Frakcje

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Frakcje w liceum nie są zbyt denerwujące. Obecnie. Dopóki nie natkniesz się na wykładniki z wykładnikami wymiernymi i logarytmami. I tam…. Naciskasz, naciskasz kalkulator, a on pokazuje pełną tablicę wyników niektórych liczb. Trzeba myśleć głową, jak w trzeciej klasie.

Zajmijmy się wreszcie ułamkami! Cóż, jak bardzo można się w nich pomylić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, co to są ułamki?

Rodzaje ułamków. Transformacje.

Ułamki się zdarzają trzy rodzaje.

1. Wspólne ułamki , Na przykład:

Czasami zamiast poziomej linii wstawiają ukośnik: 1/2, 3/4, 19/5, no i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Najwyższy numer to licznik ułamka, niżej - mianownik. Jeśli ciągle mylisz te nazwy (zdarza się ...), powiedz sobie frazę z wyrażeniem: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - out zzzz u!" Spójrz, wszystko zostanie zapamiętane.)

Myślnik, który jest poziomy, który jest ukośny, oznacza dział górna liczba (licznik) do dolnej liczby (mianownik). I to wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwie kropki.

Kiedy podział jest całkowicie możliwy, trzeba to zrobić. Tak więc zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Tych. 32 jest po prostu dzielone przez 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nie mówię o ułamku „4/1”. Co też jest po prostu „4”. A jeśli nie dzieli się całkowicie, zostawiamy to jako ułamek. Czasami trzeba robić odwrotnie. Utwórz ułamek z liczby całkowitej. Ale o tym później.

2. Ułamki dziesiętne , Na przykład:

W tej formie konieczne będzie zapisanie odpowiedzi na zadania „B”.

3. liczby mieszane , Na przykład:

Liczby mieszane praktycznie nie są używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, muszą zostać przekonwertowane na zwykłe ułamki. Ale zdecydowanie musisz wiedzieć, jak to zrobić! A potem taki numer natknie się na układankę i zawiśnie... Od zera. Ale pamiętamy tę procedurę! Trochę niżej.

Najbardziej wszechstronny wspólne ułamki. Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli w ułamku są różne logarytmy, sinusy i inne litery, to niczego nie zmienia. W tym sensie, że wszystko akcje z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od akcji ze zwykłymi ułamkami!

Podstawowa własność ułamka.

Więc chodźmy! Przede wszystkim Cię zaskoczę. Całą różnorodność przekształceń ułamkowych zapewnia jedna właściwość! Tak to się nazywa podstawowa własność ułamka. Pamiętać: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Tych:

Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż zsiniejesz. Nie daj się zmylić sinusom i logarytmom, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.

A my tego potrzebujemy, te wszystkie przemiany? I jak! Teraz sam się przekonasz. Najpierw użyjmy podstawowej własności ułamka dla skróty ułamkowe. Wydawałoby się, że sprawa jest elementarna. Licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę i to wszystko! Nie można się pomylić! Ale... człowiek jest istotą twórczą. Wszędzie możesz popełniać błędy! Zwłaszcza jeśli musisz zmniejszyć ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z wszelkiego rodzaju literami.

Jak prawidłowo i szybko redukować ułamki bez wykonywania niepotrzebnej pracy, można znaleźć w specjalnej sekcji 555.

Zwykły uczeń nie zadaje sobie trudu dzielenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko to samo z góry i z dołu! Tu się ukrywa typowy błąd, wpadka, jeśli chcesz.

Na przykład musisz uprościć wyrażenie:

Nie ma o czym myśleć, przekreślamy literę „a” z góry i dwójkę z dołu! Otrzymujemy:

Wszystko się zgadza. Ale naprawdę podzieliłeś się całość licznik i całość mianownik „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do przekreślania, to w pośpiechu możesz przekreślić „a” w wyrażeniu

i weź ponownie

Co byłoby kategorycznie błędne. Ponieważ tutaj całość licznik na "a" już nie udostępniony! Ta frakcja nie może być zmniejszona. Swoją drogą, taki skrót to, hm... poważne wyzwanie dla nauczyciela. To nie jest wybaczone! Pamiętać? Przy redukcji konieczne jest dzielenie całość licznik i całość mianownik!

Zmniejszenie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostaniesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. A jak teraz z nią pracować? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, ale ostrożnie zmniejsz o pięć, a nawet o pięć, a nawet ... podczas gdy jest zmniejszany, w skrócie. Dostajemy 3/8! O wiele ładniejszy, prawda?

Podstawowa właściwość ułamka umożliwia konwersję zwykłych ułamków na ułamki dziesiętne i odwrotnie bez kalkulatora! To ważne dla egzaminu, prawda?

Jak przekonwertować ułamki z jednej postaci na drugą.

Z ułamkami dziesiętnymi to proste. Jak się słyszy, tak jest napisane! Powiedzmy, że 0,25. To punkt zerowy, dwadzieścia pięć setnych. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszamy (dzielimy licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. Zdarza się i nic się nie zmniejsza. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, czyli 3/10.

