Jeśli kąt jest ostry, to współczynnik. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

W poprzednim rozdziale pokazano, że wybierając pewien układ współrzędnych na płaszczyźnie, możemy analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej równaniem pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale omówione zostaną równania linii prostych.

Aby sformułować równanie linii prostej we współrzędnych kartezjańskich, musisz w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Najpierw wprowadzamy pojęcie nachylenia linii prostej, która jest jedną z wielkości charakteryzujących położenie linii prostej na płaszczyźnie.

Nazwijmy kąt nachylenia prostej do osi Wół jako kąt, o który oś Wół musi zostać obrócona tak, aby pokrywała się z daną prostą (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle rozważymy kąt biorąc pod uwagę znak (znak jest określony przez kierunek obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Wół o kąt 180° ponownie połączy ją z linią prostą, kąt nachylenia prostej do osi można dobrać niejednoznacznie (do wielokrotności ).

Tangens tego kąta jest jednoznacznie określony (bo zmiana kąta na nie zmienia jego stycznej).

Styczna kąta nachylenia linii prostej do osi x nazywana jest nachyleniem linii prostej.

Nachylenie charakteryzuje kierunek linii prostej (tu nie rozróżniamy dwóch wzajemnie przeciwstawnych kierunków linii prostej). Jeśli nachylenie jest proste zero, to linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim nachyleniu kąt nachylenia prostej do osi x będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszy wartość dodatnia kąt nachylenia) (rys. 39); w tym przypadku im większe nachylenie, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wół. Jeżeli nachylenie jest ujemne, to kąt nachylenia prostej do osi x będzie rozwarty (ryc. 40). Zauważ, że linia prosta prostopadła do osi x nie ma nachylenia (styczna kąta nie istnieje).

Linia y \u003d f (x) będzie styczna do wykresu pokazanego na rysunku w punkcie x0, jeśli przejdzie przez punkt o współrzędnych (x0; f (x0)) i ma nachylenie f ”(x0). Znajdź taki współczynnik, znając cechy stycznej, nie jest trudny.

Będziesz potrzebować

• - informator matematyczny;
• - prosty ołówek;
• - zeszyt;
• - kątomierz;
• - kompas;
• - długopis.

Instrukcja

Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przechodzi w pionie. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia stycznej niepionowej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku nachylenie stycznej będzie równe f "(x0). W ten sposób staje się jasne znaczenie geometryczne pochodna - obliczenie nachylenia stycznej.

Narysuj dodatkowe styczne, które stykałyby się z wykresem funkcji w punktach x1, x2 i x3, a także zaznacz kąty utworzone przez te styczne z osią odciętych (taki kąt liczony jest w kierunku dodatnim od osi do linia styczna). Na przykład kąt, czyli α1, będzie ostry, drugi (α2) będzie rozwarty, a trzeci (α3) będzie równy zero, ponieważ linia styczna jest równoległa do osi OX. W tym przypadku tangens kąta rozwartego jest ujemny, tangens kąta ostrego dodatni, a dla tg0 wynik wynosi zero.

Uwaga

Prawidłowo określ kąt utworzony przez styczną. Aby to zrobić, użyj kątomierza.

Pomocna rada

Dwie ukośne linie będą równoległe, jeśli ich zbocza są sobie równe; prostopadła, jeśli iloczyn nachyleń tych stycznych wynosi -1.

Źródła:

• Wykres stycznej do funkcji

Cosinus, podobnie jak sinus, jest określany jako „bezpośrednie” funkcje trygonometryczne. Tangens (razem z cotangensem) jest dodawany do innej pary zwanej „pochodnymi”. Istnieje kilka definicji tych funkcji, które umożliwiają znalezienie stycznej podanej przez znana wartość cosinus o tej samej wartości.

Instrukcja

Odejmij iloraz od jedności przez cosinus danego kąta podniesiony do wartości i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku - będzie to wartość tangensa z kąta wyrażona przez jego cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α))²) . Jednocześnie zwróć uwagę na to, że we wzorze cosinus jest w mianowniku ułamka. Niemożność dzielenia przez zero wyklucza użycie tego wyrażenia dla kątów równych 90°, a także różnicowanie się od tej wartości o wielokrotności 180° (270°, 450°, -90° itd.).

Jest również alternatywny sposób obliczanie tangensa ze znanej wartości cosinusa. Może być używany, jeśli nie ma ograniczeń w korzystaniu z innych. Aby zaimplementować tę metodę, najpierw określ wartość kąta ze znanej wartości cosinusa - można to zrobić za pomocą funkcji arccosinus. Następnie po prostu oblicz styczną dla kąta otrzymanej wartości. Ogólnie algorytm ten można zapisać w następujący sposób: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Istnieje inna egzotyczna opcja wykorzystująca definicję cosinusa i stycznej przez kąty ostre trójkąta prostokątnego. Cosinus w tej definicji odpowiada stosunkowi długości nogi sąsiadującej z rozważanym kątem do długości przeciwprostokątnej. Znając wartość cosinusa, możesz wybrać odpowiadające mu długości tych dwóch boków. Na przykład, jeśli cos(α)=0,5, to sąsiednie można przyjąć równe 10 cm, a przeciwprostokątną - 20 cm. Konkretne liczby nie mają tutaj znaczenia - otrzymasz to samo i poprawisz dowolne wartości, które mają takie same. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, określ długość brakującego boku - przeciwległej nogi. Ona będzie równa pierwiastek kwadratowy z różnicy między długościami kwadratowej przeciwprostokątnej i znanej nogi: √(20²-10²)=√300. Z definicji tangens odpowiada stosunkowi długości przeciwnej i sąsiedniej nogi (√300/10) - oblicz ją i uzyskaj wartość tangensa znalezioną przy użyciu klasycznej definicji cosinusa.

Źródła:

• cosinus przez styczną formułę

Jeden z funkcje trygonometryczne, najczęściej oznaczany literami tg, chociaż spotyka się również oznaczenia tan. Najłatwiej jest przedstawić tangens jako stosunek sinusa kąt do jego cosinusa. Jest to nieparzysta funkcja okresowa, a nie ciągła, której każdy cykl jest równa liczbie Pi, a punkt załamania odpowiada połowie tej liczby.

W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie linii prostej na kartezjańskiej płaszczyźnie współrzędnych jest nachylenie tej linii prostej. Ten parametr charakteryzuje nachylenie linii prostej do osi x. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.

Ogólnie rzecz biorąc, każdą linię można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale koniecznie a 2 + b 2 ≠ 0.

Za pomocą prostych przekształceń takie równanie można sprowadzić do postaci y=kx+d, w której k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego rodzaju nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy sprowadzić pierwotne równanie do powyższej postaci. Dla lepszego zrozumienia rozważ konkretny przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podane równaniem 36x - 18y = 108

Rozwiązanie: Przekształćmy oryginalne równanie.

Odpowiedź: Pożądane nachylenie tej linii to 2.

Jeżeli podczas przekształcenia równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const iw rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Nachylenie taka linia jest równa nieskończoności.

W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi x. Na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rozwiązanie: Sprowadzamy oryginalne równanie do ogólnej postaci

24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4

Nie można wyrazić y z wynikowego wyrażenia, dlatego nachylenie tej linii jest równe nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.

zmysł geometryczny

Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na obrazek:

Na rysunku widzimy wykres funkcji typu y = kx. Dla uproszczenia przyjmiemy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy nachyleniu k. Jednocześnie stosunek VA/AO jest tangensem kąta ostrego α in trójkąt prostokątny OAV. Okazuje się, że nachylenie prostej jest równe stycznej kąta, jaki tworzy ta prosta z osią x siatki współrzędnych.

Rozwiązując problem, jak znaleźć nachylenie prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią x siatki współrzędnych. Przypadki brzegowe, gdy rozważana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla linii prostej opisanej równaniem y=const, kąt między nią a osią x jest równy zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero, a nachylenie również wynosi zero.

Dla linii prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią x wynosi 90 stopni. Tangens prosty kąt jest równe nieskończoności, a nachylenie podobnych linii prostych jest równe nieskończoności, co potwierdza to, co zostało napisane powyżej.

Nachylenie styczne

Częstym, często spotykanym w praktyce zadaniem jest również znalezienie w pewnym momencie nachylenia stycznej do wykresu funkcji. Styczna jest linią prostą, dlatego pojęcie nachylenia ma również zastosowanie do niej.

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, musimy przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodna dowolnej funkcji w pewnym momencie jest stałą, liczbowo równy tangens kąt utworzony między styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby określić nachylenie stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej pierwotnej funkcji w tym punkcie k \u003d f "(x 0). Rozważmy przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xex x przy x = 0,1.

Rozwiązanie: Znajdź pochodną pierwotnej funkcji w postaci ogólnej

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Odpowiedź: Pożądane nachylenie w punkcie x \u003d 0,1 wynosi 4,831

Kontynuacja tematu równania linii prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Ten artykuł zawiera ogólne informacje na temat równania linii prostej ze spadkiem. Rozważ definicje, zdobądź samo równanie, ujawnij związek z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązywania problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi O x wraz z ich nachyleniem. Załóżmy, że na płaszczyźnie dany jest kartezjański układ współrzędnych O x.

Definicja 1

Kąt nachylenia prostej do osi O x, znajduje się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do linii prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Gdy linia jest równoległa do Oxa lub występuje w niej koincydencja, kąt nachylenia wynosi 0. Wtedy kąt nachylenia danej prostej α jest określony na przedziale [ 0 , π) .

Definicja 2

Nachylenie linii prostej jest tangensem nachylenia danej linii.

Standardowa notacja to k. Z definicji otrzymujemy, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówi się, że nachylenie nie istnieje, ponieważ prowadzi do nieskończoności.

Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i na odwrót. Rysunek przedstawia różne warianty położenia kąta prostego względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.

Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika nachylenia i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.

Decyzja

Z warunku mamy, że α = 120 °. Z definicji musisz obliczyć nachylenie. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3 .

Odpowiedź: k = - 3 .

Jeżeli współczynnik kątowy jest znany, ale konieczne jest wyznaczenie kąta nachylenia do osi x, to należy wziąć pod uwagę wartość współczynnika kątowego. Jeśli k > 0, to kąt prosty jest ostry i znajduje się go wzorem α = a r c t g k . Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Przykład 2

Określ kąt nachylenia danej prostej do O x o nachyleniu równym 3.

Decyzja

Z warunku mamy, że nachylenie jest dodatnie, co oznacza, że ​​kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Odpowiedź: α = a r c t g 3 .

Przykład 3

Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3 .

Decyzja

Jeśli przyjmiemy literę k jako oznaczenie nachylenia, to α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Odpowiedź: 5 pi 6 .

Równanie o postaci y \u003d k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest pewną liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem linii prostej z nachyleniem. Równanie jest typowe dla każdej linii prostej, która nie jest równoległa do osi O y.

Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, którą podaje równanie o nachyleniu wyglądającym jak y \u003d k x + b. W tym przypadku oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu na linii odpowiadają równaniu. Jeśli podstawimy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y \u003d k x + b, to w tym przypadku linia przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do linia.

Przykład 4

Dana linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1 . Oblicz, czy punkty M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) należą do danej prostej.

Decyzja

Należy podstawić do podanego równania współrzędne punktu M 1 (3, 0), wtedy otrzymujemy 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Równość jest prawdziwa, więc punkt należy do prostej.

Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), to otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Możemy wywnioskować, że punkt M 2 nie należy do prostej.

Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.

Wiadomo, że prosta określona jest równaniem y = k · x + b przechodząca przez M 1 (0 , b) , podstawienie dało równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b . Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej o nachyleniu y = k · x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi Ox, gdzie k = t g α .

Rozważmy na przykład linię prostą zdefiniowaną przy użyciu nachylenia określonego w postaci y = 3 · x - 1 . Otrzymujemy, że linia prosta przejdzie przez punkt o współrzędnej 0, - 1 o nachyleniu α = a r c t g 3 = π 3 radiany wzdłuż dodatniego kierunku osi Ox. Z tego widać, że współczynnik wynosi 3.

Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt

Konieczne jest rozwiązanie problemu, w którym konieczne jest uzyskanie równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1 ).

Równość y 1 = k · x + b można uznać za poprawną, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1 , y 1 ). Aby usunąć liczbę b, konieczne jest odjęcie równania ze współczynnikiem nachylenia z lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1). Ta równość nazywana jest równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1 ).

Przykład 5

Ułóż równanie linii prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o nachyleniu równym - 2.

Decyzja

Pod warunkiem mamy to x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w ten sposób y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .

Przykład 6

Napisz równanie linii prostej o nachyleniu przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5) równoległych do linii prostej y \u003d 2 x - 2.

Decyzja

Warunkiem jest, że równoległe linie mają pokrywające się kąty nachylenia, stąd współczynniki nachylenia są równe. Aby znaleźć stok z podane równanie, należy przypomnieć jej podstawową formułę y = 2 x - 2, stąd wynika, że ​​k = 2 . Układamy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Odpowiedź: y = 2 x - 1 .

Przejście od równania linii prostej ze spadkiem do innych typów równań linii prostej i odwrotnie

Takie równanie nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ ma niezbyt wygodną notację. Aby to zrobić, musi być przedstawiony w innej formie. Na przykład równanie postaci y = k · x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego prostej lub współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się przedstawiać równania innego rodzaju.

Możemy otrzymać równanie kanoniczne linii prostej w płaszczyźnie za pomocą równania linii prostej ze spadkiem. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Należy przesunąć wyraz b na lewą stronę i podzielić przez wyrażenie uzyskanej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Równanie linii prostej ze spadkiem stało się równaniem kanonicznym danej linii prostej.

Przykład 7

Doprowadź równanie linii prostej o nachyleniu y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.

Decyzja

Obliczamy i przedstawiamy w postaci kanonicznego równania linii prostej. Otrzymujemy równanie postaci:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.

Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k x + b, ale wymaga to przekształceń: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Następuje przejście od ogólnego równania prostej do równań innego typu.

Przykład 8

Podano równanie prostej postaci y = 1 7 x - 2. Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (-1 , 7) jest normalnym wektorem linii prostej?

Decyzja

Aby go rozwiązać, konieczne jest przejście do innej postaci tego równania, w tym celu piszemy:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego prostej. Zapiszmy to tak n → = 1 7 , - 1 , stąd 1 7 x - y - 2 = 0 . Jasne jest, że wektor a → = (- 1 , 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7 , -1 , ponieważ mamy sprawiedliwą relację a → = -7 · n → . Wynika z tego, że oryginalny wektor a → = -1 , 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0 , co oznacza , że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 17 x - 2 .

Odpowiedź: jest

Rozwiążmy problem odwrotny do tego.

Musisz się przenieść z ogólny widok równanie A x + B y + C = 0 , gdzie B ≠ 0 , do równania nachylenia. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .

Przykład 9

Podano równanie prostej postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Pobierz równanie danej linii z nachyleniem.

Decyzja

Na podstawie warunku konieczne jest rozwiązanie dla y, wtedy otrzymujemy równanie postaci:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 16 x + 1 4 .

Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .

W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b \u003d 1, które nazywa się równaniem linii prostej w odcinkach lub postacią kanoniczną x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Trzeba to rozwiązać względem y, dopiero wtedy otrzymujemy równanie o nachyleniu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Równanie kanoniczne można zredukować do postaci ze spadkiem. Dla tego:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

Przykład 10

Istnieje linia prosta określona równaniem x 2 + y - 3 = 1 . Sprowadź do postaci równania ze spadkiem.

Decyzja.

Na podstawie warunku konieczne jest przekształcenie, wtedy otrzymujemy równanie postaci _wzór_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby uzyskać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając, otrzymujemy:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .

Przykład 11

Równanie linii prostej postaci x - 2 2 \u003d y + 1 5 jest doprowadzane do postaci ze spadkiem.

Decyzja

Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 w proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Teraz musisz go w pełni włączyć, w tym celu:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .

Aby rozwiązać takie zadania, należy doprowadzić równania parametryczne prostej x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ do równanie kanoniczne linia prosta, dopiero potem możesz przejść do równania ze współczynnikiem nachylenia.

Przykład 12

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest podane równaniami parametrycznymi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Decyzja

Musisz przejść z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z podanego równania parametrycznego:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Teraz konieczne jest rozwiązanie tej równości względem y, aby uzyskać równanie prostej o nachyleniu. Aby to zrobić, piszemy w ten sposób:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Wynika z tego, że nachylenie prostej jest równe 2. Jest to zapisane jako k = 2 .

Odpowiedź: k = 2 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rysunek przedstawia kąt nachylenia linii prostej oraz wartość współczynnika nachylenia dla różnych opcji położenia linii prostej względem prostokątnego układu współrzędnych.

Znalezienie nachylenia linii prostej przy znanym kącie nachylenia do osi Wół nie nastręcza trudności. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć definicję współczynnika nachylenia i obliczyć tangens kąta nachylenia.

Przykład.

Znajdź nachylenie linii, jeśli kąt jej nachylenia do osi x jest równy .

Decyzja.

Według warunku. Następnie, z definicji nachylenia prostej, obliczamy .

Odpowiedź:

Zadanie znalezienia kąta nachylenia linii prostej do osi x o znanym nachyleniu jest nieco trudniejsze. Tutaj należy wziąć pod uwagę znak współczynnika nachylenia. Gdy kąt nachylenia linii prostej jest ostry i jest określany jako . Gdy kąt nachylenia prostej jest rozwarty i można go określić wzorem .

Przykład.

Określ kąt nachylenia linii prostej do osi x, jeśli jej nachylenie wynosi 3.

Decyzja.

Ponieważ pod warunkiem nachylenie jest dodatnie, kąt nachylenia linii prostej do osi Ox jest ostry. Obliczamy to według wzoru.

Odpowiedź:

Przykład.

Nachylenie linii prostej wynosi . Określ kąt nachylenia linii prostej do osi Ox.

Decyzja.

Oznaczać k jest nachyleniem prostej, jest kątem nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi Ox. Jak , to posługujemy się wzorem na znalezienie kąta nachylenia prostej o następującej postaci . Wstawiamy do niego dane z warunku: .

Odpowiedź:

Równanie prostej ze spadkiem.

Równanie linii z nachyleniem ma postać , gdzie k jest nachyleniem prostej, b jest pewną liczbą rzeczywistą. Równania linii prostej z nachyleniem można użyć do określenia dowolnej linii prostej, która nie jest równoległa do osi Oy (w przypadku linii prostej równoległej do osi y nachylenie nie jest zdefiniowane).

Rozumiemy znaczenie wyrażenia: „linia na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych jest określona równaniem o nachyleniu formy”. Oznacza to, że równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu na prostej, a nie współrzędne innych punktów na płaszczyźnie. Tak więc, jeśli poprawna równość zostanie osiągnięta podczas podstawienia współrzędnych punktu, to linia przechodzi przez ten punkt. W przeciwnym razie punkt nie leży na linii.

Przykład.

Linia prosta jest równa równaniu ze spadkiem . Czy punkty również należą do tej linii?

Decyzja.

Zastąp współrzędne punktu w pierwotnym równaniu linii prostej ze spadkiem: . Uzyskaliśmy poprawną równość, dlatego punkt M 1 leży na linii prostej.

Podstawiając współrzędne punktu, otrzymujemy niewłaściwą równość: . Zatem punkt M 2 nie leży na linii prostej.

Odpowiedź:

Kropka M 1 należy do linii, M 2 nie.

Należy zauważyć, że linia prosta, określona równaniem prostej o nachyleniu , przechodzi przez punkt, ponieważ podstawiając jej współrzędne do równania, otrzymujemy poprawną równość: .

Zatem równanie linii prostej o nachyleniu wyznacza linię prostą na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt i tworzącej kąt z dodatnim kierunkiem osi odciętej, oraz .

Jako przykład narysujmy linię prostą określoną równaniem linii prostej o nachyleniu postaci . Ta linia przechodzi przez punkt i ma nachylenie radiany (60 stopni) w kierunku dodatnim osi Ox. Jej nachylenie wynosi .

Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt.

Teraz rozwiążemy bardzo ważny problem: otrzymamy równanie prostej o zadanym nachyleniu ki przechodzącej przez punkt .

Skoro prosta przechodzi przez punkt , to równość . Liczba b jest nam nieznana. Aby się go pozbyć, odejmujemy od lewej i prawej części równania linii prostej ze spadkiem odpowiednio lewą i prawą część ostatniej równości. Robiąc to, otrzymujemy . Ta równość jest równanie prostej o zadanym nachyleniu k przechodzącej przez dany punkt.

Rozważ przykład.

Przykład.

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt, nachylenie tej prostej wynosi -2.

Decyzja.

Z warunku jaki mamy . Wtedy równanie prostej ze spadkiem przyjmie postać .

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt, a kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Wół wynosi .

Decyzja.

Najpierw obliczamy nachylenie prostej, której równania szukamy (rozwiązaliśmy taki problem w poprzednim akapicie tego artykułu). A-prioryte . Teraz mamy wszystkie dane, aby napisać równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez punkt równoległy do ​​prostej.

Decyzja.

Jest oczywiste, że kąty nachylenia linii równoległych do osi Ox pokrywają się (jeśli to konieczne, patrz artykuł linie równoległe), dlatego współczynniki nachylenia linii równoległych są równe. Wtedy nachylenie linii prostej, której równanie musimy uzyskać, jest równe 2, ponieważ nachylenie linii prostej wynosi 2. Teraz możemy skomponować wymagane równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przejście od równania prostej o współczynniku nachylenia do innych typów równania prostej i odwrotnie.

Przy całej znajomości równanie linii prostej ze spadkiem nie zawsze jest wygodne w użyciu podczas rozwiązywania problemów. W niektórych przypadkach problemy są łatwiejsze do rozwiązania, gdy równanie prostej przedstawia się w innej postaci. Na przykład równanie linii prostej ze spadkiem nie pozwala od razu zapisać współrzędnych wektora kierunkowego linii prostej lub współrzędnych wektora normalnego prostej. Dlatego należy nauczyć się przechodzić od równania prostej o nachyleniu do innych typów równania tej prostej.

Z równania linii prostej ze spadkiem łatwo jest uzyskać kanoniczne równanie linii prostej na płaszczyźnie postaci . Aby to zrobić, przenosimy wyraz b z prawej strony równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem, a następnie dzielimy obie części wynikowej równości przez nachylenie k:. Działania te prowadzą nas od równania linii prostej o nachyleniu do kanonicznego równania linii prostej.

Przykład.

Podaj równanie prostej o nachyleniu do formy kanonicznej.

Decyzja.

Wykonajmy niezbędne przekształcenia: .

Odpowiedź:

Przykład.

Linia prosta jest równa równaniu linii prostej o nachyleniu . Czy wektor jest wektorem normalnym tej prostej?

Decyzja.

Aby rozwiązać ten problem, przejdźmy od równania prostej o nachyleniu do ogólnego równania tej prostej: . Wiemy, że współczynniki przed zmiennymi x i y w ogólnym równaniu prostej są odpowiednimi współrzędnymi wektora normalnego tej prostej, czyli wektora normalnego prostej . Oczywiście wektor jest współliniowy z wektorem , ponieważ relacja jest prawdziwa (jeśli to konieczne, zobacz artykuł). Zatem pierwotny wektor jest również normalnym wektorem prostej , a zatem jest wektorem normalnym i oryginalną linią .

Odpowiedź:

Tak to jest.

A teraz rozwiążemy problem odwrotny - problem doprowadzenia równania linii prostej na płaszczyźnie do równania linii prostej ze spadkiem.

Z ogólnego równania linii prostej , gdzie , bardzo łatwo jest przejść do równania nachylenia. Do tego potrzebujesz ogólne równanie bezpośrednie postanowienie w odniesieniu do y . Jednocześnie otrzymujemy . Wynikowa równość jest równaniem linii prostej o nachyleniu równym .