เส้นจินตภาพ. รูปแบบบัญญัติของสมการคืออะไร? วงรีและสมการบัญญัติของมัน

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าการจัดประเภทตามความชอบของเส้นโค้งอันดับสองนั้นถูกกำหนดโดยชื่อของเส้นโค้งนั้นเอง นั่นคือคลาสที่สัมพันธ์กันของเส้นโค้งอันดับสองคือคลาส:

วงรีจริง

วงรีจินตภาพ;

อติพจน์;

เส้นตัดคู่จริง

คู่ของจินตภาพ (คอนจูเกต) ตัดกัน;

คู่ของเส้นจริงคู่ขนาน

คู่ของเส้นคอนจูเกตจินตภาพคู่ขนาน

คู่ของเส้นจริงที่ประจวบกัน

เราต้องพิสูจน์สองข้อความ:

A. เส้นโค้งทั้งหมดที่มีชื่อเดียวกัน (กล่าวคือ วงรีทั้งหมด ไฮเปอร์โบลาทั้งหมด ฯลฯ) มีความเสมอภาคกัน

B. เส้นโค้งสองเส้นที่มีชื่อต่างกันไม่เคยสัมพันธ์กัน

เราพิสูจน์คำยืนยัน A ในบทที่ XV, § 3 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจุดไข่ปลาทั้งหมดมีความสัมพันธ์เทียบเท่ากับหนึ่งในนั้น กล่าวคือ วงกลมและไฮเปอร์โบลาทั้งหมดเป็นไฮเปอร์โบลา ดังนั้น วงรีทั้งหมดตามลำดับไฮเปอร์โบลาทั้งหมดจึงเทียบเท่ากับ กันและกัน. วงรีจินตภาพทั้งหมดที่มีความสัมพันธ์สัมพันธ์กันกับวงกลม - 1 ของรัศมีก็มีความสัมพัทธ์เท่ากัน

ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของอัฟฟีนของพาราโบลาทั้งหมด เราจะพิสูจน์ให้มากขึ้น กล่าวคือ พาราโบลาทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าพาราโบลาที่ให้ในระบบพิกัดบางระบบโดยสมการบัญญัติ

เหมือนพาราโบลา

ในการทำเช่นนี้ เราแปลงระนาบให้มีความคล้ายคลึงกันโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ - :

จากนั้นภายใต้การแปลงของเราเส้นโค้ง

เข้าโค้ง

เช่น เป็นพาราโบลา

คิวอีดี

มาต่อกันที่เส้นโค้งผุพัง ใน § สูตร (9) และ (11) หน้า 401 และ 402) พบว่าเส้นโค้งที่แยกออกเป็นคู่ของเส้นตัดกันในระบบพิกัดบางระบบ (แม้แต่สี่เหลี่ยม) มีสมการ

ทำการแปลงพิกัดเพิ่มเติม

เราจะเห็นว่าเส้นโค้งใด ๆ ที่สลายตัวเป็นคู่ของการตัดกันจริง ตามลำดับ คอนจูเกตจินตภาพ เส้นตรง มีระบบพิกัดสัมพัทธ์ในสมการ

สำหรับเส้นโค้งที่แยกออกเป็นเส้นคู่ขนานนั้น แต่ละเส้นสามารถเป็น (แม้ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางระบบ) ได้จากสมการ

อย่างแท้จริง ตามลำดับ

สำหรับจินตภาพโดยตรง การแปลงพิกัดทำให้เราสามารถใส่สมการเหล่านี้ได้ (หรือสำหรับเส้นประจวบกัน) นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของเส้นโค้งลำดับที่สองที่เน่าเปื่อยทั้งหมดซึ่งมีชื่อเหมือนกัน

เราหันไปหาหลักฐานการยืนยัน B.

ก่อนอื่น เราสังเกตว่าภายใต้การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของระนาบ ลำดับของเส้นโค้งพีชคณิตยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่มเติม: เส้นโค้งผุพังใด ๆ ของลำดับที่สองคือเส้นตรงคู่หนึ่ง และภายใต้การแปลงสัมพัทธ์ เส้นตรงจะกลายเป็นเส้นตรง เส้นตัดคู่หนึ่งกลายเป็นคู่ของเส้นตัดกัน และเส้นคู่ขนานจะกลายเป็น คู่ขนาน; นอกจากนี้ เส้นจริงกลายเป็นของจริง และเส้นจินตภาพกลายเป็นจินตภาพ สิ่งนี้เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสูตร (3) (บทที่ XI, § 3) ที่กำหนดการแปลงสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง

ตามมาจากสิ่งที่กล่าวกันว่าเส้นที่สัมพันธ์กับเส้นโค้งอันดับสองที่เสื่อมโทรมที่กำหนดนั้นเป็นเส้นโค้งที่เสื่อมสลายที่มีชื่อเดียวกัน

