Suoran viivan kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden. Funktiojohdannainen. Derivaatan geometrinen merkitys

Matematiikassa yksi suoran sijaintia suorakulmaisella koordinaattitasolla kuvaavista parametreista on kaltevuus tämä suora viiva. Tämä parametri kuvaa suoran kaltevuutta x-akseliin nähden. Ymmärtääksesi kaltevuuden löytämisen, muista ensin XY-koordinaatistossa olevan suoran yhtälön yleinen muoto.

Yleensä mitä tahansa suoraa voidaan esittää lausekkeella ax+by=c, jossa a, b ja c ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja, mutta välttämättä a 2 + b 2 ≠ 0.

Yksinkertaisten muunnosten avulla tällainen yhtälö voidaan saada muotoon y=kx+d, jossa k ja d ovat reaalilukuja. Luku k on kaltevuus, ja tällaista suoran yhtälöä kutsutaan kaltevuuden yhtälöksi. Osoittautuu, että kaltevuuden löytämiseksi sinun on vain saatava alkuperäinen yhtälö yllä olevaan muotoon. Jotta ymmärrät paremmin, harkitse tiettyä esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi yhtälön 36x - 18y = 108 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Muunnetaan alkuperäinen yhtälö.

Vastaus: Tämän viivan haluttu kaltevuus on 2.

Jos yhtälön muunnoksen aikana saimme lausekkeen, jonka tyyppi on x = const, emmekä siksi voi esittää y:tä x:n funktiona, niin kyseessä on X-akselin suuntainen suora. tällainen suora on yhtä suuri kuin ääretön.

Linjojen, jotka ilmaistaan ​​yhtälöllä, kuten y = const, kulmakerroin on nolla. Tämä on tyypillistä x-akselin suuntaisille suorille viivoille. Esimerkiksi:

Tehtävä: Etsi yhtälön 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Tuomme alkuperäisen yhtälön yleiseen muotoon

24x + 12v - 12v + 28 = 4

On mahdotonta ilmaista y:tä tuloksena olevasta lausekkeesta, joten tämän suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin ääretön, ja itse suora on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa.

geometrinen tunne

Paremman käsityksen saamiseksi katsotaanpa kuvaa:

Kuvassa on funktion kaavio, jonka tyyppi on y = kx. Yksinkertaistamiseksi otamme kertoimen c = 0. Kolmiossa OAB sivun BA ja AO suhde on yhtä suuri kuin kaltevuus k. Samanaikaisesti suhde VA / AO on tangentti terävä kulmaα in suorakulmainen kolmio OAV. Osoittautuu, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin sen kulman tangentti, jonka tämä suora muodostaa koordinaattiruudukon x-akselin kanssa.

Ratkaisemalla suoran viivan kaltevuuden löytämisen ongelman löydämme sen ja koordinaattiverkon x-akselin välisen kulman tangentin. Rajatapaukset, joissa tarkasteltava suora on yhdensuuntainen koordinaattiakseleiden kanssa, vahvistavat edellä olevan. Todellakin, yhtälöllä y=const kuvatulla suoralla sen ja abskissa-akselin välinen kulma nolla. Nollakulman tangentti on myös nolla ja kaltevuus on myös nolla.

Suorilla viivoilla, jotka ovat kohtisuorassa x-akseliin nähden ja joita kuvaa yhtälö x=const, niiden ja x-akselin välinen kulma on 90 astetta. Tangentti oikea kulma on yhtä suuri kuin ääretön, ja samankaltaisten suorien viivojen kaltevuus on yhtä suuri kuin ääretön, mikä vahvistaa edellä kirjoitetun.

Tangentin kaltevuus

Yleinen, käytännössä usein tavattu tehtävä on myös löytää jossain vaiheessa funktiokaavion tangentin kaltevuus. Tangentti on suora, joten kaltevuuden käsite pätee myös siihen.

Jotta voimme selvittää, kuinka löytää tangentin kaltevuus, meidän on muistettava derivaatan käsite. Minkä tahansa funktion derivaatta jossain pisteessä on vakio, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin sen kulman tangentti, joka muodostuu tämän funktion kuvaajan määritellyssä pisteessä olevan tangentin ja abskissa-akselin välille. Osoittautuu, että tangentin kaltevuuden määrittämiseksi pisteessä x 0 meidän on laskettava alkuperäisen funktion derivaatan arvo tässä pisteessä k \u003d f "(x 0). Tarkastellaan esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi funktion y = 12x 2 + 2xe x tangentin kaltevuus kohdassa x = 0,1.

Ratkaisu: Etsi alkuperäisen funktion derivaatta yleisessä muodossa

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Vastaus: Haluttu kaltevuus pisteessä x \u003d 0,1 on 4,831

Tason suoran yhtälön aiheen jatko perustuu suoran tutkimiseen algebran oppitunneista. Tämä artikkeli antaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Harkitse määritelmiä, hanki itse yhtälö, paljasta suhde muiden yhtälöiden kanssa. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran viivan kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kaltevuuden kanssa. Oletetaan, että tasossa on annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma akseliin O x, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa tai siinä esiintyy sattuma, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suoran viivan kaltevuus on annetun suoran kaltevuuden tangentti.

Vakiomerkintä on k. Määritelmästä saadaan, että k = t g α . Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa, kaltevuutta ei sanota olevan olemassa, koska se menee äärettömään.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa on esitetty erilaisia ​​muunnelmia oikean kulman sijainnista suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kaltevuuskertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Ratkaisu

Ehdosta saamme, että α = 120 °. Määritelmän mukaan sinun on laskettava kaltevuus. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3 .

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan, mutta on tarpeen löytää kaltevuuskulma x-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k . Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään, jonka kaltevuus on 3.

Ratkaisu

Ehdolla on, että kaltevuus on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavan α = a r c t g k = a r c t g 3 mukaisesti.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3 .

Ratkaisu

Jos otamme kaltevuuden merkinnäksi kirjaimen k, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Vastaus: 5 pi 6.

Yhtälöä, jonka muoto on y \u003d k x + b, jossa k on kaltevuus ja b on jokin reaaliluku, kutsutaan yhtälöksi suorasta viivasta, jossa on kaltevuus. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastellaan yksityiskohtaisesti suoraa viivaa tasossa kiinteässä koordinaattijärjestelmässä, joka saadaan yhtälöllä, jonka kaltevuus näyttää y \u003d k x + b. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että minkä tahansa suoran pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä. Jos korvaamme pisteen M koordinaatit M 1 (x 1, y 1) yhtälöön y \u003d k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen läpi, muuten piste ei kuulu linja.

Esimerkki 4

Annettu suora kaltevuus y = 1 3 x - 1 . Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) annettuun suoraan.

Ratkaisu

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Tasa-arvo on totta, joten piste kuuluu riville.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, saadaan virheellinen yhtälö muodossa - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0 , b) :n kautta, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b . Tästä voidaan päätellä, että tasaisen suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = k · x + b, määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, jossa k = t g α .

Tarkastellaan esimerkiksi suoraa, joka on määritelty käyttämällä muotoa y = 3 · x - 1 annettua kaltevuutta. Saadaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatti on 0, - 1, kaltevuus α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tästä voidaan nähdä, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista tehtävä, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta viivasta, jolla on tietty kaltevuus, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuskertoimella vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Laadi yhtälö pisteen M 1 läpi kulkevasta suorasta koordinaateista (4, - 1), jonka kaltevuus on -2.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan näin y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 läpi koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisina suoran y \u003d 2 x - 2 kanssa.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtenevät kaltevuuskulmat, joten kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi rinteen annettu yhtälö, on tarpeen muistaa sen peruskaava y = 2 x - 2, joten tästä seuraa, että k = 2 . Muodostamme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen kaltevan suoran yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Tällaista yhtälöä ei aina voida soveltaa ongelmien ratkaisemiseen, koska sen merkintätapa ei ole kovin kätevä. Tätä varten se on esitettävä eri muodossa. Esimerkiksi yhtälö, jonka muoto on y = k · x + b, ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään erilaisia ​​yhtälöitä.

Voimme saada tasossa olevan suoran kanonisen yhtälön käyttämällä yhtälöä suorasta, jossa on kaltevuus. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa tuloksena olevan epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Suoran ja kaltevuuden yhtälöstä on tullut tietyn suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Ratkaisu

Laskemme ja edustamme suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k x + b, mutta tämä vaatii muunnoksia: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Siirto tehdään yleinen yhtälö suoraan toisenlaisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

On annettu yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 olevasta suorasta. Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1 , 7), normaali suoravektori?

Ratkaisu

Sen ratkaisemiseksi on vaihdettava tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatit. Kirjoitetaan se näin n → = 1 7 , - 1 , joten 1 7 x - y - 2 = 0 . On selvää, että vektori a → = (- 1 , 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n → . Tästä seuraa, että alkuperäinen vektori a → = - 1 , 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori , mikä tarkoittaa , että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2 .

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​ongelma käänteisesti tälle.

Pitää muuttaa pois yleisnäkymä yhtälö A x + B y + C = 0, missä B ≠ 0, kaltevuusyhtälöön. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin - A B .

Esimerkki 9

On annettu yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki yhtälö tietylle suoralle, jolla on kaltevuus.

Ratkaisu

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Yhtälö muotoa x a + y b \u003d 1 ratkaistaan ​​samalla tavalla, jota kutsutaan suoran yhtälöksi segmenteissä, tai kanoninen muoto x - x 1 a x = y - y 1 a y . Se on ratkaistava y:n suhteen, vasta sitten saadaan yhtälö, jolla on kaltevuus:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kaltevuus. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

Esimerkki 10

On olemassa yhtälön x 2 + y - 3 = 1 antama suora viiva. Muodosta yhtälö, jossa on kaltevuus.

Ratkaisu.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Yhtälön molemmat puolet tulee kertoa -3:lla, jotta saadaan vaadittu kaltevuusyhtälö. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Muodon x - 2 2 \u003d y + 1 5 suora yhtälö tuodaan muotoon, jossa on kaltevuus.

Ratkaisu

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan tätä varten:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 v + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi suoran muodon x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriset yhtälöt tulee pelkistää suoran kanoniseen yhtälöön, vasta sen jälkeen voit siirtyä yhtälö kaltevuuden kanssa.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Ratkaisu

Sinun on siirryttävä parametrinäkymästä kaltevuustilaan. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmasta. Tätä varten kirjoitamme näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2 .

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kaltevuuskerroin on suora. Tässä artikkelissa tarkastelemme matematiikan kokeeseen sisältyviä koordinaattitasoon liittyviä tehtäviä. Nämä ovat tehtäviä:

- suoran viivan kaltevuuden määrittäminen, kun tunnetaan kaksi pistettä, joiden läpi se kulkee;
- kahden tason suoran leikkauspisteen abskissan tai ordinaatin määrittäminen.

Tässä osiossa kuvattiin mikä on pisteen abskissa ja ordinaatta. Siinä olemme jo tarkastelleet useita koordinaattitasoon liittyviä ongelmia. Mitä tulee ymmärtää tarkasteltavana olevien tehtävien osalta? Vähän teoriaa.

Koordinaattitasolla olevan suoran yhtälöllä on muoto:

missä k – tämä on suoran kaltevuus.

Seuraava hetki! Suoran viivan kaltevuus yhtä suuri kuin tangentti suoran viivan kaltevuuskulma. Tämä on annetun suoran ja akselin välinen kulmavai niin.

Se on 0 ja 180 asteen välillä.

Eli jos pelkistetään suoran yhtälö muotoon y = kx + b, niin edelleen voimme aina määrittää kertoimen k (kaltevuuskerroin).

Lisäksi, jos pystymme määrittämään suoran kaltevuuden tangentin ehdon perusteella, niin löydämme siten sen kaltevuuden.

Seuraava teoreettinen hetki!Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.Kaava näyttää tältä:

Harkitse ongelmia (samankaltaisia ​​kuin avoin pankki tehtävät):

Etsi koordinaattipisteiden (–6; 0) ja (0; 6) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Tässä tehtävässä järkevin tapa ratkaista tämä on löytää x-akselin ja annetun suoran välisen kulman tangentti. Tiedetään, että se on yhtä suuri kuin kulmakerroin. Tarkastellaan suoran ja x- ja y-akselien muodostamaa suorakulmaista kolmiota:

Suorakulmaisen kolmion kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen haaraan:

* Molemmat jalat ovat kuusi (nämä ovat niiden pituudet).

Tietysti, tämä tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä kaavaa kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön löytämiseksi. Mutta se on pidempi ratkaisupolku.

Vastaus: 1

Etsi koordinaattien (5;0) ja (0;5) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Pisteillämme on koordinaatit (5;0) ja (0;5). tarkoittaa,

Tuodaan kaava muotoon y = kx + b

Saimme sen kulmakertoimen k = – 1.

Vastaus: -1

Suoraan a kulkee koordinaattien (0;6) ja (8;0) kautta. Suoraan b kulkee koordinaatin (0;10) pisteen läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a b akselilla härkä.

Tässä tehtävässä voit löytää suoran yhtälön a, määritä sen kaltevuus. Suora viiva b kaltevuus on sama, koska ne ovat yhdensuuntaisia. Seuraavaksi löydät suoran yhtälön b. Ja sitten korvaamalla arvo y = 0, etsi abskissa. MUTTA!

Tässä tapauksessa on helpompi käyttää kolmion samankaltaisuusominaisuutta.

Tiettyjen (rinnakkaisten) koordinaattiviivojen muodostamat suorakulmaiset kolmiot ovat samanlaisia, mikä tarkoittaa, että niiden sivujen suhteet ovat yhtä suuret.

Haluttu abskissa on 40/3.

Vastaus: 40/3

Suoraan a kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0;8) ja (–12;0). Suoraan b kulkee koordinaattipisteen (0; -12) läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a. Etsi suoran leikkauspisteen abskissa b akselilla härkä.

Tämän ongelman rationaalisin tapa ratkaista se on käyttää kolmioiden samankaltaisuusominaisuutta. Mutta ratkaisemme sen eri tavalla.

Tiedämme pisteet, joiden kautta viiva kulkee a. Voimme kirjoittaa suoran yhtälön. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Ehdon mukaan pisteillä on koordinaatit (0;8) ja (–12;0). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b:

Sain sen kulman k = 2/3.

*Kulmakerroin löytyi kulman tangentin kautta suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on jalat 8 ja 12.

Tiedämme, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtä suuri kaltevuus. Joten pisteen (0;-12) läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Etsi arvo b voimme korvata abskissan ja ordinaatoida yhtälöön:

Joten rivi näyttää tältä:

Nyt, jotta voit löytää halutun abskissan suoran leikkauspisteestä x-akselin kanssa, sinun on korvattava y \u003d 0:

Vastaus: 18

Etsi akselin leikkauspisteen ordinaatit oi ja pisteen B(10;12) kautta kulkeva suora ja origon ja pisteen A(10;24) kautta kulkeva yhdensuuntainen viiva.

Etsitään koordinaattien (0;0) ja (10;24) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Pisteillämme on koordinaatit (0;0) ja (10;24). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b

Yhdensuuntaisten viivojen kaltevuus on yhtä suuri. Näin ollen pisteen B (10; 12) kautta kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Merkitys b saamme korvaamalla pisteen B (10; 12) koordinaatit tähän yhtälöön:

Saimme suoran yhtälön:

Tämän suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatin löytäminen OU on korvattava löydettyyn yhtälöön X= 0:

* Helpoin ratkaisu. Rinnakkaiskäännöksen avulla siirrämme tätä viivaa alaspäin akselia pitkin OU pisteeseen (10;12). Siirto tapahtuu 12 yksiköllä, eli piste A(10;24) "läpäisty" pisteeseen B(10;12) ja piste O(0;0) "läpi" pisteeseen (0;-12). Joten tuloksena oleva viiva leikkaa akselin OU pisteessä (0;–12).

Haluttu ordinaatta on -12.

Vastaus: -12

Etsi yhtälön antaman suoran leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6, akselilla Oy.

Annetun suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU on muotoa (0; klo). Korvaa abskissa yhtälöön X= 0 ja etsi ordinaatti:

Suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatta OU on yhtä kuin 3.

* Järjestelmää ratkaistaan:

Vastaus: 3

Etsi yhtälöiden antamien suorien leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6 ja y = - x.

Kun on annettu kaksi suoraa ja kysymys on näiden viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä, näiden yhtälöiden järjestelmä on ratkaistu:

Ensimmäisessä yhtälössä korvaamme - X sijasta klo:

Ordinaatta on miinus kuusi.

Vastaus: – 6

Etsi koordinaattipisteiden (–2; 0) ja (0; 2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Etsi koordinaattien (2;0) ja (0;2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Suora a kulkee koordinaattipisteiden (0;4) ja (6;0) kautta. Suora b kulkee koordinaatin (0;8) pisteen läpi ja on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Etsi suoran b ja x-akselin leikkauspisteen abskissa.

Etsi y-akselin ja pisteen B (6;4) kautta kulkevan suoran ja origon ja pisteen A kautta kulkevan yhdensuuntaisen suoran leikkauspisteen ordinaatit (6;8).

1. On välttämätöntä ymmärtää selvästi, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuden tangentti. Tämä auttaa sinua ratkaisemaan monia tämäntyyppisiä ongelmia.

2. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran löytämisen kaava on ymmärrettävä. Sen avulla voit aina löytää suoran yhtälön, jos sen kahden pisteen koordinaatit on annettu.

3. Muista, että yhdensuuntaisten viivojen jyrkkyys on yhtä suuri.

4. Kuten ymmärrät, joissakin tehtävissä on kätevää käyttää kolmioiden samankaltaisuuden merkkiä. Ongelmat ratkaistaan ​​käytännössä suullisesti.

5. Tehtävät, joissa on annettu kaksi suoraa ja niiden leikkauspisteen abskissa tai ordinaatta on löydettävä, voidaan ratkaista graafisesti. Toisin sanoen rakentaa ne koordinaattitasolle (arkille solussa) ja määritä leikkauspiste visuaalisesti. * Mutta tämä menetelmä ei ole aina käyttökelpoinen.

6. Ja viimeinen. Jos on annettu suora ja sen leikkauspisteiden koordinaatit koordinaattiakseleiden kanssa, niin tällaisissa tehtävissä on kätevää löytää kulmakerroin etsimällä kulman tangentti muodostetusta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuinka "nähdä" tämä kolmio eri viivojen järjestelyille tasossa, on kaaviomaisesti esitetty alla:

>> Viivan kaltevuuskulma 0 - 90 astetta<<

>> Suoraviivan kulma 90 - 180 astetta<<

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Funktion johdannainen on yksi koulun opetussuunnitelman vaikeimmista aiheista. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisesti ja selkeästi, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen esityksen tarkkuuteen. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeimmin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Näet kaikki kartalla heti, eikö niin? Kostjan tulot ovat yli kaksinkertaistuneet kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matthew'n tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, ts. johdannainen, - erilainen. Mitä tulee Matveyn tuloihin, hänen tulonsa johdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti voimme helposti arvioida funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme sen?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee ylös (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n kanssa. On selvää, että samalla funktiolla eri pisteissä voi olla eri derivaatan arvo - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Toiminnon derivaatta on merkitty .

Näytetään kuinka löytää kaavion avulla.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Ota piste siitä abskissalla. Piirrä tangentti funktion kuvaajalle tässä kohdassa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kaltevuuden tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on sama kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti kyseisessä pisteessä.

Huomaa - tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on ainoa yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään . Muistamme, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​tehtäviä löytyy usein matematiikan kokeesta numeron alla.

On toinenkin tärkeä korrelaatio. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Se ilmaisee derivaatan geometrisen merkityksen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kulmakertoimen tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Kuvaajan tangentti, joka on piirretty pisteeseen, muodostaa terävän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Joten derivaatta on positiivinen kohdassa.

Tällä hetkellä toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Ja mitä tapahtuu maksimi- ja minimipisteissä? Näemme, että (maksimipisteessä) ja (minimipisteessä) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin kulmakertoimen tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste on maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös yhtä suuri kuin nolla, mutta sen etumerkki muuttuu "miinuksesta" "plussiksi".

Johtopäätös: derivaatan avulla saat selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen.

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja vaihtaa etumerkin miinuksesta plussaan.

Kirjoitamme nämä havainnot taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

Tapaus on mahdollinen, kun funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä pisteessä maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se on pysynyt positiivisena sellaisenaan.

Sattuu myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Mutta kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee