Przykładami są punkty osobliwe jednowartościowych funkcji analitycznych. Pojedyncze punkty osobliwe, ich klasyfikacja. Reszty i wzory do ich obliczania

Zostawiać zq - punkt osobliwy funkcji f(z), t.s. F z) ale jest analityczny w tym momencie (w szczególności nie może być w tym zdefiniowany). Jeśli istnieje takie przebite sąsiedztwo punktu zq (tj. zbiór O z - zq f(z) jest aliasem, to Zo nazywa izolowany punkt osobliwy Funkcje F z). Ta definicja jest również zachowana w przypadku zn = oo, jeśli jod to przebite sąsiedztwo punktu zq = oo zrozum zbiór z > I - pojawienie się jakiegoś okręgu wyśrodkowanego na początku. Innymi słowy, punkt osobliwy zq mówi się, że jest izolowany, jeśli istnieje sąsiedztwo tego punktu, w którym znajdują się inne punkty osobliwe różne od zq. Wszędzie poniżej rozważamy tylko punkty osobliwe znaku jednowartościowego (funkcja F z) zakłada się, że jest unikalny).

W zależności od zachowania funkcji F z) w z -> zq Istnieją trzy rodzaje punktów osobliwych. Izolowany pojedynczy punkt funkcje zq F z) nazywa:

1) zdejmowany pojedynczy punkt jeśli istnieje skończona granica

2) Polak jeśli istnieje limit

3) istotny punkt, jeśli F z) nie ma ani skończonej, ani nieskończonej granicy dla z-> zq.

PRZYKŁAD 26.1. Pokażmy, że realizowane są wszystkie trzy rodzaje punktów osobliwych. Rozważać f(z)= punkt zq = 0 jest izolowane

punkt osobliwy tej funkcji. Korzystając ze wzoru (22.12), otrzymujemy rozwinięcie

z czego wynika, że ​​istnieje lim fi(z)= 1. Zatem zq = 0 to

jest usuwalnym pojedynczym punktem funkcji fi(z).

Funkcjonować f'j(z) =--- ma w punkcie słupek Zo= 1 ponieważ

2 r" X

Rozważ teraz funkcję )z(z)= e 1 ^ r i pokaż, że zo = O jest istotnym punktem osobliwym tej funkcji. Kiedy starasz się z do zera wzdłuż osi rzeczywistej, lewa i prawa granica funkcji f (z) inny: lim z 1 / 1 = 0, lim z 1 /* = os. Oznacza to,

x->0-0 x->0+0

Co f:i(z) nie ma ani skończonej, ani nieskończonej granicy dla 2 -> Och, czyli zq = 0 jest w zasadzie pojedynczym punktem tej funkcji. (Zauważ, że ponieważ punkt ma tendencję z-iy do zera na funkcji osi urojonej

nie ma żadnych ograniczeń.)

Oczywiście istnieją również nieizolowane punkty osobliwe. Na przykład. funkcja ma bieguny w punktach z n = -, P= ±1, ±2,...

Stąd, Zq = 0 jest nieizolowanym punktem osobliwym tej funkcji: w dowolnym (dowolnym małym) sąsiedztwie tego punktu znajdują się inne punkty osobliwe gp.

Zostawiać zo- końcowy izolowany punkt osobliwy funkcji F z). Następnie F z) jest podobny w jakimś przebitym sąsiedztwie 0 Zo punktu Zo to sąsiedztwo można traktować jako pierścień o promieniu wewnętrznym r = 0. Z Twierdzenia 25.1 w rozważanym sąsiedztwie funkcja F z) można rozszerzyć w serii Laurent (25.2). Pokażemy, że zachowanie funkcji dla 2 -> zq (czyli rodzaj punktu osobliwego zo) zależy od postaci głównej części rozkładu (25.2); ta okoliczność wyjaśnia pochodzenie terminu „część główna”.

TWIERDZENIE 2G.2. Izolowany punkt osobliwy zo funkcji f(z) jest usuwalny wtedy i tylko wtedy, gdy rozwinięcie Lorapa w przebitym sąsiedztwie tego punktu ma oid

tych. składa się tylko z właściwej części, a wszystkie współczynniki części głównej są równe pociskowi.

Dowód. 1. Niech Zo jest usuwalnym pojedynczym punktem. Udowodnijmy, że rozwinięcie funkcji Laurenta F z) ma postać (26.1). Od pojedynczego punktu Zo zdejmowany, wtedy istnieje skończony limit limit f(z) = A. Stąd, F z) ograniczone w jakimś przebitym sąsiedztwie 0 z - zq punktu z oo, tych. )(z) dla wszystkich z z tej okolicy. Weź którąś R. U р /?| i użyj wzorów (25.3) dla współczynników szeregu Laurenta:

Dla współczynników głównej części rozwinięcia n =- 1,-2,... Dla takich wartości P mamy p~n-e 0 w R-> 0. Od wartości R można wybrać dowolnie małe, a następnie Pan~" może być dowolnie mały. Ponieważ |c t,| ^ Pan~n a cn nie zależą od p, to cn = 0 dla oraz= - 1, -2,..., co miało być udowodnione.

2. Załóżmy teraz, że rozwinięcie Laurenta ma postać (26.1). Seria (26.1) to seria potęgowa i. dlatego zbiega się nie tylko w przebitej, ale i w całym sąsiedztwie z-zq w tym kropka z oo; jego ilość S(z) jest analityczny dla z i S(z) = )(z) o 0 zł - Zo R. Dlatego istnieje skończony limit granic )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Dlatego punkt osobliwy zq

Z->Zo Z-*Zo

jednorazowe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Z dowodu twierdzenia wynika, że ​​w przebitym sąsiedztwie 0 z - zo usuwalnego punktu osobliwego funkcja F z) pokrywa się z funkcją S(r), która jest analityczna w całym sąsiedztwie z - z oo . Dlatego jeśli postawimy /(th) = S(zq), następnie bez zmiany wartości funkcji F z) w dowolnym punkcie przebitego sąsiedztwa wykonujemy tę funkcję analityczną w r, tj. „usuń” funkcję. To wyjaśnia termin „usuwalna osobliwość”. Naturalne jest traktowanie takich punktów jako regularnych, a nie osobliwych punktów funkcji F z).

Rozważmy na przykład funkcję

W przykładzie 26.1 pokazano, że Pm (n) = 1. tj. punkt osobliwy

zq = 0 jest usuwalny. Ustawiając /i(0) = 1, eliminujemy w ten sposób osobliwość i uzyskujemy funkcję analityczną w punkcie zq = 0 (i w całej płaszczyźnie C).

Scharakteryzujmy teraz bieguny pod kątem rozszerzeń Laurenta.

