การแยกรากที่สองของตัวเลข สแควร์รูทคืออะไร

ก่อนการกำเนิดของเครื่องคิดเลข นักเรียนและครูคำนวณรากที่สองด้วยมือ มีหลายวิธีในการคำนวณ รากที่สองตัวเลขด้วยตนเอง บางคนเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ บางคนให้คำตอบที่แน่นอน

ขั้นตอน

ตัวประกอบที่สำคัญ

แยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบที่เป็นตัวเลขกำลังสองคุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือแน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับหมายเลขรูท ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่สามารถหาค่ารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นตัวเลขกำลังสอง เนื่องจาก √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 ตัวประกอบกำลังสอง คือตัวประกอบ ซึ่งเป็นตัวเลขกำลังสอง ขั้นแรก พยายามแยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบกำลังสอง

• ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยตนเอง) ขั้นแรก ลองแยกตัวประกอบ 400 เป็นตัวประกอบกำลังสอง 400 เป็นผลคูณของ 100 นั่นคือหารด้วย 25 ลงตัว - นี่คือเลขกำลังสอง การหาร 400 ด้วย 25 ได้ 16 จำนวน 16 ก็เป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 นั่นคือ 25 x 16 = 400
• สามารถเขียนได้ดังนี้ √400 = √(25 x 16)

1. รากที่สองของผลคูณของพจน์บางพจน์เท่ากับผลคูณของ รากที่สองจากแต่ละเทอม เช่น √(a x b) = √a x √b ใช้กฎนี้และหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองแต่ละตัวแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

   • ในตัวอย่างของเรา หารากที่สองของ 25 และ 16
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. หากจำนวนรูทไม่ได้แยกตัวประกอบเป็นกำลังสอง (และในกรณีส่วนใหญ่) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนในรูปของจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถลดความซับซ้อนของปัญหาได้โดยแยกจำนวนรูทออกเป็นแฟคเตอร์กำลังสองและแฟคเตอร์ธรรมดา จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองและคุณจะได้รากของตัวประกอบสามัญ

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 ตัวเลข 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นสองตัวประกอบกำลังสอง แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบต่อไปนี้ได้ 49 และ 3 แก้ปัญหาได้ดังนี้
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. หากจำเป็น ให้ประเมินค่าของรูทตอนนี้คุณสามารถประเมินค่าของรูท (หาค่าโดยประมาณ) ได้โดยเปรียบเทียบกับค่าของรูทของตัวเลขกำลังสองที่ใกล้เคียงที่สุด (บนทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนรูท คุณจะได้รับค่าของรูทเป็น เศษส่วนทศนิยมซึ่งต้องคูณด้วยตัวเลขหลังเครื่องหมายรูท

   • ลองกลับไปที่ตัวอย่างของเรา หมายเลขรากคือ 3 ตัวเลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 1 (√1 = 1) และ 4 (√4 = 2) ดังนั้น ค่าของ √3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ √3 น่าจะใกล้ 2 มากกว่า 1 การประมาณการของเราคือ √3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายรูท: 7 x 1.7 \u003d 11.9 หากคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งใกล้เคียงกับคำตอบของเรามาก
     • วิธีนี้ใช้ได้กับตัวเลขจำนวนมากเช่นกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณา √35 หมายเลขรากคือ 35 เลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 25 (√25 = 5) และ 36 (√36 = 6) ดังนั้น ค่าของ √35 จึงอยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่าของ √35 ใกล้เคียงกับ 6 มากกว่าค่า 5 มาก (เนื่องจาก 35 น้อยกว่า 36 เพียง 1 รายการ) เราจึงระบุได้ว่า √35 น้อยกว่าเล็กน้อย 6. การตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลขทำให้เราได้คำตอบ 5.92 - เราคิดถูก

4. อีกวิธีหนึ่งคือแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบสำคัญปัจจัยเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 ลงตัวเท่านั้น เขียนลงไป ปัจจัยสำคัญในแถวและหาคู่ของปัจจัยที่เหมือนกัน ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายของรูตได้

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 \u003d 9 x 5 และ 9 \u003d 3 x 3 ดังนั้น √45 \u003d √ (3 x 3 x 5) สามารถนำ 3 ออกจากเครื่องหมายรูต: √45 = 3√5 ตอนนี้เราสามารถประมาณ √5 ได้แล้ว
   • ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้ตัวคูณ 2s สามตัว; หยิบสองสามอันแล้วนำออกจากเครื่องหมายของรูต
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ตอนนี้ เราสามารถประเมิน √2 และ √11 และหาคำตอบโดยประมาณได้

   คำนวณรากที่สองด้วยตนเอง

   การใช้การแบ่งคอลัมน์

   1. วิธีนี้เกี่ยวข้องกับกระบวนการที่คล้ายกับการหารยาวและให้คำตอบที่ถูกต้องขั้นแรก ให้ลากเส้นแนวตั้งที่แบ่งแผ่นงานออกเป็นสองส่วน จากนั้นลากเส้นแนวนอนไปทางขวาและด้านล่างขอบด้านบนของแผ่นงานเล็กน้อยไปยังเส้นแนวตั้ง ตอนนี้แบ่งจำนวนรูทออกเป็นคู่ของตัวเลข โดยเริ่มจากส่วนที่เป็นเศษส่วนหลังจุดทศนิยม ดังนั้น หมายเลข 79520789182.47897 จึงเขียนเป็น "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"

      • ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สองของตัวเลข 780.14 ลากเส้นสองเส้น (ตามภาพ) แล้วเขียนตัวเลขทางซ้ายบนเป็น "7 80, 14" เป็นเรื่องปกติที่หลักแรกจากด้านซ้ายเป็นตัวเลขที่ไม่มีการจับคู่ คำตอบ (รากของตัวเลขที่กำหนด) จะถูกเขียนไว้ที่มุมขวาบน

   2. จากคู่ของตัวเลขแรก (หรือตัวเลขหนึ่งตัว) จากด้านซ้าย ให้หาจำนวนเต็มที่มากที่สุด n ซึ่งกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับคู่ของตัวเลข (หรือหนึ่งตัวเลข) ที่เป็นปัญหา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้หาเลขกำลังสองที่ใกล้เคียงที่สุดแต่น้อยกว่าคู่แรกของตัวเลข (หรือเลขเดี่ยว) จากทางซ้าย แล้วหารากที่สองของเลขกำลังสองนั้น คุณจะได้รับหมายเลข n. เขียนพบ n ที่ด้านบนขวา และเขียนสี่เหลี่ยม n ที่ด้านล่างขวา

      • ในกรณีของเรา เลขแรกทางซ้ายจะเป็นเลข 7 ต่อไป 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. ลบกำลังสองของตัวเลข n ที่คุณเพิ่งพบจากคู่ตัวเลขแรก (หรือตัวเลขหนึ่งตัว) จากด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์ของการคำนวณภายใต้ subtrahend (กำลังสองของตัวเลข n)

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 4 จาก 7 เพื่อให้ได้ 3

   4. ดึงตัวเลขคู่ที่สองออกมาแล้วจดไว้ข้างๆ ค่าที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าจากนั้นเพิ่มตัวเลขที่มุมขวาบนเป็นสองเท่าแล้วเขียนผลลัพธ์ที่ด้านล่างขวาด้วย "_×_=" ต่อท้าย

      • ในตัวอย่างของเรา คู่ที่สองของตัวเลขคือ "80" เขียน "80" หลัง 3 จากนั้น การเพิ่มตัวเลขจากด้านบนขวาเป็นสองเท่า จะได้ 4 เขียน "4_×_=" จากมุมขวาล่าง