เราผ่านไปยังเส้นโค้งที่ไม่เน่าเปื่อย อีกครั้งด้วยการแปลงความคล้ายคลึงกัน เส้นโค้งที่แท้จริงไม่สามารถเข้าไปในส่วนจินตภาพได้ และในทางกลับกันด้วย ดังนั้น คลาสของวงรีจินตภาพจึงมีค่าสัมพรรคภาพไม่เปลี่ยนแปลง

พิจารณาคลาสของเส้นโค้งที่ไม่สลายตัวจริง: วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา

ในบรรดาเส้นโค้งทั้งหมดของลำดับที่สอง วงรีทุกวงและมีเพียงวงรีเท่านั้นที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางเส้น ในขณะที่พาราโบลาและไฮเปอร์โบลา (รวมถึงเส้นโค้งที่เน่าเปื่อยทั้งหมด) จะขยายไปถึงอนันต์

ภายใต้การแปลงความคล้ายคลึง สี่เหลี่ยม ABCD ที่มีวงรีที่กำหนดจะเข้าสู่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นโค้งที่แปลงแล้ว ซึ่งไม่สามารถไปที่อนันต์ได้ ดังนั้น จึงเป็นวงรี

ดังนั้น เส้นโค้งที่สัมพันธ์กับวงรีจึงจำเป็นต้องเป็นวงรี สืบเนื่องมาจากสิ่งที่พิสูจน์แล้วว่าเส้นโค้งที่สัมพันธ์กับไฮเปอร์โบลาหรือพาราโบลาไม่สามารถเป็นวงรีได้ (และอย่างที่เราทราบแล้ว เส้นโค้งนั้นไม่สามารถเป็นเส้นโค้งที่ผุพังได้เช่นกัน ดังนั้นจึงเหลือเพียงการพิสูจน์ว่าอยู่ภายใต้ความผูกพัน การเปลี่ยนแปลงของระนาบไฮเปอร์โบลาไม่สามารถผ่านเข้าไปในพาราโบลาได้และในทางกลับกันสิ่งนี้อาจเป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าพาราโบลาไม่มีศูนย์กลางของสมมาตรในขณะที่ไฮเปอร์โบลาทำ แต่เนื่องจากไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตรสำหรับ พาราโบลาจะได้รับการพิสูจน์ในบทต่อไปเท่านั้น ตอนนี้เราจะให้ข้อพิสูจน์ที่สองที่ง่ายมากเช่นกัน ที่สัมพันธ์กับความไม่สมมูลของไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

เล็มมา ถ้าพาราโบลามีจุดร่วมโดยแต่ละระนาบครึ่งสองระนาบที่กำหนดไว้ในระนาบของเส้น d ที่กำหนด มันก็มีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดกับเส้น

อันที่จริงเราได้เห็นว่ามีระบบพิกัดซึ่งพาราโบลาที่กำหนดมีสมการ

ให้, เทียบกับระบบพิกัดนี้, เส้นตรง d มีสมการ

ตามสมมติฐาน มีจุดสองจุดบนพาราโบลา จุดหนึ่ง สมมุติว่าอยู่ในค่าบวก และอีกจุดหนึ่งในครึ่งระนาบลบเทียบกับสมการ (1) เพราะฉะนั้น จำไว้ว่าเราเขียนได้

รายการสั่งซื้อที่สอง

เส้นระนาบที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเป็นไปตามสมการพีชคณิตระดับที่ 2

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

สมการ (*) อาจไม่สามารถกำหนดภาพเรขาคณิตที่แท้จริงได้ แต่ในกรณีเช่นนี้ ในกรณีเช่นนี้ ได้มีการกล่าวกันว่ากำหนดเส้นตรงในจินตภาพ v n. ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไป (*) มันสามารถแปลงได้โดยการแปลต้นกำเนิดและการหมุนของระบบพิกัดขนานกันโดยบางมุมถึงหนึ่งใน 9 รูปแบบบัญญัติด้านล่างซึ่งแต่ละอัน สอดคล้องกับคลาสของบรรทัด อย่างแน่นอน,

เส้นที่ไม่แตกหัก:

y 2 = 2px - พาราโบลา

เส้นแบ่ง:

x 2 - a 2 \u003d 0 - เส้นคู่ขนาน

x 2 + a 2 \u003d 0 - เส้นคู่ขนานในจินตนาการ

x 2 = 0 - คู่ของเส้นคู่ขนานที่ประจวบกัน

การวิจัยลุค ​​L. in. สามารถทำได้โดยไม่ลดสมการทั่วไปให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติ สิ่งนี้ทำได้โดยการพิจารณาร่วมกันของค่านิยมที่เรียกว่า ค่าคงที่พื้นฐานของ L.v. n. - นิพจน์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสมการ (*) ค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลงด้วยการแปลแบบคู่ขนานและการหมุนของระบบพิกัด:

S \u003d 11 + 22,(เอเจ = อาจิ).

