Fórmulas para figuras convexas en estereometría. El volumen de la pirámide truncada es Volumen y área de las superficies laterales y completas del cono.

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\((\color(red)(\textbf(Dato 1. Sobre líneas paralelas)))\)
\(\bullet\) Dos líneas en el espacio son paralelas si están en el mismo plano y no se cortan.
\(\bullet\) Sólo hay un plano que pasa por dos rectas paralelas.
\(\bullet\) Si una de dos rectas paralelas interseca un plano, entonces la otra recta también interseca este plano.
\(\bullet\) Si la línea \(a\) es paralela a la línea \(b\) , que a su vez es paralela a la línea \(c\) , entonces \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Dejemos que el plano \(\alpha\) y \(\beta\) se intersequen a lo largo de la línea \(a\) , los planos \(\beta\) y \(\pi\) se intersequen a lo largo de la línea \(b \) , los planos \(\pi\) y \(\alpha\) se intersecan a lo largo de la línea \(p\) . Entonces si \(a\parallel b\) , entonces \(p\parallel a\) (o \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Dato 2. Sobre el paralelismo de una recta y un plano)))\)
\(\bullet\) Hay tres tipos de disposición mutua de una línea y un plano:
1. la línea tiene dos puntos comunes con el plano (es decir, se encuentra en el plano);
2. la recta tiene exactamente un punto en común con el plano (es decir, interseca al plano);
3. la recta no tiene puntos comunes con el plano (es decir, es paralela al plano).
\(\bullet\) Si una línea \(a\) , que no está en el plano \(\pi\) , es paralela a alguna línea \(p\) , que está en el plano \(\pi\) , entonces es paralelo al plano dado.

\(\bullet\) Sea la recta \(p\) paralela al plano \(\mu\) . Si el plano \(\pi\) pasa por la recta \(p\) y se cruza con el plano \(\mu\), entonces la recta de intersección de los planos \(\pi\) y \(\mu\) es la línea \(m\) - paralela a la línea \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Dato 3. Acerca de los planos paralelos)))\)
\(\bullet\) Si dos planos no tienen puntos en común, entonces se llaman planos paralelos.
\(\bullet\) Si dos rectas que se cortan de un plano son respectivamente paralelas a dos rectas que se cortan de otro plano, entonces esos planos serán paralelos.

\(\bullet\) Si dos planos paralelos \(\alpha\) y \(\beta\) son intersecados por un tercer plano \(\gamma\) , entonces las líneas de intersección de los planos también son paralelas: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Los segmentos de rectas paralelas encerrados entre planos paralelos son iguales a: \[\alpha\parallel \beta, \a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Dato 4. Acerca de las líneas que se cruzan)))\)
\(\bullet\) Dos líneas rectas en el espacio se llaman intersecantes si no están en el mismo plano.
\(\bullet\) Signo:
Deje que la línea \(l\) se encuentre en el plano \(\lambda\) . Si la recta \(s\) interseca al plano \(\lambda\) en un punto \(S\) que no está sobre la recta \(l\) , entonces las rectas \(l\) y \(s\) intersecarse.

\(\bala\) algoritmo para encontrar el ángulo entre las líneas oblicuas \(a\) y \(b\):

Paso 2. En el plano \(\pi\) encuentra el ángulo entre las líneas \(a\) y \(p\) (\(p\parallel b\) ). El ángulo entre ellos será igual al ángulo entre las líneas oblicuas \(a\) y \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Dato 5. Sobre la perpendicularidad de una línea y un plano)))\)
\(\bullet\) Se dice que una línea es perpendicular a un plano si es perpendicular a cualquier línea en ese plano.
\(\bullet\) Si dos líneas son perpendiculares a un plano, entonces son paralelas.
\(\bullet\) Signo: si una recta es perpendicular a dos rectas que se cortan en un plano dado, entonces es perpendicular a este plano.

\((\color(red)(\textbf(Dato 6. Sobre las distancias)))\)
\(\bullet\) Para encontrar la distancia entre líneas paralelas, necesitas colocar una perpendicular desde cualquier punto de una línea a otra línea. La longitud de la perpendicular es la distancia entre estas líneas.
\(\bullet\) Para encontrar la distancia entre un plano y una línea paralela a él, necesitas trazar una perpendicular a este plano desde cualquier punto de la línea. La longitud de la perpendicular es la distancia entre esta línea y el plano.
\(\bullet\) Para encontrar la distancia entre planos paralelos, necesitas bajar la perpendicular al otro plano desde cualquier punto de un plano. La longitud de esta perpendicular es la distancia entre los planos paralelos.
\(\bala\) algoritmo para encontrar la distancia entre las líneas oblicuas \(a\) y \(b\):
Paso 1. A través de una de las dos líneas que se cortan \(a\) dibuja un plano \(\pi\) paralelo a la otra línea \(b\) . Cómo hacerlo: dibujar el plano \(\beta\) a través de la recta \(b\) de modo que corte a la recta \(a\) en el punto \(P\) ; dibuja una línea a través del punto \(P\) \(p\parallel b\) ; entonces el plano que pasa por \(a\) y \(p\) es el plano \(\pi\) .
Paso 2. Encuentra la distancia desde cualquier punto de la línea \(b\) al plano \(\pi\) . Esta distancia es la distancia entre las líneas oblicuas \(a\) y \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Dato 7. Sobre el Teorema de las Tres Perpendiculares (TTP))))\)
\(\bullet\) Sea \(AH\) la perpendicular al plano \(\beta\) . Sea \(AB, BH\) un oblicuo y su proyección sobre el plano \(\beta\) . Entonces la recta \(x\) en el plano \(\beta\) será perpendicular a la oblicua si y solo si es perpendicular a la proyección: \[\begin(alineado) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(alineado)\]

Tenga en cuenta que la línea \(x\) no necesita pasar por el punto \(B\) . Si no pasa por el punto \(B\) , entonces se construye una recta \(x"\) que pasa por el punto \(B\) y paralela a \(x\) . Si, por ejemplo, \( x"\perp BH\ ) , entonces también lo es \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Dato 8. Sobre el ángulo entre una línea y un plano, así como el ángulo entre planos)))\)
\(\bullet\) El ángulo entre una línea oblicua y un plano es el ángulo entre esta línea y su proyección en el plano dado. Así, este ángulo toma valores del intervalo \((0^\circ;90^\circ)\) .
Si la línea se encuentra en un plano, entonces el ángulo entre ellos se considera igual a \(0^\circ\) . Si la línea es perpendicular al plano, entonces, según la definición, el ángulo entre ellos es \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Para encontrar el ángulo entre una recta oblicua y un plano, es necesario marcar algún punto \(A\) sobre esta recta y dibujar una perpendicular \(AH\) al plano. Si \(B\) es el punto de intersección de la recta con el plano, entonces \(\angle ABH\) es el ángulo buscado.

\(\bullet\) Para encontrar el ángulo entre los planos \(\alpha\) y \(\beta\) , puedes usar el siguiente algoritmo:
Marca un punto arbitrario \(A\) en el plano \(\alpha\) .
Dibuja \(AH\perp h\) , donde \(h\) es la línea de intersección de los planos.
Dibuja \(AB\) perpendicular al plano \(\beta\) .
Entonces \(AB\) es una perpendicular al plano \(\beta\) , \(AH\) es oblicua, por lo tanto \(HB\) es una proyección. Luego por TTP \(HB\perp h\) .
Por lo tanto, \(\angle AHB\) es el ángulo lineal del ángulo diedro entre los planos. La medida en grados de este ángulo es la medida en grados del ángulo entre los planos.

Tenga en cuenta que tenemos un triángulo rectángulo \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Como regla, es conveniente encontrar \(\angle AHB\) a partir de él.

\((\color(red)(\textbf(Dato 9. Sobre la perpendicularidad de los planos)))\)
\(\bullet\) Signo: si un plano pasa por una recta perpendicular a otro plano, entonces es perpendicular a este plano. \

\(\bullet\) Tenga en cuenta que dado que se puede dibujar un número infinito de planos a través de la línea \(a\), hay un número infinito de planos perpendiculares a \(\beta\) (y que pasan por \(a\) ).

