ควอเตอร์ของโคไซน์ของไซน์ของแทนเจนต์ วงกลมตรีโกณมิติ ค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากคุณคุ้นเคยอยู่แล้วกับ วงกลมตรีโกณมิติ และคุณเพียงแค่ต้องการรีเฟรชแต่ละองค์ประกอบในความทรงจำของคุณ หรือคุณหมดความอดทนอย่างสิ้นเชิง นี่คือสิ่งที่:

ที่นี่เราจะวิเคราะห์ทุกอย่างโดยละเอียดทีละขั้นตอน

วงกลมตรีโกณมิติไม่ใช่ความหรูหรา แต่เป็นสิ่งจำเป็น

ตรีโกณมิติ หลายคนเกี่ยวข้องกับพุ่มไม้ทึบที่ผ่านไม่ได้ ความหมายมากมายพลันผุดพรายขึ้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, สูตรเยอะจัง ... แต่แบบว่า - ตอนแรกไม่ได้ผล และ ... เปิดแล้วออก ... เข้าใจผิดกันหมด ...

สำคัญมากที่จะไม่โบกมือให้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, - พวกเขาบอกว่า คุณสามารถดูเดือยด้วยตารางค่าได้ตลอดเวลา

หากคุณดูตารางที่มีค่าของสูตรตรีโกณมิติอย่างต่อเนื่องให้กำจัดนิสัยนี้!

จะช่วยเรา! คุณจะทำงานกับมันหลายครั้ง แล้วมันก็โผล่ขึ้นมาในหัวคุณเอง ทำไมถึงดีกว่าโต๊ะ? ใช่ ในตารางคุณจะพบค่าจำนวนจำกัด แต่ในวงกลม - ทุกอย่าง!

เช่น มองดู ตารางค่ามาตรฐานของสูตรตรีโกณมิติ ซึ่งก็คือไซน์ของ เช่น 300 องศาหรือ -45

ไม่มีทาง? .. คุณสามารถเชื่อมต่อได้แน่นอน สูตรลด... และเมื่อดูวงกลมตรีโกณมิติ คุณจะสามารถตอบคำถามดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย และในไม่ช้าคุณจะรู้ได้อย่างไร!

และเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการโดยไม่มีวงกลมตรีโกณมิติ - ไม่มีที่ไหนเลย

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

ไปตามลำดับ

ขั้นแรก ให้เขียนชุดตัวเลขต่อไปนี้:

และตอนนี้สิ่งนี้:

และสุดท้ายนี้:

แน่นอน เป็นที่ชัดเจนว่า อันที่จริง อันดับแรกคือ ที่สองคือ และสุดท้าย -. นั่นคือเราจะสนใจลูกโซ่มากขึ้น

แต่กลับกลายเป็นว่าสวย! ในกรณีนี้ เราจะฟื้นฟู “บันไดมหัศจรรย์” นี้

และทำไมเราถึงต้องการมัน?

ห่วงโซ่นี้เป็นค่านิยมหลักของไซน์และโคไซน์ในไตรมาสแรก

ลองวาดวงกลมรัศมีหน่วยในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (นั่นคือ เรานำรัศมีตามความยาวมากำหนดความยาวเป็นหน่วย)

จากลำแสง "0-Start" เราวางไว้ตามทิศทางของลูกศร (ดูรูปที่)

เราได้คะแนนที่สอดคล้องกันบนวงกลม ดังนั้น หากเราฉายจุดบนแกนแต่ละแกน เราก็จะได้ค่าจากห่วงโซ่ด้านบนอย่างแน่นอน

ทำไมคุณถาม?

อย่าแยกทุกอย่างออกจากกัน พิจารณา หลักการซึ่งจะช่วยให้คุณรับมือกับสถานการณ์อื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันได้

สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี . และเรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมอยู่ที่ขาเล็กเป็นสองเท่าของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา = รัศมีของวงกลม นั่นคือ 1)

ดังนั้น AB= (และด้วยเหตุนี้ OM=) และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ฉันหวังว่าบางอย่างจะชัดเจนในตอนนี้

ดังนั้นจุด B จะสอดคล้องกับค่า และจุด M จะสอดคล้องกับค่า

ในทำนองเดียวกันกับค่าที่เหลือของไตรมาสแรก

ตามที่คุณเข้าใจแกนที่เราคุ้นเคย (ox) จะเป็น แกนโคไซน์และแกน (oy) - แกนไซนัส . ภายหลัง.