ตัวอย่างเช่นวงรีซึ่งเป็นเส้นที่ไม่สลายตัวนั้นมีลักษณะเฉพาะสำหรับพวกเขา Δ ≠ 0; ค่าบวกของค่าคงที่ δ แยกแยะวงรีจากเส้นที่ไม่สลายตัวประเภทอื่น (สำหรับไฮเปอร์โบลา δ

ค่าคงที่หลักสามค่า Δ, δ และ S กำหนด LV (ยกเว้นกรณีของเส้นขนาน) ขึ้นไปจนถึงการเคลื่อนที่ (ดู การเคลื่อนที่) ของระนาบแบบยุคลิด: หากค่าคงที่ที่สอดคล้องกัน Δ, δ และ S ของเส้นสองเส้นเท่ากัน เส้นดังกล่าวสามารถรวมกันได้ด้วยการเคลื่อนที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นเหล่านี้เทียบเท่ากับกลุ่มการเคลื่อนที่ของระนาบ (เทียบเท่าทางเมตริก)

มีการจำแนกประเภทของ L. จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงกลุ่มอื่นๆ ดังนั้น ค่อนข้างกว้างกว่ากลุ่มของการเคลื่อนไหว กลุ่มของการแปลงความคล้ายคลึงกัน (ดูการแปลง Affine) สองเส้นใดๆ ที่กำหนดโดยสมการของรูปแบบบัญญัติเดียวกันจะเทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่น L. in. ที่คล้ายกันสองตัว น. (ดูความคล้ายคลึงกัน) ถือว่าเทียบเท่า การเชื่อมต่อระหว่างคลาส affine ต่างๆ ของ linear c.v. ช่วยให้เราสามารถจัดประเภทจากมุมมองของเรขาคณิตฉาย (ดูเรขาคณิตฉาย) ซึ่งองค์ประกอบที่อินฟินิตี้ไม่ได้มีบทบาทพิเศษ ไม่สลายตัว L. in. เป็นต้น: วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาเป็นคลาสโปรเจกทีฟหนึ่งคลาส - คลาสของเส้นวงรีจริง (วงรี) เส้นวงรีจริงคือวงรี ไฮเปอร์โบลา หรือพาราโบลา ขึ้นอยู่กับว่ามันตั้งอยู่อย่างไรเมื่อเทียบกับเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด: วงรีตัดกับเส้นที่ไม่เหมาะสมที่จุดจินตภาพสองจุด ไฮเปอร์โบลาที่จุดจริงสองจุดที่แตกต่างกัน พาราโบลาสัมผัสกับเส้นที่ไม่เหมาะสม ; มีการแปรรูปเชิงโปรเจ็กต์ที่นำเส้นเหล่านี้มารวมกัน มีเพียง 5 คลาสโปรเจกทีฟสมมูลของ L.v. น. อย่างแม่นยำ,

เส้นไม่เสื่อม

(x 1 , x 2 , x 3- พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - วงรีจริง

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - วงรีจินตภาพ

เส้นเสื่อมสภาพ:

x 1 2 - x 2 2= 0 - คู่ของเส้นจริง

x 1 2 + x 2 2= 0 - เส้นจินตภาพคู่หนึ่ง

x 1 2= 0 - คู่ของเส้นจริงที่ประกบกัน

เอ.บี.อีวานอฟ

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "บรรทัดของลำดับที่สอง" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

เส้นระนาบที่มีพิกัดจุดสี่เหลี่ยมตรงกับสมการพีชคณิตระดับที่ 2 ในบรรดาบรรทัดของลำดับที่สองคือวงรี (โดยเฉพาะ, วงกลม), ไฮเปอร์โบลา, พาราโบลา ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

เส้นระนาบที่มีพิกัดจุดสี่เหลี่ยมตรงกับสมการพีชคณิตระดับที่ 2 ในบรรดาบรรทัดของลำดับที่สองคือวงรี (โดยเฉพาะ วงกลม), ไฮเปอร์โบลา, พาราโบลา * * * บรรทัดคำสั่งที่สอง, บรรทัดคำสั่งที่สอง,… … พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นแบน สี่เหลี่ยม พิกัดของจุด k px ตรงกับพีชคณิต ยูเรเนียมระดับที่ 2 ในหมู่แอล. น. วงรี (โดยเฉพาะวงกลม), ไฮเปอร์โบลา, พาราโบลา... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นแบน พิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมเพื่อจัดกลุ่มตามพีชคณิต สมการของสมการดีกรีที่ 2 (*) อาจไม่สามารถกำหนดเรขาคณิตที่แท้จริงได้ ภาพแต่เพื่อรักษาส่วนรวมในกรณีเช่นนี้เขากล่าวว่ากำหนด ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ชุดของจุดของสเปซจริง (หรือเชิงซ้อน) 3 มิติ ซึ่งพิกัดในระบบคาร์ทีเซียนเป็นไปตามพีชคณิต สมการของดีกรีที่ 2 (*) สมการ (*) อาจไม่สามารถกำหนดเรขาคณิตที่แท้จริงได้ ภาพในลักษณะดังกล่าว ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้ มักใช้ในเรขาคณิตของเส้นโค้ง มีความหมายไม่ชัดเจนนัก เมื่อคำนี้ใช้กับเส้นโค้งที่ไม่ปิดและไม่แตกแขนง การแตกแขนงของเส้นโค้งหมายถึงแต่ละบุคคลที่ต่อเนื่องกัน ... ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟเอ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

เส้นของลำดับที่สอง สองเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่ละเส้นแบ่งคอร์ดของเส้นโค้งนี้ ขนานกัน SDs มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีทั่วไปของลำดับที่สอง ด้วยการฉายภาพขนานของวงรีเข้าไปในวงกลมของ S. d. ... ...

