Mathematische Probleme finden ihre Anwendung in vielen Wissenschaften. Dazu gehören nicht nur Physik, Chemie, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, sondern auch Medizin, Ökologie und andere Disziplinen. Ein wichtiges Konzept, das es zu beherrschen gilt, um Lösungen für wichtige Dilemmata zu finden, ist die Ableitung einer Funktion. Die physikalische Bedeutung davon ist überhaupt nicht so schwer zu erklären, wie es dem Uneingeweihten in der Essenz der Sache erscheinen mag. Es genügt, geeignete Beispiele dafür in zu finden wahres Leben und normalen Alltagssituationen. Tatsächlich bewältigt jeder Autofahrer jeden Tag eine ähnliche Aufgabe, wenn er auf den Tacho schaut und die Geschwindigkeit seines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einer festgelegten Zeit bestimmt. Schließlich liegt in diesem Parameter die Essenz der physikalischen Bedeutung der Ableitung.

So finden Sie Geschwindigkeit

Jeder Fünftklässler kann die Geschwindigkeit einer Person auf der Straße leicht bestimmen, wenn er die zurückgelegte Entfernung und die Fahrzeit kennt. Dazu wird der erste der angegebenen Werte durch den zweiten dividiert. Aber das weiß nicht jeder junge Mathematiker dieser Moment findet das Inkrementverhältnis einer Funktion und eines Arguments. In der Tat, wenn wir uns die Bewegung in Form eines Diagramms vorstellen und den Weg entlang der y-Achse und die Zeit entlang der Abszisse legen, wird es genau das sein.

Die Geschwindigkeit eines Fußgängers oder eines anderen Objekts, die wir auf einem großen Abschnitt des Weges bestimmen, kann sich jedoch unter Berücksichtigung der Bewegung als gleichmäßig ändern. In der Physik gibt es viele Bewegungsformen. Es kann nicht nur mit einer konstanten Beschleunigung durchgeführt werden, sondern auf beliebige Weise verlangsamt und erhöht werden. Es ist zu beachten, dass in diesem Fall die die Bewegung beschreibende Linie keine gerade Linie mehr ist. Grafisch kann es die komplexesten Konfigurationen annehmen. Aber für jeden der Punkte im Diagramm können wir immer eine Tangente zeichnen, die durch eine lineare Funktion dargestellt wird.

Um den Parameter der Verschiebungsänderung in Abhängigkeit von der Zeit zu verfeinern, ist es notwendig, die gemessenen Segmente zu reduzieren. Wenn sie unendlich klein werden, ist die berechnete Geschwindigkeit augenblicklich. Diese Erfahrung hilft uns, die Ableitung zu definieren. Seine physikalische Bedeutung folgt auch logisch aus einer solchen Argumentation.

In Sachen Geometrie

Es ist bekannt, dass was mehr Geschwindigkeit Körper, desto steiler ist der Graph der Verschiebungsabhängigkeit von der Zeit und damit der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen an einem bestimmten Punkt. Ein Indikator für solche Änderungen kann der Tangens des Winkels zwischen der x-Achse und der Tangentenlinie sein. Er bestimmt den Wert der Ableitung und wird aus dem Verhältnis der Längen des gegenüberliegenden zum angrenzenden Bein berechnet rechtwinkliges Dreieck, gebildet durch eine von einem Punkt auf die x-Achse fallende Senkrechte.

Das ist geometrischen Sinn erste Ableitung. Der physische zeigt sich darin, dass der Wert des gegenüberliegenden Beins in unserem Fall die zurückgelegte Strecke und das benachbarte die Zeit ist. Ihr Verhältnis ist Geschwindigkeit. Und wieder kommen wir zu dem Schluss, dass die momentane Geschwindigkeit, bestimmt, wenn beide Lücken gegen unendlich klein tendieren, die Essenz ist, die auf ihre physikalische Bedeutung hinweist. Die zweite Ableitung in diesem Beispiel ist die Beschleunigung des Körpers, die wiederum den Grad der Geschwindigkeitsänderung zeigt.

Beispiele zum Finden von Ableitungen in der Physik

Die Ableitung ist ein Indikator für die Änderungsrate jeder Funktion, auch wenn wir nicht von Bewegung im wörtlichen Sinne des Wortes sprechen. Um dies deutlich zu demonstrieren, nehmen wir einige konkrete Beispiele. Angenommen, die Stromstärke ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach folgendem Gesetz: ich= 0,4t2. Es ist erforderlich, den Wert der Rate zu finden, mit der sich dieser Parameter am Ende der 8. Sekunde des Prozesses ändert. Beachten Sie, dass der gewünschte Wert selbst, wie anhand der Gleichung beurteilt werden kann, ständig zunimmt.

