ปัญหาทางคณิตศาสตร์พบการประยุกต์ใช้ในหลายศาสตร์ ซึ่งรวมถึงฟิสิกส์ เคมี วิศวกรรมศาสตร์และเศรษฐศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแพทย์ นิเวศวิทยา และสาขาวิชาอื่นๆ แนวคิดสำคัญประการหนึ่งที่ต้องเชี่ยวชาญในการหาทางแก้ไขภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่สำคัญคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางกายภาพของมันไม่ได้อธิบายยากเท่าที่ควร เนื่องจากอาจดูเหมือนคนที่ไม่ได้ฝึกหัดในแก่นแท้ของปัญหา เพียงพอที่จะหาตัวอย่างที่เหมาะสมของสิ่งนี้ใน ชีวิตจริงและสถานการณ์ในชีวิตประจำวันตามปกติ อันที่จริง ผู้ขับขี่รถยนต์คนใดต้องเผชิญกับงานที่คล้ายกันทุกวันเมื่อเขาดูที่มาตรวัดความเร็ว โดยกำหนดความเร็วของรถของเขาในช่วงเวลาที่กำหนด ท้ายที่สุดแล้วในพารามิเตอร์นี้สาระสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์นั้นอยู่

วิธีหาความเร็ว

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ทุกคนสามารถกำหนดความเร็วของบุคคลที่อยู่บนท้องถนนได้อย่างง่ายดาย โดยรู้ระยะทางที่เดินทางและเวลาเดินทาง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค่าแรกของค่าที่กำหนดจะถูกหารด้วยค่าที่สอง แต่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ทุกคนที่รู้ว่าใน ช่วงเวลานี้ค้นหาอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์ อันที่จริง หากเราจินตนาการถึงการเคลื่อนไหวในรูปของกราฟ การวางเส้นทางตามแนวแกน y และเวลาตามแนว abscissa ก็จะเป็นเพียงแค่นั้น

อย่างไรก็ตาม ความเร็วของคนเดินเท้าหรือวัตถุอื่นใดที่เรากำหนดบนส่วนใหญ่ของเส้นทาง โดยพิจารณาจากการเคลื่อนไหวให้สม่ำเสมอ อาจเปลี่ยนแปลงได้ การเคลื่อนที่ในฟิสิกส์มีหลายรูปแบบ สามารถทำได้ไม่เฉพาะด้วยการเร่งความเร็วคงที่เท่านั้น แต่ยังทำให้ช้าลงและเพิ่มขึ้นได้ตามต้องการ ควรสังเกตว่าในกรณีนี้ เส้นที่อธิบายการเคลื่อนไหวจะไม่เป็นเส้นตรงอีกต่อไป ในรูปแบบกราฟิก มันสามารถใช้กับการกำหนดค่าที่ซับซ้อนที่สุดได้ แต่สำหรับจุดใดๆ บนกราฟ เราสามารถวาดแทนเจนต์ที่แสดงด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นได้เสมอ

ในการปรับแต่งพารามิเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงการกระจัดขึ้นอยู่กับเวลา จำเป็นต้องลดส่วนที่วัดได้ เมื่อมีขนาดเล็กลงอย่างไม่สิ้นสุด ความเร็วที่คำนวณได้จะเป็นในทันที ประสบการณ์นี้ช่วยให้เรานิยามอนุพันธ์ได้ ความหมายทางกายภาพของมันยังเป็นไปตามเหตุผลจากการให้เหตุผลดังกล่าว

ในแง่ของเรขาคณิต

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า ความเร็วมากขึ้นร่างกาย ยิ่งกราฟของการพึ่งพาการกระจัดตรงเวลามากขึ้นเท่าใด และด้วยเหตุนี้มุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟ ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ ตัวบ่งชี้ของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวอาจเป็นค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน x และเส้นสัมผัส เป็นผู้กำหนดมูลค่าของอนุพันธ์และคำนวณโดยอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันใน สามเหลี่ยมมุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากตกลงจากจุดหนึ่งไปยังแกน x

นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์อันดับแรก กายภาพถูกเปิดเผยในความจริงที่ว่าค่าของขาตรงข้ามในกรณีของเราคือระยะทางที่เดินทางและขาที่อยู่ติดกันคือเวลา อัตราส่วนของพวกเขาคือความเร็ว และอีกครั้งที่เราได้ข้อสรุปว่าความเร็วชั่วขณะซึ่งกำหนดเมื่อช่องว่างทั้งสองมีแนวโน้มที่จะเล็กอย่างไม่สิ้นสุดเป็นแก่นแท้ซึ่งชี้ไปที่ความหมายทางกายภาพ อนุพันธ์อันดับสองในตัวอย่างนี้จะเป็นความเร่งของร่างกาย ซึ่งจะแสดงระดับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ทางฟิสิกส์

