เขียนสมการเส้นตรงจากจุดต่างๆ สมการทั่วไปของเส้นตรง: คำอธิบาย ตัวอย่าง การแก้ปัญหา

ให้สองแต้ม เอ็ม(X 1 ,ที่ 1) และ นู๋(X 2,y 2). ลองหาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดเหล่านี้กัน

เนื่องจากเส้นนี้ผ่านจุด เอ็มจากนั้นตามสูตร (1.13) สมการจะมีรูปแบบ

ที่ – Y 1 = K(X-x 1),

ที่ไหน Kคือความชันที่ไม่รู้จัก

ค่าสัมประสิทธิ์นี้พิจารณาจากเงื่อนไขว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด นู๋ซึ่งหมายความว่าพิกัดเป็นไปตามสมการ (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

จากที่นี่คุณจะพบความชันของเส้นนี้:

,

หรือหลังการแปลงร่าง

(1.14)

สูตร (1.14) กำหนด สมการของเส้นที่ลากผ่านจุดสองจุด เอ็ม(X 1, Y 1) และ นู๋(X 2, Y 2).

ในกรณีพิเศษเมื่อแต้ม เอ็ม(อา, 0), นู๋(0, บี), แต่ ¹ 0, บี¹ 0, นอนบนแกนพิกัด สมการ (1.14) ใช้รูปแบบที่ง่ายกว่า

สมการ (1.15)เรียกว่า สมการของเส้นตรงในเซ็กเมนต์, ที่นี่ แต่และ บีหมายถึงส่วนที่ตัดเป็นเส้นตรงบนแกน (รูปที่ 1.6)

รูปที่1.6

ตัวอย่าง 1.10. เขียนสมการเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม(1, 2) และ บี(3, –1).

. ตาม (1.14) สมการของเส้นตรงที่ต้องการจะมีรูปแบบ

2(Y – 2) = -3(X – 1).

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายในที่สุดเราก็ได้สมการที่ต้องการ

3X + 2Y – 7 = 0.

ตัวอย่าง 1.11 เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุด เอ็ม(2, 1) และจุดตัดของเส้น X+ ย- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. เราหาพิกัดของจุดตัดของเส้นโดยแก้สมการเหล่านี้ด้วยกัน

ถ้าเราบวกสมการเหล่านี้ด้วยเทอม เราจะได้ 2 X+1 = 0 เพราะเหตุใด แทนค่าที่หาได้ในสมการใดๆ เราจะหาค่าของพิกัด ที่:

ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (2, 1) และ :

หรือ .

ดังนั้น หรือ -5( Y – 1) = X – 2.

ในที่สุด เราก็ได้สมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ X + 5Y – 7 = 0.

ตัวอย่าง 1.12 หาสมการเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม(2.1) และ นู๋(2,3).

โดยใช้สูตร (1.14) เราจะได้สมการ

มันไม่สมเหตุสมผลเลยเพราะตัวส่วนที่สองเป็นศูนย์ จะเห็นได้จากสภาพของปัญหาว่า abscissas ของทั้งสองจุดมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นที่ต้องการจะขนานกับแกน ออยและสมการของมันคือ: x = 2.

ความคิดเห็น . ถ้าเมื่อเขียนสมการของเส้นตรงตามสูตร (1.14) ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่งกลายเป็นศูนย์ สมการที่ต้องการจะได้มาโดยให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์

ลองพิจารณาวิธีอื่นๆ ในการกำหนดเส้นตรงบนระนาบ

1. ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด หลี่และประเด็น เอ็ม 0(X 0, Y 0) อยู่บนบรรทัดนี้ (รูปที่ 1.7)

รูปที่1.7

หมายถึง เอ็ม(X, Y) จุดโดยพลการบนเส้น หลี่. เวกเตอร์และ มุมฉาก โดยใช้เงื่อนไข orthogonality สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้รับ or แต่(X – X 0) + บี(Y – Y 0) = 0.

