Ćwiartki cosinusów sinusów tangensów. koło trygonometryczne. Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych

Jeśli znasz już koło trygonometryczne , a Ty po prostu chcesz odświeżyć poszczególne elementy w swojej pamięci, albo jesteś kompletnie niecierpliwy, to oto :

Tutaj przeanalizujemy wszystko szczegółowo krok po kroku.

Koło trygonometryczne to nie luksus, ale konieczność

Trygonometria wiele z nich kojarzy się z nieprzebytym gąszczem. Tak wiele znaczeń nagle się piętrzy funkcje trygonometryczne, tak wiele formuł ... Ale to jest tak, - na początku nie wyszło i ... z przerwami ... zwykłe nieporozumienie ...

Bardzo ważne jest, aby nie machać ręką wartości funkcji trygonometrycznych, - mówią, zawsze możesz spojrzeć na bodziec z tabelą wartości.

Jeśli ciągle patrzysz na tabelę z wartościami wzorów trygonometrycznych, pozbądźmy się tego nawyku!

Uratuje nas! Popracujesz z nim kilka razy, a potem samo wyskoczy w Twojej głowie. Dlaczego jest lepszy niż stół? Tak, w tabeli znajdziesz ograniczoną ilość wartości, ale na kółku - WSZYSTKO!

Na przykład, powiedzmy, patrząc na standardowa tabela wartości formuł trygonometrycznych , czyli sinus, powiedzmy, 300 stopni, czyli -45.

Nie ma mowy?.. można oczywiście podłączyć formuły redukcyjne... A patrząc na okrąg trygonometryczny, możesz łatwo odpowiedzieć na takie pytania. A wkrótce dowiesz się jak!

A przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i nierówności bez koła trygonometrycznego - nigdzie.

Wprowadzenie do okręgu trygonometrycznego

Chodźmy w porządku.

Najpierw zapisz następującą serię liczb:

A teraz to:

I wreszcie ten:

Oczywiście jasne jest, że w rzeczywistości na pierwszym miejscu jest, na drugim miejscu, a na ostatnim -. Oznacza to, że bardziej zainteresuje nas łańcuch .

Ale jak pięknie się wyszło! W takim przypadku przywrócimy tę „cudowną drabinę”.

I dlaczego tego potrzebujemy?

Ten łańcuch to główne wartości sinusa i cosinusa w pierwszym kwartale.

Narysujmy okrąg o promieniu jednostkowym w prostokątnym układzie współrzędnych (czyli bierzemy dowolny promień wzdłuż długości i deklarujemy jego długość jako jednostkę).

Z belki „0-Start” odsuwamy się w kierunku rogów strzałki (patrz rys.).

Otrzymujemy odpowiednie punkty na kole. Jeśli więc rzutujemy punkty na każdą z osi, otrzymamy dokładnie wartości z powyższego łańcucha.

Dlaczego tak jest, pytasz?

Nie rozkładajmy wszystkiego na części. Rozważać zasada, który pozwoli Ci poradzić sobie z innymi, podobnymi sytuacjami.

Trójkąt AOB jest trójkątem prostokątnym z . I wiemy, że naprzeciw kąta przy przeciwprostokątnej leży noga dwa razy mniejsza niż przeciwprostokątna (nasza przeciwprostokątna = promień okręgu, czyli 1).

Stąd AB= (a więc OM=). I przez twierdzenie Pitagorasa

Mam nadzieję, że teraz coś jest jasne.

Tak więc punkt B będzie odpowiadał wartości, a punkt M będzie odpowiadał wartości

Podobnie z resztą wartości z pierwszego kwartału.

Jak rozumiesz, znana nam oś (wół) będzie oś cosinus, a oś (oy) - oś zatoki . później.

Na lewo od zera na osi cosinus (poniżej zera na osi sinus) będzie oczywiście wartości ujemne.

A więc oto jest WSZECHMOCNY, bez którego nigdzie w trygonometrii.

Ale jak używać okręgu trygonometrycznego, porozmawiamy.

Dane odniesienia dla tangensa (tg x) i cotangensa (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica tangensów i kotangensów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów. Wyrażenia poprzez złożone zmienne. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD| - długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a nogą trójkąt prostokątny, równy stosunkowi długości przeciwległego ramienia |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwległej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie n- cały.