Für die Lösung ist es erforderlich, die erste Ableitung zu finden, deren physikalische Bedeutung zuvor betrachtet wurde. Hier di/ dt = 0,8 t. Als nächstes finden wir es unter t=8 , erhalten wir, dass die Rate, mit der die Änderung der Stromstärke auftritt, gleich ist 6,4 EIN/ c. Dabei wird berücksichtigt, dass die Stromstärke in Ampere und die Zeit jeweils in Sekunden gemessen wird.

Alles ist veränderbar

Sichtbar die Umwelt, bestehend aus Materie, verändert sich ständig, ist in Bewegung und fließt darin verschiedene Prozesse. Um sie zu beschreiben, können Sie die meisten verwenden verschiedene Parameter. Wenn sie durch Abhängigkeit vereint sind, werden sie mathematisch als Funktion geschrieben, die ihre Änderungen deutlich zeigt. Und wo Bewegung ist (in welcher Form auch immer sie ausgedrückt werden mag), gibt es auch eine Ableitung, deren physikalische Bedeutung wir im Augenblick betrachten.

Dazu folgendes Beispiel. Angenommen, die Körpertemperatur ändert sich gemäß dem Gesetz T=0,2 t 2 . Sie sollten die Erwärmungsrate am Ende der 10. Sekunde finden. Das Problem wird auf ähnliche Weise wie im vorherigen Fall beschrieben gelöst. Das heißt, wir finden die Ableitung und setzen den Wert für ein t= 10 , wir bekommen T= 0,4 t= 4. Das bedeutet, dass die endgültige Antwort 4 Grad pro Sekunde ist, dh der Erwärmungsprozess und die Temperaturänderung, gemessen in Grad, erfolgen mit genau dieser Geschwindigkeit.

Lösung praktischer Probleme

Natürlich ist im wirklichen Leben alles viel komplizierter als bei theoretischen Problemen. In der Praxis wird der Wert von Mengen meist während des Experiments ermittelt. In diesem Fall werden Instrumente verwendet, die bei Messungen mit einem bestimmten Fehler Messwerte liefern. Daher muss man sich bei Berechnungen mit ungefähren Werten der Parameter befassen und auf das Runden unbequemer Zahlen sowie auf andere Vereinfachungen zurückgreifen. Nachdem wir dies berücksichtigt haben, werden wir wieder zu Problemen über die physikalische Bedeutung der Ableitung übergehen, da sie nur eine Art mathematisches Modell der komplexesten Prozesse sind, die in der Natur ablaufen.

Vulkanausbruch

Stellen Sie sich vor, ein Vulkan bricht aus. Wie gefährlich kann er sein? Um diese Frage zu beantworten, müssen viele Faktoren berücksichtigt werden. Wir werden versuchen, einen von ihnen zu berücksichtigen.

Aus dem Mund des „feurigen Ungeheuers“ werden Steine ​​senkrecht nach oben geschleudert, die von dem Moment an, in dem sie nach draußen treten, eine Anfangsgeschwindigkeit haben, deren Höhe berechnet werden muss.

Um den gewünschten Wert zu finden, stellen wir eine Gleichung für die Abhängigkeit der Höhe H, gemessen in Metern, von anderen Größen auf. Dazu gehören Anfangsgeschwindigkeit und Zeit. Der Beschleunigungswert wird als bekannt angesehen und beträgt etwa 10 m/s 2 .

Partielle Ableitung

Betrachten wir nun die physikalische Bedeutung der Ableitung einer Funktion aus einem etwas anderen Blickwinkel, denn die Gleichung selbst kann nicht eine, sondern mehrere Variablen enthalten. Zum Beispiel wurde in der vorherigen Aufgabe die Abhängigkeit der Höhe des Anstiegs von Steinen, die aus dem Schlot eines Vulkans ausgeworfen wurden, nicht nur von einer Änderung der Zeiteigenschaften, sondern auch vom Wert bestimmt Anfangsgeschwindigkeit. Letzterer wurde als konstanter, fester Wert angesehen. Aber bei anderen Aufgaben mit ganz anderen Voraussetzungen könnte alles anders sein. Wenn es mehrere Größen gibt, von denen eine komplexe Funktion abhängt, werden die Berechnungen gemäß den folgenden Formeln durchgeführt.

Die physikalische Bedeutung der häufigen Ableitung sollte wie im Normalfall ermittelt werden. Dies ist die Rate, mit der sich die Funktion an einem bestimmten Punkt ändert, wenn der Parameter der Variablen zunimmt. Es wird so berechnet, dass alle anderen Komponenten als Konstanten angenommen werden, nur eine wird als Variable betrachtet. Dann passiert alles nach den üblichen Regeln.