   5. เติมช่องว่างทางด้านขวา

      • ในกรณีของเรา ถ้าเราใส่ตัวเลข 8 แทนขีดกลาง แล้ว 48 x 8 \u003d 384 ซึ่งมากกว่า 380 ดังนั้น 8 จึงเป็นตัวเลขที่มากเกินไป แต่ 7 ก็ใช้ได้ เขียน 7 แทนขีดกลางและรับ: 47 x 7 \u003d 329 เขียน 7 จากด้านบนขวา - นี่คือตัวเลขที่สองในรากที่สองที่ต้องการของตัวเลข 780.14

   6. ลบตัวเลขผลลัพธ์จากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์จากขั้นตอนก่อนหน้าใต้ตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย ค้นหาความแตกต่างแล้วเขียนไว้ใต้ตัวเลขที่ลบออก

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 329 จาก 380 ซึ่งเท่ากับ 51

   7. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4หากคู่ตัวเลขที่พังยับเยินเป็นส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขเดิม ให้ใส่ตัวคั่น (จุลภาค) ของจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการจากด้านบนขวา ทางด้านซ้าย ให้ขีดคู่ตัวเลขถัดไป คูณจำนวนที่ด้านบนขวาและเขียนผลลัพธ์ที่ด้านล่างขวาด้วย "_×_=" ต่อท้าย

      • ในตัวอย่างของเรา คู่ตัวเลขถัดไปที่จะถูกทำลายจะเป็นเศษส่วนของตัวเลข 780.14 ดังนั้นให้ใส่ตัวคั่นของจำนวนเต็มและส่วนเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการจากด้านบนขวา รื้อถอน 14 และเขียนลงที่ด้านล่างซ้าย สองเท่าบนขวา (27) คือ 54 ดังนั้นเขียน "54_×_=" ที่ด้านล่างขวา

   8. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6หาจำนวนที่มากที่สุดแทนที่ขีดกลางทางด้านขวา (แทนที่จะใช้ขีดกลาง คุณต้องแทนที่ตัวเลขเดียวกัน) เพื่อให้ผลการคูณน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

      • ในตัวอย่างของเรา 549 x 9 = 4941 ซึ่งน้อยกว่าตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย (5114) เขียน 9 ที่มุมขวาบนแล้วลบผลลัพธ์ของการคูณจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย: 5114 - 4941 = 173

   9. หากคุณต้องการหาตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสำหรับรากที่สอง ให้เขียนเลขศูนย์คู่ถัดจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 4, 5 และ 6 ทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องตามต้องการ (จำนวน ทศนิยม)

   เข้าใจกระบวนการ

   สำหรับการดูดซึม วิธีนี้ให้คิดถึงจำนวนที่คุณต้องการหารากที่สองเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยม S ในกรณีนี้ คุณจะต้องหาความยาวของด้าน L ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น คำนวณค่าของ L โดยที่L² = S

   ป้อนตัวอักษรสำหรับแต่ละหลักในคำตอบของคุณแทนด้วย A หลักแรกในค่าของ L (รากที่สองที่ต้องการ) B จะเป็นตัวเลขที่สอง C ที่สามเป็นต้น

   ระบุตัวอักษรสำหรับตัวเลขนำหน้าแต่ละคู่ระบุด้วย S เป็นคู่แรกของตัวเลขในค่า S โดย S b เป็นคู่ที่สองของหลักเป็นต้น

   อธิบายความเชื่อมโยงของวิธีนี้กับการหารยาวในการดำเนินการหาร ซึ่งในแต่ละครั้งเราสนใจเพียงหลักถัดไปเพียงหลักเดียวของจำนวนที่หารลงตัว เมื่อคำนวณรากที่สอง เราจะใช้ตัวเลขสองหลักตามลำดับ (เพื่อให้ได้ตัวเลขหลักถัดไปในค่ารากที่สอง) .

   1. พิจารณาคู่แรกของตัวเลข Sa ของตัวเลข S (Sa = 7 ในตัวอย่างของเรา) และหารากที่สองของมันในกรณีนี้ หลักแรก A ของค่าที่ต้องการของรากที่สองจะเป็นตัวเลขดังกล่าว ซึ่งกำลังสองที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ S a (นั่นคือ เรากำลังมองหา A ที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันA² ≤ สา< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • สมมุติว่าเราต้องหาร 88962 ด้วย 7; ที่นี่ขั้นตอนแรกจะคล้ายกัน: เราพิจารณาหลักแรกของตัวเลขหาร 88962 (8) และเลือกจำนวนที่มากที่สุดที่เมื่อคูณด้วย 7 ให้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 นั่นคือเรากำลังหา จำนวน d ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีพื้นที่ที่คุณต้องการคำนวณคุณกำลังมองหา L นั่นคือความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็น S. A, B, C เป็นตัวเลขในจำนวน L. คุณสามารถเขียนต่างกัน: 10A + B \u003d L (สำหรับสอง) -ตัวเลข) หรือ 100A + 10B + C \u003d L (สำหรับตัวเลขสามหลัก) เป็นต้น

      • ปล่อยให้เป็น (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². จำไว้ว่า 10A+B เป็นตัวเลขที่ B หมายถึงหนึ่งและ A หมายถึงสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้า A=1 และ B=2 ดังนั้น 10A+B จะเท่ากับตัวเลข 12 (10A+B)²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 100A²คือพื้นที่ของจตุรัสใหญ่ด้านใน B²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กด้านใน 10A×Bคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมแต่ละรูป การเพิ่มพื้นที่ของตัวเลขที่อธิบาย คุณจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม

ข้อเท็จจริงที่ 1
\(\bullet\) ไม่เอาสักหน่อย ตัวเลขติดลบ\(a\) (เช่น \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากหมายเลข \(a\) เรียกว่าหมายเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]สืบเนื่องมาจากคำนิยามที่ว่า \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่สำคัญสำหรับการมีอยู่ของสแควร์รูทและควรจำไว้!
จำได้ว่าจำนวนใด ๆ เมื่อยกกำลังสองให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) คืออะไร เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราต้องหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (ตั้งแต่ \(25=5^2\) )
การหาค่า \(\sqrt a\) เรียกว่าการถอดรากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ตามคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผล

ข้อเท็จจริงที่ 2
สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็ว จะเป็นประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

ข้อเท็จจริงที่ 3
สแควร์รูททำอะไรได้บ้าง?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น ถ้าคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรก คุณต้องหาค่า \(\sqrt(25)\) และ \(\sqrt (49)\ ) แล้วรวมเข้าด้วยกัน เพราะฉะนั้น, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) นิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและยังคงเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) - นี่คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถ กลับใจในทางใดทางหนึ่ง นั่นเป็นเหตุ \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). นอกจากนี้ โชคไม่ดีที่นิพจน์นี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด\(\bullet\) ผลคูณ/ผลคูณของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลคูณ กล่าวคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนมีเหตุผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ สะดวกในการหารากที่สองของ ตัวเลขใหญ่โดยแฟคตอริ่งพวกเขา
ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง. ค้นหา \(\sqrt(44100)\) ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9) ลงตัว ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้รับ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาดูวิธีการป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์โดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (ย่อมาจากนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\) ) ตั้งแต่ \(5=\sqrt(25)\) แล้ว \ สังเกตด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? มาอธิบายด้วยตัวอย่างที่ 1) ตามที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ ลองนึกภาพว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขบางตัว \(a\) ดังนั้นนิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) จึงไม่มีอะไรนอกจาก \(a+3a\) (หนึ่งหมายเลข \(a\) บวกตัวเลขเดียวกันอีกสามตัว \(a\) ) และเรารู้ว่านี่เท่ากับสี่ตัวเลขดังกล่าว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)

