Problemy matematyczne znajdują zastosowanie w wielu naukach. Należą do nich nie tylko fizyka, chemia, inżynieria i ekonomia, ale także medycyna, ekologia i inne dyscypliny. Jedną z ważnych koncepcji do opanowania w celu znalezienia rozwiązań ważnych dylematów jest pochodna funkcji. Fizyczne znaczenie tego wcale nie jest tak trudne do wyjaśnienia, jak mogłoby się wydawać niewtajemniczonym w istocie zagadnienia. Wystarczy znaleźć odpowiednie przykłady tego w prawdziwe życie i normalne codzienne sytuacje. W rzeczywistości każdy kierowca ma do czynienia z podobnym zadaniem każdego dnia, gdy patrzy na prędkościomierz, określając prędkość swojego samochodu w określonym momencie o ustalonym czasie. W końcu w tym parametrze leży istota fizycznego znaczenia pochodnej.

Jak znaleźć prędkość

Każdy piątoklasista może z łatwością określić prędkość osoby na drodze, znając przebytą odległość i czas podróży. Aby to zrobić, pierwsza z podanych wartości jest dzielona przez drugą. Ale nie każdy młody matematyk wie, że in ten moment znajduje współczynnik przyrostu funkcji i argumentu. Rzeczywiście, jeśli wyobrazimy sobie ruch w formie wykresu, układającego ścieżkę wzdłuż osi y i czas wzdłuż odciętej, to właśnie to.

Jednak prędkość pieszego lub każdego innego obiektu, który ustalimy na dużym odcinku ścieżki, uznając ruch za jednostajny, może się zmieniać. W fizyce istnieje wiele form ruchu. Można to wykonać nie tylko przy stałym przyspieszeniu, ale spowolnić i zwiększyć w dowolny sposób. Należy zauważyć, że w tym przypadku linia opisująca ruch nie będzie już linią prostą. Graficznie może przybierać najbardziej złożone konfiguracje. Ale dla dowolnego punktu na wykresie zawsze możemy narysować styczną reprezentowaną przez funkcję liniową.

Aby doprecyzować parametr zmiany przemieszczenia w zależności od czasu, konieczne jest zmniejszenie mierzonych odcinków. Gdy staną się nieskończenie małe, obliczona prędkość będzie chwilowa. To doświadczenie pomaga nam zdefiniować pochodną. Z takiego rozumowania logicznie wynika również jego fizyczne znaczenie.

Pod względem geometrii

Wiadomo, że co więcej prędkości ciała, tym bardziej stromy wykres zależności przemieszczenia od czasu, a co za tym idzie kąt nachylenia stycznej do wykresu w określonym punkcie. Wskaźnikiem takich zmian może być styczna kąta między osią x a linią styczną. To on określa wartość pochodnej i jest obliczany przez stosunek długości przeciwnej do sąsiedniej nogi w trójkąt prostokątny, utworzony przez prostopadły opuszczony z pewnego punktu do osi x.

To jest geometryczne znaczenie pierwsza pochodna. Fizyczny objawia się w tym, że wartością przeciwnej nogi w naszym przypadku jest przebyta odległość, a sąsiedniej jest czas. Ich stosunek to prędkość. I znowu dochodzimy do wniosku, że prędkość chwilowa, określona gdy obie przerwy mają tendencję do nieskończenie małych, jest istotą, wskazującą na jej fizyczne znaczenie. Drugą pochodną w tym przykładzie będzie przyspieszenie ciała, które z kolei pokazuje stopień zmiany prędkości.

Przykłady znajdowania pochodnych w fizyce

Pochodna jest wskaźnikiem tempa zmian dowolnej funkcji, nawet jeśli nie mówimy o ruchu w dosłownym tego słowa znaczeniu. Aby to wyraźnie zademonstrować, weźmy kilka konkretnych przykładów. Załóżmy, że aktualna siła zmienia się w zależności od czasu zgodnie z następującym prawem: I= 0,4t2. Wymagane jest znalezienie wartości tempa zmiany tego parametru na koniec 8 sekundy procesu. Zauważ, że sama pożądana wartość, jak można sądzić z równania, stale rośnie.

