıdakiler, bir üçgenin alanını bulmak için geometride problem çözme örnekleridir. Burada olmayan benzer bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Çözümlerde, " sembolü yerine Kare kök" sqrt() işlevi kullanılabilir, burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen sembol basit radikal ifadeler için kullanılabilir. √

Bir görev. İki kenarı verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm, aralarındaki açı 60 derecedir. Bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmından iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı, iki kenarın uzunlukları ve aralarındaki açının sinüsü aracılığıyla bulunabilir ve buna eşit olacaktır.
S=1/2 ab sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuz için (formüle göre), sadece problemin durumundaki değerleri formüle koyabiliriz:
S=1/2*5*6*sin60

değerler tablosunda trigonometrik fonksiyonlar sinüsün 60 derece değerini ifadede bulun ve değiştirin. Üçe iki köküne eşit olacaktır.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7.5 √3 (Öğretmenin ihtiyacına göre 15 √3/2 bırakmak mümkün olabilir)

Bir görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Kenarları 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c olduğundan, bir eşkenar üçgenin alan formülü şu şekilde olacaktır:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Bir görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarlar dörde katlanırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutlarını bilmediğimiz için sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c rastgele sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra sorunun cevabını bulmak için bu üçgenin alanını buluyoruz ve ardından kenarları dört kat daha büyük olan bir üçgenin alanını buluyoruz. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize sorunun cevabını verecektir.

Ardından, sorunun çözümünün adım adım metinsel bir açıklamasını veriyoruz. Ancak en sonunda, aynı çözüm, algı için daha uygun olan grafiksel bir biçimde sunulmaktadır. Dileyen hemen çözümü bırakabilir.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıya dersin teorik bölümünde bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Rastgele bir üçgenin kenar uzunlukları a, b, c değişkenleri tarafından verilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa, yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 kare((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimdeki ikinci satıra bakın)

Gördüğünüz gibi 4, aşağıdakilere göre dört ifadenin hepsinden parantez içinde alınabilecek ortak bir faktördür. Genel kurallar matematik.
O zamanlar

S 2 = 1/4 kare(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 kare(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısından karekök mükemmel bir şekilde çıkarılır, bu yüzden onu kökün altından çıkaracağız.
S 2 = 16 * 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki şeklin beşinci satırına bakın)

Problemde ortaya çıkan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinalin alanına bölmemiz yeterlidir.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri küçülterek alan oranlarını belirliyoruz.

Talimat

partiler ve köşeler temel unsurlar olarak kabul edilir a. Bir üçgen, aşağıdaki temel öğelerinden herhangi biri tarafından tamamen tanımlanır: ya üç kenar veya bir kenar ve iki açı veya iki kenar ve aralarında bir açı. varoluş için üçgenüç taraf a, b, c ile tanımlanır, eşitsizlikler denilen eşitsizliklerin olması gerekli ve yeterlidir. üçgen:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

İnşaat için üçgen a, b, c üç tarafında, CB=a segmentinin C noktasından b yarıçaplı bir dairenin pusula ile nasıl çizileceği gereklidir. Daha sonra, benzer şekilde, B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Kesişme noktası A, istenen noktanın üçüncü tepe noktasıdır. üçgen ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - kenarlar üçgen. Problem, eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa, üçgen 1. adımda belirtilen

Bu şekilde inşa edilen S alanı üçgen ABC ile bilinen taraflar a, b, c, Heron formülüyle hesaplanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))),
a, b, c kenarlar nerede üçgen, p yarı çevredir.
p = (a+b+c)/2

Üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a=b=c). üçgen formülle hesaplanır:
S=(a^2 v3)/4

Üçgen dik ise yani açılarından biri 90° ise ve onu oluşturan kenarlar bacak ise üçüncü kenar hipotenüstür. Bu durumda Meydan bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S=ab/2

Bulmak Meydan üçgen, birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak formülü seçin.