Twierdzenie 26.3. Izolowany punkt osobliwy Zo funkcji f(z) jest biegunem wtedy i tylko wtedy, gdy, gdy główna część ekspansji Laurenta z centrum Zq ma tylko skończoną liczbę odrębnych

od zerowych współczynników z n:

Dowód. 1. Niech zq - biegun, czyli lim /( z) = oo.

Udowodnijmy, że rozwinięcie funkcji Laurenta F z) ma postać (2G.2). Od lim F z)= oo. wtedy istnieje przebite sąsiedztwo punktu

Ki zq. w której F z) jest analityczny i nie zawiera zer. Następnie funkcja g(z) = 1 /F z) będzie również analityczny w tej przebitej okolicy, a lim g(z)= 0. Dlatego Zo jest jednorazowy *-? *0

punkt osobliwy funkcji g(z). Zdefiniujmy na nowo g(z) w punkcie Zo, oddanie g(zo)= 0. Wtedy g(z) staje się analityczny w całym sąsiedztwie (nieprzebitego) punktu z 0 , oraz z0 będzie jego izolowanym zerem. Oznacz przez N krotność (kolejność) tego zera. Jak pokazano w §23, w sąsiedztwie punktu funkcja zq g(z) reprezentowalne w formie (patrz (23.2))

oraz (z$) f 0 i y>(z) jest analityczny w jakimś sąsiedztwie punktu zo- Jak ip(z) ciągły w punkcie Zo oraz g>(zo) F 0" to ip(z) również nie ma zer w niektórych okolicach tego punktu. Dlatego funkcja 1 /-p(z) będzie również analityczny w tym sąsiedztwie i dlatego rozwija się w nim w szereg Taylora:

Otwierając nawiasy i zmieniając oznaczenia współczynników wpisujemy ostatnie rozwinięcie w formularzu

gdzie c_jv = 1>o f 0. Zatem główna część rozwinięcia Laurenta f(r) zawiera tylko skończoną liczbę termów; osiągnęliśmy wymaganą równość (26.2).

2. Wpuść przebite sąsiedztwo punktu ten funkcjonować )(z) jest reprezentowana przez rozwinięcie Laurenta (26.2) (w bardziej rozwiniętej formie, patrz (26.3)), którego główna część zawiera tylko skończoną liczbę terminów, oraz z- d" f 0. Musimy to udowodnić Zq - funkcja biegun F z). Mnożenie równości (26,3) przez (G - G o) iV , otrzymujemy funkcję

Szereg w (26.4) jest szeregiem potęgowym zbieżnym do funkcji analitycznej nie tylko w przebitym, ale również w całym sąsiedztwie punktu Zq. Dlatego funkcja h(z) staje się analityczny w tym sąsiedztwie, jeśli rozszerzymy go w th przez ustawienie h(zo)= s_dg f 0. Wtedy

Zatem punkt o jest biegunem, a Twierdzenie 26.3 jest udowodnione.

Wielokrotność (kolejność) funkcji zerowej g(z)= 1//(r) nazywa się biegun porządku funkcja /(r). Jeśli N- rząd bieguna to th, to g(z)= (r - Zo)N ip(z), i idź) F 0 i, jak pokazano w pierwszej części dowodu Twierdzenia 26.3, rozwinięcie f(r) ma postać (26.3), gdzie c_/v f 0. I odwrotnie, jeśli f(r) rozwija się w szereg (26,3) i e-z F 0, to

p.p. N- rząd bieguna funkcji f(r). Zatem, rząd bieguna zq funkcji/(G) jest równa liczbie wiodącego niezerowego współczynnika głównej części rozwinięcia Laurenta w przebitym sąsiedztwie punktu zq(tj. równa takiej liczbie N, co s_dg f 0 i sp= 0 w P > N).

Udowodnijmy następujące twierdzenie, które jest wygodne) dla aplikacji.

Wniosek 26.4. Punkt zq jest biegunem rzędu N fikcji/(G) wtedy i tylko wtedy gdy/(G) reprezentować w formie

gdzie h(z) jest funkcją analityczną w sąsiedztwie punktu ten i h(zo) f 0.

Dowód. Funkcjonować cp(z) = l/h(z) jest analityczny w pewnym sąsiedztwie punktu r. Warunek z wniosku 26.4 jest równoważny z następującym:

Więc zq - krotność zero N Funkcje g(z). i stąd biegun wielokrotności N funkcje /(2).

II przykład 26.5. Znajdź izolowane punkty osobliwe funkcji i określić ich rodzaj.

D e u k cja. Punkty, w których (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jeśli z 2 L- 1 = 0 następnie 2 = ±g jeśli (z 4- H) 2 = 0, to z= -3. Dlatego funkcja ma trzy punkty osobliwe z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Rozważ z:

G - słup pierwszego rzędu (użyliśmy Corollary 26,4). Podobnie można wykazać, że 22 = -i także słup pierwszego rzędu. Na 2h mamy:

Przejdźmy do rozważenia kwestii zasadniczo pojedynczych.

Twierdzenie 26.6. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest zasadniczo osobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta wyśrodkowana w zq ma nieskończenie wiele różnych od. zero, współczynniki z p.

Dowód. Twierdzenie 26.6 wynika bezpośrednio z Twierdzeń 26.2 i 26,3. Rzeczywiście, jeśli punkt zq jest w zasadzie liczba pojedyncza, to główna część rozwinięcia Laurenta nie może być nieobecna ani zawierać skończonej liczby wyrazów (w przeciwnym razie punkt Zq będzie albo zdejmowany, albo słupek). Dlatego liczba terminów w części głównej musi być nieskończona.

I odwrotnie, jeśli główna część zawiera nieskończenie wiele członków, to Zq nie może być ani punktem zdejmowanym, ani biegunem. W konsekwencji ten punkt jest zasadniczo pojedynczy.

Zgodnie z definicją punkt zasadniczo osobliwy charakteryzuje się tym, że funkcja f(2) nie ma ani skończonej, ani nieskończonej granicy dla z ->zq. Pełniejsze wyobrażenie o tym, jak nieregularne jest zachowanie funkcji w sąsiedztwie zasadniczo osobliwego punktu, daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 26,7 (twierdzenie Sochockiego). Jeżeli zq jest w istocie liczbą pojedynczą, to punkt funkcji f(z), to dla dowolnej liczby zespolonej L, w tym A = oo, istnieje ciąg punktów z n taki, że z n -> zo i Lim f(zł) = ALE.

n->os

Dowód. Rozważ najpierw sprawę A = z oo. W pierwszej części dowodu Twierdzenia 2G.2 ustaliliśmy, że if F z) jest ograniczony w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu r0, to wszystkie współczynniki c, n = - 1, - 2,... części głównej są równe zeru (w konsekwencji osobliwość w th jest usuwalna). Ponieważ z założenia r0 jest zasadniczo osobliwym punktem, funkcja f(r) jest nieograniczona w każdym przebitym sąsiedztwie punktu r0. Weźmy jakieś wąskie sąsiedztwo 0 Z takie, że f(zi) > 1 (jeśli |/(r)| z - zo R/2 jest punkt z-2 , gdzie |/(dd)| > 2 itd.: w przebitej okolicy O 71. Jest oczywiste, że rn -e go i lim /(r«) = oo. Zatem w przypadku A = oo Twierdzenie 26,7

udowodniony.

