Jak skonstruować koniugację kąta prostego. Wykonanie rysunku części z wiązaniami. Koniugacja okręgów (łuków) z linią prostą

02.11.2019

Łączenie w pary.

Parowanie to płynne przejście z jednej linii do drugiej.

Sprzężenie przecinających się linii przez łuk koła o zadanym promieniu.

Problem sprowadza się do narysowania okręgu stycznego do obu podanych linii prostych.

Opcja 1.

Linie pomocnicze rysujemy równolegle do podanych na odległość R od podanych.

Punkt przecięcia tych linii będzie środkiem Ołuki koniugacji. Prostopadłe spadły ze środka O do

podane proste wyznaczą punkty styczne K i K 1 .

Opcja 2.

Konstrukcja jest taka sama.

Pary. Budowa koniugacji linii.

Opcja 3.

Jeśli chcesz narysować okrąg tak, aby się dotykał trzy przecinające się linie proste, to w tym przypadku

Promień nie może być określony przez warunki problemu. Centrum O koło jest na skrzyżowaniu dwusieczna rogi

W oraz Z. Promień okręgu jest prostopadłą opuszczoną od środka O do dowolnej z 3 podanych linii

Linie.

Pary. Budowa koniugacji linii.

Konstrukcja sprzężenia zewnętrznego danego okręgu o zadanym łuku prostym o zadanym promieniu R 1 .

Od centrum O z tego okręgu rysujemy łuk koła pomocniczego o promieniu R+R 1 .

Rysujemy linię prostą równoległą do podanej w pewnej odległości R1.

Przecięcie linii prostej i łuku konstrukcyjnego da punkt środkowy łuku zaokrąglenia Około 1 .

Punkt kontaktu łuków W celu leży na linii OO 1 .

Punkt styku łuku i linii K 1 leży na przecięciu prostopadłej od punktu O 1 do linii z łukiem.

Pary. Budowa sprzężenia zewnętrznego koła z linią prostą.

Konstrukcja sprzężenia wewnętrznego danego okręgu z zadanym łukiem prostym o zadanym promieniu R 1 .

Od centrum O z tego okręgu rysujemy pomocniczy okrąg o promieniu R-R1.

Pary. Budowa sprzężenia wewnętrznego koła z linią prostą.

Konstrukcja sprzężenia dwóch danych okręgów przez łuk o zadanym promieniu R 3 .

Dotyk zewnętrzny.

Od środka koła Około 1 R1+R3.

Od środka koła Około 2 opisać łuk koła pomocniczego promieniem R2+R3.

skrzyżowaniełuki kół pomocniczych dadzą punkt Około 3, który jest środkiem łuku koniugacji

punkty dotykowe K 1 oraz K 2 są na linii O 1 O 3 oraz O 2 O 3.

Wewnętrzny dotyk

Od środka koła Około 1 opisać łuk koła pomocniczego promieniem R3 -R1 .

Od środka koła Około 2 opisać łuk koła pomocniczego promieniem R 3 - R 2 .

skrzyżowanie

(okręgi o promieniu R 3) .

Pary. Sprzężenie dwóch okręgów po łuku.

Dotyk zewnętrzny i wewnętrzny.

Dane dwa okręgi o środkach O 1 i O 2 o promieniach r 1 i r 2 . Konieczne jest narysowanie okręgu danego

Promień R tak, aby zapewnić kontakt wewnętrzny z jednym kręgiem, a kontakt zewnętrzny z drugim.

Od środka koła Około 1 opisać łuk koła pomocniczego promieniem R-r 1 .

Od środka koła Około 2 opisać łuk koła pomocniczego promieniem R+r 2 .

skrzyżowaniełuki kół pomocniczych dadzą punkt, który jest środkiem łuku koniugacji

(okręgi o promieniu R) .

Pary. Sprzężenie dwóch okręgów po łuku.

Budowa okręgu przechodzącego przez dany punkt A i stycznej do danego okręgu

w danym punkcie B.

Znajdowanie środka linii prostej AB. Przez środek linii AB narysuj prostopadłą. Skrzyżowanie kontynuacji

OB i prostopadłe dają punkt Około 1 . Około 1 -środek żądanego okręgu o promieniu R = O 1 B = O 1 A.

Pary. Styczność wewnętrzna okręgu i łuku.

Konstruowanie koniugacji okręgu z linią prostą w danym punkcie A na linii prostej.

Z danego punktu A linii LM przywracamy prostopadłość do prostej LM. Na kontynuacji

Prostopadle odłóż segment AB. AB = R.Łączymy punkt B ze środkiem okręgu O 1 linią prostą.

Od punktu A rysujemy linię prostą równoległą do BO 1, aż przetnie się z okręgiem. Zdobądźmy punkt W celu- punkt

Dotykać. Połącz punkt K ze środkiem okręgu O 1 . Wydłużmy proste O 1 K i AB do przecięcia. Zdobądźmy punkt

Około 2, który jest środkiem łuku koniugacji o promieniu O 2 A \u003d O 2 K.

Pary. Koniugacja okręgu z linią prostą w danym punkcie.

Konstruowanie koniugacji okręgu z linią prostą w punkcie A podanym na okręgu.

Dotyk zewnętrzny.

Spędzamy tangens do okręgu przez punkt ALE. Przecięcie stycznej z prostą LM da punkt W.

Dzieląc róg w połowie

Około 1. Około 1 O 1 A \u003d O 1 K.

Wewnętrzny dotyk.

Spędzamy tangens do okręgu przez punkt ALE. Przecięcie linii stycznej z linią LM da punkt W.

