Znajdź nachylenie i nachylenie prostych. Równanie prostej ze spadkiem: teoria, przykłady, rozwiązywanie problemów

Linia y \u003d f (x) będzie styczna do wykresu pokazanego na rysunku w punkcie x0, jeśli przechodzi przez punkt o współrzędnych (x0; f (x0)) i ma nachylenie f "(x0). Znajdź taki współczynnik, znając cechy stycznej, nie jest to trudne.

Będziesz potrzebować

• - podręcznik matematyczny;
• - prosty ołówek;
• - zeszyt;
• - kątomierz;
• - kompas;
• - długopis.

Instrukcja

Jeśli wartość f’(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przechodzi ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku nachylenie styczna będzie f "(x0). W ten sposób staje się jasne znaczenie geometryczne pochodna - obliczenie nachylenia stycznej.

Narysuj dodatkowe styczne, które stykałyby się z wykresem funkcji w punktach x1, x2 i x3, a także zaznacz kąty utworzone przez te styczne z osią odciętych (taki kąt liczy się w dodatnim kierunku od osi do linia styczna). Na przykład kąt, czyli α1, będzie ostry, drugi (α2) będzie rozwarty, a trzeci (α3) zero, ponieważ styczna jest równoległa do osi x. W tym przypadku tangens kąta rozwartego jest ujemny, tangens kąta ostrego jest dodatni, a dla tg0 wynik wynosi zero.

notatka

Prawidłowo określ kąt utworzony przez styczną. Aby to zrobić, użyj kątomierza.

Pomocna rada

Dwie ukośne linie będą równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są sobie równe; prostopadła, jeśli iloczyn nachyleń tych stycznych wynosi -1.

Źródła:

• Styczna do wykresu funkcji

Cosinus, podobnie jak sinus, jest określany jako „bezpośrednie” funkcje trygonometryczne. Styczna (wraz z cotangensem) jest dodawana do innej pary zwanej „pochodnymi”. Istnieje kilka definicji tych funkcji, które umożliwiają znalezienie stycznej podanej przez znana wartość cosinus o tej samej wartości.

Instrukcja

Odejmij iloraz od jedności przez cosinus danego kąta podniesionego do wartości i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku - będzie to wartość stycznej od kąta wyrażona przez jego cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Jednocześnie zwróć uwagę, że we wzorze cosinus jest w mianowniku ułamka. Niemożność dzielenia przez zero wyklucza stosowanie tego wyrażenia dla kątów równych 90°, jak również różnicowanie się od tej wartości o wielokrotności 180° (270°, 450°, -90° itd.).

Jest i alternatywny sposób obliczenie tangensa ze znanej wartości cosinusa. Można go używać, jeśli nie ma ograniczeń co do używania innych plików . Aby zaimplementować tę metodę, najpierw wyznacz wartość kąta ze znanej wartości cosinusa - można to zrobić za pomocą funkcji arcus cosinus. Następnie wystarczy obliczyć tangens dla kąta wynikowej wartości. Algorytm ten można ogólnie zapisać w następujący sposób: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Istnieje również egzotyczna opcja wykorzystująca definicję cosinusa i tangensa ostre rogi trójkąt prostokątny. Cosinus w tej definicji odpowiada stosunkowi długości nogi przylegającej do rozpatrywanego kąta do długości przeciwprostokątnej. Znając wartość cosinusa, możesz wybrać odpowiadające mu długości tych dwóch boków. Na przykład, jeśli cos(α)=0,5, to sąsiednie można przyjąć równe 10 cm, a przeciwprostokątną - 20 cm. Konkretne liczby nie mają tutaj znaczenia - otrzymasz to samo i poprawne z dowolnymi wartościami, które mają to samo. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, określ długość brakującego boku - przeciwległej nogi. Będzie równa pierwiastek kwadratowy z różnicy między długościami kwadratu przeciwprostokątnej i znanej nogi: √(20²-10²)=√300. Z definicji styczna odpowiada stosunkowi długości przeciwległych i sąsiednich nóg (√300/10) - oblicz ją i uzyskaj wartość stycznej znalezioną za pomocą klasycznej definicji cosinusa.

Źródła:

• cosinus przez styczną formułę

Jeden z funkcje trygonometryczne, oznaczane najczęściej literami tg, choć spotykane są również oznaczenia tan. Najprostszym sposobem jest przedstawienie tangensa jako stosunku sinusa kąt do jego cosinusa. Jest to nieparzysta funkcja okresowa, a nie ciągła, której każdy cykl jest równa liczbie Pi, a punkt przerwania odpowiada połowie tej liczby.