Do rozwiązania wymagane jest znalezienie pierwszej pochodnej, której fizyczne znaczenie rozważano wcześniej. Tutaj di/ dt = 0,8 t. Następnie znajdujemy go w t=8 otrzymujemy, że szybkość, z jaką następuje zmiana natężenia prądu, jest równa 6,4 A/ c. Tutaj uważa się, że aktualna siła jest mierzona odpowiednio w amperach, a czas w sekundach.

Wszystko jest zmienne

Widoczny świat, składający się z materii, podlega nieustannym zmianom, będąc w ruchu przepływającym w niej różne procesy. Do ich opisu możesz użyć najbardziej różne opcje. Jeśli łączy je zależność, to matematycznie zapisuje się je jako funkcję, która wyraźnie pokazuje ich zmiany. A tam, gdzie jest ruch (w jakiejkolwiek formie może być wyrażony), istnieje również pochodna, której fizyczne znaczenie rozważamy w chwili obecnej.

W związku z tym poniższy przykład. Załóżmy, że temperatura ciała zmienia się zgodnie z prawem T=0,2 t 2 . Powinieneś znaleźć szybkość jego nagrzewania na koniec 10 sekundy. Problem rozwiązany jest w sposób podobny do opisanego w poprzednim przypadku. Oznacza to, że znajdujemy pochodną i podstawiamy do niej wartość dla t= 10 , dostajemy T= 0,4 t= 4. Oznacza to, że ostateczna odpowiedź to 4 stopnie na sekundę, czyli proces nagrzewania i zmiana temperatury, mierzona w stopniach, zachodzą dokładnie w takim tempie.

Rozwiązanie praktycznych problemów

Oczywiście w prawdziwym życiu wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane niż w problemach teoretycznych. W praktyce wartość wielkości określa się zwykle podczas eksperymentu. W takim przypadku używane są instrumenty, które dają odczyty podczas pomiarów z pewnym błędem. Dlatego w obliczeniach trzeba liczyć się z przybliżonymi wartościami parametrów i uciekać się do zaokrąglania niewygodnych liczb oraz innych uproszczeń. Biorąc to pod uwagę, ponownie przejdziemy do problemów dotyczących fizycznego znaczenia pochodnej, gdyż są one jedynie rodzajem matematycznego modelu najbardziej złożonych procesów zachodzących w przyrodzie.

Wybuch

Wyobraź sobie, że wybucha wulkan. Jak niebezpieczny może być? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy wziąć pod uwagę wiele czynników. Postaramy się wziąć pod uwagę jeden z nich.

Z paszczy „ognistego potwora” wyrzucane są pionowo w górę kamienie, które mają początkową prędkość od momentu wyjścia na zewnątrz.Konieczne jest obliczenie, jak wysoko mogą sięgnąć.

Aby znaleźć pożądaną wartość, tworzymy równanie zależności wysokości H, mierzonej w metrach, od innych wielkości. Obejmują one początkową prędkość i czas. Wartość przyspieszenia uważa się za znaną i w przybliżeniu równą 10 m/s2.

Częściowa pochodna

Rozważmy teraz fizyczne znaczenie pochodnej funkcji pod nieco innym kątem, ponieważ samo równanie może zawierać nie jedną, ale kilka zmiennych. Np. w poprzednim zadaniu zależność wysokości kamieni wyrzucanych z wylotu wulkanu determinowana była nie tylko zmianą charakterystyki czasowej, ale także wartością prędkość początkowa. Ten ostatni był uważany za stałą, stałą wartość. Ale w innych zadaniach o zupełnie innych warunkach wszystko mogłoby być inne. Jeżeli istnieje kilka wielkości, od których zależy funkcja złożona, obliczenia wykonuje się według poniższych wzorów.

Fizyczne znaczenie częstej pochodnej należy określić jak w zwykłym przypadku. Jest to szybkość, z jaką funkcja zmienia się w pewnym momencie, gdy parametr zmiennej wzrasta. Jest obliczany w taki sposób, że wszystkie inne składniki są traktowane jako stałe, tylko jeden jest uważany za zmienną. Wtedy wszystko dzieje się według zwykłych zasad.

