ถ้ามุมแหลมแสดงว่าสัมประสิทธิ์ สมการแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

ในบทที่แล้ว แสดงให้เห็นว่าโดยการเลือกระบบพิกัดบนระนาบ เราสามารถวิเคราะห์คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะของจุดของเส้นที่พิจารณาด้วยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง ในบทนี้จะพิจารณาสมการเส้นตรง

ในการกำหนดสมการของเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

อันดับแรก เราแนะนำแนวคิดของความชันของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่กำหนดตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบ

ให้เรียกมุมเอียงของเส้นกับแกน Ox ว่ามุมที่แกน Ox จะต้องหมุนเพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือกลายเป็นขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายถูกกำหนดโดยทิศทางของการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ที่มุม 180 ° จะรวมเข้ากับเส้นตรงอีกครั้ง มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกนจึงสามารถเลือกได้ไม่ชัดเจน (สูงสุดหลายเท่าของ )

แทนเจนต์ของมุมนี้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมเป็นไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x เรียกว่า ความชันของเส้นตรง

ความลาดชันกำหนดทิศทางของเส้นตรง (ในที่นี้เราไม่แยกความแตกต่างระหว่างทิศทางตรงข้ามกันของเส้นตรงสองทิศทาง) ถ้าความชันเป็นเส้นตรง ศูนย์แล้วเส้นขนานกับแกน x ด้วยความชันที่เป็นบวก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เราถือว่าน้อยที่สุดในที่นี้ ค่าบวกมุมเอียง) (รูปที่ 39); ในกรณีนี้ ยิ่งความชันมากเท่าใด มุมเอียงของแกนถึงแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากความชันเป็นลบ มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ไม่มีความชัน (ไม่มีเส้นสัมผัสของมุม)

เส้น y \u003d f (x) จะถูกแทนเจนต์กับกราฟที่แสดงในรูปที่จุด x0 ถ้ามันผ่านจุดที่มีพิกัด (x0; f (x0)) และมีความชัน f "(x0) ค้นหา สัมประสิทธิ์ดังกล่าวรู้คุณสมบัติของแทนเจนต์ก็ไม่ยาก

คุณจะต้องการ

• - หนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์
• - ดินสอธรรมดา
• - สมุดบันทึก;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

หากไม่มีค่า f‘(x0) แสดงว่าไม่มีแทนเจนต์หรือผ่านในแนวตั้ง ด้วยเหตุนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์ที่ไม่ตั้งตรงซึ่งสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้ ความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้น จึงชัดเจน ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ - การคำนวณความชันของเส้นสัมผัส

วาดบนแทนเจนต์เพิ่มเติมที่จะสัมผัสกับกราฟฟังก์ชันที่จุด x1, x2 และ x3 และทำเครื่องหมายมุมที่เกิดจากแทนเจนต์เหล่านี้ด้วยแกน abscissa (มุมดังกล่าวจะถูกนับในทิศทางบวกจากแกนถึงแทนเจนต์ ไลน์). ตัวอย่างเช่น มุม นั่นคือ α1 จะเป็นมุมแหลม มุมที่สอง (α2) จะเป็นป้าน และมุมที่สาม (α3) จะเป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสจะขนานกับแกน OX ในกรณีนี้ แทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ แทนเจนต์ของมุมแหลมเป็นบวก และสำหรับ tg0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

บันทึก

กำหนดมุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสให้ถูกต้อง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เส้นเฉียงสองเส้นจะขนานกันหากความชันเท่ากัน ตั้งฉากถ้าผลคูณของความชันของเส้นสัมผัสเหล่านี้เป็น -1

ที่มา:

• แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

โคไซน์เช่นเดียวกับไซน์เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ "ตรง" แทนเจนต์ (ร่วมกับโคแทนเจนต์) ถูกเพิ่มไปยังคู่อื่นที่เรียกว่า "อนุพันธ์" มีคำจำกัดความหลายประการของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ทำให้สามารถค้นหาแทนเจนต์ที่กำหนดโดย ค่าที่รู้จักโคไซน์ที่มีค่าเท่ากัน

