Trīs trijstūra leņķi ir vienādi. Trijstūra leņķu summa. Trijstūra leņķu summas teorēma

Teorēma. Trijstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar diviem taisniem leņķiem.

Paņemiet kādu trīsstūri ABC (208. att.). Apzīmēsim tā iekšējos leņķus ar 1, 2 un 3. Pierādīsim to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Novelkam caur kādu trijstūra virsotni, piemēram, B, taisni MN paralēli AC.

Virsotnē B mēs ieguvām trīs leņķus: ∠4, ∠2 un ∠5. To summa ir taisns leņķis, tāpēc tā ir vienāda ar 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Bet ∠4 \u003d ∠1 ir iekšējie šķērsvirziena leņķi ar paralēlām līnijām MN un AC un sekantu AB.

∠5 = ∠3 ir iekšējie šķērseniski guļus leņķi ar paralēlām līnijām MN un AC un sekantu BC.

Tādējādi ∠4 un ∠5 var aizstāt ar vienādiem ar ∠1 un ∠3.

Tāpēc ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorēma ir pierādīta.

2. Trijstūra ārējā leņķa īpašība.

Patiešām, trijstūrī ABC (209. att.) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, bet arī ∠BCD šī trīsstūra ārējais leņķis, kas nav blakus ∠1 un ∠2, arī ir vienāds ar 180° - ∠3.

Tādējādi:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Tāpēc ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Atvasinātā trijstūra ārējā leņķa īpašība precizē iepriekš pierādītās teorēmas saturu par trijstūra ārējo leņķi, kurā tika teikts tikai tas, ka trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par katru trijstūra iekšējo leņķi, kas ir nav tai blakus; tagad ir noteikts, ka ārējais leņķis ir vienāds ar abu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus.

3. Taisnleņķa trijstūra īpašība ar 30° leņķi.

Ielaist taisnleņķa trīsstūris DIA leņķis B ir 30° (210. att.). Tad tā otrs asais leņķis būs 60°.

Pierādīsim, ka kāja AC ir vienāda ar pusi no hipotenūzas AB. Mēs turpinām kāju AC aiz virsotnes pareizā leņķī C un novietojiet malā segmentu SM, kas vienāds ar segmentu AC. Savienojam punktu M ar punktu B. Iegūtais trīsstūris BCM vienāds ar trīsstūri DIA. Mēs redzam, ka katrs trijstūra AVM leņķis ir vienāds ar 60°, tāpēc šis trīsstūris ir vienādmalu.

Maiņstrāvas posms ir vienāds ar pusi no AM, un, tā kā AM ir vienāds ar AB, maiņstrāvas posms būs vienāds ar pusi no hipotenūzas AB.

To, ka "jebkura trijstūra leņķu summa Eiklīda ģeometrijā ir 180 grādi", var viegli atcerēties. Ja atcerēties nav viegli, labākai iegaumēšanai varat veikt pāris eksperimentus.

Eksperimentējiet vienu

Uzzīmējiet dažus patvaļīgus trīsstūrus uz papīra lapas, piemēram:

• ar patvaļīgām pusēm;
• vienādsānu trīsstūris;
• taisnleņķa trīsstūris.

Noteikti izmantojiet līniju. Tagad jums ir jāizgriež iegūtie trīsstūri, darot to tieši pa zīmētajām līnijām. Izkrāsojiet katra trīsstūra stūrus ar krāsainu zīmuli vai flomāsteru. Piemēram, pirmajā trīsstūrī visi stūri būs sarkani, otrajā - zilā, trešajā - zaļā krāsā. http://bit.ly/2gY4Yfz

No pirmā trīsstūra nogriež visus 3 stūrus un savieno tos vienā punktā ar virsotnēm tā, lai katra stūra tuvākās malas būtu savienotas. Kā redzat, trīs trijstūra leņķi veidoja taisnu leņķi, kas ir vienāds ar 180 grādiem. Dariet to pašu ar pārējiem diviem trīsstūriem - rezultāts būs tāds pats. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperimentējiet divus

Mēs uzzīmējam patvaļīgu trīsstūri ABC. Izvēlamies jebkuru virsotni (piemēram, C) un caur to novelkam taisnu līniju DE paralēli pretējai malai (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Mēs iegūstam sekojošo:

1. Leņķi BAC un ACD ir vienādi, kā iekšēji krusteniski attiecībā pret AC;
2. Leņķi ABC un BCE ir vienādi, kā iekšēji krusteniski attiecībā pret BC;
3. Mēs redzam, ka leņķi 1, 2 un 3 - trijstūra leņķi, kas savienoti vienā punktā, veidoja attīstītu leņķi DCE, kas ir vienāds ar 180 grādiem.

Trijstūra summas teorēma nosaka, ka jebkura trīsstūra iekšējo leņķu summa ir 180°.

Lai trijstūra iekšējie leņķi būtu a, b un c, tad:

a + b + c = 180°.

No šīs teorijas mēs varam secināt, ka jebkura trīsstūra visu ārējo leņķu summa ir 360 °. Tā kā ārējais leņķis ir blakus iekšējam leņķim, to summa ir 180°. Lai trijstūra iekšējie leņķi ir a, b un c, tad ārējie leņķi šajos leņķos ir 180° - a, 180° - b un 180° - c.

Atrodiet trijstūra ārējo leņķu summu:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Atbilde: trijstūra iekšējo leņķu summa ir 180°; trijstūra ārējo leņķu summa ir 360°.

Šī teorēma tika formulēta arī L. S. Atanasjana mācību grāmatā. , un mācību grāmatā Pogorelovs A.V. . Šīs teorēmas pierādījumi šajās mācību grāmatās būtiski neatšķiras, un tāpēc mēs piedāvājam tās pierādījumus, piemēram, no Pogorelova A.V. mācību grāmatas.

Teorēma: Trijstūra leņķu summa ir 180°

Pierādījums. Dotais trīsstūris ir dots ABC. Novelciet līniju caur virsotni B paralēli taisnei AC. Atzīmējiet uz tā punktu D tā, lai punkti A un D atrodas taisnes BC pretējās pusēs (6. att.).

Leņķi DBC un ACB ir vienādi kā iekšējie šķērsslīdumi, ko veido sekants BC ar paralēlām taisnēm AC un BD. Tāpēc trijstūra leņķu summa virsotnēs B un C ir vienāda ar leņķi ABD. Un visu trīs trijstūra leņķu summa ir vienāda ar leņķu ABD un BAC summu. Tā kā šie leņķi ir iekšēji vienpusēji paralēlām AC un BD un sekantam AB, to summa ir 180 °. Teorēma ir pierādīta.

Šī pierādījuma ideja ir paralēla līnija un vēlamo leņķu vienādības apzīmējums. Mēs rekonstruējam šādas papildu konstrukcijas ideju, pierādot šo teorēmu, izmantojot domu eksperimenta koncepciju. Teorēmas pierādījums, izmantojot domu eksperimentu. Tātad mūsu domu eksperimenta priekšmets ir trīsstūra leņķi. Nostādīsim viņu garīgi tādos apstākļos, kuros viņa būtība var tikt atklāta ar īpašu pārliecību (1. posms).

Šādi nosacījumi būs tāds trijstūra stūru izvietojums, kurā visas trīs to virsotnes tiks apvienotas vienā punktā. Šāda kombinācija ir iespējama, ja pieļaujam stūru "pārvietošanas" iespēju, ar trijstūra malu kustību, nemainot slīpuma leņķi (1. att.). Šādas kustības būtībā ir sekojošas garīgās transformācijas (2. posms).

Apzīmējot trijstūra leņķus un malas (2. att.), "kustības" laikā iegūtos leņķus, mēs tādējādi garīgi veidojam vidi, savienojumu sistēmu, kurā ievietojam savu domu priekšmetu (3. posms).

Līnija AB “kustas” pa līniju BC un nemaina slīpuma leņķi pret to, leņķi 1 pārvērš leņķī 5, bet “kustoties” pa taisni AC, leņķi 2 pārvērš leņķī 4. Tā kā ar šādu “kustību” taisne AB nemaina slīpuma leņķi uz taisnēm AC un BC, tad secinājums ir acīmredzams: stari a un a1 ir paralēli AB un iet viens otrā, un stari b un b1 ir malu BC turpinājumi. un maiņstrāva, attiecīgi. Tā kā leņķis 3 un leņķis starp stariem pie un at1 ir vertikāli, tie ir vienādi. Šo leņķu summa ir vienāda ar paplašināto leņķi aa1, kas nozīmē 180 °.

SECINĀJUMS

AT tēzes Dažu skolas ģeometrisko teorēmu „konstruētie” pierādījumi tika veikti, izmantojot domu eksperimenta struktūru, kas bija apstiprinājums izvirzītajai hipotēzei.

Prezentētie pierādījumi balstījās uz tādām vizuāli sensoriskām idealizācijām: "saspiešana", "stiepšana", "slīdēšana", kas ļāva īpašā veidā pārveidot oriģinālo ģeometrisko objektu un izcelt tā būtiskās īpašības, kas raksturīgas domai. eksperiments. Kurā domu eksperiments darbojas kā noteikts "radošs rīks", kas veicina ģeometrisko zināšanu rašanos (piemēram, par vidējā līnija trapecveida vai ap trijstūra leņķiem). Šādas idealizācijas ļauj aptvert pierādīšanas ideju kopumā, ideju par "papildu konstrukcijas" veikšanu, kas ļauj runāt par iespēju skolēniem apzinātāk izprast formālo procesu. ģeometrisko teorēmu deduktīvs pierādījums.

Domu eksperiments ir viena no pamatmetodēm ģeometrisko teorēmu iegūšanai un atklāšanai. Nepieciešams izstrādāt metodiku metodes nodošanai studentam. Atklāts paliek jautājums par metodes “akceptēšanai” pieņemamo studenta vecumu. blakus efekti no šādā veidā iesniegtajiem pierādījumiem.

Šie jautājumi prasa turpmāku izpēti. Bet jebkurā gadījumā nav šaubu par vienu: domu eksperiments attīsta skolēnu teorētisko domāšanu, ir tā pamats, un tāpēc ir jāattīsta garīgās eksperimentēšanas spēja.

Teorēma par trijstūra iekšējo leņķu summu

Trijstūra leņķu summa ir 180°.

Pierādījums:

• Trijstūris ABC ir dots.
• Novelciet līniju DK caur virsotni B paralēli pamatnei AC.
• \angle CBK= \angle C kā iekšējais šķērsvirziena guļus ar paralēlu DK un AC, un nogrieznis BC.
• \angle DBA = \angle A iekšējais šķērsgriezums atrodas DK \paralēlā AC un secant AB. Leņķis DBK ir taisns un vienāds ar
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Tā kā taisnais leņķis ir 180 ^\circ un \angle CBK = \angle C un \angle DBA = \angle A , mēs iegūstam 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Teorēma pierādīta

Sekas no teorēmas par trijstūra leņķu summu:

1. Taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa ir 90°.
2. Vienādsānu taisnstūrī katrs asais leņķis ir 45°.
3. Vienādmalu trīsstūrī katrs leņķis ir 60°.
4. Jebkurā trīsstūrī vai nu visi leņķi ir asi, vai arī divi leņķi ir asi, bet trešais ir strups vai taisns.
5. Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus.

Trīsstūra ārējā leņķa teorēma

Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu atlikušo trīsstūra leņķu summu, kas nav blakus šim ārējam leņķim.

Pierādījums:

• Ir dots trijstūris ABC, kur BCD ir ārējais leņķis.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• No vienādībām, leņķis \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Mēs saņemam \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Mērķi un uzdevumi:

Izglītības:

• atkārtot un vispārināt zināšanas par trīsstūri;
• pierādīt trijstūra summas teorēmu;
• praktiski pārbaudīt teorēmas formulējuma pareizību;
• iemācīties pielietot iegūtās zināšanas problēmu risināšanā.

Attīstās:

• attīstīt ģeometrisko domāšanu, interesi par priekšmetu, izziņas un radošā darbība skolēni, matemātiskā runa, spēja patstāvīgi apgūt zināšanas.

Izglītības:

• attīstīties personiskās īpašības audzēkņiem, piemēram, mērķtiecība, neatlaidība, precizitāte, spēja strādāt komandā.

Aprīkojums: multimediju projektors, trīsstūri no krāsaina papīra, mācību materiāli "Dzīvā matemātika", dators, ekrāns.

Sagatavošanas posms: Skolotājs uzdod skolēnam sagatavoties vēsturiska atsauce par trijstūra leņķu summas teorēmu.

Nodarbības veids: jauna materiāla apguve.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments

Sveicieni. Skolēnu psiholoģiskā attieksme pret darbu.

II. Iesildīties

Ar ģeometrisko figūru “trijstūris” tikāmies iepriekšējās nodarbībās. Atkārtosim to, ko zinām par trīsstūri?

Studenti strādā grupās. Viņiem tiek dota iespēja sazināties vienam ar otru, katram patstāvīgi būvēt izziņas procesu.

Kas notika? Katra grupa izsaka savus ieteikumus, un skolotājs ieraksta tos uz tāfeles. Rezultāti tiek apspriesti:

1. attēls

III. Mēs formulējam nodarbības uzdevumu

Tātad, mēs jau zinām daudz par trīsstūri. Bet ne visi. Katram no jums uz galda ir trīsstūri un transportieri. Kā jūs domājat, kādu uzdevumu mēs varam formulēt?

Skolēni formulē nodarbības uzdevumu – atrast trijstūra leņķu summu.

IV. Jaunā materiāla skaidrojums

Praktiskā daļa(veicina zināšanu un sevis izzināšanas prasmju aktualizāciju) Izmēriet leņķus ar transportieri un atrodiet to summu. Pierakstiet rezultātus piezīmju grāmatiņā (noklausieties saņemtās atbildes). Noskaidrojam, ka leņķu summa katram izrādījās atšķirīga (tas var gadīties tāpēc, ka neprecīzi uzlikts transportieri, pavirši veikts aprēķins utt.).

Salokiet pa punktotajām līnijām un uzziniet, ar ko vēl ir vienāda trijstūra leņķu summa:

a)
2. attēls

b)
3. attēls

iekšā)
4. attēls

G)
5. attēls

e)
6. attēls

Pēc praktiskā darba pabeigšanas studenti formulē atbildi: Trijstūra leņķu summa ir vienāda ar pakāpes mērs izvērsts leņķis, t.i., 180°.

Skolotājs: Matemātikā praktiskais darbs tikai ļauj izteikt kaut kādu apgalvojumu, bet tas ir jāpierāda. Apgalvojumu, kura derīgumu nosaka pierādījums, sauc par teorēmu. Kādu teorēmu mēs varam formulēt un pierādīt?

Studenti: Trijstūra leņķu summa ir 180 grādi.

Vēstures atsauce: Trīsstūra leņķu summas īpašība tika noteikta gadā Senā Ēģipte. Mūsdienu mācību grāmatās sniegtais pierādījums ir atrodams Prokla komentāros par Eiklida elementiem. Prokls apgalvo, ka šo pierādījumu (8. att.) atklājuši pitagorieši (5. gs. p.m.ē.). Pirmajā Elementu grāmatā Eiklīds izklāsta vēl vienu trijstūra leņķu summas teorēmas pierādījumu, kas ir viegli saprotams ar zīmējuma palīdzību (7. att.):

7. attēls

8. attēls

Zīmējumi tiek parādīti uz ekrāna caur projektoru.

Skolotājs piedāvā pierādīt teorēmu ar zīmējumu palīdzību.

Pēc tam pierādīšana tiek veikta, izmantojot CMD "Live Mathematics". Skolotājs datorā projicē teorēmas pierādījumu.

Trijstūra leņķu summas teorēma: "Trijstūra leņķu summa ir 180°"

9. attēls

Pierādījums:

a)

10. attēls

b)

11. attēls

iekšā)

12. attēls

Studenti piezīmju grāmatiņā īsi pieraksta teorēmas pierādījumu:

Teorēma: Trijstūra leņķu summa ir 180°.

13. attēls

Ņemot vērā:Δ ABC

Pierādīt: A + B + C = 180°.

Pierādījums:

Kas bija jāpierāda.

V. Fiz. minūte.

VI. Jaunā materiāla skaidrojums (turpinājums)

Teorēmas sekas par trijstūra leņķu summu studenti atvasina paši, tas veicina spēju formulēt savu viedokli, izteikt un argumentēt to:

Jebkurā trīsstūrī visi leņķi ir asi vai divi asi stūri, un trešais strups vai taisns.

Ja trijstūrī visi leņķi ir asi, tad to sauc akūts leņķis.

Ja viens no trijstūra leņķiem ir neass, tad to sauc stulbs.

Ja viens no trijstūra leņķiem ir taisns, tad to sauc taisnstūrveida.

Trijstūra summas teorēma ļauj klasificēt trīsstūrus ne tikai pēc malām, bet arī pēc leņķiem. (Iepazīstoties ar trīsstūru veidiem, skolēni aizpilda tabulu)

1. tabula

Trīsstūra skats	Vienādsānu	Vienādmalu	Daudzpusīgs
Taisnstūrveida
stulbs
akūts leņķis

VII. Izpētītā materiāla konsolidācija.

1. Atrisiniet problēmas mutiski:

(Zīmējumi tiek parādīti uz ekrāna caur projektoru)

Uzdevums 1. Atrodi leņķi C.

14. attēls

2. uzdevums. Atrodi leņķi F.

15. attēls

Uzdevums 3. Atrodi leņķus K un N.

16. attēls

4. uzdevums Atrodi leņķus P un T.

17. attēls

1. Atrisiniet uzdevumu pats Nr.223 (b, d).
2. Atrisiniet uzdevumu uz tāfeles un skolēna Nr.224 burtnīcās.
3. Jautājumi: Vai trijstūrim var būt: a) divi taisnleņķi; b) divi strupi leņķi; c) viens taisns un viens strups leņķis.
4. (izpilda mutiski) Uz katra galda kartītēs ir attēloti dažādi trīsstūri. Ar aci nosakiet katra trīsstūra formu.

18. attēls

1. Atrodiet leņķu 1, 2 un 3 summu.

19. attēls

VIII. Nodarbības kopsavilkums.

Skolotājs: Ko mēs iemācījāmies? Vai teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri?

IX. Atspulgs.

Dodiet man savu garastāvokli, puiši! Ar otrā puse trijstūris attēlo jūsu sejas izteiksmes.

20. attēls

Mājasdarbs: 30. lpp. (1. daļa), 1. jautājums sk. IV mācību grāmatas 89. lpp.; Nr.223 (a, c), Nr.225.