Rozumiejąc fizyczne znaczenie pochodnej, nietrudno podać przykłady rozwiązywania zawiłych i złożonych problemów, na które odpowiedź można znaleźć przy takiej wiedzy. Jeśli mamy funkcję opisującą zużycie paliwa w zależności od prędkości samochodu, możemy obliczyć przy jakich parametrach tego ostatniego zużycie benzyny będzie najmniejsze.

W medycynie można przewidzieć, jak zareaguje Ludzkie ciało na lek przepisany przez lekarza. Przyjmowanie leku wpływa na szereg parametrów fizjologicznych. Obejmują one zmiany ciśnienie krwi, puls, temperatura ciała i wiele więcej. Wszystkie z nich zależą od przyjętej dawki. produkt leczniczy. Obliczenia te pomagają przewidzieć przebieg leczenia, zarówno w korzystnych objawach, jak i w niepożądanych wypadkach, które mogą śmiertelnie wpłynąć na zmiany w ciele pacjenta.

Niewątpliwie ważne jest zrozumienie fizycznego znaczenia pochodnej w kwestiach technicznych, w szczególności w elektrotechnice, elektronice, projektowaniu i budownictwie.

Droga hamowania

Rozważmy następny problem. Poruszając się ze stałą prędkością samochód zbliżając się do mostu musiał zwolnić 10 sekund przed wjazdem, jak zauważył kierowca znak drogowy, zakazujący poruszania się z prędkością większą niż 36 km/h. Czy kierowca złamał przepisy, jeśli drogę hamowania można opisać wzorem S = 26t - t 2 ?

Po obliczeniu pierwszej pochodnej znajdujemy wzór na prędkość, otrzymujemy v = 28 - 2t. Następnie podstawiamy wartość t=10 do podanego wyrażenia.

Ponieważ wartość ta została wyrażona w sekundach, prędkość okazuje się wynosić 8 m/s, co oznacza 28,8 km/h. Pozwala to zrozumieć, że kierowca zaczął zwalniać na czas i nie naruszył przepisów ruchu drogowego, a co za tym idzie ograniczenia wskazanego na znaku prędkości.

Dowodzi to znaczenia fizycznego znaczenia pochodnej. Przykład rozwiązania tego problemu ukazuje szerokie zastosowanie tego pojęcia w różnych sferach życia. Również w codziennych sytuacjach.

Pochodna w ekonomii

Przed XIX wiekiem ekonomiści zajmowali się głównie wartościami średnimi, niezależnie od tego, czy chodziło o wydajność pracy, czy o cenę produkcji. Ale od pewnego momentu limitowanie wartości stało się bardziej niezbędne do tworzenia skutecznych prognoz w tym obszarze. Należą do nich użyteczność krańcowa, dochód lub koszt. Zrozumienie tego dało impuls do stworzenia zupełnie nowego narzędzia w badania ekonomiczne który istnieje i rozwija się od ponad stu lat.

Aby wykonać takie obliczenia, w których przeważają pojęcia takie jak minimum i maksimum, konieczne jest po prostu zrozumienie geometrycznego i fizycznego znaczenia pochodnej. Wśród twórców podstawy teoretyczne Te dyscypliny można nazwać tak wybitnymi ekonomistami angielskimi i austriackimi, jak W.S. Jevons, K. Menger i inni. Oczywiście wartości graniczne w obliczeniach ekonomicznych nie zawsze są wygodne w użyciu. I np. raporty kwartalne niekoniecznie pasują do istniejący schemat, jednak zastosowanie takiej teorii w wielu przypadkach jest użyteczne i skuteczne.

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

• Stworzenie warunków do sensownego przyswojenia przez uczniów fizycznego znaczenia pochodnej.
• Promowanie kształtowania umiejętności i umiejętności praktycznego wykorzystania pochodnej do rozwiązywania różnych problemów fizycznych.

Rozwijanie:

• Promowanie rozwoju horyzontów matematycznych, zainteresowania poznawczego wśród uczniów poprzez ujawnienie praktycznej konieczności i teoretycznego znaczenia tematu.
• Zapewnij warunki do doskonalenia zdolności umysłowych uczniów: porównuj, analizuj, uogólniaj.