Temat „Współczynnik kątowy stycznej jako tangens kąta nachylenia” na egzaminie certyfikacyjnym obejmuje kilka zadań jednocześnie. W zależności od stanu, absolwent może zostać poproszony o udzielenie zarówno pełnej, jak i krótkiej odpowiedzi. W przygotowaniach do zdanie egzaminu na matematyce uczeń powinien zdecydowanie powtórzyć zadania, w których wymagane jest obliczenie nachylenia stycznej.

Zrobienie tego pomoże ci portal edukacyjny„Szkołkowo”. Nasi eksperci przygotowali i przedstawili materiał teoretyczny i praktyczny w jak najbardziej przystępny sposób. Po zapoznaniu się z nim absolwenci na każdym poziomie szkolenia będą mogli z powodzeniem rozwiązywać zadania związane z pochodnymi, w których wymagane jest znalezienie tangensa nachylenia stycznej.

Podstawowe momenty

Aby znaleźć prawidłowe i racjonalne rozwiązanie takich zadań na egzaminie, musisz pamiętać podstawowa definicja: pochodna to szybkość zmian funkcji; jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w pewnym punkcie. Równie ważne jest uzupełnienie rysunku. Pozwoli ci to znaleźć poprawne rozwiązanie WYKORZYSTAJ problemy dotyczące pochodnej, w których wymagane jest obliczenie tangensa nachylenia stycznej. Dla jasności najlepiej wykreślić wykres na płaszczyźnie OXY.

Jeśli zapoznałeś się już z podstawowym materiałem na temat pochodnej i jesteś gotowy do rozwiązania problemów związanych z obliczaniem tangensa kąta nachylenia stycznej, podobnie jak USE zadania możesz to zrobić przez Internet. Dla każdego zadania, na przykład zadań na temat „Związek pochodnej z prędkością i przyspieszeniem ciała”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. W takim przypadku uczniowie mogą ćwiczyć wykonywanie zadań. różne poziomy trudności. W razie potrzeby ćwiczenie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby później omówić decyzję z nauczycielem.

Naucz się liczyć pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W takim przypadku wykres może być linią prostą lub linią krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje tempo zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać Główne zasady dla których brane są pochodne, a dopiero potem przejść do następnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Jak wziąć najprostsze pochodne, na przykład pochodną równanie wykładnicze, opisane. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie musi być obliczane na podstawie pochodnej funkcji. W zadaniach nie zawsze sugeruje się znalezienie nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x, y). Możesz również zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x, y). W obu przypadkach konieczne jest wzięcie pochodnej funkcji.

Kontynuacja tematu równania prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu prostej z lekcji algebry. Ten artykuł zawiera uogólnione informacje na temat równania prostej ze spadkiem. Rozważ definicje, uzyskaj samo równanie, ujawnij związek z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązywania problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed zapisaniem takiego równania konieczne jest określenie kąta nachylenia prostej do osi O x wraz z ich nachyleniem. Załóżmy, że na płaszczyźnie dany jest kartezjański układ współrzędnych O x.

Definicja 1

Kąt nachylenia prostej do osi O x, znajdujący się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od dodatniego kierunku O x do prostej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Gdy prosta jest równoległa do Ox lub występuje w niej zbieg okoliczności, kąt nachylenia wynosi 0. Wtedy kąt nachylenia danej prostej α określa się na przedziale [ 0 , π) .

Definicja 2

Nachylenie linii prostej jest tangensem nachylenia danej linii.

Standardowa notacja to k . Z definicji otrzymujemy, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Ox, mówi się, że nachylenie nie istnieje, ponieważ dąży do nieskończoności.

Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i odwrotnie. Na rysunku przedstawiono różne warianty lokalizacji prosty kąt względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.

Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika nachylenia i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Z warunku mamy, że α = 120°. Z definicji musisz obliczyć nachylenie. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3 .

Odpowiedź: k = - 3 .

Jeżeli znany jest współczynnik kątowy, ale konieczne jest znalezienie kąta nachylenia do osi x, to należy wziąć pod uwagę wartość współczynnika kątowego. Jeśli k > 0, to kąt prosty jest ostry i można go znaleźć ze wzoru α = a r c t g k . jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Przykład 2

Wyznacz kąt nachylenia danej prostej do O x o współczynniku kierunkowym równym 3.