İhtiyacın olacak

• bir üçgenin alanını bulmak için formüller bilgisi

Talimat

Kenarlardan birinin değerini ve karşı köşeden bu tarafa indirilen yüksekliğin değerini biliyorsanız, alanı aşağıdakileri kullanarak bulabilirsiniz: S = a*h/2, burada S ​'nin alanıdır. ​üçgen, a üçgenin kenarlarından biridir ve h - yükseklik, a tarafına.

Üç kenarı biliniyorsa, bir üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yolu vardır. O Heron'un formülü. Kaydını basitleştirmek için bir ara değer eklenir - bir yarı çevre: p \u003d (a + b + c) / 2, burada a, b, c - . O halde Heron'un formülü şu şekildedir: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ üs alma.

Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a tarafının karşısındaki açıdır ve α ve γ, kenara bitişik açılardır.

İlgili videolar

Not

Her duruma uygun en genel formül Heron formülüdür.

Kaynaklar:

İpucu 3: Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı nasıl bulunur

Bir üçgenin alanını bulmak en yaygın görevlerden biridir. okul planimetrisi. Bir üçgenin üç tarafını bilmek, herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Özel durumlarda ve eşkenar üçgenlerde sırasıyla iki ve bir kenar uzunluklarının bilinmesi yeterlidir.

İhtiyacın olacak

• üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimat

Bir üçgenin alanı için Heron'un formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))). P yarım çevresini boyarsanız, şunu elde edersiniz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Ayrıca, örneğin kosinüs teoremini uygulayarak, bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs yasasına göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Tanıtılan gösterimi kullanarak, bunlar şu biçimde de olabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı ayrıca iki kenar boyunca S = a*c*sin(ABC)/2 formülü ve aralarındaki açı ile bulunur. ABC açısının sinüsü, temel kullanılarak ifade edilebilir. trigonometrik kimlik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Alan formülünde sinüsü yerine koyup boyayarak, ABC üçgeninin alan formülüne ulaşabiliriz.

İlgili videolar

İçin onarım işiölçülmesi gerekebilir Meydan duvarlar. Gerekli miktarda boya veya duvar kağıdını hesaplamak daha kolaydır. Ölçümler için bir mezura veya santimetre bant kullanmak en iyisidir. Ölçümler sonra yapılmalıdır. duvarlar hizalanmıştır.

İhtiyacın olacak

• -rulet;
• -merdiven.

Talimat

Saymak Meydan duvarlar, bilmen gerek tam yükseklik tavanların yanı sıra zemin boyunca uzunluğu ölçmek için. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın, kaidenin üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle köşeye sabitleyin, ardından maksimum uzunluğa kadar açın. Bu noktada, kurşun kalemle bir işaret koyun, sonucu yazın ve aynı şekilde aşağıdakilerden başlayarak daha fazla ölçüm yapın. son noktaölçüm.

Tipik olarak standart tavanlar - eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetre. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. hesap yapıyorsanız Meydan onarım çalışmaları için, küçük bir marj zarar vermez - standarda göre düşünün. Hala gerçek yüksekliği bilmeniz gerekiyorsa - ölçüm yapın. İlke, uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir merdivene ihtiyacınız olacak.

Ortaya çıkan rakamları çarpın - bu Meydan senin duvarlar. Doğru, boyama işi için veya çıkarmak için gereklidir Meydan kapı ve pencere açıklıkları. Bunu yapmak için, açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Eğer bir Konuşuyoruz daha sonra değiştireceğiniz kapı hakkında, daha sonra sadece dikkate alarak kapı çerçevesi çıkarılmış olarak gerçekleştirin. Meydan açılış kendisi. Pencere alanı, çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında Meydan hesaplanan pencere ve kapı, sonucu elde edilen odanın toplam alanından çıkarın.

Lütfen odanın uzunluk ve genişliğinin ölçümlerinin birlikte yapıldığını, bir santimetre veya şerit metrenin sabitlenmesinin daha kolay olduğunu ve buna göre daha doğru bir sonuç alındığını unutmayın. Aldığınız sayıların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.

