Stok jest prosty. Jak znaleźć nachylenie równania

Linia y \u003d f (x) będzie styczna do wykresu pokazanego na rysunku w punkcie x0, jeśli przejdzie przez punkt o współrzędnych (x0; f (x0)) i ma nachylenie f ”(x0). Znajdź taki współczynnik, znając cechy stycznej, nie jest trudny.

Będziesz potrzebować

• - informator matematyczny;
• - prosty ołówek;
• - zeszyt;
• - kątomierz;
• - kompas;
• - długopis.

Instrukcja

Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przechodzi w pionie. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia stycznej niepionowej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku nachylenie styczna będzie równa f "(x0). W ten sposób staje się jasne znaczenie geometryczne pochodna - obliczenie nachylenia stycznej.

Narysuj dodatkowe styczne które stykałyby się z wykresem funkcji w punktach x1, x2 i x3 oraz zaznacz kąty utworzone przez te styczne z osią odciętych (taki kąt jest liczony w kierunku dodatnim od osi do stycznej linia). Na przykład kąt, czyli α1 będzie ostry, drugi (α2) będzie rozwarty, a trzeci (α3) zero, ponieważ linia styczna jest równoległa do osi x. W tym przypadku tangens kąta rozwartego jest ujemny, tangens kąta ostrego dodatni, a dla tg0 wynik wynosi zero.

Uwaga

Prawidłowo określ kąt utworzony przez styczną. Aby to zrobić, użyj kątomierza.

Pomocna rada

Dwie ukośne linie będą równoległe, jeśli ich zbocza są sobie równe; prostopadła, jeśli iloczyn nachyleń tych stycznych wynosi -1.

Źródła:

• Wykres stycznej do funkcji

Cosinus, podobnie jak sinus, jest określany jako „bezpośrednie” funkcje trygonometryczne. Tangens (razem z cotangensem) jest dodawany do innej pary zwanej „pochodnymi”. Istnieje kilka definicji tych funkcji, które umożliwiają znalezienie stycznej podanej przez znana wartość cosinus o tej samej wartości.

Instrukcja

Odejmij iloraz od jedności przez cosinus danego kąta podniesiony do wartości i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku - będzie to wartość tangensa z kąta wyrażona przez jego cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α))²) . Jednocześnie zwróć uwagę na to, że we wzorze cosinus jest w mianowniku ułamka. Niemożność dzielenia przez zero wyklucza użycie tego wyrażenia dla kątów równych 90°, a także różnicowanie się od tej wartości o wielokrotności 180° (270°, 450°, -90° itd.).

Jest również alternatywny sposób obliczanie tangensa ze znanej wartości cosinusa. Może być używany, jeśli nie ma ograniczeń w korzystaniu z innych. Aby zaimplementować tę metodę, najpierw określ wartość kąta ze znanej wartości cosinusa - można to zrobić za pomocą funkcji arccosinus. Następnie po prostu oblicz styczną dla kąta otrzymanej wartości. W ogólny widok algorytm ten można zapisać w następujący sposób: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Istnieje również egzotyczna opcja wykorzystująca definicję cosinusa i tangensa przez ostre rogi trójkąt prostokątny. Cosinus w tej definicji odpowiada stosunkowi długości nogi sąsiadującej z rozważanym kątem do długości przeciwprostokątnej. Znając wartość cosinusa, możesz wybrać odpowiadające mu długości tych dwóch boków. Na przykład, jeśli cos(α)=0,5, to sąsiednie można przyjąć równe 10 cm, a przeciwprostokątną - 20 cm. Konkretne liczby nie mają tutaj znaczenia - otrzymasz to samo i poprawisz dowolne wartości, które mają takie same. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, określ długość brakującego boku - przeciwległej nogi. Ona będzie równa pierwiastek kwadratowy z różnicy między długościami kwadratowej przeciwprostokątnej i znanej nogi: √(20²-10²)=√300. Z definicji tangens odpowiada stosunkowi długości przeciwnej i sąsiedniej nogi (√300/10) - oblicz ją i uzyskaj wartość tangensa znalezioną przy użyciu klasycznej definicji cosinusa.

