Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zagadać nawet wyszkolonego ucznia. Możemy to rozgryźć?)

Równanie liniowe jest zwykle definiowane jako równanie o postaci:

topór + b = 0 gdzie a i b- dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważasz słów: „gdzie a i b są liczbami”... A jeśli zauważysz, ale niedbale o tym pomyśl?) W końcu, jeśli a=0, b=0(możliwe są jakieś liczby?), wtedy otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a=0, a b=5, okazuje się, że jest to coś całkiem absurdalnego:

Co nadweręża i podkopuje zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Który w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać wygląd równania liniowego? To zależy od czego wygląd zewnętrzny.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe nazywa się nie tylko równaniami postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania, które do tej postaci sprowadza się poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy jest zmniejszony, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, że jeśli mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia, tak liczby. A równanie nie ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział przez numer, lub ułamek liczbowy - to wszystko! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itd., i nie ma x w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x. A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, kwadratowe i cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że niemożliwe jest znalezienie równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki prawie go nie rozwiążesz. To denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? W zadaniach równania są uporządkowane zdecydować. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Nawiasem mówiąc, te przekształcenia (aż dwie!) leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, decyzja każdy Równanie zaczyna się od tych samych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) na tych przekształceniach kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Ponadto istnieją również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez pułapek. Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie.

x - 3 = 2 - 4x

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są do pierwszej potęgi, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma x po lewej stronie równania, wszystko bez x (liczby) po prawej.

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale - 3 - w prawo. Nawiasem mówiąc, to jest pierwsza identyczna transformacja równań. Zaskoczony? Więc nie poszli za linkiem, ale na próżno ...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Podajemy podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy, aby być całkowicie szczęśliwym? Tak, aby po lewej stronie był czysty X! Pięć przeszkadza. Pozbądź się piątki za pomocą druga identyczna transformacja równań. Mianowicie dzielimy obie części równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przywołałem tutaj identyczne przekształcenia? OK. Bierzemy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś bardziej imponującego.

Na przykład, oto to równanie:

Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki wzdłuż długiej drogi. I możesz natychmiast, w uniwersalny i potężny sposób. O ile oczywiście w twoim arsenale nie ma identycznych przekształceń równań.

Zadaję Ci kluczowe pytanie: Czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?

95 osób na 100 odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Więc pozbądźmy się ich. Więc zaczynamy od razu druga identyczna transformacja. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zmniejszony? Zgadza się, 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak się wydostaniemy? Pomnóżmy obie strony przez 12! Tych. do wspólnego mianownika. Wtedy trzy zostaną zredukowane, a cztery. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:

Rozwijanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Wziąłem w nawiasy! Dzieje się tak, ponieważ mnożąc ułamki, licznik mnoży się przez całość, całkowicie! A teraz możesz redukować ułamki i redukować:

Otwarcie pozostałych nawiasów:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz przypominamy sobie zaklęcie z niższych klas: z x - w lewo, bez x - w prawo! I zastosuj tę transformację:

Oto niektóre z nich:

I obie części dzielimy przez 25, tj. zastosuj ponownie drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: X=0,16

Uwaga: aby sprowadzić oryginalne mylące równanie do przyjemnej postaci, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne przekształcenia- tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem - dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To jest uniwersalny sposób! Tak będziemy pracować każdy równania! Absolutnie dowolny. Dlatego cały czas powtarzam te same przekształcenia.)

Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy są tutaj w obliczeniach, a nie w zasadzie rozwiązania.

Ale… Są takie niespodzianki w procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych, że potrafią doprowadzić do silnego odrętwienia…) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je szczególnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na równanie elementarne, coś takiego:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Nieco znudzony przenosimy z X w lewo, bez X - w prawo... Ze zmianą znaku wszystko jest podbródkowo-chinarowe... Otrzymujemy:

2x-5x+3x=5-2-3

Wierzymy i… o mój! Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero naprawdę zero. Ale X zniknął! I musimy napisać w odpowiedzi, ile x jest równe. W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, tak...) Ślepy zaułek?

Spokojna! W takich wątpliwych przypadkach zachowują najogólniejsze zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy poprawną równość już stało się! 0=0, gdzie tak naprawdę?! Pozostaje dowiedzieć się, przy jakim x jest to uzyskane. W jakie wartości x można podstawić? Inicjał równanie jeśli te x's nadal kurczyć się do zera? Dalej?)