A co, jeśli liczby całkowite są różne od zera? W porządku. Zapisz cały ułamek bez przecinków w liczniku iw mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To trzy całe, siedemnaście setnych. W liczniku wpisujemy 317, aw mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest redukowane, to znaczy wszystko. To jest odpowiedź. Podstawowe Watsonie! Z powyższego przydatny wniosek: dowolny ułamek dziesiętny można przekonwertować na zwykły ułamek .

Ale odwrotna konwersja, zwykła na dziesiętną, niektórzy nie mogą obejść się bez kalkulatora. Ale musisz! Jak napiszesz odpowiedź na egzaminie!? Uważnie czytamy i opanowujemy ten proces.

Co to jest ułamek dziesiętny? Ma w mianowniku zawsze jest wart 10 lub 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli Twój zwykły ułamek ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A jeśli w odpowiedzi na zadanie sekcji „B” okazało się, że 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Ułamki dziesiętne są wymagane...

Pamiętamy podstawowa własność ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Przy okazji, dla każdego! Z wyjątkiem zera, oczywiście. Wykorzystajmy tę funkcję na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2, żeby było 10, 100 lub 1000 (oczywiście mniejsze jest lepsze...)? 5, oczywiście. Możesz pomnożyć mianownik (to jest nas konieczne) przez 5. Ale wtedy licznik również musi być pomnożony przez 5. To już jest matematyka wymagania! Otrzymujemy 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To wszystko.

Jednak spotykamy się z różnymi mianownikami. Na przykład ułamek 3/16 spadnie. Spróbuj, dowiedz się, przez co pomnożyć 16, aby otrzymać 100 lub 1000... Nie działa? Następnie możesz po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora będziesz musiał podzielić w rogu, na kartce papieru, tak jak uczono w klasach podstawowych. Otrzymujemy 0,1875.

I jest kilka bardzo złych mianowników. Na przykład ułamek 1/3 nie może zostać zamieniony na dobry dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333 ... Oznacza to, że 1/3 do dokładnego ułamka dziesiętnego nie tłumaczy. Tak jak 1/7, 5/6 i tak dalej. Wiele z nich jest nieprzetłumaczalnych. Stąd kolejny użyteczny wniosek. Nie każdy zwykły ułamek jest konwertowany na ułamek dziesiętny. !

Przy okazji, to pomocna informacja do autotestu. W sekcji „B” w odpowiedzi musisz wpisać ułamek dziesiętny. I masz na przykład 4/3. Ten ułamek nie jest konwertowany na dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć, sprawdź rozwiązanie.

Tak więc, z uporządkowanymi ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi. Pozostaje do czynienia z liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, wszystkie muszą zostać przekonwertowane na zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i zapytać go. Ale nie zawsze szóstoklasista będzie pod ręką… Będziemy musieli to zrobić sami. To nie jest trudne. Konieczne jest pomnożenie mianownika części ułamkowej przez część całkowitą i dodanie licznika części ułamkowej. Będzie to licznik wspólnego ułamka. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości jest całkiem proste. Zobaczmy przykład.

Niech problem, który widziałeś z przerażeniem, to liczba:

Spokojnie, bez paniki, rozumiemy. Cała część to 1. Jeden. Część ułamkowa to 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej to 7. Ten mianownik będzie mianownikiem zwykłego ułamka. Liczymy licznik. Mnożymy 7 przez 1 (część całkowita) i dodajemy 3 (licznik części ułamkowej). Otrzymujemy 10. Będzie to licznik zwykłego ułamka. To wszystko. W notacji matematycznej wygląda to jeszcze prościej:

Wyraźnie? W takim razie zapewnij sobie sukces! Konwertuj na zwykłe ułamki. Powinieneś dostać 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

Operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną – jest rzadko wymagana w szkole średniej. Cóż, jeśli... A jeśli nie jesteś w szkole średniej - możesz zajrzeć do specjalnej sekcji 555. W tym samym miejscu przy okazji dowiesz się o ułamkach niewłaściwych.

No, prawie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś jak konwertować je z jednego typu na inny. Pozostaje pytanie: czemu Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?

Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zwykłe ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane są zmieszane w wiązkę, tłumaczymy wszystko na zwykłe ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić. Cóż, jeśli jest napisane coś takiego jak 0.8 + 0.3, to tak myślimy, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !

Jeśli zadanie jest pełne ułamków dziesiętnych, ale hm… jakieś złe, przejdź do zwykłych, spróbuj! Słuchaj, wszystko będzie dobrze. Na przykład musisz podnieść liczbę do kwadratu 0,125. Nie jest to takie proste, jeśli nie zgubiłeś nawyku korzystania z kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także zastanowić się, gdzie wstawić przecinek! To na pewno nie działa w moim umyśle! A jeśli przejdziesz do zwykłego ułamka?