ทางด้านซ้ายของศูนย์บนแกนโคไซน์ (ต่ำกว่าศูนย์บนแกนไซน์) แน่นอนจะเป็น ค่าลบ.

ดังนั้น นี่คือ ผู้ทรงอำนาจ โดยที่ไม่มีในตรีโกณมิติ

แต่วิธีการใช้วงกลมตรีโกณมิติ เราจะมาพูดถึงกัน

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต คุณสมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ความหมายทางเรขาคณิต

|BD| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( tgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของขาข้างเคียง |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ctgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ที่ วรรณคดีตะวันตกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tg x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังถูกนำมาใช้:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= tg xและ y= ctg xเป็นคาบที่มีคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นค่าคี่

โดเมนของความหมายและค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( น- จำนวนเต็ม)

	y= tg x	y= ctg x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
จากน้อยไปมาก		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0	y= 0	-

สูตร

นิพจน์ในแง่ของไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและส่วนต่าง

สูตรที่เหลือหาได้ง่ายเช่น

ผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน :
.
ที่มาของสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

ขยายเป็นซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในยกกำลังของ x คุณต้องพิจารณาหลายเงื่อนไขของการขยายใน ชุดพลังสำหรับฟังก์ชั่น บาป xและ cos xและแบ่งพหุนามเหล่านี้ออกจากกัน , . ซึ่งส่งผลในสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีน- เบอร์นูลลี พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์คแทนเจนต์ arctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

อาร์คแทนเจนต์ arcctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2555.

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุได้ บุคคลบางคนหรือเชื่อมต่อกับเขา

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆพร้อมชื่อ เบอร์โทร ที่อยู่ อีเมลเป็นต้น

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับ ข้อเสนอสุดพิเศษ, โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และเพื่อให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย, ขั้นตอนการพิจารณาคดี, ใน คดีความและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

เกือบจะเหมือนกับในบทเรียนที่แล้ว มีแกน เป็นวงกลม มีมุม ทุกอย่างเป็นจีน เพิ่มจำนวนไตรมาส (ในมุมของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่) - จากที่หนึ่งถึงสี่ แล้วจู่ๆใครก็ไม่รู้? อย่างที่คุณเห็น ไตรมาส (เรียกอีกอย่างว่า คำที่สวยงาม"จตุภาค") จะถูกนับกับการเคลื่อนไหว ตามเข็มนาฬิกา. เพิ่มค่ามุมบนแกน ทุกอย่างชัดเจนไม่มีจีบ

และเพิ่มลูกศรสีเขียว พร้อมบวก. เธอหมายถึงอะไร? ผมขอเตือนคุณว่าด้านคงที่ของมุม เสมอ ตอกกับแกนบวก OH ดังนั้น หากเราบิดด้านที่เคลื่อนที่ของมุม บวกลูกศร, เช่น. ในตัวเลขไตรมาสจากน้อยไปมาก มุมจะถือเป็นบวกตัวอย่างเช่น รูปภาพแสดงมุมบวกที่ +60°

ถ้าเราเลื่อนโค้ง ใน ด้านหลัง, ตามเข็มนาฬิกา, มุมจะถือเป็นลบวางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) คุณจะเห็นลูกศรสีน้ำเงินพร้อมเครื่องหมายลบ นี่คือทิศทางของการอ่านค่าลบของมุม แสดงมุมลบ (-60°) เป็นตัวอย่าง และคุณจะเห็นว่าตัวเลขบนแกนเปลี่ยนไปอย่างไร ... ฉันยังแปลมันเป็นมุมลบด้วย การนับของจตุภาคไม่เปลี่ยนแปลง

โดยปกติแล้ว ความเข้าใจผิดครั้งแรกเริ่มต้นขึ้นที่นี่ ยังไง!? แล้วถ้ามุมลบบนวงกลมตรงกับค่าบวกล่ะ!? และโดยทั่วไปปรากฎว่าตำแหน่งเดียวกันของด้านที่เคลื่อนที่ได้ (หรือจุดบนวงกลมตัวเลข) เรียกได้ทั้งมุมลบและมุมบวก!?