Edukacyjny:

• Promuj zainteresowanie matematyką.

Rodzaj lekcji: Lekcja opanowania nowej wiedzy.

Formy pracy: frontalny, indywidualny, grupowy.

Ekwipunek: Komputer, tablica interaktywna, prezentacja, podręcznik.

Struktura lekcji:

1. Organizowanie czasu ustalenie celu lekcji
2. Nauka nowego materiału
3. Pierwotne utrwalenie nowego materiału
4. Niezależna praca
5. Podsumowanie lekcji. Odbicie.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny, ustalenie celu lekcji (2 min.)

II. Nauka nowego materiału (10 min.)

Nauczyciel: Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z zasadami obliczania pochodnych, dowiedzieliśmy się, jak znaleźć pochodne liniowe, potęgowe, funkcje trygonometryczne. Dowiedzieliśmy się, jakie jest geometryczne znaczenie pochodnej. Dzisiaj na lekcji dowiemy się, gdzie ta koncepcja znajduje zastosowanie w fizyce.

W tym celu przypominamy sobie definicję pochodnej (Slajd 2)

Przejdźmy teraz do kursu fizyki (Slajd 3)

Uczniowie dyskutują i pamiętają koncepcje fizyczne i formuły.

Niech ciało porusza się zgodnie z prawem S(t)=f(t) Rozważmy drogę przebytą przez ciało w czasie od t 0 do t 0 + Δ t, gdzie Δt jest przyrostem argumentu. W chwili t 0 ciało minęło drogę S(t 0), w chwili t 0 +Δt - drogę S(t 0 +Δt). Dlatego w czasie Δt ciało przebyło drogę S(t 0 +Δt) –S(t 0), czyli otrzymaliśmy przyrost funkcji. Średnia prędkość ciała w tym okresie czasu υ==

Im krótszy przedział czasu t, tym dokładniej możemy dowiedzieć się, z jaką prędkością porusza się ciało w chwili t. Przyjmując t → 0, otrzymujemy prędkość chwilową - wartość numeryczna prędkość w chwili t tego ruchu.

υ= , w Δt→0 prędkość jest pochodną odległości w funkcji czasu.

slajd 4

Przypomnij sobie definicję przyspieszenia.

Stosując powyższy materiał, możemy stwierdzić, że przy t a(t)= υ’(t) przyspieszenie jest pochodną prędkości.

Ponadto na tablicy interaktywnej pojawiają się wzory na aktualną siłę, prędkość kątową, pole elektromagnetyczne itp. Uczniowie uzupełniają chwilowe wartości tych wielkości fizycznych poprzez koncepcję pochodnej. (Z nieobecnością tablica interaktywna użyj prezentacji)

Slajdy 5-8

Wnioski wyciągają studenci.

Wniosek:(Slajd 9) Pochodna to szybkość zmian funkcji. (Funkcje ścieżki, współrzędnych, prędkości, strumienia magnetycznego itp.)

υ (x) \u003d f '(x)

Nauczyciel: Widzimy, że związek między cechy ilościowe szeroka gama procesów badanych przez fizykę, nauki techniczne, chemia, jest analogiczna do relacji między ścieżką a prędkością. Można podać wiele problemów, do rozwiązania których konieczne jest również znalezienie szybkości zmian określonej funkcji, na przykład: znalezienie stężenia roztworu w określonym momencie, znalezienie natężenia przepływu cieczy, prędkość kątowa obrotu ciała, gęstość liniowa w punkcie itp. Rozwiążemy teraz niektóre z tych problemów.

III. Utrwalanie zdobytej wiedzy (praca w grupach) (15 min.)

Z późniejszą analizą na tablicy

Przed rozwiązaniem problemów wyjaśnij jednostki miary wielkości fizycznych.