อนุพันธ์เป็นตัวบ่งชี้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันใดๆ แม้ว่าเราจะไม่ได้พูดถึงการเคลื่อนไหวตามความหมายที่แท้จริงของคำก็ตาม เพื่อแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน ลองมาดูตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสักสองสามตัวอย่าง สมมติว่ากำลังปัจจุบันขึ้นอยู่กับเวลาเปลี่ยนแปลงตามกฎหมายต่อไปนี้: ฉัน= 0.4t2.จำเป็นต้องค้นหาค่าของอัตราที่พารามิเตอร์นี้เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 8 ของกระบวนการ สังเกตว่าค่าที่ต้องการเองซึ่งสามารถตัดสินได้จากสมการนั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง

สำหรับการแก้ปัญหา จำเป็นต้องหาอนุพันธ์อันดับ 1 ซึ่งพิจารณาความหมายทางกายภาพก่อนหน้านี้ ที่นี่ ดิ/ dt = 0,8 t. ต่อไปพบกับได้ที่ t=8 , เราได้รับว่าอัตราที่การเปลี่ยนแปลงของความแรงปัจจุบันเกิดขึ้นเท่ากับ 6,4 อา/ ค. ในที่นี้ถือว่าความแรงปัจจุบันวัดเป็นแอมแปร์ และเวลาตามลำดับเป็นวินาที

ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงได้

มองเห็นได้ โลกอันประกอบด้วยสสารย่อมมีการเปลี่ยนแปลงอยู่เรื่อย ๆ มีการเคลื่อนที่อยู่ในนั้น กระบวนการต่างๆ. คุณสามารถใช้มากที่สุด .เพื่ออธิบาย พารามิเตอร์ต่างๆ. หากรวมกันโดยการพึ่งพาอาศัยกัน พวกเขาจะถูกเขียนทางคณิตศาสตร์เป็นฟังก์ชันที่แสดงการเปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน และที่ใดมีการเคลื่อนไหว (ไม่ว่าจะแสดงออกในรูปแบบใด) ก็จะมีอนุพันธ์ซึ่งมีความหมายทางกายภาพที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในขณะนี้

ในเรื่องนี้ตัวอย่างต่อไปนี้ สมมุติว่าอุณหภูมิร่างกายเปลี่ยนแปลงตามกฎหมาย ตู่=0,2 t 2 . คุณควรหาอัตราการให้ความร้อนเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 10 ปัญหาได้รับการแก้ไขในลักษณะที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ในกรณีก่อนหน้านี้ นั่นคือเราหาอนุพันธ์และแทนที่ค่าของ t= 10 , เราได้รับ ตู่= 0,4 t= 4. ซึ่งหมายความว่าคำตอบสุดท้ายคือ 4 องศาต่อวินาที นั่นคือ กระบวนการให้ความร้อนและการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่วัดเป็นองศา เกิดขึ้นที่อัตรานี้พอดี

การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

แน่นอนว่าในชีวิตจริง ทุกอย่างซับซ้อนกว่าปัญหาเชิงทฤษฎีมาก ในทางปฏิบัติ ค่าของปริมาณมักจะถูกกำหนดระหว่างการทดลอง ในกรณีนี้จะใช้เครื่องมือที่ให้การอ่านค่าระหว่างการวัดโดยมีข้อผิดพลาดบางประการ ดังนั้นในการคำนวณ เราต้องจัดการกับค่าโดยประมาณของพารามิเตอร์และใช้การปัดเศษตัวเลขที่ไม่สะดวก รวมถึงการทำให้เข้าใจง่ายอื่นๆ เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้ เราจะดำเนินการแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อีกครั้ง เนื่องจากพวกมันเป็นเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่ซับซ้อนที่สุดที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ

การปะทุ

ลองนึกภาพว่าภูเขาไฟระเบิด เขาจะอันตรายแค่ไหน? เพื่อตอบคำถามนี้ ต้องพิจารณาปัจจัยหลายประการ เราจะพยายามพิจารณาหนึ่งในนั้น

จากปากของ "สัตว์ประหลาดที่ลุกเป็นไฟ" ก้อนหินจะถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งโดยมีความเร็วเริ่มต้นตั้งแต่วินาทีที่ออกไปข้างนอกจำเป็นต้องคำนวณว่าพวกมันสามารถไปถึงได้สูงแค่ไหน

ในการหาค่าที่ต้องการ เราสร้างสมการการพึ่งพาความสูง H ซึ่งวัดเป็นเมตรกับปริมาณอื่นๆ ซึ่งรวมถึงความเร็วและเวลาเริ่มต้น ค่าความเร่งเป็นที่ทราบและประมาณเท่ากับ 10 m/s 2 .

