Równanie okręgu. Równanie okręgu i linii prostej Pokaż, że to równanie definiuje okrąg online

Klasa: 8

Cel lekcji: wprowadź równanie koła, naucz uczniów sporządzić równanie koła według gotowego rysunku, zbuduj koło według podanego równania.

Ekwipunek: tablica interaktywna.

Plan lekcji:

1. Moment organizacyjny - 3 min.
2. Powtórzenie. Organizacja aktywności umysłowej - 7 min.
3. Wyjaśnienie nowego materiału. Wyprowadzenie równania okręgu - 10 min.
4. Konsolidacja badanego materiału - 20 min.
5. Podsumowanie lekcji - 5 min.

Podczas zajęć

2. Powtórzenie:

− (Załącznik 1 slajd 2) zapisz wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka;

− (Slajd 3) Z napisz wzór na odległość między punktami (długość odcinka).

3. Wyjaśnienie nowego materiału.

(Slajdy 4 - 6) Zdefiniuj równanie okręgu. Wyprowadź równania okręgu wyśrodkowanego w punkcie ( a;b) i wyśrodkowany na początku.

(X – a ) 2 + (w – b ) 2 = R 2 − równanie okręgu ze środkiem Z (a;b) , promień R , X oraz w – współrzędne dowolnego punktu na okręgu .

X 2 + tak 2 = R 2 jest równaniem okręgu wyśrodkowanego na początku.

(slajd 7)

Aby napisać równanie koła, potrzebujesz:

• znać współrzędne centrum;
• znać długość promienia;
• wstaw współrzędne środka i długość promienia do równania okręgu.

4. Rozwiązywanie problemów.

W zadaniach nr 1 - nr 6 sporządź równania koła zgodnie z gotowymi rysunkami.

(slajd 14)

№ 7. Uzupełnij tabelkę.

(slajd 15)

№ 8. Skonstruuj koła w notatniku podane przez równania:

a) ( X – 5) 2 + (w + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (w– 7) 2 = 7 2 .

(slajd 16)

№ 9. Znajdź współrzędne środka i długość promienia, jeśli AB to średnica koła.

Dany:		Rozwiązanie:
		R	Współrzędne centrum
1	ALE(0 ; -6) W(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	ALE(0; -6) W(0 ; 2) Z(0 ; – 2) – środek
2	ALE(-2 ; 0) W(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	ALE (-2;0) W (4 ;0) Z(1 ; 0) – środek

(slajd 17)

№ 10. Napisz równanie okręgu wyśrodkowanego na początku przechodzącego przez punkt Do(-12;5).

Rozwiązanie.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Równanie okręgu: x 2 + y 2 = 169 .

(slajd 18)

№ 11. Napisz równanie dla okręgu przechodzącego przez początek i wyśrodkowanego w punkcie Z(3; - 1).

Rozwiązanie.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Równanie okręgu: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(slajd 19)

№ 12. Napisz równanie koła ze środkiem ALE(3;2) przechodząc przez W(7;5).

Rozwiązanie.

1. Środek koła - ALE(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Równanie okręgu ( X – 3) 2 + (w − 2) 2 = 25.

(slajd 20)

№ 13. Sprawdź, czy punkty leżą ALE(1; -1), W(0;8), Z(-3; -1) na okręgu określonym równaniem ( X + 3) 2 + (w − 4) 2 = 25.

Rozwiązanie.

I. Podstaw współrzędne punktu ALE(1; -1) do równania koła:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - równość jest nieprawidłowa, co oznacza ALE(1; -1) nie kłamie na okręgu podanym przez równanie ( X + 3) 2 + (w − 4) 2 = 25.

II. Podstaw współrzędne punktu W(0;8) do równania okręgu:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
W(0;8)kłamstwa X + 3) 2 + (w − 4) 2 = 25.

III. Podstaw współrzędne punktu Z(-3; -1) do równania koła:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - równość jest prawdziwa, więc Z(-3; -1) kłamstwa na okręgu podanym przez równanie ( X + 3) 2 + (w − 4) 2 = 25.

Podsumowanie lekcji.