Dzieląc róg, utworzony przez styczną i prostą LM , w połowie. Przecięcie dwusiecznej kąta i

Wydłużenie promienia OA da punkt Około 1. Około 1 - O 1 A \u003d O 1 K.

Pary. Koniugacja okręgu z linią prostą w danym punkcie okręgu.

Konstrukcja sprzężenia dwóch niekoncentrycznych łuków okręgów przez łuk o zadanym promieniu.

Rysuj od środka łuku Około 1łuk pomocniczy o promieniu R1-R3. Rysuj od środka łuku O 2 pomocniczy

Promień łuku R2+R3. Przecięcie łuków da punkt Och, och- środek łuku koniugacji z promieniem R3. punkty dotykowe

K 1 oraz K 2 leżeć na liniach OO 1 oraz OO 2.

Pary. Parowanie 2 niekoncentrycznych łuków okręgów z łukiem.

Konstrukcja krzywej zakrzywionej poprzez wybór łuków.

Wybierając środki łuków pokrywające się z odcinkami krzywej, możesz narysować dowolną zakrzywioną krzywą za pomocą kompasu.

Aby łuki płynnie przechodziły od jednego do drugiego, konieczne jest, aby punkty ich sprzężenia (styczności)

Znajdowały się na prostych liniach łączących środki tych łuków.

Kolejność konstrukcji.

Wybieramy centrum 1 łuki dowolnego przekroju ab.

Na kontynuacji pierwszy promień wybierz środek 2 promień łuku wykresu pne.

Na kontynuacji druga promień wybierz środek 3 promień łuku wykresu płyta CD itp.

Więc budujemy całą krzywą.

Pary. Dobór łuków.

Konstrukcja sprzężenia dwóch równoległych linii przez dwa łuki.

Punkty zdefiniowane na prostych równoległych liniach ALE oraz W połącz się z linią AB.

Wybierz w linii prostej AB arbitralny punkt M.

Dzielimy segmenty JESTEM oraz maszyna wirtualna w połowie.

Odbudowujemy prostopadłość w środku segmentów.

W punktach A i B, podanych prostych, przywracamy prostopadłe do prostych.

skrzyżowanie istotnych prostopadłe da punkty Około 1 oraz Około 2.

Około 1środek łuku koniugacji z promieniem O 1 A \u003d O 1 M.

Około 2środek łuku koniugacji z promieniem O 2 V \u003d O 2 M.

Jeśli punkt M wybierz na środek linie AB, następnie promieniełuki koniugacji będą są równe.

Dotykanie łuków w punkcie M znajduje się na linii Około 1 Około 2.

Pary. Sprzężenie linii równoległych przez dwa łuki.

Centrum parowania- punkt równoodległy od linii godowych. A wspólny punkt dla tych linii nazywa się punkt koniugacji .

Konstrukcję koniugacji wykonuje się za pomocą kompasu.

Możliwe są następujące rodzaje parowania:

1) koniugacja przecinających się linii za pomocą łuku o zadanym promieniu R (zaokrąglanie rogów);

2) sprzężenie łuku kołowego z linią prostą za pomocą łuku o zadanym promieniu R;

3) sprzężenie łuków okręgów o promieniach R1 i R2 linią prostą;

4) sprzężenie łuków dwóch okręgów o promieniach R 1 i R 2 przez łuk o danym promieniu R (sprzężenie zewnętrzne, wewnętrzne i mieszane).

Przy łączeniu zewnętrznym środki łuków współpracujących o promieniu R 1 i R 2 leżą poza łukiem współpracującym o promieniu R. Przy łączeniu wewnętrznym środki łuków współpracujących leżą wewnątrz łuku współpracującego o promieniu R. W przypadku łączenia mieszanego środek jednego z łuków współpracujących leży wewnątrz łuku współpracującego o promieniu R, a środek drugiego łuku współpracującego - poza nim.

W tabeli. 1 przedstawia konstrukcję i podaje krótkie objaśnienia budowy prostych koniugacji.

ParyTabela 1

Przykład prostych kolegów	Graficzna konstrukcja kolegów	Krótkie wyjaśnienie konstrukcji

1. Sprzężenie przecinających się linii za pomocą łuku o zadanym promieniu R.		Rysuj proste linie równoległe do boków kąta na odległość R. Z punktu O wzajemne przecięcie tych linii, obniżając prostopadłe do boków kąta, otrzymujemy punkty koniugacji 1 i 2 . Promień R narysuj łuk.
2. Sprzężenie łuku kołowego i prostej za pomocą łuku o zadanym promieniu R.		Na odległość R narysuj linię równoległą do danej linii, a od środka O 1 o promieniu R+R 1- łuk koła. Kropka O- środek łuku koniugacji. punkt 2 trafiamy na prostopadłą narysowaną z punktu O do danej prostej, a punkt 1 - na prostej OO 1 .
3. Sprzężenie łuków dwóch okręgów o promieniach R1 oraz R2 linia prosta.		Od punktu O 1 narysuj okrąg o promieniu R 1 - R2. Segment O 1 O 2 dzieli się na pół i od punktu O 3 rysujemy łuk o promieniu 0,5 O 1 O 2 . Połącz punkty O 1 i O 2 z punktem ALE. Od punktu O 2 opuść prostopadłą do linii AO 2, zwrotnica 1.2 - punkty parowania.