อนุพันธ์บางส่วน

ให้เราพิจารณาความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากมุมที่ต่างกันเล็กน้อย เนื่องจากสมการนั้นไม่สามารถมีตัวแปรได้เพียงตัวเดียว แต่มีได้หลายตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่แล้ว การพึ่งพาความสูงของก้อนหินที่พุ่งออกมาจากช่องระบายอากาศของภูเขาไฟนั้น ไม่ได้ถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของลักษณะเวลาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าอีกด้วย ความเร็วเริ่มต้น. ค่าหลังถือเป็นค่าคงที่และคงที่ แต่ในงานอื่นๆ ที่มีเงื่อนไขต่างกันโดยสิ้นเชิง ทุกสิ่งทุกอย่างอาจแตกต่างกันได้ หากมีปริมาณหลายปริมาณที่ฟังก์ชันซับซ้อนขึ้นอยู่ การคำนวณจะทำตามสูตรด้านล่าง

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มักถูกกำหนดในกรณีปกติ นี่คืออัตราที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงในบางจุดเมื่อพารามิเตอร์ของตัวแปรเพิ่มขึ้น มันถูกคำนวณในลักษณะที่ส่วนประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดถูกนำมาเป็นค่าคงที่ มีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่ถือเป็นตัวแปร จากนั้นทุกอย่างก็เกิดขึ้นตามกฎปกติ

เมื่อเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์แล้ว จึงไม่ยากที่จะยกตัวอย่างการแก้ปัญหาที่สลับซับซ้อนและซับซ้อน ซึ่งคำตอบสามารถหาได้จากความรู้ดังกล่าว หากเรามีฟังก์ชันที่อธิบายการสิ้นเปลืองน้ำมันเชื้อเพลิงโดยขึ้นอยู่กับความเร็วของรถ เราสามารถคำนวณได้ว่าค่าพารามิเตอร์ใดของการสิ้นเปลืองน้ำมันเบนซินจะน้อยที่สุด

ในทางการแพทย์ คุณสามารถทำนายได้ว่ามันจะตอบสนองอย่างไร ร่างกายมนุษย์ถึงยาที่แพทย์สั่ง การใช้ยาส่งผลต่อพารามิเตอร์ทางสรีรวิทยาที่หลากหลาย รวมถึงการเปลี่ยนแปลง ความดันโลหิต, ชีพจร อุณหภูมิร่างกาย และอื่นๆ อีกมากมาย ทั้งหมดขึ้นอยู่กับปริมาณที่ได้รับ ผลิตภัณฑ์ยา. การคำนวณเหล่านี้ช่วยในการทำนายแนวทางการรักษาทั้งในอาการที่ดีและในอุบัติเหตุที่ไม่พึงประสงค์ที่อาจส่งผลร้ายแรงต่อการเปลี่ยนแปลงในร่างกายของผู้ป่วย

ไม่ต้องสงสัยเลย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ในเรื่องทางเทคนิค โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านวิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ การออกแบบและการก่อสร้าง

ระยะเบรก

พิจารณาภารกิจต่อไป เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่รถที่เข้าใกล้สะพานต้องชะลอตัวก่อนถึงทางเข้า 10 วินาทีตามที่คนขับสังเกตเห็น ป้ายถนน, ห้ามเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเกิน 36 กม./ชม. คนขับฝ่าฝืนกฎหรือไม่ถ้าสามารถอธิบายระยะเบรกตามสูตร S = 26t - t 2 ?

เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับ 1 แล้ว เราก็หาสูตรของความเร็วได้ v = 28 - 2t ต่อไป เราแทนค่า t=10 เป็นนิพจน์ที่ระบุ

เนื่องจากค่านี้แสดงเป็นวินาที ความเร็วจึงกลายเป็น 8 m / s ซึ่งหมายถึง 28.8 km / h ทำให้เข้าใจได้ว่าคนขับเริ่มขับช้าลงตรงเวลาและไม่ละเมิดกฎจราจร และด้วยเหตุนี้จึงจำกัดการระบุไว้บนป้ายความเร็ว

สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงความสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ ตัวอย่างของการแก้ปัญหานี้แสดงให้เห็นความกว้างของการใช้แนวคิดนี้ในด้านต่างๆ ของชีวิต รวมทั้งในสถานการณ์ประจำวัน

อนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์

ก่อนศตวรรษที่ 19 นักเศรษฐศาสตร์ส่วนใหญ่จัดการกับค่าเฉลี่ย ไม่ว่าจะเป็นผลผลิตแรงงานหรือราคาผลผลิต แต่จากจุดหนึ่งไป การจำกัดค่าก็จำเป็นมากขึ้นสำหรับการคาดการณ์ที่มีประสิทธิภาพในพื้นที่นี้ ซึ่งรวมถึงยูทิลิตี้ส่วนเพิ่ม รายได้หรือต้นทุน การทำความเข้าใจสิ่งนี้ทำให้เกิดแรงผลักดันในการสร้างเครื่องมือใหม่อย่างสมบูรณ์ใน การวิจัยทางเศรษฐกิจซึ่งมีอยู่และพัฒนามากว่าร้อยปี

ในการทำการคำนวณดังกล่าว โดยที่แนวคิดดังกล่าวมีอิทธิพลเหนือระดับต่ำสุดและสูงสุด จำเป็นต้องเข้าใจความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์ ในบรรดาผู้สร้าง พื้นฐานทางทฤษฎีสาขาวิชาเหล่านี้เรียกได้ว่าเป็นนักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษและชาวออสเตรียที่มีชื่อเสียงเช่น W. S. Jevons, K. Menger และคณะอื่นๆ แน่นอนว่าการจำกัดค่าในการคำนวณทางเศรษฐกิจนั้นไม่สะดวกในการใช้งานเสมอไป และตัวอย่างเช่น รายงานรายไตรมาสไม่จำเป็นต้องเข้ากับ โครงการที่มีอยู่แต่การประยุกต์ทฤษฎีดังกล่าวในหลายกรณีก็มีประโยชน์และมีประสิทธิภาพ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• เพื่อสร้างเงื่อนไขสำหรับการดูดซึมที่มีความหมายโดยนักเรียนของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์
• เพื่อส่งเสริมการพัฒนาทักษะและความสามารถในการใช้งานจริงของอนุพันธ์เพื่อแก้ปัญหาทางกายภาพต่างๆ

กำลังพัฒนา:

• เพื่อส่งเสริมการพัฒนาขอบฟ้าทางคณิตศาสตร์ ความสนใจทางปัญญาในหมู่นักเรียนผ่านการเปิดเผยความจำเป็นในทางปฏิบัติและความสำคัญทางทฤษฎีของหัวข้อ
• จัดให้มีเงื่อนไขในการพัฒนาทักษะทางจิตของนักเรียน: เปรียบเทียบ วิเคราะห์ สรุป

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ส่งเสริมความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

ประเภทบทเรียน:บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่

แบบฟอร์มการทำงาน:หน้าผากบุคคลกลุ่ม

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ การนำเสนอ หนังสือเรียน

โครงสร้างบทเรียน:

1. เวลาจัดงานการตั้งเป้าหมายของบทเรียน
2. การเรียนรู้วัสดุใหม่
3. การตรึงเบื้องต้นของวัสดุใหม่
4. งานอิสระ
5. สรุปบทเรียน การสะท้อน.

ระหว่างเรียน

ฉัน.ช่วงเวลาขององค์กร กำหนดเป้าหมายของบทเรียน (2 นาที)

II. เรียน​เรื่อง​ใหม่ (10 นาที)

ครู:ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับกฎการคำนวณอนุพันธ์ เรียนรู้วิธีการหาอนุพันธ์ของเส้นตรง ยกกำลัง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เราได้เรียนรู้ว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร วันนี้ในบทเรียนนี้ เราจะเรียนรู้ว่าแนวคิดนี้ถูกนำไปใช้ในด้านฟิสิกส์อย่างไร

สำหรับสิ่งนี้เราจำคำจำกัดความของอนุพันธ์ (สไลด์ 2)

มาต่อกันที่วิชาฟิสิกส์กัน (สไลด์ 3)

นักเรียนอภิปรายและจดจำ แนวคิดทางกายภาพและสูตร

ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนไหวตามกฎ S(t)=f(t) พิจารณาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางในช่วงเวลา t 0 ถึง t 0 + Δ t โดยที่ Δt คือส่วนที่เพิ่มขึ้นของการโต้แย้ง ในช่วงเวลา เสื้อ 0 ร่างกายผ่านเส้นทาง S(t 0) ในขณะที่ เสื้อ 0 +Δt - เส้นทาง S(t 0 +Δt) ดังนั้นในช่วงเวลา Δt ร่างกายได้เดินทางไปในเส้นทาง S(t 0 +Δt) –S(t 0) เช่น เราได้เพิ่มฟังก์ชัน ความเร็วเฉลี่ยของร่างกายในช่วงเวลานี้ υ==

ยิ่งช่วงเวลา t สั้นลงเท่าใด เราก็จะยิ่งสามารถทราบได้ว่าร่างกายกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าใดในขณะ t ให้ t → 0, เราได้ความเร็วทันที - ค่าตัวเลขความเร็วในขณะทีของการเคลื่อนไหวนี้

υ= , ที่ Δt→0 ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของระยะทางเทียบกับเวลา

สไลด์ 4

จำคำจำกัดความของการเร่งความเร็ว

จากการใช้วัสดุข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า ที่ t a(t)= υ’(t) ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว

นอกจากนี้ สูตรสำหรับกำลังปัจจุบัน ความเร็วเชิงมุม EMF ฯลฯ จะปรากฏบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ นักเรียนกรอกค่าทันทีของปริมาณทางกายภาพเหล่านี้ผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ (ขาดเรียน กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบใช้นำเสนอ)

สไลด์ 5-8

ข้อสรุปจะทำโดยนักเรียน

บทสรุป:(สไลด์ 9) อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (หน้าที่ของเส้นทาง พิกัด ความเร็ว ฟลักซ์แม่เหล็ก ฯลฯ)

υ (x) \u003d f '(x)

ครู:เราจะเห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่าง ลักษณะเชิงปริมาณกระบวนการที่หลากหลายที่ตรวจสอบโดยฟิสิกส์ วิทยาศาสตร์เทคนิคเคมีนั้นคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างเส้นทางและความเร็ว คุณสามารถให้ปัญหามากมายสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันบางอย่างเช่น: การหาความเข้มข้นของสารละลายในช่วงเวลาหนึ่งการหาอัตราการไหลของของเหลว ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของวัตถุ ความหนาแน่นเชิงเส้นที่จุดหนึ่ง ฯลฯ ตอนนี้เราจะแก้ปัญหาเหล่านี้บางส่วน

สาม.การรวบรวมความรู้ที่ได้รับ (ทำงานเป็นกลุ่ม) (15 นาที)

พร้อมวิเคราะห์ที่กระดานดำ

ก่อนแก้ปัญหา ให้ชี้แจงหน่วยวัดปริมาณทางกายภาพก่อน

ความเร็ว - [m/s]
อัตราเร่ง - [m / s 2]
ความแข็งแกร่ง - [N]
พลังงาน - [J]

งานที่ 1 กลุ่ม

จุดเคลื่อนที่ตามกฎ s(t)=2t³-3t (s คือระยะทางเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที) คำนวณความเร็วของจุด ความเร่ง ณ เวลา 2s

งานที่ 2 กลุ่ม

มู่เล่หมุนรอบแกนตามกฎ φ(t)= t 4 -5t หาความเร็วเชิงมุม ω ที่เวลา 2 วินาที (φ คือมุมการหมุนเป็นเรเดียน ω คือความเร็วเชิงมุม rad/s)

งานที่ 3 กลุ่ม

วัตถุที่มีมวล 2 กก. เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) \u003d 2-3t + 2t²

ค้นหาความเร็วของร่างกายและของมัน พลังงานจลน์ 3 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว พลังใดที่กระทำต่อร่างกายในเวลานี้? (t มีหน่วยเป็นวินาที x เป็นเมตร)

งาน 4

Dot Commits การเคลื่อนที่แบบสั่นตามกฎหมาย x(t)=2sin3t พิสูจน์ว่าความเร่งเป็นสัดส่วนกับพิกัด x

IV.วิธีแก้ปัญหาอิสระหมายเลข 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov et al. "พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10-11"] 12 นาที

ที่ให้ไว้:	วิธีการแก้:
x(t)=- ______________ t=? อ(ท)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; เสื้อ=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s คำตอบ: t=6c; υ(6)= 18m/s

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันที่จุด x0 ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx หากอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเพิ่มขึ้น ศูนย์และแสดงด้วย f '(x0) การกระทำของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีความหมายทางกายภาพดังต่อไปนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันใน คะแนนที่กำหนด- อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์. อนุพันธ์ที่จุด x0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ณ จุดนี้

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์หากจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน x และพิกัดของมันเปลี่ยนแปลงตามกฎ x(t) ความเร็วของจุดนั้นในทันที:

แนวคิดของความแตกต่างคุณสมบัติของมัน กฎความแตกต่าง ตัวอย่าง.

คำนิยาม.ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง x คือส่วนหลักที่เป็นเส้นตรงของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน y = f(x) เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์และการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ x ( การโต้แย้ง).

มันเขียนแบบนี้:

หรือ

หรือ


คุณสมบัติดิฟเฟอเรนเชียล
ดิฟเฟอเรนเชียลมีคุณสมบัติคล้ายกับอนุพันธ์:





ถึง กฎพื้นฐานของความแตกต่างรวม:
1) นำตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์
2) อนุพันธ์ของผลรวม อนุพันธ์ของส่วนต่าง
3) อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน
4) อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน (อนุพันธ์ของเศษส่วน)

ตัวอย่าง.
มาพิสูจน์สูตรกัน: โดยนิยามอนุพันธ์ เรามี:

ปัจจัยโดยพลการสามารถนำออกจากเครื่องหมายของทางเดินไปยังขีด จำกัด (ซึ่งเป็นที่รู้จักจากคุณสมบัติของขีด จำกัด ) ดังนั้น

ตัวอย่างเช่น:หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้:เราใช้กฎของการเอาตัวคูณออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ :

บ่อยครั้งจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของรูปแบบของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนทิเอเบิลก่อน เพื่อใช้ตารางอนุพันธ์และกฎในการหาอนุพันธ์ ตัวอย่างต่อไปนี้ยืนยันอย่างชัดเจน

สูตรสร้างความแตกต่าง การประยุกต์ใช้ผลต่างในการคำนวณโดยประมาณ ตัวอย่าง.