W literatura zachodnia styczna jest zdefiniowana w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjęto również następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Domeny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- liczba całkowita).

	y= tg x	y= ctg x
Zakres i ciągłość
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Ekstrema	-	-
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji :
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną > > > ; dla cotangensa > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa w potęgach x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w seria mocy dla funkcji grzech x oraz bo x i podziel te wielomiany na siebie , . Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do tangensa i cotangensa to odpowiednio arcus tangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arc tangens, arcctg

, gdzie n- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2012.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które można wykorzystać do identyfikacji konkretna osoba lub połączenie z nim.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy złożysz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, postępowaniem sądowym, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Jest prawie tak samo, jak w poprzedniej lekcji. Są osie, koło, kąt, wszystko to chińska porcelana. Dodano numery ćwiartek (w rogach dużego kwadratu) - od pierwszej do czwartej. A potem nagle kto nie wie? Jak widać, ćwiartki (nazywane są też piękne słowo„kwadranty”) są ponumerowane w stosunku do ruchu zgodnie ze wskazówkami zegara. Dodano wartości kątów na osiach. Wszystko jasne, bez dodatków.

I dodał zieloną strzałkę. Z plusem. Co ona ma na myśli? Przypomnę, że stała strona narożnika zawsze przybity do dodatniej osi OH. Tak więc, jeśli przekręcimy ruchomą stronę narożnika plus strzałka, tj. w rosnących liczbach kwartalnych, kąt zostanie uznany za dodatni. Na przykład obraz pokazuje dodatni kąt +60°.

Jeśli odłożymy rzuty rożne w Odwrotna strona, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, kąt będzie uważany za ujemny. Najedź kursorem na zdjęcie (lub dotknij obrazu na tablecie), zobaczysz niebieską strzałkę z minusem. To jest kierunek ujemnego odczytu kątów. Jako przykład pokazano kąt ujemny (-60°). A zobaczysz też, jak zmieniły się liczby na osiach… Przełożyłem je też na kąty ujemne. Numeracja kwadrantów nie ulega zmianie.

Tutaj zwykle zaczynają się pierwsze nieporozumienia. Jak to!? A jeśli ujemny kąt na kole pokrywa się z dodatnim!? I generalnie okazuje się, że to samo położenie strony ruchomej (lub punkt na okręgu numerycznym) można nazwać zarówno kątem ujemnym, jak i dodatnim!?

Tak. Dokładnie tak. Powiedzmy, że dodatni kąt 90 stopni przyjmuje okrąg dokładnie to samo pozycja jako kąt ujemny minus 270 stopni. Dodatni kąt, na przykład +110° stopni, przyjmuje dokładnie to samo pozycja, ponieważ kąt ujemny wynosi -250°.

Nie ma problemu. Wszystko się zgadza.) Wybór dodatniego lub ujemnego obliczenia kąta zależy od warunku zadania. Jeśli warunek nic nie mówi zwykły tekst o znaku kąta (np. „określ najmniejszy pozytywny kąt”, itp.), to pracujemy z dogodnymi dla nas wartościami.

Wyjątkiem (a jak bez nich?!) są nierówności trygonometryczne, ale tam opanujemy tę sztuczkę.

A teraz pytanie do Ciebie. Skąd mam wiedzieć, że pozycja kąta 110° jest taka sama jak pozycja kąta -250°?
Podpowiem, że wynika to z pełnego obrotu. W 360°... Niejasne? Następnie rysujemy okrąg. Rysujemy na papierze. Zaznaczanie rogu o 110°. I uwierzyć ile pozostało do pełnego obrotu. Pozostało tylko 250°...

Rozumiem? A teraz - uwaga! Jeśli kąty 110° i -250° zajmują okrąg To samo stanowisko, to co? Tak, fakt, że kąty wynoszą 110 ° i -250 ° dokładnie to samo sinus, cosinus, tangens i cotangens!
Tych. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tak dalej. Teraz to jest naprawdę ważne! A samo w sobie - istnieje wiele zadań, w których konieczne jest uproszczenie wyrażeń i jako podstawa do późniejszego opracowania formuł redukcyjnych i innych zawiłości trygonometrii.

