Linie urojone. Jaka jest kanoniczna postać równania? Elipsa i jej równanie kanoniczne

Pokażemy teraz, że klasyfikacja afiniczna krzywych drugiego rzędu jest podana przez nazwy samych krzywych, tj. że klasy afiniczne krzywych drugiego rzędu są klasami:

prawdziwe elipsy;

wyimaginowane elipsy;

hiperbola;

pary rzeczywistych przecinających się linii;

pary wyimaginowanych (sprzężonych) przecinających się;

pary równoległych linii rzeczywistych;

pary równoległych wyimaginowanych linii sprzężonych;

pary pokrywających się rzeczywistych linii.

Musimy udowodnić dwa stwierdzenia:

A. Wszystkie krzywe o tej samej nazwie (czyli wszystkie elipsy, wszystkie hiperbole itp.) są afinicznie równoważne.

B. Dwie krzywe o różnych nazwach nigdy nie są afinicznie równoważne.

Dowodzimy twierdzenia A. W rozdziale XV § 3 zostało już udowodnione, że wszystkie elipsy są afinicznie równoważne jednemu z nich, mianowicie okręgom i wszystkie hiperbole są hiperbolami.W związku z tym wszystkie elipsy, odpowiednio, wszystkie hiperbole są afinicznie równoważne wzajemnie. Wszystkie wyimaginowane elipsy, które są afinicznie równoważne okręgowi - - 1 o promieniu, są również afinicznie równoważne sobie nawzajem.

Udowodnijmy afiniczną równoważność wszystkich parabol. Udowodnimy jeszcze więcej, a mianowicie, że wszystkie parabole są do siebie podobne. Wystarczy udowodnić, że parabola podana w jakimś układzie współrzędnych przez jej równanie kanoniczne

jak parabola

W tym celu poddajemy samolot transformacji podobieństwa o współczynniku - :

Następnie tak, aby pod naszą transformacją krzywa

wchodzi w krzywą

czyli w parabolę

co było do okazania

Przejdźmy do rozpadających się krzywych. W § wzorów (9) i (11), s. 401 i 402) wykazano, że krzywa rozszczepiająca się na parę przecinających się linii w jakimś (nawet prostokątnym) układzie współrzędnych ma równanie

Wykonywanie dodatkowej transformacji współrzędnych

widzimy, że każda krzywa rozkładająca się na parę przecinających się odpowiednio rzeczywistych, urojonych sprzężonych linii prostych, ma w jakimś afinicznym układzie współrzędnych równanie

Jeśli chodzi o krzywe dzielące się na parę równoległych linii, to każda z nich może być (nawet w jakimś prostokątnym układzie współrzędnych) dana równaniem

za prawdziwe, odpowiednio

dla wyimaginowanych, bezpośrednich. Przekształcenie współrzędnych pozwala nam umieścić te równania (lub dla linii zbieżnych), co implikuje afiniczną równoważność wszystkich zanikających krzywych drugiego rzędu, które mają tę samą nazwę.

Zwracamy się do dowodu twierdzenia B.

Przede wszystkim zauważamy, że przy przekształceniu afinicznym płaszczyzny rząd krzywej algebraicznej pozostaje niezmieniony. Dalej: każda zanikająca krzywa drugiego rzędu jest parą linii prostych, a po przekształceniu afinicznym linia prosta staje się linią prostą, para przecinających się staje się parą przecinających się, a para równoległych staje się para równoległych; ponadto linie rzeczywiste stają się rzeczywiste, a linie urojone stają się urojone. Wynika to z faktu, że wszystkie współczynniki we wzorach (3) (rozdział XI, § 3) definiujące transformację afiniczną są liczbami rzeczywistymi.

Z tego, co zostało powiedziane wynika, że ​​linia, która jest afinicznie równoważna danej zanikającej krzywej drugiego rzędu, jest zanikającą krzywą o tej samej nazwie.

Przechodzimy do krzywych nierozkładających się. Ponownie, przy transformacji afinicznej, prawdziwa krzywa nie może przejść w urojoną i na odwrót. Dlatego klasa urojonych elips jest niezmiennikiem afinicznym.

Rozważ klasy rzeczywistych nierozkładających się krzywych: elipsy, hiperbole, parabole.

Spośród wszystkich krzywych drugiego rzędu każda elipsa i tylko elipsa leży w jakimś prostokącie, podczas gdy parabole i hiperbole (a także wszystkie krzywe zanikające) rozciągają się w nieskończoność.