เราได้สมการเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ เวกเตอร์นี้เรียกว่า เวกเตอร์ปกติ เป็นเส้นตรง หลี่. สมการผลลัพธ์สามารถเขียนใหม่เป็น

โอ้ + หวู่ + กับ= 0 โดยที่ กับ = –(แต่X 0 + โดย 0), (1.16),

ที่ไหน แต่และ ที่คือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉาก

เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

2. เส้นบนระนาบสามารถกำหนดได้ดังนี้: ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับเส้นที่กำหนด หลี่และจุด เอ็ม 0(X 0, Y 0) อยู่บนบรรทัดนี้ อีกครั้งใช้จุดโดยพลการ เอ็ม(X, y) บนเส้นตรง (รูปที่ 1.8)

รูปที่ 1.8

เวกเตอร์และ คอลลิเนียร์

ให้เราเขียนเงื่อนไขของ collinearity ของเวกเตอร์เหล่านี้: , โดยที่ ตู่เป็นจำนวนตามอำเภอใจ เรียกว่า พารามิเตอร์ ลองเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัด:

สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการพาราเมตริก ตรง. ให้เราแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการเหล่านี้ ตู่:

สมการเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

. (1.18)

สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง. โทรแบบเวกเตอร์ เวกเตอร์ทิศทางตรง .

ความคิดเห็น . มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง หลี่แล้วเวกเตอร์ทิศทางของมันสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ เนื่องจาก i.e.

ตัวอย่าง 1.13 เขียนสมการเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม 0(1, 1) ขนานกับเส้น 3 X + 2ที่– 8 = 0.

การตัดสินใจ . เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดและเส้นที่ต้องการ ลองใช้สมการเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม 0 ด้วยเวกเตอร์ปกติที่กำหนด 3( X –1) + 2(ที่– 1) = 0 หรือ 3 X + 2ปี- 5 \u003d 0 เราได้สมการของเส้นตรงที่ต้องการ

ให้เส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1; y 1) และ M 2 (x 2; y 2) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 มีรูปแบบ y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

ที่ไหน k - ยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด M 2 (x 2 y 2) ดังนั้นพิกัดของจุดนี้จึงต้องเป็นไปตามสมการ (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

จากที่นี่เราจะพบว่าการแทนที่ค่าที่พบ k เป็นสมการ (10.6) เราได้รับสมการของเส้นตรงผ่านจุด M 1 และ M 2:

สันนิษฐานว่าในสมการนี้ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

ถ้า x 1 \u003d x 2 เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y I) และ M 2 (x 2, y 2) จะขนานกับแกน y สมการของมันคือ x = x 1 .

ถ้า y 2 \u003d y I สมการของเส้นตรงสามารถเขียนได้เป็น y \u003d y 1 เส้นตรง M 1 M 2 จะขนานกับแกน x

สมการของเส้นตรงในเซ็กเมนต์

ให้เส้นตรงตัดแกน Ox ที่จุด M 1 (a; 0) และแกน Oy - ที่จุด M 2 (0; b) สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
เหล่านั้น.
. สมการนี้เรียกว่า สมการของเส้นตรงเป็นเซ็กเมนต์เพราะ ตัวเลข a และ b ระบุว่าส่วนใดของเส้นตรงที่ตัดบนแกนพิกัด.

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

หาสมการเส้นตรงที่ลากผ่าน คะแนนที่กำหนด Mo (x O; y o) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด n = (A; B)

ใช้จุดใดก็ได้ M(x; y) บนเส้นตรงแล้วพิจารณาเวกเตอร์ M 0 M (x - x 0; y - y o) (ดูรูปที่ 1) เนื่องจากเวกเตอร์ n และ M o M ตั้งฉาก ผลคูณของสเกลาร์จึงเท่ากับศูนย์ นั่นคือ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

สมการ (10.8) เรียกว่า สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด .

เวกเตอร์ n = (A; B) ตั้งฉากกับเส้นเรียกว่าปกติ เวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ .

สมการ (10.8) สามารถเขียนใหม่เป็น อา + อู๋ + C = 0 , (10.9)

โดยที่ A และ B เป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติ C \u003d -Ax o - Vu o - สมาชิกอิสระ สมการ (10.9) คือสมการทั่วไปของเส้นตรง(ดูรูปที่ 2).