Wenn Sie die physikalische Bedeutung der Ableitung verstehen, ist es nicht schwierig, Beispiele für die Lösung komplizierter und komplexer Probleme zu geben, deren Antwort mit diesem Wissen gefunden werden kann. Wenn wir eine Funktion haben, die den Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Autos beschreibt, können wir berechnen, bei welchen Parametern des letzteren der Benzinverbrauch am geringsten sein wird.

In der Medizin kann man vorhersagen, wie es reagieren wird menschlicher Körper auf die vom Arzt verschriebene Medizin. Die Einnahme des Medikaments beeinflusst eine Vielzahl physiologischer Parameter. Dazu gehören Änderungen Blutdruck, Puls, Körpertemperatur und vieles mehr. Alle von ihnen hängen von der eingenommenen Dosis ab. medizinisches Produkt. Diese Berechnungen helfen, den Behandlungsverlauf sowohl bei günstigen Manifestationen als auch bei unerwünschten Unfällen vorherzusagen, die Veränderungen im Körper des Patienten tödlich beeinflussen können.

Zweifellos ist es wichtig, die physikalische Bedeutung des Derivats in technischen Angelegenheiten zu verstehen, insbesondere in Elektrotechnik, Elektronik, Design und Konstruktion.

Bremswege

Betrachten wir das nächste Problem. Bei konstanter Geschwindigkeit musste das Auto, das sich der Brücke näherte, 10 Sekunden vor der Einfahrt bremsen, wie der Fahrer bemerkte Verkehrszeichen, das die Bewegung mit einer Geschwindigkeit von mehr als 36 km / h verbietet. Hat der Fahrer gegen die Regeln verstoßen, wenn der Bremsweg durch die Formel S = 26t – t 2 beschrieben werden kann?

Nachdem wir die erste Ableitung berechnet haben, finden wir die Formel für die Geschwindigkeit, wir erhalten v = 28 - 2t. Als nächstes setzen wir den Wert t=10 in den angegebenen Ausdruck ein.

Da dieser Wert in Sekunden ausgedrückt wurde, ergibt sich eine Geschwindigkeit von 8 m / s, was 28,8 km / h bedeutet. Dies macht es möglich zu verstehen, dass der Fahrer rechtzeitig langsamer wurde und nicht gegen die Verkehrsregeln und damit gegen die auf dem Geschwindigkeitsschild angegebene Grenze verstieß.

Dies beweist die Wichtigkeit der physikalischen Bedeutung der Ableitung. Ein Beispiel zur Lösung dieses Problems zeigt die Breite der Anwendung dieses Konzepts in verschiedenen Lebensbereichen. Auch in Alltagssituationen.

Ableitung in der Wirtschaftswissenschaft

Vor dem 19. Jahrhundert befassten sich Ökonomen hauptsächlich mit Durchschnittswerten, sei es bei der Arbeitsproduktivität oder dem Produktionspreis. Doch ab einem bestimmten Zeitpunkt wurden Grenzwerte notwendiger, um in diesem Bereich effektive Prognosen zu erstellen. Dazu gehören Grenznutzen, Einkommen oder Kosten. Das Verständnis dafür gab den Anstoß zur Entwicklung eines völlig neuen Tools in Wirtschaftsforschung die seit mehr als hundert Jahren existiert und sich entwickelt hat.

Um solche Berechnungen durchzuführen, bei denen solche Konzepte als Minimum und Maximum vorherrschen, ist es einfach notwendig, die geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung zu verstehen. Unter den Schöpfern theoretische Basis Diese Disziplinen können als so prominente englische und österreichische Ökonomen wie W. S. Jevons, K. Menger und andere bezeichnet werden. Natürlich sind Grenzwerte in wirtschaftlichen Berechnungen nicht immer bequem zu verwenden. Und zum Beispiel passen Quartalsberichte nicht unbedingt hinein bestehendes Schema, aber dennoch ist die Anwendung einer solchen Theorie in vielen Fällen nützlich und effektiv.

Unterrichtsziele:

Lehrreich:

• Schaffung von Bedingungen für eine sinnvolle Assimilation der physikalischen Bedeutung der Ableitung durch die Schüler.
• Förderung der Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten zur praktischen Anwendung des Derivats zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme.

