Funkcijas atvasinājuma vērtība punktā ir vienāda ar. Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību punktā x0

11.10.2019

Matemātikā ir absolūti neiespējami atrisināt fizikālās problēmas vai piemērus bez zināšanām par atvasinājumu un tā aprēķināšanas metodēm. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāda ir tā fiziskā un ģeometriskā nozīme, kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme

Lai ir funkcija f(x) , dots kādā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Argumenta maiņa - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinātā definīcija:

Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.

Citādi to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Bet kurš:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.

fiziskā nozīme atvasinājums: ceļa laika atvasinājums ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.

Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir privāts ceļš. x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums uz kādu laiku:

Lai uzzinātu kustības ātrumu vienā reizē t0 jums jāaprēķina limits:

Pirmais noteikums: izņemiet konstanti

Konstanti var izņemt no atvasinājuma zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, parasti ņemiet - ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet .

Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Risinājums:

Šeit ir svarīgi teikt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteiksmi:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms jāņem vērā ārējās funkcijas atvasinājums attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam jāreizina ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums

Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:

Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā izklausās, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Per īstermiņa mēs palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko kontroli un tikt galā ar uzdevumiem, pat ja jūs nekad iepriekš neesat nodarbojies ar atvasinājumu aprēķināšanu.

Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.

Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716) bija pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā.

Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, bet tikai jāizmanto tabula. atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.

Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem insulta zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula ir dota pēc pirmajiem diviem piemēriem.

1. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.

No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "X" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir kosinuss. Mēs aizvietojam šīs vērtības atvasinājumu summā un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:

2. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Diferencēt kā summas atvasinājumu, kurā otro vārdu ar nemainīgu koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Ja joprojām ir jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie, kā likums, kļūst skaidri, izlasot atvasinājumu tabulu un vienkāršākos diferenciācijas noteikumus. Mēs tūlīt ejam pie viņiem.

Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula

1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr nulle. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži
2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "x". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties
3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes par jaudu.
4. Mainīgā atvasinājums pakāpē -1
5.Atvasinājums kvadrātsakne
6. Sinusa atvasinājums
7.Kosinusa atvasinājums
8. Pieskares atvasinājums
9. Kotangensa atvasinājums
10.Arksīna atvasinājums
11. Loka kosinusa atvasinājums
12. Loka tangensa atvasinājums
13. Apgrieztās tangensas atvasinājums
14.Naturālā logaritma atvasinājums
15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
16. Eksponenta atvasinājums
17. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi

1. Summas vai starpības atvasinājums
2. Produkta atvasinājums
2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu
3. Koeficienta atvasinājums
4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

1. noteikumsJa funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī , tad tajā pašā punktā funkcijas

tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.

Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstanti, tad to atvasinājumi ir, t.i.

2. noteikumsJa funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad arī to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā

tie. divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.

Sekas 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Sekas 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.

Piemēram, trim reizinātājiem:

3. noteikumsJa funkcijas

kādā brīdī atšķirties un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējams.u/v , un

tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļu, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts .

Kur meklēt citās lapās

Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālajās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem ir rakstā."Produkta un koeficienta atvasinājums".

komentēt. Nevajadzētu jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. to tipiska kļūda, kas notiek sākuma stadija mācīšanās atvasinājumi, bet, tā kā tie atrisina vairākus vienkomponentu piemērus, vidusmēra skolēns vairs nepieļauj šo kļūdu.

Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šāds gadījums ir analizēts 10. piemērā) .

Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājumam. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķu rakstu. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.

Pa ceļam neiztikt bez izteicienu transformācijām. Lai to izdarītu, iespējams, būs jāatver jaunās Windows rokasgrāmatas Darbības ar spējām un saknēm un Darbības ar daļskaitļiem .

Ja jūs meklējat risinājumus atvasinājumiem ar pilnvarām un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās kā , pēc tam sekojiet nodarbībai "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm".

Ja jums ir tāds uzdevums kā , tad jūs atrodaties nodarbībā "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi".

Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu

3. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Nosakām funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu un otras funkcijas atvasinājumu:

Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrais termins ar mīnusa zīmi. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad "x" pārvēršas par vienu, bet mīnus 5 - par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinājumu vērtības:

Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:

4. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:

Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:

Ja meklējat risinājumus tādām problēmām, kurās jāatrod funkcijas atvasinājums, kur ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, piemēram, tad laipni lūdzam klasē "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm" .

Ja nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, pieskares un citu atvasinājumiem trigonometriskās funkcijas, tas ir, kad funkcija izskatās kā , tad jums ir mācība "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .

5. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību mēs iegūstam:

6. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Saskaņā ar koeficienta diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību iegūstam:

Lai atbrīvotos no skaitītāja daļas, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .

1. piemērs

Atsauce: Šādi funkcijas atzīmēšanas veidi ir līdzvērtīgi: Dažos uzdevumos funkciju ir ērti apzīmēt kā “spēlētāju”, bet dažos – kā “ef no x”.

Vispirms atrodam atvasinājumu:

2. piemērs

Aprēķināt funkcijas atvasinājumu punktā

, , pilnas funkcijas pētījums un utt.

3. piemērs

Aprēķiniet funkcijas atvasinājumu punktā . Vispirms atradīsim atvasinājumu:

Nu tā ir pavisam cita lieta. Aprēķiniet atvasinājuma vērtību punktā:

Ja nesaprotat, kā atvasinājums tika atrasts, atgriezieties pie pirmajām divām tēmas nodarbībām. Ja rodas grūtības (pārpratums) ar loktangensu un tā nozīmi, obligāti pētījums metodiskais materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības- pati pēdējā rindkopa. Jo studentu vecumam vēl ir pietiekami daudz arktangentu.

4. piemērs

Aprēķiniet funkcijas atvasinājumu punktā .

Funkcijas grafika pieskares vienādojums

Lai konsolidētu iepriekšējo rindkopu, apsveriet pieskares atrašanas problēmu funkciju grafikašobrīd. Ar šo uzdevumu tikāmies skolā, un tas ir atrodams arī augstākās matemātikas kursā.

Apsveriet elementāru "demonstrācijas" piemēru.

Uzrakstiet vienādojumu funkcijas grafika pieskarei punktā ar abscisu. Es nekavējoties sniegšu gatavu grafisku problēmas risinājumu (praksē vairumā gadījumu tas nav nepieciešams):

Stingru pieskares definīciju sniedz funkcijas atvasinājuma definīcijas, bet kamēr mēs apgūsim tehniskā daļa jautājums. Protams, gandrīz visi intuitīvi saprot, kas ir tangenss. Ja paskaidro "uz pirkstiem", tad funkcijas grafika pieskare ir taisni, kas attiecas uz funkcijas grafiku in vienīgais punktu. Šajā gadījumā visi blakus esošie taisnes punkti atrodas pēc iespējas tuvāk funkcijas grafikam.

Mūsu gadījumā pieskare (standarta apzīmējums) pieskaras funkcijas grafikam vienā punktā.

Un mūsu uzdevums ir atrast taisnas līnijas vienādojumu.

Funkcijas atvasinājums punktā

Kā atrast funkcijas atvasinājumu punktā? No formulējuma izriet divi acīmredzami šī uzdevuma punkti:

1) Jāatrod atvasinājums.

2) Nepieciešams aprēķināt atvasinājuma vērtību noteiktā punktā.

1. piemērs

Aprēķināt funkcijas atvasinājumu punktā

Palīdzība: šādi funkcijas atzīmēšanas veidi ir līdzvērtīgi:

Dažos uzdevumos funkciju ir ērti apzīmēt kā “spēlētāju”, bet dažos – kā “ef no x”.

Vispirms atrodam atvasinājumu:

Ceru, ka daudzi jau ir pielāgojušies, lai atrastu šādus atvasinājumus mutiski.

Otrajā solī mēs aprēķinām atvasinājuma vērtību punktā:

Neliels iesildīšanās piemērs neatkarīgam risinājumam:

2. piemērs

Aprēķināt funkcijas atvasinājumu punktā

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Nepieciešamība atrast atvasinājumu punktā rodas šādos uzdevumos: funkcijas grafika pieskares konstruēšana (nākamā rindkopa), ekstrēma funkcijas izpēte , grafa locījuma funkcijas izpēte , pilnas funkcijas pētījums un utt.