Oczywiście wziąłem 110 ° i -250 ° na chybił trafił, czysto np. Wszystkie te równości działają dla dowolnych kątów zajmujących tę samą pozycję na kole. 60° i -300°, -75° i 285° i tak dalej. Od razu zauważam, że rogi w tych parach - różny. Ale mają funkcje trygonometryczne - to samo.

Myślę, że rozumiesz, czym są negatywne kąty. To całkiem proste. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jest liczbą dodatnią. Po drodze jest negatywna. Rozważ kąt dodatni lub ujemny zależy od nas. Z naszego pragnienia. No i oczywiście więcej z zadania ... Mam nadzieję, że rozumiesz, jak poruszać się w funkcjach trygonometrycznych od kątów ujemnych do dodatnich i odwrotnie. Narysuj okrąg, przybliżony kąt i zobacz, ile brakuje przed pełnym zakrętem, tj. do 360°.

Kąty większe niż 360°.

Zajmijmy się kątami większymi niż 360 °. A takie rzeczy się zdarzają? Oczywiście są. Jak narysować je na kole? Żaden problem! Załóżmy, że musimy zrozumieć, w której ćwiartce spadnie kąt 1000 °? Łatwo! Wykonujemy jeden pełny obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (kąt dano nam dodatnio!). Przewiń o 360°. Cóż, przejdźmy dalej! Kolejny obrót - już wyszło 720 °. Ile zostało? 280°. To za mało na pełny obrót… Ale kąt to ponad 270° – i to jest granica między trzecią a czwartą ćwiartką. Zatem nasz kąt 1000° wypada na czwartą ćwiartkę. Wszystko.

Jak widać, jest to dość proste. Przypomnę raz jeszcze, że kąt 1000° i kąt 280°, który uzyskaliśmy odrzucając „dodatkowe” pełne obroty, są ściśle mówiąc, różny rogi. Ale funkcje trygonometryczne tych kątów dokładnie to samo! Tych. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Gdybym był sinusem, nie zauważyłbym różnicy między tymi dwoma kątami...

Dlaczego to wszystko jest konieczne? Dlaczego musimy przekładać kąty z jednego na drugi? Tak, wszyscy za to samo.) W celu uproszczenia wyrażeń. W rzeczywistości uproszczenie wyrażeń jest głównym zadaniem matematyki szkolnej. Cóż, po drodze głowa trenuje.)

Cóż, poćwiczymy?)

Odpowiadamy na pytania. Na początku proste.

1. W którą ćwiartkę spada kąt -325°?

2. W którą ćwiartkę spada kąt 3000°?

3. W którą ćwiartkę spada kąt -3000°?

Tam jest problem? Czy niepewność? Przechodzimy do sekcji 555, Praktyczna praca z okręgiem trygonometrycznym. Tam, w pierwszej lekcji tego samego „ praktyczna praca..." wszystko jest szczegółowe ... In taki pytania niepewności nie powinien!

4. Jaki jest znak grzechu555°?

5. Jaki jest znak tg555°?

Ustalona? W porządku! Wątpliwość? Jest to konieczne do sekcji 555 ... Nawiasem mówiąc, nauczysz się rysować styczną i costyczną na okręgu trygonometrycznym. Bardzo przydatna rzecz.

A teraz mądrzejsze pytania.

6. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa najmniejszego dodatniego kąta.

7. Doprowadzić wyrażenie cos777 do cosinusa największego kąta ujemnego.

8. Przekształć wyrażenie cos(-777°) na cosinus najmniejszego kąta dodatniego.

9. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa największego kąta ujemnego.

Co, pytania 6-9 są zdziwione? Przyzwyczaj się do tego, na egzaminie nie ma takich sformułowań... Niech tak będzie, przetłumaczę. Tylko dla Ciebie!

Słowa „zredukować wyrażenie do…” oznaczają przekształcenie wyrażenia tak, aby jego wartość nie zmienił się a wygląd zewnętrzny zmieniane zgodnie z zadaniem. Tak więc w zadaniach 6 i 9 powinniśmy otrzymać sinus, wewnątrz którego jest najmniejszy kąt dodatni. Wszystko inne nie ma znaczenia.

Udzielę odpowiedzi w kolejności (z naruszeniem naszych zasad). Ale co robić, są tylko dwa znaki, a tylko cztery ćwiartki… Nie rozrzucisz się w opcjach.

6. grzech57°.

7.cos (-57°).

8.cos57°.

9.-grzech (-57°)

Przypuszczam, że odpowiedzi na pytania 6-9 zmyliły niektórych ludzi. Szczególnie -grzech (-57°), prawda?) Rzeczywiście, w elementarnych zasadach liczenia kątów jest miejsce na błędy ... Dlatego musiałem zrobić lekcję: "Jak wyznaczyć znaki funkcji i podać kąty na okręgu trygonometrycznym?" W sekcji 555. Tam zadania 4 - 9 są uporządkowane. Dobrze posortowane, ze wszystkimi pułapkami. I są tutaj.)

W kolejnej lekcji zajmiemy się tajemniczymi radianami i liczbą „Pi”. Dowiedz się, jak łatwo i poprawnie zamienić stopnie na radiany i odwrotnie. I będziemy zdziwieni, gdy stwierdzimy, że te podstawowe informacje na stronie już wystarczy rozwiązać kilka niestandardowych zagadek trygonometrycznych!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Znak funkcji trygonometrycznej zależy wyłącznie od ćwiartki współrzędnych, w której znajduje się argument liczbowy. Ostatnim razem nauczyliśmy się tłumaczyć argumenty z miary w radianach na miarę w stopniach (patrz lekcja „Miara kąta w radianach i stopniach”), a następnie wyznaczać tę samą ćwiartkę współrzędnych. Zajmijmy się teraz właściwie definicją znaku sinusa, cosinusa i tangensa.

Sinus kąta α jest rzędną (współrzędną y) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień jest obrócony o kąt α.

Cosinus kąta α to odcięta (współrzędna x) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień obraca się o kąt α.

Tangens kąta α jest stosunkiem sinusa do cosinusa. Lub, równoważnie, stosunek współrzędnej y do współrzędnej x.

Notacja: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Wszystkie te definicje są Ci znane z kursu algebry w szkole średniej. Jednak nie interesują nas same definicje, ale konsekwencje, które pojawiają się na okręgu trygonometrycznym. Spójrz:

Kolor niebieski wskazuje kierunek dodatni osi OY (oś rzędnych), kolor czerwony wskazuje kierunek dodatni osi OX (oś odciętych). Na tym „radarze” znaki funkcji trygonometrycznych stają się oczywiste. W szczególności:

1. sin α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub II. Dzieje się tak, ponieważ z definicji sinus jest rzędną (współrzędną y). A współrzędna y będzie dodatnia dokładnie w ćwiartkach współrzędnych I i II;
2. cos α > 0, jeśli kąt α leży w ćwiartce współrzędnych I lub IV. Ponieważ tylko tam współrzędna x (jest to również odcięta) będzie większa od zera;
3. tg α > 0 jeśli kąt α leży w kwadrancie I lub III współrzędnych. Wynika to z definicji: w końcu tg α = y : x , więc jest dodatnie tylko wtedy, gdy znaki x i y pokrywają się. Dzieje się to w 1. ćwiartce współrzędnych (tutaj x > 0, y > 0) i w 3. ćwiartce współrzędnych (x< 0, y < 0).

Dla jasności odnotowujemy znaki każdej funkcji trygonometrycznej - sinus, cosinus i tangens - na osobnym „radarze”. Otrzymujemy następujący obraz:

Uwaga: w swoim rozumowaniu nigdy nie mówiłem o czwartej funkcji trygonometrycznej - kotangensie. Faktem jest, że znaki styczne pokrywają się ze znakami stycznej - nie ma tam żadnych specjalnych zasad.

Teraz proponuję rozważyć przykłady podobne do problemów B11 z egzamin próbny w matematyce, która odbyła się 27 września 2011 r. Przecież Najlepszym sposobem zrozumienie teorii to praktyka. Najlepiej dużo praktyki. Oczywiście nieznacznie zmieniły się warunki wykonywania zadań.

Zadanie. Określ znaki funkcji i wyrażeń trygonometrycznych (wartości samych funkcji nie muszą być brane pod uwagę):

1. grzech(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. opalenizna (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Plan działania jest następujący: najpierw przeliczamy wszystkie kąty z miary radiana na miarę stopnia (π → 180°), a następnie sprawdzamy, w której ćwiartce współrzędnych leży wynikowa liczba. Znając kwatery, bez trudu odnajdziemy znaki - zgodnie z opisanymi zasadami. Mamy:

1. grzech (3π/4) = grzech (3 180°/4) = grzech 135°. Od 135° ∈ jest to kąt od kwadrantu II współrzędnych. Ale sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, więc sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Ponieważ 210° ∈ , jest to kąt od kwadrantu III współrzędnych, w którym wszystkie cosinusy są ujemne. Dlatego cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ jesteśmy w kwadrancie IV, gdzie styczna przyjmuje wartości ujemne. Dlatego tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Zajmijmy się sinusem: bo 135° ∈ , jest to druga ćwiartka, w której sinusy są dodatnie, tj. sin (3π/4) > 0. Teraz pracujemy z cosinusem: 150° ∈ - znowu druga ćwiartka, tam cosinusy są ujemne. Dlatego cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Patrzymy na cosinus: 120° ∈ jest ćwiartką II współrzędnych, więc cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Znowu otrzymaliśmy produkt, w którym czynniki o różnych znakach. Ponieważ „minus razy plus daje minus”, mamy: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Pracujemy z sinusem: od 150° ∈ , rozmawiamy o drugiej ćwiartce współrzędnych, gdzie sinusy są dodatnie. Dlatego sin (5π/6) > 0. Podobnie, 315° ∈ jest ćwiartką współrzędnych IV, gdzie cosinusy są dodatnie. Zatem cos (7π/4) > 0. Otrzymaliśmy iloczyn dwóch liczb dodatnich - takie wyrażenie jest zawsze dodatnie. Wnioskujemy: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ale kąt 135° ∈ to druga ćwiartka, czyli opalenizna (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Ponieważ „minus plus daje znak minus”, mamy: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Patrzymy na argument cotangensa: 240° ∈ to ćwiartka III współrzędnej, więc ctg (4π/3) > 0. Podobnie dla stycznej mamy: 30° ∈ to ćwiartka I współrzędnych, tj. najłatwiejszy róg. Zatem tg (π/6) > 0. Znowu otrzymaliśmy dwa dodatnie wyrażenia - ich iloczyn również będzie dodatni. Dlatego ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka wymagające zadania. Oprócz znalezienia znaku funkcji trygonometrycznej, tutaj musisz wykonać małe obliczenia - tak jak to się robi w prawdziwych zadaniach B11. W zasadzie są to prawie realne zadania, które naprawdę można znaleźć na egzaminie z matematyki.

Zadanie. Znajdź sin α, jeśli sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Ponieważ sin 2 α = 0,64 mamy: sin α = ±0,8. Pozostaje do podjęcia decyzji: plus czy minus? Z założenia kąt α ∈ [π/2; π] jest ćwiartką współrzędnych II, w której wszystkie sinusy są dodatnie. Zatem sin α = 0,8 - eliminuje się niepewność ze znakami.

Zadanie. Znajdź cos α jeśli cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Postępujemy podobnie, tj. wyciąg Pierwiastek kwadratowy: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Z założenia kąt α ∈ [π; 3π/2], tj. mówimy o III ćwiartce współrzędnych. Tam wszystkie cosinusy są ujemne, więc cos α = -0,2.

Zadanie. Znajdź sin α jeśli sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Mamy: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ponownie przyjrzymy się kątowi: α ∈ to ćwiartka współrzędnej IV, w której, jak wiecie, sinus będzie ujemny. Zatem wnioskujemy: sin α = -0,5.

Zadanie. Znajdź tg α jeśli tg 2 α = 9 i α ∈ .

Wszystko jest takie samo, tylko dla stycznej. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ale pod warunkiem, kąt α ∈ jest kwadrantem I współrzędnych. Wszystkie funkcje trygonometryczne, m.in. styczna, są dodatnie, więc tg α = 3. To wszystko!