Para resolver adecuadamente el examen de matemáticas, en primer lugar, es necesario estudiar el material teórico, que introduce numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen de Estado Unificado en matemáticas se presente de manera fácil y comprensible para estudiantes con cualquier nivel de capacitación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar las fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede ser difícil incluso en Internet.

¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas, no solo para quienes toman el examen?

1. Porque amplía tus horizontes. El estudio de material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
2. Porque desarrolla el intelecto.. Al estudiar materiales de referencia para el examen de matemáticas, además de resolver varios problemas, una persona aprende a pensar y razonar lógicamente, a formular pensamientos de manera correcta y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar, sacar conclusiones.

Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque para la sistematización y presentación de materiales educativos.

Algunas definiciones:

1. Poliedro es un cuerpo geométrico delimitado por un número finito de polígonos planos, dos cualesquiera de los cuales, teniendo un lado común, no se encuentran en el mismo plano. En este caso, los polígonos mismos se llaman caras, sus lados son las aristas del poliedro y sus vértices son los vértices del poliedro.
2. La figura formada por todas las caras de un poliedro se llama su superficie ( superficie completa), y la suma de las áreas de todas sus caras es superficie (total).
3. es un poliedro con seis caras que son cuadrados iguales. Los lados de los cuadrados se llaman aristas del cubo y los vértices se llaman vértices del cubo.
4. es un poliedro que tiene seis caras y cada una de ellas es un paralelogramo. Los lados de los paralelogramos se llaman aristas del paralelepípedo, y sus vértices se llaman vértices del paralelepípedo. Los dos lados de un paralelepípedo se llaman opuesto, si no tienen una arista común, y las que tienen una arista común se llaman relacionada. A veces se seleccionan dos caras opuestas cualesquiera del paralelepípedo y se les llama jardines, luego el resto de las caras caras laterales, y sus lados, uniendo los vértices de las bases del paralelepípedo, son su costillas laterales.
5. paralelepípedo derecho- este es un paralelepípedo cuyas caras laterales son rectángulos. es un paralelepípedo cuyas caras son todas rectángulos. Tenga en cuenta que todo cuboide es un cuboide, pero no todo cuboide es un cuboide.
6. opuesto. Un segmento de línea que conecta vértices opuestos de un paralelepípedo se llama diagonal paralelepípedo. Un paralelepípedo tiene sólo cuatro diagonales.
7. prisma ( norte-carbón) es un poliedro cuyas dos caras son iguales norte-gons, y el resto norte las caras son paralelogramos. Igual norte-gons se llaman jardines, y los paralelogramos caras laterales del prisma- este es un prisma de este tipo, en el que las caras laterales son rectángulos. Correcto norte- prisma de carbono- este es un prisma, en el que todas las caras laterales son rectángulos, y sus bases son regulares norte-gons.
8. La suma de las áreas de las caras laterales del prisma se llama su superficie lateral(denotado S lado). La suma de las áreas de todas las caras del prisma se llama superficie del prisma(denotado S lleno).
9. pirámide ( norte-carbón)- esto es un poliedro, que tiene una cara - algunos norte-gon, y el resto norte caras - triángulos con un vértice común; norte-gon se llama base; Los triángulos que tienen un vértice común se llaman caras laterales, y su vértice común se llama cima de la piramide. Los lados de las caras de una pirámide se llaman sus costillas y las aristas que se unen en un vértice se llaman lateral.
10. La suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide se llama superficie lateral de la piramide(denotado S lado). La suma de las áreas de todas las caras de la pirámide se llama área de la superficie de la pirámide(el área de la superficie se denota S lleno).
11. Correctonorte- pirámide de carbón- esta es una pirámide de este tipo, cuya base es la correcta norte-gon, y todos los bordes laterales son iguales entre sí. Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales entre sí.
12. La pirámide triangular se llama tetraedro si todas sus caras son triángulos regulares congruentes. El tetraedro es un caso especial de una pirámide triangular regular (es decir, no todas las pirámides triangulares regulares serán un tetraedro).

Axiomas de la estereometría:

1. A través de tres puntos que no están en la misma línea, hay un solo plano.
2. Si dos puntos de una recta se encuentran en un plano, entonces todos los puntos de la recta se encuentran en ese plano.
3. Si dos planos tienen un punto común, entonces tienen una línea común en la que se encuentran todos los puntos comunes de estos planos.

Consecuencias de los axiomas de la estereometría:

• Teorema 1. Solo hay un plano a través de una línea y un punto que no está en ella.
• Teorema 2. Solo hay un plano a través de dos líneas que se cruzan.
• Teorema 3. Sólo hay un plano a través de dos líneas paralelas.

Construcción de secciones en estereometría.

Para resolver problemas de estereometría, es urgentemente necesario poder construir secciones de poliedros (por ejemplo, una pirámide, un paralelepípedo, un cubo, un prisma) en un dibujo por un plano determinado. Vamos a dar algunas definiciones explicando qué es una sección:

• plano de corte Una pirámide (prisma, paralelepípedo, cubo) es un plano de este tipo, en ambos lados de los cuales hay puntos de esta pirámide (prisma, paralelepípedo, cubo).
• sección transversal de una pirámide(prisma, paralelepípedo, cubo) es una figura que consta de todos los puntos que son comunes a la pirámide (prisma, paralelepípedo, cubo) y el plano de corte.
• El plano de corte corta las caras de la pirámide (paralelepípedo, prisma, cubo) a lo largo de segmentos, por lo tanto sección es un polígono que se encuentra en el plano secante, cuyos lados son los segmentos indicados.

Para construir una sección de una pirámide (prisma, paralelepípedo, cubo), es posible y necesario construir los puntos de intersección del plano secante con las aristas de la pirámide (prisma, paralelepípedo, cubo) y conectar cada dos de ellos que se encuentran en una cara. Tenga en cuenta que la secuencia de construcción de los vértices y los lados de la sección no es esencial. La construcción de secciones de poliedros se basa en dos tareas para la construcción:

1. Líneas de intersección de dos planos.

Para construir una línea a lo largo de la cual se cortan algunos dos planos α y β (por ejemplo, el plano secante y el plano de la cara del poliedro), debe construir sus dos puntos comunes, luego la línea que pasa por estos puntos es la línea de intersección de los planos α y β .

1. Puntos de intersección de una recta y un plano.

Para construir un punto de intersección de una recta yo y avion α dibujar el punto de intersección de la recta yo y directo yo 1 , a lo largo del cual el plano interseca α y cualquier plano que contenga una recta yo.

Disposición mutua de líneas rectas y planos en estereometría.

Definición: En el curso de la resolución de problemas de estereometría, dos líneas rectas en el espacio se denominan paralelo si están en el mismo plano y no se cortan. si recto un y b, o AB y CD son paralelos, escribimos:

Varios teoremas:

• Teorema 1. A través de cualquier punto en el espacio que no se encuentra en una línea dada, solo hay una línea paralela a la línea dada.
• Teorema 2. Si una de dos líneas paralelas interseca un plano dado, entonces la otra línea interseca este plano.
• Teorema 3(signo de líneas paralelas). Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas entre sí.
• Teorema 4(en el punto de intersección de las diagonales de un paralelepípedo). Las diagonales del paralelepípedo se cortan en un punto y bisecan ese punto.

Hay tres casos de disposición mutua de una línea recta y un plano en estereometría:

• La línea se encuentra en el plano (cada punto de la línea se encuentra en el plano).
• La recta y el plano se intersecan (tienen un único punto en común).
• Una recta y un plano no tienen un único punto en común.

Definición: La recta y el plano se llaman paralelo si no tienen puntos en común. si recto un paralelo al plano β , luego escriben:

Teoremas:

• Teorema 1(un signo de paralelismo de una línea recta y un plano). Si una recta que no está en un plano dado es paralela a alguna recta que está en este plano, entonces es paralela al plano dado.
• Teorema 2. Si el avión (en la figura - α ) pasa a través de una línea recta (en la figura - con), paralelo a otro plano (en la figura - β ), e interseca este plano, entonces la línea de intersección de los planos (en la figura - d) es paralela a la recta dada:

Si dos rectas distintas se encuentran en el mismo plano, entonces se cortan o son paralelas. Sin embargo, en el espacio (es decir, en la estereometría), también es posible un tercer caso, cuando no hay un plano en el que se encuentren dos líneas (en este caso, ni se cortan ni son paralelas).