เส้นที่ได้จากการตัดรูปกรวยวงกลมด้านขวากับระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอด เค.เอส. สามารถมีได้สามประเภท: 1) ระนาบการตัดตัดกันเครื่องกำเนิดกรวยทั้งหมดที่จุดหนึ่งในโพรงของมัน ไลน์… … สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

เส้นที่ได้จากการตัดรูปกรวยวงกลมด้านขวากับระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอด เค.เอส. สามารถมีได้สามประเภท: 1) ระนาบการตัดตัดกันเครื่องกำเนิดกรวยทั้งหมดที่จุดหนึ่งในโพรงของมัน (รูปที่, a): เส้นของทางแยก ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ส่วนเรขาคณิต แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตคือภาพเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด (จุด เส้น เครื่องบิน เส้นโค้ง และพื้นผิวลำดับที่สอง) วิธีหลักของการวิจัยใน A. g. คือวิธีพิกัด (ดูด้านล่าง) และวิธีการ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

หนังสือ

• หลักสูตรระยะสั้นในเรขาคณิตวิเคราะห์ Efimov Nikolai Vladimirovich วิชาของการศึกษาเรขาคณิตวิเคราะห์คือตัวเลข ซึ่งในพิกัดคาร์ทีเซียนได้มาจากสมการของดีกรีหนึ่งหรือสอง บนเครื่องบิน สิ่งเหล่านี้คือเส้นตรงและเส้นของลำดับที่สอง ...

นี่คือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไปของสมการ เมื่อในเวลาไม่กี่วินาที มันก็ชัดเจนว่ามันกำหนดวัตถุเรขาคณิตอะไร นอกจากนี้ รูปแบบบัญญัติยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ตามสมการบัญญัติ "แบน" ตรงประการแรก เป็นที่แน่ชัดในทันทีว่านี่เป็นเส้นตรง และประการที่สอง จุดที่เป็นของมันและเวกเตอร์ทิศทางนั้นมองเห็นได้ชัดเจน

แน่นอน ใดๆ ไลน์ออร์เดอร์ที่ 1แสดงถึงเส้นตรง บนชั้นสองไม่มีภารโรงรอเราอยู่อีกต่อไป แต่มีรูปปั้นเก้ารูปที่มีความหลากหลายมากขึ้น:

การจำแนกประเภทของรายการสั่งซื้อที่สอง

ด้วยความช่วยเหลือของชุดการกระทำพิเศษ สมการลำดับที่สองใดๆ จะลดลงเหลือประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

(และเป็นจำนวนจริงบวก)

1) คือสมการบัญญัติของวงรี

2) คือสมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลา

3) คือสมการบัญญัติของพาราโบลา

4) – จินตภาพวงรี;

5) - เส้นตัดกันคู่หนึ่ง;

6) - คู่รัก จินตภาพเส้นตัดกัน (มีจุดตัดจริงเพียงจุดเดียวที่จุดกำเนิด)

7) - เส้นคู่ขนาน;

8) - คู่รัก จินตภาพเส้นขนาน;

9) เป็นคู่ของเส้นประจวบกัน

ผู้อ่านบางคนอาจรู้สึกว่ารายการไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าที่ 7 สมการกำหนดคู่ โดยตรงขนานกับแกนแล้วเกิดคำถามว่า สมการที่กำหนดเส้นขนานกับแกน y อยู่ที่ไหน ตอบคำถามนั้น ไม่ถือเป็นศีล. เส้นตรงแสดงถึงกรณีมาตรฐานเดียวกันที่หมุนไป 90 องศา และรายการเพิ่มเติมในการจำแนกประเภทนั้นซ้ำซ้อน เนื่องจากไม่มีสิ่งใหม่โดยพื้นฐาน

ดังนั้น มีเก้าและเก้าประเภทที่แตกต่างกันของรายการสั่งซื้อที่ 2 แต่ในทางปฏิบัติ ที่พบมากที่สุดคือ วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา.

มาดูวงรีกันก่อน เช่นเคย ฉันเน้นที่ประเด็นที่มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้ปัญหา และหากคุณต้องการรายละเอียดที่มาของสูตร การพิสูจน์ทฤษฎีบท โปรดอ้างอิงถึงหนังสือเรียนของ Bazylev / Atanasyan หรือ Aleksandrov ..