Niech teraz f z oo. Załóżmy najpierw, że jest przebita okolica 0

= -rr---- będzie analityczny w tym przebitym sąsiedztwie, a w konsekwencji

/(G) - ALE

w konsekwencji r jest izolowanym punktem osobliwym funkcji Φ(r). Pokażmy. że r0 jest zasadniczo pojedynczym punktem Φ(r). Niech będzie źle. Wtedy istnieje granica lim Φ(r), skończona lub nieskończona. Ponieważ

/(r) = A + , to Hsh /(r) również istnieje, co jest sprzeczne z warunkiem

F(g) ~ :-*z 0

widok twierdzenia. Zatem r0 jest zasadniczo osobliwym punktem funkcji Φ(r). Zgodnie z tym, co zostało udowodnione powyżej, istnieje ciąg punktów r n taki, że r n o i lim Φ(r n) = oo. Stąd

Udowodniliśmy wymagane twierdzenie przy założeniu, że f(r) F A w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu r. Załóżmy teraz, że to nieprawda, tj. w dowolnym dowolnie małym przebitym sąsiedztwie punktu th taki punkt znajduje się G",że f(r") = A. Wtedy dla dowolnego P w przebitym sąsiedztwie 0 f(zu) = L. Zatem wymagane twierdzenie jest prawdziwe P-ty

we wszystkich przypadkach i twierdzenie 26.7 jest udowodnione.

Zgodnie z Twierdzeniem (Sokhotsky'ego) 26.7, w dowolnym (arbitralnie małym) przebitym sąsiedztwie zasadniczo osobliwego punktu funkcja f(r) przyjmuje wartości arbitralnie zbliżone do dowolnej liczby w rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej C.

Do badania izolowanych punktów osobliwych często przydatne są dobrze znane rozwinięcia Taylora podstawowych funkcji elementarnych.

PRZYKŁAD 2G.8. Określ typ punktu osobliwego zq = 0 dla funkcji

Rozwiązany i e. Rozszerzamy licznik i mianownik w szeregu Taylora w potęgach r. Podstawianie do (22.11) 3 z zamiast r i odejmowania 1 otrzymujemy

Używając (22.12) otrzymujemy rozwinięcie mianownika:

Serie w tych rozszerzeniach zbiegają się w całej złożonej płaszczyźnie €. Mamy

i /2(2) są analogiczne w sąsiedztwie punktu zo = 0 (a nawet w całej płaszczyźnie) i /2(20) F 0, to h(z) jest również analityczny w pewnym sąsiedztwie punktu gF 0. Zgodnie z wnioskiem 26.4 punkt Zo = 0 jest biegunem porządku N = 4.

II przykład 26.9. Znajdź punkty osobliwe funkcji F z)= sin j - i określ ich rodzaj.

P e in e i e. Funkcja ma jeden końcowy punkt osobliwy zq = 1. W innych punktach z C funkcja w =--- analityczne; stąd funkcja grzechu w będzie analityczny.

Podstawiając w rozwinięciu sinusa (22.12) - zamiast r otrzymujemy

Otrzymaliśmy rozwinięcie funkcji sin w szeregu Laurenta w przebitym sąsiedztwie punktu 20 = 1. Ponieważ wynikowe rozwinięcie zawiera nieskończenie wiele wyrazów o ujemnych potęgach (r - 1), to zq = 1 jest zasadniczym punktem osobliwym (w tym przypadku rozwinięcie Laurenta składa się tylko z części głównej i brakuje właściwej części).

Należy zauważyć, że w tym przypadku również możliwe było ustalenie charakteru osobliwości bezpośrednio z definicji, bez uciekania się do rozszerzania serii. Rzeczywiście, istnieją sekwencje (r") i (2") zbieżne do Zo= 1 i takie, że f(z" n)= 1, /(2") = 0 (określ takie sekwencje samodzielnie). F z) nie ma limitu, kiedy z -> 1 i stąd punkt zq - 1 jest zasadniczo liczbą pojedynczą.

Wprowadźmy pojęcie rozwinięcia Laurenta funkcji w sąsiedztwie punktu Zq = 00 i rozważ związek między rozwinięciem a naturą osobliwości w tym punkcie. Zauważ, że definicje izolowanego punktu osobliwego i jego typ (zdejmowany, biegunowy lub zasadniczo osobliwy) przenoszą się do przypadku zq = oc bez zmian. Ale twierdzenia 26.2. 26,3 i 26.6, związane z charakterem rozszerzeń Laurenta, muszą zostać zmienione. Chodzi o to, że członkowie c n (z - 2o) pkt. P= -1,-2,..., część główna, określająca „nieregularność” funkcji w pobliżu punktu końcowego Zq, ponieważ 2 ma tendencję do oo, będą się zachowywać „poprawnie” (z tendencją do 0). Wręcz przeciwnie, członkowie regularnej części z P= 1,2,... będzie dążyć do oo; określają charakter osobliwości w Zq = oo. Dlatego główną częścią ekspansji w sąsiedztwie oo będą terminy o pozytywnych mocach P, i poprawny - z negatywem.

Wprowadźmy nową zmienną w = 12. Funkcjonować telewizor= 1/2, rozszerzone tak, że u(oo) = 0, jeden do jednego i konformalnie odwzorowuje sąsiedztwo z > R zwrotnica zq = 00 w sąsiedztwie |w| wq = 0. Jeśli funkcja F z) analityka w przebitej okolicy R z Zq = oc, to funkcja G(w) = f(l/w) będzie analityczne w żółtym sąsiedztwie 0 wo = 0. Ponieważ dla 2 -> oo będzie w-> 0, to

Więc G(w) ma w punkcie wq = 0 jest osobliwością tego samego typu co F z) w punkcie Zq = 00. Rozwińmy funkcję G(w) w szeregu Laurenta w przebitym sąsiedztwie punktu wo = 0:

Sumy po prawej stronie (26,5) reprezentują odpowiednio właściwą i główną część rozwinięcia. Przejdźmy do zmiennej z, zastępowanie w = 1/z:

oznaczający P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ ” \u003d z i zauważając, że G(l/z) = F z), otrzymujemy

Rozkład (2G.G) nazywa się Rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w przebitym sąsiedztwie punktu zq= oo. Pierwsza suma w (2G.6) nazywa się prawa część, a druga suma to Głównym elementem ten rozkład. Ponieważ te sumy odpowiadają poprawnym i głównym częściom rozwinięcia (26,5), rozwinięcie (26.6) spełnia analogie twierdzeń 26,2, 26,3 i 26,6. Zatem następujące twierdzenie jest analogiem twierdzenia 26.2.