0,125 = 125/1000. Zmniejszamy o 5 (to na początek). Otrzymujemy 25/200. Znowu na 5. Otrzymujemy 5/40. Och, kurczy się! Powrót do 5! Otrzymujemy 1/8. Łatwo wyprostuj (w swoim umyśle!) i uzyskaj 1/64. Wszystko!

Podsumujmy tę lekcję.

1. Istnieją trzy rodzaje ułamków. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.

2. Ułamki dziesiętne i liczby mieszane zawsze można przekonwertować na zwykłe ułamki. Tłumaczenie odwrotne nie zawsze dostępny.

3. Od tego właśnie zadania zależy wybór rodzaju frakcji do pracy z zadaniem. W obecności różne rodzaje ułamki w jednym zadaniu, najbardziej niezawodną rzeczą jest przejście na zwykłe ułamki.

Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw zamień te ułamki dziesiętne na zwykłe:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Powinieneś otrzymać takie odpowiedzi (w bałaganie!):

Na tym skończymy. W tej lekcji odświeżyliśmy kluczowe punkty dotyczące ułamków. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie zapomniał, albo jeszcze tego nie opanował... Te mogą przejść do specjalnego Działu 555. Wszystkie podstawy są tam szczegółowo opisane. Wielu nagle rozumieć wszystko zaczynają. I rozwiązują ułamki w locie).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Zdarza się, że dla wygody obliczeń konieczne jest przekształcenie zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny i odwrotnie. Porozmawiamy o tym, jak to zrobić w tym artykule. Przeanalizujemy zasady konwersji zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne i odwrotnie, a także podamy przykłady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rozważymy konwersję zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne, zachowując określoną sekwencję. Najpierw zastanów się, jak zwykłe ułamki z mianownikiem, który jest wielokrotnością 10, są konwertowane na ułamki dziesiętne: 10, 100, 1000 itd. Ułamki z takimi mianownikami są w rzeczywistości bardziej kłopotliwym zapisem ułamków dziesiętnych.

Następnie przyjrzymy się, jak przekonwertować zwykłe ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne z dowolnym mianownikiem, a nie tylko wielokrotnością 10. Zwróć uwagę, że podczas konwersji zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne uzyskuje się nie tylko końcowe ułamki dziesiętne, ale także nieskończone okresowe ułamki dziesiętne.

Zacznijmy!

Tłumaczenie zwykłych ułamków zwykłych z mianownikami 10, 100, 1000 itd. do ułamków dziesiętnych

Przede wszystkim załóżmy, że niektóre ułamki wymagają pewnego przygotowania przed ich konwersją do postaci dziesiętnej. Co to jest? Przed liczbą w liczniku należy dodać tyle zer, aby liczba cyfr w liczniku była równa liczbie zer w mianowniku. Na przykład dla ułamka 3100 liczbę 0 należy dodać raz na lewo od 3 w liczniku. Frakcja 610, zgodnie z powyższą zasadą, nie wymaga poprawy.

Rozważmy jeszcze jeden przykład, po którym formułujemy regułę, która jest szczególnie wygodna w użyciu na początku, podczas gdy nie ma tak dużego doświadczenia w posługiwaniu się frakcjami. Tak więc ułamek 1610000 po dodaniu zer w liczniku będzie wyglądał jak 001510000.

Jak przetłumaczyć zwykły ułamek z mianownikiem 10, 100, 1000 itd. na dziesiętny?

Zasada zamiany zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

1. Wpisz 0 i umieść po nim przecinek.
2. Zapisujemy liczbę z licznika, która okazała się po dodaniu zer.

Przejdźmy teraz do przykładów.

Przykład 1. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Konwertuj wspólny ułamek 39100 na dziesiętny.

Najpierw patrzymy na ułamek i widzimy, że nie są potrzebne żadne działania przygotowawcze - liczba cyfr w liczniku odpowiada liczbie zer w mianowniku.

Zgodnie z regułą zapisz 0 , umieść po nim kropkę dziesiętną i zapisz liczbę z licznika. Otrzymujemy ułamek dziesiętny 0, 39.

Przeanalizujmy rozwiązanie innego przykładu na ten temat.

Przykład 2. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Zapiszmy ułamek 105 10000000 jako ułamek dziesiętny.

Liczba zer w mianowniku to 7, a licznik ma tylko trzy cyfry. Dodajmy jeszcze 4 zera przed liczbą w liczniku:

0000105 10000000

Teraz piszemy 0 , stawiamy po nim kropkę dziesiętną i zapisujemy liczbę z licznika. Otrzymujemy ułamek dziesiętny 0 , 0000105 .

Ułamki brane pod uwagę we wszystkich przykładach są zwykłymi ułamkami właściwymi. Ale jak zamienić niewłaściwy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny? Powiedzmy od razu, że nie ma potrzeby przygotowania się z dodawaniem zer dla takich ułamków. Sformułujmy regułę.