1. Powtórz: równanie okręgu, równanie okręgu wyśrodkowanego na początku.
2. (slajd 21) Praca domowa.

obwód jest zbiorem punktów w płaszczyźnie równoodległej od danego punktu, zwanym środkiem.

Jeżeli punkt C jest środkiem okręgu, R jest jego promieniem, a M jest dowolnym punktem na okręgu, to z definicji okręgu

Równość (1) to równanie okręgu promień R wyśrodkowany w punkcie C.

Niech prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich (ryc. 104) i punkt C ( a; b) jest środkiem okręgu o promieniu R. Niech М( X; w) jest dowolnym punktem tego okręgu.

Od |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), to równanie (1) można zapisać w następujący sposób:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Równanie (2) nazywa się ogólne równanie okręgu lub równanie okręgu o promieniu R wyśrodkowanym w punkcie ( a; b). Na przykład równanie

(x - l) 2 + ( tak + 3) 2 = 25

jest równaniem okręgu o promieniu R = 5 wyśrodkowanym w punkcie (1; -3).

Jeżeli środek okręgu pokrywa się z początkiem, to równanie (2) przyjmuje postać

x 2 + w 2 = R 2 . (3)

Równanie (3) nazywa się kanoniczne równanie okręgu .

Zadanie 1. Napisz równanie dla okręgu o promieniu R = 7 ze środkiem w początku.

Podstawiając bezpośrednio wartość promienia do równania (3), otrzymujemy

x 2 + w 2 = 49.

Zadanie 2. Napisz równanie na okrąg o promieniu R = 9 wyśrodkowany w punkcie C(3; -6).

Podstawiając wartość współrzędnych punktu C i wartość promienia do wzoru (2), otrzymujemy

(X - 3) 2 + (w- (-6)) 2 = 81 lub ( X - 3) 2 + (w + 6) 2 = 81.

Zadanie 3. Znajdź środek i promień okręgu

(X + 3) 2 + (w-5) 2 =100.

Porównując to równanie z ogólnym równaniem okręgu (2), widzimy, że a = -3, b= 5, R = 10. Dlatego С(-3; 5), R = 10.

Zadanie 4. Udowodnij, że równanie

x 2 + w 2 + 4X - 2tak - 4 = 0

jest równaniem koła. Znajdź jego środek i promień.

Przekształćmy lewą stronę tego równania:

x 2 + 4X + 4- 4 + w 2 - 2w +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (w - 1) 2 = 9.

To równanie jest równaniem okręgu o środku (-2; 1); promień okręgu wynosi 3.

Zadanie 5. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie C(-1; -1) stykającego się z prostą AB, jeśli A (2; -1), B(-1; 3).

Napiszmy równanie prostej AB:

lub 4 X + 3tak-5 = 0.

Ponieważ okrąg jest styczny do danej linii, promień narysowany do punktu styku jest prostopadły do ​​tej linii. Aby znaleźć promień, musisz znaleźć odległość od punktu C (-1; -1) - środek okręgu do linii prostej 4 X + 3tak-5 = 0:

Napiszmy równanie pożądanego okręgu

(x +1) 2 + (tak +1) 2 = 144 / 25

Niech okrąg będzie podany w prostokątnym układzie współrzędnych x 2 + w 2 = R 2 . Rozważ jego dowolny punkt M( X; w) (Rys. 105).

Niech wektor promienia OM> punkt M tworzy kąt wielkości t z dodatnim kierunkiem osi O X, to odcięta i rzędna punktu M zmieniają się w zależności od t

(0 t x i y przez t, znaleźliśmy

x= Rcos t ; tak= R sin t , 0 t

Równania (4) nazywają się równania parametryczne okręgu wyśrodkowanego na początku.

Zadanie 6. Okrąg jest określony równaniami

x= \(\sqrt(3)\)cos t, tak= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Napisz równanie kanoniczne dla tego okręgu.

Wynika to z warunku x 2 = 3 co 2 t, w 2 = 3 grzechy 2 t. Dodając te równości termin po terminie, otrzymujemy

x 2 + w 2 = 3 (cos 2 t+ grzech 2 t)

lub x 2 + w 2 = 3

Temat lekcji: Równanie okręgu

Cele Lekcji:

Edukacyjny: Wyprowadź równanie okręgu, uznając rozwiązanie tego problemu za jedną z możliwości zastosowania metody współrzędnych.