ข้อเท็จจริงที่ 4
\(\bullet\) มันมักจะพูดว่า "ไม่สามารถแยกราก" เมื่อไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อหาค่าของตัวเลขบางตัว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถรูทตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่การจะแยกรากออกจากตัวเลข \(3\) นั่นคือการค้นหา \(\sqrt3\) เป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีตัวเลขดังกล่าวที่ยกกำลังสองจะให้ \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือนิพจน์ที่มีตัวเลขดังกล่าว) ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)ฯลฯ ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวก็คือ \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3,14\) ), \(e\) (หมายเลขนี้เรียกว่าหมายเลขออยเลอร์ ประมาณเท่ากับ \(2 ,7\) ) เป็นต้น
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ และทั้งหมดมีเหตุผลและทั้งหมด จำนวนอตรรกยะสร้างชุดที่เรียกว่า ชุดตัวเลขจริง (ของจริง)ชุดนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็น ช่วงเวลานี้เรารู้ว่าเรียกว่าจำนวนจริง

ข้อเท็จจริงที่ 5
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ \(|a|\) เท่ากับระยะทางจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บนจำนวนจริง ไลน์. ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะทางจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นตัวเลขที่ไม่ติดลบ \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) \(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\)
ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
พวกเขาบอกว่าสำหรับจำนวนลบโมดูล "กิน" ลบและจำนวนบวกเช่นเดียวกับตัวเลข \(0\) โมดูลจะไม่เปลี่ยนแปลง
แต่กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากคุณมี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือที่ไม่รู้จักอื่น ๆ ) ภายใต้เครื่องหมายโมดูลเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่ทราบว่าเป็นค่าบวกเท่ากับศูนย์หรือค่าลบ กำจัดโมดูลที่เราไม่สามารถ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเป็นอย่างนั้น: \(|x|\) \(\bullet\) สูตรต่อไปนี้ถือ: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( มีให้ ) a\geqslant 0\]ข้อผิดพลาดต่อไปนี้มักเกิดขึ้น: พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นสิ่งเดียวกัน สิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ก็ไม่เป็นความจริง ก็เพียงพอที่จะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว ลองเอาตัวเลข \(-1\) แทน \(a\) จากนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (เพราะเป็น เป็นไปไม่ได้ภายใต้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบ!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ตั้งแต่ \(\sqrt(a^2)=|a|\) จากนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
กล่าวคือ เมื่อดึงรากออกจากจำนวนที่อยู่ในระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ตั้งค่าโมดูล ปรากฎว่ารูทของตัวเลขเท่ากับ \(-25 \) ; แต่เราจำได้ ซึ่งตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถ: เมื่อทำการแตกรูท เราควรได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลังคู่ไม่เป็นลบ)

ข้อเท็จจริงที่ 6
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?
\(\bullet\) จริงสำหรับรากที่สอง: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aตัวอย่าง:
1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เราแปลงนิพจน์ที่สองเป็น \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ดังนั้น เนื่องจาก \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ระหว่างจำนวนเต็มใด \(\sqrt(50)\) ?
ตั้งแต่ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) เปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0,5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งให้ทั้งสองข้าง))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((สี่เหลี่ยมทั้งสองส่วน))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(จัดตำแหน่ง)\]เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิดและ \(\sqrt 2-1<0,5\) .
โปรดทราบว่าการเพิ่มจำนวนหนึ่งลงในอสมการทั้งสองข้างไม่มีผลกับเครื่องหมาย การคูณ/หารอสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนบวกก็ไม่มีผลกับเครื่องหมายของมันเช่นกัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะกลับเครื่องหมายของอสมการ!
สมการ/อสมการทั้งสองข้างสามารถยกกำลังสองได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองข้างไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างที่แล้ว คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างในอสมการ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) โปรดทราบว่า \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2\ประมาณ 1,4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1,7 \end(จัดตำแหน่ง)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลข! \(\bullet\) ในการแยกรูท (หากแยกออกมา) จากจำนวนมหาศาลที่ไม่ได้อยู่ในตารางกำลังสอง ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาก่อนว่ามันคือ "ร้อย" อันไหน ตามด้วย "หลักสิบ" แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่างกัน
เอา \(\sqrt(28224)\) เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) และอื่นๆ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(10\,000\) และ \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(100\) และ \(200\)
ทีนี้มาดูว่าตัวเลขของเราเป็น “หลักสิบ” ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) และ \(130\) ) เรายังรู้จากตารางกำลังสองว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) เป็นต้น แล้ว \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจะเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(160^2\) และ \(170^2\) ดังนั้นตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้ายกัน จำตัวเลขหลักเดียวเมื่อยกกำลังสองที่ส่วนท้าย \ (4 \) ? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาลองดูกัน ค้นหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) โว้ว!

เพื่อที่จะแก้ข้อสอบคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎี ซึ่งแนะนำทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม และอื่นๆ มากมาย เมื่อมองแวบแรก มันอาจจะดูค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม การหาแหล่งที่มีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างง่ายดายและเข้าใจได้ง่ายสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับ อันที่จริงแล้ว เป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ได้เสมอ และการหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้กระทั่งบนอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญ ไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่ทำข้อสอบเท่านั้น

1. เพราะมันทำให้โลกของคุณกว้างขึ้น. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับทุกคนที่ต้องการคำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับความรู้ของโลก ทุกสิ่งในธรรมชาติได้รับคำสั่งและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างแม่นยำ โดยที่มันเป็นไปได้ที่จะเข้าใจโลก
2. เพราะมันพัฒนาสติปัญญา. การศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลเรียนรู้ที่จะคิดและให้เหตุผลอย่างมีตรรกะเพื่อกำหนดความคิดอย่างถูกต้องและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์สรุปข้อสรุป

เราขอเชิญคุณให้ประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาของเราเป็นการส่วนตัว

วิธีการสกัดราก จากหมายเลข ในบทความนี้ เราจะเรียนรู้วิธีหารากที่สองของตัวเลขสี่และห้าหลัก

ลองหารากที่สองของปี 1936 เป็นตัวอย่าง

เพราะฉะนั้น, .

ตัวเลขสุดท้ายในปี 2479 คือ 6 กำลังสองของ 4 และ 6 สิ้นสุดที่ 6 ดังนั้น 2479 สามารถเป็นกำลังสองของ 44 หรือ 46 ยังคงต้องตรวจสอบโดยใช้การคูณ

วิธี,

ลองแยกรากที่สองของจำนวน 15129 ออกมา

เพราะฉะนั้น, .

หลักสุดท้ายใน 15129 คือ 9 เลข 9 ลงท้ายด้วยกำลังสองของ 3 และ 7 ดังนั้น 15129 สามารถเป็นกำลังสองของ 123 หรือ 127 ได้ ลองตรวจกับการคูณกัน

วิธี,

วิธีการรูท - วิดีโอ

และตอนนี้ฉันแนะนำให้คุณดูวิดีโอของ Anna Denisova - "วิธีสกัดราก " ผู้เขียนเว็บไซต์ " ฟิสิกส์ง่ายๆ" ซึ่งเธออธิบายวิธีแยกรากที่สองและรากที่สามโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

วิดีโอกล่าวถึงหลายวิธีในการแยกราก:

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแยกรากที่สอง

2. จับคู่โดยใช้กำลังสองของผลรวม

3. วิถีบาบิโลน

4. วิธีการแยกสแควร์รูทในคอลัมน์

5. วิธีที่รวดเร็วในการแยกรากที่สาม

6. วิธีการแยกรากที่สามในคอลัมน์

การแตกรากเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง นั่นคือ เมื่อแยกรากของตัวเลข X ออกมาแล้ว เราจะได้ตัวเลขที่ยกกำลังสอง ได้จำนวน X เท่ากัน

การแยกรูทเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้างง่าย ตารางสี่เหลี่ยมสามารถทำให้การสกัดทำงานได้ง่ายขึ้น เพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะจำสี่เหลี่ยมและรากทั้งหมดด้วยใจ และตัวเลขอาจมีขนาดใหญ่

การแยกรากออกจากตัวเลข

การแยกรากที่สองของตัวเลขนั้นง่าย ยิ่งกว่านั้นไม่สามารถทำได้ในทันที แต่จะค่อยๆ ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ √256 ในขั้นต้น เป็นเรื่องยากสำหรับคนที่ไม่รู้คำตอบในทันที จากนั้นเราจะทำตามขั้นตอน อันดับแรก เราหารด้วยเลข 4 เท่านั้น จากนั้นจึงนำกำลังสองที่เลือกมาเป็นราก

เสมอ: √(64 4) จากนั้นจะเท่ากับ 2√64 และอย่างที่ทราบตามตารางสูตรคูณ 64 = 8 8. คำตอบจะเป็น 2*8=16.

สมัครหลักสูตร "เร่งการนับจิตไม่คิดเลขในใจ" เพื่อเรียนรู้วิธีบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังสอง และแม้แต่การรูทอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วัน คุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้ลูกเล่นง่ายๆ เพื่อลดความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ ตัวอย่างที่ชัดเจน และงานที่เป็นประโยชน์

การสกัดรากที่ซับซ้อน

รากที่สองไม่สามารถคำนวณจากจำนวนลบได้ เนื่องจากจำนวนใดๆ ยกกำลังสองเป็นจำนวนบวก!

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวน i ที่ยกกำลังสองคือ -1 นั่นคือ i2=-1

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีตัวเลขที่ได้จากการรูทของตัวเลข -1

นั่นคือ เป็นไปได้ที่จะคำนวณรากของจำนวนลบ แต่สิ่งนี้ใช้ได้กับคณิตศาสตร์ชั้นสูงแล้ว ไม่ใช่โรงเรียน

ลองพิจารณาตัวอย่างการสกัดรากดังกล่าว: √(-49)=7*√(-1)=7i.

เครื่องคิดเลขรูทออนไลน์

ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขของเรา คุณสามารถคำนวณการสกัดตัวเลขจากรากที่สอง:

การแปลงนิพจน์ที่มีการดำเนินการแยกรูท

สาระสำคัญของการแปลงนิพจน์รากคือการแยกจำนวนรากเป็นจำนวนที่ง่ายกว่า ซึ่งสามารถแยกรากออกได้ เช่น 4, 9, 25 เป็นต้น

มาดูตัวอย่างกัน √625 เราหารนิพจน์รากศัพท์ด้วยจำนวน 5 เราได้ √(125 5) เราทำซ้ำการดำเนินการ √(25 25) แต่เรารู้ว่า 25 คือ 52 คำตอบคือ 5*5=25

แต่มีตัวเลขที่วิธีนี้ไม่สามารถคำนวณรูทได้และคุณเพียงแค่ต้องรู้คำตอบหรือมีตารางกำลังสองอยู่ในมือ

√289=√(17*17)=17

ผล

เราได้พิจารณาเพียงส่วนยอดของภูเขาน้ำแข็งเพื่อให้เข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น - ลงทะเบียนในหลักสูตรของเรา: เร่งการนับจิต - ไม่ใช่เลขคณิตทางจิต

จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่เรียนรู้กลอุบายมากมายสำหรับการคูณ บวก คูณ หาร การคำนวณเปอร์เซ็นต์ที่ง่ายและรวดเร็ว แต่ยังต้องฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาอีกด้วย! การนับจิตยังต้องอาศัยสมาธิและสมาธิเป็นอย่างมาก ซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันในการแก้ปัญหาที่น่าสนใจ

คณิตศาสตร์ถือกำเนิดขึ้นเมื่อมีคนรู้จักตัวเองและเริ่มวางตำแหน่งตัวเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ คำนวณสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่สนับสนุนหนึ่งในศาสตร์พื้นฐานในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับนิพจน์ทางกายภาพได้ในภายหลังข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากความเป็นนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงขีดจำกัดของความซับซ้อนเมื่อตัวเลขทั้งหมด" แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถสนับสนุนได้ง่าย นอกเหนือไปจากระนาบการคำนวณ

มันเริ่มต้นอย่างไร

การกล่าวถึงการรูตครั้งแรกซึ่งปัจจุบันแสดงเป็น √ ถูกบันทึกไว้ในงานเขียนของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลน ซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขาดูคล้ายกับรูปแบบปัจจุบันเล็กน้อย - นักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช อี พวกเขาได้สูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีหารากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการส่งออก √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบได้เฉพาะในทศนิยมสิบตำแหน่งเท่านั้น

นอกจากนี้ รากถูกใช้หากจำเป็นต้องหาด้านของรูปสามเหลี่ยม โดยจะต้องรู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง จะไม่มีทางหลุดจากการถอนรากได้

นอกจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุของบทความยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดๆ ที่รากไม่ถูกสกัดออกมาโดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว .

ที่มาของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนที่กำหนดขึ้นจากรากเหมือนต้นไม้ ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (ใครๆ ก็ติดตามรูปแบบได้ - ทุกอย่างที่มีโหลดเชิงความหมาย "ราก" เป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรืออาการปวดตะโพก)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อ ๆ มาหยิบแนวคิดนี้ขึ้นมาโดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ารากที่สองถูกนำมาจากจำนวนที่กำหนด a พวกเขาเขียน R 2 a “ขีด” √ ซึ่งคุ้นเคยกับรูปลักษณ์สมัยใหม่ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่สองของ y คือจำนวน z ที่มีกำลังสองคือ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้มีความเกี่ยวข้องเฉพาะสำหรับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

โดยทั่วไป ซึ่งใช้ได้สำหรับกำหนดรูทพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากความจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เราจึงมี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น จึงมีการสำแดงความรักต่อมันหลายอย่าง ไม่ได้แสดงออกมาในการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่นพร้อมกับกิจกรรมที่น่าสนใจเช่นวัน Pi วันหยุดของรากที่สองก็มีการเฉลิมฉลองเช่นกัน มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งในหนึ่งร้อยปีและกำหนดตามหลักการต่อไปนี้: ตัวเลขที่แสดงวันและเดือนตามลำดับต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นในครั้งต่อไปจะมีการเฉลิมฉลองวันหยุดนี้ในวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต ชะตากรรมนี้ไม่ผ่านและ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายแบบ ที่ง่ายที่สุด แต่ในเวลาเดียวกันค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณเลขคณิตปกติซึ่งมีดังนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท ตัวเลขคี่จะถูกลบในทางกลับกัน - จนกว่าผลลัพธ์ที่เหลือจะน้อยกว่าการลบหนึ่งหรือเท่ากับศูนย์ ในที่สุดจำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น การคำนวณรากที่สองของ 25:

เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

สำหรับกรณีดังกล่าว มีการขยายซีรีส์เทย์เลอร์:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าจาก 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟิกของฟังก์ชัน z=√y

พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ แผนภูมิของเธอมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งเติบโตจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องข้ามจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงเวลาจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นระยะ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ก็เป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y เติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้จึงอยู่ที่มุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก ตัวอย่างเช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันยกกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีสำหรับการสร้างความแตกต่างด้วยการบูรณาการ เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองแทนด้วยฟังก์ชันกำลังทั่วไป

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้ รากที่สองมีความต้องการสูง เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริทึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและอิงจากการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในฟิลด์เชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว เป็นเรื่องของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามเรื่องการได้รากดีกรีคู่จากจำนวนลบ นี่คือลักษณะที่หน่วยจินตภาพ i ปรากฏ ซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองและตัวจำแนกเชิงลบจึงมีคำตอบ ใน C สำหรับรากที่สอง คุณสมบัติเดียวกันกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดในนิพจน์รากจะถูกลบออก