คำแนะนำ

ลบผลหารจากเอกภาพด้วยโคไซน์ของมุมที่กำหนดที่ยกขึ้นเป็นค่าและแยกรากที่สองออกจากผลลัพธ์ - นี่จะเป็นค่าของแทนเจนต์จากมุมซึ่งแสดงโดยโคไซน์ของมัน: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . ในเวลาเดียวกัน ให้ใส่ใจกับความจริงที่ว่าในสูตร โคไซน์อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน ความเป็นไปไม่ได้ในการหารด้วยศูนย์นั้นไม่รวมถึงการใช้นิพจน์นี้สำหรับมุมที่เท่ากับ 90° และค่าความต่างจากค่านี้ด้วยทวีคูณของ 180° (270°, 450°, -90° เป็นต้น)

นอกจากนี้ยังมี ทางอื่นการคำนวณแทนเจนต์จากค่าที่ทราบของโคไซน์ สามารถใช้ได้หากไม่มีข้อจำกัดในการใช้งานอื่นๆ ในการใช้วิธีนี้ ก่อนอื่นให้กำหนดค่าของมุมจากค่าที่ทราบของโคไซน์ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ จากนั้นคำนวณแทนเจนต์สำหรับมุมของค่าผลลัพธ์ โดยทั่วไป อัลกอริทึมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))

มีอีกตัวเลือกที่แปลกใหม่โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์และแทนเจนต์ผ่านมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก โคไซน์ในคำจำกัดความนี้สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกับมุมที่พิจารณาต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบค่าของโคไซน์แล้ว คุณสามารถเลือกความยาวของสองด้านที่สัมพันธ์กับมันได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า cos(α)=0.5 แล้ว ด้านประชิดนั้นมีค่าเท่ากับ 10 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 20 ซม. ตัวเลขเฉพาะไม่สำคัญที่นี่ - คุณจะได้ค่าที่เหมือนกันและถูกต้องด้วยค่าใดๆ ที่เหมือนกัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความยาวของด้านที่หายไป - ขาตรงข้าม เธอจะเท่าเทียม รากที่สองจากผลต่างระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองกับขาที่ทราบ: √(20²-10²)=√300 ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้ามและขาข้างเคียง (√300/10) - คำนวณและรับค่าแทนเจนต์ที่พบโดยใช้คำจำกัดความคลาสสิกของโคไซน์

ที่มา:

• โคไซน์ผ่านสูตรแทนเจนต์

หนึ่งใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร tg แม้ว่าจะพบการกำหนดสีแทนด้วย วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของไซน์ มุมถึงโคไซน์ของมัน นี่เป็นฟังก์ชันคาบคี่และไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแต่ละรอบมี เท่ากับจำนวน Pi และจุดแตกหักเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น

ในวิชาคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนคือความชันของเส้นตรงนี้ พารามิเตอร์นี้กำหนดลักษณะความชันของเส้นตรงไปยังแกน x เพื่อทำความเข้าใจวิธีการหาความชัน ก่อนอื่นให้นึกถึงรูปแบบทั่วไปของสมการของเส้นตรงในระบบพิกัด XY

โดยทั่วไป เส้นใดๆ สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์ ax+by=c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ แต่จำเป็นต้องมี 2 + b 2 ≠ 0

ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงอย่างง่าย สมการดังกล่าวสามารถนำไปอยู่ในรูปแบบ y=kx+d โดยที่ k และ d เป็นจำนวนจริง ตัวเลข k คือความชัน และสมการของเส้นตรงประเภทนี้เรียกว่าสมการที่มีความชัน ปรากฎว่าในการหาความชัน คุณแค่ต้องนำสมการเดิมมาอยู่ในรูปแบบด้านบน เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