Źródła:

• cosinus przez styczną formułę

Jeden z funkcje trygonometryczne, najczęściej oznaczany literami tg, chociaż spotyka się również oznaczenia tan. Najłatwiej jest przedstawić tangens jako stosunek sinusa kąt do jego cosinusa. Jest to nieparzysta funkcja okresowa, a nie ciągła, której każdy cykl jest równa liczbie Pi, a punkt załamania odpowiada połowie tej liczby.

Temat „Współczynnik kątowy stycznej jako stycznej kąta nachylenia” na egzaminie certyfikacyjnym ma kilka zadań jednocześnie. W zależności od stanu, absolwent może być zobowiązany do udzielenia zarówno pełnej odpowiedzi, jak i krótkiej odpowiedzi. W przygotowaniach do zdanie egzaminu w matematyce uczeń zdecydowanie powinien powtórzyć zadania, w których wymagane jest obliczenie nachylenia stycznej.

Pomoże ci to portal edukacyjny„Szkolkowo”. Nasi eksperci przygotowali i przedstawili możliwie najbardziej przystępny materiał teoretyczny i praktyczny. Po zapoznaniu się z nim absolwenci z dowolnym poziomem wykształcenia będą mogli z powodzeniem rozwiązywać problemy związane z pochodnymi, w których wymagane jest znalezienie stycznej nachylenia stycznej.

Podstawowe momenty

Aby znaleźć prawidłowe i racjonalne rozwiązanie takich zadań na egzaminie, trzeba pamiętać podstawowa definicja: pochodna to tempo zmian funkcji; jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w pewnym punkcie. Równie ważne jest ukończenie rysunku. Pozwoli ci to znaleźć prawidłowe rozwiązanie USE zadania na pochodnej, w której wymagane jest obliczenie tangensa nachylenia stycznej. Dla jasności najlepiej wykreślić wykres na płaszczyźnie OXY.

Jeśli zapoznałeś się już z podstawowym materiałem na temat pochodnej i jesteś gotowy do rozpoczęcia rozwiązywania zadań obliczania stycznej kąta nachylenia stycznej, podobnie jak UŻYWAJ zadań możesz to zrobić online. Dla każdego zadania, na przykład zadania na temat „Zależność pochodnej od prędkości i przyspieszenia ciała”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. W takim przypadku uczniowie mogą ćwiczyć wykonywanie zadań. różne poziomy trudności. W razie potrzeby ćwiczenie można zapisać w dziale „Ulubione”, aby później przedyskutować decyzję z prowadzącym.

Rysunek przedstawia kąt nachylenia linii prostej oraz wartość współczynnika nachylenia dla różnych opcji położenia linii prostej względem prostokątnego układu współrzędnych.

Znalezienie nachylenia linii prostej przy znanym kącie nachylenia do osi Wół nie nastręcza trudności. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć definicję współczynnika nachylenia i obliczyć tangens kąta nachylenia.

Przykład.

Znajdź nachylenie linii, jeśli kąt jej nachylenia do osi x jest równy .

Decyzja.

Według warunku. Następnie, z definicji nachylenia prostej, obliczamy .

Odpowiedź:

Zadanie znalezienia kąta nachylenia linii prostej do osi x o znanym nachyleniu jest nieco trudniejsze. Tutaj należy wziąć pod uwagę znak współczynnika nachylenia. Gdy kąt nachylenia linii prostej jest ostry i jest określany jako . Gdy kąt nachylenia prostej jest rozwarty i można go określić wzorem .

Przykład.

Określ kąt nachylenia linii prostej do osi x, jeśli jej nachylenie wynosi 3.

Decyzja.

Ponieważ pod pewnymi warunkami nachylenie jest dodatnie, kąt nachylenia linii prostej do osi Ox jest ostry. Obliczamy to według wzoru.

Odpowiedź:

Przykład.

Nachylenie linii prostej wynosi . Określ kąt nachylenia linii prostej do osi Ox.

Decyzja.

Oznaczać k jest nachyleniem prostej, jest kątem nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi Ox. Jak , to posługujemy się wzorem na znalezienie kąta nachylenia prostej o następującej postaci . Wstawiamy do niego dane z warunku: .

Odpowiedź:

Równanie prostej ze spadkiem.

Równanie linii z nachyleniem ma postać , gdzie k jest nachyleniem prostej, b jest pewną liczbą rzeczywistą. Równanie linii prostej z nachyleniem może określać dowolną linię prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (w przypadku linii prostej równoległej do osi y nachylenie nie jest zdefiniowane).

Przyjrzyjmy się znaczeniu wyrażenia: „linia na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych jest określona równaniem o nachyleniu formy”. Oznacza to, że równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu na linii, a nie współrzędne żadnego innego punktu na płaszczyźnie. Tak więc, jeśli poprawna równość zostanie osiągnięta podczas podstawienia współrzędnych punktu, to linia przechodzi przez ten punkt. W przeciwnym razie punkt nie leży na linii.

Przykład.

Linia prosta jest równa równaniu ze spadkiem . Czy punkty również należą do tej linii?

Decyzja.

Zastąp współrzędne punktu w pierwotnym równaniu linii prostej ze spadkiem: . Uzyskaliśmy poprawną równość, dlatego punkt M 1 leży na linii prostej.

Podstawiając współrzędne punktu, otrzymujemy niewłaściwą równość: . Zatem punkt M 2 nie leży na linii prostej.

Odpowiedź:

Kropka M 1 należy do linii, M 2 nie.

Należy zauważyć, że linia prosta, określona równaniem prostej o nachyleniu , przechodzi przez punkt, ponieważ podstawiając jej współrzędne do równania, otrzymujemy poprawną równość: .

Zatem równanie linii prostej o nachyleniu wyznacza linię prostą na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt i tworzącej kąt z dodatnim kierunkiem osi odciętej, oraz .

Jako przykład narysujmy linię prostą określoną równaniem linii prostej o nachyleniu postaci . Ta linia przechodzi przez punkt i ma nachylenie radiany (60 stopni) w kierunku dodatnim osi Ox. Jej nachylenie wynosi .

Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt.

Teraz rozwiążemy bardzo ważny problem: otrzymamy równanie prostej o zadanym nachyleniu k przechodzącej przez punkt .

Skoro prosta przechodzi przez punkt , to równość . Liczba b jest nam nieznana. Aby się go pozbyć, odejmujemy od lewej i prawej części równania linii prostej ze spadkiem odpowiednio lewą i prawą część ostatniej równości. Robiąc to, otrzymujemy . Ta równość jest równanie prostej o zadanym nachyleniu k przechodzącej przez dany punkt.

Rozważ przykład.

Przykład.

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt, nachylenie tej prostej wynosi -2.

Decyzja.

Z warunku jaki mamy . Wtedy równanie prostej ze spadkiem przyjmie postać .

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt, a kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Wół wynosi .

Decyzja.

Najpierw obliczamy nachylenie prostej, której równania szukamy (rozwiązaliśmy taki problem w poprzednim akapicie tego artykułu). A-prioryte . Teraz mamy wszystkie dane, aby napisać równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez punkt równoległy do ​​prostej.

Decyzja.

Jest oczywiste, że kąty nachylenia linii równoległych do osi Ox pokrywają się (jeśli to konieczne, patrz artykuł linie równoległe), dlatego współczynniki nachylenia linii równoległych są równe. Wtedy nachylenie linii prostej, której równanie musimy uzyskać, jest równe 2, ponieważ nachylenie linii prostej wynosi 2. Teraz możemy skomponować wymagane równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przejście od równania prostej ze współczynnikiem nachylenia do innych typów równania prostej i odwrotnie.

Przy całej znajomości równanie linii prostej ze spadkiem nie zawsze jest wygodne w użyciu podczas rozwiązywania problemów. W niektórych przypadkach problemy są łatwiejsze do rozwiązania, gdy równanie prostej przedstawia się w innej postaci. Na przykład równanie linii prostej ze spadkiem nie pozwala od razu zapisać współrzędnych wektora kierunkowego linii prostej lub współrzędnych wektora normalnego prostej. Dlatego należy nauczyć się przechodzić od równania prostej o nachyleniu do innych typów równania tej prostej.

Z równania linii prostej ze spadkiem łatwo jest uzyskać kanoniczne równanie linii prostej na płaszczyźnie postaci . Aby to zrobić, przenosimy wyraz b z prawej strony równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem, a następnie dzielimy obie części wynikowej równości przez nachylenie k:. Działania te prowadzą nas od równania prostej o nachyleniu do równanie kanoniczne prosty.

Przykład.

Podaj równanie prostej o nachyleniu do formy kanonicznej.

Decyzja.