วงรีและสมการบัญญัติของมัน

การสะกดคำ ... โปรดอย่าทำซ้ำข้อผิดพลาดของผู้ใช้ Yandex บางคนที่มีความสนใจใน "วิธีสร้างวงรี", "ความแตกต่างระหว่างวงรีและวงรี" และ "ความเยื้องศูนย์ของ elebs"

สมการมาตรฐานของวงรีมีรูปแบบ โดยที่เป็นจำนวนจริงบวก และ ฉันจะกำหนดคำจำกัดความของวงรีในภายหลัง แต่ตอนนี้ ได้เวลาพักจากการพูดคุยและแก้ปัญหาทั่วไป:

จะสร้างวงรีได้อย่างไร?

ใช่ เอามันและเพียงแค่วาดมัน การมอบหมายเป็นเรื่องปกติและส่วนสำคัญของนักเรียนไม่สามารถรับมือกับภาพวาดได้:

ตัวอย่างที่ 1

สร้างวงรีที่กำหนดโดยสมการ

การตัดสินใจ: อันดับแรก เรานำสมการมาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ:

เอามาทำไม? ข้อดีอย่างหนึ่งของสมการบัญญัติคือช่วยให้คุณระบุได้ทันที จุดยอดวงรีซึ่งอยู่ที่จุด เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพิกัดของแต่ละจุดเหล่านี้เป็นไปตามสมการ

ในกรณีนี้ :


ส่วนของเส้นเรียกว่า แกนหลักวงรี;
ส่วนของเส้น – แกนรอง;
ตัวเลข เรียกว่า กึ่งแกนเอกวงรี;
ตัวเลข – แกนกึ่งรอง.
ในตัวอย่างของเรา: .

หากต้องการจินตนาการอย่างรวดเร็วว่าวงรีนี้หรือวงรีนั้นหน้าตาเป็นอย่างไร เพียงแค่ดูค่าของ "a" และ "be" ของสมการบัญญัติ

ทุกอย่างเรียบร้อยดีและสวยงาม แต่มีข้อแม้อยู่ข้อหนึ่ง: ฉันวาดภาพโดยใช้โปรแกรม และคุณสามารถวาดด้วยแอพพลิเคชั่นใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงที่โหดร้าย กระดาษลายตารางวางอยู่บนโต๊ะ และหนูก็เต้นรำไปรอบๆ มือของเรา แน่นอนว่าคนที่มีพรสวรรค์ด้านศิลปะสามารถโต้เถียงได้ แต่คุณก็มีหนูด้วย (ถึงแม้จะตัวเล็กกว่าก็ตาม) ไม่ไร้ประโยชน์ที่มนุษย์คิดค้นไม้บรรทัด เข็มทิศ ไม้โปรแทรกเตอร์ และอุปกรณ์ง่ายๆ อื่นๆ สำหรับการวาด

ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงไม่น่าจะสามารถวาดวงรีได้อย่างแม่นยำ โดยรู้เฉพาะจุดยอดเท่านั้น ไม่เป็นไร ถ้าวงรีมีขนาดเล็ก เช่น มีครึ่งแกน หรือคุณสามารถลดขนาดและขนาดของรูปวาดได้ตามนั้น แต่ในกรณีทั่วไป ขอแนะนำให้หาจุดเพิ่มเติม

มีสองวิธีในการสร้างวงรี - เรขาคณิตและพีชคณิต ฉันไม่ชอบสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดเพราะอัลกอริธึมสั้นและรูปวาดที่รกมาก ในกรณีฉุกเฉิน โปรดดูหนังสือเรียน แต่ในความเป็นจริง การใช้เครื่องมือของพีชคณิตมีเหตุผลมากกว่า จากสมการวงรีบนร่าง เราแสดงได้อย่างรวดเร็ว:

สมการจะแบ่งออกเป็นสองฟังก์ชัน:
– กำหนดส่วนโค้งด้านบนของวงรี;
– กำหนดส่วนโค้งด้านล่างของวงรี

วงรีใดๆ จะสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด เช่นเดียวกับจุดกำเนิด. และนั่นก็เยี่ยมมาก ความสมมาตรมักเป็นลางสังหรณ์ของผู้ไม่ประสงค์ออกนาม เห็นได้ชัดว่ามันเพียงพอที่จะจัดการกับไตรมาสพิกัดที่ 1 ดังนั้นเราจึงต้องมีฟังก์ชั่น . แนะนำให้หาจุดเพิ่มเติมด้วย abscissas . เรากด SMS สามครั้งบนเครื่องคิดเลข:

แน่นอนว่ายังเป็นที่น่ายินดีที่หากมีข้อผิดพลาดร้ายแรงในการคำนวณ สิ่งนี้จะชัดเจนทันทีในระหว่างการก่อสร้าง

ทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาด (สีแดง) จุดสมมาตรในส่วนโค้งอื่น ๆ (สีน้ำเงิน) และเชื่อมต่อทั้งบริษัทด้วยเส้นอย่างระมัดระวัง:


เป็นการดีกว่าที่จะวาดภาพร่างเริ่มต้นแบบบางและบางจากนั้นใช้แรงกดบนดินสอเท่านั้น ผลลัพธ์ควรเป็นวงรีที่ค่อนข้างดี อ้อ อยากทราบว่าโค้งนี้คืออะไรคะ?