Zasada zamiany zwykłych ułamków niewłaściwych na ułamki dziesiętne

1. Zapisujemy liczbę, która jest w liczniku.
2. Za pomocą kropki dziesiętnej oddzielamy tyle cyfr po prawej stronie, ile jest zer w mianowniku oryginalnego zwykłego ułamka.

Poniżej znajduje się przykład zastosowania tej reguły.

Przykład 3. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Zamieńmy ułamek 56888038009 100000 ze zwykłego nieregularnego na ułamek dziesiętny.

Najpierw wpisz liczbę z licznika:

Teraz po prawej stronie oddzielamy pięć cyfr kropką dziesiętną (liczba zer w mianowniku to pięć). Otrzymujemy:

Kolejnym pytaniem, które naturalnie się pojawia, jest przekształcenie liczby mieszanej w ułamek dziesiętny, jeśli mianownikiem jej części ułamkowej jest liczba 10, 100, 1000 itd. Aby przekonwertować na ułamek dziesiętny takiej liczby, możesz użyć następującej reguły.

Zasada konwersji liczb mieszanych na ułamki dziesiętne

1. W razie potrzeby przygotowujemy ułamkową część liczby.
2. Zapisujemy część całkowitą oryginalnej liczby i wstawiamy po niej przecinek.
3. Piszemy liczbę z licznika części ułamkowej wraz z dołączonymi zerami.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 4. Zamiana liczb mieszanych na ułamki dziesiętne

Konwertuj liczbę mieszaną 23 17 10000 na dziesiętną.

W części ułamkowej mamy wyrażenie 17 10000. Przygotujmy to i dodajmy jeszcze dwa zera po lewej stronie licznika. Otrzymujemy: 0017 10000 .

Teraz zapisujemy część całkowitą liczby i wstawiamy po niej przecinek: 23,. .

Po przecinku wpisujemy liczbę z licznika wraz z zerami. Otrzymujemy wynik:

23 17 10000 = 23 , 0017

Zamiana zwykłych ułamków na ułamki skończone i nieskończone okresowe

Oczywiście możesz przekonwertować na ułamki dziesiętne i zwykłe z mianownikiem innym niż 10, 100, 1000 itd.

Często ułamek można łatwo zredukować do nowego mianownika, a następnie zastosować regułę przedstawioną w pierwszym akapicie tego artykułu. Na przykład wystarczy pomnożyć licznik i mianownik ułamka 25 przez 2, a otrzymujemy ułamek 410, który można łatwo sprowadzić do postaci dziesiętnej 0,4.

Jednak ta metoda zamiany zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny nie zawsze może być używana. Poniżej zastanowimy się, co zrobić, jeśli nie można zastosować rozważanej metody.

Zasadniczo nowy sposób zamiana zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny sprowadza się do podzielenia licznika przez mianownik przez kolumnę. Ta operacja jest bardzo podobna do dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę, ale ma swoją własną charakterystykę.

Podczas dzielenia licznik jest reprezentowany jako ułamek dziesiętny - przecinek jest umieszczany po prawej stronie ostatniej cyfry licznika i dodawane są zera. W otrzymanym ilorazie kropka dziesiętna jest umieszczana, gdy kończy się dzielenie części całkowitej licznika. Jak dokładnie działa ta metoda, stanie się jasne po rozważeniu przykładów.

Przykład 5. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Przetłumaczmy zwykły ułamek 621 4 na postać dziesiętną.

Zaprezentujmy liczbę 621 z licznika jako ułamek dziesiętny, dodając kilka zer po przecinku. 621 = 621 00

Teraz podzielimy kolumnę 621, 00 przez 4. Pierwsze trzy kroki dzielenia będą takie same jak przy dzieleniu liczb naturalnych i otrzymujemy.

Kiedy doszliśmy do punktu dziesiętnego w dywidendzie, a reszta jest niezerowa, wstawiamy punkt dziesiętny do ilorazu i kontynuujemy dzielenie, nie zwracając już uwagi na przecinek w dywidendzie.

W rezultacie otrzymujemy ułamek dziesiętny 155 , 25 , który jest wynikiem odwrócenia ułamka zwykłego 621 4

621 4 = 155 , 25

Rozważ rozwiązanie innego przykładu, aby naprawić materiał.

Przykład 6. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Odwróćmy zwykły ułamek 21 800 .

Aby to zrobić, podziel frakcję 21 000 na 800 w kolumnie. Dzielenie części całkowitej kończy się na pierwszym kroku, więc zaraz po nim wstawiamy do ilorazu kropkę dziesiętną i kontynuujemy dzielenie, ignorując przecinek w dzielnej, aż otrzymamy resztę równą zero.

W rezultacie otrzymaliśmy: 21 800 = 0.02625 .

Ale co, jeśli podczas dzielenia nigdy nie otrzymamy reszty równej 0. W takich przypadkach dzielenie może być kontynuowane w nieskończoność. Jednak począwszy od pewnego kroku, pozostałości będą się powtarzać okresowo. W związku z tym liczby w ilorazu również się powtórzą. Oznacza to, że zwykły ułamek jest tłumaczony na dziesiętny nieskończony ułamek okresowy. Zilustrujmy to, co zostało powiedziane, przykładem.

