El volumen de una pirámide hexagonal regular es de 6 lados. Pirámide

Las pirámides son: triangulares, cuadrangulares, etc., dependiendo de cuál sea la base: un triángulo, un cuadrilátero, etc.
Una pirámide se llama correcta (Fig. 286b) si, en primer lugar, su base es un polígono regular y, en segundo lugar, la altura pasa por el centro de este polígono.
De lo contrario, la pirámide se llama irregular (Fig. 286, c). En una pirámide regular, todos los bordes laterales son iguales entre sí (como inclinados con proyecciones iguales). Por tanto, todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
Análisis de los elementos de una pirámide hexagonal regular y su representación en un dibujo complejo (Fig.287).

a) Dibujo complejo de una pirámide hexagonal regular. La base de la pirámide se encuentra en el plano P 1 ; dos lados de la base de la pirámide son paralelos al plano de proyecciones П 2 .
b) Base ABCDEF: un hexágono ubicado en el plano de proyecciones П 1 .
c) Cara lateral ASF - un triángulo ubicado en un plano en posición general.
d) Cara lateral FSE - un triángulo ubicado en el perfil - plano de proyección.
e) La arista SE es un segmento en posición general.
f) Borde SA - segmento frontal.
g) La parte superior S de la pirámide es un punto en el espacio.
On (Fig.288 y Fig.289) muestra ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo e imágenes visuales (axonometrias) de las pirámides.

Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Uno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos la base de la pirámide: un polígono, de acuerdo con esta condición, que se encuentra en el plano П 1 .
Diseñamos un vértice, un punto ubicado en el espacio. La altura del punto S es igual a la altura de la pirámide. La proyección horizontal S 1 del punto S estará en el centro de la proyección de la base de la pirámide (por condición).
yo, segundo Diseñamos los bordes de la pirámide - segmentos; para ello conectamos las proyecciones directas de los vértices de la base ABCDE con las correspondientes proyecciones de la cima de la pirámide S. Las proyecciones frontales S 2 C 2 y S 2 D 2 de las aristas de la pirámide se representan mediante líneas discontinuas, como invisibles, cerradas por las caras de la pirámide (SBA y SAE).
yo, c. Dada la proyección horizontal K 1 del punto K sobre la cara lateral SBA, se requiere encontrar su proyección frontal. Para hacer esto, dibujamos una línea auxiliar S 1 F 1 a través de los puntos S 1 y K 1, encontramos su proyección frontal y, usando una línea de comunicación vertical, determinamos el lugar de la proyección frontal deseada K 2 del punto k
II. El desarrollo de la superficie de la pirámide es una figura plana que consta de caras laterales: triángulos isósceles idénticos, uno de los cuales es igual al lado de la base y los otros dos, a los bordes laterales, y de un polígono regular. la base.
Las dimensiones naturales de los lados de la base se revelan en su proyección horizontal. No se revelaron las dimensiones naturales de las nervaduras en las proyecciones.
Hipotenusa S 2 ¯A 2 (Fig.288, 1 , b) triángulo rectángulo S 2 O 2 ¯A 2 , en el que el cateto mayor es igual a la altura S 2 O 2 de la pirámide, y el cateto menor es igual a la proyección horizontal de la arista S 1 A 1 es el tamaño natural de la arista de la piramide El barrido debe construirse en el siguiente orden:
a) desde un punto S arbitrario (vértice) dibujamos un arco con un radio R igual al borde de la pirámide;
b) en el arco dibujado, apartar cinco cuerdas de tamaño R 1 igual al lado de la base;
c) conectamos los puntos D, C, B, A, E, D en serie entre sí y con el punto S con líneas rectas, obtenemos cinco isósceles triángulos iguales, que constituyen el desarrollo de la superficie lateral de esta pirámide, cortada a lo largo del borde SD ;
d) adjuntamos a cualquier cara la base de la pirámide, un pentágono, utilizando el método de triangulación, por ejemplo, a la cara DSE.
El punto K se traslada al barrido mediante una recta auxiliar utilizando el tamaño B 1 F 1 tomado en la proyección horizontal, y el tamaño A 2 K 2 tomado en el tamaño real de la nervadura.
tercero Representación visual de la pirámide en isometría.
III, a. Representamos la base de la pirámide, usando las coordenadas según (Fig.288, 1 , un).
Representamos la parte superior de la pirámide, usando las coordenadas de (Fig.288, 1 , un).
III, b. Representamos los bordes laterales de la pirámide, conectando la parte superior con la parte superior de la base. La arista S"D" y los lados de la base C"D" y D"E" se muestran con líneas discontinuas, como invisibles, cerrados por las caras de la pirámide C"S"B", B"S"A" y A"S"E".
III, e. Determinamos el punto en la superficie de la pirámide K, usando las dimensiones y F y x K. Para la imagen dimétrica de la pirámide se debe seguir la misma secuencia.
Imagen de una pirámide triangular irregular.

Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. El lado BC de la base es perpendicular al eje X.
I. Dibujo integrado
I a. Diseñamos la base de la pirámide, un triángulo isósceles que se encuentra en el plano P 1, y la parte superior S, un punto ubicado en el espacio, cuya altura es igual a la altura de la pirámide.
yo, segundo Diseñamos los bordes de la pirámide: segmentos, para los cuales conectamos las proyecciones del mismo nombre de los vértices de la base con las proyecciones del mismo nombre de la parte superior de la pirámide con líneas rectas. Representamos la proyección horizontal del lado de la base de la aeronave con una línea discontinua, como invisible, cerrada por dos caras de la pirámide ABS, ACS.
yo, c. Sobre la proyección frontal A 2 C 2 S 2 de la cara lateral, se da la proyección D 2 del punto D. Se requiere encontrar su proyección horizontal. Para hacer esto, a través del punto D 2 dibujamos una línea recta auxiliar paralela al eje x 12, la proyección frontal de la horizontal, luego encontramos su proyección horizontal y en ella, usando una línea de comunicación vertical, determinamos la ubicación de la proyección horizontal deseada D 1 del punto D.
II. Construcción de un barrido piramidal.
Las dimensiones naturales de los lados de la base se revelan en la proyección horizontal. El tamaño natural de la costilla AS se revela en la proyección frontal; no hay tamaño natural de las nervaduras BS y CS en las proyecciones, el tamaño de estas nervaduras se revela al girarlas alrededor del eje i, perpendicular al plano P 1 que pasa por la parte superior de la pirámide S. La nueva proyección frontal ¯C 2 S 2 es el valor natural de la arista CS.
La secuencia de construcción de un desarrollo de la superficie de la pirámide:
a) dibujar un triángulo isósceles - cara CSB, cuya base es igual al lado de la base de la pirámide CB, y lados- tamaño natural de la costilla SC;
b) sumamos dos triángulos a los lados SC y SB del triángulo construido - las caras de la pirámide CSA y BSA, y a la base CB del triángulo construido - la base de la pirámide CBA, como resultado obtenemos un completo despliegue de la superficie de esta pirámide.
La transferencia del punto D al desarrollo se lleva a cabo en el siguiente orden: primero, dibuje una línea horizontal en el desarrollo de la cara lateral ASC usando la dimensión R 1, y luego determine la ubicación del punto D en la línea horizontal usando el R 2 dimensiones.
tercero Una representación visual de la pirámide y proyección dimétrica frontal
III, a. Representamos la base A "B" C y la parte superior S "de la pirámide, usando las coordenadas según (

El cálculo de volúmenes de figuras espaciales es una de las tareas importantes de la estereometría. En este artículo, consideraremos el tema de determinar el volumen de un poliedro como una pirámide, y también daremos uno hexagonal regular.

Pirámide hexagonal

Para empezar, consideremos cuál es la figura, que se discutirá en el artículo.

Tengamos un hexágono arbitrario cuyos lados no sean necesariamente iguales entre sí. Supongamos también que hemos elegido un punto en el espacio que no está en el plano del hexágono. Al conectar todas las esquinas de este último con el punto seleccionado, obtenemos una pirámide. En la siguiente imagen se muestran dos pirámides diferentes que tienen una base hexagonal.

Se puede ver que además del hexágono, la figura consta de seis triángulos, cuyo punto de conexión se llama vértice. La diferencia entre las pirámides representadas es que la altura h de la derecha no corta la base hexagonal en su centro geométrico, mientras que la altura de la figura de la izquierda cae exactamente en este centro. Gracias a este criterio, la pirámide izquierda se llamó recta y la derecha inclinada.

Dado que la base de la figura de la izquierda en la figura está formada por un hexágono con lados y ángulos iguales, se llama correcta. Más adelante en el artículo hablaremos solo de esta pirámide.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la siguiente fórmula es válida:

Aquí h es la longitud de la altura de la figura, S o es el área de su base. Usemos esta expresión para determinar el volumen de una pirámide hexagonal regular.

Dado que la figura en cuestión se basa en un hexágono equilátero, se puede usar la siguiente expresión general para un n-ágono para calcular su área:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Aquí n es un número entero igual al número de lados (esquinas) del polígono, a es la longitud de su lado, la función cotangente se calcula utilizando las tablas correspondientes.

Aplicando la expresión para n = 6, obtenemos:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Ahora queda sustituir esta expresión en formula general para el volumen V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Así, para calcular el volumen de la pirámide en cuestión, es necesario conocer sus dos parámetros lineales: la longitud del lado de la base y la altura de la figura.

Ejemplo de solucion de problema

Mostremos cómo se puede usar la expresión obtenida para V 6 para resolver el siguiente problema.

Se sabe que el volumen correcto es 100 cm 3. Es necesario determinar el lado de la base y la altura de la figura, si se sabe que están relacionados entre sí por la siguiente igualdad:

Dado que solo a y h están incluidos en la fórmula del volumen, cualquiera de estos parámetros puede sustituirse en ella, expresados ​​a través del otro. Por ejemplo, sustituimos a, obtenemos:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Para encontrar el valor de la altura de la figura, es necesario sacar la raíz de tercer grado del volumen, que corresponde a la dimensión de longitud. Sustituimos el valor del volumen V 6 de la pirámide de la condición del problema, obtenemos la altura:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Como el lado de la base, de acuerdo con la condición del problema, es el doble del valor encontrado, obtenemos el valor para ello:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

El volumen de una pirámide hexagonal se puede encontrar no solo a través de la altura de la figura y el valor del lado de su base. Basta conocer dos parámetros lineales diferentes de la pirámide para calcularla, por ejemplo, la apotema y la longitud de la arista lateral.

El dibujo es el primero y muy paso importante en la resolución de un problema geométrico. ¿Cómo debería ser el dibujo de una pirámide regular?

recordemos primero propiedades de diseño paralelo:

- los segmentos paralelos de la figura se representan como segmentos paralelos;

- se conserva la relación entre las longitudes de los segmentos de líneas paralelas y los segmentos de una línea recta.

Dibujo de una pirámide triangular regular

Primero, dibuja la base. Dado que los ángulos y las proporciones de las longitudes de los segmentos no paralelos no se conservan en el diseño paralelo, el triángulo regular en la base de la pirámide está representado por un triángulo arbitrario.

El centro de un triángulo equilátero es el punto de intersección de las medianas del triángulo. Dado que las medianas en el punto de intersección se dividen en una proporción de 2: 1, contando desde la parte superior, conectamos mentalmente la parte superior de la base con la mitad del lado opuesto, la dividimos aproximadamente en tres partes y colocamos un punto en una distancia de 2 partes desde la parte superior. Dibuja una perpendicular desde este punto hacia arriba. Esta es la altura de la pirámide. Dibujamos la perpendicular tan larga que el borde lateral no cubra la imagen de la altura.

dibujo correcto pirámide cuadrangular

El dibujo de una pirámide cuadrangular regular también parte de la base. Como se conserva el paralelismo de los segmentos, pero no las magnitudes de los ángulos, el cuadrado de la base se representa como un paralelogramo. Deseable esquina filosa haz este paralelogramo más pequeño, entonces las caras laterales son más grandes. El centro de un cuadrado es el punto de intersección de sus diagonales. Dibujamos diagonales, desde el punto de intersección restauramos la perpendicular. Esta perpendicular es la altura de la pirámide. Elegimos la longitud de la perpendicular para que los bordes laterales no se fusionen entre sí.

Dibujo de una pirámide hexagonal regular

Dado que la proyección paralela preserva el paralelismo de los segmentos, la base de una pirámide hexagonal regular, un hexágono regular, se representa como un hexágono cuyos lados opuestos son paralelos e iguales. El centro de un hexágono regular es el punto de intersección de sus diagonales. Para no saturar el dibujo, no dibujamos diagonales, pero encontramos este punto aproximadamente. Desde allí restauramos la perpendicular, la altura de la pirámide, para que los bordes laterales no se fusionen entre sí.

Fecha: 2015-01-19

Si necesitas instrucción paso a paso cómo construir un barrido piramidal, entonces pido nuestra lección. En primer lugar, evalúa si tu pirámide está desplegada de la misma manera que en la Figura 1.

Si lo tiene girado a 90 grados, entonces el borde marcado en la figura como "valores reales conocidos" en su caso se puede encontrar en la proyección del perfil, que deberá construir. En mi caso esto no es obligatorio, ya tenemos todas las cantidades necesarias para construir. Es importante no olvidar que en este dibujo solo se muestran en tamaño completo los bordes SA y SD en la proyección frontal. Todos los demás se proyectan con distorsión de longitud. Además, en la vista superior, todos los lados del hexágono también se proyectan en tamaño completo. En base a esto, comencemos.

1. Para mayor belleza, dibujemos la primera línea horizontalmente (Figura 1). Entonces, dibujaremos un amplio arco de radio R=a, es decir con un radio igual a la longitud del borde lateral de la pirámide. Obtenemos el punto A. A partir de él, hacemos una muesca en el arco con una brújula, con un radio r \u003d b (la longitud del lado de la base de la pirámide). Vayamos al punto B. ¡Ya tenemos la primera cara de la pirámide!

2. Desde el punto B, hacemos otra muesca con el mismo radio: obtenemos el punto C y, conectándolo con los puntos B y S, obtenemos la segunda cara lateral de la pirámide (Figura 2).

3. Repitiendo estos pasos la cantidad de veces requerida (todo depende de cuántas caras tenga tu pirámide) obtendremos dicho abanico (Figura 3). Con la construcción correcta, debe obtener todos los puntos de la base y los extremos deben repetirse.

4. Esto no siempre es necesario, pero aún así es necesario: agregue la base de la pirámide al desarrollo de la superficie lateral. Creo que todos los que han leído hasta este punto pueden dibujar un pentágono de seis y ocho (en la lección se describe en detalle cómo dibujar un pentágono). La dificultad radica en el hecho de que la figura debe dibujarse en lugar correcto y en el ángulo recto. Dibuja un eje a través del medio de cualquier cara. Desde el punto de intersección con la línea de la base, trazamos la distancia m, como se muestra en la Figura 4.


Dibujando una perpendicular a través de este punto, obtenemos los ejes del futuro hexágono. Desde el centro resultante dibujamos un círculo, como lo hizo al construir una vista superior. Tenga en cuenta que el círculo debe pasar por dos puntos de la cara lateral (en mi caso, estos son F y A)

5. La figura 5 muestra la vista final desplegada del prisma hexagonal.


Esto completa la construcción del barrido de la pirámide. Construye tus barridos, aprende a encontrar soluciones, sé corrosivo y nunca te rindas. Gracias por pasar. No olvides recomendarnos a tus amigos :) ¡Todo lo mejor!

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