เพื่อแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ฉันจะแสดงให้คุณเห็นสิ่งที่สอดคล้องในการตีความนี้กับข้อความต่อไปนี้: จุด (จริงหรือจินตภาพ) P อยู่บนเส้น (จริงหรือจินตภาพ) g ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างกรณีต่อไปนี้:

1) จุดจริงและเส้นจริง

2) จุดจริงและเส้นจินตภาพ

กรณีที่ 1) ไม่ต้องการคำอธิบายพิเศษจากเรา เรามีหนึ่งในความสัมพันธ์พื้นฐานของเรขาคณิตธรรมดา

ในกรณี 2) พร้อมกับเส้นจินตภาพที่กำหนด เส้นที่ซับซ้อนคอนจูเกตกับมันจะต้องผ่านจุดจริงที่กำหนด ดังนั้นจุดนี้จะต้องตรงกับจุดยอดของกลุ่มรังสีที่เราใช้แทนเส้นจินตภาพ

ในทำนองเดียวกัน ในกรณี 3) เส้นจริงต้องเหมือนกันกับการสนับสนุนของการวนเวียนเป็นเส้นตรงนั้นซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวแทนของจุดจินตภาพที่กำหนด

กรณีที่น่าสนใจที่สุดคือ 4) (รูปที่ 96): ในที่นี้ จุดคอนจูเกตที่ซับซ้อนต้องอยู่บนเส้นคอนจูเกตที่ซับซ้อนด้วย และด้วยเหตุนี้จุดคู่ของการวนเวียนของจุดที่แทนจุด P ต้องอยู่ บนเส้นคู่บางคู่ของการวนเวียนของเส้นที่เป็นตัวแทนของเส้นตรง ก. นั่นคือ การวนเวียนทั้งสองนี้ต้องอยู่ในมุมมองที่สัมพันธ์กัน ยิ่งไปกว่านั้น ปรากฏว่าลูกศรของทั้งสอง involutions ถูกวางไว้ในมุมมองด้วย

โดยทั่วไป ในเรขาคณิตวิเคราะห์ของระนาบ ซึ่งให้ความสนใจกับโดเมนเชิงซ้อนด้วย เราจะได้ภาพจริงที่สมบูรณ์ของระนาบนี้ หากเราเพิ่มองค์ประกอบใหม่ให้กับเซตของจุดและเส้นจริงทั้งหมดของเซตของส่วนที่เกี่ยวข้อง ตัวเลขที่พิจารณาข้างต้นพร้อมกับลูกศรบอกทิศทาง จะเพียงพอแล้วที่นี่ถ้าฉันร่างโครงร่างทั่วไปว่าจะสร้างภาพจริงของเรขาคณิตที่ซับซ้อนในรูปแบบใด ในการทำเช่นนั้น ฉันจะทำตามลำดับซึ่งมักจะนำเสนอข้อเสนอแรกของเรขาคณิตเบื้องต้น

1) พวกเขาเริ่มต้นด้วยสัจพจน์ของการดำรงอยู่ซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อให้การกำหนดที่แน่นอนของการมีอยู่ขององค์ประกอบที่เพิ่งกล่าวถึงในพื้นที่ที่ขยายออกไปเมื่อเปรียบเทียบกับรูปทรงเรขาคณิตทั่วไป

2) จากนั้นสัจพจน์ของการเชื่อมต่อซึ่งระบุว่าอยู่ในพื้นที่ขยายที่กำหนดไว้ในข้อ 1)! หนึ่งบรรทัดเท่านั้นที่ผ่าน (ทุก) สองจุด และ (ใดๆ) สองบรรทัดมีจุดเดียวและจุดเดียวที่เหมือนกัน

ในเวลาเดียวกัน เช่นเดียวกับที่กล่าวข้างต้น เราต้องแยกแยะสี่กรณีในแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับว่าองค์ประกอบที่ให้มานั้นเป็นของจริงหรือไม่ และดูเหมือนน่าสนใจมากที่จะคิดให้ถ้วนถี่ว่าสิ่งปลูกสร้างจริงใดที่มีจุดและเส้นรวมกันเป็นภาพ ของความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนเหล่านี้

3) สำหรับสัจพจน์ของการจัดเรียง (ลำดับ) ที่นี่ เมื่อเทียบกับความสัมพันธ์ที่แท้จริง สถานการณ์ใหม่ทั้งหมดเข้ามามีบทบาท โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดจริงและซับซ้อนทั้งหมดที่วางอยู่บนเส้นตายตัวเดียว เช่นเดียวกับรังสีทั้งหมดที่ผ่านจุดคงที่จุดเดียว ก่อตัวเป็นคอนตินิวอัมสองมิติ ท้ายที่สุด เราแต่ละคนได้เรียนรู้จากการศึกษาทฤษฎีฟังก์ชัน นิสัยในการแทนค่าผลรวมของตัวแปรเชิงซ้อนจากทุกจุดของระนาบ