Definición: Las dos líneas se llaman mestizaje, si no hay un plano en el que ambos se encuentren.

Teoremas:

• Teorema 1(un signo de líneas que se cruzan). Si una de las dos líneas se encuentra en un cierto plano, y la otra línea se cruza con este plano en un punto que no pertenece a la primera línea, entonces estas líneas están oblicuas.
• Teorema 2. A través de cada una de las dos líneas que se cortan hay un solo plano paralelo a la otra línea.

Ahora introducimos el concepto del ángulo entre líneas oblicuas. Permitir un y b O en el espacio y dibujar líneas rectas a través de él. un 1 y b 1 paralelo a rectas un y b respectivamente. Ángulo entre líneas oblicuas un y b llamado el ángulo entre las líneas de intersección construidas un 1 y b 1 .

Sin embargo, en la práctica el punto O más a menudo elige para que pertenezca a una de las líneas rectas. Esto generalmente no solo es elemental más conveniente, sino también más racional y correcto en términos de construir un dibujo y resolver un problema. Por lo tanto, para el ángulo entre líneas oblicuas, damos la siguiente definición:

Definición: Permitir un y b son dos rectas que se cortan. Tomar un punto arbitrario O en uno de ellos (en nuestro caso, en línea recta b) y trazar una línea a través de él paralela a otro de ellos (en nuestro caso un 1 paralelo un). Ángulo entre líneas oblicuas un y b es el ángulo entre la línea construida y la línea que contiene el punto O(en nuestro caso, este es el ángulo β entre lineas rectas un 1 y b).

Definición: Las dos líneas se llaman mutuamente perpendiculares(perpendicular) si el ángulo entre ellos es de 90°. Las líneas que se cruzan pueden ser perpendiculares, así como las líneas que se encuentran y se cruzan en el mismo plano. si recto un perpendicular a la línea b, luego escriben:

Definición: Los dos planos se llaman paralelo, si no se cruzan, es decir, no tienen puntos comunes. Si dos aviones α y β paralelo, luego, como de costumbre, escriba:

Teoremas:

• Teorema 1(signo de planos paralelos). Si dos líneas que se cortan de un plano son respectivamente paralelas a dos líneas de otro plano, entonces estos planos son paralelos.
• Teorema 2(sobre la propiedad de las caras opuestas de un paralelepípedo). Las caras opuestas de un paralelepípedo se encuentran en planos paralelos.
• Teorema 3(sobre las líneas de intersección de dos planos paralelos por un tercer plano). Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, entonces sus líneas de intersección son paralelas entre sí.
• Teorema 4. Los segmentos de líneas paralelas ubicados entre planos paralelos son iguales.
• Teorema 5(sobre la existencia de un único plano paralelo a un plano dado y que pasa por un punto exterior a él). Por un punto que no está en un plano dado, sólo hay un plano paralelo al dado.

Definición: Se dice que una línea que corta un plano es perpendicular al plano si es perpendicular a todas las líneas en ese plano. si recto un perpendicular al plano β , luego escriba, como de costumbre:

Teoremas:

• Teorema 1. Si una de dos líneas paralelas es perpendicular a una tercera línea, entonces la otra línea también es perpendicular a esta línea.
• Teorema 2. Si una de dos líneas paralelas es perpendicular a un plano, entonces la otra línea también es perpendicular a ese plano.
• Teorema 3(sobre el paralelismo de las rectas perpendiculares al plano). Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, entonces son paralelas.
• Teorema 4(un signo de perpendicularidad de una línea recta y un plano). Si una recta es perpendicular a dos rectas que se cortan en un plano, entonces es perpendicular a ese plano.
• Teorema 5(sobre un plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta dada). A través de cualquier punto en el espacio sólo hay un plano perpendicular a la línea dada.
• Teorema 6(sobre una recta que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado). A través de cualquier punto en el espacio sólo hay una línea perpendicular al plano dado.
• Teorema 7(sobre la propiedad de la diagonal de un paralelepípedo rectangular). El cuadrado de la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres aristas que tienen un vértice común:

Consecuencia: Las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí.

Teorema de las tres perpendiculares

Deja que el punto PERO no se acuesta α . Pasemos por el punto PERO recta perpendicular al plano α , y se denota por la letra O el punto de intersección de esta recta con el plano α . Una perpendicular trazada desde un punto PERO al avión α , se llama segmento JSC, punto O llamada base de la perpendicular. si un JSC- perpendicular al plano α , un METRO es un punto arbitrario de este plano, diferente del punto O, entonces el segmento SOY se llama pendiente trazada desde un punto PERO al avión α , y el punto METRO- base inclinada. Segmento de línea OM- proyección ortogonal (o, en resumen, proyección) oblicua SOY al avión α . Ahora presentamos un teorema que juega un papel importante en la solución de muchos problemas.

Teorema 1 (alrededor de tres perpendiculares): Una recta trazada en un plano y perpendicular a la proyección de un plano inclinado sobre este plano es también perpendicular al propio plano inclinado. Lo contrario también es cierto:

Teorema 2 (sobre tres perpendiculares): Una recta trazada en un plano y perpendicular a un inclinado es también perpendicular a su proyección sobre este plano. Estos teoremas, para la notación del dibujo anterior, se pueden formular brevemente de la siguiente manera:

Teorema: Si desde un punto, tomado fuera del plano, se trazan una perpendicular y dos oblicuas a este plano, entonces:

• dos oblicuas, teniendo proyecciones iguales, son iguales;
• de los dos inclinados, el que tiene mayor proyección es mayor.

Definiciones de distancias por objetos en el espacio:

• La distancia de un punto a un plano es la longitud de la perpendicular trazada desde ese punto a ese plano.
• La distancia entre planos paralelos es la distancia desde un punto arbitrario de uno de los planos paralelos a otro plano.
• La distancia entre una recta y un plano paralelo a ella es la distancia desde un punto arbitrario de la recta al plano.
• La distancia entre líneas oblicuas es la distancia desde una de las líneas oblicuas hasta un plano que pasa por la otra línea y es paralelo a la primera línea.

Definición: En estereometría, proyección ortogonal de una línea recta. un al avión α se llama la proyección de esta recta sobre un plano α si la línea recta que define la dirección del diseño es perpendicular al plano α .

Comentario: Como puede ver en la definición anterior, hay muchas proyecciones. Se pueden construir otras proyecciones (excepto ortogonales) de una línea recta sobre un plano si la línea recta que determina la dirección de proyección no es perpendicular al plano. Sin embargo, es la proyección ortogonal de una línea recta sobre un plano lo que encontraremos en problemas en el futuro. Y a la proyección ortogonal la llamaremos simplemente proyección (como en el dibujo).

Definición: El ángulo entre una línea recta que no es perpendicular a un plano y este plano es el ángulo entre una línea recta y su proyección ortogonal sobre un plano dado (el ángulo AOA’ en el dibujo de arriba).

Teorema: El ángulo entre una recta y un plano es el menor de todos los ángulos que forma una recta dada con las rectas que están en un plano dado y que pasan por el punto de intersección de la recta y el plano.

Definiciones:

• ángulo diedro Se llama figura a la formada por dos semiplanos con una línea límite común y una parte del espacio para el cual estos semiplanos sirven de límite.
• Ángulo diedro lineal Se llama ángulo, cuyos lados son rayos con origen común en la arista del ángulo diédrico, que se dibujan en sus caras perpendiculares a la arista.

Así, el ángulo lineal de un ángulo diedro es el ángulo formado por la intersección del ángulo diedro con un plano perpendicular a su arista. Todos los ángulos lineales de un ángulo diedro son iguales entre sí. La medida en grados de un ángulo diédrico es la medida en grados de su ángulo lineal.

Un ángulo diedro se llama recto (agudo, obtuso) si su medida en grados es 90° (menos de 90°, más de 90°). En el futuro, al resolver problemas de estereometría, por ángulo diédrico siempre entenderemos aquel ángulo lineal, cuya medida en grados cumple la condición:

Definiciones:

• Un ángulo diedro en una arista de un poliedro es un ángulo diedro cuya arista contiene la arista del poliedro, y las caras del ángulo diedro contienen las caras del poliedro que se intersecan a lo largo de la arista dada del poliedro.
• El ángulo entre planos que se cortan es el ángulo entre rectas trazadas respectivamente en estos planos perpendiculares a su línea de intersección por alguno de sus puntos.
• Se dice que dos planos son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90°.

Teoremas:

• Teorema 1(un signo de la perpendicularidad de los planos). Si uno de los dos planos pasa por una recta perpendicular al otro plano, entonces estos planos son perpendiculares.
• Teorema 2. Una línea que se encuentra en uno de dos planos perpendiculares y perpendicular a la línea en la que se cortan es perpendicular al otro plano.

simetría de figuras

Definiciones:

1. puntos METRO y METRO 1 se llaman simétrica respecto a un punto O , Si O es el punto medio del segmento milímetro 1 .
2. puntos METRO y METRO 1 se llaman simétrico respecto a una línea recta yo si recto yo milímetro 1 y perpendicular a él.
3. puntos METRO y METRO 1 se llaman simétrico sobre el plano α si el avión α pasa por la mitad del segmento milímetro 1 y es perpendicular a este segmento.
4. Punto O(derecho yo, avión α ) se llama centro (eje, plano) de simetría figura, si cada punto de la figura es simétrico con respecto a un punto O(derecho yo, avión α ) hasta algún punto de la misma figura.
5. Un poliedro convexo se llama correcto, si todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí y en cada vértice convergen el mismo número de aristas.

Prisma

Definiciones:

1. Prisma- un poliedro, del cual dos caras son polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos, y las caras restantes son paralelogramos que tienen lados comunes con estos polígonos.
2. terrenos - estas son dos caras que son polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. En el dibujo es: A B C D E y KLMNP.
3. Caras laterales- todas las caras excepto las bases. Cada cara lateral es necesariamente un paralelogramo. En el dibujo es: ABLK, BCML, CDNM, DEPN y EAKP.
4. Superficie lateral- unión de caras laterales.
5. Superficie completa- la unión de las bases y la superficie lateral.
6. costillas laterales son los lados comunes de las caras laterales. En el dibujo es: Alaska, licenciado en Derecho, CM, DN y EP.
7. Altura- un segmento que conecta las bases del prisma y es perpendicular a ellas. En el dibujo, por ejemplo, CR.
8. Diagonal- un segmento que conecta dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara. En el dibujo, por ejemplo, PA.
9. plano diagonal es el plano que pasa por la arista lateral del prisma y la diagonal de la base. Otra definición: plano diagonal- un plano que pasa por dos aristas laterales del prisma que no pertenecen a la misma cara.
10. Sección diagonal- la intersección del prisma y el plano diagonal. Se forma un paralelogramo en la sección, incluidos, a veces, sus casos especiales: un rombo, un rectángulo, un cuadrado. En el dibujo, por ejemplo, EBLP.
11. Sección perpendicular (ortogonal)- la intersección del prisma y el plano perpendicular a su arista lateral.

Propiedades y fórmulas de un prisma:

• Las bases del prisma son polígonos iguales.
• Las caras laterales del prisma son paralelogramos.
• Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
• volumen del prisma igual al producto de su altura por el área de la base:

donde: S base - el área de la base (en el dibujo, por ejemplo, A B C D E), h- altura (en el dibujo es Minnesota).

• Superficie total del prisma es igual a la suma del área de su superficie lateral y el doble del área de la base:

• La sección perpendicular es perpendicular a todos los bordes laterales del prisma (en el siguiente dibujo, la sección perpendicular es UN 2 B 2 C 2 D 2 mi 2).
• Los ángulos de una sección perpendicular son los ángulos lineales de los ángulos diédricos en los bordes laterales correspondientes.
• Una sección perpendicular (ortogonal) es perpendicular a todas las caras laterales.
• Volumen de un prisma inclinado es igual al producto del área de la sección perpendicular y la longitud de la nervadura lateral:

donde: S sec - el área de la sección perpendicular, yo- la longitud de la nervadura lateral (en el dibujo de abajo, por ejemplo, Automóvil club británico 1 o cama y desayuno 1 y así sucesivamente).

• Superficie lateral de un prisma arbitrario es igual al producto del perímetro de la sección perpendicular y la longitud del borde lateral:

donde: PAG sec - el perímetro de una sección perpendicular, yo es la longitud del borde lateral.

Tipos de prismas en estereometría:

• Si los bordes laterales no son perpendiculares a la base, entonces dicho prisma se llama oblicuo(en la foto de arriba). Las bases de dicho prisma, como de costumbre, están ubicadas en planos paralelos, los bordes laterales no son perpendiculares a estos planos, sino paralelos entre sí. Las caras laterales son paralelogramos.
• - un prisma en el que todas las aristas laterales son perpendiculares a la base. En un prisma recto, las aristas laterales son las alturas. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Y el área y el perímetro de la base son iguales, respectivamente, al área y el perímetro de la sección perpendicular (para un prisma recto, en general, toda la sección perpendicular es la misma figura que la base). Por tanto, el área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la longitud de la arista lateral (o, en este caso, la altura del prisma):

donde: PAG base - el perímetro de la base de un prisma recto, yo- la longitud de la arista lateral, igual en un prisma recto a la altura ( h). El volumen de un prisma recto se encuentra mediante la fórmula general: V = S principal ∙ h = S principal ∙ yo.

• prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular (es decir, uno en el que todos los lados y todos los ángulos son iguales entre sí), y las aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base. Ejemplos de prismas correctos:

Propiedades del prisma correcto:

1. Las bases de un prisma regular son polígonos regulares.
2. Las caras laterales de un prisma regular son rectángulos iguales.
3. Los bordes laterales de un prisma regular son iguales entre sí.
4. El prisma correcto es recto.

definición: Paralelepípedo - Es un prisma cuyas bases son paralelogramos. En esta definición, la palabra clave es "prisma". Así, un paralelepípedo es un caso especial de un prisma, que se diferencia del caso general sólo en que su base no es un polígono arbitrario, sino un paralelogramo. Por lo tanto, todas las propiedades, fórmulas y definiciones anteriores con respecto al prisma siguen siendo relevantes para el paralelepípedo. Sin embargo, hay varias propiedades adicionales características del paralelepípedo.

Otras propiedades y definiciones:

• Dos caras de un paralelepípedo que no tienen una arista común se llaman opuesto, y teniendo un borde común - relacionada.
• Dos vértices de un paralelepípedo que no pertenecen a la misma cara se llaman opuesto.
• Un segmento de línea que conecta vértices opuestos se llama diagonal paralelepípedo.
• El paralelepípedo tiene seis caras y todas ellas son paralelogramos.
• Las caras opuestas del paralelepípedo son iguales y paralelas en pares.
• El paralelepípedo tiene cuatro diagonales; todos se intersecan en un punto, y cada uno de ellos es atravesado por ese punto.
• Si las cuatro caras laterales de un paralelepípedo son rectángulos (y las bases son paralelogramos arbitrarios), entonces se llama directo(en este caso, como en un prisma recto, todas las aristas laterales son perpendiculares a las bases). Todas las propiedades y fórmulas para un prisma recto son relevantes para un paralelepípedo recto.
• El paralelepípedo se llama oblicuo si no todas sus caras laterales son rectángulos.
• Volumen de una caja recta u oblicua se calcula mediante la fórmula general para el volumen de un prisma, es decir es igual al producto del área de la base del paralelepípedo y su altura ( V = S principal ∙ h).
• Un paralelepípedo recto, en el que las seis caras son rectángulos (es decir, además de las caras laterales, las bases también son rectángulos), se llama rectangular. Para un paralelepípedo, todas las propiedades de un paralelepípedo son relevantes, así como:
  • d y sus costillas un, b, C relacionados por la razón:

d 2 = un 2 + b 2 + C 2 .

• • De la fórmula general para el volumen de un prisma, se puede obtener la siguiente fórmula para volumen de un paralelepípedo:

• Un paralelepípedo rectangular cuyas caras son cuadrados iguales se llama cubo. Entre otras cosas, el cubo es un prisma cuadrangular regular y, en general, un poliedro regular. Para un cubo son válidas todas las propiedades de un paralelepípedo rectangular y las propiedades de los prismas regulares, así como:
  • Absolutamente todas las aristas de un cubo son iguales entre sí.
  • cubo diagonal d y la longitud de su borde un relacionados por la razón:

• De la fórmula para el volumen de un paralelepípedo rectangular, se puede obtener la siguiente fórmula para volumen del cubo:

Pirámide

Definiciones:

• Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos que tienen un vértice común. Según el número de vértices de la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc. La figura muestra ejemplos: pirámides cuadrangulares y hexagonales.

• Base es un polígono al que no pertenece el vértice de la pirámide. En el dibujo, la base es BCDE.
• Las caras que no sean la base se llaman lateral. En el dibujo es: A B C, DCA, ADE y AEB.
• El vértice común de las caras laterales se llama cima de la piramide(precisamente la cima de toda la pirámide, y no solo una cima, como todos los demás picos). En el dibujo UN.
• Las aristas que conectan la parte superior de la pirámide con la parte superior de la base se llaman lateral. En el dibujo es: AB, C.A., ANUNCIO y AE.
• Denotando la pirámide, primero llaman a su parte superior y luego a la parte superior de la base. Para una pirámide de un dibujo, la designación será la siguiente: A B C D E.

• Alturapirámides se llama la perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide hasta su base. La longitud de esta perpendicular se denota con la letra H. En el dibujo, la altura es AG. Nota: solo si la pirámide es una pirámide cuadrangular regular (como en el dibujo), la altura de la pirámide cae sobre la diagonal de la base. En otros casos, este no es el caso. En el caso general, para una pirámide arbitraria, el punto de intersección de la altura y la base puede estar en cualquier lugar.
• Apotema - altura del borde lateral correcto Pirámide extraída de su parte superior. En el dibujo, por ejemplo, FA.
• Sección diagonal de una pirámide- sección de la pirámide, pasando por la parte superior de la pirámide y la diagonal de la base. En el dibujo, por ejemplo, AS.

Otro dibujo estereométrico con símbolos para una mejor memorización(en la figura, la pirámide triangular correcta):

Si todos los bordes laterales ( SA, SB, CAROLINA DEL SUR, Dakota del Sur en el dibujo de abajo) las pirámides son iguales, entonces:

• Se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro (punto O). En otras palabras, altura (línea ASI QUE), bajado desde la parte superior de tal pirámide a la base ( A B C D), cae en el centro del círculo circunscrito alrededor de la base, es decir en el punto de intersección de los puntos medios perpendiculares de la base.
• Las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano base (en el dibujo a continuación, estos son los ángulos SAO, SBO, OCS, SDO).

Importante: Lo contrario también es cierto, es decir, si los bordes laterales forman ángulos iguales con el plano base, o si se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro, entonces todos los las aristas laterales de la pirámide son iguales.

Si las caras laterales están inclinadas al plano base en un ángulo (las esquinas DMN, NS, DLN en el dibujo de abajo son iguales), entonces:

• Se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide, y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro (punto norte). En otras palabras, altura (línea DN), bajado desde la parte superior de tal pirámide a la base, cae en el centro del círculo inscrito en la base, es decir hasta el punto de intersección de las bisectrices de la base.
• Las alturas de las caras laterales (apotemas) son iguales. En el dibujo de abajo no sé, DL, MD- apotemas iguales.
• El área de la superficie lateral de tal pirámide. igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la altura de la cara lateral (apotema).

donde: PAG- perímetro de la base, un- longitud de la apotema.

Importante: Lo contrario también es cierto, es decir, si se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro, entonces todas las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo y el las alturas de las caras laterales (apotema) son iguales.

Pirámide correcta

Definición: La piramide se llama correcto, si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta en el centro de la base. Entonces tiene las siguientes propiedades:

• Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales.
• Todas las caras laterales de una pirámide regular están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo.

Nota IMPORTANTE: Como puede ver, las pirámides regulares son una de esas pirámides que incluyen las propiedades descritas anteriormente. De hecho, si la base de una pirámide regular es un polígono regular, entonces el centro de sus círculos inscritos y circunscritos coinciden, y la parte superior de una pirámide regular se proyecta precisamente en este centro (por definición). Sin embargo, es importante entender que no solo correcto Las pirámides pueden tener las propiedades mencionadas anteriormente.

• En una pirámide regular, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
• En cualquier pirámide regular, puedes inscribir una esfera y describir una esfera a su alrededor.
• El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema.

Formulas para volumen y area de una piramide

Teorema(sobre el volumen de las pirámides que tienen las mismas alturas y las mismas áreas de las bases). Dos pirámides que tienen las mismas alturas y las mismas áreas de bases tienen los mismos volúmenes (claro, seguro que ya conoces la fórmula del volumen de una pirámide, bueno, o la ves unas líneas más abajo, y te parece obvia esta afirmación, pero, de hecho, a juzgar "a simple vista", entonces este teorema no es tan obvio (ver la figura a continuación). Por cierto, esto también se aplica a otros poliedros y formas geométricas: su apariencia es engañosa, por lo tanto, de hecho, en matemáticas necesita confiar solo en fórmulas y cálculos correctos).

• volumen piramidal se puede calcular usando la fórmula:

donde: S base es el área de la base de la pirámide, h es la altura de la pirámide.

• Superficie lateral de la pirámide es igual a la suma de las áreas de las caras laterales. Para el área de la superficie lateral de la pirámide, se puede escribir formalmente la siguiente fórmula estereométrica:

donde: S lado - superficie lateral, S 1 , S 2 , S 3 - áreas de caras laterales.

• Superficie completa de la pirámide igual a la suma del área de la superficie lateral y el área de la base:

Definiciones:

• - el poliedro más simple, cuyas caras son cuatro triángulos, es decir, una pirámide triangular. Para un tetraedro, cualquiera de sus caras puede servir como base. En total, un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.
• El tetraedro se llama correcto si todas sus caras son triángulos equiláteros. Para un tetraedro regular:
  1. Todas las aristas de un tetraedro regular son iguales.
  2. Todas las caras de un tetraedro regular son iguales entre sí.
  3. Los perímetros, áreas, alturas y todos los demás elementos de todas las caras son respectivamente iguales entre sí.

El dibujo muestra un tetraedro regular, mientras que los triángulos A B C, ADC, CDB, malo son iguales. De las fórmulas generales para el volumen y áreas de la pirámide, así como del conocimiento de la planimetría, no es difícil obtener fórmulas para volumen y area de un tetraedro regular(un- longitud de la costilla):

Definición: Cuando se resuelven problemas de estereometría, la pirámide se llama rectangular, si uno de los lados de la pirámide es perpendicular a la base. En este caso, esta arista es la altura de la pirámide. A continuación se muestran ejemplos de pirámides rectangulares triangulares y pentagonales. La imagen de la izquierda SA es una arista que también es una altura.

Pirámide truncada

Definiciones y propiedades:

• pirámide truncada Se llama poliedro encerrado entre la base de la pirámide y un plano cortante paralelo a su base.
• La figura obtenida en la intersección del plano de corte y la pirámide original también se llama base pirámide truncada. Entonces, la pirámide truncada en el dibujo tiene dos bases: A B C y UN 1 B 1 C 1 .
• Las caras laterales de la pirámide truncada son trapezoides. En el dibujo, por ejemplo, Automóvil club británico 1 B1B.
• Las aristas laterales de una pirámide truncada se denominan partes de las aristas de la pirámide original, encerradas entre las bases. En el dibujo, por ejemplo, Automóvil club británico 1 .
• La altura de una pirámide truncada es una perpendicular (o la longitud de esta perpendicular) trazada desde algún punto en el plano de una base al plano de la otra base.
• La pirámide truncada se llama correcto, si es un poliedro que está cortado por un plano paralelo a la base correcto pirámides.
• Las bases de una pirámide truncada regular son polígonos regulares.
• Las caras laterales de una pirámide truncada regular son trapecios isósceles.
• apotema una pirámide truncada regular se llama altura de su cara lateral.
• El área de la superficie lateral de una pirámide truncada es la suma de las áreas de todas sus caras laterales.

Fórmulas para una pirámide truncada

El volumen de la pirámide truncada es:

donde: S 1 y S 2 - áreas de base, h es la altura de la pirámide truncada. Sin embargo, en la práctica, es más conveniente buscar el volumen de una pirámide truncada de la siguiente manera: puede completar la pirámide truncada a la pirámide, extendiendo los bordes laterales hasta la intersección. Entonces, el volumen de la pirámide truncada se puede encontrar como la diferencia entre los volúmenes de toda la pirámide y la parte completa. El área de la superficie lateral también se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de la superficie lateral de toda la pirámide y la parte completa. Superficie lateral de una pirámide truncada regular es igual a la mitad del producto de la suma de los perímetros de sus bases y la apotema:

donde: PAG 1 y PAG 2 - perímetros de base correcto pirámide truncada, un- longitud de la apotema. El área de la superficie total de cualquier pirámide truncada se encuentra obviamente como la suma de las áreas de las bases y la superficie lateral:

Pirámide y bola (esfera)

Teorema: alrededor de la piramide describir el alcance cuando en la base de la pirámide se encuentra un polígono inscrito (es decir, un polígono alrededor del cual se puede describir una esfera). Esta condición es necesaria y suficiente. El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos.

Observación: De este teorema se sigue que una esfera puede describirse tanto alrededor de cualquier triángulo como alrededor de cualquier pirámide regular. Sin embargo, la lista de pirámides cerca de las cuales se puede describir una esfera no se limita a este tipo de pirámides. En el dibujo de la derecha, a una altura SH necesito elegir un punto O, equidistante de todos los vértices de la pirámide: ASI QUE = transmisión exterior = sistema operativo = sobredosis = OA. Entonces el punto O es el centro de la esfera circunscrita.

Teorema: Puedes en la pirámide inscribir una esfera cuando los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en un punto (una condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.

Comentario: Obviamente no entendiste lo que leíste en la línea de arriba. Sin embargo, es importante recordar que toda pirámide regular es aquella en la que se puede inscribir una esfera. Al mismo tiempo, la lista de pirámides en las que se puede inscribir una esfera no se agota con las correctas.

Definición: Plano bisector divide el ángulo diedro por la mitad, y cada punto del plano bisector es equidistante de las caras que forman el ángulo diedro. La figura en el plano derecho γ es el plano bisector del ángulo diedro formado por los planos α y β .

El siguiente dibujo estereométrico muestra una bola inscrita en una pirámide (o una pirámide descrita cerca de la bola), mientras que la punta O es el centro de la esfera inscrita. Este punto O equidistante de todas las caras de la pelota, por ejemplo:

OM = OO 1

pirámide y cono

en estereometría se llama un cono inscrito en una piramide, si sus vértices coinciden, y su base está inscrita en la base de la pirámide. Además, es posible inscribir un cono en una pirámide solo cuando las apotemas de la pirámide son iguales entre sí (una condición necesaria y suficiente).

El cono se llama inscrito cerca de la pirámide. cuando sus vértices coinciden, y su base se describe cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cono cerca de la pirámide solo cuando todos los lados de la pirámide son iguales entre sí (una condición necesaria y suficiente).

Propiedad importante:

pirámide y cilindro

Se dice que el cilindro está inscrito en una pirámide., si una de sus bases coincide con la circunferencia de un plano inscrito en la sección de la pirámide, paralela a la base, y la otra base pertenece a la base de la pirámide.

Se dice que el cilindro está circunscrito cerca de la pirámide., si la parte superior de la pirámide pertenece a una de sus bases, y su otra base se describe cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cilindro cerca de la pirámide solo cuando hay un polígono inscrito en la base de la pirámide (una condición necesaria y suficiente).

esfera y bola

Definiciones:

1. Esfera- una superficie cerrada, el lugar geométrico de los puntos en el espacio equidistantes de un punto dado, llamado el centro de la esfera. Una esfera es también un cuerpo de revolución formado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro. radio de la esfera Se llama segmento al que une el centro de la esfera con cualquier punto de la esfera.
2. cordoy esfera es un segmento que conecta dos puntos en la esfera.
3. diámetro esfera se llama cuerda que pasa por su centro. El centro de una esfera divide cualquiera de sus diámetros en dos segmentos iguales. Cualquier diámetro de esfera con un radio R es 2 R.
4. Pelota- cuerpo geométrico; el conjunto de todos los puntos en el espacio que están a una distancia no mayor que una distancia especificada de un cierto centro. Esta distancia se llama radio de bola. Una bola se forma girando un semicírculo alrededor de su diámetro fijo. Nota: la superficie (o límite) de una esfera se llama esfera. Es posible dar la siguiente definición de bola: un cuerpo geométrico se llama bola, que consiste en una esfera y una parte del espacio delimitado por esta esfera.
5. Radio, acorde y diámetro bola se llaman el radio, la cuerda y el diámetro de la esfera, que es el límite de esta bola.
6. La diferencia entre una pelota y una esfera es similar a la diferencia entre un círculo y un círculo. Un círculo es una línea, y un círculo también son todos los puntos dentro de esta línea. Una esfera es un caparazón, y una bola es también todos los puntos dentro de este caparazón.
7. El plano que pasa por el centro de la esfera (bola) se llama plano diametral.
8. Una sección de una esfera (bola) por un plano diametral se llama gran circulo (gran circulo).

Teoremas:

• Teorema 1(sobre la sección de una esfera por un plano). La sección de una esfera por un plano es un círculo. Tenga en cuenta que la afirmación del teorema sigue siendo cierta incluso si el plano pasa por el centro de la esfera.
• Teorema 2(sobre la sección de una esfera por un plano). La sección de una bola por un plano es un círculo, y la base de la perpendicular trazada desde el centro de la bola al plano de sección es el centro del círculo obtenido en la sección.

El círculo más grande, de entre los que se pueden obtener en una sección de una bola dada por un plano, se encuentra en una sección que pasa por el centro de la bola. O. Se llama el círculo grande. Su radio es igual al radio de la esfera. Dos grandes círculos cualesquiera se intersecan en el diámetro de la bola AB. Este diámetro es también el diámetro de los grandes círculos que se cruzan. A través de dos puntos de una superficie esférica ubicados en los extremos del mismo diámetro (en la Fig. UN y B), puede dibujar un número infinito de grandes círculos. Por ejemplo, se pueden dibujar un número infinito de meridianos a través de los polos de la Tierra.

Definiciones:

1. Plano tangente a esfera Se llama plano al que tiene un solo punto común con la esfera, y su punto común se llama punto de contacto del plano y la esfera.
2. plano tangente a la pelota se llama el plano tangente a la esfera, que es el límite de esta bola.
3. Cualquier línea que se encuentra en el plano tangente de la esfera (bola) y que pasa por el punto de contacto se llama tangente a una recta a una esfera (bola). Por definición, el plano tangente tiene un solo punto en común con la esfera, por lo tanto, la línea tangente también tiene un solo punto en común con la esfera: el punto de contacto.

Teoremas:

• Teorema 1(signo del plano tangente a la esfera). Un plano perpendicular al radio de la esfera y que pasa por su extremo que descansa sobre la esfera toca la esfera.
• Teorema 2(sobre la propiedad del plano tangente a la esfera). El plano tangente a la esfera es perpendicular al radio trazado en el punto de contacto.

Poliedros y la esfera

Definición: En estereometría, un poliedro (como una pirámide o un prisma) se llama inscrito en el alcance si todos sus vértices pertenecen a una esfera. En este caso, la esfera se llama circunscrita cerca de un poliedro (pirámides, prismas). Del mismo modo: el poliedro se llama inscrito en una bola si todos sus vértices están en el límite de esta bola. En este caso, se dice que la bola está inscrita cerca del poliedro.

Propiedad importante: El centro de la esfera circunscrita al poliedro está a una distancia igual al radio R esferas, de cada vértice del poliedro. Aquí hay ejemplos de poliedros inscritos en la esfera:

Definición: El poliedro se llama descrito sobre la esfera (pelota), si la esfera (pelota) toca todos caras de poliedro. En este caso, la esfera y la bola se llaman inscritas en el poliedro.

Importante: El centro de una esfera inscrita en un poliedro está a una distancia igual al radio r esferas, de cada uno de los planos que contienen las caras del poliedro. Aquí hay ejemplos de poliedros descritos cerca de la esfera:

Volumen y área de superficie de una esfera

Teoremas:

• Teorema 1(sobre el área de la esfera). El área de una esfera es:

donde: R es el radio de la esfera.

• Teorema 2(sobre el volumen de la pelota). El volumen de una esfera de radio R calculado por la fórmula:

Segmento de bola, capa, sector

en estereometría segmento de bola se llama la parte de la bola cortada por el plano de corte. En este caso, la relación entre la altura, el radio de la base del segmento y el radio de la bola:

donde: h− altura del segmento, r− radio base del segmento, R− radio de bola. El área de la base del segmento esférico:

El área de la superficie exterior del segmento esférico:

Superficie total del segmento de bola:

Volumen del segmento de bola:

en estereometría capa esférica La parte de una esfera encerrada entre dos planos paralelos se llama. El área de la superficie exterior de la capa esférica:

donde: h es la altura de la capa esférica, R− radio de bola. Superficie total de la capa esférica:

donde: h es la altura de la capa esférica, R− radio de bola, r 1 , r 2 son los radios de las bases de la capa esférica, S 1 , S 2 son las áreas de estas bases. El volumen de una capa esférica se encuentra más simplemente como la diferencia entre los volúmenes de dos segmentos esféricos.

en estereometría sector de la pelota se llama la parte de la bola, que consta de un segmento esférico y un cono con un vértice en el centro de la bola y una base coincidente con la base del segmento esférico. Aquí se supone que el segmento de bola es menos de la mitad de la bola. Superficie total del sector esférico:

donde: h es la altura del segmento esférico correspondiente, r es el radio de la base del segmento esférico (o cono), R− radio de bola. El volumen del sector esférico se calcula mediante la fórmula:

Definiciones:

1. En algún plano, considere un círculo con centro O y radio R. A través de cada punto del círculo trazamos una línea perpendicular al plano del círculo. Superficie cilíndrica la figura formada por estas líneas se llama, y ​​las líneas mismas se llaman formando una superficie cilíndrica. Todos los generadores de la superficie cilíndrica son paralelos entre sí, ya que son perpendiculares al plano del círculo.

1. Cilindro circular recto o simplemente cilindro Se llama cuerpo geométrico acotado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que son perpendiculares a los generadores de la superficie cilíndrica. Informalmente, puedes pensar en un cilindro como un prisma recto con un círculo en la base. Esto ayudará a comprender fácilmente y, si es necesario, a derivar fórmulas para el volumen y el área de la superficie lateral del cilindro.
2. Superficie lateral del cilindro se llama la parte de la superficie cilíndrica ubicada entre los planos de corte que son perpendiculares a su generatriz, y las partes (círculos) cortadas por la superficie cilíndrica en planos paralelos se llaman bases de cilindros. Las bases del cilindro son dos círculos iguales.
3. Cilindro generatriz llamado segmento (o la longitud de este segmento) de la generatriz de una superficie cilíndrica, ubicado entre planos paralelos en los que se encuentran las bases del cilindro. Todos los generadores del cilindro son paralelos e iguales entre sí, y también perpendiculares a las bases.
4. Eje del cilindro llamado segmento que conecta los centros de los círculos que son las bases del cilindro.
5. altura del cilindro llamada perpendicular (o la longitud de esta perpendicular), trazada desde algún punto en el plano de una base del cilindro al plano de la otra base. En un cilindro, la altura es igual a la generatriz.
6. Radio del cilindro se llama el radio de sus bases.
7. El cilindro se llama equilátero si su altura es igual al diámetro de la base.
8. Se puede obtener un cilindro girando un rectángulo alrededor de uno de sus lados 360°.
9. Si el plano de corte es paralelo al eje del cilindro, entonces la sección del cilindro es un rectángulo, dos de cuyos lados son generadores y los otros dos son las cuerdas de las bases del cilindro.
10. Sección axial Un cilindro es una sección de un cilindro por un plano que pasa por su eje. La sección axial de un cilindro es un rectángulo, dos de cuyos lados son generadores del cilindro, y los otros dos son los diámetros de sus bases.
11. Si el plano de corte es perpendicular al eje del cilindro, entonces se forma un círculo en la sección igual a las bases. En el dibujo de abajo: a la izquierda - sección axial; en el centro - una sección paralela al eje del cilindro; a la derecha, una sección paralela a la base del cilindro.

Cilindro y prisma

Se dice que un prisma está inscrito en un cilindro. si sus bases están inscritas en las bases del cilindro. En este caso, se dice que el cilindro está circunscrito a un prisma. La altura del prisma y la altura del cilindro en este caso serán iguales. Todas las aristas laterales del prisma pertenecerán a la superficie lateral del cilindro y coincidirán con sus generadores. Dado que por un cilindro entendemos solo un cilindro recto, solo un prisma recto también puede inscribirse en dicho cilindro. Ejemplos:

Se dice que un prisma está circunscrito a un cilindro, si sus bases se describen cerca de las bases del cilindro. En este caso, se dice que el cilindro está inscrito en un prisma. La altura del prisma y la altura del cilindro en este caso también serán iguales. Todos los bordes laterales del prisma serán paralelos a la generatriz del cilindro. Dado que por cilindro entendemos solo un cilindro recto, dicho cilindro solo puede inscribirse en un prisma recto. Ejemplos:

Cilindro y esfera

Una esfera (bola) se llama inscrita en un cilindro si toca las bases del cilindro y cada uno de sus generadores. En este caso, el cilindro se llama circunscrito alrededor de una esfera (bola). Una esfera puede inscribirse en un cilindro solo si es un cilindro equilátero, es decir el diámetro de su base y su altura son iguales. El centro de la esfera inscrita será la mitad del eje del cilindro, y el radio de esta esfera coincidirá con el radio del cilindro. Ejemplo:

Se dice que el cilindro está inscrito en una esfera., si las circunferencias de las bases del cilindro son secciones de la esfera. Se dice que un cilindro está inscrito en una esfera si las bases del cilindro son secciones de la esfera. En este caso, la bola (esfera) se llama inscrita cerca del cilindro. Una esfera se puede describir alrededor de cualquier cilindro. El centro de la esfera descrita será también la mitad del eje del cilindro. Ejemplo:

Con base en el teorema de Pitágoras, es fácil probar la siguiente fórmula que relaciona el radio de la esfera circunscrita ( R), altura del cilindro ( h) y el radio del cilindro ( r):

Volumen y área de las superficies laterales y completas del cilindro.

Teorema 1(sobre el área de la superficie lateral de un cilindro): El área de la superficie lateral de un cilindro es igual al producto de la circunferencia de su base por la altura:

donde: R es el radio de la base del cilindro, h- su alta. Esta fórmula se deriva fácilmente (o se prueba) basándose en la fórmula para el área de la superficie lateral de un prisma recto.

Superficie total del cilindro, como es habitual en estereometría, es la suma de las áreas de la superficie lateral y las dos bases. El área de cada base del cilindro (es decir, solo el área de un círculo) se calcula mediante la fórmula:

Por lo tanto, el área de superficie total del cilindro S lleno cilindro se calcula con la fórmula:

Teorema 2(sobre el volumen de un cilindro): El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base y la altura:

donde: R y h son el radio y la altura del cilindro, respectivamente. Esta fórmula también se deriva (demuestra) fácilmente en función de la fórmula para el volumen de un prisma.

Teorema 3(Arquímedes): El volumen de una esfera es una vez y media menor que el volumen del cilindro descrito a su alrededor, y el área de superficie de dicha bola es una vez y media menor que el área de superficie total de el mismo cilindro:

Cono

Definiciones:

1. Un cono (más precisamente, un cono circular) llamado cuerpo, que consiste en un círculo (llamado base de cono), un punto que no está en el plano de este círculo (llamado la parte superior del cono) y todos los segmentos posibles que conectan la parte superior del cono con los puntos de la base. Informalmente, puedes percibir el cono como una pirámide regular, que tiene un círculo en la base. Esto ayudará a comprender fácilmente y, si es necesario, a derivar fórmulas para el volumen y el área de la superficie lateral del cono.

1. Los segmentos (o sus longitudes) que conectan la parte superior del cono con los puntos del círculo de la base se llaman formando un cono. Todos los generadores de un cono circular recto son iguales entre sí.
2. La superficie de un cono consta de la base del cono (el círculo) y la superficie lateral (compuesta por todos los posibles generadores).
3. La unión de los generadores de un cono se llama superficie generatriz (o lateral) del cono. La generatriz de un cono es una superficie cónica.
4. El cono se llama directo si la línea que une el vértice del cono con el centro de la base es perpendicular al plano de la base. En lo que sigue, consideraremos solo el cono derecho, llamándolo simplemente el cono por brevedad.
5. Visualmente, un cono circular recto puede imaginarse como un cuerpo obtenido al girar un triángulo rectángulo alrededor de su cateto como eje. En este caso, la superficie lateral del cono está formada por la rotación de la hipotenusa, y la base está formada por la rotación del cateto, que no es un eje.
6. radio del cono llamado radio de su base.
7. altura del cono llamada perpendicular (o su longitud), bajada desde su vértice hasta el plano de la base. Para un cono recto, la base de la altura coincide con el centro de la base. El eje de un cono circular recto es una línea recta que contiene su altura, es decir una línea recta que pasa por el centro de la base y la parte superior.
8. Si el plano de corte pasa por el eje del cono, entonces la sección es un triángulo isósceles, cuya base es el diámetro de la base del cono, y los lados son la generatriz del cono. Tal corte se llama axial.

1. Si el plano cortante pasa por el punto interior de la altura del cono y es perpendicular a él, entonces la sección del cono es una circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de la altura con este plano.
2. Altura ( h), radio ( R) y la longitud de la generatriz ( yo) de un cono circular recto satisfacen la relación obvia:

Volumen y área de las superficies laterales y completas del cono.

Teorema 1(en el área de la superficie lateral del cono). El área de la superficie lateral del cono es igual al producto de la mitad de la circunferencia de la base y la generatriz:

donde: R es el radio de la base del cono, yo es la longitud de la generatriz del cono. Esta fórmula se deriva fácilmente (o se prueba) basándose en la fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide regular.

Superficie total del cono es la suma del área de la superficie lateral y el área de la base. El área de la base del cono (es decir, solo el área del círculo) es: S base = πR 2. Por tanto, la superficie total del cono S lleno cono se calcula mediante la fórmula:

Teorema 2(sobre el volumen de un cono). El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base multiplicado por la altura:

donde: R es el radio de la base del cono, h- su alta. Esta fórmula también se deriva (demuestra) fácilmente con base en la fórmula para el volumen de la pirámide.

Definiciones:

1. Un plano paralelo a la base de un cono y que interseca al cono corta un cono más pequeño de él. el resto se llama cono truncado.

1. La base del cono original y el círculo obtenido en la sección de este cono por un plano se llaman jardines, y el segmento que conecta sus centros - altura del cono truncado.
2. La recta que pasa por la altura del cono truncado (es decir, por los centros de sus bases) es su eje.
3. La parte de la superficie lateral del cono que limita con el cono truncado se llama su superficie lateral, y los segmentos de la generatriz del cono ubicados entre las bases del cono truncado se llaman su generando.
4. Todos los generadores de un cono truncado son iguales entre sí.
5. Se puede obtener un cono truncado girando un trapezoide rectangular 360° alrededor de su lado perpendicular a las bases.

Fórmulas para un cono truncado:

El volumen de un cono truncado es igual a la diferencia entre los volúmenes de un cono lleno y un cono cortado por un plano paralelo a la base del cono. El volumen de un cono truncado se calcula mediante la fórmula:

donde: S 1 = π r 1 2 y S 2 = π r 2 2 - áreas de bases, h es la altura del cono truncado, r 1 y r 2 - radios de las bases superior e inferior del cono truncado. Sin embargo, en la práctica, es todavía más conveniente buscar el volumen de un cono truncado como la diferencia entre los volúmenes del cono original y la parte cortada. El área de la superficie lateral de un cono truncado también se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de la superficie lateral del cono original y la parte cortada.

De hecho, el área de la superficie lateral de un cono truncado es igual a la diferencia entre las áreas de las superficies laterales de un cono lleno y un cono cortado por un plano paralelo a la base del cono. Superficie lateral de un cono truncado calculado por la fórmula:

donde: PAG 1 = 2π r 1 y PAG 2 = 2π r 2 - perímetros de las bases de un cono truncado, yo- la longitud de la generatriz. Superficie total de un cono truncado, obviamente, se encuentra como la suma de las áreas de las bases y la superficie lateral:

Tenga en cuenta que las fórmulas para el volumen y el área de la superficie lateral de un cono truncado se derivan de fórmulas para características similares de una pirámide truncada regular.

Cono y esfera

Se dice que un cono está inscrito en una esfera.(pelota), si su vértice pertenece a la esfera (el límite de la pelota), y la circunferencia de la base (la base misma) es una sección de la esfera (pelota). En este caso, la esfera (bola) se llama circunscrita cerca del cono. Una esfera siempre se puede describir alrededor de un cono circular recto. El centro de la esfera circunscrita estará sobre una recta que contiene la altura del cono, y el radio de esta esfera será igual al radio de la circunferencia circunscrita a la sección axial del cono (esta sección es un triángulo isósceles) . Ejemplos:

Una esfera (bola) se llama inscrita en un cono., si la esfera (pelota) toca la base del cono y cada uno de sus generadores. En este caso, el cono se llama inscrito cerca de la esfera (bola). Una esfera siempre se puede inscribir en un cono circular recto. Su centro estará a la altura del cono, y el radio de la esfera inscrita será igual al radio del círculo inscrito en la sección axial del cono (esta sección es un triángulo isósceles). Ejemplos:

Cono y pirámide

• Un cono se llama inscrito en una pirámide (una pirámide se describe cerca de un cono) si la base del cono está inscrita en la base de la pirámide y los vértices del cono y la pirámide coinciden.
• Una pirámide se llama inscrita en un cono (un cono se describe cerca de una pirámide) si su base está inscrita en la base del cono y los bordes laterales son generadores del cono.
• Las alturas de tales conos y pirámides son iguales entre sí.

Nota: Ya se han discutido más detalles sobre cómo en geometría sólida un cono encaja en una pirámide o se describe cerca de una pirámide en

¿Cómo prepararse con éxito para el CT en Física y Matemáticas?

Para tener éxito prepararse para la tomografía computarizada en física y matemáticas, entre otras cosas, se deben cumplir tres condiciones esenciales:

1. Estudie todos los temas y complete todas las pruebas y tareas dadas en materiales de entrenamiento en ese sitio web. Para hacer esto, no necesita nada en absoluto, a saber: dedicar de tres a cuatro horas todos los días a prepararse para el CT en física y matemáticas, estudiar teoría y resolver problemas. El caso es que el CT es un examen en el que no basta con saber física o matemáticas, también hay que ser capaz de resolver de forma rápida y sin fallos una gran cantidad de problemas de diversa temática y complejidad variable. Este último solo se puede aprender resolviendo miles de problemas.
2. aprender todas las fórmulas y leyes en física, y fórmulas y métodos en matemáticas. De hecho, también es muy simple hacer esto, solo hay unas 200 fórmulas necesarias en física, e incluso un poco menos en matemáticas. En cada una de estas materias hay alrededor de una docena de métodos estándar para resolver problemas de un nivel básico de complejidad, que también se pueden aprender, y así, de forma totalmente automática y sin dificultad, resolver la mayor parte de la transformación digital en el momento adecuado. Después de eso, solo tendrás que pensar en las tareas más difíciles.
3. Visita las tres etapas prueba de ensayo en física y matemáticas. Cada RT se puede visitar dos veces para resolver ambas opciones. Nuevamente, en el DT, además de la capacidad para resolver problemas de manera rápida y eficiente, y el conocimiento de fórmulas y métodos, también es necesario poder planificar adecuadamente el tiempo, distribuir fuerzas y, lo más importante, completar correctamente el formulario de respuesta. sin confundir ni los números de respuestas y problemas, ni tu propio nombre. Además, durante el RT, es importante acostumbrarse al estilo de hacer preguntas en las tareas, que puede parecer muy inusual para una persona no preparada en el DT.

La implementación exitosa, diligente y responsable de estos tres puntos le permitirá mostrar un excelente resultado en el CT, el máximo de lo que es capaz.

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