Entwicklung:

• Förderung der Entwicklung mathematischer Horizonte, kognitives Interesse der Studierenden durch Offenlegung der praktischen Notwendigkeit und theoretischen Bedeutung des Themas.
• Bedingungen zur Verbesserung der geistigen Fähigkeiten der Schüler schaffen: vergleichen, analysieren, verallgemeinern.

Lehrreich:

• Interesse an Mathematik fördern.

Unterrichtsart: Eine Lektion in der Beherrschung neuen Wissens.

Arbeitsformen: frontal, individuell, Gruppe.

Ausrüstung: Computer, interaktives Whiteboard, Präsentation, Lehrbuch.

Unterrichtsstruktur:

1. Zeit organisieren das Unterrichtsziel festlegen
2. Neues Material lernen
3. Primäre Fixierung von neuem Material
4. Selbstständige Arbeit
5. Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung.

Während des Unterrichts

ICH. Organisatorischer Moment, Festlegung des Unterrichtsziels (2 Min.)

II. Neues lernen (10 Min.)

Lehrer: In den vorherigen Lektionen haben wir uns mit den Regeln zur Berechnung von Ableitungen vertraut gemacht, gelernt, wie man Ableitungen einer linearen Potenz findet, trigonometrische Funktionen. Wir haben gelernt, was die geometrische Bedeutung der Ableitung ist. Heute lernen wir in der Lektion, wo dieses Konzept in der Physik angewendet wird.

Dazu erinnern wir an die Definition der Ableitung (Folie 2)

Wenden wir uns nun dem Studium der Physik zu (Folie 3)

Die Schüler diskutieren und erinnern sich physikalische Konzepte und Formeln.

Der Körper bewege sich nach dem Gesetz S(t)=f(t). Betrachte den zurückgelegten Weg des Körpers in der Zeit von t 0 bis t 0 + Δ t, wobei Δt das Inkrement des Arguments ist. Zum Zeitpunkt t 0 passierte der Körper den Weg S(t 0), zum Zeitpunkt t 0 +Δt – den Weg S(t 0 +Δt). Der Körper hat also während der Zeit Δt den Weg S(t 0 + Δt) – S(t 0) zurückgelegt, d.h. Wir haben ein Funktionsinkrement. Die mittlere Geschwindigkeit des Körpers für diesen Zeitraum υ==

Je kürzer das Zeitintervall t ist, desto genauer können wir feststellen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper im Moment t bewegt. Wenn t → 0 ist, erhalten wir die momentane Geschwindigkeit - numerischer Wert Geschwindigkeit im Moment t dieser Bewegung.

υ= , bei Δt→0 Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Entfernung nach der Zeit.

Folie 4

Erinnern Sie sich an die Definition der Beschleunigung.

Unter Anwendung des obigen Materials können wir schließen, dass bei t a(t)= υ’(t) Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Außerdem erscheinen Formeln für Stromstärke, Winkelgeschwindigkeit, EMF usw. auf dem interaktiven Whiteboard. Die Schüler vervollständigen die Momentanwerte dieser physikalischen Größen durch den Begriff einer Ableitung. (Mit Abwesenheit Interaktives Whiteboard Präsentation verwenden)

Folien 5-8

Den Abschluss machen die Studierenden.

Fazit:(Folie 9) Die Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion. (Funktionen von Weg, Koordinaten, Geschwindigkeit, magnetischer Fluss etc.)

υ (x) \u003d f '(x)

Lehrer: Wir sehen, dass die Beziehung zwischen quantitative Merkmale eine Vielzahl physikalisch untersuchter Prozesse, technische Wissenschaften, Chemie, ist analog zur Beziehung zwischen Weg und Geschwindigkeit. Sie können viele Aufgaben stellen, für deren Lösung es auch notwendig ist, die Änderungsgeschwindigkeit einer bestimmten Funktion zu finden, zum Beispiel: Finden der Konzentration einer Lösung zu einem bestimmten Zeitpunkt, Finden der Durchflussrate einer Flüssigkeit, die Winkelgeschwindigkeit der Rotation eines Körpers, die lineare Dichte an einem Punkt usw. Wir werden jetzt einige dieser Probleme lösen.

III. Festigung des erworbenen Wissens (Arbeit in Gruppen) (15 Min.)

Mit anschließender Analyse an der Tafel

Klären Sie vor dem Lösen von Problemen die Maßeinheiten physikalischer Größen.