4) สุดท้าย เกี่ยวกับสัจพจน์ของความต่อเนื่อง ฉันจะระบุเฉพาะว่าจุดที่ซับซ้อนนั้นถูกวาดขึ้นอย่างไร โดยอยู่ใกล้กับจุดจริงเท่าที่คุณต้องการ ในการทำเช่นนี้ผ่านจุดจริงที่ถ่าย P (หรือผ่านจุดจริงอื่นใกล้กับจุดนั้น) คุณต้องวาดเส้นตรงแล้วพิจารณาจุดสองคู่ที่แยกกัน (เช่นนอนใน "ทางข้าม" ") คู่ของคะแนน (รูปที่ . 97) เพื่อให้สองจุดที่นำมาจากคู่ที่ต่างกันอยู่ใกล้กันและถึงจุด P; หากตอนนี้เรานำจุดต่างๆ มารวมกันอย่างไม่มีกำหนด การวนรอบที่กำหนดโดยคู่ของคะแนนที่มีชื่อจะเสื่อมลง กล่าวคือ จุดคู่ที่ซับซ้อนจนถึงตอนนี้ทั้งสองจุดตรงกับจุดนั้น จุดจินตภาพแต่ละจุดที่แสดงโดยการวนเวียนนี้ (รวมกันเป็นหนึ่งหรือ ลูกศรอีกอันหนึ่ง) ผ่าน ดังนั้นต่อเนื่องไปยังจุดใดจุดหนึ่งใกล้กับ P หรือแม้แต่ตรงไปยัง P แน่นอน เพื่อให้สามารถใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องเหล่านี้ให้เกิดประโยชน์ได้ เราต้องทำงานร่วมกับพวกเขาในรายละเอียด

แม้ว่าโครงสร้างทั้งหมดนี้จะค่อนข้างยุ่งยากและน่าเบื่อหน่ายเมื่อเปรียบเทียบกับรูปทรงเรขาคณิตจริงทั่วไป แต่ก็สามารถให้มากกว่าที่ไม่มีใครเทียบได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสามารถเพิ่มระดับของภาพพีชคณิตที่ชัดเจนทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์ เข้าใจเป็นชุดขององค์ประกอบที่แท้จริงและซับซ้อน และด้วยความช่วยเหลือนี้ เราสามารถเข้าใจตนเองได้อย่างชัดเจนเกี่ยวกับตัวเลขเอง ทฤษฎีบทเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต หรือทฤษฎีบทของ Bezout ที่คำสั่งเส้นโค้งสองคำสั่งมีจุดร่วมทุกประการ เพื่อจุดประสงค์นี้ แน่นอนว่าจำเป็นต้องเข้าใจข้อกำหนดพื้นฐานในรูปแบบที่ชัดเจนและเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนกว่าที่เคยทำมา อย่างไรก็ตาม วรรณกรรมมีเนื้อหาทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสืบสวนดังกล่าวแล้ว

แต่ในกรณีส่วนใหญ่ การประยุกต์ใช้การตีความทางเรขาคณิตนี้ แม้จะมีข้อได้เปรียบเชิงทฤษฎีทั้งหมด แต่ก็จะนำไปสู่ความยุ่งยากดังกล่าวซึ่งเราจะต้องพอใจกับความเป็นไปได้พื้นฐานและกลับไปสู่มุมมองที่ไร้เดียงสามากขึ้น ซึ่งมีดังนี้: จุดที่ซับซ้อนคือชุดของพิกัดเชิงซ้อนสามตัว และด้วยจุดเชิงซ้อนนั้นสามารถดำเนินการได้ในลักษณะเดียวกับจุดจริงทุกประการ อันที่จริง การแนะนำองค์ประกอบจินตภาพดังกล่าว โดยละเว้นจากการใช้เหตุผลพื้นฐานใดๆ ได้พิสูจน์แล้วว่ามีผลในกรณีเหล่านั้นเสมอเมื่อเราต้องจัดการกับจุดวัฏจักรจินตภาพหรือวงกลมของทรงกลม ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว Poncelet เริ่มใช้องค์ประกอบจินตภาพในแง่นี้เป็นครั้งแรก ผู้ติดตามของเขาในแง่นี้คือ geometers ฝรั่งเศสอื่น ๆ ส่วนใหญ่ Chall และ Darboux; ในประเทศเยอรมนี เรขาคณิตจำนวนหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Lie ยังใช้ความเข้าใจองค์ประกอบจินตภาพนี้ด้วยความสำเร็จอย่างมาก

ด้วยการพูดนอกประเด็นนี้ในขอบเขตของจินตภาพ ฉันสรุปส่วนที่สองทั้งหมดของหลักสูตรของฉันและเปิดบทใหม่

8.3.15. จุด A อยู่บนเส้น ระยะทางจากจุด A ถึงเครื่องบิน

8.3.16. เขียนสมการเส้นตรงสมมาตรเป็นเส้นตรง

เทียบกับเครื่องบิน .

8.3.17. เขียนสมการการฉายภาพบนระนาบ บรรทัดต่อไปนี้:

ก) ;

ข)

ใน) .