Tabela 1 ciąg dalszy


4. Sprzężenie łuków dwóch okręgów o promieniach R1 oraz R2łuk o zadanym promieniu R(parowanie zewnętrzne).		Z centrów 1 i O 2 rysują łuki o promieniach R+R 1 oraz R + R 2 . 1 i O 2 z punktem O. Punkty 1 i 2 są punktami węzłowymi.
5. Sprzężenie łuków dwóch okręgów o promieniach R1 oraz R2łuk o zadanym promieniu R(parowanie wewnętrzne).		Z centrów 1 i O 2 rysują łuki o promieniach R-R1 oraz R-R2. Dostajemy punkt O- środek łuku koniugacji. Połącz kropki 1 i O 2 z punktem O aż do przecięcia z podanymi okręgami. zwrotnica 1 i 2- punkty węzłowe.
6. Sprzężenie łuków dwóch okręgów o promieniach R1 oraz R2łuk o zadanym promieniu R(koniugacja mieszana).		Ze środków O 1 i O 2 narysuj łuki o promieniach R- R 1 i R + R 2 . Otrzymujemy punkt O - środek łuku koniugacji. Połącz kropki 1 i O 2 z punktem O aż do przecięcia z podanymi okręgami. zwrotnica 1i 2- punkty węzłowe.

zakrzywione krzywe

Są to zakrzywione linie, w których krzywizna ulega ciągłym zmianom na każdym z ich elementów. Zakrzywionych krzywych nie można narysować za pomocą kompasu, są one zbudowane z szeregu punktów. Podczas rysowania krzywej wynikowa seria punktów jest połączona wzdłuż wzoru, dlatego nazywa się to linią zakrzywioną. Dokładność budowania krzywej zakrzywionej wzrasta wraz ze wzrostem liczby punktów pośrednich na odcinku krzywej.

Zakrzywione krzywe obejmują tak zwane płaskie odcinki stożka - elipsa, parabola, hiperbola, które uzyskuje się w wyniku przekroju okrągłego stożka przez płaszczyznę. Takie krzywe były brane pod uwagę podczas studiowania przedmiotu „Geometria opisowa”. Krzywe obejmują również spiralny, sinusoida, spirala Archimedesa, krzywe cykloidalne.

Elipsa- położenie punktów, których suma odległości do dwóch punktów stałych (ognisk) jest wartością stałą.

Najczęściej stosowana metoda konstruowania elipsy wzdłuż zadanych półosi AB i CD. Podczas konstruowania rysowane są dwa koncentryczne okręgi, których średnice są równe danym osiom elipsy. Aby zbudować 12 punktów elipsy, okręgi dzieli się na 12 równych części, a powstałe punkty łączy się ze środkiem.

Na ryc. 15 przedstawia budowę sześciu punktów górnej połowy elipsy; dolna połowa jest rysowana w ten sam sposób.

Spiralny- jest trajektorią punktu okręgu utworzonego przez jego rozłożenie i wyprostowanie (rozwój okręgu).

Konstrukcję ewolwenty zgodnie z zadaną średnicą koła pokazano na ryc. 16. Koło podzielone jest na osiem równych części. Z punktów 1,2,3 narysuj styczne do okręgu skierowane w jednym kierunku. Na ostatniej stycznej krok ewolwenty jest równy obwodowi

(2 pR), a powstały segment jest również podzielony na 8 równych części. Kładąc jedną część na pierwszej stycznej, dwie części na drugiej, trzy części na trzeciej itd., otrzymujemy punkty ewolwentowe.

Krzywe cykloidalne- płaskie zakrzywione linie opisane przez punkt należący do okręgu toczącego się bez poślizgu po linii prostej lub okręgu. Jeśli w tym samym czasie okrąg toczy się po linii prostej, to punkt opisuje krzywą zwaną cykloidą.

Konstrukcję cykloidy zgodnie z zadaną średnicą koła d pokazano na rys.17.

Ryż. 17

Koło i odcinek o długości 2pR są podzielone na 12 równych części. Narysuj linię prostą przez środek koła równolegle do odcinka linii. Od punktów podziału odcinka na linię prostą rysowane są prostopadłe. W punktach ich przecięcia z linią prostą otrzymujemy O 1, O 2, O 3 itd. są środkami toczącego się koła.

Z tych środków opisujemy łuki o promieniu R. Przez punkty podziału okręgu rysujemy linie proste równoległe do prostej łączącej środki okręgów. Na przecięciu prostej przechodzącej przez punkt 1 z łukiem opisanym od środka O1, znajduje się jeden z punktów cykloidy; przez punkt 2 innym od środka O2 - kolejny punkt itd.

Jeśli okrąg toczy się po innym okręgu, znajdującym się w jego wnętrzu (wzdłuż części wklęsłej), to punkt opisuje krzywą zwaną hipocykloid. Jeśli okrąg toczy się po innym okręgu, znajdującym się poza nim (wzdłuż części wypukłej), to punkt opisuje krzywą zwaną epicykloida.

Budowa hipocykloidy i epicykloidy jest podobna, ale zamiast odcinka o długości 2pR przyjmuje się łuk koła prowadzącego.

Konstrukcję epicykloidy zgodnie z zadanym promieniem okręgów ruchomych i nieruchomych pokazano na rys.18. Kąt α, który jest obliczany ze wzoru

α = 180°(2r/R), a okrąg o promieniu R jest podzielony na osiem równych części. Wykreśla się łuk okręgu o promieniu R + r, az punktów О 1 , О 2 , О 3 .. - okrąg o promieniu r.

Konstrukcję hipocykloidy o danych promieniach okręgów ruchomych i nieruchomych pokazano na rys.19. Obliczany kąt α i okrąg o promieniu R są podzielone na osiem równych części. Narysowany jest łuk koła o promieniu R - r, az punktów O 1, O 2, O 3 ... - okrąg o promieniu r.

Parabola- jest to położenie punktów równoodległych od punktu stałego - ogniska F i linii stałej - kierownicy, prostopadłej do osi symetrii paraboli. Konstrukcję paraboli zgodnie z danym segmentem OO \u003d AB i akordem CD pokazano na ryc. 20

Bezpośrednie OE i OS są podzielone na taką samą liczbę równych części. Dalsza konstrukcja wynika z rysunku.

Hiperbola- locus punktów, których różnica odległości od dwóch punktów stałych (ognisk) - jest wartością stałą. Reprezentuje dwie otwarte, symetrycznie rozmieszczone gałęzie.

Stałe punkty hiperboli F 1 i F 2 są ogniskami, a odległość między nimi nazywa się ogniskową. Odcinki linii łączące punkty krzywej z ogniskami nazywane są wektorami promieniowymi. Hiperbola ma dwie wzajemnie prostopadłe osie - rzeczywistą i urojoną. Linie przechodzące przez środek przecięcia osi nazywane są asymptotami.

Konstrukcję hiperboli zgodnie z zadaną ogniskową F 1 F 2 i kątem α pomiędzy asymptotami pokazano na rys.21. Rysowana jest oś, na której kreślona jest ogniskowa, która jest podzielona o połowę przez punkt O. Okrąg o promieniu 0,5F 1 F 2 jest narysowany przez punkt O, aż przetnie się w punktach C, D, E, K. Łączenie punktów C z D i E z K, otrzymujemy punkty A i B są wierzchołkami hiperboli. Od punktu F 1 w lewo zaznaczono dowolne punkty 1, 2, 3 ... odległości między którymi powinny się zwiększać w miarę oddalania się od ostrości. Z ognisk F 1 i F 2 o promieniach R=B4 i r=A4 rysowane są łuki do wzajemnego przecięcia. Punkty przecięcia 4 to punkty hiperboli. W podobny sposób skonstruowane są pozostałe punkty.

sinusoida- krzywa płaska wyrażająca prawo zmiany sinusa kąta w zależności od zmiany wielkości kąta.

Pokazano budowę sinusoidy dla danej średnicy okręgu d

na ryc. 22.

Aby go zbudować, podziel dany okrąg na 12 równych części; odcinek równy długości danego okręgu (2pR) dzieli się na taką samą liczbę równych części. Rysując proste poziome i pionowe linie przez punkty podziału, znajdują punkty sinusoidalne na ich przecięciu.

Spirala Archimedesa - e następnie krzywa płaska, opisana przez punkt, który obraca się jednostajnie wokół danego środka i jednocześnie jednostajnie się od niego oddala.

Konstrukcję spirali Archimedesa dla danej średnicy koła D pokazano na rys.23.

Obwód i promień okręgu są podzielone na 12 równych części. Dalsza konstrukcja jest widoczna na rysunku.

Konstruując koniugacje i krzywe krzywe, trzeba uciekać się do najprostszych konstrukcji geometrycznych - takich jak dzielenie okręgu lub linii prostej na kilka równych części, dzielenie kąta i odcinka na pół, budowanie prostopadłych, dwusiecznych itp. Wszystkie te konstrukcje były badane w dyscyplinie „Rysunek” kursu szkolnego, dlatego nie są one szczegółowo omówione w tym podręczniku.

1.5 Wytyczne dotyczące wdrażania

W ogólnym przypadku konstrukcję sprzężenia okręgu m o promieniu R 1 i prostej lz okręgiem o promieniu R (ryc. 30, a, b) przeprowadza się w następujący sposób:

- w odległości R równoległej do l rysujemy l '(GM do linii prostej);

- ze środkiem w punkcie O 1 rysujemy m '(GM do okręgu), o promieniu równym sumie R i R 1 lub promieniu równym różnicy R i R 1;

– punkt О przecięcia l’ i m’ jest środkiem koniugacji;

- opuszczamy prostopadłą od O do linii l. Dostajemy punkt węzłowy A;

- narysuj linię prostą przez O i O 1 i zaznacz punkt koniugacji B jej przecięcia z okręgiem m;

- ze środkiem w punkcie O o promieniu R pomiędzy punktami A i B rysujemy łuk koniugacji.

Ryż. 30. Sprzężenie prostej z kołem

Koniugacja dwóch kręgów

Podczas budowania parowanie zewnętrzne dwa okręgi m 1 i m 2 łukiem o zadanym promieniu R (rys. 31) środek łuku współpracującego - punkt O - jest wyznaczony przez przecięcie dwóch geometrycznych miejsc m 1 ' i m 2 ' - okręgi pomocnicze o promienie R + R 1 i R + R 2, narysowane odpowiednio ze środków sprzężonych kół, tj. z punktów O 1 i O 2. Punkty koniugacji A i B definiuje się jako punkty przecięcia danych okręgów liniami prostymi OO 1 i OO 2.

Parowanie wewnętrznełuki o promieniu R 1 i R 2 z łukiem o promieniu R pokazano na ryc. 32.

Ryż. 31. Zewnętrzne parowanie dwóch kół

Ryż. 32. Sprzężenie wewnętrzne dwóch okręgów

Aby określić środek O łuku koniugacji, rysujemy łuki pomocnicze m 1 ”i m 2 ” z punktów O 1 i O 2 - dwa miejsca geometryczne - o promieniach R–R 1 i R–R 2. Punkt przecięcia tych łuków jest środkiem koniugacji. Z punktu O przez punkty O 1 i O 2 rysujemy proste do przecięcia z okręgami m 1 i m 2 i otrzymujemy punkty sprzężenia A i B. Pomiędzy tymi punktami łuk koła sprzężenia o promieniu R jest narysowany środkiem w punkcie O.

Na mieszana koniugacja(rys. 33) centrum sprzężenia O wyznacza się na przecięciu dwóch miejsc geometrycznych - okręgów pomocniczych o promieniach R + R 1 i R–R 2, wykreślonych odpowiednio ze środków O 1 i O 2 . Punkty koniugacji A i B leżą na przecięciu linii środków OO 1 i OO 2 z łukami danych okręgów.

Ryż. 33. Konstrukcja mieszanej koniugacji dwóch okręgów

Budowa linii stycznych

Konstrukcja stycznych do okręgów opiera się na fakcie, że linia styczna jest prostopadła do promienia okręgu narysowanego do punktu styku.

Konstrukcja stycznej do okręgu z punktu A leżącego poza okręgiem (ryc. 34). Odcinek OA łączący dany punkt A ze środkiem O okręgu dzieli się na pół i od otrzymanego punktu O 1, tak jak od środka opisujemy okrąg pomocniczy o promieniu O 1 A. Okrąg pomocniczy przecina zadany w punkcie B, który jest punktem kontaktowym. Prosta AB będzie styczna do okręgu, ponieważ kąt ABO jest prawy, jak wpisano w koło pomocnicze i opiera się na jego średnicy.

Budowa stycznej do dwóch okręgów. Styczna do dwóch okręgów może być zewnętrzna, jeśli oba okręgi znajdują się po tej samej stronie, i wewnętrzna, jeśli okręgi znajdują się po różnych stronach stycznej.

Ryż. 34. Konstrukcja stycznej do okręgu

Aby zbudować styczną zewnętrzną do okręgów o promieniach R 1 i R 2 (ryc. 35), postępujemy w następujący sposób:

jeden). od środka O 2 większego koła rysujemy okrąg pomocniczy o promieniu R 2 -R 1;

2). segment O 1 O 2 jest podzielony na pół;

3). środkiem O 3 rysujemy pomocniczy okrąg o promieniu O 3 O 2;

4). zaznacz punkty przecięcia dwóch kół pomocniczych - M i N;

5). narysuj linie proste przez punkt O 2 i uzyskane punkty, aż przetną się z okręgiem o promieniu R 2 . Otrzymujemy punkty B i D;

6). od środka O 1 rysujemy linie proste odpowiednio O 1 A i O 1 C, równolegle do O 2 B i O 2 D, aż przecinają się z okręgiem o promieniu R 1 w punktach A i C.

Linie proste AB i CD to pożądane styczne zewnętrzne do dwóch okręgów.

Ryż. 35. Konstrukcja stycznej zewnętrznej do dwóch okręgów

Konstrukcja stycznej wewnętrznej do dwóch okręgów o promieniach R 1 i R 2 (rys. 36).

Ryż. 36. Konstrukcja stycznej wewnętrznej do dwóch okręgów

Ze środka jednego z okręgów, na przykład z O 1, rysujemy okrąg pomocniczy o promieniu R 1 + R 2. Dzielimy odcinek O 1 O 2 na pół iz otrzymanego punktu O 3 rysujemy drugi okrąg pomocniczy o promieniu O 1 O 3. Łączymy punkty M i N przecięcia okręgów pomocniczych liniami prostymi ze środkiem O 1 i na ich przecięciu z okręgiem o promieniu R 1 otrzymujemy punkty styku A i C. Z punktu O 2 rysujemy prosta równoległa do O 1 A i otrzymujemy punkt styku B na okręgu R 2. Podobnie skonstruowany jest punkt D. Proste AB i CD są wymaganymi stycznymi wewnętrznymi do dwóch okręgów.

Lekcja numer 23.

Pary

Pokaż wiele części, które mają zaokrąglenia.

Przyglądając się szczegółom widzimy, że w ich konstrukcji często jedna powierzchnia przechodzi w drugą. Zwykle przejścia te są płynne, co zwiększa wytrzymałość części i czyni je wygodniejszymi w pracy.

Na rysunku powierzchnie są przedstawione za pomocą linii, które również płynnie przechodzą jedna w drugą.

Takie płynne przejście od jednej linii (powierzchni) do drugiej linii (powierzchni) nazywa się koniugacja.

Podczas konstruowania koniugacji konieczne jest określenie granicy, w której kończy się jedna linia, a zaczyna się druga, tj. znajdź punkt przejścia na rysunku, który nazywa się punkt koniugacji lub punkt dotknięcia .

Problemy koniugacji można warunkowo podzielić na 3 grupy.

Pierwsza grupa zadań obejmuje zadania konstruowania matów, w których zaangażowane są linie proste. Może to być bezpośrednie dotknięcie linii i okręgu, sprzężenie dwóch linii łukiem o określonym promieniu, a także narysowanie linii stycznej do dwóch okręgów.

Skonstruuj okrąg styczny do linii prostej.

Budowa okręgu stycznego do linii prostej , wiąże się ze znalezieniem punktu styczności i środka okręgu.

Biorąc pod uwagę linię poziomą AB , wymagane jest skonstruowanie okręgu o promieniu R styczna do danej linii (rys. 1).

Punkt dotyku jest wybierany arbitralnie.

Ponieważ punkt styczny nie jest określony, okrąg o promieniu R może dotknąć tej linii w dowolnym momencie. Takich kręgów jest wiele. Centra tych kręgów ( O 1 , O 2 itp.) będą w tej samej odległości od danej linii prostej, tj. na linii równoległej do danej linii AB w odległości równej promieniowi danego okręgu (ryc. 1). Nazwijmy tę linię linia środkowa .

Narysuj linię środków równolegle do linii prostej AB na odległość R . Ponieważ środek okręgu stycznego nie jest ustalony, bierzemy dowolny punkt na linii środkowej, na przykład punkt O.

Przed narysowaniem okręgu stycznego należy określić punkt styczności. Punkt kontaktu będzie leżeć na prostopadłej opuszczonej z punktu O bezpośrednio AB . Na przecięciu prostopadłej z linią AB zdobyć punkt DO, który będzie punktem kontaktowym. Od centrum O promień R Z punktu W celu narysujmy okrąg. Problem rozwiązany.

Zapisz w swoich notatnikach następujące zasady:

Jeśli w koniugacji bierze udział linia prosta, to:

środek okręgu stycznego do prostej leży na prostej (linii środków) narysowanej równolegle do danej prostej, w odległości równej promieniowi danego okręgu;

2) punkt styku leży na prostopadłej narysowanej od środka okręgu do danej prostej.

Koniugacja dwóch linii.

Na płaszczyźnie dwie linie proste mogą być równoległe lub ustawione pod kątem do siebie.

Aby skonstruować koniugację dwóch linii, konieczne jest narysowanie okręgu stycznego do tych dwóch linii.

Otwórz skoroszyty na stronie 31.

Rozważ koniugację dwóch nierównoległych linii.

Dwie nierównoległe linie są umieszczone pod kątem do siebie, które mogą być proste, rozwarte lub ostre. Wykonując rysunki części, takie rogi często trzeba zaokrąglić łukiem o określonym promieniu (ryc. 1). Zaokrąglenie rogów na rysunku to nic innego jak sprzężenie dwóch nierównoległych linii prostych z łukiem okręgu o zadanym promieniu. Aby przeprowadzić parowanie, musisz znaleźć środek łuku parowania i punkty parowania.

Wiadomo, że jeśli w koniugacji bierze udział linia prosta, to środek łuku koniugacji znajduje się na linii środkowej, która jest narysowana równolegle do danej linii prostej w odległości równej promieniowi R łuki koniugacji.

Ponieważ kąt tworzą dwie linie proste, dwie linie środków są rysowane równolegle do każdej linii prostej w odległości równej promieniowi R łuki koniugacji. Punkt ich przecięcia będzie środkiem łuku koniugacji.

Aby znaleźć punkty koniugacji z punktu O upuść prostopadłe do podanych linii i uzyskaj punkty koniugacji W celu oraz W celu 1 . Poznanie punktów i centrum koniugacji z punktu O promień R przeprowadzić łuk koniugacji. Podczas śledzenia rysunku najpierw śledź łuk, a następnie linie styczne.

Podczas konstruowania koniugacji kąta prostego uproszczone jest narysowanie linii środków, ponieważ boki kąta są wzajemnie prostopadłe. Od góry narożnych segmentów ułożenia równych promieniowi R łuki koniugacji i przez uzyskane punkty W celu oraz W celu 1 , które będą punktami styku, narysuj dwie linie środków równolegle do boków narożnika. Będą to zarówno linie środkowe, jak i prostopadłe, które definiują punkty połączenia. W celu oraz W celu 1 (s. 31, rys. 1).

Strona 31, zadanie 4. Sprzężenie dwóch równoległych linii.

Aby zbudować sprzężenie dwóch równoległych linii, konieczne jest narysowanie łuku koła stycznego do tych linii (ryc. 3).

Rys.3

Promień tego okręgu będzie równy połowie odległości między podanymi liniami. Ponieważ punkt styczny nie jest podany, istnieje wiele takich okręgów, które można narysować. Ich środki będą znajdować się na linii prostej narysowanej równolegle do podanych linii prostych w odległości równej połowie odległości między nimi. Ta prosta linia będzie linią środków.

punkty dotykowe ( W celu 1 oraz W celu 2 ) leżeć na prostopadłej opuszczonej od środka okręgu stycznej do podanych linii (ryc. 3a). Ponieważ środek okręgu stycznego nie jest określony, prostopadła jest rysowana arbitralnie. Odcinek Kontrola jakości 1 są podzielone na pół (ryc. 3b), przez punkty przecięcia szeryfów równoległych do podanych linii poprowadzona zostanie linia prosta, na których będą znajdować się środki okręgów stycznych do podanych linii równoległych, tj. ta linia będzie linią centrów. Umieszczenie nogi kompasu na punkcie O , narysuj łuk koniugacji (ryc. 3c) od punktu W celu do momentu W celu 1 .

Budowa linii stycznych do okręgów

(RT s.33).

Ćwiczenie 1. Narysuj linię styczną do okręgu przechodzącą przez punkt ALE leżąc na kole.

Z punktu O narysuj linię prostą OB przez punkt ALE . Z punktu ALE Narysuj okrąg o dowolnym promieniu. Na skrzyżowaniu z linią prostą otrzymano punkty 1 oraz 2. Z tych punktów o dowolnym promieniu rysujemy łuki, aż przecinają się w punktach C oraz D . Z punktu C lub D narysuj linię przez punkt ALE .

Będzie styczna do okręgu, ponieważ styczna jest zawsze prostopadła do promienia narysowanego do punktu stycznej.

Zadanie 2.

Ta konstrukcja jest podobna do konstrukcji prostopadłej do linii prostej przechodzącej przez dany punkt, co można wykonać za pomocą dwóch kwadratów.

Najpierw kwadrat 1 jest umieszczony tak, aby jego przeciwprostokątna pokrywała się z punktami O oraz A . Następnie do kwadrat 1 zastosowano kwadrat 2 , który będzie przewodnikiem, tj. wzdłuż którego będzie się poruszał kwadrat 1 . Potem kwadrat 1 przymocuj kolejną nogę do kwadratu 2. Następnie toczymy kwadrat 1 przez kwadrat 2 dopóki przeciwprostokątna nie pokrywa się z punktem A . I narysujemy linię styczną do okręgu przez punkt A .

Zadanie 3. Narysuj linię styczną do okręgu przechodzącą przez punkt nie na okręgu.

Biorąc pod uwagę okrąg o promieniuR i kropka ALE , nie leżąc na kole, należy rysować z punktuALE linia prosta styczna do danego okręgu w jego górnej części. Aby to zrobić, musisz znaleźć punkt kontaktowy. Wiemy, że punkt stycznej leży na prostopadłej narysowanej od środka okręgu do linii stycznej. Dlatego styczna i prostopadła tworzą kąt prosty.

Wiedząc, że każdy kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym, łączącym punktyALE oraz O , weź segmentUAB dla średnicy koła opisanego. Na przecięciu koła opisanego i koła o promieniuR będzie wierzchołkiem pod kątem prostym (punktW celu ). Odcinek UAB podziel na pół kompasem, zdobądź punktO 1 (ryc. 4, b).

Od centrum O 1 promień równy segmentowiUAB 1 , narysuj okrąg, zdobądź punktyW celu oraz W celu 1 na przecięciu z okręgiem o promieniuR (ryc. 4, c).

Ponieważ należy narysować tylko jedną styczną do góry okręgu, wybrany jest żądany punkt stycznej. Ten punkt będzie punktemW celu . punkt W celu połącz z kropkamiALE oraz O , otrzymujemy kąt prosty, który zależy od średnicyUAB okrąg opisany z promieniemR 1 . Kropka W celu - wierzchołek tego kąta (ryc. 4, d), segmentyOK oraz AK - boki pod kątem prostym, a więc punktW celu będzie pożądanym punktem kontaktu, a linia prostaAK - pożądana styczna.

Rys.4

Rysowanie linii stycznej do dwóch okręgów.

Biorąc pod uwagę dwa okręgi z promieniami R oraz R 1 , wymagane jest zbudowanie do nich stycznej. Istnieją dwa przypadki kontaktu: zewnętrzny i wewnętrzny.

W przypadku styczności zewnętrznej linia styczna znajduje się po tej samej stronie okręgów i nie przecina odcinka łączącego środki tych okręgów.

W przypadku styczności wewnętrznej linia styczna znajduje się po różnych stronach okręgów i przecina odcinek łączący środki okręgów.

Strona 33. Zadanie 5. Narysuj linię styczną do dwóch okręgów. Dotyk jest zewnętrzny.

Przede wszystkim musisz znaleźć punkty kontaktowe. Wiadomo, że muszą leżeć na prostopadłych narysowanych ze środków okręgów ( O oraz O 1 ) do stycznej.

Z punktu O narysuj okrąg o promieniu R - R 1 , ponieważ dotyk jest zewnętrzny.

Podziel odległość OO 1 na pół i narysuj okrąg o promieniu R =OO 2 =O 1 O 2

Ten okrąg przecina okrąg o promieniu R - R 1 w punkcie DO. Łączymy ten punkt z O 1 .

Z punktu O przez punkt W celu narysuj linię prostą, aż przetnie się z okręgiem o promieniu R . dostałem punkt W celu 1 - pierwszy punkt kontaktu.

Z punktu O 1 narysuj linię równoległą Kontrola jakości 1 , aż przetnie się z okręgiem o promieniu R 1 . Masz drugi punkt kontaktu W celu 2 . Łączenie kropek W celu 1 oraz W celu 2 . To jest styczna do dwóch okręgów.

Zadanie 6. Narysuj linię styczną do dwóch okręgów. Dotyk jest wewnętrzny.

Konstrukcja jest podobna, tylko przy styku wewnętrznym promień okręgu pomocniczego narysowanego od punktu O jest równa sumie promieni okręgów R + R 1 .

Druga grupa problemów z parowaniem zawiera zadania, które obejmują tylko okręgi i łuki. Płynne przejście z jednego koła do drugiego może nastąpić bezpośrednio przez dotyk lub przez trzeci element - łuk koła.

Styczność dwóch okręgów może być zewnętrzna (PT: p.32, rys.3) lub wewnętrzna (PT: p.32, rys.4).

Zadanie 3 (strona 32)

Gdy dwa okręgi stykają się zewnętrznie, odległość między środkami tych okręgów będzie równa sumie ich promieni.

Z punktu O promień R + R C zróbmy łuk. Z punktu O 1 promień R 1 + R C O Z - centrum koniugacji.

Łączenie kropek O oraz O 1 z centrum koniugacji O Z . Na kółkach dostałem punkty kontaktowe (koniugacja).

Z punktu O Z promień wiązania R C 30 łączenie punktów kontaktowych.

Zadanie 4 (strona 32)

Kiedy dwa okręgi stykają się wewnętrznie, jeden z okręgów stycznych znajduje się wewnątrz drugiego okręgu, a odległość między środkami tych okręgów będzie równa różnicy ich promieni.

Z punktu O promień ( R C – R ) zróbmy łuk. Z punktu O 1 promień ( R C – R 1 ) narysuj łuk, aż przetnie się z pierwszym łukiem. dostałem punkt O Z - centrum koniugacji.

Centrum parowania O Z połącz z kropkami O oraz O 1 z i wydłuż linię prostą dalej.

Na kółkach dostałem punkty kontaktowe (koniugacja).

Z punktu O Z promień wiązania R C 60 łączenie punktów kontaktowych.

Trzecia grupa problemów z parowaniem zawiera zadania sprzężenia prostej i łuku koła z łukiem o zadanym promieniu.

Wykonując takie zadanie, rozwiązują niejako dwa problemy: narysowanie łuku stycznego do prostej i łuku stycznego do okręgu. Dotyk w tym przypadku może być zarówno zewnętrzny, jak i wewnętrzny.

RT: strona 32. Zadanie 1. Koniugacja okręgu i linii prostej. Dotyk jest zewnętrzny. R C 20 .

Biorąc pod uwagę linię prostą i okrąg o promieniu R , wymagane jest skonstruowanie koniugacji przez łuk o promieniu R C 20 .

Ponieważ linia prosta jest zaangażowana w wiązanie, środek łuku wiązania znajduje się na linii prostej narysowanej równolegle do danej linii w odległości równej promieniowi wiązania R C 20 . Dlatego równolegle do danej linii prostej w odległości 20 mm rysujemy kolejną linię prostą.

A środek łuku koniugacji, gdy dwa koła stykają się zewnętrznie, znajduje się na okręgu o promieniu równym sumie promieni R oraz R C . Dlatego z punktu O promień ( R + R C O Z

Następnie znajdujemy punkty kontaktowe. Pierwszym punktem kontaktu jest prostopadła opuszczona od środka wiązania do danej linii. Drugi punkt węzłowy znajdujemy, łącząc centrum węzłowe O Z i środek koła R . Punkt styczności będzie leżeć na pierwszym przecięciu z okręgiem, ponieważ styczność jest zewnętrzna.

Następnie z punktu O Z promień R C 20 połączyć punkty przecięcia.

RT: strona 32. Zadanie 2. Koniugacja okręgu i linii prostej. Dotyk jest wewnętrzny. R C 60 .

Narysuj linię środków równoległą do danej linii prostej w odległości 60 mm. Z punktu O promień ( R z - R ) rysujemy łuk do przecięcia z nową linią prostą (linią środków). Zdobądźmy punkt O Z , który jest centrum koniugacji.

Od O Z narysuj linię przez środek koła O i prostopadła do danej linii. Uzyskujemy dwa punkty kontaktu. A następnie od środka parowania o promieniu 60 mm łączymy punkty styku.

Parowanie to płynne przejście z jednej linii do drugiej. Płynne przejście można wykonać zarówno za pomocą okrągłych linii
(łuki kół) oraz za pomocą krzywych krzywych (łuki elipsy, paraboli lub hiperboli). Rozważymy tylko przypadki koniugacji za pomocą łuków kół. Z całej gamy koniugacji różnych linii można wyróżnić następujące główne typy koniugacji: koniugacja dwóch różnie położonych linii prostych za pomocą łuku koła, koniugacja linii prostej z łukiem koła, budowa wspólnej styczna do dwóch okręgów, koniugacja dwóch okręgów trzeciego. Każdy rodzaj parowania należy wykonać w następującej kolejności:

- znajdź środek łuku koniugacji,

- znajdź punkty połączeń,

- łuk koniugacji jest rysowany o zadanym promieniu.

Różne typy wiązań pokazano w tabeli 2:

Tabela 2

Graficzna konstrukcja kolegów	Krótkie wyjaśnienie konstrukcji

Sprzężenie przecinających się linii o łuk o określonym promieniu
	Narysuj proste linie równoległe do boków narożnika w odległości R. Z punktu O, wzajemnego przecięcia tych linii, upuszczając prostopadłe do boków narożnika, otrzymujemy punkty koniugacji 1 i 2. O promieniu R, narysuj łuk koniugacji między punktami 1 i 2.
Sprzężenie okręgu i prostej za pomocą łuku o zadanym promieniu
	W odległości R narysuj linię prostą równoległą do danej prostej, a od środka O 1 o promieniu R + R 1 - łuk koła. Punkt O jest środkiem łuku koniugacji. Otrzymujemy punkt 2 na prostopadłej opuszczonej z punktu O do danej prostej, a punkt 1 - na przecięciu prostej OO 1 i okręgu o promieniu R.

Kontynuacja tabeli 2

Sprzężenie łuków dwóch okręgów linią prostą
	Od punktu O narysuj okrąg pomocniczy o promieniu R-R 1. Podziel odcinek OO 1 na pół i od punktu O 2 narysuj okrąg o promieniu 0,5 OO 1. Okrąg ten przecina pomocniczy w punkcie K 0. Łącząc punkt K 0 z punktem O 1 otrzymujemy kierunek wspólnej stycznej. Punkty styczne K i K 1 znajdują się na przecięciu prostopadłych z punktów O i O 1 o danych okręgach.
Sprzężenie łuków dwóch okręgów z łukiem o zadanym promieniu (sprzężenie zewnętrzne)
	Ze środków O 1 i O 2 narysuj łuki o promieniach R + R 1 i R + R 2. Kiedy te łuki się przecinają, otrzymujemy punkt O - środek łuku koniugacji. Połącz punkty O 1 i O 2 z punktem O. Punkty K i K 1 są punktami koniugacji. Pomiędzy punktami K i K 1 narysuj łuk koniugacji o promieniu R.