รูปที่ 1 รูปที่ 2

สมการ Canonical ของเส้นตรง

,

ที่ไหน
คือพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน และ
- เวกเตอร์ทิศทาง

เส้นโค้งของวงกลมลำดับที่สอง

วงกลมคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบที่เท่ากันจากจุดที่กำหนด ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

สมการ Canonical ของวงกลมรัศมี R มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด
:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากจุดศูนย์กลางของสเตคตรงกับจุดกำเนิด สมการจะมีลักษณะดังนี้:

วงรี

วงรีคือชุดของจุดในระนาบซึ่งรวมระยะทางจากแต่ละจุดถึงจุดที่กำหนดสองจุด และ ซึ่งเรียกว่า foci เป็นค่าคงที่
, มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส
.

สมการมาตรฐานของวงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่บนแกน Ox และมีจุดกำเนิดอยู่ตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสมีรูปแบบ
จี เดอเอ ความยาวของกึ่งแกนหลักข คือความยาวของครึ่งแกนรอง (รูปที่ 2)

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

มีเส้นมากมายที่สามารถลากผ่านจุดใดก็ได้

ผ่านจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใด ๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว

เส้นที่ไม่บังเอิญสองเส้นในระนาบที่ตัดกันที่จุดเดียวหรือ are

ขนานกัน (ต่อจากอันที่แล้ว)

มีสามตัวเลือกในพื้นที่ 3 มิติ ตำแหน่งสัมพัทธ์สองเส้นตรง:

• เส้นตัดกัน

• เส้นตรงขนานกัน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง ไลน์- เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับแรก: ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรง

กำหนดบนระนาบโดยสมการของดีกรีหนึ่ง (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปตรง.

คำนิยาม. เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

และค่าคงที่ A, Bไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, Bและ กับกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- เส้นผ่านต้นทาง

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน OU

. B = C = 0, A ≠ 0- เส้นตรงกับแกน OU

. A = C = 0, B ≠ 0- เส้นตรงกับแกน โอ้

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงเป็น หลากหลายรูปแบบแล้วแต่กรณี

เงื่อนไขเบื้องต้น

สมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดโดยสมการ

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

การตัดสินใจ. มาเขียนที่ A \u003d 3 และ B \u003d -1 สมการของเส้นตรง: 3x - y + C \u003d 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

เราแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราได้รับ: 3 - 2 + C = 0 ดังนั้น

ค = -1 รวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 \u003d 0

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในช่องว่าง M 1 (x 1 , y 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2 , z 2),แล้ว สมการเส้นตรง,

ผ่านจุดเหล่านี้:

หากตัวส่วนใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนนั้นลดความซับซ้อนลง:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = kเรียกว่า ปัจจัยความชัน ตรง.

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

การตัดสินใจ. ใช้สูตรข้างต้นเราได้รับ:

สมการของเส้นตรงโดยจุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง อา + อู๋ + C = 0นำมาสู่แบบฟอร์ม:

และกำหนด จากนั้นสมการผลลัพธ์จะเรียกว่า

สมการเส้นตรงที่มีความชัน k

สมการของเส้นตรงบนจุดและเวกเตอร์กำกับ

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่ภารกิจ

เส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม. ทุกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (α 1 , α 2)ซึ่งส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

Aα 1 + Bα 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

การตัดสินใจ. เราจะมองหาสมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำจำกัดความว่า

สัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น เอ = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบดังนี้ ขวาน + Ay + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x=1, y=2เราได้รับ C/ A = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วน

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Wu + C = 0 C≠0 จากนั้นหารด้วย -C เราจะได้:

หรือ ที่ไหน

ความรู้สึกทางเรขาคณิตสัมประสิทธิ์โดยที่สัมประสิทธิ์ a เป็นพิกัดของจุดตัดกัน

ตรงด้วยเพลา โอ้,เอ ข- พิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกน อ.

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0หาสมการของเส้นตรงนี้เป็นส่วนๆ

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ อา + อู๋ + C = 0หารด้วยตัวเลข , ซึ่งถูกเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราจะได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ μ * C< 0.

R- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้น

เอ φ - มุมที่เกิดจากฉากนี้ตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง. จากสมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0. จำเป็นต้องเขียน หลากหลายชนิดสมการ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นตรงนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นตรงนี้ที่มีความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้นตรง:

cos φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี=5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

คำนิยาม. ถ้าให้สองบรรทัด y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2แล้วมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกัน if k 1 = k 2. สอง เส้นตรงตั้งฉากกัน,

ถ้า k 1 \u003d -1 / k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง อา + อู๋ + C = 0และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ถ้ายัง С 1 \u003d λСแล้วเส้นจะตรงกัน พิกัดจุดตัดของสองเส้น

จะพบว่าเป็นการแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม. เส้นที่ลากผ่านจุด ม 1 (x 1, y 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + b

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),แล้วระยะทางถึงเส้น อา + อู๋ + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์. ปล่อยให้ประเด็น ม 1 (x 1, y 1)- ฐานตั้งฉากหลุดจากจุด เอ็มสำหรับให้

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด เอ็มและ M 1:

(1)

พิกัด x 1และ 1สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนด M 0 ในแนวตั้งฉาก

เส้นที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ได้ เราจะได้:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด ในบทความ" " ฉันสัญญาว่าคุณจะวิเคราะห์วิธีที่สองในการแก้ปัญหาที่นำเสนอในการหาอนุพันธ์ด้วยกราฟฟังก์ชันที่กำหนดและแทนเจนต์ของกราฟนี้ เราจะสำรวจวิธีนี้ใน , ไม่ควรพลาด! ทำไมต่อไป?

ความจริงก็คือจะใช้สูตรสมการของเส้นตรงที่นั่น แน่นอน เราสามารถแสดงสูตรนี้และแนะนำให้คุณเรียนรู้มัน แต่เป็นการดีกว่าที่จะอธิบายว่ามันมาจากไหน (ที่มาอย่างไร) มันจำเป็น! ถ้าลืมก็รีบกู้คืนจะไม่ใช่เรื่องยาก รายละเอียดทุกอย่างด้านล่าง เรามีจุด A สองจุดบนระนาบพิกัด(x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) เส้นตรงถูกลากผ่านจุดที่ระบุ:

นี่คือสูตรโดยตรง:

*นั่นคือ เมื่อแทนที่พิกัดเฉพาะของจุด เราจะได้สมการของรูปแบบ y=kx+b

** หากสูตรนี้เป็นเพียง "ท่องจำ" มีความเป็นไปได้สูงที่จะสับสนกับดัชนีเมื่อ X. นอกจากนี้ ดัชนีสามารถแสดงได้หลายวิธี เช่น

ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจความหมาย

ทีนี้ที่มาของสูตรนี้ ทุกอย่างง่ายมาก!

สามเหลี่ยม ABE และ ACF มีความคล้ายคลึงกันใน มุมแหลม(สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกัน สามเหลี่ยมมุมฉาก). จากนี้ไปอัตราส่วนขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันคือ:

ตอนนี้เราเพียงแค่แสดงส่วนเหล่านี้ในแง่ของความแตกต่างในพิกัดของจุด:

แน่นอนว่าจะไม่มีข้อผิดพลาดหากคุณเขียนความสัมพันธ์ขององค์ประกอบในลำดับที่ต่างกัน (สิ่งสำคัญคือต้องเก็บการติดต่อไว้):

ผลที่ได้คือสมการเดียวกันกับเส้นตรง มันคือทั้งหมด!

นั่นคือไม่ว่าจะกำหนดจุดเอง (และพิกัด) อย่างไร เมื่อเข้าใจสูตรนี้ คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอ

สามารถอนุมานสูตรได้โดยใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ แต่หลักการของการได้มาจะเหมือนกัน เนื่องจากเราจะพูดถึงสัดส่วนของพิกัดของพวกมัน ในกรณีนี้ ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉากก็ใช้ได้ ในความคิดของฉัน ข้อสรุปที่อธิบายข้างต้นนั้นเข้าใจได้ง่ายกว่า))

ดูเอาต์พุตผ่านพิกัดเวกเตอร์ >>>

ให้สร้างเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่ผ่านจุดที่กำหนด A (x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) สองจุด ให้เราทำเครื่องหมายจุด C โดยพลการบนเส้นด้วยพิกัด ( x; y). เรายังแสดงถึงเวกเตอร์สองตัว:

เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับเวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นคู่ขนาน (หรือบนเส้นเดียว) พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วน นั่นคือ:

- เราเขียนความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง:

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่มีพิกัด (2;5) และ (7:3)

คุณไม่สามารถสร้างเส้นได้เอง เราใช้สูตร:

เป็นสิ่งสำคัญที่คุณจะต้องจับจดหมายโต้ตอบเมื่อวาดอัตราส่วน คุณไม่ผิดถ้าคุณเขียน:

คำตอบ: y=-2/5x+29/5 ไป y=-0.4x+5.8

เพื่อให้แน่ใจว่าได้สมการผลลัพธ์ถูกต้อง ให้ตรวจสอบ - แทนที่พิกัดข้อมูลลงในเงื่อนไขของจุด คุณควรได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันหวังว่าเนื้อหาจะเป็นประโยชน์กับคุณ

ขอแสดงความนับถือ Alexander

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

บทความนี้จะกล่าวถึงหัวข้อสมการของเส้นตรงบนระนาบ: พิจารณาประเภทของสมการเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรง มากำหนดทฤษฎีบทและพิสูจน์กัน มาดูกันว่าสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงคืออะไร และเราจะเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นได้อย่างไร เราจะรวบรวมทฤษฎีทั้งหมดที่มีภาพประกอบและแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

Yandex.RTB R-A-339285-1

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y บนระนาบ

ทฤษฎีบท 1

สมการของดีกรีแรกใดๆ ที่มีรูปแบบ A x + B y + C \u003d 0 โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริงบางส่วน (A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน) กำหนดเส้นตรงใน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน ในทางกลับกัน เส้นใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบจะถูกกำหนดโดยสมการที่มีรูปแบบ A x + B y + C = 0 สำหรับชุดค่า A, B, C.

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วยสองจุด เราจะพิสูจน์แต่ละข้อ

1. ให้เราพิสูจน์ว่าสมการ A x + B y + C = 0 กำหนดเส้นตรงบนระนาบ

ให้มีจุด M 0 (x 0 , y 0) ซึ่งพิกัดตรงกับสมการ A x + B y + C = 0 ดังนั้น: A x 0 + B y 0 + C = 0 . ลบจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x + B y + C \u003d 0 ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 เราได้สมการใหม่ที่ดูเหมือน A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . เทียบเท่ากับ A x + B y + C = 0 .

สมการผลลัพธ์ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, ปี - y 0 ) ดังนั้นเซตของจุด M (x, y) กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมว่าเส้นตรงตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ n → = (A, B) . เราสามารถสรุปได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้น แต่เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) จะไม่ตั้งฉาก และความเท่าเทียมกัน A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 จะไม่เป็นจริง

ดังนั้นสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 กำหนดเส้นบางเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบและด้วยเหตุนี้สมการที่เทียบเท่า A x + B y + C \u003d 0 กำหนดบรรทัดเดียวกัน ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ส่วนแรกของทฤษฎีบทแล้ว

1. ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรงใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบสามารถหาได้จากสมการของดีกรีแรก A x + B y + C = 0

ลองกำหนดเส้นตรง a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ จุด M 0 (x 0 , y 0) ที่เส้นนี้ผ่าน เช่นเดียวกับเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (A , B)

ให้มีจุด M (x , y) ด้วย - จุดลอยตัวของเส้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์ n → = (A , B) และ M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) จะตั้งฉากกัน และผลคูณของสเกลาร์เป็นศูนย์:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

ลองเขียนสมการใหม่ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 กำหนด C: C = - A x 0 - B y 0 และสุดท้ายได้สมการ A x + B y + C = 0

ดังนั้น เราได้พิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทแล้ว และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมดแล้ว

คำจำกัดความ 1

สมการที่ดูเหมือน A x + B y + C = 0 - นี้ สมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอ เอ็กซ์ วาย .

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นตรงที่ให้ไว้บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่และสมการทั่วไปของมันถูกเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออก กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นเดิมสอดคล้องกับสมการทั่วไป สมการทั่วไปของเส้นตรงสอดคล้องกับเส้นตรงที่กำหนด

จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทว่าสัมประสิทธิ์ A และ B สำหรับตัวแปร x และ y เป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง ซึ่งได้จากสมการทั่วไปของเส้นตรง A x + B y + ค = 0 .