Geschwindigkeit - [m/s]
Beschleunigung - [m / s 2]
Stärke - [N]
Energie - [J]

Aufgabe 1 Gruppe

Der Punkt bewegt sich nach dem Gesetz s(t)=2t³-3t (s ist die Distanz in Metern, t ist die Zeit in Sekunden). Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Punktes, seine Beschleunigung zum Zeitpunkt 2s

Aufgabe 2 Gruppe

Das Schwungrad dreht sich nach dem Gesetz φ(t)= t 4 -5t um die Achse. Finden Sie seine Winkelgeschwindigkeit ω zum Zeitpunkt 2s (φ ist der Rotationswinkel im Bogenmaß, ω ist die Winkelgeschwindigkeit rad/s)

Gruppe Aufgabe 3

Ein Körper mit einer Masse von 2 kg bewegt sich nach dem Gesetz x (t) \u003d 2-3t + 2t² geradlinig

Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers und seine kinetische Energie 3 s nach Beginn der Bewegung. Welche Kraft wirkt in diesem Moment auf den Körper? (t wird in Sekunden gemessen, x in Metern)

Aufgabe 4

Dot-Commits oszillierende Bewegungen nach dem Gesetz x(t)=2sin3t. Beweisen Sie, dass die Beschleunigung proportional zur x-Koordinate ist.

IV. Eigenständige Lösung der Aufgaben Nr. 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov et al. „Algebra und der Beginn der Analysis Klasse 10-11“] 12 min

Gegeben:	Lösung:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Antwort: t=6c; υ(6)= 18m/s

Die Ableitung der Funktion f (x) am Punkt x0 ist die Grenze (falls vorhanden) des Verhältnisses des Inkrements der Funktion am Punkt x0 zum Inkrement des Arguments Δx, wenn das Inkrement des Arguments dazu tendiert Null und wird mit f'(x0) bezeichnet. Die Aktion, die Ableitung einer Funktion zu finden, wird Differentiation genannt.
Die Ableitung einer Funktion hat folgende physikalische Bedeutung: die Ableitung einer Funktion in gegebener Punkt- die Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Die Ableitung am Punkt x0 ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) an diesem Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Wenn sich ein Punkt entlang der x-Achse bewegt und sich seine Koordinate gemäß dem x(t)-Gesetz ändert, dann ist die momentane Geschwindigkeit des Punktes:

Das Konzept eines Differentials, seine Eigenschaften. Abgrenzungsregeln. Beispiele.

Definition. Das Differential einer Funktion an einem bestimmten Punkt x stellt den linearen Hauptteil des Inkrements der Funktion dar. Das Differential der Funktion y = f(x) ist gleich dem Produkt ihrer Ableitung und dem Inkrement der unabhängigen Variablen x ( Streit).

Es ist so geschrieben:

oder

Oder


Differenzielle Eigenschaften
Das Differential hat ähnliche Eigenschaften wie das Derivat:





Zu Grundregeln der Differenzierung enthalten:
1) Entfernen des konstanten Faktors aus dem Vorzeichen der Ableitung
2) Ableitung der Summe, Ableitung der Differenz
3) Ableitung des Produkts von Funktionen
4) Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen (Ableitung eines Bruchs)

Beispiele.
Beweisen wir die Formel: Nach Definition der Ableitung gilt:

Aus dem Vorzeichen des Grenzübergangs (dies ist aus den Grenzeigenschaften bekannt) kann also ein beliebiger Faktor herausgenommen werden

Zum Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion
Lösung: Wir verwenden die Regel, den Multiplikator aus dem Vorzeichen der Ableitung zu nehmen :

Nicht selten muss man erst die Form einer differenzierbaren Funktion vereinfachen, um die Ableitungstabelle und die Regeln zum Finden von Ableitungen zu verwenden. Die folgenden Beispiele bestätigen dies deutlich.

Differenzierungsformeln. Anwendung des Differentials in Näherungsrechnungen. Beispiele.

Die Verwendung des Differentials in Näherungsberechnungen ermöglicht die Verwendung des Differentials für Näherungsberechnungen von Funktionswerten.
Beispiele.
Berechnen Sie ungefähr mit dem Differential
Berechnen gegebenen Wert Wende die Formel aus der Theorie an
Lassen Sie uns eine Funktion einführen und den gegebenen Wert im Formular darstellen
dann rechnen

Wenn wir alles in die Formel einsetzen, erhalten wir schließlich
Antworten:

16. Die Regel von L'Hopital zur Offenlegung von Unsicherheiten der Form 0/0 oder ∞/∞. Beispiele.
Die Grenze des Verhältnisses zweier unendlich kleiner oder zweier unendlich großer Größen ist gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen.

1)

17. Zunehmende und abnehmende Funktionen. Extremum der Funktion. Algorithmus zum Studium einer Funktion für Monotonie und Extremum. Beispiele.