8.3.18. ค้นหามุมระหว่างระนาบกับเส้น:

ก) ;

ข) .

8.3.19. ค้นหาจุดสมมาตรถึงจุด เกี่ยวกับเครื่องบินที่ผ่านเส้น:

และ

8.3.20. จุด A อยู่บนเส้น

ระยะทางจากจุด A ถึงเส้นตรง เท่ากับ หาพิกัดของจุด A

§ 8.4. เส้นโค้งลำดับที่สอง

ให้เราสร้างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบแล้วพิจารณาสมการทั่วไปของดีกรีที่สอง

นั้น .

เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ (8.4.1) เรียกว่า คดเคี้ยว (ไลน์) การสั่งซื้อครั้งที่สอง.

สำหรับเส้นโค้งใดๆ ของลำดับที่สอง จะมีระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า Canonical ซึ่งสมการของเส้นโค้งนี้มีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้

1) (วงรี);

2) (วงรีจินตภาพ);

3) (คู่ของเส้นตัดกันจินตภาพ);

4) (ไฮเปอร์โบลา);

5) (คู่ของเส้นตัดกัน);

6) (พาราโบลา);

7) (เส้นคู่ขนาน);

8) (คู่ของเส้นคู่ขนานจินตภาพ);

9) (คู่ของเส้นตรง).

สมการ 1) - 9) เรียกว่า สมการบัญญัติของเส้นโค้งลำดับที่สอง

การแก้ปัญหาการลดสมการเส้นโค้งของลำดับที่สองให้อยู่ในรูปแบบบัญญัตินั้นรวมถึงการหาสมการบัญญัติของเส้นโค้งและระบบพิกัดตามรูปแบบบัญญัติ การลดรูปแบบบัญญัติทำให้คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์ของเส้นโค้งและกำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดเดิมได้ การเปลี่ยนจากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเดิม เป็นบัญญัติ ดำเนินการโดยการหมุนแกนของระบบพิกัดเดิมรอบจุด O โดยบางมุม j และการถ่ายโอนระบบพิกัดแบบขนานที่ตามมา

ค่าคงที่ของเส้นโค้งของลำดับที่สอง(8.4.1) เรียกว่าฟังก์ชันดังกล่าวของสัมประสิทธิ์ของสมการซึ่งค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อย้ายจากระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งของระบบเดียวกัน

สำหรับเส้นโค้งของลำดับที่สอง (8.4.1) ผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่พิกัดกำลังสอง

,

ดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์นำ

และตัวกำหนดลำดับที่สาม

เป็นค่าคงที่

ค่าคงที่ s, d, D สามารถใช้กำหนดประเภทและเขียนสมการมาตรฐานของเส้นโค้งอันดับสองได้

ตาราง 8.1.

การจำแนกเส้นโค้งอันดับสองตามค่าคงที่

พิจารณาวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาให้ละเอียดยิ่งขึ้น

วงรี(รูปที่ 8.1) คือ ตำแหน่งของจุดในระนาบซึ่งผลรวมของระยะทางถึงจุดคงที่สองจุด เครื่องบินลำนี้เรียกว่า เคล็ดลับวงรีเป็นค่าคงที่ (มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส) นี่ไม่ได้ยกเว้นความบังเอิญของจุดโฟกัสของวงรี ถ้าจุดโฟกัสเท่ากัน วงรีจะเป็นวงกลม

ผลรวมครึ่งหนึ่งของระยะทางจากจุดของวงรีถึงจุดโฟกัสนั้นแสดงด้วย a ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส - c หากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบถูกเลือกเพื่อให้จุดโฟกัสของวงรีอยู่บนแกน Ox อย่างสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด ในระบบพิกัดนี้ วงรีจะได้รับจากสมการ

, (8.4.2)

เรียกว่า สมการบัญญัติของวงรี, ที่ไหน .

ข้าว. 8.1

ด้วยตัวเลือกที่ระบุของระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า วงรีมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัดและจุดกำเนิด แกนสมมาตรของวงรีเรียกว่า แกนและจุดศูนย์กลางสมมาตรคือ ศูนย์กลางของวงรี. ในเวลาเดียวกัน ตัวเลข 2a และ 2b มักถูกเรียกว่าแกนของวงรี และเรียกตัวเลข a และ b ใหญ่และ แกนกึ่งรองตามลำดับ

จุดตัดของวงรีที่มีแกนเรียกว่า จุดยอดของวงรี. จุดยอดของวงรีมีพิกัด (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b)

ความเยื้องศูนย์ของวงรีเรียกเลขหมาย

ตั้งแต่ 0£c

.

นี่แสดงให้เห็นว่าความเยื้องศูนย์กลางเป็นตัวกำหนดรูปร่างของวงรี ยิ่ง e เข้าใกล้ศูนย์มากเท่าไร วงรีก็จะยิ่งดูเหมือนวงกลมมากเท่านั้น เมื่อ e เพิ่มขึ้น วงรีจะยาวขึ้น