งาน: ค้นหาความชันของเส้นที่กำหนดโดยสมการ 36x - 18y = 108

สารละลาย: ลองแปลงสมการเดิม

คำตอบ: ความชันที่ต้องการของเส้นนี้คือ 2

หากในระหว่างการแปลงสมการเราได้รับนิพจน์ประเภท x = const และเป็นผลให้เราไม่สามารถแทน y เป็นฟังก์ชันของ x ได้ แสดงว่าเรากำลังจัดการกับเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ความชันของ เส้นตรงนั้นเท่ากับอนันต์

สำหรับเส้นที่แสดงโดยสมการเช่น y = const ความชันเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ตัวอย่างเช่น:

ภารกิจ: หาความชันของเส้นตรงจากสมการ 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

วิธีแก้ไข: เรานำสมการดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป

24x + 12y - 12y + 28 = 4

เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดง y จากนิพจน์ผลลัพธ์ ดังนั้น ความชันของเส้นตรงนี้จึงเท่ากับอนันต์ และเส้นตรงจะขนานกับแกน Y

ความรู้สึกทางเรขาคณิต

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ให้ดูภาพ:

ในรูป เราจะเห็นกราฟของฟังก์ชันประเภท y = kx เพื่อลดความซับซ้อน เราใช้สัมประสิทธิ์ c = 0 ในรูปสามเหลี่ยม OAB อัตราส่วนของด้าน BA ต่อ AO จะเท่ากับความชัน k ในขณะเดียวกัน อัตราส่วน VA/AO คือแทนเจนต์ของมุมแหลม α in สามเหลี่ยมมุมฉากโอเอวี ปรากฎว่าความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เส้นตรงนี้สร้างขึ้นด้วยแกน x ของตารางพิกัด

การแก้ปัญหาการหาความชันของเส้นตรง เราพบแทนเจนต์ของมุมระหว่างมันกับแกน x ของตารางพิกัด กรณีเขตแดนเมื่อเส้นที่พิจารณาอยู่ขนานกับแกนพิกัด ให้ยืนยันข้างต้น สำหรับเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการ y=const มุมระหว่างมันกับแกน x จะเท่ากับศูนย์ แทนเจนต์ของมุมศูนย์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน และความชันยังเป็นศูนย์ด้วย

สำหรับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน x และอธิบายโดยสมการ x=const มุมระหว่างพวกมันกับแกน x คือ 90 องศา แทนเจนต์ มุมฉากเท่ากับอนันต์ และความชันของเส้นตรงที่คล้ายกันเท่ากับอนันต์ ซึ่งยืนยันสิ่งที่เขียนด้านบนนี้

ความชันสัมผัส

งานทั่วไปที่มักพบบ่อยคือการค้นหาความชันของแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชันในบางจุด แทนเจนต์เป็นเส้นตรง ดังนั้น แนวคิดของความชันก็สามารถใช้ได้เช่นกัน

ในการหาวิธีหาความชันของแทนเจนต์ เราจะต้องนึกถึงแนวคิดของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ที่จุดใดจุดหนึ่งเป็นค่าคงที่ เป็นตัวเลข เท่ากับแทนเจนต์มุมที่เกิดขึ้นระหว่างแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนดกับกราฟของฟังก์ชันนี้กับแกน abscissa ปรากฎว่าการกำหนดความชันของแทนเจนต์ที่จุด x 0 เราจำเป็นต้องคำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้ k \u003d f "(x 0) ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ภารกิจ: ค้นหาความชันของเส้นสัมผัสของฟังก์ชัน y = 12x 2 + 2xe x ที่ x = 0.1