Prędkość - [m/s]
Przyspieszenie - [m/s 2]
Siła - [N]
Energia - [J]

Zadanie 1 grupa

Punkt porusza się zgodnie z prawem s(t)=2t³-3t (s to odległość w metrach, t to czas w sekundach). Oblicz prędkość punktu, jego przyspieszenie w czasie 2s

Grupa zadania 2

Koło zamachowe obraca się wokół osi zgodnie z prawem φ(t)= t 4 -5t. Znajdź jego prędkość kątową ω w czasie 2s (φ to kąt obrotu w radianach, ω to prędkość kątowa rad/s)

Zadanie 3 grupa

Ciało o masie 2 kg porusza się w linii prostej zgodnie z prawem x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Znajdź prędkość ciała i jego energia kinetyczna 3 s po rozpoczęciu ruchu. Jaka siła działa w tej chwili na ciało? (t jest mierzone w sekundach, x w metrach)

Zadanie 4

Zatwierdza kropkę ruchy oscylacyjne zgodnie z prawem x(t)=2sin3t. Udowodnij, że przyspieszenie jest proporcjonalne do współrzędnej x.

IV. Samodzielne rozwiązywanie problemów nr 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov i wsp. „Algebra i początek analizy klas 10-11”] 12 min

Dany:	Decyzja:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Odpowiedź: t=6c; υ(6)= 18m/s

Pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 jest granicą (jeśli istnieje) stosunku przyrostu funkcji w punkcie x0 do przyrostu argumentu Δx, jeśli przyrost argumentu dąży do zero i jest oznaczone przez f '(x0). Czynność znajdowania pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem.
Pochodna funkcji ma następujące znaczenie fizyczne: pochodna funkcji in dany punkt- tempo zmian funkcji w danym punkcie.

Geometryczne znaczenie pochodnej. Pochodna w punkcie x0 jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji y=f(x) w tym punkcie.

Fizyczne znaczenie pochodnej. Jeżeli punkt porusza się wzdłuż osi x, a jego współrzędna zmienia się zgodnie z prawem x(t), to prędkość chwilowa punktu:

Pojęcie różniczki, jego własności. Zasady różnicowania. Przykłady.

Definicja. Główną, liniową częścią przyrostu funkcji jest różniczka funkcji w pewnym punkcie x. Różniczka funkcji y = f(x) jest równa iloczynowi jej pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej x ( argument).

Jest napisane tak:

lub

Lub


Właściwości różnicowe
Różniczka ma właściwości podobne do właściwości pochodnej:





W celu podstawowe zasady różnicowania włączać:
1) wyjęcie stałej ze znaku pochodnej
2) pochodna sumy, pochodna różnicy
3) pochodna iloczynu funkcji
4) pochodna ilorazu dwóch funkcji (pochodna ułamka)

Przykłady.
Udowodnijmy wzór: Z definicji pochodnej mamy:

Ze znaku przejścia do granicy można wyciągnąć dowolny czynnik (jest to znane z właściwości granicy), dlatego

Na przykład: Znajdź pochodną funkcji
Decyzja: Stosujemy zasadę odejmowania mnożnika ze znaku pochodnej :

Dość często trzeba najpierw uprościć formę funkcji różniczkowalnej, aby móc korzystać z tablicy pochodnych i reguł znajdowania pochodnych. Poniższe przykłady wyraźnie to potwierdzają.

Wzory różniczkowe. Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych. Przykłady.

Wykorzystanie różniczki w obliczeniach przybliżonych pozwala na wykorzystanie różniczki do przybliżonych obliczeń wartości funkcji.
Przykłady.
Korzystając z różnicy, oblicz w przybliżeniu
Liczyć podana wartość zastosuj wzór z teorii
Wprowadźmy funkcję i przedstawmy daną wartość w postaci
następnie oblicz

Podstawiając wszystko do formuły, w końcu otrzymujemy
Odpowiedź:

16. Reguła L'Hopitala dotycząca ujawniania niepewności postaci 0/0 Lub ∞/∞. Przykłady.
Granica stosunku dwóch nieskończenie małych lub dwóch nieskończenie dużych wielkości jest równa granicy stosunku ich pochodnych.

1)

17. Funkcja zwiększająca i malejąca. ekstremum funkcji. Algorytm badania funkcji dla monotoniczności i ekstremum. Przykłady.

Funkcjonować wzrasta na przedziale jeśli dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału, powiązany związek, nierówność jest prawdziwa. Tj, większa wartość argument odpowiada większej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od dołu do góry”. Funkcja demo rośnie z upływem czasu

Podobnie funkcja maleje na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów z danego przedziału, takich, że , nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od góry do dołu”. Nasze spadki na interwałach maleją na interwałach .

Ekstrema Punkt nazywamy punktem maksymalnym funkcji y=f(x), jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się funkcja maksymalna i oznaczają .
Punkt nazywamy punktem minimum funkcji y=f(x), jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie minimum nazywa się funkcja minimum i oznaczają .
Sąsiedztwo punktu rozumiane jest jako przedział , gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.
Punkty minimalne i maksymalne nazywane są punktami ekstremalnymi, a wartości funkcji odpowiadające punktom ekstremalnym nazywane są ekstrema funkcji.

Aby zbadać funkcję dla monotonii skorzystaj z poniższego schematu:
- Znajdź zakres funkcji;
- Znajdź pochodną funkcji i dziedzinę pochodnej;
- Znajdź zera pochodnej, tj. wartość argumentu, przy którym pochodna jest równa zero;
- Zaznacz na linii liczbowej część ogólna dziedzina funkcji i dziedzina jej pochodnej, a na niej zera pochodnej;
- Wyznacz znaki pochodnej na każdym z otrzymanych przedziałów;
- Za pomocą znaków pochodnej określ, w jakich odstępach funkcja wzrasta, a w których maleje;
- Zapisz odpowiednie odstępy oddzielone średnikami.

Algorytm do badania funkcji ciągłej y = f(x) dla monotoniczności i ekstremów:
1) Znajdź pochodną f ′(x).
2) Znajdź punkty stacjonarne (f ′(x) = 0) i krytyczne (f ′(x) nie istnieje) funkcji y = f(x).
3) Zaznacz punkty stacjonarne i krytyczne na osi liczbowej i wyznacz znaki pochodnej na otrzymanych przedziałach.
4) Wyciągnij wnioski dotyczące monotoniczności funkcji i jej ekstremów.

18. Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia. Algorytm badania funkcji pod kątem wypukłości (wklęsłości) Przykłady.

wypukły w dół na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.

Funkcja różniczkowalna nazywa się wypukły w górę na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie wyżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.

Formuła punktowa nazywa się punkt przegięcia wykresu funkcja y \u003d f (x), jeśli w danym punkcie znajduje się styczna do wykresu funkcji (może być równoległa do osi Oy) i istnieje takie sąsiedztwo formuły punktowej, w ramach której wykres funkcja ma różne kierunki wypukłości na lewo i na prawo od punktu M.

Znajdowanie przedziałów dla wypukłości:

Jeśli funkcja y=f(x) ma skończoną drugą pochodną na przedziale X i jeśli nierówność (), to wykres funkcji ma wypukłość skierowaną w dół (w górę) na X.
Twierdzenie to pozwala znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji, wystarczy rozwiązać nierówności i odpowiednio w dziedzinie definicji pierwotnej funkcji.

Przykład: Znajdź przedziały, w których wykres funkcji Znajdź przedziały, w których wykres funkcji ma wypukłość skierowaną do góry i wypukłość skierowaną w dół. ma wypukłość skierowaną do góry i wypukłość skierowaną w dół.
Decyzja: Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy drugą pochodną.

Dziedzina definicji drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną definicji funkcji pierwotnej, dlatego aby znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości wystarczy rozwiązać i odpowiednio. Dlatego funkcja jest wypukła w dół we wzorze przedziałowym i wypukła w górę we wzorze przedziałowym.

19) Asymptoty funkcji. Przykłady.

Bezpośrednio nazywany pionowa asymptota wykres funkcji, jeśli przynajmniej jedna z wartości granicznych lub jest równa lub .

Komentarz. Linia nie może być pionową asymptotą, jeśli funkcja jest ciągła w . Dlatego w punktach nieciągłości funkcji należy szukać pionowych asymptot.

Bezpośrednio nazywany asymptota pozioma wykres funkcji, jeśli przynajmniej jedna z wartości granicznych lub jest równa .

Komentarz. Wykres funkcji może mieć tylko prawą poziomą asymptotę lub tylko lewą asymptotę.