Funktion steigt auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte dieses Intervalls verwandte Beziehung, die Ungleichung ist wahr. Also, Größerer Wert Argument entspricht einem größeren Wert der Funktion, und ihr Diagramm geht „von unten nach oben“. Die Demo-Funktion wächst über das Intervall

Ebenso die Funktion abnehmend auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte des gegebenen Intervalls, so dass die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion, und ihr Diagramm verläuft „von oben nach unten“. Unsere Abnahmen in Intervallen Abnahmen in Intervallen .

Extreme Der Punkt heißt Maximumpunkt der Funktion y=f(x), wenn die Ungleichung für alle x aus seiner Umgebung gilt. Der Wert der Funktion am Maximumpunkt wird aufgerufen Funktion maximal und bezeichnen.
Der Punkt heißt Minimalpunkt der Funktion y=f(x), wenn die Ungleichung für alle x aus seiner Umgebung gilt. Der Wert der Funktion am Minimalpunkt wird aufgerufen Funktion minimal und bezeichnen.
Als Intervall wird die Umgebung eines Punktes verstanden , wobei eine ausreichend kleine positive Zahl ist.
Die Minimal- und Maximalpunkte werden als Extrempunkte bezeichnet, und die den Extrempunkten entsprechenden Funktionswerte werden aufgerufen Funktion Extrema.

Um eine Funktion zu erkunden für Monotonie Verwenden Sie das folgende Diagramm:
- Finden Sie den Umfang der Funktion;
- Finde die Ableitung der Funktion und den Definitionsbereich der Ableitung;
- Finde die Nullstellen der Ableitung, d.h. der Wert des Arguments, bei dem die Ableitung gleich Null ist;
- Auf dem Zahlenstrahl markieren allgemeiner Teil die Domäne der Funktion und die Domäne ihrer Ableitung und darauf - die Nullstellen der Ableitung;
- Bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung für jedes der erhaltenen Intervalle;
- Bestimmen Sie anhand der Vorzeichen der Ableitung, in welchen Abständen die Funktion ansteigt und in welchen sie abfällt;
- Notieren Sie die entsprechenden Lücken getrennt durch Semikolons.

Algorithmus zur Untersuchung einer stetigen Funktion y = f(x) auf Monotonie und Extrema:
1) Finde die Ableitung f ′(x).
2) Finde stationäre (f ′(x) = 0) und kritische (f ′(x) existiert nicht) Punkte der Funktion y = f(x).
3) Markieren Sie die stationären und kritischen Punkte auf der reellen Linie und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung auf den resultierenden Intervallen.
4) Rückschlüsse auf die Monotonie der Funktion und ihrer Extrempunkte ziehen.

18. Konvexität einer Funktion. Wendepunkte. Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion auf Konvexität (Concavity) Beispiele.

konvex nach unten auf dem X-Intervall, wenn sein Graph an keinem Punkt des X-Intervalls niedriger als die Tangente an ihn liegt.

Die differenzierbare Funktion wird aufgerufen konvex nach oben auf dem X-Intervall, wenn sein Graph an keinem Punkt des X-Intervalls höher als die Tangente an ihn liegt.

Die Punktformel wird aufgerufen Wendepunkt des Diagramms Funktion y \u003d f (x), wenn es an einem bestimmten Punkt eine Tangente an den Graphen der Funktion gibt (sie kann parallel zur Oy-Achse sein) und es eine solche Nachbarschaft der Punktformel gibt, innerhalb derer der Graph von Die Funktion hat links und rechts vom Punkt M unterschiedliche Konvexitätsrichtungen.

Intervalle für Konvexität finden:

Wenn die Funktion y=f(x) eine endliche zweite Ableitung auf dem Intervall X hat und wenn die Ungleichung (), dann hat der Graph der Funktion eine Konvexität, die auf X nach unten (oben) gerichtet ist.
Mit diesem Satz können Sie die Intervalle der Konkavität und Konvexität einer Funktion finden, Sie müssen nur die Ungleichungen bzw. den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion lösen.

Beispiel: Finden Sie die Intervalle heraus, in denen der Graph der Funktion angezeigt wird. Finden Sie die Intervalle heraus, in denen der Graph der Funktion angezeigt wird hat eine nach oben gerichtete Konvexität und eine nach unten gerichtete Konvexität. hat eine nach oben gerichtete Konvexität und eine nach unten gerichtete Konvexität.
Lösung: Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen.
Finden wir die zweite Ableitung.

Der Definitionsbereich der zweiten Ableitung fällt mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion zusammen. Um die Intervalle der Konkavität und Konvexität herauszufinden, reicht es daher aus, bzw. zu lösen. Daher ist die Funktion in der Intervallformel nach unten konvex und in der Intervallformel nach oben konvex.