การใช้ดิฟเฟอเรนเชียลในการคำนวณโดยประมาณทำให้สามารถใช้ค่าดิฟเฟอเรนเชียลในการคำนวณค่าฟังก์ชันโดยประมาณได้
ตัวอย่าง.
ใช้ส่วนต่าง คำนวณ ประมาณ
ในการคำนวณ ค่าที่กำหนดใช้สูตรจากทฤษฎี
ให้เราแนะนำฟังก์ชันและแสดงค่าที่กำหนดในรูปแบบ
แล้วคำนวณ

แทนที่ทุกอย่างลงในสูตร เราจะได้
ตอบ:

16. กฎของ L'Hopital สำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม 0/0 หรือ ∞/∞ ตัวอย่าง.
ลิมิตของอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากหรือสองปริมาณมากอนันต์เท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของพวกมัน

1)

17. การเพิ่มและลดฟังก์ชัน สุดขีดของฟังก์ชัน อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดโต่ง ตัวอย่าง.

การทำงาน เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาถ้าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ ของช่วงเวลานี้ ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง, ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง นั่นคือ, คุ้มค่ากว่าอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน และกราฟของฟังก์ชันจะไป "จากล่างขึ้นบน" ฟังก์ชันการสาธิตเติบโตตามช่วงเวลา

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน ลดลงบนช่วงเวลาหากจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลาที่กำหนดให้ อสมการเป็นจริง กล่าวคือ ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน และกราฟจะไป "จากบนลงล่าง" ของเราลดลงตามช่วงเวลาลดลงตามช่วงเวลา .

สุดขั้วจุดนี้เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นสูงสุดและแสดงว่า
จุดนี้เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงว่า
บริเวณใกล้เคียงของจุดเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วง โดยที่จำนวนบวกน้อยเพียงพอ
จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกว่าจุดสุดโต่งและเรียกค่าฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับจุดสุดโต่ง ฟังก์ชั่นสุดขั้ว.

เพื่อสำรวจฟังก์ชั่น เพื่อความน่าเบื่อใช้ไดอะแกรมต่อไปนี้:
- ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน;
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและโดเมนของอนุพันธ์
- ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์เช่น ค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์
- ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน ส่วนทั่วไปโดเมนของฟังก์ชันและโดเมนของอนุพันธ์และบนนั้น - ศูนย์ของอนุพันธ์
- กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงที่ได้รับ
- โดยสัญญาณของอนุพันธ์ ให้กำหนดช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลงเมื่อใด
- บันทึกช่องว่างที่เหมาะสมโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) สำหรับ monotonicity และ extrema:
1) ค้นหาอนุพันธ์ f ′(x)
2) ค้นหาจุดหยุดนิ่ง (f ′(x) = 0) และจุดวิกฤต (f ′(x) ไม่มีอยู่จริง) ของฟังก์ชัน y = f(x)
3) ทำเครื่องหมายจุดที่อยู่กับที่และจุดวิกฤตบนเส้นจริงและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์
4) หาข้อสรุปเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและจุดสุดขั้ว

18. ความนูนของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน. อัลกอริธึมสำหรับตรวจสอบฟังก์ชันความนูน (Concavity) Examples.

นูนลงบนช่วง X ถ้ากราฟของมันตั้งอยู่ไม่ต่ำกว่าแทนเจนต์ที่จุดใดๆ ของช่วง X

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลเรียกว่า นูนขึ้นบนช่วง X ถ้ากราฟของมันตั้งอยู่ไม่สูงกว่าแทนเจนต์ที่จุดใดๆ ของช่วง X

สูตรจุดเรียกว่า จุดเปลี่ยนกราฟฟังก์ชัน y \u003d f (x) หาก ณ จุดที่กำหนด มีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (สามารถขนานกับแกน Oy ได้) และบริเวณใกล้เคียงของสูตรจุดนั้นจะมีกราฟของ ฟังก์ชันมีทิศทางนูนต่างกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของจุด M

การหาระยะนูน:

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองจำกัดในช่วงเวลา X และถ้าเป็นอสมการ () จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีส่วนนูนชี้ลง (ขึ้น) บน X
ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณค้นหาช่วงเวลาของความเว้าและความนูนของฟังก์ชัน คุณจะต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันและตามลำดับบนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่าง: ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน มีนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง มีนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง
วิธีการแก้:โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน

โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นพร้อมกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้น เพื่อที่จะหาช่วงเวลาของการเว้าและความนูน ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้และตามลำดับ ดังนั้น ฟังก์ชันจะนูนลงบนสูตรช่วงเวลาและนูนขึ้นบนสูตรช่วงเวลา

19) เส้นกำกับของฟังก์ชัน ตัวอย่าง.