W ramach transformacji afinicznej prostokąt ABCD zawierający daną elipsę przejdzie w równoległobok zawierający transformowaną krzywą, która w związku z tym nie może iść w nieskończoność i dlatego jest elipsą.

Zatem krzywa afinicznie równoważna elipsie jest z konieczności elipsą. Z tego, co zostało udowodnione wynika, że ​​krzywa afinicznie równoważna hiperboli lub paraboli nie może być elipsą (i, jak wiemy, nie może też być krzywą zanikającą. Pozostaje więc tylko udowodnić, że pod afinem przekształcenia płaszczyzny, hiperbola nie może przejść w parabolę, a wręcz przeciwnie, wynika to prawdopodobnie najprościej z faktu, że parabola nie ma środka symetrii, podczas gdy hiperbola ma. parabola zostanie udowodniona dopiero w następnym rozdziale, teraz podamy drugi, również bardzo prosty dowód afiniczności nierównoważności hiperboli i paraboli.

Lemat. Jeżeli parabola ma punkty wspólne z każdą z dwóch półpłaszczyzn zdefiniowanych w płaszczyźnie danej prostej d, to ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą.

Rzeczywiście, widzieliśmy, że istnieje układ współrzędnych, w którym dana parabola ma równanie

Niech, w odniesieniu do tego układu współrzędnych, prosta d będzie miała równanie

Z założenia na paraboli znajdują się dwa punkty, z których jeden, jak zakładamy, leży w dodatniej, a drugi w ujemnej półpłaszczyźnie względem równania (1). Dlatego pamiętając, że możemy pisać

Linie drugiego rzędu

linie płaskie, których prostokątne współrzędne kartezjańskie spełniają równanie algebraiczne drugiego stopnia

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Równanie (*) może nie określać rzeczywistego obrazu geometrycznego, ale dla uogólnienia w takich przypadkach mówi się, że określa wyimaginowaną reprezentację liniową. rzeczownik W zależności od wartości współczynników równania ogólnego (*) można go przekształcić poprzez równoległe przesunięcie początku i obrotu układu współrzędnych o pewien kąt do jednej z 9 postaci kanonicznych poniżej, z których każda odpowiada pewnej klasie linii. Dokładnie tak,

niezniszczalne linie:

y 2 = 2px - parabole,

łamanie linii:

x 2 - a 2 \u003d 0 - pary równoległych linii,

x 2 + a 2 \u003d 0 - pary wyimaginowanych równoległych linii,

x 2 = 0 - pary pokrywających się równoległych linii.

Badanie wyglądu L. w. można przeprowadzić bez sprowadzania ogólnego równania do postaci kanonicznej. Osiąga się to poprzez wspólne uwzględnienie wartości tzw. podstawowe niezmienniki L.w. n. - wyrażenia złożone ze współczynników równania (*), których wartości nie zmieniają się przy równoległym przesunięciu i obrocie układu współrzędnych:

S \u003d 11 + 22,(a ij = a ji).

Tak więc na przykład elipsy, jako linie niezanikające, charakteryzują się tym, że dla nich Δ ≠ 0; dodatnia wartość niezmiennika δ odróżnia elipsy od innych typów linii niezanikających (dla hiperboli δ

Trzy główne niezmienniki Δ, δ i S określają LV. (z wyjątkiem przypadku linii równoległych) aż do ruchu (patrz Ruch) płaszczyzny euklidesowej: jeśli odpowiadające niezmienniki Δ, δ i S dwóch linii są równe, to takie proste można połączyć ruchem. Innymi słowy, linie te są równoważne w odniesieniu do grupy ruchów płaszczyzny (równoważne metrycznie).

Istnieją klasyfikacje L.. z punktu widzenia innych grup przekształceń. Tak więc, stosunkowo ogólniej niż grupa ruchów, grupa przekształceń afinicznych (patrz Przekształcenia afiniczne), dowolne dwie linie określone równaniami o tej samej postaci kanonicznej są równoważne. Na przykład dwa podobne L. in. n. (patrz podobieństwo) są uważane za równoważne. Związki między różnymi klasami afinicznymi liniowego c.v. pozwala nam ustalić klasyfikację z punktu widzenia geometrii rzutowej (patrz geometria rzutowa), w której elementy w nieskończoności nie odgrywają szczególnej roli. Prawdziwe nierozpadające się L. w. itd.: elipsy, hiperbole i parabole tworzą jedną klasę rzutową - klasę rzeczywistych linii owalnych (owali). Rzeczywista linia owalna to elipsa, hiperbola lub parabola, w zależności od położenia względem linii w nieskończoności: elipsa przecina linię niewłaściwą w dwóch urojonych punktach, hiperbola w dwóch różnych punktach rzeczywistych, parabola dotyka linii niewłaściwej ; istnieją transformacje projekcyjne, które przenoszą te linie jedna w drugą. Istnieje tylko 5 rzutowych klas równoważności L.v. rzeczownik właśnie,