Bezpośrednio nazywany asymptota ukośna wykres funkcji if

PRZYKŁAD:

Ćwiczenie. Znajdź asymptoty wykresu funkcji

Decyzja. Zakres funkcji:

a) asymptoty pionowe: linia prosta to asymptota pionowa, ponieważ

b) asymptoty poziome: znajdujemy granicę funkcji w nieskończoności:

oznacza to, że nie ma asymptot poziomych.

c) asymptoty ukośne:

Zatem asymptota ukośna to: .

Odpowiedź. Asymptota pionowa jest linią prostą.

Asymptota ukośna jest linią prostą.

20) Schemat ogólny badania funkcji i kreślenie. Przykład.

a.
Znajdź ODZ i punkty przerwania funkcji.

b. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

2. Przeprowadź badanie funkcji za pomocą pierwszej pochodnej, czyli znajdź ekstrema funkcji oraz przedziały wzrostu i spadku.

3. Zbadaj funkcję za pomocą pochodnej drugiego rzędu, czyli znajdź punkty przegięcia wykresu funkcji oraz przedziały jej wypukłości i wklęsłości.

4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji: a) pionowe, b) ukośne.

5. Na podstawie przeprowadzonych badań zbuduj wykres funkcji.

Zauważ, że przed wykreśleniem warto ustalić, czy dana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta.

Przypomnij sobie, że funkcja jest wywoływana, nawet jeśli wartość funkcji nie zmienia się, gdy zmienia się znak argumentu: f(-x) = f(x) a funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli f(-x) = -f(x).

W tym przypadku wystarczy przestudiować funkcję i wykreślić jej wykres dla wartości dodatnie argument należący do ODZ. Na wartości ujemne argumentem, wykres jest uzupełniany na tej podstawie, że dla funkcji parzystej jest on symetryczny względem osi Oy, a co dziwne w odniesieniu do pochodzenia.

Przykłady. Przeglądaj funkcje i buduj ich wykresy.

Zakres funkcji D(y)= (–∞; +∞). Nie ma punktów przerwania.

Przecięcie osi Wół: x = 0,y= 0.

Funkcja jest nieparzysta, dlatego można ją badać tylko na przedziale , a jej argument jest w jednostkach [x], wtedy pochodna (prędkość) jest mierzona w jednostkach .

Zadanie 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, gdzie x t t= 9s.

Znalezienie pochodnej
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
W ten sposób uzyskaliśmy zależność prędkości od czasu. Aby znaleźć prędkość w danym momencie, musisz podstawić jej wartość do otrzymanego wzoru:
x"(t) = 12t − 48.
x„(9) = 12 9 - 48 = 60.

Odpowiedź: 60

Komentarz: Upewnijmy się, że nie pomyliliśmy się z wymiarami ilości. Tutaj jednostka odległości (funkcja) [x] = metr, jednostka czasu (argument funkcji) [t] = sekunda, stąd jednostka pochodnej = [m/s], czyli pochodna daje prędkość tylko w tych jednostkach, które są wymienione w pytaniu problemu.

Zadanie 7

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, t- czas w sekundach, mierzony od początku ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w tym czasie t= 3s.

Znalezienie pochodnej
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Do otrzymanego wzoru podstawiamy podaną chwilę czasu
x„(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

Odpowiedź: 59

Zadanie 8

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(t) = t 2 − 13t+ 23, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, t- czas w sekundach, mierzony od początku ruchu. W którym momencie (w sekundach) jej prędkość wynosiła 3 m/s?

Znalezienie pochodnej
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Przyrównujemy prędkość podaną przez otrzymany wzór do wartości 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Rozwiązując to równanie, określamy, kiedy równość jest prawdziwa.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Odpowiedź: 8

Zadanie 9

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, t- czas w sekundach, mierzony od początku ruchu. W którym momencie (w sekundach) jej prędkość wynosiła 2 m/s?

Znalezienie pochodnej
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Wykonujemy również równanie:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Jest to równanie kwadratowe, które można rozwiązać za pomocą dyskryminatora lub twierdzenia Viety. Tutaj moim zdaniem drugi sposób jest łatwiejszy:
t 1 + t 2 = 6; t jeden · t 2 = −7.
Łatwo się domyślić, że t 1 = −1; t 2 = 7.
W odpowiedzi umieszczamy tylko pozytywny korzeń, ponieważ czas nie może być ujemny.

Rozważ dowolną linię prostą przechodzącą przez punkt wykresu funkcji - punkt A (x 0, f (x 0)) i przecięcie wykresu w pewnym momencie B(x; f(x )). Taką linię prostą (AB) nazywamy sieczną. Od ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x; BC \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Od AC || Wół , to Р ALO = Р BAC = β (jako korespondujące z równoległym). AleÐ ALO jest kątem nachylenia siecznej AB do dodatniego kierunku osi Ox. Znaczy, tgβ = k - nachylenie bezpośredni AB.

Teraz zmniejszymy ∆x, czyli ∆x→ 0. W tym przypadku punkt B zbliży się do punktu A zgodnie z wykresem, a sieczna AB będzie się obracać. Pozycja graniczna siecznej AB przy ∆х→ 0 będzie linią prostą ( a ), nazwany styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie A.

Jeśli przejdziemy do granicy jako ∆х → 0 w równości tg β =∆ y /∆ x , to otrzymujemy

lub tg a \u003d f "(x 0), ponieważ
a - kąt nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi Ox

, z definicji pochodnej. Ale tg a = k jest nachyleniem stycznej, więc k = tg a \u003d f ”(x 0).

Zatem geometryczne znaczenie pochodnej jest następujące:

Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest równa nachyleniu styczna do wykresu funkcji narysowanej w punkcie z odciętą x 0 .

Fizyczne znaczenie pochodnej.

Rozważ ruch punktu wzdłuż linii prostej. Niech współrzędna punktu zostanie podana w dowolnym momencie x(t ). Wiadomo (z toku fizyki), że Średnia prędkość przez okres czasu [ t0; t0 + ∆t ] równa się stosunkowi przebytej w tym okresie drogi do czasu, tj.

Vav = ∆x /∆t . Przejdźmy do granicy w ostatniej równości jako ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - chwilowa prędkość w czasie t 0 , ∆t → 0.

i lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x ”(t 0 ) (z definicji pochodnej).

Tak więc n(t) = x "(t).

Fizyczne znaczenie pochodnej jest następujące: pochodna funkcji tak = f( x) w punkciex 0 to tempo zmian funkcji f(x) w punkciex 0

Pochodna jest używana w fizyce, aby znaleźć prędkość ze znanej funkcji współrzędnych z czasu, przyspieszenie ze znanej funkcji prędkości z czasu.

u (t) \u003d x „(t) - prędkość,

a(f) = n "(t ) - przyspieszenie, lub

a (t) \u003d x „(t).

Znając prawo ruchu punktu materialnego po okręgu, można wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe podczas ruchu obrotowego:

φ = φ (t ) - zmiana kąta od czasu,

ω = φ "(t ) - prędkość kątowa,

ε = φ "(t ) - przyspieszenie kątowe, lubε \u003d φ ”(t).

Jeśli znane jest prawo rozkładu masy niejednorodnego pręta, to można znaleźć gęstość liniową niejednorodnego pręta:

m \u003d m (x) - masa,

x н , l - długość pręta,

p = m „(x) - gęstość liniowa.

Za pomocą pochodnej rozwiązywane są problemy z teorii sprężystości i drgań harmonicznych. Tak, zgodnie z prawem Hooke'a

F = - kx , x - zmienna współrzędna, k - współczynnik sprężystości sprężyny. kładzenieω 2 = k / m , dostajemy równanie różniczkowe wahadło sprężynowe x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

gdzie ω = √k /√m częstotliwość drgań ( l/c ), k - sztywność sprężyny ( H/m).

Równanie postaci y" +ω 2 lata = 0 nazywa się równaniem oscylacji harmonicznych (mechanicznych, elektrycznych, elektromagnetycznych). Rozwiązaniem takich równań jest funkcja

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) lub y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), gdzie

A to amplituda oscylacji,ω - częstotliwość cykliczna,

φ 0 - faza początkowa.