Przykład 7. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Zmieńmy zwykły ułamek 1944 na ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, dokonujemy podziału według kolumny.

Widzimy, że przy dzieleniu powtarzają się reszty 8 i 36. Jednocześnie liczby 1 i 8 powtarzają się w ilorazie. To jest kropka w postaci dziesiętnej. Podczas pisania liczby te są brane w nawiasy.

W ten sposób oryginalny zwykły ułamek jest tłumaczony na nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Miejmy nieredukowalny zwykły ułamek. Jaką to przybierze formę? Które zwykłe ułamki są zamieniane na skończone ułamki dziesiętne, a które na nieskończone ułamki okresowe?

Po pierwsze, powiedzmy, że jeśli ułamek można zmniejszyć do jednego z mianowników 10, 100, 1000 .., to będzie wyglądał jak ostatni ułamek dziesiętny. Aby ułamek mógł zostać sprowadzony do jednego z tych mianowników, jego mianownik musi być dzielnikiem co najmniej jednej z liczb 10, 100, 1000 itd. Z zasad rozkładania liczb na czynniki pierwsze wynika z tego, że dzielnik liczb 10, 100, 1000 itd. powinien, po rozłożeniu na czynniki pierwsze, zawierać tylko liczby 2 i 5.

Podsumujmy to, co zostało powiedziane:

1. Zwykły ułamek może zostać zredukowany do postaci ostatniego ułamka dziesiętnego, jeśli jego mianownik można rozłożyć na czynniki pierwsze 2 i 5.
2. Jeśli oprócz liczb 2 i 5 w rozwinięciu mianownika występują inne liczby pierwsze, ułamek jest redukowany do postaci nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.

Weźmy przykład.

Przykład 8. Zamiana zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne

Który z podanych ułamków 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 jest zamieniany na ostatni ułamek dziesiętny, a który - tylko na okresowy. Udzielimy odpowiedzi na to pytanie bez bezpośredniej zamiany zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny.

Ułamek 47 20 , jak łatwo zauważyć, mnożąc licznik i mianownik przez 5 jest redukowany do nowego mianownika 100 .

4720 = 235100. Z tego wnioskujemy, że ten ułamek jest tłumaczony na końcowy ułamek dziesiętny.

Faktoryzacja mianownika ułamka 7 12 daje 12 = 2 2 3 . Ponieważ prosty czynnik 3 różni się od 2 i od 5, ten ułamek nie może być reprezentowany jako skończony ułamek dziesiętny, ale będzie miał postać nieskończonego ułamka okresowego.

Frakcja 21 56, po pierwsze, musisz zredukować. Po zmniejszeniu o 7 otrzymujemy ułamek nierozkładalny 3 8 , którego rozwinięcie mianownika na czynniki daje 8 = 2 · 2 · 2 . Dlatego jest to końcowy dziesiętny.

W przypadku ułamka 31 17 faktoryzacja mianownika to sama liczba pierwsza 17. W związku z tym ten ułamek można przekonwertować na nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Zwykłego ułamka nie można przekonwertować na nieskończony i niepowtarzalny ułamek dziesiętny

Powyżej mówiliśmy tylko o ułamkach skończonych i nieskończonych okresowych. Ale czy każdy zwykły ułamek można przekształcić w nieskończony ułamek nieokresowy?

Odpowiadamy: nie!

Ważny!

Kiedy konwertujesz nieskończony ułamek dziesiętny na ułamek dziesiętny, otrzymujesz albo skończony ułamek dziesiętny, albo nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Pozostała część dzielenia jest zawsze mniejsza niż dzielnik. Innymi słowy, zgodnie z twierdzeniem o podzielności, jeśli podzielimy jakąś liczbę naturalną przez liczbę q, to ​​reszta z dzielenia w żadnym wypadku nie może być większa niż q-1. Po zakończeniu podziału możliwa jest jedna z następujących sytuacji:

1. Otrzymujemy resztę z 0 i na tym kończy się dzielenie.
2. Otrzymujemy resztę, która powtarza się podczas kolejnego dzielenia, w wyniku czego mamy nieskończony ułamek okresowy.

Podczas konwersji zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny nie ma innych opcji. Załóżmy również, że długość okresu (liczba cyfr) w nieskończonym ułamku okresowym jest zawsze mniejsza niż liczba cyfr w mianowniku odpowiedniego ułamka zwykłego.

Konwertuj ułamki dziesiętne na zwykłe ułamki zwykłe

Teraz nadszedł czas, aby rozważyć odwrotny proces konwersji ułamka dziesiętnego na zwykły. Sformułujmy regułę tłumaczenia, która obejmuje trzy etapy. Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Reguła konwersji ułamków dziesiętnych na zwykłe ułamki zwykłe

1. W liczniku wpisujemy liczbę z oryginalnego ułamka dziesiętnego, odrzucając przecinek i wszystkie zera po lewej stronie, jeśli występują.
2. W mianowniku wpisujemy jedno, a po nim tyle zer, ile jest cyfr w oryginalnym ułamku dziesiętnym po przecinku.
3. Jeśli to konieczne, zmniejsz powstałą zwykłą frakcję.

Rozważ zastosowanie tej zasady na przykładach.

Przykład 8. Zamiana liczb dziesiętnych na zwykłe

Reprezentujmy liczbę 3, 025 jako zwykły ułamek.

1. W liczniku zapisujemy sam ułamek dziesiętny, odrzucając przecinek: 3025.
2. W mianowniku wpisujemy jedno, a po nim trzy zera - tyle cyfr zawiera ułamek oryginalny po przecinku: 3025 1000.
3. Otrzymany ułamek 3025 1000 można zmniejszyć o 25 , w wyniku otrzymujemy: 3025 1000 = 121 40 .

Przykład 9. Zamiana liczb dziesiętnych na zwykłe

Zamieńmy ułamek zwykły 0,0017 z dziesiętnego na zwykły.

1. W liczniku zapisujemy ułamek 0017, odrzucając przecinek i zera po lewej stronie. Zdobądź 17 .
2. W mianowniku wpisujemy jedno, a po nim cztery zera: 17 10000. Ta frakcja jest nieredukowalna.

Jeśli w ułamku dziesiętnym występuje część całkowita, to taki ułamek można natychmiast przekonwertować na liczbę mieszaną. Jak to zrobić?

Sformułujmy jeszcze jedną zasadę.

Reguła konwersji ułamków dziesiętnych na liczby mieszane.

1. Liczba do przecinka jest zapisywana jako część całkowita liczby mieszanej.
2. W liczniku wpisujemy liczbę, która znajduje się w ułamku po przecinku, odrzucając zera po lewej stronie, jeśli takie istnieją.
3. W mianowniku części ułamkowej dodajemy jedno i tyle zer, ile jest cyfr w części ułamkowej po przecinku.

Spójrzmy na przykład

Przykład 10: Konwersja liczby dziesiętnej na liczbę mieszaną

Zaprezentujmy ułamek 155, 06005 jako liczbę mieszaną.

1. Piszemy liczbę 155 jako część całkowitą.
2. W liczniku zapisujemy liczby po przecinku, odrzucając zero.
3. W mianowniku wpisujemy jedno i pięć zer

Nauczanie liczby mieszanej: 155 6005 100000

Część ułamkową można zmniejszyć o 5 . Redukujemy i otrzymujemy końcowy wynik:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Konwersja nieskończonych, powtarzających się ułamków dziesiętnych na zwykłe ułamki

Spójrzmy na przykłady, jak przetłumaczyć okresowe ułamki dziesiętne na zwykłe. Zanim zaczniemy, wyjaśnijmy: każdy okresowy ułamek dziesiętny można zamienić na zwykły.

Najprostszym przypadkiem jest okres ułamka zero. Ułamek okresowy z okresem zero jest zastępowany ułamkiem skończonym dziesiętnym, a proces odwracania takiego ułamka sprowadza się do odwrócenia ostatniego ułamka dziesiętnego.

Przykład 11. Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na wspólny ułamek

Odwróćmy ułamek okresowy 3, 75 (0) .

Upuszczając zera po prawej stronie, otrzymujemy ostatni ułamek dziesiętny 3, 75.

Zamieniając tę ​​frakcję w zwykłą zgodnie z algorytmem omówionym w poprzednich akapitach, otrzymujemy:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Co jeśli okres ułamka jest niezerowy? Część okresową należy traktować jako sumę elementów postępu geometrycznego, który maleje. Wyjaśnijmy to na przykładzie:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Istnieje wzór na sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Jeśli pierwszym wyrazem progresji jest b, a mianownik q jest taki, że 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Spójrzmy na kilka przykładów wykorzystujących tę formułę.

Przykład 12. Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na wspólny ułamek

Załóżmy, że mamy ułamek okresowy 0, (8) i musimy go zamienić na zwykły.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Tutaj mamy nieskończenie malejący postęp geometryczny z pierwszym wyrazem 0 , 8 i mianownikiem 0 , 1 .

Zastosujmy wzór:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

To jest pożądana zwykła frakcja.

Aby skonsolidować materiał, rozważ inny przykład.

Przykład 13. Zamiana okresowego ułamka dziesiętnego na zwykły

Odwróć ułamek 0 , 43 (18) .

Najpierw zapisujemy ułamek jako nieskończoną sumę:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Rozważ terminy w nawiasach. Ten postęp geometryczny można przedstawić w następujący sposób:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Otrzymaną frakcję dodajemy do końcowej frakcji 0, 43 \u003d 43 100 i otrzymujemy wynik:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Po dodaniu tych ułamków i zmniejszeniu otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

0 , 43 (18) = 19 44

Na końcu tego artykułu powiemy, że nieokresowych nieskończonych ułamków dziesiętnych nie można zamienić na zwykłe ułamki zwykłe.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wystarczająca liczba osób zastanawia się, jak zamienić zwykły ułamek na ułamek dziesiętny. Jest kilka sposobów. Wybór konkretnej metody zależy od rodzaju ułamka, który należy przekonwertować na inną postać, a raczej od liczby w jej mianowniku. Jednak dla niezawodności konieczne jest wskazanie, że zwykły ułamek to ułamek zapisany za pomocą licznika i mianownika, na przykład 1/2. Częściej linia między licznikiem a mianownikiem jest rysowana poziomo, a nie ukośnie. Ułamek dziesiętny jest zapisywany jako zwykła liczba z przecinkiem: na przykład 1,25; 0,35 itd.

Tak więc, aby przekonwertować zwykły ułamek na ułamek dziesiętny bez kalkulatora, potrzebujesz:

Zwróć uwagę na mianownik zwykłego ułamka. Jeśli mianownik można łatwo pomnożyć do 10 przez tę samą liczbę co licznik, to należy zastosować tę metodę, jako najprostszą. Na przykład zwykły ułamek 1/2 można łatwo pomnożyć w liczniku i mianowniku przez 5, co daje liczbę 5/10, którą można już zapisać jako ułamek dziesiętny: 0,5. Ta reguła opiera się na fakcie, że ułamek dziesiętny zawsze ma okrągłą liczbę w mianowniku: 10, 100, 1000 i tym podobne. Dlatego jeśli pomnożymy licznik i mianownik ułamka, to w wyniku mnożenia konieczne jest uzyskanie dokładnie takiej liczby w mianowniku, niezależnie od tego, co uzyskamy w liczniku.

Istnieją zwykłe ułamki, których obliczenie po mnożeniu stwarza pewne trudności. Na przykład dość trudno jest określić, o ile należy pomnożyć ułamek 5/16, aby uzyskać jedną z powyższych liczb w mianowniku. W takim przypadku powinieneś użyć zwykłego podziału, który jest wykonywany przez kolumnę. Odpowiedź powinna być ułamkiem dziesiętnym, co oznacza koniec operacji transferu. W powyższym przykładzie wynikiem jest liczba równa 0,3125. Jeśli obliczenia w kolumnie sprawiają trudności, nie możesz się obejść bez pomocy kalkulatora.

Wreszcie istnieją zwykłe ułamki zwykłe, które nie są konwertowane na ułamki dziesiętne. Na przykład przy tłumaczeniu ułamka zwykłego 4/3 wynik to 1.33333, gdzie trzy są powtarzane w nieskończoność. Kalkulator również nie pozbędzie się powtarzających się trzech. Takich frakcji jest kilka, wystarczy je znać. Wyjściem z powyższej sytuacji może być zaokrąglanie, jeśli warunki przykładu lub rozwiązywanego problemu pozwalają na zaokrąglenie. Jeśli warunki na to nie pozwalają, a odpowiedź musi być napisana dokładnie w postaci ułamka dziesiętnego, to przykład lub problem został rozwiązany niepoprawnie i powinieneś cofnąć się o kilka kroków, aby znaleźć błąd.

Tak więc konwersja zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny jest dość łatwa, nie jest trudno poradzić sobie z tym zadaniem bez pomocy kalkulatora. Jeszcze łatwiej wygląda przetłumaczenie ułamków dziesiętnych na zwykłe, wykonując kroki odwrotne opisane w metodzie 1.

Wideo: 6. klasa. Konwersja zwykłego ułamka na ułamek dziesiętny.

Ułamek dziesiętny składa się z dwóch części oddzielonych przecinkami. Pierwsza część to liczba całkowita, druga część to dziesiątki (jeśli liczba po przecinku to jeden), setki (dwie liczby po przecinku, jak dwa zera na sto), tysięczne itd. Spójrzmy na przykłady ułamków dziesiętnych: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. To wszystko są ułamki dziesiętne. Jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek?

Przykład pierwszy

Mamy ułamek, na przykład 0,5. Jak wspomniano powyżej, składa się z dwóch części. Pierwsza liczba, 0, pokazuje, ile jednostek całkowitych ma ułamek. W naszym przypadku tak nie jest. Druga liczba to dziesiątki. Ułamek to nawet zero przecinek pięć dziesiątych. Liczba dziesiętna zamień na ułamek teraz nie będzie to trudne, piszemy 5/10. Jeśli widzisz, że liczby mają wspólny dzielnik, możesz zmniejszyć ułamek. Mamy tę liczbę 5, dzieląc obie części ułamka przez 5, otrzymujemy - 1/2.