Wykonajmy niezbędne przekształcenia: .

Odpowiedź:

Przykład.

Linia prosta jest równa równaniu linii prostej o nachyleniu . Czy wektor jest wektorem normalnym tej prostej?

Decyzja.

Aby rozwiązać ten problem, przejdźmy od równania prostej o nachyleniu do ogólnego równania tej prostej: . Wiemy, że współczynniki przed zmiennymi x i y w ogólnym równaniu prostej są odpowiednimi współrzędnymi wektora normalnego tej prostej, czyli wektora normalnego prostej . Oczywiście wektor jest współliniowy z wektorem , ponieważ relacja jest prawdziwa (jeśli to konieczne, zobacz artykuł). Zatem pierwotny wektor jest również normalnym wektorem prostej , a zatem jest wektorem normalnym i oryginalną linią .

Odpowiedź:

Tak to jest.

A teraz rozwiążemy problem odwrotny - problem doprowadzenia równania linii prostej na płaszczyźnie do równania linii prostej ze spadkiem.

Z ogólnego równania linii prostej , gdzie , bardzo łatwo jest przejść do równania nachylenia. Do tego potrzebujesz ogólne równanie bezpośrednie postanowienie w odniesieniu do y . Jednocześnie otrzymujemy . Wynikowa równość to równanie linii prostej o nachyleniu równym .

Współczynnik nachylenia jest prosty. W tym artykule rozważymy zadania związane z płaszczyzną współrzędnych zawarte w egzaminie z matematyki. Są to zadania dla:

- wyznaczenie nachylenia linii prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które przechodzi;
- wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch linii na płaszczyźnie.

Czym jest odcięta i rzędna punktu została opisana w tej sekcji. W nim rozważaliśmy już kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co należy rozumieć dla rodzaju rozważanych zadań? Trochę teorii.

Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:

gdzie k – to jest nachylenie linii prostej.

Następna chwila! Nachylenie linii prostej równy tangens kąt nachylenia linii prostej. Jest to kąt między podaną linią a osiąoh.

Leży między 0 a 180 stopni.

To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie prostej do postaci tak = kx + b, to dalej zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).

Ponadto, jeśli możemy określić tangens nachylenia linii prostej na podstawie warunku, wówczas znajdziemy jej nachylenie.

Kolejny teoretyczny moment!Równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.Formuła wygląda tak:

Rozważ problemy (podobne do tych z otwarty bank zadania):

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6; 0) i (0; 6).

W tym problemie najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta między osią x a daną linią prostą. Wiadomo, że jest równy współczynnikowi kątowemu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i y:

Tangens kąta w trójkąt prostokątny to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

* Obie nogi są równe sześciu (to są ich długości).

Na pewno, to zadanie można rozwiązać za pomocą wzoru na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa podane punkty. Ale będzie to dłuższa ścieżka rozwiązania.

Odpowiedź 1

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).

Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Znaczy,

Przenieśmy formułę do formy tak = kx + b

Otrzymaliśmy współczynnik kątowy k = – 1.

Odpowiedź 1

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległa do prostej a b z osią wół.

W tym zadaniu możesz znaleźć równanie linii prostej a, określ dla niego nachylenie. Linia prosta b nachylenie będzie takie samo, ponieważ są one równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii prostej b. A następnie, podstawiając do niej wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!

W takim przypadku łatwiej jest użyć właściwości podobieństwa trójkąta.

Trójkąty prostokątne utworzone przez podane (równoległe) linie współrzędnych są podobne, co oznacza, że ​​stosunki ich odpowiednich boków są równe.

Pożądana odcięta to 40/3.

Odpowiedź: 40/3

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; -12) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią wół.

W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem jego rozwiązania jest użycie właściwości podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.

Znamy punkty, przez które przechodzi linia a. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Zgodnie z warunkiem punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b:

Mam ten róg k = 2/3.

*Współczynnik kątowy można znaleźć poprzez styczną kąta w trójkącie prostokątnym z ramionami 8 i 12.

Wiemy, że równoległe linie mają równe nachylenia. Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:

Znajdź wartość b możemy podstawić odciętą i rzędną do równania:

Tak więc linia wygląda tak:

Teraz, aby znaleźć pożądaną odciętą punktu przecięcia linii z osią x, musisz zastąpić y \u003d 0:

Odpowiedź: 18

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi oj oraz linię prostą przechodzącą przez punkt B(10;12) oraz linię równoległą przechodzącą przez początek i punkt A(10;24).

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b

Nachylenia linii równoległych są równe. Stąd równanie prostej przechodzącej przez punkt B (10; 12) ma postać:

Oznaczający b znajdujemy zastępując współrzędne punktu B (10; 12) do tego równania:

Otrzymaliśmy równanie prostej:

Aby znaleźć rzędną punktu przecięcia tej prostej z osią OU należy podstawić do znalezionego równania X= 0:

* Najłatwiejsze rozwiązanie. Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi OU do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przeszedł” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeszedł” do punktu (0;-12). Więc wynikowa linia przetnie oś OU w punkcie (0;–12).

Pożądana rzędna to -12.

Odpowiedź: -12

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej przez równanie

3x + 2 lata = 6, z osią Oy.

Współrzędna punktu przecięcia danej prostej z osią OU ma postać (0; w). Podstaw odciętą do równania X= 0 i znajdź rzędną:

Rzędna punktu przecięcia prostej z osią OU równa się 3.

* System jest rozwiązywany:

Odpowiedź: 3

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych przez równania

3x + 2 lata = 6 oraz y = - x.

Gdy podane są dwie proste, a pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, układ tych równań jest rozwiązany:

W pierwszym równaniu podstawiamy - X zamiast w:

Rzędna to minus sześć.

Odpowiedź: – 6

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2; 0) i (0; 2).

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).

Linia a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Linia b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią x.

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi y i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) oraz linii równoległej przechodzącej przez początek i punkt A (6;8).

1. Należy wyraźnie zrozumieć, że nachylenie linii prostej jest równe stycznej nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu tego typu problemów.

2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Za jego pomocą zawsze można znaleźć równanie prostej, jeśli podane są współrzędne dwóch jej punktów.

3. Pamiętaj, że nachylenia linii równoległych są równe.

4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest używać znaku podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązywane są praktycznie ustnie.

5. Zadania, w których podane są dwie linie i wymagane jest znalezienie odciętej lub rzędnej ich punktu przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na arkuszu w komórce) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.

6. I ostatni. Jeśli podano linię prostą i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, to w takich problemach wygodnie jest znaleźć nachylenie poprzez znalezienie stycznej kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak „zobaczyć” ten trójkąt dla różnych układów linii na płaszczyźnie schematycznie pokazano poniżej:

>> Kąt nachylenia linii od 0 do 90 stopni<<

>> Kąt linii prostej od 90 do 180 stopni<<

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksandrze.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

W poprzednim rozdziale pokazano, że wybierając pewien układ współrzędnych na płaszczyźnie, możemy analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej równaniem pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale omówione zostaną równania linii prostych.

Aby sformułować równanie linii prostej we współrzędnych kartezjańskich, musisz w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Najpierw wprowadzamy pojęcie nachylenia linii prostej, która jest jedną z wielkości charakteryzujących położenie linii prostej na płaszczyźnie.

Nazwijmy kąt nachylenia prostej do osi Wół kątem, o który oś Wół musi zostać obrócona, aby pokrywała się z daną prostą (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle rozważymy kąt biorąc pod uwagę znak (znak jest określony przez kierunek obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Wół o kąt 180° ponownie połączy ją z linią prostą, kąt nachylenia prostej do osi można dobrać niejednoznacznie (do wielokrotności ).

Tangens tego kąta jest jednoznacznie określony (bo zmiana kąta na nie zmienia jego stycznej).

Styczna kąta nachylenia linii prostej do osi x nazywana jest nachyleniem linii prostej.

Nachylenie charakteryzuje kierunek linii prostej (tu nie rozróżniamy dwóch wzajemnie przeciwstawnych kierunków linii prostej). Jeśli nachylenie linii wynosi zero, to linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim nachyleniu kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie ostry (rozważamy tu najmniejszą dodatnią wartość kąta nachylenia) (rys. 39); w tym przypadku im większe nachylenie, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wół. Jeżeli nachylenie jest ujemne, to kąt nachylenia prostej do osi x będzie rozwarty (ryc. 40). Zauważ, że linia prosta prostopadła do osi x nie ma nachylenia (styczna kąta nie istnieje).