niezdegenerowane linie

(x 1 , x 2 , x 3- współrzędne jednorodne):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - prawdziwy owal,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - wyimaginowany owal,

linie zdegenerowane:

x 1 2 - x 2 2= 0 - para rzeczywistych linii,

x 1 2 + x 2 2= 0 - para wyimaginowanych linii,

x 1 2= 0 - para pokrywających się linii rzeczywistych.

A. B. Iwanow.

Wielka sowiecka encyklopedia. - M.: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, co „Linie drugiego rzędu” znajdują się w innych słownikach:

Linie płaskie, których współrzędne punktu prostokątnego spełniają równanie algebraiczne drugiego stopnia. Wśród linii drugiego rzędu znajdują się elipsy (w szczególności koła), hiperbole, parabole ... Wielki słownik encyklopedyczny

Linie płaskie, których współrzędne punktu prostokątnego spełniają równanie algebraiczne drugiego stopnia. Wśród linii drugiego rzędu znajdują się elipsy (w szczególności koła), hiperbole, parabole. * * * LINIE DRUGIEGO RZĘDU LINIE DRUGIEGO RZĘDU,… … słownik encyklopedyczny

Linie płaskie, prostokątne współrzędne punktów k px spełniają algebry. urna II stopnia. Wśród L. w. n. elipsy (szczególnie koła), hiperbole, parabole… Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Płaska linia, prostokątne współrzędne kartezjańskie do roju spełniają wymagania algebraiczne. równanie 2. stopnia Równanie (*) może nie określać rzeczywistej geometrii. wizerunku, ale żeby zachować w takich przypadkach ogólność, mówią, że to ona determinuje…… Encyklopedia matematyczna

Zbiór punktów trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej (lub zespolonej), którego współrzędne w układzie kartezjańskim spełniają wymagania algebraiczne. równanie II stopnia (*) Równanie (*) może nie określać rzeczywistej geometrii. obrazy, w takich ... ... Encyklopedia matematyczna

To słowo, bardzo często używane w geometrii zakrzywionych linii, ma nie do końca określone znaczenie. Kiedy to słowo stosuje się do niezamkniętych i nierozgałęzionych linii krzywych, wówczas gałąź krzywej oznacza każdą ciągłą jednostkę ... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Linie drugiego rzędu, dwie średnice, z których każda przecina cięciwy tej krzywej, równolegle do drugiej. SD odgrywają ważną rolę w ogólnej teorii linii drugiego rzędu. Z równoległym rzutem elipsy na okrąg jej S. d. ... ...

Linie, które uzyskuje się przez przecięcie prawego okrągłego Stożka z płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek. K. s. może być trzech typów: 1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie generatory stożka w punktach jednej z jego wnęk; linia… … Wielka radziecka encyklopedia

Linie, które uzyskuje się przez przecięcie prawego okrągłego stożka płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek. K. s. może być trzech typów: 1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie generatory stożka w punktach jednego z jego wnęk (ryc., a): linia przecięcia ... ... Encyklopedia matematyczna

Sekcja geometrii. Podstawowe pojęcia geometrii algebraicznej to najprostsze obrazy geometryczne (punkty, linie, płaszczyzny, krzywe i powierzchnie drugiego rzędu). Głównymi środkami badań w A. g. są metoda współrzędnych (patrz poniżej) i metody ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Książki

• Krótki kurs geometrii analitycznej, Efimow Nikołaj Władimirowicz. Przedmiotem badań geometrii analitycznej są figury, które we współrzędnych kartezjańskich podane są równaniami pierwszego lub drugiego stopnia. Na płaszczyźnie są to linie proste i linie drugiego rzędu....