วิธีแก้ไข: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมในรูปแบบทั่วไป

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . อี 0.1 + 2 . อี 0.1

คำตอบ: ความชันที่ต้องการที่จุด x \u003d 0.1 คือ 4.831

ความต่อเนื่องของหัวข้อสมการเส้นตรงบนระนาบขึ้นอยู่กับการศึกษาเส้นตรงจากบทเรียนพีชคณิต บทความนี้ให้ข้อมูลทั่วไปในหัวข้อสมการเส้นตรงที่มีความชัน พิจารณาคำจำกัดความ รับสมการเอง เปิดเผยความสัมพันธ์กับสมการประเภทอื่น ทุกอย่างจะกล่าวถึงตัวอย่างการแก้ปัญหา

Yandex.RTB R-A-339285-1

ก่อนเขียนสมการดังกล่าว จำเป็นต้องกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O x ด้วยความชัน สมมุติว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x ถูกกำหนดไว้บนระนาบ

คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O xซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y บนระนาบ นี่คือมุมที่วัดจากทิศทางบวก O x ถึงเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อเส้นขนานกับ Ox หรือมีความบังเอิญเกิดขึ้น มุมเอียงจะเป็น 0 จากนั้นมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด α จะถูกกำหนดในช่วงเวลา [ 0 , π) .

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรงคือแทนเจนต์ของความชันของเส้นที่กำหนด

สัญกรณ์มาตรฐานคือ k จากคำจำกัดความเราจะได้ว่า k = t ก. α . เมื่อเส้นตรงขนานกับ Ox ความชันจะเรียกว่าไม่มีอยู่จริงเพราะมันจะไปถึงจุดอนันต์

ความชันเป็นค่าบวกเมื่อกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและในทางกลับกัน รูปภาพแสดงตำแหน่งของมุมฉากที่หลากหลายซึ่งสัมพันธ์กับระบบพิกัดด้วยค่าสัมประสิทธิ์

ในการหามุมนี้ จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ความชันและคำนวณแทนเจนต์ของมุมเอียงในระนาบ

การตัดสินใจ

จากเงื่อนไขเราจะได้ว่า α = 120 ° ตามคำจำกัดความ คุณต้องคำนวณความชัน หาได้จากสูตร k = t g α = 120 = - 3 .

ตอบ: k = - 3 .

หากทราบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม แต่จำเป็นต้องค้นหามุมเอียงไปยังแกน x ควรพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้วย ถ้า k > 0 มุมฉากจะเป็นมุมแหลมและหาได้จากสูตร α = a r c t g k ถ้า k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

ตัวอย่าง 2

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดเป็น O x ด้วยความชันเท่ากับ 3

การตัดสินใจ

จากเงื่อนไขที่เรามี ความชันเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงถึง O x น้อยกว่า 90 องศา การคำนวณทำตามสูตร α = a r c t g k = a r c t g 3 .

คำตอบ: α = a r c t g 3 .

ตัวอย่างที่ 3

หามุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O x ถ้าความชัน = - 1 3 .

การตัดสินใจ

ถ้าเราใช้ตัวอักษร k เป็นการกำหนดความชัน ดังนั้น α คือมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดในทิศทางบวก O x ดังนั้น k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

ตอบ: 5 ไพ 6 .

สมการของรูปแบบ y \u003d k x + b โดยที่ k คือความชัน และ b คือจำนวนจริงบางค่า เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน สมการนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน O y

หากเราพิจารณารายละเอียดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ ซึ่งกำหนดโดยสมการที่มีความชันที่ดูเหมือน y = k · x + b ในกรณีนี้ หมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรงสอดคล้องกับสมการ หากเราแทนที่พิกัดของจุด M, M 1 (x 1, y 1) ลงในสมการ y \u003d k x + b แล้วในกรณีนี้เส้นจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้น จุดนั้นจะไม่ได้อยู่ใน ไลน์.

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเส้นตรงที่มีความชัน y = 1 3 x - 1 . คำนวณว่าจุด M 1 (3 , 0) และ M 2 (2 , - 2) อยู่ในเส้นที่กำหนดหรือไม่

การตัดสินใจ

จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุด M 1 (3, 0) ลงในสมการที่กำหนด จากนั้นเราจะได้ 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ดังนั้นประเด็นจึงอยู่ในเส้นตรง

หากเราแทนที่พิกัดของจุด M 2 (2, - 2) เราจะได้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . เราสามารถสรุปได้ว่าจุด M 2 ไม่ได้อยู่ในเส้นตรง

ตอบ: M 1 เป็นของสาย แต่ M 2 ไม่ใช่

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ y = k · x + b ผ่าน M 1 (0 , b) การแทนที่ทำให้เกิดความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b = k · 0 + b ⇔ b = b จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = k · x + b บนระนาบกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุด 0, b มันสร้างมุม α ที่มีทิศทางบวกของแกน O x โดยที่ k = t g α .

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเส้นตรงที่กำหนดโดยใช้ความชันที่กำหนดโดยรูปแบบ y = 3 · x - 1 . เราจะได้เส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด 0, - 1 โดยมีความชัน α = a r c t g 3 = π 3 เรเดียน ตามทิศทางบวกของแกน O x จากนี้จะเห็นได้ว่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 3

สมการของเส้นตรงที่มีความชันผ่านจุดที่กำหนด

จำเป็นต้องแก้ปัญหาที่จำเป็นเพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนดผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) .

ความเท่าเทียมกัน y 1 = k · x + b ถือว่าใช้ได้ เนื่องจากเส้นผ่านจุด M 1 (x 1 , y 1) ในการลบตัวเลข b จำเป็นต้องลบสมการด้วยสัมประสิทธิ์ความชันจากด้านซ้ายและด้านขวา จากนี้ไป y - y 1 = k · (x - x 1) . ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k ผ่านพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1) .

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M 1 ที่มีพิกัด (4, - 1) โดยมีความชันเท่ากับ - 2

การตัดสินใจ

ตามเงื่อนไข เรามีว่า x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2 จากตรงนี้ สมการของเส้นตรงจะถูกเขียนด้วยวิธีนี้ y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

ตอบ: y = - 2 x + 7 .

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ลากผ่านจุด M 1 พร้อมพิกัด (3, 5) ขนานกับเส้นตรง y \u003d 2 x - 2

การตัดสินใจ

ตามเงื่อนไข เรามีเส้นขนานที่มีมุมเอียงประจวบกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ความชันจึงเท่ากัน เพื่อหาความชันจาก สมการที่กำหนดจำเป็นต้องจำสูตรพื้นฐานของมัน y = 2 x - 2 ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น k = 2 . เราเขียนสมการด้วยสัมประสิทธิ์ความชันและรับ:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

ตอบ: y = 2 x - 1 .

การเปลี่ยนจากสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นและในทางกลับกัน

สมการดังกล่าวใช้ไม่ได้ในการแก้ปัญหาเสมอไป เนื่องจากมีสัญกรณ์ที่ไม่สะดวกนัก การทำเช่นนี้จะต้องนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่น สมการของรูปแบบ y = k · x + b ไม่อนุญาตให้คุณเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเรียนรู้วิธีแสดงสมการประเภทอื่น

เราสามารถหาสมการมาตรฐานของเส้นตรงในระนาบได้โดยใช้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน เราได้ x - x 1 a x = y - y 1 a y จำเป็นต้องย้ายพจน์ b ไปทางด้านซ้ายและหารด้วยนิพจน์ของความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับ จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k

สมการของเส้นตรงที่มีความชันกลายเป็นสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่าง 7

นำสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = - 3 x + 12 มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ

การตัดสินใจ

เราคำนวณและแสดงในรูปของสมการมาตรฐานของเส้นตรง เราได้รับสมการของรูปแบบ:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

คำตอบ: x 1 = y - 12 - 3

สมการทั่วไปของเส้นตรงหาได้ง่ายที่สุดจาก y = k x + b แต่ต้องมีการแปลง: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0 การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นตรงไปเป็นสมการประเภทอื่น