ใช่. อย่างแน่นอน. สมมุติว่ามุมบวก 90 องศาใช้วงกลม เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบลบ 270 องศา มุมบวก เช่น +110 องศา จะได้ เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบคือ -250 °

ไม่มีปัญหา. ทุกอย่างถูกต้อง) ทางเลือกของการคำนวณมุมบวกหรือลบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงาน ถ้าเงื่อนไขไม่บอกอะไร ข้อความธรรมดา เกี่ยวกับเครื่องหมายของมุม (เช่น "กำหนดจุดเล็กที่สุด เชิงบวกมุม" เป็นต้น) จากนั้นเราก็ทำงานด้วยค่านิยมที่สะดวกแก่เรา

ข้อยกเว้น (และจะไม่มีได้อย่างไร!) คือความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ แต่เราจะเชี่ยวชาญเคล็ดลับนี้

และตอนนี้คำถามสำหรับคุณ ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าตำแหน่งของมุม 110° เหมือนกับตำแหน่งของมุม -250°
ฉันจะบอกใบ้ว่านี่เป็นเพราะการหมุนเวียนเต็มจำนวน ใน 360°... ไม่ชัดเจน? จากนั้นเราวาดวงกลม เราวาดบนกระดาษ ทำเครื่องหมายมุม เกี่ยวกับ 110° และ เชื่อเหลือเท่าไหร่จนกว่าจะถึงเทิร์นเต็ม เหลือเพียง 250 องศา...

เข้าใจแล้ว? และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ถ้ามุม 110° และ -250° ครอบครองวงกลม เดียวกัน ตำแหน่ง แล้วไง ใช่ ความจริงที่ว่ามุมคือ 110 °และ -250 ° เหมือนเดิมทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
เหล่านั้น. sin110° = บาป (-250°), ctg110° = ctg(-250°) เป็นต้น ตอนนี้มันสำคัญมาก! และในตัวของมันเอง มีงานมากมายที่จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ และเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาสูตรการย่อขนาดและความซับซ้อนอื่นๆ ของตรีโกณมิติในภายหลัง

แน่นอน ฉันสุ่ม 110 ° และ -250 ° สุ่มตัวอย่างล้วนๆ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทุกมุมที่มีตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม 60° และ -300 °, -75 ° และ 285° เป็นต้น ฉันทราบทันทีว่ามุมในคู่รักเหล่านี้ - หลากหลาย.แต่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ - เหมือน.

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมลบคืออะไร มันค่อนข้างง่าย ทวนเข็มนาฬิกาเป็นการนับบวก ระหว่างทางก็เป็นลบ พิจารณามุมบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเรา. จากความปรารถนาของเรา แน่นอน และอีกมากมายจากงาน ... ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีย้ายฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมลบเป็นมุมบวก และในทางกลับกัน วาดวงกลม มุมโดยประมาณ ดูว่าขาดไปเท่าไหร่ก่อนถึงโค้งเต็ม กล่าวคือ สูงถึง 360°

มุมที่มากกว่า 360°

มาจัดการกับมุมที่มากกว่า 360° กัน และสิ่งเหล่านี้เกิดขึ้น? มีแน่นอน วิธีการวาดพวกเขาบนวงกลม? ไม่ใช่ปัญหา! สมมติว่าเราต้องเข้าใจว่ามุม 1,000 °จะตกลงมาในไตรมาสใด อย่างง่ายดาย! เราหมุนทวนเข็มนาฬิกาเต็มหนึ่งรอบ (มุมที่เราได้รับเป็นบวก!) กรอกลับ 360° เอาล่ะ ไปกันเลย! อีกเทิร์น - มันเปิดออกแล้ว 720 ° เหลือเท่าไหร่? 280 องศา ไม่เพียงพอสำหรับการเลี้ยวเต็ม ... แต่มุมมากกว่า 270 ° - และนี่คือเส้นขอบระหว่างไตรมาสที่สามและสี่ ดังนั้นมุม 10000° ของเราจึงอยู่ในควอเตอร์ที่สี่ ทุกอย่าง.

