W którym momencie pochodna funkcji jest ujemna? Pochodna funkcji. Znaczenie pochodnej funkcji

W zadaniu B9 podany jest wykres funkcji lub pochodnej, z którego należy wyznaczyć jedną z następujących wielkości:

1. Wartość pochodnej w pewnym punkcie x 0,
2. Punkty wysokie lub niskie (punkty ekstremalne),
3. Przedziały funkcji narastających i malejących (przedziały monotoniczności).

Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie upraszcza rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do działu analizy matematycznej, jest w mocy nawet najsłabszych uczniów, ponieważ nie ma głębokich wiedza teoretyczna nie jest tutaj wymagane.

Aby znaleźć wartość pochodnej, ekstrema i przedziały monotoniczności, są proste i uniwersalne algorytmy- wszystkie zostaną omówione poniżej.

Uważnie przeczytaj stan problemu B9, aby nie popełnić głupich błędów: czasami trafiają się dość obszerne teksty, ale jest kilka ważnych warunków, które wpływają na przebieg rozwiązania.

Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa

Jeżeli do zadania zadany zostanie wykres funkcji f(x), stycznej do tego wykresu w pewnym punkcie x 0 , i wymagane jest znalezienie wartości pochodnej w tym punkcie, to stosuje się następujący algorytm:

1. Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznej: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty jako A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapisz poprawnie współrzędne - jest to kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj prowadzi do błędnej odpowiedzi.
2. Znając współrzędne łatwo obliczyć przyrost argumentu Δx = x 2 − x 1 oraz przyrost funkcji Δy = y 2 − y 1 .
3. Na koniec znajdujemy wartość pochodnej D = Δy/Δx. Innymi słowy, musisz podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu - i to będzie odpowiedź.

Znowu zauważamy: punkty A i B należy szukać właśnie na stycznej, a nie na wykresie funkcji f(x), jak to często bywa. Styczna będzie koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty, w przeciwnym razie problem zostanie sformułowany niepoprawnie.

Rozważ punkty A (-3; 2) i B (-1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Znajdźmy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeśli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w miejscu styku jest równa zero. W takim przypadku nie musisz nawet niczego obliczać - wystarczy spojrzeć na wykres.

Obliczanie najwyższych i najniższych punktów

Czasami zamiast wykresu funkcji w zadaniu B9 podaje się wykres pochodnej i wymagane jest znalezienie maksymalnego lub minimalnego punktu funkcji. W tym scenariuszu metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:

1. Punkt x 0 nazywamy punktem maksymalnym funkcji f(x), jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkt x 0 nazywamy punktem minimum funkcji f(x), jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≤ f(x).

Aby znaleźć maksymalne i minimalne punkty na wykresie pochodnej, wystarczy wykonać następujące czynności:

1. Przerysuj wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Jak pokazuje praktyka, dodatkowe dane tylko przeszkadzają w podjęciu decyzji. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - i tyle.
2. Znajdź znaki pochodnej na odstępach między zerami. Jeżeli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f'(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f'(x 0) ≥ 0 lub f'(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej łatwe do ustalenia na podstawie oryginalnego rysunku: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f'(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f'(x) ≤ 0.
3. Ponownie sprawdzamy zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest punkt minimum. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.

Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - w problemie B9 nie ma innych.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−5; 5]. Znajdź minimalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji – zostawimy tylko granice [−5; 5] oraz zera pochodnej x = -3 i x = 2,5. Zwróć także uwagę na znaki:

Oczywiście w punkcie x = -3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest minimum.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.

Przerysujmy wykres, pozostawiając tylko granice [−3; 7] oraz zera pochodnej x = -1,7 i x = 5. Zanotuj znaki pochodnej na wykresie wynikowym. Mamy:

Oczywiście w punkcie x = 5 znak pochodnej zmienia się z plus na minus - to jest punkt maksymalny.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−6; cztery]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do przedziału [−4; 3].