ตัวอย่างที่ 8

ให้สมการเส้นตรงของรูปแบบ y = 1 7 x - 2 ค้นหาว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 1 , 7) เป็นเวกเตอร์เส้นตรงปกติหรือไม่

การตัดสินใจ

เพื่อแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเปลี่ยนไปใช้สมการนี้ในรูปแบบอื่น สำหรับสิ่งนี้ เราเขียน:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

สัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปรคือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ลองเขียนแบบนี้ n → = 1 7 , - 1 ดังนั้น 1 7 x - y - 2 = 0 เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์ a → = (- 1 , 7) เป็นเส้นตรงกับเวกเตอร์ n → = 1 7 , - 1 เนื่องจากเรามีความสัมพันธ์ที่ยุติธรรม a → = - 7 · n → ตามด้วยเวกเตอร์เดิม a → = - 1 , 7 เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น 1 7 x - y - 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าถือเป็นเวกเตอร์ปกติสำหรับเส้น y = 1 7 x - 2

ตอบ:เป็น

ลองแก้ปัญหาผกผันกับอันนี้กัน

ต้องย้ายจาก ปริทัศน์สมการ A x + B y + C = 0 โดยที่ B ≠ 0 ไปที่สมการความชัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแก้สมการของ y เราได้ A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่มีความชันเท่ากับ - A B

ตัวอย่างที่ 9

ให้สมการเส้นตรงของรูปแบบ 2 3 x - 4 y + 1 = 0 รับสมการของเส้นที่กำหนดด้วยความชัน

การตัดสินใจ

ตามเงื่อนไขจำเป็นต้องแก้หา y จากนั้นเราจะได้สมการของแบบฟอร์ม:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

คำตอบ: y = 1 6 x + 1 4 .

ในทำนองเดียวกัน จะแก้สมการของรูปแบบ x a + y b \u003d 1 ซึ่งเรียกว่าสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ หรือรูปแบบบัญญัติ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y จำเป็นต้องแก้สมการกับ y จากนั้นเราจะได้สมการที่มีความชัน:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

สมการบัญญัติสามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบที่มีความชันได้ สำหรับสิ่งนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

ตัวอย่าง 10

มีเส้นตรงจากสมการ x 2 + y - 3 = 1 นำมาเป็นสมการที่มีความชัน

การตัดสินใจ.

ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องแปลง จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ _formula_ ควรคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -3 เพื่อให้ได้สมการความชันที่ต้องการ การเปลี่ยนแปลงเราได้รับ:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

ตอบ: y = 3 2 x - 3 .

ตัวอย่าง 11

สมการเส้นตรงของรูปแบบ x - 2 2 \u003d y + 1 5 ถูกนำไปที่รูปแบบที่มีความชัน

การตัดสินใจ

จำเป็นต้องคำนวณนิพจน์ x - 2 2 = y + 1 5 เป็นสัดส่วน เราได้ 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ตอนนี้คุณต้องเปิดใช้งานอย่างสมบูรณ์สำหรับสิ่งนี้:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

คำตอบ: y = 5 2 x - 6 .

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว เราควรนำสมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ มาที่ สมการบัญญัติเส้นตรงหลังจากนั้นคุณสามารถดำเนินการสมการด้วยสัมประสิทธิ์ความชันได้

ตัวอย่าง 12

หาความชันของเส้นตรงหากกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = λ y = - 1 + 2 · λ .