Jest to ogólnie przyjęta standardowa postać równania, gdy w ciągu kilku sekund staje się jasne, jaki obiekt geometryczny definiuje. Ponadto forma kanoniczna jest bardzo wygodna do rozwiązywania wielu praktycznych zadań. Czyli na przykład zgodnie z równaniem kanonicznym "płaski" prosty, po pierwsze od razu widać, że jest to linia prosta, a po drugie należący do niej punkt i wektor kierunku są po prostu widoczne.

Oczywiście, każdy Pierwsza linia zamówienia reprezentuje linię prostą. Na drugim piętrze nie czeka już na nas woźny, ale znacznie bardziej zróżnicowana kompania dziewięciu posągów:

Klasyfikacja linii drugiego rzędu

Za pomocą specjalnego zestawu działań dowolne równanie linii drugiego rzędu jest redukowane do jednego z następujących typów:

( i są dodatnimi liczbami rzeczywistymi)

1) jest kanonicznym równaniem elipsy;

2) jest kanonicznym równaniem hiperboli;

3) jest kanonicznym równaniem paraboli;

4) – wyimaginowany elipsa;

5) - para przecinających się linii;

6) - para wyimaginowany przecinające się linie (z jedynym rzeczywistym punktem przecięcia w początku);

7) - para równoległych linii;

8) - para wyimaginowany równoległe linie;

9) to para zbiegających się linii.

Niektórzy czytelnicy mogą odnieść wrażenie, że lista jest niekompletna. Na przykład w akapicie numer 7 równanie ustawia parę bezpośredni, równolegle do osi i pojawia się pytanie: gdzie jest równanie określające proste równoległe do osi y? Odpowiedz na to nie uważany za kanon. Linie proste reprezentują ten sam standardowy przypadek obrócony o 90 stopni, a dodatkowy wpis w klasyfikacji jest zbędny, ponieważ nie zawiera niczego zasadniczo nowego.

Tak więc istnieje dziewięć i tylko dziewięć różnych typów linii drugiego rzędu, ale w praktyce najczęściej są to elipsa, hiperbola i parabola.

Przyjrzyjmy się najpierw elipsie. Jak zwykle skupiam się na tych punktach, które mają duże znaczenie przy rozwiązywaniu problemów, a jeśli potrzebujesz szczegółowego wyprowadzenia wzorów, dowodów twierdzeń, odsyłam na przykład do podręcznika Bazylwa/Atanasyana lub Aleksandrowa..

Elipsa i jej równanie kanoniczne

Pisownia ... proszę nie powtarzać błędów niektórych użytkowników Yandex, którzy są zainteresowani „jak zbudować elipsę”, „różnicą między elipsą a owalem” i „ekscentrycznością łokci”.

Równanie kanoniczne elipsy ma postać , gdzie są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, oraz . Definicję elipsy sformułuję później, ale na razie czas na przerwę w rozmowie i rozwiązanie wspólnego problemu:

Jak zbudować elipsę?

Tak, weź to i po prostu narysuj. Zadanie jest powszechne, a znaczna część uczniów nie radzi sobie całkiem kompetentnie z rysunkiem:

Przykład 1

Skonstruuj elipsę podaną przez równanie

Decyzja: najpierw sprowadzamy równanie do postaci kanonicznej:

Po co przynosić? Jedną z zalet równania kanonicznego jest to, że pozwala na natychmiastowe określenie wierzchołki elipsy, które są w punktach . Łatwo zauważyć, że współrzędne każdego z tych punktów spełniają równanie.

W tym przypadku :


Odcinek nazywa oś główna elipsa;
odcinek – oś mała;
numer nazywa półoś wielka elipsa;
numer – półoś mała.
w naszym przykładzie: .

Aby szybko wyobrazić sobie, jak wygląda ta lub inna elipsa, po prostu spójrz na wartości „a” i „be” w jej równaniu kanonicznym.

Wszystko jest w porządku, schludne i piękne, ale jest jedno zastrzeżenie: rysunek wykonałem za pomocą programu. I możesz rysować za pomocą dowolnej aplikacji. Jednak w surowej rzeczywistości na stole leży kartka w kratkę, a myszy tańczą wokół naszych rąk. Osoby z talentem artystycznym mogą się oczywiście kłócić, ale masz też myszy (choć mniejsze). Nie na próżno ludzkość wynalazła linijkę, kompas, kątomierz i inne proste urządzenia do rysowania.

