El volumen de una pirámide hexagonal regular es de 6 lados. Volumen de una pirámide hexagonal regular

El cálculo de volúmenes de figuras espaciales es una de las tareas importantes de la estereometría. En este artículo, consideraremos el tema de determinar el volumen de un poliedro como una pirámide, y también daremos uno hexagonal regular.

Pirámide hexagonal

Para empezar, consideremos cuál es la figura, que se discutirá en el artículo.

Tengamos un hexágono arbitrario cuyos lados no sean necesariamente iguales entre sí. Supongamos también que hemos elegido un punto en el espacio que no está en el plano del hexágono. Al conectar todas las esquinas de este último con el punto seleccionado, obtenemos una pirámide. En la siguiente imagen se muestran dos pirámides diferentes que tienen una base hexagonal.

Se puede ver que además del hexágono, la figura consta de seis triángulos, cuyo punto de conexión se llama vértice. La diferencia entre las pirámides representadas es que la altura h de la derecha no corta la base hexagonal en su centro geométrico, mientras que la altura de la figura de la izquierda cae exactamente en este centro. Gracias a este criterio, la pirámide izquierda se llamó recta y la derecha inclinada.

Dado que la base de la figura de la izquierda en la figura está formada por un hexágono con lados y ángulos iguales, se llama correcta. Más adelante en el artículo hablaremos solo de esta pirámide.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la siguiente fórmula es válida:

Aquí h es la longitud de la altura de la figura, S o es el área de su base. Usemos esta expresión para determinar el volumen de una pirámide hexagonal regular.

Dado que la figura en cuestión se basa en un hexágono equilátero, se puede usar la siguiente expresión general para un n-ágono para calcular su área:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Aquí n es un número entero igual al número de lados (esquinas) del polígono, a es la longitud de su lado, la función cotangente se calcula utilizando las tablas correspondientes.

Aplicando la expresión para n = 6, obtenemos:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Ahora queda sustituir esta expresión en formula general para el volumen V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Así, para calcular el volumen de la pirámide en cuestión, es necesario conocer sus dos parámetros lineales: la longitud del lado de la base y la altura de la figura.

Ejemplo de solucion de problema

Mostremos cómo se puede usar la expresión obtenida para V 6 para resolver el siguiente problema.

Se sabe que el volumen correcto es 100 cm 3. Es necesario determinar el lado de la base y la altura de la figura, si se sabe que están relacionados entre sí por la siguiente igualdad:

Dado que solo a y h están incluidos en la fórmula del volumen, cualquiera de estos parámetros puede sustituirse en ella, expresados ​​a través del otro. Por ejemplo, sustituimos a, obtenemos:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Para encontrar el valor de la altura de la figura, es necesario sacar la raíz de tercer grado del volumen, que corresponde a la dimensión de longitud. Sustituimos el valor del volumen V 6 de la pirámide de la condición del problema, obtenemos la altura:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Como el lado de la base, de acuerdo con la condición del problema, es el doble del valor encontrado, obtenemos el valor para ello:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volumen pirámide hexagonal se puede encontrar no solo a través de la altura de la figura y el valor del lado de su base. Basta conocer dos parámetros lineales diferentes de la pirámide para calcularla, por ejemplo, la apotema y la longitud de la arista lateral.

Problemas con las pirámides. En este artículo, continuaremos considerando los problemas con las pirámides. No se pueden atribuir a ninguna clase o tipo de tareas y dan recomendaciones generales (algoritmos) para resolver. Es solo que el resto de las tareas que no se consideraron anteriormente se recopilan aquí.

Enumeraré la teoría que necesita refrescarse en la memoria antes de resolver: pirámides, propiedades de similitud de figuras y cuerpos, propiedades de pirámides regulares, el teorema de Pitágoras, la fórmula del área del triángulo (es la segunda). Considere las tareas:

Desde Pirámide triangular, cuyo volumen es 80, la pirámide triangular está cortada por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la línea media de la base. Encuentra el volumen de la pirámide triangular recortada.

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura:

Estas pirámides (originales y recortadas) tienen una altura común, por lo que sus volúmenes están relacionados como las áreas de sus bases. línea media del triángulo original se corta un triángulo cuya área es cuatro veces menor, es decir:

Puedes ver más sobre esto aquí.

Esto significa que el volumen de la pirámide recortada será cuatro veces menor.

Así que serán 20.

Respuesta: 20

* un problema similar, se usa la fórmula para el área de un triángulo.

El volumen de una pirámide triangular es 15. El plano pasa por el lado de la base de esta pirámide y corta el borde del lado opuesto en un punto que lo divide en una proporción de 1:2, contando desde la parte superior de la pirámide. Encuentra el mayor de los volúmenes de las pirámides en que el plano divide la pirámide original.

Construyamos una pirámide, marcamos los vértices.Marque un punto E en el borde AS de modo que AE sea dos veces más grande que ES (en la condición en que se dice que ES se relaciona con AE como 1 a 2), y construya el plano indicado que pasa por el borde AC y el punto E:

Analicemos el volumen de qué pirámide será más grande: ¿EABC o SEBC?

* El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura:

Si consideramos las dos pirámides resultantes y tomamos la cara EBC como base en ambas, entonces resulta obvio que el volumen de la pirámide AEBC será mayor que el volumen de la pirámide SEBC. ¿Por qué?

La distancia desde el punto A hasta el plano EBC es mayor que la distancia desde el punto S. Y esta distancia juega el papel de altura para nosotros.

Entonces, encontremos el volumen de la pirámide EABC.

Se nos da el volumen de la pirámide inicial, la base de las pirámides SABC y EABC es común. Si establecemos la relación de alturas, entonces podemos determinar fácilmente el volumen.

De la relación de los segmentos ES y AE se sigue que AE es igual a dos tercios de ES. Las alturas de las pirámides SABC y EABC están en la misma relación -la altura de la pirámide EABC será igual a 2/3 de la altura de la pirámide SABC.

Así, si

Ese

Respuesta: 10

El volumen de una pirámide hexagonal regular es 6. El lado de la base es 1. Halla la arista lateral.

En una pirámide regular, la parte superior se proyecta hacia el centro de la base.Realicemos construcciones adicionales:

Podemos encontrar el borde lateral de triángulo rectángulo SOC. Para hacer esto, necesita saber SO y OS.

SO es la altura de la pirámide, podemos calcularla usando la fórmula del volumen:

Calcular el área de la base. este es un hexágono regular con un lado igual a 1. El área de un hexágono regular es igual al área de seis triángulos equiláteros con el mismo lado, más sobre esto (ítem 6), entonces:

Significa

OS \u003d BC \u003d 1, ya que en un hexágono regular el segmento que conecta su centro con el vértice es igual al lado de este hexágono.

Así, según el teorema de Pitágoras:

Respuesta: 7

VolumenEl tamaño de un tetraedro es 200. Calcula el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de este tetraedro.

El volumen del poliedro indicado. es igual a la diferencia volúmenes del tetraedro inicial V 0 y cuatro tetraedros iguales, cada uno de los cuales se obtiene cortando por un plano que pasa por los puntos medios de las aristas que tienen un vértice común:

Definamos que es igual al volumen cortar el tetraedro.

Tenga en cuenta que el tetraedro original y el tetraedro "cortado" son cuerpos similares. Se sabe que la razón de los volúmenes de cuerpos similares es k 3 , donde k es el coeficiente de similitud. En este caso, es igual a 2 (ya que todas las dimensiones lineales del tetraedro original son el doble de las dimensiones correspondientes del cortado):

Calcular el volumen del tetraedro cortado:

Así, el volumen deseado será igual a:

Respuesta: 100

El área de superficie de un tetraedro es 120. Encuentra el área de superficie de un poliedro cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de este tetraedro.

Primera forma:

La superficie deseada consta de 8 triángulos equiláteros con un lado la mitad del borde del tetraedro original. La superficie del tetraedro original consta de 16 triángulos de este tipo (4 triángulos en cada una de las 4 caras del tetraedro), por lo que el área requerida es igual a la mitad del área de la superficie de este tetraedro y es igual a 60.

Segunda forma:

Como se conoce el área de superficie del tetraedro, podemos encontrar su borde, luego determinar la longitud del borde del poliedro y luego calcular su área de superficie.

Las pirámides son: triangulares, cuadrangulares, etc., dependiendo de cuál sea la base: un triángulo, un cuadrilátero, etc.
La pirámide se llama correcta ( figura 286,b) si, en primer lugar, su base es un polígono regular y, en segundo lugar, la altura pasa por el centro de este polígono.
De lo contrario, la pirámide se llama irregular ( Figura 286, en). En una pirámide regular, todos los bordes laterales son iguales entre sí (como inclinados con proyecciones iguales). Por lo tanto, todas las caras laterales pirámide correcta son triángulos isósceles iguales.
Análisis de los elementos de una pirámide hexagonal regular y su representación en un dibujo complejo ( figura 287) .

a) Dibujo complejo de una pirámide hexagonal regular. La base de la pirámide se encuentra en el plano P 1 ; dos lados de la base de la pirámide son paralelos al plano de proyecciones П 2 .
b) Base ABCDEF: un hexágono ubicado en el plano de proyecciones П 1 .
c) Cara lateral ASF - un triángulo ubicado en un plano en posición general.
d) Cara lateral FSE - un triángulo ubicado en el perfil - plano de proyección.
e) La arista SE es un segmento en posición general.
f) Borde SA - segmento frontal.
g) La parte superior S de la pirámide es un punto en el espacio.
Sobre el ( figura 288 y figura 289) se dan ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo e imágenes visuales (axonometria) de pirámides.

Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Uno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos la base de la pirámide: un polígono, de acuerdo con esta condición, que se encuentra en el plano П 1 .
Diseñamos un vértice, un punto ubicado en el espacio. La altura del punto S es igual a la altura de la pirámide. La proyección horizontal S 1 del punto S estará en el centro de la proyección de la base de la pirámide (por condición).
yo, segundo Diseñamos los bordes de la pirámide - segmentos; para ello conectamos las proyecciones directas de los vértices de la base ABCDE con las correspondientes proyecciones de la cúspide de la pirámide S. Las proyecciones frontales S 2 C 2 y S 2 D 2 de las aristas de la pirámide se representan mediante líneas discontinuas, como invisibles, cerradas por las caras de la pirámide (SBA y SAE).
yo, c. Dada la proyección horizontal K 1 del punto K sobre la cara lateral SBA, se requiere encontrar su proyección frontal. Para hacer esto, dibujamos una línea auxiliar S 1 F 1 a través de los puntos S 1 y K 1, encontramos su proyección frontal y, usando una línea de comunicación vertical, determinamos el lugar de la proyección frontal deseada K 2 del punto k
II. El desarrollo de la superficie de la pirámide es una figura plana que consta de caras laterales: triángulos isósceles idénticos, uno de los cuales es igual al lado de la base y los otros dos, a los bordes laterales, y de un polígono regular. la base.
Las dimensiones naturales de los lados de la base se revelan en su proyección horizontal. No se revelaron las dimensiones naturales de las nervaduras en las proyecciones.
Hipotenusa S 2 ¯A 2 ( figura 288, 1 , b) de un triángulo rectángulo S 2 O 2 ¯A 2, en el que el cateto mayor es igual a la altura S 2 O 2 de la pirámide, y el menor es igual a la proyección horizontal de la arista S 1 A 1 es el tamaño natural de la arista de la pirámide. El barrido debe construirse en el siguiente orden:
a) desde un punto S arbitrario (vértice) dibujamos un arco con un radio R igual al borde de la pirámide;
b) en el arco dibujado, apartar cinco cuerdas de tamaño R 1 igual al lado de la base;
c) conectamos los puntos D, C, B, A, E, D en serie entre sí y con el punto S con líneas rectas, obtenemos cinco isósceles triángulos iguales, que constituyen el desarrollo de la superficie lateral de esta pirámide, cortada a lo largo del borde SD ;
d) adjuntamos a cualquier cara la base de la pirámide, un pentágono, utilizando el método de triangulación, por ejemplo, a la cara DSE.
El punto K se traslada al barrido mediante una recta auxiliar utilizando el tamaño B 1 F 1 tomado en la proyección horizontal, y el tamaño A 2 K 2 tomado en el tamaño natural de la nervadura.
tercero Representación visual de la pirámide en isometría.
III, a. Representamos la base de la pirámide, utilizando las coordenadas según ( figura 288, 1 , un).
Representamos la parte superior de la pirámide, utilizando las coordenadas de ( figura 288, 1 , un).
III, b. Representamos los bordes laterales de la pirámide, conectando la parte superior con la parte superior de la base. La arista S"D" y los lados de la base C"D" y D"E" se muestran con líneas discontinuas, como invisibles, cerrados por las caras de la pirámide C"S"B", B"S"A" y A"S"E".
III, e. Determinamos el punto en la superficie de la pirámide K, usando las dimensiones y F y x K. Para la imagen dimétrica de la pirámide se debe seguir la misma secuencia.
Imagen de una pirámide triangular irregular.

Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. El lado BC de la base es perpendicular al eje X.
I. Dibujo integrado
I a. Diseñamos la base de la pirámide, un triángulo isósceles que se encuentra en el plano P 1, y la parte superior S, un punto ubicado en el espacio, cuya altura es igual a la altura de la pirámide.
yo, segundo Diseñamos los bordes de la pirámide: segmentos, para los cuales conectamos las proyecciones del mismo nombre de la parte superior de la base con las proyecciones del mismo nombre de la parte superior de la pirámide con líneas rectas. Representamos la proyección horizontal del lado de la base de la aeronave con una línea discontinua, como invisible, cerrada por dos caras de la pirámide ABS, ACS.
yo, c. Sobre la proyección frontal A 2 C 2 S 2 de la cara lateral, se da la proyección D 2 del punto D. Se requiere encontrar su proyección horizontal. Para hacer esto, a través del punto D 2 dibujamos una línea recta auxiliar paralela al eje x 12, la proyección frontal de la horizontal, luego encontramos su proyección horizontal y en ella, usando una línea de comunicación vertical, determinamos la ubicación de la proyección horizontal deseada D 1 del punto D.
II. Construcción de un barrido piramidal.
Las dimensiones naturales de los lados de la base se revelan en la proyección horizontal. El tamaño natural de la costilla AS se revela en la proyección frontal; no hay tamaño natural de las nervaduras BS y CS en las proyecciones, el tamaño de estas nervaduras se revela al girarlas alrededor del eje i, perpendicular al plano P 1 que pasa por la parte superior de la pirámide S. La nueva proyección frontal ¯C 2 S 2 es el valor natural de la arista CS.
La secuencia de construcción de un desarrollo de la superficie de la pirámide:
a) dibujar un triángulo isósceles - cara CSB, cuya base es igual al lado de la base de la pirámide CB, y lados- tamaño natural de la costilla SC;
b) sumamos dos triángulos a los lados SC y SB del triángulo construido - las caras de la pirámide CSA y BSA, y a la base CB del triángulo construido - la base de la pirámide CBA, como resultado obtenemos un completo despliegue de la superficie de esta pirámide.
La transferencia del punto D al desarrollo se lleva a cabo en el siguiente orden: primero, dibuje una línea horizontal en el desarrollo de la cara lateral ASC usando la dimensión R 1, y luego determine la ubicación del punto D en la línea horizontal usando el R 2 dimensiones.
tercero Una representación visual de la pirámide y proyección dimétrica frontal
III, a. Representamos la base A "B" C y la parte superior S "de la pirámide, usando las coordenadas según (

Fecha: 2015-01-19

Si necesitas instrucción paso a paso cómo construir un barrido piramidal, entonces pido nuestra lección. En primer lugar, evalúa si tu pirámide está desplegada de la misma manera que en la Figura 1.

Si lo tiene girado a 90 grados, entonces el borde marcado en la figura como "valores reales conocidos" en su caso se puede encontrar en la proyección del perfil, que deberá construir. En mi caso, esto no es obligatorio, ya tenemos todos los valores necesarios para construir. Es importante no olvidar que en este dibujo solo se muestran en tamaño completo los bordes SA y SD en la proyección frontal. Todos los demás se proyectan con distorsión de longitud. Además, en la vista superior, todos los lados del hexágono también se proyectan en tamaño completo. En base a esto, comencemos.

1. Para mayor belleza, dibujemos la primera línea horizontalmente (Figura 1). Entonces, dibujaremos un amplio arco de radio R=a, es decir con un radio igual a la longitud del borde lateral de la pirámide. Obtenemos el punto A. A partir de él, hacemos una muesca en el arco con una brújula, con un radio r \u003d b (la longitud del lado de la base de la pirámide). Vayamos al punto B. ¡Ya tenemos la primera cara de la pirámide!

2. Desde el punto B, haremos otra muesca con el mismo radio: obtendremos el punto C y, conectándolo con los puntos B y S, obtendremos la segunda cara lateral de la pirámide (Figura 2).

3. Repitiendo estos pasos la cantidad de veces requerida (todo depende de cuántas caras tenga tu pirámide) obtendremos dicho abanico (Figura 3). Con la construcción correcta, debe obtener todos los puntos de la base y los extremos deben repetirse.

4. Esto no siempre es necesario, pero aún así es necesario: agregue la base de la pirámide al desarrollo de la superficie lateral. Creo que todos los que han leído hasta este punto pueden dibujar un pentágono de seis y ocho (en la lección se describe en detalle cómo dibujar un pentágono). La dificultad radica en el hecho de que la figura debe dibujarse en lugar correcto y en el ángulo recto. Dibuja un eje a través del medio de cualquier cara. Desde el punto de intersección con la línea de la base, trazamos la distancia m, como se muestra en la Figura 4.


Dibujando una perpendicular a través de este punto, obtenemos los ejes del futuro hexágono. Desde el centro resultante dibujamos un círculo, como lo hizo al construir una vista superior. Tenga en cuenta que el círculo debe pasar por dos puntos de la cara lateral (en mi caso, estos son F y A)

5. La figura 5 muestra la vista final desplegada del prisma hexagonal.


Esto completa la construcción del barrido de la pirámide. Construye tus barridos, aprende a encontrar soluciones, sé corrosivo y nunca te rindas. Gracias por pasar. No olvides recomendarnos a tus amigos :) ¡Todo lo mejor!

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