การตัดสินใจ

คุณต้องเปลี่ยนจากมุมมองแบบพาราเมตริกเป็นความชัน ในการทำสิ่งนี้ เราพบสมการบัญญัติจากพาราเมทริกที่ให้มา:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

ตอนนี้ จำเป็นต้องแก้ไขความเท่าเทียมกันนี้เทียบกับ y เพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราเขียนแบบนี้:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

ตามด้วยความชันของเส้นตรงเท่ากับ 2 ซึ่งเขียนเป็น k = 2

ตอบ: k = 2 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

รูปภาพแสดงมุมเอียงของเส้นตรงและค่าสัมประสิทธิ์ความชันสำหรับตัวเลือกต่างๆ สำหรับตำแหน่งของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

การหาความชันของเส้นตรงที่มุมเอียงไปยังแกน Ox ที่ทราบไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะจำคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ความชันและคำนวณแทนเจนต์ของมุมลาดเอียงได้

ตัวอย่าง.

จงหาความชันของเส้นตรงหากมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x เท่ากับ

การตัดสินใจ.

ตามเงื่อนไข. จากนั้น โดยนิยามความชันของเส้นตรง เราคำนวณ .

ตอบ:

ภารกิจในการค้นหามุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x ที่มีความชันที่ทราบนั้นยากขึ้นเล็กน้อย ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ความชัน เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงนั้นแหลมและพบเป็น เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเป็นมุมป้านและสามารถกำหนดได้โดยสูตร .

ตัวอย่าง.

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x หากความชันเป็น 3

การตัดสินใจ.

เนื่องจากตามเงื่อนไข ความชันเป็นบวก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน Ox จึงมีความคม เราคำนวณตามสูตร

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ความชันของเส้นตรงคือ กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน Ox

การตัดสินใจ.

หมายถึง k คือความชันของเส้นตรง คือมุมเอียงของเส้นตรงนี้ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox เนื่องจาก จากนั้นเราใช้สูตรการหามุมเอียงของเส้นตรงของรูปแบบต่อไปนี้ . เราแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขเป็น:

ตอบ:

สมการของเส้นตรงที่มีความชัน

สมการเส้นตรงที่มีความชันมีรูปแบบ โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง b คือจำนวนจริงบางส่วน สมการของเส้นตรงที่มีความชันสามารถใช้ระบุเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน Oy ได้ (สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะไม่มีการนิยามความชัน)

ลองดูความหมายของวลี: "เส้นบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชันของแบบฟอร์ม" ซึ่งหมายความว่าสมการได้รับความพึงพอใจโดยพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง และไม่ใช่โดยพิกัดของจุดอื่นบนระนาบ ดังนั้นหากได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องเมื่อแทนที่พิกัดของจุดแล้วเส้นจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้นประเด็นจะไม่อยู่บนเส้น

ตัวอย่าง.

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน คะแนนยังเป็นของบรรทัดนี้หรือไม่?

การตัดสินใจ.

แทนที่พิกัดของจุดลงในสมการดั้งเดิมของเส้นตรงที่มีความชัน: . เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ดังนั้นจุด M 1 จึงอยู่บนเส้นตรง

เมื่อแทนที่พิกัดของจุด เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง: . ดังนั้น จุด M 2 จึงไม่อยู่บนเส้นตรง

ตอบ:

Dot M 1 เป็นของสาย M 2 ไม่ได้

ควรสังเกตว่าเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีความชัน ผ่านจุดนั้น เนื่องจากเมื่อแทนที่พิกัดลงในสมการ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: .

ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่มีความชันจะกำหนดเส้นตรงบนระนาบที่ผ่านจุดหนึ่งและสร้างมุมที่มีทิศทางบวกของแกน abscissa และ .

ตัวอย่างเช่น ลองวาดเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีความชันของแบบฟอร์ม เส้นนี้ผ่านจุดและมีความชัน เรเดียน (60 องศา) ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ความชันของมันคือ

สมการของเส้นตรงที่มีความชันผ่านจุดที่กำหนด

ตอนนี้เราจะแก้ปัญหาที่สำคัญมาก: เราจะได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k และผ่านจุด

เนื่องจากเส้นผ่านจุด จากนั้นความเท่าเทียมกัน . เราไม่รู้จักตัวเลข b เพื่อกำจัดมัน เราลบจากส่วนซ้ายและขวาของสมการของเส้นตรงที่มีความชันตามลำดับ ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันสุดท้าย ในการทำเช่นนั้นเราได้รับ . ความเท่าเทียมกันนี้คือ สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k ที่ผ่านจุดที่กำหนด.

ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง.

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดนั้น ความชันของเส้นตรงนี้คือ -2

การตัดสินใจ.

จากสภาพที่เรามี . จากนั้นสมการของเส้นตรงที่มีความชันจะอยู่ในรูปแบบ

ตอบ:

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงถ้ารู้ว่ามันผ่านจุดหนึ่งและมุมเอียงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox คือ

การตัดสินใจ.

อันดับแรก เราคำนวณความชันของเส้นตรงที่มีสมการที่เราต้องการ (เราแก้ปัญหาดังกล่าวในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้) A-priory . ตอนนี้ เรามีข้อมูลทั้งหมดที่จะเขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชัน:

ตอบ:

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้นตรง

การตัดสินใจ.

เห็นได้ชัดว่ามุมเอียงของเส้นคู่ขนานกับแกน Ox ตรงกัน (หากจำเป็น ให้ดูบทความ เส้นขนาน) ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นคู่ขนานจึงเท่ากัน จากนั้นความชันของเส้นตรง สมการที่เราต้องหา เท่ากับ 2 เนื่องจากความชันของเส้นตรงคือ 2 ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่มีความชันได้:

ตอบ:

การเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นและในทางกลับกัน

ด้วยความคุ้นเคย สมการของเส้นตรงที่มีความชันจึงไม่สะดวกนักที่จะใช้ในการแก้ปัญหา ในบางกรณี ปัญหาจะแก้ได้ง่ายกว่าเมื่อสมการของเส้นตรงแสดงในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่น สมการของเส้นตรงที่มีความชันไม่อนุญาตให้คุณเขียนพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทันที ดังนั้นเราควรเรียนรู้ที่จะย้ายจากสมการของเส้นตรงที่มีความชันไปเป็นสมการแบบอื่นของเส้นตรงนี้

จากสมการของเส้นตรงที่มีความชัน มันง่ายที่จะได้สมการบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบของแบบฟอร์ม . ในการทำเช่นนี้ เราย้ายเทอม b จากด้านขวาของสมการไปทางด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นหารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้นั้นด้วยความชัน k: การกระทำเหล่านี้นำเราจากสมการของเส้นตรงที่มีความชันไปจนถึงสมการมาตรฐานของเส้นตรง

ตัวอย่าง.

ให้สมการเส้นตรงที่มีความชัน ในรูปแบบบัญญัติ

การตัดสินใจ.

มาทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นกัน: .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้หรือไม่

การตัดสินใจ.

ในการแก้ปัญหานี้ ให้ย้ายจากสมการของเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงนี้: . เรารู้ว่าสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x และ y ในสมการทั่วไปของเส้นตรงคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงนี้ นั่นคือ เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง . เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นขนานกับเวกเตอร์ เนื่องจากความสัมพันธ์นั้นเป็นจริง (หากจำเป็น ให้ดูบทความ) ดังนั้น เวกเตอร์ดั้งเดิมจึงเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงเช่นกัน และดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์ปกติและเส้นเดิม

ตอบ:

ใช่แล้ว.

และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาผกผัน - ปัญหาของการนำสมการเส้นตรงบนระนาบมาสู่สมการของเส้นตรงที่มีความชัน

จากสมการเส้นตรงทั่วไป โดยที่มันง่ายมากที่จะส่งผ่านไปยังสมการความชัน สำหรับสิ่งนี้คุณต้อง สมการทั่วไปแก้ไขโดยตรงเกี่ยวกับ y ในเวลาเดียวกัน เราได้รับ . ความเท่าเทียมกันที่ได้คือสมการของเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