Z tego powodu jest mało prawdopodobne, że będziemy w stanie dokładnie narysować elipsę, znając tylko wierzchołki. Nadal dobrze, jeśli elipsa jest mała, na przykład z półosiami. Alternatywnie możesz zmniejszyć skalę i odpowiednio wymiary rysunku. Ale w ogólnym przypadku bardzo pożądane jest znalezienie dodatkowych punktów.

Istnieją dwa podejścia do konstruowania elipsy - geometryczne i algebraiczne. Nie lubię budować za pomocą cyrkla i linijki ze względu na krótki algorytm i spory bałagan na rysunku. W nagłych wypadkach prosimy o zapoznanie się z podręcznikiem, ale w rzeczywistości znacznie bardziej racjonalne jest korzystanie z narzędzi algebry. Z równania elipsy na szkicu szybko wyrażamy:

Równanie jest następnie dzielone na dwie funkcje:
– określa górny łuk elipsy;
– definiuje dolny łuk elipsy.

Każda elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych, a także względem początku. I to świetnie – symetria prawie zawsze jest zwiastunem freebie. Oczywiście wystarczy zająć się 1. ćwiartką współrzędnych, więc potrzebujemy funkcji . Sugeruje znalezienie dodatkowych punktów za pomocą odciętych . Na kalkulatorze trafiliśmy trzy SMS-y:

Oczywiście przyjemnie jest też, że jeśli w obliczeniach popełni się poważny błąd, to od razu stanie się to jasne podczas budowy.

Zaznacz punkty na rysunku (kolor czerwony), punkty symetryczne na pozostałych łukach (kolor niebieski) i starannie połącz całą firmę linią:


Lepiej jest narysować początkowy szkic cienko i cienko, a dopiero potem docisnąć ołówek. Wynik powinien być całkiem przyzwoitą elipsą. Przy okazji, czy chciałbyś wiedzieć, czym jest ta krzywa?

Aby zilustrować to konkretnym przykładem, pokażę, co odpowiada w tej interpretacji następującemu stwierdzeniu: (rzeczywisty lub urojony) punkt P leży na (rzeczywistej lub urojonej) linii g. W tym przypadku oczywiście należy rozróżnić następujące przypadki:

1) punkt rzeczywisty i linia rzeczywista,

2) punkt rzeczywisty i linia urojona,

Przypadek 1) nie wymaga od nas żadnych specjalnych wyjaśnień; tutaj mamy jedną z podstawowych relacji zwykłej geometrii.

W przypadku 2), wraz z daną linią urojoną, sprzężony z nią kompleks linii musi koniecznie przechodzić przez dany punkt rzeczywisty; w konsekwencji punkt ten musi pokrywać się z wierzchołkiem wiązki promieni, której używamy do przedstawienia wyimaginowanej linii.

Podobnie w przypadku 3) prosta rzeczywista musi być identyczna z nośnikiem tej prostoliniowej inwolucji punktów, która służy jako reprezentant danego punktu urojonego.

Najciekawszym przypadkiem jest 4) (ryc. 96): tutaj oczywiście punkt sprzężony musi również leżeć na prostej sprzężonej, a stąd wynika, że ​​każda para punktów inwolucji punktów reprezentujących punkt P musi leżeć na jakiejś parze linii inwolucji linii reprezentujących prostą g, tzn. że obie te inwolucje muszą być usytuowane perspektywicznie jedna względem drugiej; co więcej, okazuje się, że strzały obu inwolucji również są umieszczone w perspektywie.

Ogólnie rzecz biorąc, w geometrii analitycznej płaszczyzny, która również zwraca uwagę na dziedzinę złożoną, otrzymujemy pełny rzeczywisty obraz tej płaszczyzny, jeśli do zbioru wszystkich jej rzeczywistych punktów i linii dodamy jako nowe elementy zbiór inwolucyjnych omówione powyżej liczby wraz ze strzałkami ich kierunków. Wystarczy w tym miejscu naszkicować w ogólnym zarysie, jaką formę miałaby budowa takiego rzeczywistego obrazu złożonej geometrii. Czyniąc to, będę się kierować kolejnością, w jakiej zwykle przedstawiane są obecnie pierwsze tezy elementarnej geometrii.

1) Wychodzą od aksjomatów egzystencji, których celem jest dokładne sformułowanie obecności wspomnianych pierwiastków w obszarze rozszerzonym w porównaniu ze zwykłą geometrią.