Twierdzenie 26.10. Izolowany pojedynczy punktZq - os (Funkcje/(G) jest usuwalny wtedy i tylko wtedy, gdy rozwinięcie Laurenta w przebitym sąsiedztwie tego punktu ma postać

p.p. składa się tylko z właściwej części.

Wstawiamy /(oo) = współ. Funkcja określona szeregiem (26,7) zbieżnym w sąsiedztwie z > R punkty 2o \u003d oc, zwane analityczny w punkcie z o = oo. (Zauważ, że ta definicja jest równoważna analityczności funkcji G(w) w punkcie nie = 0.)

Przykład 26.11. Zbadaj punkt osobliwy zq = oo funkcji

Ponieważ granica jest skończona, więc zo = oo jest usuwalnym punktem osobliwym funkcji f(r). Jeśli postawimy /(oo) = lim J z)= 0, to F z) stanie się

tik w punkcie Zo= os. Pokażmy, jak znaleźć odpowiednie rozwinięcie (26.7). Przejdźmy do zmiennej w = 1 F z. Zastępowanie z= 1 /?e, otrzymujemy

(ostatnia równość obowiązuje w przebitym sąsiedztwie punktu ww = 0, ale rozszerzymy definicję (7(0) = 0). Wynikowa funkcja ma punkty osobliwe w =± ja, w =-1/3 i w punkcie Wq = 0 jest analityczne. Rozszerzenie funkcji G(w) przez stopnie w(jak zrobiono w Przykładzie 25.7) i podstawiając do wynikowego szeregu potęgowego w = 1/z można uzyskać rozwinięcie (26,7) funkcji F z).

Twierdzenie 26.3 dla przypadku Zo= oo zostanie przepisane w następującej formie.

Twierdzenie 26.12. Izolowany pojedynczy punkt idź = os funkcja f(z) jest biegunem wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta (26.6) ma tylko skończoną liczbę niezerowych współczynników z":

Tutaj seria jest częścią regularną, a wielomian w nawiasie jest główną częścią rozszerzenia. Wielokrotność bieguna w oc jest zdefiniowana jako krotność bieguna wq = 0 funkcji G(z).Łatwo zauważyć, że krotność bieguna pokrywa się z liczbą N w (26,8).

Qp | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Zadanie. Pokaż, że funkcja F z) =-- -- ma w

punkt zo = oo słup zamów 3.

Twierdzenie 26.6 o zasadniczym punkcie osobliwym jest przepisywane dla przypadku Zo= os prawie dosłownie i nie rozwodzimy się nad tym szczegółowo.

punkt osobliwy

w matematyce.

1) Punkt osobliwy krzywej dany równaniem F ( x, y) = 0, - punkt M 0 ( x 0 , y 0), w którym obie pochodne cząstkowe funkcji F ( x, y) znikają:

Jeżeli dodatkowo nie wszystkie drugie pochodne cząstkowe funkcji F ( x, y) w punkcie M 0 są równe zeru, to O. t. nazywa się podwójnym. Jeżeli wraz z zanikiem pierwszych pochodnych w punkcie M 0 znikają wszystkie drugie pochodne, ale nie wszystkie trzecie pochodne są równe zeru, to O. t. nazywamy potrójnym i tak dalej. Przy badaniu struktury krzywej w pobliżu podwójnego O. t. ważną rolę odgrywa znak wyrażenia

Jeśli Δ > 0, to O. t. nazywamy izolowanym; na przykład krzywa y 2 - x 4 + 4x 2= 0 pochodzenie jest izolowanym O. t. (patrz Ryż. jeden ). Jeśli Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2x2 - a 4= 0 początek współrzędnych jest węzłem O. t. (patrz Ryż. 2 ). Jeśli Δ = 0, to krzywa O. t. jest albo izolowana, albo charakteryzuje się tym, że różne gałęzie krzywej mają w tym punkcie wspólną styczną, na przykład: styczną i tworzą punkt, jak krzywa y 2 - x 3= 0 (patrz Ryż. 3 , a); b) wierzchołek II rodzaju - różne gałęzie łuku znajdują się po tej samej stronie wspólnej stycznej, podobnie jak łuk (y - x 2)2 - x 5= 0 (patrz Ryż. 3 , b); c) punkt kontaktu własnego (dla krzywej y 2 - x 4= 0 początek jest punktem kontaktu z samym sobą; (cm. Ryż. 3 , w). Wraz z określonym O. t. istnieje wiele innych O. t. o specjalnych nazwach; na przykład punktem asymptotycznym jest wierzchołek spirali o nieskończonej liczbie zwojów (patrz ryc. Ryż. 4 ), punkt przerwania, punkt narożny itp.

2) Punkt osobliwy równania różniczkowego to punkt, w którym zarówno licznik, jak i mianownik z prawej strony równania różniczkowego znikają jednocześnie (patrz Równania różniczkowe)

gdzie P i Q są funkcjami ciągle różniczkowanymi. Zakładając, że O. t. znajduje się w początku współrzędnych i korzystając ze wzoru Taylora (Patrz wzór Taylora), możemy przedstawić równanie (1) w postaci

gdzie P 1 ( x, y) i Q1 ( x, y) są nieskończenie małe w stosunku do

Mianowicie, jeśli λ 1 ≠ λ 2 i λ 1 λ 2 > 0 lub λ 1 = λ 2, to O. t. jest węzłem; wchodzą do niego wszystkie krzywe całkowe przechodzące przez punkty odpowiednio małego sąsiedztwa węzła. Jeżeli λ 1 ≠ λ 2 i λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 i β ≠ 0, to O. t. jest ogniskiem; wszystkie krzywe całkowe przechodzące przez punkty w wystarczająco małym sąsiedztwie ogniska są spiralami o nieskończonej liczbie zwojów w dowolnym dowolnie małym sąsiedztwie ogniska. Jeżeli ostatecznie λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, to charakter O. t. nie jest określony przez wyrażenia liniowe w rozwinięciach P ( x, y) i Q ( x, y), podobnie jak we wszystkich powyższych przypadkach; tutaj O. t. może być ogniskiem lub centrum, albo może mieć bardziej złożony charakter. W sąsiedztwie środka wszystkie krzywe całkowe są zamknięte i zawierają środek wewnątrz siebie. Na przykład punkt (0, 0) jest węzłem dla równań w" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; patrz Ryż. 5 , a) i tak" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; patrz Ryż. 5 , b), siodło do równania y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. Ryż. 6 ), skupienie na równaniu y” =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. Ryż. 7 ) i środek równania y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. Ryż. osiem ).

Jeśli x, y) i Q ( x, y) są analityczne, sąsiedztwo O. t. wyższego rzędu można podzielić na obszary: D 1 - wypełnione krzywymi całkowitymi, których oba końce są zawarte w O. t. (regiony eliptyczne), D 2 - wypełnione z krzywymi całkowitymi, których jeden koniec jest zawarty w O. t. (regiony paraboliczne), a D 3 - regiony ograniczone dwiema krzywymi całkowitymi zawartymi w O. t., pomiędzy którymi znajdują się krzywe całkowe typu hiperboli (regiony hiperboliczne) (zob. Ryż. dziewięć ). Jeśli nie ma krzywych całkowych wchodzących w punkt O., to punkt O. nazywany jest punktem typu stabilnego. Sąsiedztwo stabilnego O. t. składa się z zamkniętych krzywych integralnych zawierających O. t. wewnątrz siebie, pomiędzy którymi znajdują się spirale (patrz ryc. Ryż. dziesięć ).

Badanie równań różniczkowych O. t., czyli w istocie badanie zachowania rodzin krzywych całkowych w sąsiedztwie O. t. M. Lyapunowa, A. Poincaré i innych).

3) Punktem osobliwym jednowartościowej funkcji analitycznej jest punkt, w którym naruszona jest analityczność funkcji (patrz Funkcje analityczne). Jeśli istnieje sąsiedztwo O. t. a, wolny od innych O. t., to punkt a nazywa się izolowanym O. t. If a jest izolowanym O. t. i istnieje skończone a nazywa się usuwalnym O. t. f(a)= b, jest to możliwe do osiągnięcia a stanie się zwykłym punktem korygowanej funkcji. Na przykład kropka z= 0 jest zdejmowanym OT dla funkcji f 1 ( z) = f(z), jeśli z≠ 0 i f 1(0),=1, kropka z= 0 to zwykły punkt [ f 1 (z) jest analityczny w punkcie z= 0]. Jeśli a- izolowane O. t. i a nazywamy biegunem lub nieistotnie osobliwym punktem funkcji f(z), jeśli działa seria Laurenta) f(z) w sąsiedztwie izolowanego O. t. nie zawiera potęg ujemnych z - a, jeśli a- wymienny O. t., zawiera skończoną liczbę ujemnych potęg z - a, jeśli a- słup (w tym przypadku kolejność słupa) R jest definiowany jako najwyższa potęga a - zasadniczo pojedynczy punkt. Na przykład dla funkcji

p = 2, 3, …)

kropka z= 0 to biegun rzędu R, dla funkcji

kropka z= 0 jest podstawowym punktem osobliwym.

Na granicy okręgu zbieżności szeregu potęgowego musi znajdować się co najmniej jeden mb funkcji reprezentowanej wewnątrz tego okręgu przez dany szereg potęgowy. Wszystkie punkty brzegowe dziedziny istnienia jednowartościowej funkcji analitycznej (granica naturalna) są punktami brzegowymi tej funkcji. Zatem wszystkie punkty okręgu jednostkowego | z| = 1 są specjalne dla funkcji

W przypadku wielowartościowej funkcji analitycznej pojęcie „O. t." trudniejsze. Oprócz O. t. w oddzielnych arkuszach powierzchni Riemanna funkcji (czyli O. t. jednowartościowych elementów analitycznych), każdy punkt rozgałęzienia jest również O. t. funkcji. Izolowane rozgałęzienia powierzchni Riemanna (tj. rozgałęzienia takie, że w niektórych z ich sąsiedztw nie ma innych funkcji O.t. w żadnym liściu) są klasyfikowane w następujący sposób. Jeżeli a jest izolowanym punktem rozgałęzienia o skończonym porządku i istnieje skończone a, nazywamy to biegunem krytycznym. Jeśli a jest izolowanym punktem rozgałęzienia nieskończonego porządku, a a nazywa się transcendentalnym O. t. Wszystkie inne izolowane punkty rozgałęzienia nazywane są krytycznymi zasadniczo pojedynczymi punktami. Przykłady: kropka z= 0 jest zwykłym punktem krytycznym funkcji f ( z) = log z i krytyczny istotny punkt osobliwy funkcji f (z) = log grzechu z.

Każde O. t., z wyjątkiem usuwalnego, jest przeszkodą w kontynuacji analitycznej, tj. Kontynuacja analityczna wzdłuż krzywej przechodzącej przez nieusuwalne O. t. jest niemożliwa.

Wielka radziecka encyklopedia. - M.: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, co „Punkt specjalny” znajduje się w innych słownikach:

Punkty tutaj. Zobacz także punkt osobliwy (równania różniczkowe). Cecha lub osobliwość w matematyce to punkt, w którym obiekt matematyczny (zwykle funkcja) nie jest zdefiniowany lub zachowuje się nieregularnie (na przykład punkt, w którym ... ... Wikipedia

Funkcja analityczna to punkt, w którym naruszane są warunki analityczności. Jeżeli funkcja analityczna f(z) jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu z0 wszędzie… Encyklopedia fizyczna

Funkcja analityczna to punkt, w którym zostaje naruszona analityczność funkcji ... Wielki słownik encyklopedyczny

punkt osobliwy- — [Ja.N. Ługiński, MS Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] Tematy elektrotechniki, podstawowe pojęcia EN punkt osobliwy ... Podręcznik tłumacza technicznego

1) OT funkcji analitycznej f(z) jest przeszkodą w kontynuacji analitycznej elementu funkcji f(z) zmiennej zespolonej z wzdłuż pewnej ścieżki na płaszczyźnie tej zmiennej. Niech funkcja analityczna f(z) będzie określona przez jakiś ... ... Encyklopedia matematyczna

Funkcja analityczna, punkt, w którym zostaje naruszona analityczność funkcji. * * * PUNKT POJEDYNCZY PUNKT POJEDYNCZY funkcji analitycznej, punkt, w którym zostaje naruszona analityczność funkcji ... słownik encyklopedyczny

punkt osobliwy- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. osobliwy punkt vok. osobliwy punkt, m rus. punkt osobliwy, fpranc. cząstka punktowa, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

Szeregi Taylora służą jako efektywne narzędzie do badania funkcji analitycznych w okręgu zol W badaniu funkcji analitycznych w obszarze pierścieniowym okazuje się, że możliwe jest konstruowanie rozwinięć w dodatnich i ujemnych potęgach (z - zq) forma, która uogólnia rozwinięcia Taylora. Szereg (1), rozumiany jako suma dwóch szeregów, nazywamy szeregiem Laurenta. Jest oczywiste, że obszar zbieżności szeregu (1) jest wspólną częścią obszarów zbieżności każdego z szeregu (2). Znajdźmy ją. Obszar zbieżności pierwszego szeregu to okrąg, którego promień jest określony wzorem Cauchy-Hadamarda Wewnątrz okręgu zbieżności szereg (3) zbiega się do funkcji analitycznej, a w dowolnym okręgu o mniejszym promieniu jest zbieżny bezwzględnie i jednolicie. Szereg drugi jest szeregiem potęgowym względem zmiennej Szereg (5) jest zbieżny w swoim okręgu zbieżności do funkcji analitycznej zmiennej zespolonej m-*oo, a w dowolnym okręgu o mniejszym promieniu jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie, co oznacza, że ​​obszar zbieżności szeregu (4) jest wyglądem okręgu - Jeżeli wtedy istnieje wspólny obszar zbieżności szeregu (3) i (4) - kołowy pierścień, w którym szereg (1) zbiega się do funkcji analitycznej. Co więcej, w każdym pierścieniu zbiega się absolutnie i jednorodnie. Przykład 1. Wyznacz obszar zbieżności szeregu rad Laurenta Pojedyncze punkty osobliwe i ich klasyfikacja (z), która jest jednowartościowa i apolityczna w pierścieniu kołowym, można przedstawić w tym pierścieniu jako sumę szeregu zbieżnego, którego współczynniki Cn są jednoznacznie określone i obliczone za pomocą wzorów gdzie 7p jest okręgiem o promieniu m Ustalmy dowolny punkt z wewnątrz pierścienia R Konstruujemy okręgi o środkach w punkcie r, których promienie spełniają nierówności i rozważamy nowy pierścień.Zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego dla dziedziny wielokrotnie połączonej mamy Przekształćmy osobno każdą z całek w sumie (8). Dla wszystkich punktów £ na okręgu 7d* zachowana jest zależność de suma jednostajnie zbieżnego szeregu 1 1. Dlatego ułamek ^ można przedstawić w vi- /" / W nieco inny sposób dla wszystkich punktów ξ na koło ir> mamy zależność Dlatego ułamek ^ można przedstawić jako sumę jednostajnie zbieżnego szeregu we wzorach (10) i (12) są funkcjami analitycznymi w pierścieniu kołowym. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego, wartości odpowiednich całek nie zmieniają się, jeśli okręgi 7/r i 7r/ zostaną zastąpione dowolnym okręgiem. To pozwala nam łączyć wzory (10) i (12).Zastępując całki po prawej stronie wzoru (8) odpowiednio ich wyrażeniami (9) i (11), otrzymujemy pożądane rozwinięcie.Ponieważ z jest arbitralne punktu pierścienia, wynika z tego, że szereg (14) jest zbieżny do funkcji f(z) wszędzie w tym pierścieniu, aw każdym pierścieniu szereg jest zbieżny do tej funkcji absolutnie i jednostajnie. Wykażmy teraz, że dekompozycja postaci (6) jest wyjątkowa. Załóżmy, że zachodzi jeszcze jeden rozkład.Wtedy wszędzie wewnątrz pierścienia R mamy Na obwodzie szeregi (15) zbiegają się jednostajnie. Pomnóż obie strony równości (gdzie m jest stałą liczbą całkowitą i integruj obie serie termin po terminie. W rezultacie otrzymujemy lewą stronę, a po prawej - Csh. Tak więc (4, \u003d St. Ponieważ m jest dowolną liczbą, to ostatnia seria równości (6), której współczynniki są obliczane ze wzorów (7), nazywana jest szeregiem Laurenta funkcji f(z) w pierścieniu 7) dla współczynników szeregu Laurenta są rzadko stosowane w praktyce, ponieważ z reguły wymagają kłopotliwych obliczeń.Zazwyczaj, jeśli to możliwe, stosuje się gotowe rozwinięcia Taylora funkcji elementarnych.Ze względu na unikalność rozwinięcia, każdy słuszny sposób prowadzi do tego samego rezultatu. Przykład 2 Rozważ rozwinięcia funkcji różnych dziedzin w szereg Laurenta, zakładając, że Fuiscius /(r) ma dwa punkty osobliwe: Zatem istnieją trzy dziedziny pierścieniowe i wyśrodkowany w punkcie r = 0, w którym funkcja f(r) jest analityczna: a) okrąg jest zewnętrzną stroną okręgu (ryc. 27). Znajdźmy rozwinięcia Laurenta funkcji /(z) w każdym z tych regionów. Reprezentujemy /(z) jako sumę ułamków elementarnych a) Relacja przekształcenia koła (16) w następujący sposób Korzystając ze wzoru na sumę członów postępu geometrycznego, otrzymujemy b) Pierścień dla funkcji -z pozostaje zbieżny w tym pierścieniu, ponieważ Szereg (19) dla funkcji j^j dla |z| > 1 odbiega. Dlatego przekształcamy funkcję /(z) w następujący sposób: stosując ponownie wzór (19) otrzymujemy, że Ten szereg jest zbieżny dla. Podstawiając rozwinięcia (18) i (21) do zależności (20), otrzymujemy c) Zewnętrzność okręgu dla funkcji -z przy |z| > 2 rozbieżności i szereg (21) dla funkcji Reprezentujmy funkcję /(z) w postaci: /<*> Używając wzorów (18) i (19), otrzymujemy OR 1 Ten przykład pokazuje, że dla tej samej funkcji f(z) rozwinięcie Laurenta, ogólnie mówiąc, ma różną postać dla różnych pierścieni. Przykład 3. Znajdź rozkład 8 szeregu Laurenta funkcji szereg Laurenta Odosobnione punkty osobliwe i ich klasyfikacja w obszarze pierścieniowym A Reprezentację funkcji f (z) wykorzystujemy w postaci: i transformujemy drugi wyraz wzór na sumę wyrazów postępu geometrycznego, otrzymujemy Podstawiając znalezione wyrażenia do wzoru (22), mamy Przykład 4. Rozwiń funkcję w szeregu Laurenta w sąsiedztwie cienkiego zq = 0. Dla dowolnego złożonego , mamy Niech To rozwinięcie obowiązuje dla dowolnego punktu z Ф 0. W tym przypadku obszar pierścieniowy jest całą płaszczyzną zespoloną z jednym odrzuconym punktem z - 0. Obszar ten można zdefiniować za pomocą następującej zależności: Ta funkcja jest analityczna w rejonie Ze wzorów (13) na współczynniki szeregu Laurenta, analogicznie jak w poprzednim akapicie, można otrzymać nierówności Kouiwa. jeśli funkcja f(z) jest ograniczona na okręgu, gdzie M jest stałą), to punkty osobliwe izolowane Punkt zo nazywamy izolowanym punktem osobliwym funkcji f(z), jeśli istnieje pierścieniowe sąsiedztwo punktu ( zbiór ten bywa też nazywany przebitym sąsiedztwem punktu 2o), w którym funkcja f(z) jest jednowartościowa i analityczna. W samym punkcie zo funkcja albo nie jest zdefiniowana, albo nie jest jednowartościowa i analityczna. Rozróżnia się trzy typy punktów osobliwych w zależności od zachowania funkcji /(z) przy zbliżaniu się do punktu zo. Mówi się, że izolowany punkt osobliwy jest: 1) usuwalny, jeśli istnieje skończony 2) pmusach, jeśli 3) zasadniczo osobliwym punktem, jeśli funkcja f(z) nie ma granic dla Twierdzenie 16. Izolowany punkt osobliwy z0 funkcji f(z) jest usuwalnym punktem osobliwym wtedy i tylko wtedy, gdy rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zo nie zawiera części głównej, tj. ma postać Let zo - zdejmowany punkt osobliwy. Wtedy istnieje jedynka skończona, a więc funkcja f(z) jest ograniczona w prokologicznym sąsiedztwie punktu r. Wyznaczamy na mocy nierówności Cauchy'ego Ponieważ można wybrać ρ tak małą, jak nam się podoba, to wszystkie współczynniki przy ujemnych potęgach (z - 20) są równe zeru: I odwrotnie, niech rozwinięcie funkcji /(r) w sąsiedztwie punktu zq zawiera tylko poprawną część, tzn. ma postać (23) iw konsekwencji jest Taylorem. Łatwo zauważyć, że dla z -* z0 funkcja /(r) ma wartość graniczną: Twierdzenie 17. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest usuwalny wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja J(z) jest ograniczony w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu zq, Zgmechai nie. Niech r0 będzie usuwalnym punktem osobliwym f(r). Zakładając, że otrzymujemy, że funkcja f(r) jest analityczna w jakimś okręgu o środku w punkcie th. To określa nazwę punktu - jednorazowy. Twierdzenie 18. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest biegunem wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zawiera liczbę skończoną (i dodatnią) niezerowych wyrazów, tj. ma postać 4 Niech z0 będzie biegunem. Od tego czasu istnieje przebite sąsiedztwo punktu z0, w którym funkcja f(z) jest analityczna i niezerowa. Wtedy funkcja analityczna jest zdefiniowana w tym otoczeniu i stąd punkt zq jest usuwalnym punktem osobliwym (zero) funkcji lub gdzie h(z) jest funkcją analityczną, h(z0) ∩ 0. jest analitycznym w otoczeniu punkt zq, a więc skąd to otrzymujemy Załóżmy teraz, że funkcja f(z) ma rozkład postaci (24) w przebitym sąsiedztwie punktu zo. Oznacza to, że w tym sąsiedztwie funkcja f(z) jest analityczna razem z funkcją. Dla funkcji g(z) obowiązuje rozwinięcie, z którego jasno wynika, że ​​zq jest usuwalnym punktem osobliwym funkcji g(z) i istnieje Następnie funkcja dąży do 0 - bieguna funkcji Jest jeszcze jeden prosty fakt. Punkt Zq jest biegunem funkcji f(z) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcję g(z) = y można rozszerzyć do funkcji analitycznej w sąsiedztwie punktu zq przez ustawienie g(z0) = 0. bieguna funkcji f(z) nazywamy rzędem zera funkcji jfa. Twierdzenia 16 i 18 implikują następujące twierdzenie. Twierdzenie 19. Izolowana osobliwa cienka jest zasadniczo osobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy główna część rozwinięcia Laurenta w przebitym sąsiedztwie tego punktu zawiera nieskończenie wiele niezerowych członów. Przykład 5. Punktem osobliwym funkcji jest zo = 0. Mamy odosobnione punkty osobliwe serii Laurenta i ich klasyfikacja Dlatego zo = 0 jest usuwalnym punktem osobliwym. Rozwinięcie funkcji /(z) w szeregu Laurenta w pobliżu punktu zerowego zawiera tylko poprawną część: Przykład7. f(z) = Punktem osobliwym funkcji f(z) jest zq = 0. Rozważ zachowanie tej funkcji na osi rzeczywistej i urojonej: na osi rzeczywistej w punkcie x 0, na osi urojonej Dlatego ani skończone, ani nieskończona granica f(z) przy z -* 0 nie istnieje. Stąd punkt r0 = 0 jest zasadniczo osobliwym punktem funkcji f(z). Znajdźmy rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zerowego. Dla dowolnego kompleksu C mamy ustalone. Następnie rozszerzenie Laurenta zawiera nieskończoną liczbę wyrazów o ujemnych potęgach z.

Definicja. Punkt osobliwy funkcji nazywa się odosobniony, jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu znajduje się funkcja analityczna (czyli analityczna w pierścieniu).

Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych funkcji jest związana z zachowaniem tej funkcji w sąsiedztwie punktu osobliwego.

Definicja. Punkt nazywa się jednorazowe punkt osobliwy funkcji, jeśli istnieje skończona granica tej funkcji w .

Przykład 5 Pokaż, że funkcja ma w punkcie usuwalną osobliwość.

Decyzja. Przypominając pierwszą godną uwagi granicę, obliczamy

Oznacza to, że dana funkcja ma w punkcie usuwalną osobliwość.

Zadanie 4. Pokaż, że punkt jest usuwalny dla .

Definicja. Punkt nazywa się Polak funkcja , jeśli ta funkcja rośnie w nieskończoność dla , to znaczy .

Zwróćmy uwagę na związek między pojęciami zera i bieguna funkcji analitycznej. Reprezentujmy funkcję jako .

Jeśli punkt jest prostym zerem funkcji, to funkcja ma prosty biegun

Jeżeli punkt jest porządkiem zero dla funkcji, to dla funkcji jest to biegun zamówienie.

Przykład 6 Pokaż, że funkcja ma w punkcie biegun trzeciego rzędu.

Decyzja. Zakładając , że otrzymamy . Ponieważ dążymy do zera, zgodnie z jakimkolwiek prawem, mamy . Następnie , a wraz z nim sama funkcja rośnie w nieskończoność. Dlatego , czyli punkt osobliwy jest biegunem. Dla funkcji ten punkt jest oczywiście potrójnym zerem. Stąd dla tej funkcji punkt jest biegunem trzeciego rzędu.

Zadanie 5. Pokaż, że punkt ma prosty biegun.

Definicja. Punkt nazywa się zasadniczo wyjątkowy punktu funkcji, jeśli w tym punkcie nie ma ani skończonej, ani nieskończonej granicy funkcji (zachowanie funkcji nie jest zdefiniowane).

Niech będzie istotnym punktem osobliwym funkcji . Wtedy dla dowolnej z góry przypisanej liczby zespolonej istnieje taki ciąg punktów zbieżnych do , wzdłuż którego wartości mają tendencję do : ( Twierdzenie Sochockiego).

Przykład 7 Pokaż, że funkcja w punkcie ma zasadniczą osobliwość.

Decyzja. Rozważ zachowanie danej funkcji w pobliżu punktu. Bo wzdłuż dodatniej części osi rzeczywistej (tj.) mamy i ; jeśli wzdłuż ujemnej części osi rzeczywistej (tj.), to i . Więc nie ma ograniczeń dla . Z definicji funkcja ma w pewnym momencie istotną osobliwość.

Rozważmy zachowanie funkcji w punkcie zero z punktu widzenia twierdzenia Sochockiego. Niech będzie dowolną liczbą zespoloną inną niż zero i nieskończoność.

Od równości znajdujemy . Zakładając , otrzymujemy ciąg punktów , . Oczywiście, . W każdym punkcie tej sekwencji funkcja jest równa , a zatem

Zadanie 6. Pokaż, że funkcja ma w pewnym momencie istotną osobliwość.

Punkt w nieskończoności jest zawsze uważany za specjalny dla funkcji. Punkt nazywany jest izolowanym punktem osobliwym funkcji, jeśli ta funkcja nie ma innych punktów osobliwych poza pewnym okręgiem, którego środek znajduje się w punkcie początkowym.

Klasyfikację pojedynczych punktów osobliwych można również rozszerzyć na przypadek.

Przykład 8 Pokaż, że funkcja ma podwójny biegun w nieskończoności.

Decyzja. Rozważmy funkcję , gdzie jest funkcją analityczną w sąsiedztwie punktu , oraz . Oznacza to, że funkcja ma podwójne zero w nieskończoności, ale wtedy dla funkcji punkt jest biegunem podwójnym.

Przykład 9 Pokaż, że funkcja ma istotną osobliwość w nieskończoności.

Decyzja. Podobny problem jest rozważany w pr.7. Rozważ zachowanie funkcji w sąsiedztwie nieskończenie odległego punktu. Wzdłuż dodatniej części osi rzeczywistej i wzdłuż ujemnej części osi rzeczywistej. Oznacza to, że w punkcie nie ma granic funkcji i, z definicji, punkt ten jest w zasadzie pojedynczy.

Charakter osobliwości funkcji w punkcie można ocenić na podstawie Głównym elementem Ekspansja Laurenta w sąsiedztwie tego punktu.

Twierdzenie 1. Aby punkt był jednorazowe punkt osobliwy funkcji , konieczne i wystarczające jest, aby odpowiednie rozwinięcie Laurenta nie zawierał głównej części.

Zadanie 6. Korzystając z rozwinięcia Taylora funkcji w sąsiedztwie punktu , pokaż, że ma ona usuwalną osobliwość w punkcie zero.

Twierdzenie 2. Aby punkt był Polak funkcje , jest konieczne i wystarczające, aby Głównym elementem odpowiednia ekspansja Laurenta zawierał skończoną liczbę członków :

Liczba najwyższego składnika ujemnego określa kolejność bieguna.

W tym przypadku funkcję można przedstawić jako

gdzie jest funkcją analityczną w punkcie , jest rząd bieguna.

Przykład 10 Pokaż, że funkcja ma w punktach proste bieguny.

Decyzja. Rozważmy punkt. Korzystamy z rozwinięcia Laurenta tej funkcji w pobliżu tego punktu, uzyskanego w Przykładzie 2:

Ponieważ najwyższa (i jedyna) ujemna moc w głównej części tego rozwinięcia jest równa jeden, punkt jest prostym biegunem tej funkcji.

Ten wynik można było uzyskać w inny sposób. Reprezentujmy w formie i wstawmy - jest to funkcja analityczna w punkcie i . Stąd, ze względu na (8) funkcja ta ma w punkcie prosty biegun.

Inny sposób: rozważ funkcję, która ma w punkcie proste zero. Stąd w tym momencie ma prosty słup.

Podobnie, jeśli napiszemy funkcję w postaci , gdzie jest funkcją analityczną w punkcie i , to od razu widać, że punkt jest prostym biegunem funkcji .

Zadanie 7. Pokaż, że funkcja ma biegun drugiego rzędu w punkcie i biegun czwartego rzędu w punkcie .

Twierdzenie 3. Aby punkt był zasadniczo wyjątkowy punktu funkcji , konieczne i wystarczające jest, aby Głównym elementem Ekspansja Laurenta w sąsiedztwie punktu zawierał nieskończoną liczbę członków .

Przykład 11. Określ charakter osobliwości w punkcie funkcji

Decyzja. W dobrze znanym rozszerzeniu cosinusa wstawiamy zamiast:

Stąd rozwinięcie Laurenta w sąsiedztwie punktu ma postać

Tutaj właściwa część to jeden termin. A główna część zawiera nieskończoną liczbę terminów, więc punkt jest zasadniczo pojedynczy.

Zadanie 8. Pokaż, że w pewnym momencie funkcja ma zasadniczą osobliwość.

Rozważ jakąś funkcję i zapisz jej rozwinięcie Laurenta w punkcie :

Zróbmy zamianę , podczas gdy punkt idzie do punktu . Teraz, w sąsiedztwie punktu w nieskończoności, mamy

Pozostaje wprowadzić nowe oznaczenie. dostajemy

gdzie jest główną częścią i jest regularną częścią rozwinięcia funkcji Laurenta w sąsiedztwie nieskończenie odległego punktu. Tak więc w rozwinięciu Laurenta funkcji w sąsiedztwie punktu, główna część jest szeregiem w potęgach dodatnich, podczas gdy poprawna część jest szeregiem w potęgach ujemnych. Biorąc to pod uwagę

Powyższe kryteria określania natury osobliwości pozostają jednak aktualne dla nieskończenie odległego punktu.

Przykład 12. Poznaj naturę osobliwości funkcji w punkcie. , to w pewnym momencie może okazać się, że nie jest izolowany.

Przykład 15 Funkcja w nieskończenie odległym punkcie ma zasadniczą osobliwość. Pokaż, że punkt funkcji nie jest izolowanym punktem osobliwym.

Decyzja. Funkcja ma nieskończoną liczbę biegunów w zerach mianownika, czyli w punktach , . Ponieważ , to punkt , w jakimkolwiek sąsiedztwie, w którym znajdują się bieguny , jest punktem granicznym dla biegunów.