Bet attiecīgais uzdevums notiek kontroles darbs un pats par sevi. Un, kā likums, šādos gadījumos funkcija tiek dota diezgan sarežģīta. Šajā sakarā apsveriet vēl divus piemērus.

3. piemērs

Aprēķināt funkcijas atvasinājumu punktā.
Vispirms atradīsim atvasinājumu:

Atvasinājums principā tiek atrasts, un vajadzīgo vērtību var aizstāt. Bet es īsti negribu neko darīt. Izteiksme ir ļoti gara, un "x" vērtība ir daļēja. Tāpēc mēs cenšamies pēc iespējas vienkāršot mūsu atvasinājumu. Šajā gadījumā mēģināsim reducēt pēdējos trīs terminus līdz kopsaucējam: punktā.

Šis ir “dari pats” piemērs.

Kā atrast funkcijas F(x) atvasinājuma vērtību Ho punktā? Kā to vispār atrisināt?

Ja formula ir dota, tad atrodiet atvasinājumu un aizstājiet X-nulle X vietā. skaitīt
Ja mēs runājam o b-8 IZMANTOJOT, grafu, tad jāatrod leņķa tangenss (akūts vai strups), kas veido pieskares X asij (izmantojot taisnleņķa trijstūra mentālo konstrukciju un nosakot leņķa tangensu)

Timurs Adilhodžajevs

Pirmkārt, jums ir jāizlemj par zīmi. Ja punkts x0 atrodas koordinātu plaknes apakšējā daļā, tad zīme atbildē būs mīnus, un, ja tā ir augstāka, tad +.
Otrkārt, jums jāzina, kas ir tange taisnstūrveida taisnstūrī. Un tā ir pretējās puses (kājas) attiecība pret blakus esošo pusi (arī kāju). Uz gleznas parasti ir dažas melnas zīmes. No šīm atzīmēm jūs veicat taisnleņķa trīsstūris un atrast tanges.

Kā atrast funkcijas f x atvasinājuma vērtību punktā x0?

nav konkrēta jautājuma - pirms 3 gadiem

Vispārīgā gadījumā, lai jebkurā punktā atrastu funkcijas atvasinājuma vērtību attiecībā pret kādu mainīgo, ir jādiferencē dotā funkcija attiecībā pret šo mainīgo. Jūsu gadījumā ar mainīgo X. Rezultātā iegūtajā izteiksmē X vietā ievietojiet x vērtību punktā, kuram jāatrod atvasinājuma vērtība, t.i. jūsu gadījumā aizstājiet nulli X un aprēķiniet iegūto izteiksmi.

Nu, tava vēlme izprast šo jautājumu, manuprāt, neapšaubāmi ir pelnījusi +, ko lieku ar tīru sirdsapziņu.

Šāds atvasinājuma atrašanas problēmas formulējums bieži tiek izvirzīts, lai fiksētu materiālu par atvasinājuma ģeometrisko nozīmi. Tiek piedāvāts noteiktas funkcijas grafiks, pilnīgi patvaļīgs un nav dots ar vienādojumu, un tam ir jāatrod atvasinājuma vērtība (nevis paša atvasinājuma!) norādītajā punktā X0. Lai to izdarītu, tiek konstruēta dotās funkcijas pieskare un atrasti tās krustošanās punkti ar koordinātu asīm. Tad šīs pieskares vienādojumu sastāda formā y=kx+b.

Šajā vienādojumā koeficients k un būs atvasinājuma vērtība. atliek tikai atrast koeficienta b vērtību. Lai to izdarītu, mēs atrodam y vērtību pie x \u003d o, ļaujiet tai būt vienādam ar 3 - tā ir koeficienta b vērtība. Mēs aizstājam X0 un Y0 vērtības sākotnējā vienādojumā un atrodam k - mūsu atvasinājuma vērtību šajā punktā.

Ja sekojam definīcijai, tad funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas Δ pieauguma koeficienta robeža. y līdz argumenta Δ pieaugumam x:

Šķiet, ka viss ir skaidrs. Bet mēģiniet aprēķināt pēc šīs formulas, teiksim, funkcijas atvasinājumu f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grēks x. Ja visu darīsi pēc definīcijas, tad pēc pāris lappušu aprēķiniem vienkārši aizmigsi. Tāpēc ir vienkāršāki un efektīvāki veidi.

Sākumā mēs atzīmējam, ka tā sauktās elementārās funkcijas var atšķirt no visas funkciju daudzveidības. Tās ir samērā vienkāršas izteiksmes, kuru atvasinājumi jau sen ir aprēķināti un ievadīti tabulā. Šādas funkcijas kopā ar to atvasinājumiem ir pietiekami viegli atcerēties.

Elementāro funkciju atvasinājumi

Elementārās funkcijas ir visas zemāk uzskaitītās. Šo funkciju atvasinājumi ir jāzina no galvas. Turklāt tos nav grūti iegaumēt – tāpēc tie ir elementāri.

Tātad elementāro funkciju atvasinājumi:

Vārds	Funkcija	Atvasinājums
Pastāvīgi	f(x) = C, C ∈ R	0 (jā, jā, nulle!)
Pakāpe ar racionālo eksponentu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinuss	f(x) = grēks x	cos x
Kosinuss	f(x) = cos x	− grēks x(mīnus sinuss)
Pieskares	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangenss	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturālais logaritms	f(x) = žurnāls x	1/x
Patvaļīgs logaritms	f(x) = žurnāls a x	1/(x ln a)
Eksponenciālā funkcija	f(x) = e x	e x(nekas nemainījās)

Ja elementāru funkciju reizina ar patvaļīgu konstanti, tad arī jaunās funkcijas atvasinājumu var viegli aprēķināt:

(C · f)’ = C · f ’.

Kopumā konstantes var izņemt no atvasinājuma zīmes. Piemēram:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Acīmredzot elementāras funkcijas var pievienot viena otrai, reizināt, dalīt un daudz ko citu. Tā radīsies jaunas funkcijas, kas vairs nav ļoti elementāras, bet arī pēc noteiktiem noteikumiem diferencējamas. Šie noteikumi ir apspriesti tālāk.

Summas un starpības atvasinājums

Ļaujiet funkcijām f(x) un g(x), kuru atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Stingri sakot, algebrā nav jēdziena "atņemšana". Pastāv jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc atšķirība f − g var pārrakstīt kā summu f+ (-1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju summa, tātad:

f ’(x) = (x 2+ grēks x)’ = (x 2)' + (grēks x)’ = 2x+ cosx;

Mēs līdzīgi strīdamies par funkciju g(x). Tikai jau ir trīs termini (no algebras viedokļa):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atbilde:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkta atvasinājums

Matemātika ir loģiska zinātne, tāpēc daudzi cilvēki uzskata, ka, ja summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, tad produkta atvasinājums streikot"\u003e vienāds ar atvasinājumu reizinājumu. Bet vīģes jums! Produkta atvasinājumu aprēķina pēc pavisam citas formulas. Proti:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula ir vienkārša, bet bieži tiek aizmirsta. Un ne tikai skolēni, bet arī studenti. Rezultāts ir nepareizi atrisinātas problēmas.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju reizinājums, tāpēc viss ir vienkārši:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x grēks x)

Funkcija g(x) pirmais reizinātājs ir nedaudz sarežģītāks, bet vispārējā shēma tas nemainās. Acīmredzot pirmais funkcijas reizinātājs g(x) ir polinoms, un tā atvasinājums ir summas atvasinājums. Mums ir:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atbilde:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x grēks x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ņemiet vērā, ka pēdējā darbībā atvasinājums tiek faktorizēts. Formāli tas nav nepieciešams, taču lielākā daļa atvasinājumu netiek aprēķināti atsevišķi, bet gan, lai izpētītu funkciju. Tas nozīmē, ka tālāk atvasinājums tiks pielīdzināts nullei, tiks noskaidrotas tā zīmes utt. Šādā gadījumā labāk ir, ja izteiksme ir sadalīta faktoros.

Ja ir divas funkcijas f(x) un g(x), un g(x) ≠ 0 uz mums interesējošās kopas, mēs varam definēt jaunu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Šādai funkcijai varat atrast arī atvasinājumu:

Nav vājš, vai ne? No kurienes radās mīnuss? Kāpēc g 2? Bet šādi! Šī ir viena no vissarežģītākajām formulām - bez pudeles to nevar izdomāt. Tāpēc labāk to pētīt ar konkrētiem piemēriem.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Katras daļas skaitītājā un saucējā ir elementāras funkcijas, tāpēc mums ir nepieciešama tikai koeficienta atvasinājuma formula:

Pēc tradīcijas mēs skaitītāju iedalām faktoros - tas ievērojami vienkāršos atbildi:

Sarežģīta funkcija ne vienmēr ir puskilometra gara formula. Piemēram, pietiek ar funkciju f(x) = grēks x un aizstājiet mainīgo x, teiksim, uz x 2+ln x. Izrādās f(x) = grēks ( x 2+ln x) ir sarežģīta funkcija. Viņai ir arī atvasinājums, taču tas nedarbosies, lai to atrastu saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem.

Kā būt? Šādos gadījumos palīdz mainīgā aizstāšana un sarežģītas funkcijas atvasinājuma formula:

f ’(x) = f ’(t) · t', ja x tiek aizstāts ar t(x).

Parasti situācija ar šīs formulas izpratni ir vēl bēdīgāka nekā ar koeficienta atvasinājumu. Tāpēc arī labāk to skaidrot ar konkrētiem piemēriem, ar Detalizēts apraksts ik uz soļa.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grēks ( x 2+ln x)

Ņemiet vērā, ka, ja funkcijā f(x) 2. izteiksmes vietā x+3 būs viegli x, tad iegūstam elementāru funkciju f(x) = e x. Tāpēc mēs veicam aizstāšanu: pieņemsim 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mēs meklējam sarežģītas funkcijas atvasinājumu pēc formulas:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Un tagad - uzmanību! Apgrieztās aizstāšanas veikšana: t = 2x+ 3. Mēs iegūstam:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tagad apskatīsim funkciju g(x). Acīmredzot ir jānomaina. x 2+ln x = t. Mums ir:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grēks t)’ · t' = cos t · t ’

Apgrieztā nomaiņa: t = x 2+ln x. Pēc tam:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Tas ir viss! Kā redzams no pēdējās izteiksmes, visa problēma ir samazināta līdz summas atvasinājuma aprēķināšanai.

Atbilde:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Ļoti bieži savās nodarbībās termina “atvasinājums” vietā lietoju vārdu “insults”. Piemēram, sitiens no summas ir vienāda ar summu insultu. Vai tas ir skaidrāk? Nu tas ir labi.

Tādējādi atvasinājuma aprēķins ir saistīts ar atbrīvošanos no šiem tiešiem sitieniem saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Kā pēdējo piemēru atgriezīsimies pie atvasinātā jaudas ar racionālu eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Tikai daži to zina lomā n var labi rīkoties daļskaitlis. Piemēram, sakne ir x 0,5 . Bet ko darīt, ja zem saknes ir kaut kas viltīgs? Atkal izrādīsies sarežģīta funkcija - viņiem patīk dot šādas konstrukcijas ieskaitēs un eksāmenos.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Vispirms pārrakstīsim sakni kā pakāpju ar racionālu eksponentu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tagad mēs veicam aizstāšanu: ļaujiet x 2 + 8x − 7 = t. Mēs atrodam atvasinājumu pēc formulas:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Mēs veicam apgrieztu aizstāšanu: t = x 2 + 8x− 7. Mums ir:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Visbeidzot, atpakaļ pie saknēm:

Viena mainīgā funkcijas atvasinājums.

Ievads.

īsts metodiskā attīstība paredzēts Rūpniecības un būvniecības fakultātes studentiem. Tie ir apkopoti saistībā ar matemātikas kursa programmu sadaļā "Viena mainīgā funkciju diferenciālrēķins".

Izstrādes ir vienots metodiskais ceļvedis, kas ietver: īsu teorētisko informāciju; "tipiski" uzdevumi un vingrinājumi ar detalizētiem šo risinājumu risinājumiem un skaidrojumiem; kontroles iespējas.

Papildu vingrinājumi katras rindkopas beigās. Šāda izstrādes struktūra padara tos piemērotus patstāvīgai sadaļas apguvei ar minimālu skolotāja palīdzību.

§ viens. Atvasinājuma definīcija.

Mehāniskā un ģeometriskā nozīme

atvasinājums.

Atvasinājuma jēdziens ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem, kas radās jau 17. gadsimtā. Atvasinājuma jēdziena veidošanās vēsturiski ir saistīta ar divām problēmām: mainīgas kustības ātruma problēmu un līknes pieskares problēmu.

Šie uzdevumi, neskatoties uz to dažādu saturu, noved pie tās pašas matemātiskās darbības, kas jāveic funkcijai. Šī darbība ir ieguvusi īpašu nosaukumu matemātikā. To sauc par funkcijas diferencēšanas operāciju. Diferenciācijas darbības rezultātu sauc par atvasinājumu.

Tātad funkcijas y=f(x) atvasinājums punktā x0 ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža (ja tāda pastāv)
plkst
.

Atvasinājumu parasti apzīmē šādi:
.

Tātad pēc definīcijas

Simbolus izmanto arī, lai apzīmētu atvasinājumu
.

Atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Ja s=s(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības likums, tad
ir šī punkta ātrums laikā t.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

Ja funkcijai y=f(x) ir atvasinājums punktā , tad slīpums pieskares funkcijas grafikam punktā
vienāds
.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
punktā =2:

1) Dosim punktu = 2 pieaugums
. Ievērojiet, tas.

2) Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā =2:

3) Sastādiet funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu:

Atradīsim attiecības robežu pie
:

Pa šo ceļu,
.

§ 2. Dažu atvasinājumi

vienkāršākās funkcijas.

Studentam jāiemācās aprēķināt konkrētu funkciju atvasinājumus: y=x,y= un vispār y= .

Atrodiet funkcijas y=x atvasinājumu.

tie. (x)′=1.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu

Atvasinājums

Ļaujiet
tad

Jaudas funkcijas atvasinājumu izteiksmēs ir viegli pamanīt modeli
pie n=1,2,3.

Sekojoši,

. (1)

Šī formula ir derīga jebkuram reālam n.

Jo īpaši, izmantojot formulu (1), mums ir:

;

Piemērs.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šī funkcija ir īpašs formas funkcijas gadījums

plkst
.

Izmantojot formulu (1), mums ir

Funkciju y=sin x un y=cos x atvasinājumi.

Lai y=sinx.

Sadaliet ar ∆x, iegūstam

Pārejot uz robežu kā ∆x→0, mums ir

Lai y=cosx .

Pārejot uz robežu kā ∆x→0, iegūstam

;
. (2)

§3. Diferencēšanas pamatnoteikumi.

Apsveriet diferenciācijas noteikumus.

Teorēma1 . Ja funkcijas u=u(x) un v=v(x) ir diferencējamas dotajā punktā x, tad arī to summa šajā punktā ir diferencējama, un summas atvasinājums ir vienāds ar atvasināto vārdu summu: (u+v)"=u"+v".(3)

Pierādījums: apsveriet funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumenta x palielinājums ∆x atbilst funkciju u un v palielinājumiem ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Pēc tam funkcija y tiks palielināta

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Sekojoši,

Tātad (u+v)"=u"+v.

Teorēma2. Ja funkcijas u=u(x) un v=v(x) ir diferencējamas dotajā punktā x, tad arī to reizinājums ir diferencējams tajā pašā punktā.Šajā gadījumā reizinājuma atvasinājumu atrod pēc šādas formulas : (uv) "=u" v + uv ". (četri)

Pierādījums: Lai y=uv, kur u un v ir dažas x diferencējamas funkcijas. Ļaujiet x palielināt par ∆x, tad u tiks palielināts par ∆u, v tiks palielināts par ∆v un y tiks palielināts par ∆y.

Mums ir y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), vai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Tāpēc ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

No šejienes

Pārejot uz robežu kā ∆x→0 un ņemot vērā, ka u un v nav atkarīgi no ∆x, mēs iegūstam

3. teorēma. Divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras saucējs ir vienāds ar dalītāja kvadrātu, un skaitītājs ir starpība starp dividendes atvasinājuma reizinājumu ar dalītāju un dalītāja reizinājumu. dividende ar dalītāja atvasinājumu, t.i.

Ja
tad
(5)