พิจารณาตัวอย่างเฉพาะของสมการทั่วไปของเส้นตรง

ให้สมการ 2 x + 3 y - 2 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้คือเวกเตอร์ n → = (2 , 3) ​​​​​​. วาดเส้นตรงที่กำหนดในภาพวาด

นอกจากนี้ยังสามารถโต้แย้งได้: เส้นตรงที่เราเห็นในภาพวาดถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x + 3 y - 2 = 0 เนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดของเส้นตรงที่กำหนดสอดคล้องกับสมการนี้

เราจะได้สมการ λ A x + λ B y + λ C = 0 โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการเส้นตรงทั่วไปด้วยจำนวน λ ไม่ใช่ ศูนย์. สมการที่ได้จะเท่ากับสมการทั่วไปเดิม ดังนั้น จะอธิบายเส้นเดียวกันในระนาบ

คำจำกัดความ 2

เติมสมการทั่วไปของเส้นตรง- สมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C \u003d 0 ซึ่งตัวเลข A, B, C ไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นสมการคือ ไม่สมบูรณ์.

ให้เราวิเคราะห์รูปแบบทั้งหมดของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรง

1. เมื่อ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 สมการทั่วไปจะกลายเป็น B y + C \u003d 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ที่ขนานกับแกน O x เนื่องจากสำหรับค่าจริงใดๆ ของ x ตัวแปร y จะรับค่า - ซี บี . กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C \u003d 0 เมื่อ A \u003d 0, B ≠ 0 กำหนดตำแหน่งของจุด (x, y) ซึ่งมีพิกัดเท่ากับจำนวนเดียวกัน - ซี บี .
2. ถ้า A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 สมการทั่วไปจะกลายเป็น y \u003d 0 สมการที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดแกน x O x
3. เมื่อ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 เราจะได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C \u003d 0, การกำหนดเส้นตรงขนานกับแกน y
4. ให้ A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, จากนั้นสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ x \u003d 0 และนี่คือสมการของเส้นพิกัด O y
5. ในที่สุดเมื่อ A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ A x + B y \u003d 0 และสมการนี้อธิบายเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด อันที่จริงคู่ของตัวเลข (0 , 0) สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน A x + B y = 0 เนื่องจาก A · 0 + B · 0 = 0 .

ให้เราแสดงภาพประกอบของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงด้านบนทั้งหมดเป็นภาพกราฟิก

ตัวอย่างที่ 1

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงที่ให้มานั้นขนานกับแกน y และผ่านจุด 2 7 , - 11 . จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนด

การตัดสินใจ

เส้นตรงขนานกับแกน y ถูกกำหนดโดยสมการของรูปแบบ A x + C \u003d 0 โดยที่ A ≠ 0 เงื่อนไขยังระบุพิกัดของจุดที่เส้นผ่านและพิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C = 0 นั่นคือ ความเท่าเทียมกันถูกต้อง:

A 2 7 + C = 0

เป็นไปได้ที่จะกำหนด C จากค่าดังกล่าวโดยให้ค่า A ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น A = 7 ในกรณีนี้ เราจะได้: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2 เรารู้ทั้งสัมประสิทธิ์ A และ C แล้ว แทนที่พวกมันในสมการ A x + C = 0 และรับสมการที่ต้องการของเส้นตรง: 7 x - 2 = 0

ตอบ: 7 x - 2 = 0

ตัวอย่าง 2

ภาพวาดแสดงเส้นตรงจำเป็นต้องเขียนสมการ

การตัดสินใจ

รูปวาดที่ให้มาทำให้เรานำข้อมูลเบื้องต้นมาแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย เราเห็นในรูปวาดว่าเส้นที่กำหนดขนานกับแกน O x และผ่านจุด (0 , 3) ​​​​

เส้นตรงซึ่งขนานกับ abscissa ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B y + С = 0 ค้นหาค่าของ B และ C . พิกัดของจุด (0, 3) เนื่องจากเส้นตรงที่กำหนดผ่านจุดนั้น จะเป็นไปตามสมการของเส้นตรง B y + С = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงถูกต้อง: В · 3 + С = 0 ลองตั้งค่า B เป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า B \u003d 1 ในกรณีนี้ จากความเท่าเทียมกัน B · 3 + C \u003d 0 เราจะหา C: C \u003d - 3 เราใช้ ค่าที่รู้จัก B และ C เราได้สมการที่ต้องการของเส้นตรง: y - 3 = 0

ตอบ: y - 3 = 0 .

สมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดของระนาบ

ให้เส้นที่กำหนดผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) จากนั้นพิกัดจะสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นตรง กล่าวคือ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: A x 0 + B y 0 + C = 0 ลบด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้ออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการทั่วไป สมการที่สมบูรณ์ตรง. เราได้รับ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 สมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิม ผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) และมี a เวกเตอร์ปกติ n → \u003d (A, B) .