2) Następnie aksjomaty połączeń, które stwierdzają, że również w rozszerzonym obszarze określonym w punkcie 1)! jedna i tylko jedna linia przechodzi przez (każde) dwa punkty, a te (dowolne) dwie linie mają jeden i tylko jeden punkt wspólny.

Jednocześnie, tak jak powyżej, musimy za każdym razem rozróżnić cztery przypadki w zależności od tego, czy dane elementy są rzeczywiste, i bardzo ciekawe wydaje się dokładne przemyślenie, które rzeczywiste konstrukcje z inwolucjami punktów i linii służą jako obraz tych złożonych relacji.

3) Co do aksjomatów porządku (porządku), tutaj w porównaniu z rzeczywistymi relacjami wchodzą w grę zupełnie nowe okoliczności; w szczególności wszystkie rzeczywiste i złożone punkty leżące na jednej stałej linii, a także wszystkie promienie przechodzące przez jeden stały punkt, tworzą dwuwymiarowe kontinuum. W końcu każdy z nas nauczył się z badania teorii funkcji nawyku przedstawiania całości wartości zmiennej złożonej przez wszystkie punkty płaszczyzny.

4) Na koniec, w odniesieniu do aksjomatów ciągłości, wskażę tutaj tylko, jak przedstawiane są złożone punkty, leżące tak blisko, jak chcesz, jakiegoś rzeczywistego punktu. Aby to zrobić, przez wzięty punkt rzeczywisty P (lub przez jakiś inny punkt rzeczywisty w jego pobliżu) trzeba narysować jakąś prostą i uwzględnić na niej takie dwie pary punktów oddzielających się (tzn. leżących „na skrzyżowaniu”). ") pary punktów (rys. 97) tak, że dwa punkty pobrane z różnych par leżą blisko siebie i punktu P; jeśli teraz zbierzemy punkty razem w nieskończoność, to inwolucja określona przez nazwane pary punktów ulega degeneracji, tj. oba jej dotychczas złożone podwójne punkty pokrywają się z punktem. Każdy z dwóch urojonych punktów reprezentowanych przez tę inwolucję (razem z jednym lub druga strzałka) przechodzi, a więc ciągła do pewnego punktu bliskiego P, a nawet bezpośrednio do P. Oczywiście, aby móc dobrze wykorzystać te pojęcia ciągłości, trzeba z nimi szczegółowo pracować.

Choć cała ta konstrukcja jest dość nieporęczna i żmudna w porównaniu ze zwykłą prawdziwą geometrią, może dać nieporównywalnie więcej. W szczególności potrafi wznieść do poziomu całkowitej przejrzystości geometrycznej obrazy algebraiczne, rozumiane jako zbiory ich rzeczywistych i złożonych elementów, a przy jego pomocy można jasno zrozumieć na samych figurach takie twierdzenia jak podstawowe twierdzenie algebry lub twierdzenie Bezouta, że ​​dwie rzędy krzywych mają, ogólnie rzecz biorąc, dokładnie wspólne punkty. W tym celu konieczne byłoby oczywiście zrozumienie podstawowych przepisów w znacznie bardziej precyzyjnej i ilustracyjnej formie niż to czyniono do tej pory; jednak literatura zawiera już cały materiał niezbędny do takich badań.

Jednak w większości przypadków zastosowanie tej interpretacji geometrycznej, pomimo wszystkich jej zalet teoretycznych, prowadziłoby do takich komplikacji, że trzeba zadowolić się jej fundamentalną możliwością i faktycznie powrócić do bardziej naiwnego punktu widzenia, który jest następujący: punkt złożony to zbiór trzech współrzędnych złożonych i można na nim operować dokładnie tak samo, jak w przypadku punktów rzeczywistych. Rzeczywiście, takie wprowadzenie elementów urojonych, powstrzymujące się od jakiegokolwiek podstawowego rozumowania, zawsze okazywało się owocne w tych przypadkach, gdy mamy do czynienia z urojonymi punktami cyklicznymi lub kręgiem sfer. Jak już wspomniano, Poncelet po raz pierwszy zaczął używać w tym sensie elementów urojonych; jego zwolennikami pod tym względem byli inni francuskie geometry, głównie Chall i Darboux; w Niemczech pewna liczba geometrów, zwłaszcza Lie, również z wielkim sukcesem zastosowała to rozumienie elementów urojonych.

Tą dygresją w sferę wyobrażeń kończę całą drugą część mojego kursu i przechodzę do nowego rozdziału,

8.3.15. Punkt A leży na linii. Odległość od punktu A do samolotu

8.3.16. Napisz równanie na linię prostą symetryczną do linii prostej

w stosunku do samolotu .

8.3.17. Ułóż równania rzutów na płaszczyznę następujące wiersze:

a) ;

b)

w) .

8.3.18. Znajdź kąt między płaszczyzną a linią:

a) ;

b) .

8.3.19. Znajdź punkt symetryczny do punktu w odniesieniu do samolotu przechodzącego przez linie:

oraz

8.3.20. Punkt A leży na linii

Odległość od punktu A do linii prostej równa się . Znajdź współrzędne punktu A.

§ 8.4. KRZYWE DRUGIEGO RZĘDU

Ustalmy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie i rozważmy ogólne równanie drugiego stopnia

w której .

Zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których współrzędne spełniają równanie (8.4.1), nazywamy krzywy (linia) drugie zamówienie.

Dla dowolnej krzywej drugiego rzędu istnieje prostokątny układ współrzędnych, zwany kanonicznym, w którym równanie tej krzywej ma jedną z następujących postaci:

1) (elipsa);

2) (wyobrażona elipsa);

3) (para wyimaginowanych przecinających się linii);

4) (hiperbola);

5) (para przecinających się linii);

6) (parabola);

7) (para równoległych linii);

8) (para wyimaginowanych równoległych linii);

9) (para zbiegających się linii).

Równania 1) - 9) są nazywane równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu.

Rozwiązanie problemu sprowadzenia równania krzywej drugiego rzędu do postaci kanonicznej obejmuje znalezienie kanonicznego równania krzywej i kanonicznego układu współrzędnych. Redukcja do postaci kanonicznej pozwala obliczyć parametry krzywej i określić jej położenie względem pierwotnego układu współrzędnych. Przejście z pierwotnego prostokątnego układu współrzędnych do kanonicznego odbywa się poprzez obrót osi pierwotnego układu współrzędnych wokół punktu O o pewien kąt j, a następnie równoległe przeniesienie układu współrzędnych.

Niezmienniki krzywej drugiego rzędu(8.4.1) nazywane są takimi funkcjami współczynników jego równania, których wartości nie zmieniają się podczas przechodzenia z jednego prostokątnego układu współrzędnych do innego tego samego układu.

Dla krzywej drugiego rzędu (8.4.1) suma współczynników przy współrzędnych do kwadratu

,

wyznacznik złożony ze współczynników wyrazów wiodących

i wyznacznik trzeciego rzędu

są niezmiennikami.

Wartość niezmienników s, d, D można wykorzystać do określenia typu i złożenia równania kanonicznego krzywej drugiego rzędu.

Tabela 8.1.

Klasyfikacja krzywych drugiego rzędu na podstawie niezmienników

Przyjrzyjmy się bliżej elipsie, hiperboli i paraboli.

Elipsa(rys. 8.1) to miejsce punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości do dwóch punktów stałych ten samolot, zwany sztuczki elipsy, jest wartością stałą (większą niż odległość między ogniskami). Nie wyklucza to koincydencji ognisk elipsy. Jeśli ogniska są takie same, elipsa jest kołem.

Połowa sumy odległości od punktu elipsy do jej ognisk jest oznaczona przez a, połowa odległości między ogniskami - c. Jeżeli prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie zostanie wybrany w taki sposób, że ogniska elipsy znajdują się na osi Ox symetrycznie względem początku, to w tym układzie współrzędnych elipsa dana jest równaniem

, (8.4.2)

nazywa kanoniczne równanie elipsy, gdzie .

Ryż. 8.1

Przy określonym wyborze prostokątnego układu współrzędnych elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych i początku. Nazwij to osiami symetrii elipsy osie, a środkiem symetrii jest środek elipsy. Jednocześnie liczby 2a i 2b są często nazywane osiami elipsy, a liczby a i b nazywane są wielki oraz półoś mała odpowiednio.

Punkty przecięcia elipsy z jej osiami nazywane są wierzchołki elipsy. Wierzchołki elipsy mają współrzędne (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Ekscentryczność elipsy zadzwonił pod numer

Od 0£c

.

To pokazuje, że mimośród charakteryzuje kształt elipsy: im bliższe e jest zero, tym bardziej elipsa wygląda jak koło; wraz ze wzrostem e elipsa staje się bardziej wydłużona.