İlgili videolar

Bir üçgenin hacmini bulmak aslında önemsiz bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, yani hacmi yoktur. Elbette var olmayan bir şeyi bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Aşağıdaki varsayımı yapabiliriz - iki boyutlu bir figürün hacmi, bu onun alanı. Üçgenin alanını arıyoruz.

İhtiyacın olacak

• kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi

Talimat

Bir cetvel ve kurşun kalemle bir kağıda çizin. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlemde çizildiği için gerçekten olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.

Üçgenin herhangi bir tarafını bir cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, karşı köşeden ölçülen tarafa dik olanı geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, dikey "h", "A" köşesinden "c" tarafına geri yüklenir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçümün sonucunu kaydedin.

Tam dikliği geri yüklemekte zorlanabilirsiniz. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, elde edilen kenarların uzunluklarını toplayarak ve toplamlarını ikiye bölerek "p" üçgeninin yarım çevresini hesaplayın. Yarım çevrenin değerini elinizde bulundurarak, Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için aşağıdakilerin karekökünü almanız gerekir: p(p-a)(p-b)(p-c).

Üçgenin istediğiniz alanını elde ettiniz. Bir üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi, ancak yukarıda belirtildiği gibi hacim değil. Temelde bir üçgen olan hacmi 3D dünyasında bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun ve aldığımız üçgenin alanının ürünü olacaktır.

Not

Ölçümler ne kadar dikkatli yapılırsa hesaplamalar o kadar doğru olacaktır.

Kaynaklar:

• Her Şeyden Herkese Hesap Makinesi - Referans Portalı
• 2019'da üçgen hacmi

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz olarak tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, çevresiyle sınırlı olanlar da dahil olmak üzere bu düz şeklin herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. Meydan. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimat

Alanı hesaplamak için Heron'un formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalara ile başlayın. Her bir kenarın uzunluğu, koordinat eksenlerindeki izdüşümlerinin uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenarlarının uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken girin - yarı çevre (P). Bundan, bu, tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısıdır: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Okul geometri müfredatından da hatırlayacağınız gibi üçgen, tek bir doğru üzerinde olmayan üç nokta ile birbirine bağlanan üç parçadan oluşan bir şekildir. Üçgen üç açı oluşturur, bu nedenle şeklin adı. Tanım farklı olabilir. Üçgen, üç köşeli bir çokgen olarak da adlandırılabilir, cevap aynı derecede doğru olacaktır. Üçgenler şekillerdeki eşit kenar sayılarına ve açıların boyutlarına göre bölünür. Bu nedenle, ikizkenar, eşkenar ve skalen gibi üçgenlerin yanı sıra sırasıyla dikdörtgen, dar açılı ve geniş açılı üçgenleri ayırt edin.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanını nasıl bulacağınızı seçin, yani. Hangi formülü kullanacaksınız, sadece siz. Ancak, bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan bazı notasyonlara dikkat etmek önemlidir. Hatırla:

S, üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersini tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonlar burada. Üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler aşağıda verilecektir. Zor değildir ve hem ev ihtiyaçlarınız için hem de çocuklarınıza yardım etmek için kullanışlı olacaktır. Armut bombardımanı kadar kolay bir üçgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm. = 2.75 cm kare. Alanın santimetre kare (sqcm) olarak ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Bir dik üçgen, bir açısı 90 dereceye eşit olan bir üçgendir (bu nedenle dik üçgen olarak adlandırılır). Bir dik açı, iki dik çizgiden oluşur (bir üçgen durumunda, iki dik parça). Bir dik üçgende sadece bir dik açı olabilir, çünkü herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 derecedir. Diğer 2 açının kalan 90 dereceyi kendi aralarında, örneğin 70 ve 20, 45 ve 45 vb. Yani, asıl şeyi hatırladınız, bölgeyi nasıl bulacağınızı bulmaya devam ediyor. sağ üçgen. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve S alanını bulmamız gerektiğini hayal edin.

1. Bir dik üçgenin alanını belirlemenin en kolay yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda, bir dik üçgenin alanı: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm.

Prensip olarak, bir üçgenin alanını başka şekillerde doğrulamak artık gerekli değildir, çünkü günlük yaşamda kullanışlı olacak ve sadece bu yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüs, sinüs ve tanjant tablonuz olmalıdır. Kendiniz karar verin, burada hala kullanabileceğiniz bir dik açılı üçgenin alanlarını hesaplamak için bazı seçenekler var:

İlk formülü ve küçük lekelerle kullanmaya karar verdik (bir deftere çizdik ve kullandık. eski cetvel ve bir iletki), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2). 3.6=3.7 gibi sonuçlar elde ettik ancak hücre kaymasını hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama görevi ile karşı karşıya kalırsanız, en kolay yol ana olanı kullanmaktır ve bir üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilir.

Ama önce, bir ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce, ne tür bir rakam olduğunu öğreneceğiz. Bir ikizkenar üçgen, iki kenarı aynı uzunlukta olan bir üçgendir. Bu iki tarafa kenar, üçüncü kenara ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın, yani. üç kenarı da birbirine eşit olan eşkenar üçgen. Böyle bir üçgende, açılara veya daha doğrusu boyutlarına yönelik özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgende tabandaki açılar eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, zaten ilk ve ana formülü biliyorsunuz, bir ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan noktalarda kesişen üç çizgiden oluşan geometrik bir şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları, üçgenin köşeleri ile gösterilen köşelerdir. Latin harfleriyle(örneğin, A, B, C). Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine, genellikle Latin harfleriyle de gösterilen segmentler denir. Aşağıdaki üçgen türleri vardır:

• dikdörtgen.
• geniş.
• Dar açılı.
• Çok yönlü.
• Eşkenar.
• İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yükseklik için üçgen alan formülü

S=a*h/2,
a, alanı bulunacak üçgenin kenar uzunluğu, h, tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

balıkçıl formülü

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
burada √ karekök, p üçgenin yarı çevresi, a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi, p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısı ve uzunluğu açısından bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
nerede b,cüçgenin kenarlarının uzunluğu, sin (α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç kenarı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
p, alanı bulunacak olan üçgenin yarı-çevresidir, r, bu üçgende yazılı dairenin yarıçapıdır.

Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı ve etrafı çevrili bir dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğu olduğunda, R üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarında bir üçgenin alanı için formül

Noktaların Kartezyen koordinatları, x'in apsis ve y'nin de ordinat olduğu xOy sistemindeki koordinatlardır. Düzlemdeki xOy Kartezyen koordinat sistemine, O noktasında ortak bir orijine sahip karşılıklı olarak dik sayısal eksenler Ox ve Oy denir. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A (x1, y1), B ( x2, y2) ve C (x3, y3 ), daha sonra iki vektörün çapraz ürününden elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Bir dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan bir üçgendir. Bir üçgenin sadece bir tane böyle açısı olabilir.

İki ayak üzerinde bir dik üçgenin alanı için formül

S=a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklara dik açıya bitişik kenarlar denir.

Hipotenüs ve dar açı verilen bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b*sin(α)/ 2,
a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b çizgilerinin kesiştiği açının sinüsüdür.

Bacak ve karşı açı ile bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b/2*tg(β),
a, b üçgenin bacakları olduğunda, tg(β), a,b bacaklarının bağlandığı açının tanjantıdır.

Bir ikizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan üçgendir. Bu taraflara kenar denir ve diğer tarafa taban denir. Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
c üçgenin tabanı olduğunda h, üçgenin tabana indirilmiş yüksekliğidir.

Yan tarafta ve tabanda bir ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
c üçgenin tabanı olduğunda, a ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin değeridir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Bir eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
a, bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller, üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenlerin aralığını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini hatırlamak önemlidir.