Z warunków problemu wynika, że ​​wystarczy wziąć pod uwagę tylko część grafu ograniczoną odcinkiem [−4; 3]. Dlatego budujemy nowy harmonogram, na którym zaznaczamy tylko granice [−4; 3] i zera pochodnej w nim zawartej. Mianowicie punkty x = -3,5 i x = 2. Otrzymujemy:

Na tym wykresie jest tylko jeden punkt maksymalny x = 2. To na nim znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.

Mała uwaga na temat punktów o współrzędnych niecałkowitych. Na przykład w ostatnim zadaniu uwzględniono punkt x = -3,5, ale z takim samym sukcesem możemy przyjąć x = -3,4. Jeśli problem jest napisany poprawnie, takie zmiany nie powinny wpływać na odpowiedź, ponieważ punkty „bez pewne miejsce zamieszkania” nie biorą bezpośredniego udziału w rozwiązywaniu problemu. Oczywiście przy liczbach całkowitych taka sztuczka nie zadziała.

Znajdowanie przedziałów wzrostu i spadku funkcji

W takim zadaniu, podobnie jak punkty maksimum i minimum, proponuje się znaleźć obszary, w których sama funkcja rośnie lub maleje z wykresu pochodnej. Najpierw zdefiniujmy, czym są rosnąco i malejąco:

1. Funkcję f(x) nazywamy rosnącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka twierdzenie jest prawdziwe: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
2. Funkcję f(x) nazywamy malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka twierdzenie jest prawdziwe: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tych. większa wartość argument odpowiada mniejszej wartości funkcji.

Formułujemy wystarczające warunki do zwiększania i zmniejszania:

1. Aby funkcja ciągła f(x) rosła na odcinku wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka będzie dodatnia, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Aby funkcja ciągła f(x) zmniejszała się na odcinku wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka jest ujemna, tj. f'(x) ≤ 0.

Przyjmujemy te twierdzenia bez dowodu. W ten sposób otrzymujemy schemat znajdowania przedziałów wzrostu i spadku, który pod wieloma względami jest podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremów:

1. Usuń wszystkie zbędne informacje. Na oryginalnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc zostawiamy tylko je.
2. Zaznacz znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdy f'(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdy f'(x) ≤ 0, maleje. Jeżeli problem ma ograniczenia na zmienną x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
3. Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wymaganą wartość w zadaniu.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7,5]. Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi wpisz sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.

Jak zwykle przerysowujemy wykres i zaznaczamy granice [−3; 7,5] oraz zera pochodnej x = -1,5 i x = 5,3. Następnie zaznaczamy znaki pochodnej. Mamy:

Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (−1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite znajdujące się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−10; cztery]. Znajdź przedziały rosnącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi wpisz długość największego z nich.

Pozbądźmy się zbędnych informacji. Zostawiamy tylko granice [−10; 4] oraz zerami pochodnej, które tym razem okazały się być czterema: x = -8, x = -6, x = -3 i x = 2. Zanotuj znaki pochodnej i uzyskaj następujący obrazek:

Interesują nas przedziały funkcji narastania, tj. gdzie f'(x) ≥ 0. Na wykresie są dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Ponieważ wymagane jest znalezienie długości największego z przedziałów, w odpowiedzi wpisujemy wartość l 2 = 5.

Badania funkcji. W tym artykule porozmawiamy o zadaniach, w których brane są pod uwagę funkcje i pod warunkiem, że pojawiają się pytania związane z ich badaniem. Rozważ główne punkty teoretyczne, które musisz znać i rozumieć, aby je rozwiązać.

to cała grupa zadania objęte egzaminem z matematyki. Zwykle pojawia się pytanie o znalezienie punktów maksimum (minimum) lub wyznaczenie największej (najmniejszej) wartości funkcji na danym przedziale.Uważane:

— Funkcje władzy i irracjonalne.

— Funkcje racjonalne.

— Studium robót i prywatne.

— Funkcje logarytmiczne.

- Funkcje trygonometryczne.

Jeśli rozumiesz teorię granic, pojęcie pochodnej, własności pochodnej do badania wykresów funkcji i jej , to takie problemy nie sprawią Ci trudności i rozwiążesz je z łatwością.

Poniższe informacje to punkty teoretyczne, których zrozumienie pozwoli uświadomić sobie, jak rozwiązywać takie problemy. Postaram się je sformułować w taki sposób, aby nawet ci, którzy przeoczyli ten temat lub słabo go studiowali, bez większych trudności mogli rozwiązać takie problemy.

W problemach tej grupy, jak już wspomniano, wymagane jest znalezienie albo minimalnego (maksymalnego) punktu funkcji, albo największej (najmniejszej) wartości funkcji na przedziale.

Punkty minimalne i maksymalne.Właściwości pochodne.

Rozważ wykres funkcji:

Punkt A jest punktem maksymalnym, na przedziale od O do A funkcja wzrasta, na przedziale od A do B maleje.

Punkt B jest punktem minimum, na przedziale od A do B funkcja maleje, na przedziale od B do C rośnie.

W tych punktach (A i B) pochodna znika (jest równa zeru).

Styczne w tych punktach są równoległe do osi wół.

Dodam, że punkty, w których funkcja zmienia swoje zachowanie z rosnącego na malejące (i odwrotnie, z malejącego na rosnące) nazywamy ekstremami.

Ważny punkt:

1. Pochodna na narastających przedziałach ma znak dodatni (nPodstawiając wartość z przedziału do pochodnej, otrzymujemy liczbę dodatnią).

Oznacza to, że jeśli pochodna w pewnym punkcie z pewnego przedziału ma wartość dodatnia, to wykres funkcji na tym przedziale wzrasta.

2. Na przedziałach malejących pochodna ma znak ujemny (podstawiając wartość z przedziału do wyrażenia pochodnego otrzymujemy liczbę ujemną).

Jeśli więc pochodna w pewnym punkcie z pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji na tym przedziale maleje.

Trzeba to wyjaśnić!

Zatem obliczając pochodną i przyrównując ją do zera, można znaleźć punkty, które dzielą oś rzeczywistą na przedziały.Na każdym z tych przedziałów można wyznaczyć znak pochodnej, a następnie wyciągnąć wniosek o jego zwiększeniu lub zmniejszeniu.

* Oddzielnie należy powiedzieć o punktach, w których pochodna nie istnieje. Na przykład możemy otrzymać pochodną, ​​której mianownik znika przy pewnym x. Jasne jest, że dla takiego x pochodna nie istnieje. Tak więc ten punkt należy również wziąć pod uwagę przy wyznaczaniu przedziałów wzrostu (spadku).

Funkcja w punktach, w których pochodna jest równa zero, nie zawsze zmienia swój znak. To będzie osobny artykuł. W samym USE nie będzie takich zadań.

Powyższe właściwości są niezbędne do badania zachowania funkcji przy narastaniu i zmniejszaniu.

Co jeszcze musisz wiedzieć, aby rozwiązać postawione problemy: tablica pochodnych i reguły różniczkowania. Nic bez tego. to podstawowa wiedza, w temacie pochodnej. Powinieneś bardzo dobrze znać pochodne funkcji elementarnych.

Obliczanie pochodnej funkcji zespolonejf(g(x)), wyobraź sobie funkcjęg(x) jest zmienną, a następnie obliczyć pochodnąf’(g(x)) przez formuły tabelaryczne jako zwykłą pochodną zmiennej. Następnie pomnóż wynik przez pochodną funkcjig(x) .

Obejrzyj samouczek wideo Maxima Semenikhina na temat złożonej funkcji:

Problemy ze znalezieniem maksymalnych i minimalnych punktów

Algorytm znajdowania maksymalnych (minimalnych) punktów funkcji:

1. Znajdź pochodną funkcji f’(x).

2. Znajdź zera pochodnej (przyrównując pochodną do zera f’(x)=0 i rozwiązać powstałe równanie). Znajdujemy również punkty, w których pochodna nie istnieje(w szczególności dotyczy to funkcji ułamkowo-racjonalnych).

3. Otrzymane wartości zaznaczamy na osi liczbowej i wyznaczamy znaki pochodnej na tych przedziałach, podstawiając wartości z przedziałów do wyrażenia pochodnego.

Dane wyjściowe będą jednym z dwóch:

1. Punkt maksymalny to punktw którym pochodna zmienia się z dodatniej na ujemną.

2. Punkt minimalny to punktw którym pochodna zmienia się z ujemnej na dodatnią.

Problemy ze znalezieniem największej lub najmniejszej wartości

funkcje na interwale.

W innym typie problemu wymagane jest znalezienie największego lub najmniejsza wartość funkcje w zadanym przedziale.

Algorytm znajdowania największej (najmniejszej) wartości funkcji:

1. Określ, czy istnieje maksymalna (minimalna) liczba punktów. Aby to zrobić, znajdujemy pochodną f’(x) , a następnie rozwiąż f’(x)=0 (punkty 1 i 2 z poprzedniego algorytmu).

2. Ustalamy, czy uzyskane punkty należą do danego przedziału i zapisujemy te, które się w nim leżą.

3. Zastępujemy do pierwotnej funkcji (nie do pochodnej, lecz do danej w warunku) granice danego przedziału i punkty (maksimum-minimum) leżące w przedziale (poz. 2).

4. Obliczamy wartości funkcji.

5. Z otrzymanych wartości wybieramy największą (najmniejszą) wartość w zależności od tego, jakie pytanie zostało zadane w zadaniu, a następnie zapisujemy odpowiedź.

Pytanie: dlaczego w zadaniach znajdowania największej (najmniejszej) wartości funkcji należy szukać maksymalnych (minimalnych) punktów?

Odpowiedź jest najlepiej zilustrowana, zobacz schematyczne przedstawienie wykresów podanych przez funkcje:

W przypadkach 1 i 2 wystarczy podstawić granice przedziału, aby określić maksymalną lub minimalną wartość funkcji. W przypadkach 3 i 4 konieczne jest znalezienie zer funkcji (punktów maksimum-minimum). Jeśli podstawimy granice przedziału (bez znajdowania zer funkcji), otrzymamy błędną odpowiedź, co widać na wykresach.

A chodzi o to, że nie możemy zobaczyć, jak wykres wygląda na przedziale (czy ma maksimum czy minimum w przedziale) przy użyciu danej funkcji. Dlatego bezbłędnie znajdź zera funkcji!!!

Jeśli równanie f'(x)=0 nie będzie miał rozwiązania, oznacza to, że nie ma punktów maksimum-minimum (rysunek 1.2), a w celu znalezienia zadanego zadania podstawiane są do tej funkcji tylko granice przedziału.

Inne ważny punkt. Pamiętaj, że odpowiedź musi być liczbą całkowitą lub skończoną dziesiętny. Przy obliczaniu największej i najmniejszej wartości funkcji otrzymasz wyrażenia z liczbą e i pi oraz wyrażenia z pierwiastkiem. Pamiętaj, że nie musisz ich przeliczać do końca i jasne jest, że wynik takich wyrażeń nie będzie odpowiedzią. Jeśli jest chęć obliczenia takiej wartości, to zrób to (liczby: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Dużo pisałem, pewnie zdezorientowany? Na konkretnych przykładach zobaczysz, że wszystko jest proste.

Następnie chcę ci powiedzieć mały sekret. Faktem jest, że wiele zadań można rozwiązać bez znajomości własności pochodnej, a nawet bez reguł różniczkowania. Na pewno opowiem Ci o tych niuansach i pokażę, jak to się robi? nie przegap!

Ale dlaczego w ogóle przedstawiłem teorię, a także powiedziałem, że musi być ona znana bezbłędnie. Zgadza się - musisz wiedzieć. Jeśli to zrozumiesz, żadne zadanie w tym temacie nie wprowadzi Cię w błąd.

Te „sztuczki”, o których się nauczysz, pomogą Ci rozwiązać konkretne (niektóre) prototypowe problemy. DoJako dodatkowe narzędzie, techniki te są oczywiście wygodne w użyciu. Problem można rozwiązać 2-3 razy szybciej i zaoszczędzić czas na rozwiązanie części C.

Wszystkiego najlepszego!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Napisano wiele teorii na temat znaczenia geometrycznego. Nie będę wchodzić w wyprowadzenie przyrostu funkcji, przypomnę o najważniejszej rzeczy do wykonania zadań:

Pochodna w punkcie x to współczynnik kątowy styczna do wykresu funkcji y \u003d f (x) w tym momencie, to znaczy jest to styczna kąta nachylenia do osi X.

Od razu weźmy zadanie z egzaminu i zacznijmy je rozumieć:

Zadanie numer 1. Rysunek pokazuje wykres funkcji y = f(x) i styczna do niego w punkcie z odciętą x0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.
Kto się spieszy i nie chce zrozumieć wyjaśnień: zbuduj do dowolnego takiego trójkąta (jak pokazano poniżej) i podziel bok stojący (pionowy) przez leżący (poziomy) i będziesz szczęśliwy, jeśli nie zapomnisz o znaku (jeśli linia się zmniejszy (→ ↓), to odpowiedź powinna być z minusem, jeśli linia się zwiększa (→), to odpowiedź musi być pozytywna!)

Musisz znaleźć kąt między styczną a osią X, nazwijmy to α: rysujemy linię prostą równoległą do osi X w dowolnym miejscu przez styczną do wykresu, otrzymujemy ten sam kąt.

Lepiej nie zajmować punktu x0, ponieważ będziesz potrzebować dużego szkła powiększającego, aby określić dokładne współrzędne.

Biorąc dowolny trójkąt prostokątny (na rysunku sugerowane są 3 opcje), znajdujemy tgα (kąty są równe, odpowiednio), tj. otrzymujemy pochodną funkcji f(x) w punkcie x0. Dlaczego tak?

Jeśli narysujemy styczne w innych punktach x2, x1 itd. styczne będą różne.

Wróćmy do 7 klasy, aby zbudować linię prostą!

Równanie prostej podane jest równaniem y = kx + b , gdzie

k - nachylenie względem osi X.

b jest odległością między punktem przecięcia z osią Y i początkiem.

Pochodna prostej jest zawsze taka sama: y" = k.

W dowolnym punkcie linii, w którym weźmiemy pochodną, ​​pozostanie ona niezmieniona.

Pozostaje więc tylko znaleźć tgα (jak wspomniano powyżej: dzielimy stronę stojącą na stronę leżącą). Dzielimy przeciwną nogę przez sąsiednią, otrzymujemy k \u003d 0,5. Jeśli jednak wykres maleje, współczynnik jest ujemny: k = -0,5.

Radzę sprawdzić drugi sposób:
Do zdefiniowania linii prostej można użyć dwóch punktów. Znajdź współrzędne dowolnych dwóch punktów. Na przykład (-2;-2) i (2;-4):

Podstaw w równaniu y = kx + b zamiast y i x współrzędne punktów:

-2 = -2k + b

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy b = −3, k = −0,5

Wniosek: druga metoda jest dłuższa, ale w niej nie zapomnisz o znaku.

Odpowiedź: - 0,5

Zadanie nr 2. Rysunek pokazuje wykres pochodnych funkcje f(x). Na osi x zaznaczono osiem punktów: x1, x2, x3, ..., x8. Ile z tych punktów leży na przedziałach funkcji rosnącej f(x) ?

Jeśli wykres funkcji maleje - pochodna jest ujemna (i odwrotnie).

Jeśli wykres funkcji rośnie, pochodna jest dodatnia (i odwrotnie).

Te dwie frazy pomogą Ci zdecydować bardzo zadania.

Przyjrzyj się uważnie otrzymujesz rysunek pochodnej lub funkcji, a następnie wybierasz jedno z dwóch wyrażeń.

Konstruujemy schematyczny wykres funkcji. Dlatego otrzymujemy wykres pochodnej, wtedy gdy jest ujemna, wykres funkcji maleje, gdzie jest dodatnia, rośnie!

Okazuje się, że 3 punkty leżą na obszarach wzrostu: x4; x5; x6.

Odpowiedź: 3

Zadanie nr 3. Funkcja f(x) jest zdefiniowana w przedziale (-6; 4). Obrazek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź odciętą punktu, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.

Radzę zawsze budować jak przebiega wykres funkcji, z takimi strzałkami lub schematycznie ze znakami (jak w nr 4 i nr 5):

Oczywiście, jeśli wykres wzrośnie do -2, to maksymalny punkt wynosi -2.

Odpowiedź: -2

Zadanie nr 4. Rysunek przedstawia wykres funkcji f(x) oraz dwanaście punktów na osi x: x1, x2, ..., x12. W ilu z tych punktów pochodna funkcji jest ujemna?

Zadanie jest odwrotne, biorąc pod uwagę wykres funkcji, musisz schematycznie zbudować, jak będzie wyglądał wykres pochodnej funkcji i obliczyć, ile punktów będzie leżeć w zakresie ujemnym.

Pozytywne: x1, x6, x7, x12.

Ujemne: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Odpowiedź: 7

Inny rodzaj zadania, gdy zapyta się go o jakieś straszne „ekstremalne”? Nie będzie ci trudno znaleźć, co to jest, ale wyjaśnię wykresy.

Zadanie nr 5. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-16; 6). Znajdź liczbę ekstremów funkcji f(x) na odcinku [-11; 5].

Zwróć uwagę na zakres od -11 do 5!

Zwróćmy nasze jasne oczy na płytkę: podano wykres pochodnej funkcji => wtedy ekstremami są punkty przecięcia z osią X.

Odpowiedź: 3

Zadanie numer 6. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), określonej na przedziale (-13; 9). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) na odcinku [-12; 5].

Zwróć uwagę na zakres od -12 do 5!

Na płytkę można patrzeć jednym okiem, punkt maksymalny to ekstremum, tak że przed nim pochodna jest dodatnia (funkcja rośnie), a po niej pochodna jest ujemna (funkcja maleje). Punkty te są zakreślone.

Strzałki pokazują, jak zachowuje się wykres funkcji.

Odpowiedź: 3

Zadanie numer 7. Rysunek przedstawia wykres funkcji f(x) określonej na przedziale (-7; 5). Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji f(x) jest równa 0.

Możesz spojrzeć na powyższą tabelę (pochodna wynosi zero, co oznacza, że ​​są to punkty ekstremalne). A w tym zadaniu podany jest wykres funkcji, co oznacza, że ​​musisz znaleźć liczba punktów przegięcia!

I można jak zwykle: budujemy schematyczny wykres pochodnej.

Pochodna wynosi zero, gdy wykres funkcji zmienia kierunek (z rosnącego na malejący i odwrotnie)

Odpowiedź: 8

Zadanie numer 8. Obrazek przedstawia wykres pochodnych funkcja f(x) zdefiniowana w przedziale (-2; 10). Znajdź przedziały funkcji narastania f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych zawartych w tych przedziałach.

Zbudujmy schematyczny wykres funkcji:

Tam, gdzie wzrasta, otrzymujemy 4 punkty całkowite: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Odpowiedź: 22

Zadanie numer 9. Obrazek przedstawia wykres pochodnych funkcja f(x) zdefiniowana w przedziale (-6; 6). Znajdź liczbę punktów f(x), w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą y = 2x + 13.

Dostajemy wykres pochodnej! Oznacza to, że nasza tangens również musi zostać „przetłumaczona” na pochodną.

Pochodna styczna: y" = 2.

Teraz zbudujmy obie pochodne:

Styczne przecinają się w trzech punktach, więc nasza odpowiedź to 3.

Odpowiedź: 3

Zadanie numer 10. Rysunek przedstawia wykres funkcji f (x) i zaznaczono punkty -2, 1, 2, 3. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Zadanie jest trochę podobne do pierwszego: aby znaleźć wartość pochodnej, musisz zbudować styczną do tego wykresu w punkcie i znaleźć współczynnik k.

Jeśli linia maleje, k< 0.

Jeśli linia rośnie, k > 0.

Zastanówmy się, jak wartość współczynnika wpłynie na nachylenie prostej:

Gdy k = 1 lub k = − 1, wykres będzie znajdował się pośrodku między osiami x i y.

Im bliżej linii prostej do osi X, tym współczynnik k jest bliższy zera.

Im linia jest bliżej osi Y, tym współczynnik k jest bliżej nieskończoności.

W punkcie -2 i 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>to tam będzie najmniejsza wartość pochodnej

Odpowiedź 1

Zadanie numer 11. Prosta jest styczna y = 3x + 9 do wykresu funkcji y = x³ + x² + 2x + 8 . Znajdź odciętą punktu kontaktu.

Linia będzie styczna do wykresu, gdy wykresy będą miały wspólny punkt, a także ich pochodne. Zrównaj równania wykresów i ich pochodne:

Rozwiązując drugie równanie, otrzymujemy 2 punkty. Aby sprawdzić, który z nich jest odpowiedni, podstawiamy każdy z x do pierwszego równania. Tylko jeden zrobi.

Nie chcę w ogóle rozwiązywać równania sześciennego, ale kwadratowe dla słodkiej duszy.

To tylko co zapisać w odpowiedzi, jeśli otrzymasz dwie „normalne” odpowiedzi?

Podstawiając x (x) do oryginalnych wykresów y \u003d 3x + 9 i y \u003d x³ + x² + 2x + 8, powinieneś otrzymać to samo Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Prawidłowy! Więc x=1 będzie odpowiedzią

Zadanie numer 12. Prosta y = − 5x − 6 jest styczna do wykresu funkcji ax² + 5x − 5 . Znajdź .

Podobnie przyrównujemy funkcje i ich pochodne:

Rozwiążmy ten układ ze względu na zmienne a i x :

Odpowiedź: 25

Zadanie z pochodnymi uważane jest za jedno z najtrudniejszych w pierwszej części egzaminu, jednak przy odrobinie uwagi i zrozumienia zagadnienia odniesiesz sukces i podniesiesz procent wykonania tego zadania!

Praca dyplomowa w UŻYJ formularza dla 11-klasistów koniecznie zawiera zadania do obliczania granic, przedziałów zmniejszania i zwiększania pochodnej funkcji, znajdowania ekstremów i wykreślania. Dobra znajomość tego tematu pozwala poprawnie odpowiedzieć na kilka pytań egzaminacyjnych i nie doświadczać trudności w dalszym szkoleniu zawodowym.

Podstawy rachunek różniczkowy jeden z głównych tematów matematyki nowoczesna szkoła. Zajmuje się badaniem wykorzystania pochodnej do badania zależności zmiennych - to dzięki pochodnej można analizować przyrosty i spadki funkcji bez odwoływania się do rysunku.

Kompleksowe przygotowanie absolwentów do zdanie egzaminu na portal edukacyjny„Szkolkowo” pomoże głęboko zrozumieć zasady różnicowania - szczegółowo zrozumieć teorię, przestudiować przykłady rozwiązań typowe zadania i spróbuj swoich sił w samodzielnej pracy. Pomożemy Ci wyeliminować luki w wiedzy - wyjaśnić Twoje zrozumienie pojęć leksykalnych tematu i zależności ilościowych. Studenci będą potrafili powtórzyć, jak znaleźć przedziały monotoniczności, czyli wzrostu lub spadku pochodnej funkcji na pewnym przedziale, gdy punkty brzegowe są zawarte, a nie zawarte w znalezionych przedziałach.

Przed przystąpieniem do bezpośredniego rozwiązywania problemów tematycznych zalecamy najpierw przejść do sekcji „Odniesienia teoretyczne” i powtórzyć definicje pojęć, reguł i formuł tabelarycznych. Tutaj możesz również przeczytać, jak znaleźć i zapisać każdy przedział funkcji rosnących i malejących na wykresie pochodnych.

Wszystkie oferowane informacje są prezentowane w najbardziej przystępnej formie do zrozumienia praktycznie od podstaw. Witryna udostępnia materiały do ​​percepcji i przyswajania w kilku różne formy– czytanie, oglądanie wideo i bezpośrednie szkolenie pod okiem doświadczonych nauczycieli. Profesjonalni edukatorzy dowiesz się szczegółowo, jak znaleźć przedziały wzrostu i spadku pochodnej funkcji metodami analitycznymi i graficznymi. Podczas webinarów będzie można zadać dowolne pytanie, które będzie interesujące zarówno teoretycznie, jak i rozwiązywać konkretne problemy.

Pamiętając główne punkty tematu, spójrz na przykłady zwiększania pochodnej funkcji, podobne do zadań z opcji egzaminacyjnych. Aby skonsolidować to, czego się nauczyłeś, zajrzyj do „Katalogu” - tutaj znajdziesz ćwiczenia praktyczne dla niezależna praca. Zadania w sekcji są zaznaczone różne poziomy trudności w rozwoju umiejętności. Do każdego z nich dołączone są np. algorytmy rozwiązania i poprawne odpowiedzi.

Wybierając sekcję „Konstruktor” studenci będą mogli ćwiczyć studiowanie zwiększania i zmniejszania pochodnej funkcji na rzeczywistych UŻYJ opcji, stale aktualizowane z uwzględnieniem ostatnie zmiany i innowacyjność.

W danym przedziale funkcja ma 2 maksima i 2 minima, co daje w sumie 4 ekstrema. Zadanie Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Rozwiązanie Na danym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, więc funkcja rośnie na tym przedziale. Rozwiązanie Jeżeli pochodna w pewnym punkcie jest równa zero, aw jej sąsiedztwie zmienia się znak, to jest to punkt ekstremum.

Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa

1. Poznaj funkcję korzystając z wykresu pochodnej. Funkcja y=f(x) maleje na przedziałach (x1;x2) i (x3;x4). Korzystając z wykresu pochodnej y=f’(x) można również porównać wartości funkcji y=f(x).

Oznaczmy te punkty jako A (x1; y1) i B (x2; y2). Wpisz poprawnie współrzędne - to jest kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj prowadzi do błędnej odpowiedzi.

W zmysł fizyczny pochodna to tempo zmian dowolnego procesu. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z zasadą x(t) = t²-13t+23, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach mierzony od początku ruchu.

Styczna do okręgu, elipsy, hiperboli, paraboli.

Przypomnę, że brzmi to tak: funkcję nazywamy zwiększaniem/zmniejszaniem na przedziale, jeśli większy argument funkcji odpowiada większej/mniejszej wartości funkcji. Ale spójrz, proszę, na swoje rozwiązanie problemu 7089. Tam, przy określaniu przedziałów wzrostu, granice nie są uwzględniane. Zauważ, że podano wykres pochodnej. Jak zwykle: przebity punkt nie leży na wykresie, wartości w nim zawarte nie istnieją i nie są brane pod uwagę. Dobrze przygotowane dzieci rozróżniają pojęcia „pochodna” i „druga pochodna”. Mylisz się: jeśli pochodna zwróciła się do 0, to w punkcie funkcja może mieć minimum lub maksimum. Wartości ujemne pochodna odpowiada przedziałom, na których maleje funkcja f(x).

Do tego momentu zajmowaliśmy się znajdowaniem równań stycznych do wykresów funkcje jednowartościowe postaci y = f(x) w różnych punktach.

Poniższy rysunek pokazuje trzy faktycznie różne sieczne (punkty A i B są różne), ale pokrywają się i są podane przez jedno równanie. Ale nadal, jeśli zaczniemy od definicji, to linia i jej sieczna pokrywają się. Zacznijmy szukać współrzędnych punktów dotyku. Proszę zwrócić na to uwagę, ponieważ później użyjemy go przy obliczaniu współrzędnych punktów styku. Hiperbola ze środkiem w punkcie i wierzchołkami, dana przez równość (poniższy rysunek po lewej) oraz z wierzchołkami i - równością (poniższy rysunek po prawej). Powstaje logiczne pytanie, jak określić, do której funkcji należy dany punkt. Aby na nie odpowiedzieć, wstawiamy współrzędne do każdego równania i sprawdzamy, które z równości zamieniają się w tożsamość.

Czasami uczniowie pytają, jaka jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma jedyny wspólny punkt z wykresem w tej sekcji, co więcej, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu. Znajdźmy. Pamiętamy, że styczna kąt ostry w trójkąt prostokątny równy stosunkowi przeciwnej nogi do sąsiedniej. Na wykresie odpowiada to ostrej przerwie, kiedy nie da się narysować stycznej w danym punkcie. Ale jak znaleźć pochodną, ​​jeśli funkcja jest podana nie przez wykres, ale przez formułę?