Być w stanie:

– Rozpoznaj równanie koła zgodnie z proponowanym równaniem, naucz uczniów sporządzić równanie koła według gotowego rysunku, zbuduj okrąg zgodnie z podanym równaniem.

Edukacyjny : Kształtowanie krytycznego myślenia.

Edukacyjny : Wykształcenie umiejętności formułowania zaleceń algorytmicznych i działania zgodnie z proponowanym algorytmem.

Być w stanie:

– Zobacz problem i zaplanuj sposoby jego rozwiązania.

– Podsumuj swoje przemyślenia ustnie i pisemnie.

Rodzaj lekcji: przyswajanie nowej wiedzy.

Ekwipunek : PC, projektor multimedialny, ekran.

Plan lekcji:

1. Przemówienie inauguracyjne - 3 min.

2. Aktualizacja wiedzy - 2 min.

3. Stwierdzenie problemu i jego rozwiązanie -10 min.

4. Mocowanie czołowe nowego materiału - 7 min.

5. Samodzielna praca w grupach - 15 min.

6. Prezentacja pracy: dyskusja - 5 min.

7. Wynik lekcji. Praca domowa - 3 min.

Podczas zajęć

Cel tego etapu: Nastrój psychologiczny uczniów; Zaangażowanie wszystkich uczniów w proces uczenia się, tworzenie sytuacji sukcesu.

1. Organizowanie czasu.

3 minuty

Chłopaki! Spotkałeś się z kręgiem w piątej i ósmej klasie. Co o niej wiesz?

Dużo wiesz, a te dane można wykorzystać do rozwiązywania problemów geometrycznych. Ale do rozwiązywania problemów, w których używana jest metoda współrzędnych, to nie wystarczy.Czemu?

Dokładnie tak.

Dlatego głównym celem dzisiejszej lekcji jest wyprowadzenie równania okręgu z właściwości geometrycznych danej linii i zastosowanie go do rozwiązywania problemów geometrycznych.

Odpuść sobiemotto lekcji słowa środkowoazjatyckiego naukowca-encyklopedysty Al-Biruniego zamienią się w: „Wiedza jest najwspanialszym z posiadłości. Wszyscy do tego dążą, ale to nie przychodzi samo.”

Zapisz temat lekcji w zeszycie.

Definicja koła.

Promień.

Średnica.

Akord. Itp.

Nie znamy jeszcze ogólnej postaci równania okręgu.

Uczniowie wymieniają wszystko, co wiedzą o kręgu.

slajd 2

slajd 3

Celem etapu jest zorientowanie się w jakości uczenia się przez uczniów materiału, określenie podstawowej wiedzy.

2. Aktualizacja wiedzy.

2 minuty

Wyprowadzając równanie okręgu będziesz potrzebować znanej już definicji okręgu i wzoru, który pozwoli ci znaleźć odległość między dwoma punktami na podstawie ich współrzędnych.Zapamiętajmy te fakty /Ppowtórzenie materiału wcześniej studiował/:

– Zapisz wzór na znalezienie współrzędnych punktu środkowego odcinka.

– Zapisz wzór na obliczenie długości wektora.

– Zapisz wzór na znalezienie odległości między punktami (długość segmentu).

Edycja rekordów...

Trening geometryczny.

Otrzymane punktyA (-1; 7) orazW (7; 1).

Oblicz współrzędne punktu środkowego odcinka AB i jego długość.

Sprawdza poprawność wykonania, koryguje obliczenia...

Jeden uczeń przy tablicy, a reszta zapisuje wzory w zeszytach

Okrąg to figura geometryczna składająca się ze wszystkich punktów znajdujących się w określonej odległości od danego punktu.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Oblicz: C (3; 4)

| AB | = 10

Z położyć 4

zjeżdżalnia 5

3. Tworzenie nowej wiedzy.

12 minut

Cel: tworzenie pojęcia - równanie koła.

Rozwiąż problem:

Okrąg o środku A(x; y) jest tworzony w prostokątnym układzie współrzędnych. M(x; y) - dowolny punkt okręgu. Znajdź promień okręgu.

Czy współrzędne jakiegokolwiek innego punktu spełnią tę równość? Czemu?

Podnieśmy do kwadratu obie strony równania.W efekcie mamy:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² to równanie okręgu, gdzie (x; y) to współrzędne środka okręgu, (x; y) to współrzędne dowolnego punkt leżący na okręgu, r jest promieniem okręgu.

Rozwiąż problem:

Jakie będzie równanie okręgu wyśrodkowanego na początku?

Więc co musisz wiedzieć, aby napisać równanie koła?

Zaproponuj algorytm kompilacji równania okręgu.

Wniosek: ... napisz w zeszycie.

Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem leżącym na okręgu. Dlatego r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Każdy punkt na kole leży na tym kole.

Uczniowie piszą w zeszytach.

(0;0) – współrzędne środka okręgu.

x² + y² = r², gdzie r jest promieniem okręgu.

Współrzędne środka okręgu, promień, dowolny punkt na okręgu...

Proponują algorytm...

Zapisz algorytm w zeszycie.

zjeżdżalnia 6

Slajd 7

Slajd 8

Nauczyciel zapisuje równanie na tablicy.

Slajd 9

4. Zapięcie podstawowe.

23 minuty

Cel:odtworzenie przez uczniów materiału, który właśnie został dostrzeżony, aby zapobiec utracie uformowanych pomysłów i koncepcji. Konsolidacja nowej wiedzy, pomysłów, koncepcji opartych na ichAplikacje.

Kontrola ZUN

Wykorzystajmy zdobytą wiedzę w rozwiązywaniu poniższych problemów.

Zadanie: Z proponowanych równań nazwij numery tych, które są równaniami koła. A jeśli równanie jest równaniem koła, nazwij współrzędne środka i wskaż promień.

Nie każde równanie drugiego stopnia z dwiema zmiennymi definiuje koło.

4x² + y² \u003d 4-równanie elipsy.

x²+y²=0-kropka.

x² + y² \u003d -4-to równanie nie definiuje żadnej figury.

Chłopaki! Co musisz wiedzieć, aby napisać równanie na okrąg?

Rozwiąż problem nr 966 s. 245 (podręcznik).

Nauczyciel wzywa ucznia do tablicy.

Czy dane podane w stanie problemu wystarczą do sporządzenia równania okręgu?

Zadanie:

Napisz równanie dla okręgu o środku i średnicy 8.

Zadanie : rysuje okrąg.

Centrum ma współrzędne?

Określ promień... i zbuduj

Zadanie na stronie 243 (podręcznik) jest rozumiany ustnie.

Korzystając z planu rozwiązywania problemów ze strony 243, rozwiąż problem:

Napisz równanie okręgu o środku w punkcie A(3;2), jeśli okrąg przechodzi przez punkt B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - równanie okręgu; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - równanie okręgu (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - równanie okręgu; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d równanie 2-kołowe; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 nie jest równaniem koła.

6) x² + y² = 0- nie jest równaniem koła.

7) x² + y² = -4- nie jest równaniem okręgu.

Poznaj współrzędne środka koła.

Długość promienia.

Podstaw współrzędne środka i długość promienia do ogólnego równania okręgu.

Rozwiąż zadanie nr 966 s. 245 (podręcznik).

Dość danych.

Rozwiązują problem.

Ponieważ średnica koła jest dwukrotnością jego promienia, to r=8÷2=4. Dlatego x² + y² = 16.

Wykonaj budowę kręgów

Praca podręcznikowa. Zadanie na stronie 243.

Biorąc pod uwagę: A (3; 2) - środek koła; В(7;5)є(А;r)

Znajdź: równanie okręgu

Rozwiązanie: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Odpowiedź: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

zjeżdżalnia 10-13

Rozwiązywanie typowych problemów poprzez wypowiadanie rozwiązania głośną mową.

Nauczyciel wzywa jednego ucznia, aby spisał wynikowe równanie.

Wróć do slajdu 9

Omówienie planu rozwiązania tego problemu.

Slajd. piętnaście. Nauczyciel wzywa jednego ucznia do tablicy, aby rozwiązać ten problem.

slajd 16.

slajd 17.

5. Podsumowanie lekcji.

5 minut

Refleksja zajęć w klasie.

Praca domowa: §3 pkt 91, pytania kontrolne nr 16,17.

Zadania nr 959(b,d,e), 967.

Zadanie do oceny dodatkowej (zadanie problemowe): Skonstruuj okrąg podany przez równanie

x² + 2x + y² -4y = 4.

O czym rozmawialiśmy na zajęciach?

Co chciałeś otrzymać?

Jaki był cel lekcji?

Jakie zadania może rozwiązać nasze „odkrycie”?

Który z Was uważa, że ​​osiągnąłeś cel postawiony przez nauczyciela na lekcji o 100%, o 50%; nie osiągnął celu...?

Cieniowanie.

Zapisz pracę domową.

Uczniowie odpowiadają na pytania zadane przez nauczyciela. Przeprowadź samoocenę własnego działania.

Uczniowie muszą wyrazić jednym słowem rezultat i sposoby jego osiągnięcia.

Równanie prostej na płaszczyźnie

Najpierw wprowadźmy pojęcie równania prostej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych. Niech w kartezjańskim układzie współrzędnych zostanie zbudowana dowolna prosta $L$ (rys. 1).

Rysunek 1. Dowolna linia w układzie współrzędnych

Definicja 1

Równanie z dwiema zmiennymi $x$ i $y$ nazywamy równaniem prostej $L$, jeśli równanie to spełnia współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej $L$ i nie spełnia żaden punkt nienależący do linia $L.$

Równanie okręgu

Wyprowadźmy równanie okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych $xOy$. Niech środek okręgu $C$ ma współrzędne $(x_0,y_0)$, a promień okręgu będzie równy $r$. Niech punkt $M$ o współrzędnych $(x,y)$ będzie dowolnym punktem tego okręgu (rys. 2).

Rysunek 2. Okrąg we współrzędnych kartezjańskich

Odległość od środka okręgu do punktu $M$ oblicza się w następujący sposób

Ale ponieważ $M$ leży na okręgu, otrzymujemy $CM=r$. Następnie otrzymujemy następujące

Równanie (1) jest równaniem okręgu o środku w punkcie $(x_0,y_0)$ i promieniu $r$.

W szczególności, jeśli środek koła pokrywa się z początkiem. Wtedy równanie koła ma postać

Równanie prostej.

Wyprowadźmy równanie prostej $l$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $xOy$. Niech punkty $A$ i $B$ mają odpowiednio współrzędne $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ i $\(x_2,\ y_2\)$ oraz punkty $A$ i $B $ są wybierane tak, że prosta $l$ jest dwusieczną prostopadłą do odcinka $AB$. Wybieramy dowolny punkt $M=\(x,y\)$ należący do prostej $l$ (rys. 3).

Ponieważ prosta $l$ jest dwusieczną prostopadłą do odcinka $AB$, punkt $M$ jest równoodległy od końców tego odcinka, czyli $AM=BM$.

Znajdź długości tych boków, korzystając ze wzoru na odległość między punktami:

w konsekwencji

Oznacz przez $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Otrzymujemy, że równanie prostej w kartezjańskim układzie współrzędnych ma postać:

Przykład problemu znajdowania równań prostych w kartezjańskim układzie współrzędnych

Przykład 1

Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie $(2,\ 4)$. Przechodząc przez początek i linię prostą równoległą do osi $Ox,$ przechodzącą przez jej środek.

Rozwiązanie.

Znajdźmy najpierw równanie danego okręgu. Aby to zrobić, użyjemy ogólnego równania koła (wyprowadzonego powyżej). Ponieważ środek okręgu leży w punkcie $(2,\ 4)$, otrzymujemy

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Znajdź promień okręgu jako odległość od punktu $(2,\ 4)$ do punktu $(0,0)$

Otrzymujemy równanie koła ma postać:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Znajdźmy teraz równanie okręgu, korzystając ze szczególnego przypadku 1. Otrzymujemy