Tak!!! Xs można podstawić każdy! Co chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się kurczyć. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w Inicjał równanie i obliczenia. Cały czas będzie czysta prawda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto twoja odpowiedź: x jest dowolną liczbą.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest całkowicie poprawna i kompletna odpowiedź.

Niespodzianka druga.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Tak zdecydujemy:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązał równanie liniowe, uzyskał dziwną równość. Mówiąc matematycznie, mamy zła równość. I mówienie zwykły język, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest całkiem dobrym powodem do… Dobra decyzja równania.)

Znowu myślimy od Główne zasady. Co da nam x po wstawieniu do pierwotnego równania? prawidłowy równość? Tak, żaden! Nie ma takich xów. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, bzdury pozostaną.)

Oto twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To też jest całkowicie słuszna odpowiedź. W matematyce takie odpowiedzi często się zdarzają.

Lubię to. Teraz mam nadzieję, że utrata X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania w ogóle Ci nie przeszkadza. Sprawa jest znajoma.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami w równania liniowe, warto je rozwiązać.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Usługa rozwiązywania równań online pomoże Ci rozwiązać dowolne równanie. Korzystając z naszej strony, nie tylko uzyskasz odpowiedź na równanie, ale także zobaczysz szczegółowe rozwiązanie, czyli wyświetlanie krok po kroku procesu uzyskiwania wyniku. Nasza usługa przyda się uczniom szkół średnich i ich rodzicom. Studenci będą mogli przygotować się do sprawdzianów, egzaminów, sprawdzić swoją wiedzę, a rodzice będą mogli kontrolować rozwiązywanie równań matematycznych przez swoje dzieci. Umiejętność rozwiązywania równań jest obowiązkowym wymogiem dla studentów. Usługa pomoże Ci w samouczeniu się i pogłębianiu wiedzy z zakresu równań matematycznych. Dzięki niemu możesz rozwiązać dowolne równanie: kwadratowe, sześcienne, irracjonalne, trygonometryczne itp. serwis internetowy ale bezcenne, ponieważ oprócz poprawnej odpowiedzi otrzymujesz szczegółowe rozwiązanie każdego równania. Korzyści z rozwiązywania równań online. Na naszej stronie internetowej możesz rozwiązać dowolne równanie całkowicie bezpłatnie. Usługa jest w pełni automatyczna, nie musisz niczego instalować na swoim komputerze, wystarczy wprowadzić dane, a program wyda rozwiązanie. Wszelkie błędy obliczeniowe lub błędy typograficzne są wykluczone. U nas bardzo łatwo jest rozwiązać dowolne równanie online, więc upewnij się, że korzystasz z naszej strony do rozwiązywania wszelkiego rodzaju równań. Wystarczy wprowadzić dane, a obliczenia zostaną zakończone w ciągu kilku sekund. Program działa niezależnie, bez ingerencji człowieka, a Ty otrzymujesz dokładną i szczegółową odpowiedź. Rozwiązanie równania w postaci ogólnej. W takim równaniu zmienne współczynniki i pożądane pierwiastki są ze sobą powiązane. Najwyższa potęga zmiennej określa kolejność takiego równania. Na tej podstawie do równań użyj różne metody i twierdzenia dotyczące znajdowania rozwiązań. Rozwiązywanie tego typu równań polega na znalezieniu pożądanych pierwiastków w postaci ogólnej. Nasza usługa pozwala rozwiązać nawet najbardziej złożone równania algebraiczne online. Możesz uzyskać zarówno ogólne rozwiązanie równania, jak i prywatne rozwiązanie dla tych, które określiłeś. wartości liczbowe współczynniki. Aby rozwiązać równanie algebraiczne na stronie wystarczy poprawnie wypełnić tylko dwa pola: lewą i prawą część danego równania. Równania algebraiczne ze zmiennymi współczynnikami mają nieskończoną liczbę rozwiązań, a ustalając pewne warunki, ze zbioru rozwiązań wybiera się poszczególne. Równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma postać ax^2+bx+c=0 dla a>0. Rozwiązanie równań o postaci kwadratowej implikuje znalezienie wartości x, przy których spełniona jest równość ax^2+bx+c=0. Aby to zrobić, wartość dyskryminatora znajduje się według wzoru D=b^2-4ac. Jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (pierwiastki pochodzą z ciała liczb zespolonych), jeśli jest równe zero, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a jeśli dyskryminator jest większy od zera, to równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki, które można znaleźć według wzoru: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Aby rozwiązać równanie kwadratowe online, wystarczy wprowadzić współczynniki takiego równania (liczby całkowite, ułamki zwykłe lub wartości dziesiętne). Jeśli w równaniu występują znaki odejmowania, należy umieścić minus przed odpowiednimi członami równania. Możesz także rozwiązać równanie kwadratowe online w zależności od parametru, czyli zmiennych we współczynnikach równania. Nasz serwis internetowy do znajdowania wspólnych rozwiązań doskonale radzi sobie z tym zadaniem. Równania liniowe. Do rozwiązywania równań liniowych (lub układów równań) w praktyce stosuje się cztery główne metody. Opiszmy szczegółowo każdą metodę. Metoda substytucyjna. Rozwiązywanie równań metodą substytucji wymaga wyrażenia jednej zmiennej w kategoriach pozostałych. Następnie wyrażenie jest zastępowane innymi równaniami układu. Stąd podstawiana jest nazwa metody rozwiązania, czyli zamiast zmiennej jej wyrażenie przez pozostałe zmienne. W praktyce metoda wymaga skomplikowanych obliczeń, choć jest łatwa do zrozumienia, więc rozwiązanie takiego równania online zaoszczędzi czas i ułatwi obliczenia. Wystarczy podać liczbę niewiadomych w równaniu i uzupełnić dane z równań liniowych, wtedy usługa dokona obliczeń. Metoda Gaussa. Metoda opiera się na najprostszych przekształceniach układu w celu uzyskania równoważnego układu trójkątnego. Niewiadome są z niej wyznaczane jedna po drugiej. W praktyce takie równanie należy rozwiązać online za pomocą szczegółowy opis, dzięki której dobrze opanujesz metodę Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych. Zapisz układ równań liniowych w odpowiednim formacie i uwzględnij liczbę niewiadomych, aby poprawnie rozwiązać układ. Metoda Cramera. Ta metoda rozwiązuje układy równań w przypadkach, gdy układ ma tylko decyzja. Główną operacją matematyczną jest tutaj obliczenie wyznaczników macierzy. Rozwiązywanie równań metodą Cramera odbywa się online, natychmiast otrzymujesz wynik wraz z pełnym i szczegółowym opisem. Wystarczy wypełnić system współczynnikami i wybrać liczbę nieznanych zmiennych. metoda macierzowa. Metoda ta polega na zebraniu współczynników niewiadomych w macierzy A, niewiadomych w kolumnie X i wyrazów wolnych w kolumnie B. W ten sposób układ równań liniowych sprowadza się do równanie macierzowe postaci AxX=B. To równanie ma unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest niezerowy, w przeciwnym razie układ nie ma rozwiązań lub nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie równań metodą macierzową polega na znalezieniu macierzy odwrotnej A.

Na kursie matematyki w 7 klasie po raz pierwszy spotykają się z równania z dwiema zmiennymi, ale są badane tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego jest poza zasięgiem wzroku cała linia problemy, w których na współczynnikach równania, które je ograniczają, wprowadza się określone warunki. Ponadto metody rozwiązywania problemów, takie jak „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, są również ignorowane, chociaż w UŻYWAJ materiałów a na egzaminach wstępnych tego typu problemy są coraz częściej spotykane.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważ równanie 2x - y = 1. Zamienia się w prawdziwą równość przy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zestaw uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które to równanie zamienia w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

a) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

b) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

w) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Na przykład x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma wynosi 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać jako (k; 3 - k), gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na wyrażeniach rozkładających na czynniki, wyróżniające pełny kwadrat, wykorzystujące właściwości równania kwadratowego, ograniczenia wyrażeń i metody oceny. Równanie z reguły jest przekształcane do postaci, z której można uzyskać system znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1

Rozwiąż równanie: xy - 2 = 2x - y.

Decyzja.

Terminy grupujemy na potrzeby faktoringu:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Wyjmij wspólny dzielnik z każdego nawiasu:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Mamy:

y = 2, x to dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y to dowolna liczba rzeczywista.

Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Zero nie jest liczby ujemne

Przykład 2

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Decyzja.

Grupowanie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można zwinąć za pomocą wzoru różnicy kwadratów.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Więc x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda ewaluacji

Przykład 3

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Decyzja.

W każdym nawiasie wybierz pełny kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacowanie znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeżeli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, więc x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Ta metoda polega na tym, że równanie jest uważane za kwadrat względem jakiejś zmiennej.

Przykład 4

Rozwiąż równanie: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Decyzja.

Rozwiążmy równanie jako kwadratowe względem x. Znajdźmy wyróżnik:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, tj. jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do oryginalnego równania i znajdujemy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Decyzja.

Przepiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania po podzieleniu przez 5 daje resztę 2. Dlatego x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: bez korzeni.

Przykład 6

Rozwiąż równanie: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Decyzja.

Wybierzmy pełne kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa, jeśli |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7

Dla każdej pary liczb całkowitych ujemnych (x; y) spełniających równanie
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). Odpowiedz na najmniejszą kwotę.

Decyzja.

Wybierz pełne kwadraty:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ xiy są liczbami całkowitymi, ich kwadraty są również liczbami całkowitymi. Sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych, równą 37, otrzymujemy, dodając 1 + 36. Zatem:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki będziesz w stanie opanować każde równanie.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Instrukcja

Metoda substytucji Wyraź jedną zmienną i zastąp ją innym równaniem. Możesz wyrazić dowolną zmienną, którą chcesz. Na przykład wyraź "y" z drugiego równania:
x-y=2 => y=x-2 Następnie podłącz wszystko do pierwszego równania:
2x+(x-2)=10 Przesuń wszystko bez x na prawą stronę i policz:
2x+x=10+2
3x=12 Następnie, dla "x, podziel obie strony równania przez 3:
x = 4. Znalazłeś więc „x. Znajdź „w. Aby to zrobić, wstaw "x" do równania, z którego wyraziłeś "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Sprawdź. Aby to zrobić, zastąp otrzymane wartości równaniami:
2*4+2=10
4-2=2
Nieznany znaleziony poprawnie!

Jak dodawać lub odejmować równania Pozbądź się od razu dowolnej zmiennej. W naszym przypadku łatwiej to zrobić z „y.
Ponieważ w „y” jest „+”, a w drugim „-”, możesz wykonać operację dodawania, tj. Dodajemy lewą stronę do lewej, a prawą stronę do prawej:
2x+y+(x-y)=10+2Konwersja:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Podstaw „x” do dowolnego równania i znajdź „y”:
2*4+y=10
8+r=10
y=10-8
y=2 Zgodnie z pierwszą metodą możesz znaleźć to, co znalazłeś poprawnie.

Jeśli nie ma jasno określonych zmiennych, konieczne jest nieznaczne przekształcenie równań.
W pierwszym równaniu mamy „2x”, a w drugim tylko „x. Aby dodać lub „x się zmniejszyło, pomnóż drugie równanie przez 2:
x-y=2
2x-2y=4 Następnie odejmij drugie równanie od pierwszego równania:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3 lata=6
znajdź y \u003d 2 "x, wyrażając z dowolnego równania, tj.
x=4

Powiązane wideo

Wskazówka 2: Jak rozwiązać równanie liniowe z dwiema zmiennymi?

Równanie, zapisany w formie ogólnej ax + przez + c \u003d 0, nazywa się równaniem liniowym z dwoma zmienne. Takie równanie samo w sobie zawiera nieskończoną liczbę rozwiązań, więc w problemach zawsze jest coś uzupełniane - jeszcze jedno równanie lub warunki ograniczające. W zależności od warunków podanych przez problem rozwiąż równanie liniowe z dwoma zmienne powinien różne sposoby.

Będziesz potrzebować

• - równanie liniowe z dwiema zmiennymi;
• - drugie równanie lub dodatkowe warunki.

Instrukcja

Mając układ dwóch równań liniowych, rozwiąż go w następujący sposób. Wybierz jedno z równań, w których współczynniki przed zmienne mniejsze i wyrazić jedną ze zmiennych, na przykład x. Następnie wstaw wartość zawierającą y do drugiego równania. W wynikowym równaniu będzie tylko jedna zmienna y, przesuń wszystkie części z y na lewą stronę, a wolne na prawą. Znajdź y i zastąp w dowolnym oryginalnym równaniu, znajdź x.

Istnieje inny sposób rozwiązania układu dwóch równań. Pomnóż jedno z równań przez liczbę, aby współczynnik przed jedną ze zmiennych, na przykład przed x, był taki sam w obu równaniach. Następnie odejmij jedno z równań od drugiego (jeśli prawa strona nie jest równa 0, pamiętaj, aby w ten sam sposób odjąć prawą stronę). Zobaczysz, że zmienna x zniknęła i pozostała tylko jedna y. Rozwiąż otrzymane równanie i zastąp znalezioną wartość y dowolną z pierwotnych równości. Znajdź x.

Trzeci sposób rozwiązania układu dwóch równań liniowych to sposób graficzny. Narysuj układ współrzędnych i narysuj wykresy dwóch linii prostych, których równania są wskazane w twoim systemie. Aby to zrobić, wstaw dowolne dwie wartości x do równania i znajdź odpowiednią y - będą to współrzędne punktów należących do linii. Najwygodniej jest znaleźć przecięcie z osiami współrzędnych - wystarczy podstawić wartości x=0 i y=0. Zadaniem będą współrzędne punktu przecięcia tych dwóch linii.

Jeśli w warunkach problemu jest tylko jedno równanie liniowe, to otrzymujesz dodatkowe warunki, dzięki którym możesz znaleźć rozwiązanie. Przeczytaj uważnie problem, aby znaleźć te warunki. Jeśli zmienne x i y to odległość, prędkość, waga - możesz ustawić granicę x≥0 i y≥0. Całkiem możliwe, że x lub y ukrywa liczbę , jabłek itp. – wtedy wartości mogą być tylko . Jeśli x jest wiekiem syna, jasne jest, że nie może być starszy niż ojciec, więc określ to w warunkach zadania.

Źródła:

• jak rozwiązać równanie z jedną zmienną

Samodzielnie równanie z trzema nieznany ma wiele rozwiązań, więc najczęściej uzupełniają go jeszcze dwa równania lub warunki. W zależności od wstępnych danych w dużej mierze zależeć będzie przebieg decyzji.

Będziesz potrzebować

• - układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Instrukcja

Jeśli dwa z trzech systemów mają tylko dwie z trzech niewiadomych, spróbuj wyrazić niektóre zmienne w kategoriach innych i podłączyć je do równanie z trzema nieznany. Twoim celem jest przekształcenie go w normalny równanie z nieznanym. Jeśli to jest , dalsze rozwiązanie jest dość proste - podstaw znalezioną wartość do innych równań i znajdź wszystkie inne niewiadome.

Niektóre układy równań można odjąć od jednego równania przez drugie. Zobacz, czy możliwe jest pomnożenie jednej z przez lub zmiennej, tak aby dwie niewiadome zostały zredukowane na raz. Jeśli jest taka możliwość, skorzystaj z niej, najprawdopodobniej kolejna decyzja nie będzie trudna. Nie zapominaj, że mnożąc przez liczbę, musisz pomnożyć zarówno lewą, jak i prawą stronę. Podobnie przy odejmowaniu równań pamiętaj, że prawa strona również musi zostać odjęta.

Jeśli poprzednie metody nie pomogły, użyj w sposób ogólny rozwiązania dowolnych równań z trzema nieznany. Aby to zrobić, przepisz równania w postaci a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Teraz utwórz macierz współczynników przy x (A), macierz niewiadomych (X) i macierz wolnych (B). Zwróć uwagę, mnożąc macierz współczynników przez macierz niewiadomych, otrzymasz macierz, macierz wolnych członków, czyli A * X \u003d B.

Znajdź macierz A do potęgi (-1) po znalezieniu , zauważ, że nie powinna być równa zero. Następnie pomnóż otrzymaną macierz przez macierz B, w rezultacie otrzymasz pożądaną macierz X, wskazującą wszystkie wartości.

Możesz również znaleźć rozwiązanie układu trzech równań za pomocą metody Cramera. Aby to zrobić, znajdź wyznacznik trzeciego rzędu ∆ odpowiadający macierzy układu. Następnie kolejno znajdź trzy kolejne wyznaczniki ∆1, ∆2 i ∆3, zastępując wartości wolnych terminów zamiast wartości odpowiednich kolumn. Teraz znajdź x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Źródła:

• rozwiązania równań z trzema niewiadomymi

Rozwiązywanie układu równań jest złożone i ekscytujące. Im bardziej złożony system, tym ciekawszy jest do rozwiązania. Najczęściej w matematyce Liceum istnieją układy równań z dwiema niewiadomymi, ale w wyższej matematyce może być więcej zmiennych. Systemy można rozwiązywać na kilka sposobów.

Instrukcja

Najpopularniejszą metodą rozwiązywania układu równań jest podstawienie. Aby to zrobić, musisz wyrazić jedną zmienną przez drugą i zastąpić ją drugą równanie systemy, w ten sposób przynosząc równanie do jednej zmiennej. Na przykład, biorąc pod uwagę równania: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Wygodnie jest wyrazić jedną ze zmiennych z drugiego wyrażenia, przenosząc wszystko inne na prawą stronę wyrażenia, nie zapominając o zmianie znaku współczynnika: x = 3-y.

Otwieramy nawiasy: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Otrzymana wartość y jest podstawiona do wyrażenia: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

W pierwszym wyrażeniu wszystkie elementy to 2, możesz wziąć 2 z nawiasu do właściwości rozdzielczej mnożenia: 2 * (2x-y-3) = 0. Teraz obie części wyrażenia można zmniejszyć o tę liczbę, a następnie wyrazić y, ponieważ współczynnik modulo dla niego jest równy jeden: -y \u003d 3-2x lub y \u003d 2x-3.

Podobnie jak w pierwszym przypadku, zastępujemy to wyrażenie drugim równanie i otrzymujemy: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Otrzymaną wartość podstawiamy do wyrażenia: y=2x -3;y=4-3=1.

Widzimy, że współczynnik przy y ma taką samą wartość, ale inny znak, dlatego jeśli dodamy te równania, całkowicie pozbędziemy się y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x = 2. Podstawiamy wartość x do dowolnego z dwóch równań systemu i otrzymujemy y=1.

Powiązane wideo

Bisquare równanie reprezentuje równanie czwarty stopień ogólna forma co jest reprezentowane przez wyrażenie ax^4 + bx^2 + c = 0. Jego rozwiązanie opiera się na wykorzystaniu metody podstawienia niewiadomych. W takim przypadku x^2 jest zastępowane inną zmienną. Wynik jest więc zwykłym kwadratem równanie, który ma zostać rozwiązany.

Instrukcja

Rozwiąż kwadrat równanie wynikające z zastąpienia. W tym celu należy najpierw obliczyć wartość zgodnie ze wzorem: D = b^2 ? 4a. W tym przypadku zmienne a, b, c są współczynnikami naszego równania.

Znajdź pierwiastki równania dwukwadratowego. Aby to zrobić, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z otrzymanych rozwiązań. Gdyby była jedna decyzja, to będą dwie - pozytywne i negatywne znaczenie pierwiastek kwadratowy. Gdyby były dwa rozwiązania, równanie dwukwadratowe miałoby cztery pierwiastki.

Powiązane wideo

Jeden z klasyczne sposoby rozwiązywaniem układów równań liniowych jest metoda Gaussa. Polega ona na sukcesywnym wykluczaniu zmiennych, gdy układ równań za pomocą prostych przekształceń przekształca się w układ schodkowy, z którego kolejno znajdują się wszystkie zmienne, począwszy od ostatnich.

Instrukcja

Najpierw sprowadź układ równań do takiej postaci, w której wszystkie niewiadome będą w ściśle określonej kolejności. Na przykład, wszystkie nieznane X pojawią się jako pierwsze w każdym wierszu, wszystkie Y pojawią się po X, wszystkie Z pojawią się po Y i tak dalej. Po prawej stronie każdego równania nie powinno być żadnych niewiadomych. Umyślnie określ współczynniki przed każdą niewiadomą, a także współczynniki po prawej stronie każdego równania.

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane za pomocą tego samego algorytmu - dlatego nazywa się je najprostszymi.

Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i to tylko pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie inne równania liniowe sprowadza się do najprostszych za pomocą algorytmu:

1. Otwarte nawiasy, jeśli występują;
2. Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
3. Przynieś podobne warunki po lewej i prawej stronie znaku równości;
4. Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$ .

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zero. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

1. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej niezerowa liczba. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku przyczynom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
2. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ podstawimy, nadal otrzymujemy „zero równa się zero”, tj. poprawna równość liczbowa.

A teraz zobaczmy, jak to wszystko działa na przykładzie prawdziwych problemów.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i idzie tylko do pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie przynieś podobne
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną — terminy, w których jest ona zawarta — przenosi się na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba zbliżyć po każdej stronie wynikową równość, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik przy „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle błędy popełniane są albo podczas otwierania nawiasów, albo podczas liczenia „plusów” i „minusów”.

Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności w dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najbardziej proste zadania.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Na początek jeszcze raz napiszę cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli takie istnieją.
2. Odseparuj zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
3. Przedstawiamy podobne terminy.
4. Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, ma pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie 1

W pierwszym kroku musimy otworzyć wsporniki. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Notatka: rozmawiamy tylko o indywidualnych warunkach. Napiszmy:

Podajemy podobne terminy po lewej i prawej stronie, ale tutaj już to zostało zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc je rozwińmy:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy w przybliżeniu tę samą konstrukcję, ale działajmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:

Oto niektóre z nich:

Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ to dowolna liczba.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one mnożone przez nic, tylko stoją przed nimi różne znaki. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi już znany nam krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Obliczmy:

Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Rzeczy do zapamiętania podczas rozwiązywania równań liniowych

Jeśli zignorujemy zbyt proste zadania, to powiem:

• Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
• Nawet jeśli są korzenie, to zero może się między nimi dostać - nie ma w tym nic złego.

Zero to ta sama liczba, co reszta, nie należy jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymałeś zero, to zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z rozszerzaniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć według standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Rozumiem to prosty fakt powstrzyma cię przed popełnianiem głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i podczas wykonywania różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Jednak nie należy się tego obawiać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z konieczności zostaną zredukowane.

Przykład 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Teraz weźmy prywatność:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto niektóre z nich:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy tak:

\[\różnorodność \]

lub bez korzeni.

Przykład #2

Wykonujemy te same kroki. Pierwszy krok:

Przenieśmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oto niektóre z nich:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc piszemy je tak:

\[\varnic\],

lub bez korzeni.

Niuanse rozwiązania

Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.

Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z tego punktu widzenia, że ​​jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, po przekształceniach, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko w dół po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

Nieprzypadkowo zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności prowadzi do tego, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, w którym wyszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy z pierwszej części:

Zróbmy rekolekcje:

Oto niektóre z nich:

Zróbmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się anihilowały, co sprawia, że ​​równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Zróbmy pierwszy krok ostrożnie: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe terminy:

A teraz dokładnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy wyrazy z "x" w lewo, a bez - w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest wyraz większy od niego, to robi się to zgodnie z następna zasada: bierzemy pierwszy wyraz z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery terminy.

Na sumie algebraicznej

Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 $ rozumiemy konstrukcję prostą: odejmujemy siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko wykonasz wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie oglądaliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkiem

Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:

1. Otwarte nawiasy.
2. Oddzielne zmienne.
3. Przynieś podobne.
4. Podziel przez współczynnik.

Niestety, ten wspaniały algorytm, mimo całej swojej skuteczności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek po lewej i po prawej stronie.

Jak pracować w takim przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie wyglądał następująco:

1. Pozbądź się ułamków.
2. Otwarte nawiasy.
3. Oddzielne zmienne.
4. Przynieś podobne.
5. Podziel przez współczynnik.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik to tylko liczba. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, to pozbędziemy się ułamków.

Przykład 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Uwaga: wszystko jest mnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy nie oznacza, że ​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz otwórzmy to:

Wykonujemy oddzielenie zmiennej:

Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.

Przykład #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem rozwiązany.

To właściwie wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Najważniejsze ustalenia są następujące:

• Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
• Możliwość otwierania nawiasów.
• Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej w trakcie dalszych przekształceń zostaną one zmniejszone.
• Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, nie ma w ogóle pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże Ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś jest niejasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie wiele innych ciekawych rzeczy!