เรียกตรงว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟของฟังก์ชันหากค่าจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าหรือเท่ากับ หรือ .

ความคิดเห็นเส้นไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวตั้งได้หากฟังก์ชันต่อเนื่องที่ ดังนั้นควรหาเส้นกำกับแนวตั้งที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน

เรียกตรงว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟของฟังก์ชันหากค่าจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าหรือเท่ากับ .

ความคิดเห็นกราฟฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับแนวนอนด้านขวาหรือด้านซ้ายได้เท่านั้น

เรียกตรงว่า เส้นกำกับเฉียงกราฟของฟังก์ชัน if

ตัวอย่าง:

ออกกำลังกาย.ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้.ขอบเขตการทำงาน:

a) เส้นกำกับแนวตั้ง: เส้นตรงคือเส้นกำกับแนวตั้งตั้งแต่

b) เส้นกำกับแนวนอน: เราพบขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่อนันต์:

นั่นคือไม่มีเส้นกำกับแนวนอน

c) เส้นกำกับเฉียง:

ดังนั้น เส้นกำกับเฉียงคือ:

ตอบ.เส้นกำกับแนวตั้งเป็นเส้นตรง

เส้นกำกับเฉียงเป็นเส้นตรง

20) โครงการทั่วไปการศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน ตัวอย่าง.

ก.
ค้นหา ODZ และเบรกพอยต์ของฟังก์ชัน

ข. หาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด

2. ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 คือ หาจุดปลายสุดของฟังก์ชันและช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง

3. ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง นั่นคือ หาจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชันและช่วงของความนูนและความเว้าของฟังก์ชัน

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน: a) แนวตั้ง b) เฉียง

5. บนพื้นฐานของการศึกษา ให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน

โปรดทราบว่าก่อนการพล็อต จะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นคู่หรือคี่

จำได้ว่ามีการเรียกใช้ฟังก์ชันแม้ว่าค่าของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป: ฉ(-x) = เอฟ(x)และฟังก์ชันจะเรียกว่าคี่ if ฉ(-x) = -f(x).

ในกรณีนี้ ให้ศึกษาฟังก์ชันและพลอตกราฟของฟังก์ชันก็พอแล้ว ค่าบวกอาร์กิวเมนต์ที่เป็นของ ODZ ที่ ค่าลบอาร์กิวเมนต์ กราฟจะเสร็จสมบูรณ์บนพื้นฐานที่ว่าสำหรับฟังก์ชันคู่นั้นมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน ออยและสำหรับเรื่องแปลกที่เกี่ยวกับที่มา

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

ขอบเขตฟังก์ชัน D(y)= (–∞; +∞).ไม่มีจุดแตกหัก

ทางแยกแกน วัว: x = 0,y= 0.

ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงสามารถตรวจสอบได้เฉพาะในช่วงเวลา และอาร์กิวเมนต์อยู่ในหน่วยของ [x] จากนั้นอนุพันธ์ (ความเร็ว) จะถูกวัดเป็นหน่วยของ .

งาน 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17 โดยที่ x t t= 9 วินาที

การหาอนุพันธ์
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
ดังนั้นเราจึงได้รับการพึ่งพาความเร็วตรงเวลา ในการหาความเร็ว ณ เวลาที่กำหนด คุณต้องแทนที่ค่าของมันในสูตรผลลัพธ์:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 − 48 = 60.

ตอบ: 60

ความคิดเห็น: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราไม่ได้ทำผิดพลาดกับขนาดของปริมาณ ในที่นี้ หน่วยของระยะทาง (ฟังก์ชัน) [x] = เมตร หน่วยของเวลา (อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน) [t] = วินาที ดังนั้น หน่วยของอนุพันธ์ = [m/s] เช่น อนุพันธ์ให้ความเร็วในหน่วยที่กล่าวถึงปัญหาเท่านั้น

งาน7

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+23 โดยที่ x- ระยะทางจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t- เวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็วของมัน (เป็นเมตรต่อวินาที) ในขณะนั้น t= 3 วินาที

การหาอนุพันธ์
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
เราแทนที่ช่วงเวลาที่กำหนดในสูตรผลลัพธ์
x"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59