Rozwiązanie

Z warunku mamy, że nachylenie jest dodatnie, co oznacza, że ​​kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Odpowiedź: α = za r c t g 3 .

Przykład 3

Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3 .

Rozwiązanie

Jeżeli jako oznaczenie nachylenia przyjmiemy literę k, to α jest kątem nachylenia danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - za r do t sol - 1 3 = π - za r do t sol 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Odpowiedź: 5 pi 6 .

Równanie postaci y \u003d k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest pewną liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem prostej o nachyleniu. Równanie jest typowe dla każdej prostej, która nie jest równoległa do osi Oy.

Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, którą daje równanie o nachyleniu, które wygląda jak y \u003d k x + b. W tym przypadku oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu na linii odpowiadają równaniu. Jeśli podstawimy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1), do równania y \u003d k x + b, to w tym przypadku linia przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do linia.

Przykład 4

Biorąc pod uwagę linię prostą o współczynniku kierunkowym y = 1 3 x - 1 . Oblicz, czy punkty M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) należą do danej prostej.

Rozwiązanie

Konieczne jest podstawienie współrzędnych punktu M 1 (3, 0) do podanego równania, wtedy otrzymamy 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Równość jest prawdziwa, więc punkt należy do prostej.

Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), to otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Możemy stwierdzić, że punkt M 2 nie należy do prostej.

Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.

Wiadomo, że prosta jest określona równaniem y = k · x + b przechodzącym przez M 1 (0 , b) , podstawienie dało równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b . Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej o nachyleniu y = k · x + b na płaszczyźnie definiuje prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, gdzie k = t g α .

Rozważmy na przykład linię prostą zdefiniowaną za pomocą nachylenia określonego postacią y = 3 · x - 1 . Otrzymujemy, że prosta przejdzie przez punkt o współrzędnych 0, - 1 z nachyleniem α = a r c t g 3 = π 3 radianów wzdłuż dodatniego kierunku osi O x. Z tego widać, że współczynnik wynosi 3.

Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt

Konieczne jest rozwiązanie problemu, w którym konieczne jest uzyskanie równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1) .

Równość y 1 = k · x + b można uznać za ważną, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1 , y 1) . Aby usunąć liczbę b, należy odjąć równanie ze współczynnikiem nachylenia od lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1) . Ta równość nazywana jest równaniem linii prostej o zadanym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1) .

Przykład 5

Ułóż równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o nachyleniu równym - 2.

Rozwiązanie

Warunkowo mamy to x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w ten sposób y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .

Przykład 6

Napisz równanie linii prostej o nachyleniu przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5) równoległych do linii prostej y \u003d 2 x - 2.

Rozwiązanie

Warunkowo mamy, że proste równoległe mają zbieżne kąty nachylenia, stąd współczynniki nachylenia są równe. Aby znaleźć nachylenie od dane równanie, należy przypomnieć jego podstawowy wzór y = 2 x - 2, stąd wynika, że ​​k = 2 . Tworzymy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Odpowiedź: y = 2 x - 1 .

Przejście od równania prostej ze spadkiem do innych typów równań prostej i odwrotnie

Takie równanie nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ ma niezbyt wygodny zapis. Aby to zrobić, musi być przedstawiony w innej formie. Na przykład równanie postaci y = k · x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego prostej ani współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się przedstawiać równania innego rodzaju.

Możemy dostać równanie kanoniczne prostą w płaszczyźnie za pomocą równania prostej ze spadkiem. Otrzymujemy x - x 1 za x = y - y 1 za y . Konieczne jest przesunięcie wyrazu b na lewą stronę i podzielenie przez wyrażenie otrzymanej nierówności. Otrzymujemy wtedy równanie postaci y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Równanie prostej ze spadkiem stało się kanonicznym równaniem danej prostej.

Przykład 7

Doprowadź równanie prostej o współczynniku kierunkowym y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

Obliczamy i przedstawiamy w postaci kanonicznego równania prostej. Otrzymujemy równanie postaci:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.

Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k x + b, ale wymaga to przekształceń: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Przejście jest wykonane z równanie ogólne bezpośrednio do równań innego rodzaju.

Przykład 8

Podano równanie prostej postaci y = 1 7 x - 2. Sprawdź, czy wektor o współrzędnych a → = (- 1 , 7) jest normalnym wektorem prostoliniowym?