อย่างที่คุณเห็น มันค่อนข้างง่าย ผมขอเตือนคุณอีกครั้งว่ามุม 1,000 ° และมุม 280 ° ซึ่งเราได้รับจากการทิ้ง "พิเศษ" เต็มเทิร์นนั้นพูดอย่างเคร่งครัด หลากหลายมุม แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้ เหมือนเดิมทุกประการ! เหล่านั้น. sin10000° = sin280°, cos10000° = cos280° เป็นต้น ถ้าผมเป็นไซน์ ผมจะไม่สังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองมุมนี้...

ทำไมทั้งหมดนี้จึงจำเป็น? ทำไมเราต้องแปลมุมจากที่อื่น? ใช่ ทั้งหมดเหมือนกัน) เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ อันที่จริงการลดความซับซ้อนของนิพจน์เป็นงานหลักของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ระหว่างทางหัวหน้ากำลังฝึก)

งั้นเรามาฝึกกันไหม?)

เราตอบคำถาม ง่าย ๆ ในตอนแรก

1. มุม -325 องศาลดลงในไตรมาสใด

2. มุม 30000° ตกลงมาในไตรมาสใด

3. มุม -3000 ° ตกลงมาในไตรมาสใด

มีปัญหา? หรือความไม่มั่นคง? ไปที่หมวด 555 งานภาคปฏิบัติกับวงกลมตรีโกณมิติ ที่นั่นในบทเรียนแรกของเรื่องนี้ " ฝึกงาน... "มีรายละเอียดทุกอย่าง ... ใน เช่นคำถามแห่งความไม่แน่นอน ไม่ควร!

4. เครื่องหมายของบาป 555° คืออะไร?

5. สัญลักษณ์ของ tg555° คืออะไร?

มุ่งมั่น? ยอดเยี่ยม! สงสัย? มันเป็นสิ่งจำเป็นในมาตรา 555 ... อย่างไรก็ตาม คุณจะได้เรียนรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ สิ่งที่มีประโยชน์มาก

และตอนนี้คำถามที่ฉลาดกว่า

6. นำนิพจน์ sin777° ไปที่ไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

7. นำนิพจน์ cos777° มาที่โคไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

8. แปลงนิพจน์ cos(-777°) เป็นโคไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

9. นำนิพจน์ sin777° ไปที่ไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

อะไรนะ คำถามที่ 6-9 งง? ทำความคุ้นเคยกับมันไม่มีสูตรดังกล่าวในการสอบ ... ดังนั้นฉันจะแปลมัน สำหรับคุณคนเดียว!

คำว่า "ลดนิพจน์เป็น ..." หมายถึงการแปลงนิพจน์ให้มีค่า ไม่เปลี่ยนแปลงเอ รูปร่างเปลี่ยนไปตามหน้าที่ ดังนั้น ในงาน 6 และ 9 เราต้องได้ไซน์ ซึ่งข้างในคือ มุมบวกที่เล็กที่สุดอย่างอื่นไม่สำคัญ

ฉันจะให้คำตอบตามลำดับ (ละเมิดกฎของเรา) แต่จะทำอย่างไร มีเพียงสองสัญญาณและเพียงสี่ในสี่ ... คุณจะไม่กระจายในตัวเลือก

6. บาป57°

7.cos(-57°).

8.cos57°

9.-บาป(-57°)

ฉันคิดว่าคำตอบของคำถาม 6-9 ทำให้บางคนสับสน โดยเฉพาะ -บาป(-57°)ใช่ไหม) ที่จริงแล้วในกฎพื้นฐานสำหรับการนับมุมมีที่ว่างสำหรับข้อผิดพลาด ... นั่นคือเหตุผลที่ฉันต้องทำบทเรียน: "จะกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันและให้มุมบนวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร" ในมาตรา 555 มีงานที่ 4 - 9 แยกออก จัดเรียงอย่างดีพร้อมข้อผิดพลาดทั้งหมด และพวกเขาอยู่ที่นี่)

ในบทต่อไป เราจะจัดการกับเรเดียนลึกลับและตัวเลข "พาย" เรียนรู้วิธีแปลงองศาเป็นเรเดียนอย่างง่ายดายและถูกต้องและในทางกลับกัน และเราจะแปลกใจที่พบว่าข้อมูลเบื้องต้นนี้บนเว็บไซต์ พอแล้ว เพื่อไขปริศนาตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับไตรมาสพิกัดที่มีอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลขเท่านั้น ครั้งสุดท้ายที่เราได้เรียนรู้วิธีแปลอาร์กิวเมนต์จากการวัดเรเดียนเป็นการวัดองศา (ดูบทเรียน “ การวัดเรเดียนและองศาของมุม”) จากนั้นกำหนดไตรมาสพิกัดเดียวกันนี้ ทีนี้มาจัดการกับนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์กัน

ไซน์ของมุม α เป็นพิกัด (พิกัด y) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนผ่านมุม α

โคไซน์ของมุม α คือ abscissa (พิกัด x) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนผ่านมุม α

แทนเจนต์ของมุม α คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ หรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของพิกัด y ต่อพิกัด x

สัญกรณ์: บาป α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านี้คุ้นเคยกับคุณจากหลักสูตรพีชคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย อย่างไรก็ตาม เราไม่สนใจคำจำกัดความเอง แต่ในผลที่ตามมาในวงกลมตรีโกณมิติ ลองดูสิ:

สีน้ำเงินหมายถึงทิศทางบวกของแกน OY (แกน y) สีแดงหมายถึงทิศทางบวกของแกน OX (abscissa) ใน "เรดาร์" นี้ สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

1. บาป α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในควอเตอร์พิกัด I หรือ II นี่เป็นเพราะตามคำจำกัดความไซน์คือพิกัด (พิกัด y) และพิกัด y จะเป็นบวกอย่างแม่นยำในพิกัด I และ II
2. cos α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในไตรมาสพิกัด I หรือ IV เพราะมีเพียงพิกัด x (มันคือ abscissa ด้วย) จะมากกว่าศูนย์
3. tg α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ III ต่อไปนี้จากคำจำกัดความ: ท้ายที่สุด tg α = y : x ดังนั้นจึงเป็นบวกเฉพาะเมื่อสัญญาณของ x และ y ตรงกันเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในไตรมาสพิกัดที่ 1 (ที่นี่ x > 0, y > 0) และไตรมาสพิกัดที่ 3 (x< 0, y < 0).

เพื่อความชัดเจน เราสังเกตสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละตัว - ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - บน "เรดาร์" ที่แยกจากกัน เราได้รับภาพต่อไปนี้:

หมายเหตุ: ในการให้เหตุผลของฉัน ฉันไม่เคยพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สี่ - โคแทนเจนต์ ความจริงก็คือสัญญาณของโคแทนเจนต์ตรงกับสัญญาณของแทนเจนต์ - ไม่มีกฎพิเศษอยู่ที่นั่น

ตอนนี้ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกับปัญหา B11 จาก ข้อสอบในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 27 กันยายน 2554 ท้ายที่สุด วิธีที่ดีที่สุดทฤษฎีความเข้าใจคือการปฏิบัติ ควรฝึกฝนให้มาก แน่นอน เงื่อนไขของงานเปลี่ยนไปเล็กน้อย

งาน. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติและนิพจน์ (ไม่จำเป็นต้องพิจารณาค่าของฟังก์ชันเอง):

1. บาป(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. ผิวสีแทน (5π/3);
4. บาป(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. บาป(5π/6) cos(7π/4);
7. ตาล (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

แผนปฏิบัติการมีดังนี้: ขั้นแรก เราแปลงมุมทั้งหมดจากการวัดเรเดียนเป็นการวัดองศา (π → 180°) จากนั้นดูว่าตัวเลขผลลัพธ์อยู่ที่ตำแหน่งใดของพิกัด เมื่อทราบไตรมาสแล้ว เราสามารถหาสัญญาณได้ง่าย - ตามกฎที่อธิบายไว้ เรามี:

1. บาป (3π/4) = บาป (3 180°/4) = บาป 135° ตั้งแต่ 135° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด II แต่ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวก ดังนั้น sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210° เพราะ 210° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด III ซึ่งโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300° ตั้งแต่ 300 ° ∈ เราอยู่ในจตุภาค IV โดยที่แทนเจนต์รับค่าลบ ดังนั้น tg (5π/3)< 0;
4. บาป (3π/4) cos (5π/6) = บาป (3 180°/4) cos (5 180°/6) = บาป 135° cos 150° มาจัดการกับไซน์กัน: เพราะ 135° ∈ นี่คือไตรมาสที่สองซึ่งไซน์เป็นบวกเช่น บาป (3π/4) > 0 ตอนนี้เราทำงานกับโคไซน์: 150° ∈ - อีกครั้งในไตรมาสที่สอง โคไซน์ที่มีเป็นลบ ดังนั้น cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45° เราดูที่โคไซน์: 120° ∈ คือไตรมาสพิกัด II ดังนั้น cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. อีกครั้ง เราได้ผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัยของสัญญาณต่างกัน เนื่องจาก “ลบคูณบวกให้ลบ” เรามี: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. บาป (5π/6) cos (7π/4) = บาป (5 180°/6) cos (7 180°/4) = บาป 150° cos 315° เราทำงานกับไซน์: ตั้งแต่ 150 ° ∈ , เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไตรมาสพิกัด II โดยที่ไซน์เป็นบวก ดังนั้น ความบาป (5π/6) > 0 ในทำนองเดียวกัน 315° ∈ คือควอเตอร์พิกัด IV โคไซน์ที่มีเป็นบวก ดังนั้น cos (7π/4) > 0 เราได้ผลคูณของจำนวนบวกสองตัว - นิพจน์นั้นเป็นบวกเสมอ สรุป: บาป (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300° แต่มุม 135° ∈ คือไตรมาสที่สอง กล่าวคือ ตาล (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. เนื่องจาก “ลบบวกให้เครื่องหมายลบ” เรามี: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30° เราดูที่อาร์กิวเมนต์โคแทนเจนต์: 240 ° ∈ คือไตรมาสพิกัด III ดังนั้น ctg (4π/3) > 0 ในทำนองเดียวกันสำหรับแทนเจนต์ที่เรามี: 30° ∈ คือไตรมาสพิกัด I นั่นคือ มุมที่ง่ายที่สุด ดังนั้น tg (π/6) > 0 อีกครั้ง เราได้นิพจน์เชิงบวกสองนิพจน์ - ผลคูณของพวกมันจะเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น ctg (4π/3) tg (π/6) > 0

สุดท้ายนี้เรามาดูอีกสักหน่อย งานที่ท้าทาย. นอกจากการหาเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คุณต้องทำการคำนวณเล็กน้อย - เช่นเดียวกับที่ทำในปัญหาจริง B11 โดยหลักการแล้ว งานเหล่านี้เป็นงานจริงเกือบทั้งหมดที่พบในข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหาบาป α ถ้าบาป 2 α = 0.64 และ α ∈ [π/2; พาย].

เนื่องจากบาป 2 α = 0.64 เราจึงได้: บาป α = ±0.8 ยังคงต้องตัดสินใจ: บวกหรือลบ? ตามสมมติฐาน มุม α ∈ [π/2; π] คือไตรมาสพิกัด II โดยที่ไซน์ทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้นบาปα = 0.8 - ความไม่แน่นอนที่มีสัญญาณถูกกำจัด

งาน. ค้นหา cos α ถ้า cos 2 α = 0.04 และ α ∈ [π; 3π/2.

เราทำเช่นเดียวกัน กล่าวคือ สารสกัด รากที่สอง: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2 ตามสมมติฐาน มุม α ∈ [π; 3π/2] เช่น เรากำลังพูดถึงไตรมาสพิกัดที่สาม ที่นั่น โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos α = −0.2

งาน. ค้นหาบาป α ถ้าบาป 2 α = 0.25 และ α ∈ .

เรามี: บาป 2 α = 0.25 ⇒ บาป α = ±0.5 เราดูที่มุมอีกครั้ง: α ∈ คือไตรมาสพิกัด IV ซึ่งอย่างที่คุณทราบ ไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: บาป α = −0.5

งาน. ค้นหา tg α ถ้า tg 2 α = 9 และ α ∈ .

ทุกอย่างเหมือนกัน เฉพาะสำหรับแทนเจนต์เท่านั้น เราหารากที่สอง: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3 แต่โดยเงื่อนไข มุม α ∈ คือจตุภาคที่พิกัด I ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด รวมถึง แทนเจนต์ มีบวก ดังนั้น tg α = 3 เท่านั้น!