ตอบ: 59

งาน 8

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย x(t) = t 2 − 13t+23 โดยที่ x- ระยะทางจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t- เวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นการเคลื่อนไหว ความเร็วของเธอเท่ากับ 3 m/s ในช่วงเวลาใด (เป็นวินาที)

การหาอนุพันธ์
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
เราเทียบความเร็วที่กำหนดโดยสูตรที่ได้รับกับค่า 3 m/s
2t − 13 = 3.
การแก้สมการนี้ เราจะกำหนดว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงในเวลาใด
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

ตอบ: 8

งาน 9

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3 โดยที่ x- ระยะทางจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t- เวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นการเคลื่อนไหว ความเร็วของเธอเท่ากับ 2 m/s ณ เวลาใด (เป็นวินาที)

การหาอนุพันธ์
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
เรายังสร้างสมการ:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
นี่คือสมการกำลังสองที่แก้ได้โดยใช้ดิสคริมิแนนต์หรือทฤษฎีบทของเวียตา ในความคิดของฉัน วิธีที่สองง่ายกว่า:
t 1 + t 2 = 6; tหนึ่ง · t 2 = −7.
มันง่ายที่จะเดาว่า t 1 = −1; t 2 = 7.
เราใส่เฉพาะรากที่เป็นบวกในคำตอบเพราะ เวลาไม่สามารถเป็นลบได้

พิจารณาเส้นตรงตามอำเภอใจที่ลากผ่านจุดของกราฟของฟังก์ชัน - จุด A (x 0ฉ (x 0)) และตัดกราฟ ณ จุดใดจุดหนึ่ง B(x; f(x .) )). เส้นตรง (AB) ดังกล่าวเรียกว่าซีแคนต์ จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x; BC \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

ตั้งแต่ AC || Ox จากนั้น Р ALO = Р BAC = β (ตามแบบขนาน) แต่Ð ALO คือมุมเอียงของซีแคนต์ AB กับทิศทางบวกของแกน Ox วิธี, tgβ = k - ความลาดชัน AB โดยตรง

ตอนนี้เราจะลด ∆x นั่นคือ ∆x→ 0. ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และจุดตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ AB ที่ ∆х→ 0 จะเป็นเส้นตรง (เอ ) เรียกแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด A

ถ้าเราผ่านถึงขีด จำกัด เป็น ∆х → 0 ในความเท่าเทียมกัน tg β =∆ y /∆ x จากนั้นเราจะได้

หรือ tg a \u003d f "(x 0) ตั้งแต่
เอ - มุมเอียงของเส้นสัมผัสไปยังทิศทางบวกของแกน Ox

โดยนิยามของอนุพันธ์ แต่ tgเอ = k คือความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น k = tg a \u003d f "(x 0).

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชัน แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาดที่จุดที่มี abscissa x 0

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุดในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง x(t ). เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากวิชาฟิสิกส์) ว่า ความเร็วเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง [ t0; t0 + ∆t ] เท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

Vav = ∆x /∆t . ขอให้เราผ่านไปยังขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น ∆เสื้อ → 0.

ลิม V cf (t) = n (t 0 ) - ความเร็วชั่วขณะหนึ่งเสื้อ 0 , ∆t → 0.

และ lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น n(t) = x "(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ( x) ณ จุดนั้นx 0 คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์ถูกใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดจากเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วจากเวลา

คุณ (t) \u003d x "(t) - ความเร็ว

a(f) = n "(t ) - การเร่งความเร็วหรือ

a (t) \u003d x "(t)

หากรู้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ชี้ไปตามวงกลม ก็เป็นไปได้ที่จะหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ (t ) - เปลี่ยนมุมจากเวลา

ω = ฟาย "(t ) - ความเร็วเชิงมุม,

ε = ฟาย "(t ) - ความเร่งเชิงมุมหรือε \u003d φ "(t)

หากทราบกฎการกระจายสำหรับมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

m \u003d m (x) - มวล

x н , l - ความยาวก้าน

p = m "(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นของฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ใช่ ตามกฎของฮุก

F = - kx , x - พิกัดตัวแปร k - ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง วางω 2 = k / m , เราได้รับ สมการเชิงอนุพันธ์ลูกตุ้มสปริง x "(เสื้อ ) + ω 2 x(เสื้อ ) = 0,

โดยที่ ω = √k /√m ความถี่การสั่น (ลิตร/c ), k - ความฝืดสปริง (ชม./ม.).

สมการของรูปแบบ y" +ω 2 ญ = 0 เรียกว่าสมการการแกว่งของฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) คำตอบของสมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) หรือ y \u003d Acos (ωt + φ 0 ) โดยที่

A คือแอมพลิจูดของการแกว่งω - ความถี่วัฏจักร

φ 0 - ระยะเริ่มต้น