19) Asymptoten einer Funktion. Beispiele.

Direkt angerufen vertikale Asymptote Graph der Funktion, wenn mindestens einer der Grenzwerte oder gleich oder ist.

Kommentar. Die Linie kann keine vertikale Asymptote sein, wenn die Funktion bei stetig ist. Daher sollten vertikale Asymptoten an den Unstetigkeitspunkten der Funktion gesucht werden.

Direkt angerufen horizontale Asymptote Graph der Funktion, wenn mindestens einer der Grenzwerte oder gleich ist.

Kommentar. Ein Funktionsgraph kann nur eine rechte horizontale Asymptote oder nur eine linke haben.

Direkt angerufen schräge Asymptote Graph der Funktion if

BEISPIEL:

Übung. Finden Sie Asymptoten des Graphen einer Funktion

Lösung. Funktionsumfang:

a) vertikale Asymptoten: Eine gerade Linie ist eine vertikale Asymptote, da

b) horizontale Asymptoten: Wir finden den Grenzwert der Funktion im Unendlichen:

das heißt, es gibt keine horizontalen Asymptoten.

c) schiefe Asymptoten:

Somit ist die schiefe Asymptote: .

Antworten. Die vertikale Asymptote ist eine Gerade.

Die schiefe Asymptote ist eine Gerade.

20) Allgemeines Schema Funktionsstudien und Plotten. Beispiel.

a.
Suchen Sie die ODZ und Haltepunkte der Funktion.

b. Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen.

2. Führen Sie eine Untersuchung der Funktion unter Verwendung der ersten Ableitung durch, dh finden Sie die Extrempunkte der Funktion und die Intervalle der Zunahme und Abnahme.

3. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung zweiter Ordnung, dh finden Sie die Wendepunkte des Funktionsgraphen und die Intervalle seiner Konvexität und Konkavität.

4. Finden Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen: a) vertikal, b) schräg.

5. Erstellen Sie auf der Grundlage der Studie einen Graphen der Funktion.

Beachten Sie, dass es vor dem Zeichnen nützlich ist festzustellen, ob eine gegebene Funktion gerade oder ungerade ist.

Denken Sie daran, dass eine Funktion aufgerufen wird, auch wenn sich der Wert der Funktion nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen des Arguments ändert: f(-x) = f(x) und eine Funktion heißt ungerade wenn f(-x) = -f(x).

In diesem Fall reicht es aus, die Funktion zu untersuchen und ihren Graphen zu zeichnen positive Werte Argument der ODZ gehören. Bei negative Werte Argument wird der Graph auf der Grundlage vervollständigt, dass er für eine gerade Funktion symmetrisch um die Achse ist Ey, und für ungerade in Bezug auf den Ursprung.

Beispiele. Untersuchen Sie Funktionen und erstellen Sie ihre Graphen.

Funktionsumfang D(y)= (–∞; +∞). Es gibt keine Haltepunkte.

Achsenkreuzung Ochse: x = 0,y= 0.

Die Funktion ist ungerade, daher kann sie nur im Intervall untersucht werden, und ihr Argument ist in Einheiten von [x], dann wird die Ableitung (Geschwindigkeit) in Einheiten von gemessen.

Aufgabe 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, wo x t t= 9s.

Ableitung finden
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Damit haben wir die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit erhalten. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden, müssen Sie ihren Wert in die resultierende Formel einsetzen:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 − 48 = 60.

Antworten: 60

Kommentar: Stellen wir sicher, dass wir uns bei den Dimensionen der Mengen nicht geirrt haben. Hier ist die Entfernungseinheit (Funktion) [x] = Meter, die Zeiteinheit (Funktionsargument) [t] = Sekunde, also die Einheit der Ableitung = [m/s], also die Ableitung gibt die Geschwindigkeit gerade in den Einheiten an, die in der Aufgabenfrage genannt werden.

Aufgabe 7

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zu der Zeit t= 3s.

Ableitung finden
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Wir ersetzen den gegebenen Zeitpunkt in der resultierenden Formel
x"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Antworten: 59

Aufgabe 8

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie x(t) = t 2 − 13t+ 23, wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Ableitung finden
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Wir setzen die durch die erhaltene Formel gegebene Geschwindigkeit mit dem Wert von 3 m/s gleich.
2t − 13 = 3.
Indem wir diese Gleichung lösen, bestimmen wir, zu welchem ​​Zeitpunkt die Gleichheit wahr ist.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Antworten: 8

Aufgabe 9

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ableitung finden
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Wir stellen auch eine Gleichung auf:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Dies ist eine quadratische Gleichung, die mit der Diskriminante oder dem Satz von Vieta gelöst werden kann. Hier ist meiner Meinung nach der zweite Weg einfacher:
t 1 + t 2 = 6; t eines · t 2 = −7.
Das ist leicht zu erraten t 1 = −1; t 2 = 7.
Wir setzen nur die positive Wurzel in die Antwort, weil Zeit kann nicht negativ sein.

