Antes de estudiar cuestiones sobre esta figura geométrica y sus propiedades, es necesario comprender algunos términos. Cuando una persona oye hablar de la pirámide, imagina enormes edificios en Egipto. Así es como se ven los más simples. pero suceden diferentes tipos y formas, lo que significa que la fórmula de cálculo para formas geométricas será diferente.

Pirámide - figura geométrica, que denota y representa múltiples caras. De hecho, este es el mismo poliedro, en cuya base se encuentra un polígono, y en los lados hay triángulos que se conectan en un punto: el vértice. La figura es de dos tipos principales:

• correcto;
• truncado.

En el primer caso, la base es un polígono regular. Aquí todas las superficies laterales son iguales entre ellos y la figura en sí complacerán el ojo de un perfeccionista.

En el segundo caso, hay dos bases: una grande en la parte inferior y una pequeña entre la parte superior, repitiendo la forma de la principal. En otras palabras, una pirámide truncada es un poliedro con una sección formada paralela a la base.

Términos y notación

Términos básicos:

• Triángulo regular (equilátero) Una figura con tres ángulos idénticos y lados iguales. En este caso, todos los ángulos son de 60 grados. La figura es la más simple de los poliedros regulares. Si esta figura se encuentra en la base, dicho poliedro se llamará triangular regular. Si la base es un cuadrado, la pirámide se llamará pirámide cuadrangular regular.
• Vértice- el punto más alto donde se juntan los bordes. La altura de la cúspide está formada por una línea recta que parte desde la cúspide hasta la base de la pirámide.
• borde es uno de los planos del polígono. Puede ser en forma de triángulo en el caso de una pirámide triangular, o en forma de trapezoide para pirámide truncada.
• sección transversal- una figura plana formada como resultado de la disección. No debe confundirse con una sección, ya que una sección también muestra lo que hay detrás de la sección.
• Apotema- un segmento dibujado desde la parte superior de la pirámide hasta su base. También es la altura de la cara donde está el segundo punto de altura. Esta definición es válido sólo para un poliedro regular. Por ejemplo, si no es una pirámide truncada, la cara será un triángulo. En este caso, la altura de este triángulo se convertirá en una apotema.

fórmulas de área

Encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide. cualquier tipo se puede hacer de varias maneras. Si la figura no es simétrica y es un polígono con lados diferentes, entonces en este caso es más fácil de calcular área total superficies a través de la colección de todas las superficies. En otras palabras, debe calcular el área de cada cara y sumarlas.

Según los parámetros que se conozcan, es posible que se requieran fórmulas para calcular un cuadrado, un trapezoide, un cuadrilátero arbitrario, etc. Las fórmulas en sí diferentes ocasiones también será diferente.

En el caso de una figura regular, encontrar el área es mucho más fácil. Basta con conocer algunos parámetros clave. En la mayoría de los casos, se requieren cálculos precisamente para tales cifras. Por lo tanto, las fórmulas correspondientes se darán a continuación. De lo contrario, tendría que pintar todo en varias páginas, lo que solo confundirá y confundirá.

Fórmula básica para el cálculo superficie lateral pirámide correcta se verá así:

S \u003d ½ Pa (P es el perímetro de la base y es la apotema)

Consideremos uno de los ejemplos. El poliedro tiene una base con segmentos A1, A2, A3, A4, A5, y todos son iguales a 10 cm. Que la apotema sea igual a 5 cm. Primero necesitas encontrar el perímetro. Dado que las cinco caras de la base son iguales, se puede encontrar de la siguiente manera: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm A continuación, aplicamos la fórmula básica: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm al cuadrado .

Superficie lateral correcta Pirámide triangular el más fácil de calcular. La fórmula se ve así:

S =½* ab *3, donde a es la apotema, b es la faceta de la base. El factor de tres aquí significa el número de caras de la base, y la primera parte es el área de la superficie lateral. Considere un ejemplo. Dada una figura con apotema de 5 cm y cara base de 8 cm, calculamos: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm al cuadrado.

Superficie lateral de una pirámide truncada es un poco más difícil de calcular. La fórmula se ve así: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, donde p_01 y p_02 son los perímetros de las bases y es la apotema. Considere un ejemplo. Supongamos que, para una figura cuadrangular, las dimensiones de los lados de las bases son de 3 y 6 cm, la apotema es de 4 cm.

Aquí, para empezar, debes encontrar los perímetros de las bases: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Resta sustituir los valores en la fórmula principal y obtener: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm al cuadrado.

Por lo tanto, es posible encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide regular de cualquier complejidad. Tenga cuidado de no confundir estos cálculos con área total todo el poliedro. Y si aún necesita hacer esto, basta con calcular el área de la base más grande del poliedro y agregarla al área de la superficie lateral del poliedro.

Video

Para consolidar información sobre cómo encontrar el área de la superficie lateral de diferentes pirámides, este video te ayudará.

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El área de la superficie de la pirámide. En este artículo, consideraremos con usted los problemas con las pirámides regulares. Permítanme recordarles que una pirámide regular es una pirámide cuya base es un polígono regular, la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de este polígono.

La cara lateral de tal pirámide es un triángulo isósceles.La altura de este triángulo, dibujado desde la parte superior de una pirámide regular, se llama apotema, SF es una apotema:

En el tipo de problemas que se presentan a continuación, se requiere encontrar el área de superficie de toda la pirámide o el área de su superficie lateral. El blog ya ha considerado varios problemas con pirámides regulares, donde se planteó la cuestión de encontrar elementos (altura, arista de la base, arista lateral), .

EN USAR asignaciones, por regla general, se consideran pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales. No he visto problemas con pirámides pentagonales y heptagonales regulares.

La fórmula para el área de toda la superficie es simple: debe encontrar la suma del área de la base de la pirámide y el área de su superficie lateral:

Considere las tareas:

Los lados de la base son correctos. pirámide cuadrangular son 72, las aristas laterales son 164. Encuentra el área de superficie de esta pirámide.

El área de superficie de la pirámide es igual a la suma de las áreas de la superficie lateral y la base:

*La superficie lateral consta de cuatro triángulos de igual área. La base de la pirámide es un cuadrado.

El área del lado de la pirámide se puede calcular usando:

Por lo tanto, el área de la superficie de la pirámide es:

Respuesta: 28224

Los lados de la base son correctos. pirámide hexagonal son 22, las aristas laterales son 61. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

La base de una pirámide hexagonal regular es un hexágono regular.

El área de superficie lateral de esta pirámide consta de seis áreas de triángulos iguales con lados 61.61 y 22:

Encuentra el área de un triángulo usando la fórmula de Heron:

Entonces el área de la superficie lateral es:

Respuesta: 3240

*En los problemas presentados anteriormente, el área de la cara lateral se podría encontrar usando una fórmula de triángulo diferente, pero para esto necesitas calcular la apotema.

27155. Halla el área de superficie de una pirámide cuadrangular regular cuyos lados de la base son 6 y cuya altura es 4.

Para encontrar el área de la superficie de una pirámide, necesitamos saber el área de la base y el área de la superficie lateral:

El área de la base es 36, ya que es un cuadrado de lado 6.

La superficie lateral consta de cuatro caras, que son triángulos iguales. Para encontrar el área de dicho triángulo, debe conocer su base y altura (apotema):

* El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base y la altura trazada a esta base.

La base es conocida, es igual a seis. Encontremos la altura. Considerar triángulo rectángulo(resaltado en amarillo):

Un cateto es igual a 4, ya que esta es la altura de la pirámide, el otro es igual a 3, ya que medio costillas base. Podemos encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:

Entonces el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Así, el área de superficie de toda la pirámide es:

Respuesta: 96

27069. Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son 10, las aristas laterales son 13. Encuentra el área de superficie de esta pirámide.

27070. Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son 10, las aristas laterales son 13. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

También existen fórmulas para el área de la superficie lateral de una pirámide regular. En una pirámide regular, la base es una proyección ortogonal de la superficie lateral, por lo tanto:

PAG- perímetro de la base, yo- apotema de la pirámide

*Esta fórmula se basa en la fórmula del área de un triángulo.

Si quieres saber más sobre cómo se derivan estas fórmulas, no te lo pierdas, sigue la publicación de artículos.Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

- Esta es una figura poliédrica, en cuya base se encuentra un polígono, y las caras restantes están representadas por triángulos con un vértice común.

Si la base es un cuadrado, entonces se llama pirámide. cuadrangular, si el triangulo es triangular. La altura de la pirámide se dibuja desde su parte superior perpendicular a la base. También se utiliza para calcular el área. apotema es la altura de la cara lateral bajada de su vértice.
La fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales, que son iguales entre sí. Sin embargo, este método de cálculo se usa muy raramente. Básicamente, el área de la pirámide se calcula a través del perímetro de la base y la apotema:

Considere un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide.

Sea una pirámide de base ABCDE y vértice F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Halla el área de la superficie lateral de la pirámide.
Encontremos el perímetro. Como todas las caras de la base son iguales, entonces el perímetro del pentágono será igual a:
Ahora puedes encontrar el área lateral de la pirámide:

Área de una pirámide triangular regular

Una pirámide triangular regular consta de una base que contiene un triángulo regular y tres caras laterales que tienen el mismo área.
La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular se puede calcular diferentes caminos. Puede aplicar la fórmula habitual para calcular a través del perímetro y la apotema, o puede encontrar el área de una cara y multiplicarla por tres. Como la cara de la pirámide es un triángulo, aplicamos la fórmula para el área de un triángulo. Requerirá una apotema y la longitud de la base. Considere un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular.

Dada una pirámide con apotema a = 4 cm y una cara base b = 2 cm, encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide.
Primero, encuentra el área de una de las caras laterales. En este caso será:
Sustituye los valores en la fórmula:
Como en una pirámide regular todos los lados son iguales, el área de la superficie lateral de la pirámide será igual a la suma de las áreas de las tres caras. Respectivamente:

El área de la pirámide trunca

truncado Una pirámide es un poliedro formado por una pirámide y su sección paralela a la base.
La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es muy simple. El área es igual al producto de la mitad de la suma de los perímetros de las bases y la apotema:

Brevemente sobre los principales

Superficie (2019)

área de la superficie del prisma

Si hay un formula general? No, en general, no. Solo necesitas encontrar las áreas de las caras laterales y sumarlas.

La fórmula se puede escribir para prisma recto:

Donde es el perímetro de la base.

Pero aún mucho más fácil en cada caso específico sume todas las áreas que memorice fórmulas adicionales. Por ejemplo, consideremos superficie completa prisma hexagonal regular.

Todas las caras laterales son rectángulos. Significa.

Esto ya se ha tenido en cuenta al calcular el volumen.

Entonces obtenemos:

Superficie de la pirámide

Para la pirámide, también se aplica la regla general:

Ahora calculemos el área de superficie de las pirámides más populares.

Superficie de una pirámide triangular regular

Sean iguales los lados de la base y los lados de la arista. Necesito encontrar y.

Recuerda ahora que

Esta es el área de un triángulo rectángulo.

Y recordemos cómo encontrar esta área. Usamos la fórmula del área:

Tenemos "" - esto, y "" - esto también, eh.

Ahora busquemos.

Usando la fórmula básica del área y el teorema de Pitágoras, encontramos

Atención: si tiene un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula es:

Superficie de una pirámide cuadrangular regular

Sean iguales los lados de la base y los lados de la arista.

En la base es un cuadrado, y por lo tanto.

Queda por encontrar el área de la cara lateral.

Superficie de una pirámide hexagonal regular.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.

¿Como encontrar? Un hexágono consta exactamente de seis triángulos regulares idénticos. Ya buscamos el área de un triángulo regular al calcular el área de superficie de una pirámide triangular regular, aquí usamos la fórmula encontrada.

Pues ya hemos buscado dos veces la zona de la cara lateral

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Los problemas geométricos típicos en el plano y en el espacio tridimensional son los problemas de determinación de las áreas de las superficies. diferentes figuras. En este artículo presentamos la fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular.

¿Qué es una pirámide?

Demos una definición geométrica estricta de una pirámide. Supongamos que hay un polígono con n lados y n esquinas. Elegimos un punto arbitrario en el espacio que no estará en el plano del n-ágono especificado y lo conectamos a cada vértice del polígono. Obtendremos una figura que tiene algo de volumen, que se llama pirámide n-gonal. Por ejemplo, mostremos en la siguiente figura cómo se ve una pirámide pentagonal.

Dos elementos importantes de cualquier pirámide son su base (n-ágono) y su parte superior. Estos elementos están conectados entre sí por n triángulos, que en general no son iguales entre sí. La perpendicular que cae desde la parte superior hasta la base se llama altura de la figura. Si se cruza con la base en el centro geométrico (coincide con el centro de masa del polígono), entonces dicha pirámide se llama línea recta. Si además de esta condición, la base es un polígono regular, entonces toda la pirámide se llama regular. La siguiente figura muestra cómo se ven las pirámides regulares con bases triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales.

La superficie de la pirámide.

Antes de pasar a la cuestión del área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular, se debe detenerse con más detalle en el concepto de superficie en sí.

Como se mencionó anteriormente y se muestra en las figuras, cualquier pirámide está formada por un conjunto de caras o lados. Un lado es la base y n lados son triángulos. La superficie de toda la figura es la suma de las áreas de cada uno de sus lados.

Es conveniente estudiar la superficie utilizando el ejemplo de una figura que se despliega. En las siguientes figuras se muestra un escaneo de una pirámide cuadrangular regular.

Vemos que su área superficial es igual a la suma de cuatro áreas de triángulos isósceles idénticos y el área de un cuadrado.

El área total de todos los triángulos que forman los lados de la figura se llama área de la superficie lateral. A continuación, mostramos cómo calcularlo para una pirámide cuadrangular regular.

Superficie lateral de una pirámide regular rectangular

Para calcular el área de la superficie lateral de la figura especificada, recurrimos nuevamente al barrido anterior. Supongamos que conocemos el lado de la base cuadrada. Lo denotaremos con el símbolo a. Se puede ver que cada uno de los cuatro triángulos idénticos tiene una base de longitud a. Para calcular su área total, necesita saber este valor para un triángulo. Del curso de geometría se sabe que el área del triángulo S t es igual al producto de la base y la altura, que debe dividirse por la mitad. Es decir:

Donde h b es la altura del triángulo isósceles dibujado a la base a. Para una pirámide, esta altura es la apotema. Ahora resta multiplicar la expresión resultante por 4 para obtener el área S b de la superficie lateral de la pirámide en cuestión:

S segundo = 4*S t = 2*h segundo *a.

Esta fórmula contiene dos parámetros: la apotema y el lado de la base. Si este último se conoce en la mayoría de las condiciones de los problemas, entonces el primero debe calcularse conociendo otras cantidades. Aquí están las fórmulas para calcular el apotema h b para dos casos:

• cuando se conoce la longitud de la nervadura lateral;
• cuando se conoce la altura de la pirámide.

Si denotamos la longitud del borde lateral (el lado de un triángulo isósceles) con el símbolo L, entonces el apotema h b está determinado por la fórmula:

h segundo \u003d √ (L 2 - un 2 / 4).

Esta expresión es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras para el triángulo de superficie lateral.

Si se conoce la altura h de la pirámide, entonces el apotema h b se puede calcular de la siguiente manera:

h segundo = √(h 2 + un 2 /4).

Tampoco es difícil obtener esta expresión si consideramos un triángulo rectángulo dentro de la pirámide formado por los catetos h y a/2 y la hipotenusa h b.

Mostraremos cómo aplicar estas fórmulas resolviendo dos tareas interesantes.

Problema con el área de superficie conocida

Se sabe que el área de la superficie lateral de un cuadrangular es de 108 cm 2 . Es necesario calcular el valor de la longitud de su apotema h si la altura de la pirámide es de 7 cm.

Escribimos la fórmula para el área S b de la superficie lateral a través de la altura. Tenemos:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Aquí simplemente hemos sustituido la fórmula del apotema correspondiente en la expresión de S b . Elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

S segundo 2 \u003d 4 * un 2 * h 2 + un 4.

Para encontrar el valor de a, hacemos un cambio de variables:

t 2 + 4*h 2 *t - S segundo 2 = 0.

Sustituir ahora valores conocidos y resolver la ecuación cuadrática:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Hemos escrito solo la raíz positiva de esta ecuación. Entonces los lados de la base de la pirámide serán iguales a:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Para obtener la longitud del apotema, simplemente use la fórmula:

h segundo \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2 / 4) ≈ 7.808 cm.

Superficie lateral de la pirámide de Keops

Determinemos el valor del área de superficie lateral para el mayor pirámide egipcia. Se sabe que en su base se encuentra un cuadrado con una longitud de lado de 230,363 metros. La altura de la estructura era originalmente de 146,5 metros. Sustituyendo estos números en la fórmula correspondiente para S b , obtenemos:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2 / 4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.

El valor encontrado es ligeramente mayor que el área de 17 campos de fútbol.