ผลลัพธ์ที่เราได้รับทำให้สามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่มีพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงและพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งของเส้นตรงนี้ได้

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดจุด M 0 (- 3, 4) ที่เส้นผ่านและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ น → = (1 , - 2) . จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนด

การตัดสินใจ

เงื่อนไขเริ่มต้นช่วยให้เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการรวบรวมสมการ: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4 แล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

ปัญหาสามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ A x + B y + C = 0 เวกเตอร์ปกติที่ให้มาช่วยให้คุณได้ค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จากนั้น:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ตอนนี้หาค่าของ C โดยใช้ กำหนดโดยเงื่อนไขจุดปัญหา M 0 (- 3 , 4) ที่เส้นผ่าน พิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับสมการ x - 2 · y + C = 0 นั่นคือ - 3 - 2 4 + C \u003d 0 ดังนั้น C = 11 สมการเส้นตรงที่ต้องการอยู่ในรูปแบบ: x ​​- 2 · y + 11 = 0

ตอบ: x - 2 y + 11 = 0 .

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเส้นที่ 2 3 x - y - 1 2 = 0 และจุด M 0 นอนอยู่บนเส้นนี้ รู้เฉพาะจุดสิ้นสุดของจุดนี้ และมีค่าเท่ากับ - 3 มีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่กำหนด

การตัดสินใจ

มากำหนดพิกัดของจุด M 0 เป็น x 0 และ y 0 กัน ข้อมูลเริ่มต้นระบุว่า x 0 \u003d - 3 เนื่องจากจุดนั้นอยู่ในเส้นที่กำหนด พิกัดจึงสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

กำหนด y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

ตอบ: - 5 2

การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นตรงเป็นสมการประเภทอื่นของเส้นตรงและในทางกลับกัน

อย่างที่เราทราบ สมการเส้นตรงเดียวกันในระนาบมีหลายประเภท การเลือกประเภทของสมการขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปได้ที่จะเลือกอันที่สะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหา นี่คือจุดที่ทักษะการแปลงสมการประเภทหนึ่งเป็นสมการอีกประเภทหนึ่งมีประโยชน์มาก

ในการเริ่มต้น ให้พิจารณาการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของรูปแบบ A x + B y + C = 0 เป็นสมการบัญญัติ x - x 1 a x = y - y 1 a y

ถ้า A ≠ 0 เราก็โอนเทอม B y ไปทางด้านขวาของสมการทั่วไป ทางด้านซ้ายเราเอา A ออกจากวงเล็บ เป็นผลให้เราได้รับ: A x + C A = - B y .

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้: x + C A - B = y A .

ถ้า B ≠ 0 เราปล่อยให้เทอม A x อยู่ทางด้านซ้ายของสมการทั่วไป เราโอนตัวอื่นไปทางขวา เราจะได้: A x \u003d - B y - C เรานำ - B ออกจากวงเล็บแล้ว: A x \u003d - B y + C B

ลองเขียนความเท่าเทียมกันเป็นสัดส่วนใหม่: x - B = y + C B A .

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องจำสูตรที่ได้ การรู้อัลกอริธึมของการกระทำระหว่างการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการบัญญัติก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 5

ให้สมการทั่วไปของเส้น 3 y - 4 = 0 ต้องแปลงเป็นสมการบัญญัติ

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการเดิมเป็น 3 y - 4 = 0 . ต่อไป เราดำเนินการตามอัลกอริทึม: คำว่า 0 x ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย และทางด้านขวาเราเอาออก - 3 จากวงเล็บ; เราได้รับ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ลองเขียนความเท่าเทียมกันที่ได้เป็นสัดส่วน: x - 3 = y - 4 3 0 . ดังนั้นเราจึงได้สมการของรูปแบบบัญญัติ

คำตอบ: x - 3 = y - 4 3 0.

ในการแปลงสมการทั่วไปของเส้นตรงเป็นพาราเมตริก อันดับแรกให้ส่งไปที่ รูปแบบบัญญัติแล้วเปลี่ยนจากสมการมาตรฐานของเส้นตรงเป็นสมการพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ 2 x - 5 y - 1 = 0 . เขียนสมการพาราเมตริกของบรรทัดนี้

การตัดสินใจ

มาทำการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปเป็นสมการบัญญัติกัน:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ทีนี้ลองหาทั้งสองส่วนของสมการบัญญัติที่ได้เท่ากับ λ แล้ว:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ตอบ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

สมการทั่วไปสามารถแปลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y \u003d k x + b แต่เมื่อ B ≠ 0 เท่านั้น สำหรับการเปลี่ยนแปลงทางด้านซ้ายเราปล่อยให้เทอม B y ส่วนที่เหลือจะถูกโอนไปทางขวา เราได้รับ: B y = - A x - C . ลองหารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้ผลลัพธ์ด้วย B ซึ่งแตกต่างจากศูนย์: y = - A B x - C B

ตัวอย่าง 7

สมการทั่วไปของเส้นตรงได้รับ: 2 x + 7 y = 0 . คุณต้องแปลงสมการนั้นเป็นสมการความชัน

การตัดสินใจ

มาดำเนินการที่จำเป็นตามอัลกอริทึม:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

ตอบ: y = - 2 7 x .

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง แค่ได้สมการในส่วนของรูปแบบ x a + y b \u003d 1 ก็เพียงพอแล้ว เพื่อทำการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราโอนหมายเลข C ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้ผลลัพธ์ด้วย - С และสุดท้าย โอนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร x และ y ไปยังตัวส่วน:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องแปลงสมการทั่วไปของเส้นตรง x - 7 y + 1 2 = 0 เป็นสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

การตัดสินใจ

ลองย้าย 1 2 ไปทางด้านขวา: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

หารด้วย -1/2 ทั้งสองข้างของสมการ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1

ตอบ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

โดยทั่วไป การเปลี่ยนแบบย้อนกลับก็ง่ายเช่นกัน: จากสมการประเภทอื่นไปเป็นสมการทั่วไป

สมการของเส้นตรงในกลุ่มและสมการที่มีความชันสามารถแปลงเป็นสมการทั่วไปได้ง่ายๆ โดยรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการ:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

สมการบัญญัติจะถูกแปลงเป็นแบบทั่วไปตามรูปแบบต่อไปนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ในการส่งผ่านจากพาราเมตริก ขั้นแรกให้ดำเนินการเปลี่ยนผ่านเป็นบัญญัติก่อน แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าทั่วไป:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ตัวอย่างที่ 9

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = - 1 + 2 · λ y = 4 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของบรรทัดนี้

การตัดสินใจ

มาทำการเปลี่ยนจากสมการพาราเมทริกเป็นบัญญัติยอมรับกัน:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

มาเปลี่ยนจากบัญญัติเป็นทั่วไปกัน:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

ตอบ: y - 4 = 0

ตัวอย่าง 10

ให้สมการของเส้นตรงในส่วน x 3 + y 1 2 = 1 มีความจำเป็นต้องเปลี่ยนไปสู่ ปริทัศน์สมการ

การตัดสินใจ:

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

ตอบ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

การวาดสมการทั่วไปของเส้นตรง

ข้างต้น เรากล่าวว่าสมการทั่วไปสามารถเขียนด้วยพิกัดที่รู้จักของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน เส้นตรงดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ในที่เดียวกัน เราได้วิเคราะห์ตัวอย่างที่สอดคล้องกัน

มาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติก่อน

ตัวอย่าง 11

กำหนดเส้นขนานกับเส้น 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . ยังเป็นที่รู้จักคือจุด M 0 (4 , 1) ที่เส้นที่กำหนดผ่าน จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนด

การตัดสินใจ

เงื่อนไขเริ่มต้นบอกเราว่าเส้นขนานกัน ดังนั้นในขณะที่เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงซึ่งจำเป็นต้องเขียนสมการ เรานำเวกเตอร์กำกับของเส้น n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ตอนนี้เรารู้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดในการสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

ตอบ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ตัวอย่าง 12

เส้นที่กำหนดผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 . จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนด

การตัดสินใจ

เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นที่กำหนดจะเป็นเวกเตอร์กำกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 .

จากนั้น n → = (3 , 5) . เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด กล่าวคือ ผ่านจุด O (0, 0) . ลองเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนด:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ตอบ: 3 x + 5 y = 0 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter