Signos de la línea media del trapecio. línea mediana del trapezoide

El concepto de la línea media del trapezoide.

Primero, recordemos qué figura se llama trapezoide.

Definición 1

Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

En este caso, los lados paralelos se denominan bases del trapezoide, y no paralelos, los lados del trapezoide.

Definición 2

La línea media de un trapezoide es un segmento de línea que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide.

Teorema de la línea media del trapecio

Ahora introducimos el teorema de la línea media de un trapezoide y lo probamos por el método vectorial.

Teorema 1

La línea mediana del trapezoide es paralela a las bases e igual a la mitad de su suma.

Prueba.

Tengamos un trapezoide $ABCD$ con bases $AD\ y\ BC$. Y sea $MN$ la línea media de este trapezoide (Fig. 1).

Figura 1. La línea media del trapecio

Probemos que $MN||AD\ y\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considere el vector $\overrightarrow(MN)$. A continuación, usamos la regla del polígono para la suma de vectores. Por un lado, obtenemos que

Por otra parte

Sumando las dos últimas igualdades, obtenemos

Como $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados del trapezoide, tenemos

Obtenemos:

Como consecuencia

De la misma igualdad (dado que $\overrightarrow(BC)$ y $\overrightarrow(AD)$ son codireccionales y, por lo tanto, colineales), obtenemos que $MN||AD$.

El teorema ha sido probado.

Ejemplos de tareas sobre el concepto de la línea media de un trapezoide.

Ejemplo 1

Los lados del trapezoide son $15\cm$ y $17\cm$ respectivamente. El perímetro del trapezoide es $52\cm$. Encuentra la longitud de la línea media del trapezoide.

Solución.

Denota la línea media del trapezoide con $n$.

la suma de los lados es

Por tanto, como el perímetro es $52\ cm$, la suma de las bases es

Por lo tanto, por el Teorema 1, obtenemos

Responder:$10\cm$.

Ejemplo 2

Los extremos del diámetro del círculo están a $9$ cm y $5$ cm respectivamente de su tangente Halla el diámetro de este círculo.

Solución.

Sea una circunferencia de centro $O$ y diámetro $AB$. Dibujar la tangente $l$ y construir las distancias $AD=9\ cm$ y $BC=5\ cm$. Dibujemos el radio $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Como $AD$ y $BC$ son las distancias a la tangente, entonces $AD\bot l$ y $BC\bot l$ y como $OH$ es el radio, entonces $OH\bot l$, entonces $OH | \izquierda|AD\derecha||BC$. De todo esto obtenemos que $ABCD$ es un trapezoide y $OH$ es su línea media. Por el Teorema 1, obtenemos

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El área del trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación, consideraremos esta fórmula. ¿Por qué es así y cómo puedes entenderlo? Si hay un entendimiento, entonces no necesitas aprenderlo. Si solo desea ver esta fórmula y lo que es urgente, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))

Ahora en detalle y en orden.

Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no lo son. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.

Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, dicho trapezoide se llama rectangular.

En la forma clásica, el trapezoide se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarlo y viceversa. Aquí están los bocetos:

El siguiente concepto importante.

La línea mediana de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea mediana es paralela a las bases del trapezoide y es igual a la mitad de su suma.

Ahora profundicemos más. ¿Por qué exactamente?

Considere un trapezoide con bases a y B y con la línea media yo, y realice algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:

*Las designaciones de letras de vértices y otros puntos no se ingresan intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.

Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, a saber, los catetos (se indican respectivamente en azul y rojo).

¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, entonces tendremos un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. Además, si "pegamos" los segmentos azul y rojo cortados a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.

¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos medianas del trapezoide:

Ver otra explicación

Hagamos lo siguiente: construya una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:

Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en lado y ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el croquis está marcado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.

Ahora considere un triángulo:

*La línea mediana de este trapezoide y la línea mediana del triángulo coinciden.

Se sabe que el triángulo es igual a la mitad de la base paralela a él, es decir:

Ok, lo tengo. Ahora sobre el área del trapezoide.

Fórmula del área del trapecio:

Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.

Es decir, resulta que es igual al producto de la línea media y la altura:

Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de la siguiente manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:

Entonces obtenemos un rectángulo en el área igual al área nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea media y la altura, es decir, podemos escribir:

Pero el punto aquí no está en la escritura, por supuesto, sino en la comprensión.

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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alejandro.

Un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos se llama trapecio.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman jardines, y los lados que no son paralelos se llaman lados. Si los lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

Línea media del trapecio

La línea mediana es un segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide. La línea media de un trapezoide es paralela a sus bases.

Teorema:

Si una recta que corta el punto medio de un lado es paralela a las bases de un trapezoide, entonces biseca al segundo Lado lateral trapezoide

Teorema:

La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases

Línea media MN, AB y CD - bases, AD y BC - lados

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

La longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

la tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.

Línea media del triángulo

El segmento de línea que conecta los puntos medios de los dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una recta que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo dado, entonces biseca el tercer lado.

AM = MC y BN = NC =>

Aplicación de propiedades de línea media de triángulos y trapecios

La división de un segmento en cierto número de partes iguales.
Tarea: Divide el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no se encuentra en la línea AB. Separamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Conectamos A 5 con B y dibujamos líneas a través de A 4 , A 3 , A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Intersecan a AB en B 4 , B 3 , B 2 y B 1 respectivamente. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapezoide BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3 . De la misma manera, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2

Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Entonces de B 2 AA 2 se sigue que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión, obtenemos:
AB 1 = segundo 1 segundo 2 = segundo 2 segundo 3 = segundo 3 segundo 4 = segundo 4 segundo
Es claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.