Przykład drugi

Weźmy bardziej złożoną ułamek - 2,25. Czyta się go tak - dwie pełne i dwadzieścia pięć setnych. Zwróć uwagę - setne, ponieważ po przecinku są dwie liczby. Teraz możesz przekonwertować na wspólny ułamek. Piszemy - 2 25/100. Część całkowita to 2, część ułamkowa to 25/100. Podobnie jak w pierwszym przykładzie tę część można skrócić. Wspólnym dzielnikiem dla 25 i 100 jest 25. Pamiętaj, że zawsze wybieramy największy wspólny dzielnik. Dzieląc obie części ułamka przez GCD, otrzymaliśmy 1/4. Więc 2, 25 to 2 1/4.

Przykład trzeci

Aby skonsolidować materiał, weźmy ułamek dziesiętny 4,112 - cztery całe i sto dwanaście tysięcznych. Dlaczego tysięczne, jak sądzę, jest jasne. Teraz zapisujemy 4 112/1000. Zgodnie z algorytmem znajdujemy NWD liczb 112 i 1000. W naszym przypadku jest to liczba 6. Otrzymujemy 4 14/125.

Wniosek

1. Dzielimy ułamek na części całkowite i ułamkowe.
2. Sprawdzamy, ile cyfr po przecinku. Jeśli jeden to dziesiątki, dwa to setki, trzy to tysięczne itd.
3. Ułamek zapisujemy w zwykłej formie.
4. Zmniejszamy licznik i mianownik ułamka.
5. Zapisz wynikowy ułamek.
6. Sprawdzanie, dzielenie Górna część frakcje na dole. Jeśli występuje część całkowita, dodaj do otrzymanego ułamka dziesiętnego. Okazało się, że oryginalna wersja - świetna, więc zrobiłeś wszystko dobrze.

Na przykładach pokazałem, jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły. Jak widać, jest to bardzo łatwe i proste.

Ułamek można przekonwertować na liczbę całkowitą lub dziesiętną. Ułamek niewłaściwy, którego licznik jest większy od mianownika i jest przez niego podzielny bez reszty, jest zamieniany na liczbę całkowitą, na przykład: 20/5. Podziel 20 przez 5 i uzyskaj liczbę 4. Jeśli ułamek jest poprawny, to znaczy, że licznik jest mniejszy niż mianownik, zamień go na liczbę (ułamek dziesiętny). Możesz dowiedzieć się więcej o ułamkach z naszej sekcji -.

Sposoby konwersji ułamka na liczbę

• Pierwszy sposób konwersji ułamka na liczbę jest odpowiedni dla ułamka, który można przekonwertować na liczbę, która jest ułamkiem dziesiętnym. Najpierw dowiedzmy się, czy można przeliczyć dany ułamek na ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, zwróć uwagę na mianownik (liczba znajdująca się pod linią lub po prawej stronie ukośnej). Jeśli mianownik można rozłożyć na czynniki (w naszym przykładzie - 2 i 5), które można powtórzyć, to ten ułamek można naprawdę zamienić na ostatni ułamek dziesiętny. Na przykład: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Ten wspólny ułamek zostanie przekonwertowany na liczbę (ułamek dziesiętny) ze skończoną liczbą miejsc dziesiętnych. Ale ułamek 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) zostanie przetłumaczony na liczbę z nieskończoną liczbą miejsc po przecinku. Oznacza to, że przy dokładnym obliczaniu wartości liczbowej dość trudno jest określić końcowy przecinek dziesiętny, ponieważ takie znaki nieskończony zestaw. Dlatego, aby rozwiązać problemy, zwykle trzeba zaokrąglić wartość do setnych lub tysięcznych. Ponadto konieczne jest pomnożenie zarówno licznika, jak i mianownika przez taką liczbę, aby mianownik miał liczby 10, 100, 1000 itd. Na przykład: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Drugi sposób konwersji ułamka na liczbę jest prostszy: musisz podzielić licznik przez mianownik. Aby zastosować tę metodę, po prostu wykonujemy dzielenie, a wynikowa liczba będzie pożądanym ułamkiem dziesiętnym. Na przykład musisz przekonwertować ułamek 2/15 na liczbę. Dzielimy 2 przez 15. Otrzymujemy 0, 1333 ... - nieskończony ułamek. Zapisujemy to tak: 0.13(3). Jeśli ułamek jest niepoprawny, czyli licznik jest większy od mianownika (na przykład 345/100), to w wyniku przeliczenia go na liczbę otrzymujesz liczbę całkowitą wartość numeryczna lub ułamek dziesiętny z całkowitą częścią ułamkową. W naszym przykładzie będzie to 3,45. Aby zamienić ułamek mieszany, taki jak 3 2 / 7, na liczbę, musisz najpierw zamienić go na ułamek niewłaściwy: (3∙7+2)/7 =23/7. Następnie dzielimy 23 przez 7 i otrzymujemy liczbę 3.2857143, którą zmniejszamy do 3.29.

Najłatwiejszym sposobem zamiany ułamka na liczbę jest użycie kalkulatora lub innego urządzenia obliczeniowego. Najpierw wskazujemy licznik ułamka, następnie naciskamy przycisk z ikoną „podziel” i wpisujemy mianownik. Po naciśnięciu klawisza „=” otrzymujemy żądaną liczbę.