Rozwiązanie

Aby go rozwiązać, konieczne jest przejście do innej postaci tego równania, w tym celu piszemy:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego prostej. Zapiszmy to tak n → = 1 7 , - 1 , stąd 1 7 x - y - 2 = 0 . Jest jasne, że wektor a → = (- 1 , 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7 , - 1 , ponieważ mamy uczciwą relację a → = - 7 · n → . Wynika z tego, że pierwotny wektor a → = - 1 , 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0 , co oznacza , że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 1 7 x - 2 .

Odpowiedź: Jest

Rozwiążmy problem odwrotny do tego.

Trzeba przenieść się z ogólna perspektywa równanie A x + B y + C = 0 , gdzie B ≠ 0 , do równania nachylenia. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym - A B .

Przykład 9

Podano równanie prostej postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Uzyskaj równanie danej linii o nachyleniu.

Rozwiązanie

Na podstawie warunku konieczne jest rozwiązanie dla y, a następnie otrzymujemy równanie postaci:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .

W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b \u003d 1, które nazywa się równaniem prostej w odcinkach lub postacią kanoniczną x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Konieczne jest rozwiązanie go względem y, dopiero wtedy otrzymujemy równanie o nachyleniu:

x za + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x za ⇔ y = - b za x + b .

Równanie kanoniczne można sprowadzić do postaci z nachyleniem. Dla tego:

x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ za y (x - x 1) = za x (y - y 1) ⇔ ⇔ za x y = a y x - a y x 1 + za x y 1 ⇔ y = za y za x x - a y a x x 1 + y 1

Przykład 10

Istnieje linia prosta dana równaniem x 2 + y - 3 = 1 . Doprowadź do postaci równania z nachyleniem.

Rozwiązanie.

Na podstawie warunku konieczne jest przekształcenie, wtedy otrzymujemy równanie postaci _wzór_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby uzyskać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając otrzymujemy:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .

Przykład 11

Równanie linii prostej postaci x - 2 2 \u003d y + 1 5 jest doprowadzane do postaci ze spadkiem.

Rozwiązanie

Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 jako proporcję. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz musisz go w pełni włączyć, w tym celu:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .

Aby rozwiązać takie zadania, równania parametryczne linii prostej postaci x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + ay λ należy sprowadzić do równania kanonicznego linii prostej, dopiero potem można przejść do równanie ze spadkiem.

Przykład 12

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest dane równaniami parametrycznymi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Rozwiązanie

Musisz przejść z widoku parametrycznego do widoku nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z podanego równania parametrycznego:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Teraz konieczne jest rozwiązanie tej równości względem y, aby uzyskać równanie prostej ze spadkiem. Aby to zrobić, piszemy w ten sposób:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Wynika z tego, że nachylenie prostej jest równe 2. Jest to zapisane jako k = 2 .

Odpowiedź: k = 2 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Współczynnik nachylenia jest prosty. W tym artykule rozważymy zadania związane z płaszczyzną współrzędnych zawarte w egzaminie z matematyki. Są to zadania dla:

- wyznaczenie nachylenia prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które ona przechodzi;
- wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.

Czym jest odcięta i rzędna punktu została opisana w tym rozdziale. Rozważaliśmy już w nim kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co należy zrozumieć w przypadku rozważanego rodzaju zadań? Trochę teorii.

Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:

Gdzie k – to jest nachylenie linii prostej.

Następna chwila! Nachylenie linii prostej równa tangensowi kąt nachylenia linii prostej. Jest to kąt między daną linią a osiąOh.

Mieści się w zakresie od 0 do 180 stopni.

To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie prostej do postaci y = kx + B, to dalej zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).

Ponadto, jeśli możemy określić tangens nachylenia linii prostej na podstawie warunku, to w ten sposób znajdziemy jej nachylenie.

Następna chwila teoretyczna!Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.Formuła wygląda następująco:

Rozważ problemy (podobne do tych z otwarty bank zadania):

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6; 0) i (0; 6).

W tym zadaniu najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta między osią x a daną prostą. Wiadomo, że jest równy współczynnikowi kątowemu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i y:

Tangens kąta w trójkąt prostokątny jest stosunkiem przeciwległej nogi do sąsiedniej:

* Obie nogi są równe sześciu (to są ich długości).

Z pewnością, to zadanie można rozwiązać za pomocą wzoru na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Ale będzie to dłuższa ścieżka rozwiązania.

Odpowiedź 1

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).

Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Oznacza,

Sprowadźmy formułę do formy y = kx + B

Otrzymaliśmy współczynnik kątowy k = – 1.

Odpowiedź 1

Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległa do prostej A B z osią wół.

W tym zadaniu można znaleźć równanie prostej A, wyznacz dla niego nachylenie. Linia prosta B nachylenie będzie takie samo, ponieważ są równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii prostej B. A następnie, podstawiając do niej wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!

W takim przypadku łatwiej jest użyć właściwości podobieństwa trójkątów.

Trójkąty prostokątne utworzone przez dane (równoległe) linie współrzędnych są podobne, co oznacza, że ​​stosunki ich odpowiednich boków są równe.

Pożądana odcięta to 40/3.

Odpowiedź: 40/3

Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; -12) i jest równoległa do prostej A. Znajdź odciętą punktu przecięcia linii B z osią wół.

W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania go jest użycie właściwości podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.

Znamy punkty, przez które przechodzi linia A. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty to:

Warunkowo punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Oznacza,

Przypomnijmy sobie y = kx + B:

Mam ten kąt k = 2/3.

*Współczynnik kątowy można znaleźć poprzez tangens kąta w trójkącie prostokątnym o ramionach 8 i 12.

Wiemy, że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe. Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:

Znajdź wartość B możemy podstawić odciętą i rzędną do równania:

Linia wygląda więc tak:

Teraz, aby znaleźć żądaną odciętą punktu przecięcia linii z osią X, musisz podstawić y \u003d 0:

Odpowiedź: 18

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi ej oraz prostą przechodzącą przez punkt B(10;12) i linię równoległą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt A(10;24).

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty to:

Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Oznacza,

Przypomnijmy sobie y = kx + B

Nachylenia prostych równoległych są równe. Stąd równanie prostej przechodzącej przez punkt B (10; 12) ma postać:

Oznaczający B znajdujemy, podstawiając współrzędne punktu B (10; 12) do tego równania:

Otrzymaliśmy równanie prostej:

Aby znaleźć rzędną punktu przecięcia tej prostej z osią jednostka organizacyjna należy podstawić do znalezionego równania X= 0:

* Najprostsze rozwiązanie. Za pomocą translacji równoległej przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi jednostka organizacyjna do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przeszedł” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeszedł” do punktu (0;–12). Tak więc wynikowa linia przetnie oś jednostka organizacyjna w punkcie (0;–12).

Pożądana rzędna to -12.

Odpowiedź: -12

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej równaniem

3x + 2r = 6, z osią Ojej.

Współrzędna punktu przecięcia danej prostej z osią jednostka organizacyjna ma postać (0; Na). Podstaw odciętą do równania X= 0 i znajdź rzędną:

Współrzędna punktu przecięcia prostej z osią jednostka organizacyjna równa się 3.

* System jest rozwiązywany:

Odpowiedź: 3

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych równaniami

3x + 2y = 6 I y = - x.

Gdy dane są dwie proste, a pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, układ tych równań jest rozwiązany:

W pierwszym równaniu podstawimy - X zamiast Na:

Rzędna to minus sześć.

Odpowiedź: – 6

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2; 0) i (0; 2).

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).

Prosta a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Prosta b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia linii b z osią x.

Znajdź współrzędne punktu przecięcia osi y i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) oraz prostej równoległej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i punkt A (6;8).

1. Konieczne jest jasne zrozumienie, że nachylenie linii prostej jest równe stycznej nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu tego typu problemów.

2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Z jego pomocą zawsze możesz znaleźć równanie linii prostej, jeśli podane są współrzędne dwóch jej punktów.

3. Pamiętaj, że współczynniki kierunkowe prostych równoległych są równe.

4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest użyć znaku podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązywane są praktycznie ustnie.

5. Zadania, w których dane są dwie proste i wymagane jest znalezienie odciętej lub rzędnej ich punktu przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na arkuszu w komórce) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.

6. I ostatni. Jeśli podano linię prostą i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, to w takich problemach wygodnie jest znaleźć nachylenie, znajdując styczną kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak "zobaczyć" ten trójkąt dla różnych układów linii na płaszczyźnie schematycznie pokazano poniżej:

>> Kąt nachylenia linii od 0 do 90 stopni<<

>> Kąt linii prostej od 90 do 180 stopni<<

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksandrze.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.