Stellen Sie sich eine beliebige gerade Linie vor, die durch den Punkt des Funktionsgraphen verläuft - den Punkt A (x 0, f (x 0)) und den Graphen irgendwann schneidet B(x; f(x )). Eine solche Gerade (AB) wird als Sekante bezeichnet. Aus ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x; BC \u003d Δy; tgβ =∆y /∆x .

Da AC || Ox , dann Ð ALO = Ð BAC = β (entsprechend parallel). AberÐ ALO ist der Neigungswinkel der Sekante AB zur positiven Richtung der Ox-Achse. Meint, tgβ = k - Neigung direkt AB.

Jetzt werden wir ∆x verringern, d.h. ∆x→ 0. In diesem Fall nähert sich Punkt B gemäß dem Diagramm Punkt A, und die Sekante AB dreht sich. Die Grenzposition der Sekante AB bei ∆х→ 0 ist eine Gerade ( a ), genannt Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) am Punkt A.

Wenn wir in der Gleichheit zum Grenzwert als ∆х → 0 übergehen tg β =∆ y /∆ x , dann erhalten wir

oder tg a \u003d f "(x 0), seit
a - der Neigungswinkel der Tangente zur positiven Richtung der Ox-Achse

, per Definition eines Derivats. Aber z a = k ist die Steigung der Tangente, also k = tg a \u003d f "(x 0).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung ist also wie folgt:

Die Ableitung der Funktion am Punkt x 0 ist gleich der Steigung Tangente an den am Punkt mit der Abszisse x 0 gezeichneten Graphen der Funktion.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie. Gegeben sei die Koordinate des Punktes zu jedem Zeitpunkt x(t ). Das ist (aus dem Physikstudium) bekannt Durchschnittsgeschwindigkeit für eine bestimmte Zeit [ t0; t0 + ∆t ] ist gleich dem Verhältnis der in diesem Zeitraum zurückgelegten Strecke zur Zeit, d.h.

Waw = ∆x /∆t . Gehen wir zum Grenzwert in der letzten Gleichheit als ∆ über t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 , ∆t → 0.

und lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (per Definition eines Derivats).

Also ist n(t) = x "(t).

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt: die Ableitung der Funktion j = f( x) am Punktx 0 ist die Änderungsrate der Funktion f(x) an dem Punktx 0

Die Ableitung wird in der Physik verwendet, um die Geschwindigkeit aus einer bekannten Koordinatenfunktion aus der Zeit, die Beschleunigung aus einer bekannten Geschwindigkeitsfunktion aus der Zeit zu ermitteln.

u (t) \u003d x "(t) - Geschwindigkeit,

a(f) = n "(t ) - Beschleunigung oder

ein (t) \u003d x "(t).

Wenn das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes entlang eines Kreises bekannt ist, dann ist es möglich, die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung während der Rotationsbewegung zu finden:

φ = φ (t ) - Änderung des Winkels von der Zeit,

ω = φ "(t ) - Winkelgeschwindigkeit,

ε = φ "(t ) - Winkelbeschleunigung oderε \u003d φ "(t).

Ist das Verteilungsgesetz für die Masse eines inhomogenen Stabes bekannt, so lässt sich die lineare Dichte des inhomogenen Stabes ermitteln:

m \u003d m (x) - Masse,

x н , l - Stangenlänge,

p = m "(x) - lineare Dichte.

Mit Hilfe der Ableitung werden Probleme aus der Elastizitätstheorie und harmonischen Schwingungen gelöst. Ja, nach dem Hookeschen Gesetz

F = - kx , x - variable Koordinate, k - Elastizitätskoeffizient der Feder. Puttenω2 = k/m , wir bekommen Differentialgleichung Federpendel x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

wobei ω = √k /√m Schwingungsfrequenz ( l/z ), k - Federsteifigkeit ( Hm).

Eine Gleichung der Form y" +ω 2 y = 0 heißt die Gleichung der harmonischen Schwingungen (mechanisch, elektrisch, elektromagnetisch). Die Lösung solcher Gleichungen ist die Funktion

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) oder y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), wobei

A ist die Amplitude der Schwingungen,ω - Taktfrequenz,

φ 0 - Anfangsphase.