Wenn der Wert eines numerischen Ausdrucks existiert, dann der Ausdruck. Numerische Ausdrücke. Numerische Ausdrücke vergleichen

Das Schreiben der Bedingungen von Problemen unter Verwendung der in der Mathematik akzeptierten Notation führt zum Auftreten sogenannter mathematischer Ausdrücke, die einfach als Ausdrücke bezeichnet werden. In diesem Artikel werden wir ausführlich darüber sprechen numerische, wörtliche und variable Ausdrücke: Wir geben Definitionen und Beispiele für Ausdrücke jedes Typs.

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Numerische Ausdrücke – was ist das?

Die Bekanntschaft mit numerischen Ausdrücken beginnt fast schon in den ersten Mathematikstunden. Aber ihren Namen - numerische Ausdrücke - erwerben sie offiziell etwas später. Wenn Sie zum Beispiel dem Kurs von M. I. Moro folgen, dann geschieht dies auf den Seiten eines Mathematik-Lehrbuchs für die 2. Klasse. Dort ist die Darstellung numerischer Ausdrücke wie folgt angegeben: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 usw. - das ist alles numerische Ausdrücke, und wenn wir die angegebenen Aktionen im Ausdruck ausführen, werden wir finden Ausdruckswert.

Daraus lässt sich schließen, dass in diesem Stadium des Mathematikstudiums numerische Ausdrücke als Aufzeichnungen mit mathematischer Bedeutung bezeichnet werden, die aus Zahlen, Klammern und Additions- und Subtraktionszeichen bestehen.

Etwas später, nachdem Sie sich mit Multiplikation und Division vertraut gemacht haben, beginnen die Eingaben von numerischen Ausdrücken, die Zeichen "·" und ":" zu enthalten. Hier sind einige Beispiele: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 usw.

Und in der High School wächst die Vielfalt der Eingaben für numerische Ausdrücke wie ein Schneeball, der einen Berg hinunterrollt. Gemeinsame und Dezimalbrüche, gemischte Zahlen und negative Zahlen, Grad, Wurzeln, Logarithmen, Sinus, Cosinus und so weiter.

Fassen wir alle Informationen in der Definition eines numerischen Ausdrucks zusammen:

Definition.

Numerischer Ausdruck ist eine Kombination aus Zahlen, Zeichen von arithmetischen Operationen, Bruchstrichen, Wurzelzeichen (Wurzelzeichen), Logarithmen, Notation von trigonometrischen, inversen trigonometrischen und anderen Funktionen sowie Klammern und anderen speziellen mathematischen Symbolen, die gemäß den akzeptierten Regeln zusammengestellt wurden Mathematik.

Lassen Sie uns alle Bestandteile der stimmhaften Definition erklären.

Absolut beliebige Zahlen können an numerischen Ausdrücken teilnehmen: von natürlich bis reell und sogar komplex. Das heißt, in numerischen Ausdrücken kann man sich treffen

Mit den Zeichen der arithmetischen Operationen ist alles klar - das sind die Zeichen der Addition, Subtraktion, Multiplikation bzw. Division, die die Form "+", "−", "·" und ":" haben. In numerischen Ausdrücken kann eines dieser Zeichen, einige davon oder alle gleichzeitig und mehr als einmal vorhanden sein. Hier sind Beispiele für numerische Ausdrücke mit ihnen: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Was Klammern betrifft, so gibt es sowohl numerische Ausdrücke, in denen Klammern vorkommen, als auch Ausdrücke ohne Klammern. Wenn es in einem numerischen Ausdruck Klammern gibt, dann sind sie es im Grunde

Und manchmal haben Klammern in numerischen Ausdrücken einen bestimmten, separat angegebenen besonderen Zweck. Beispielsweise finden Sie eckige Klammern, die den ganzzahligen Teil der Zahl bezeichnen, sodass der numerische Ausdruck +2 bedeutet, dass die Zahl 2 zum ganzzahligen Teil der Zahl 1,75 hinzugefügt wird.

Aus der Definition eines numerischen Ausdrucks geht auch hervor, dass der Ausdruck , , log , ln , lg , Bezeichnungen usw. enthalten kann. Hier sind Beispiele für numerische Ausdrücke mit ihnen: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 und .

Die Division in numerischen Ausdrücken kann mit bezeichnet werden. In diesem Fall gibt es numerische Ausdrücke mit Brüchen. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 und .

Als spezielle mathematische Symbole und Notationen, die in Zahlenausdrücken vorkommen, geben wir an. Lassen Sie uns zum Beispiel einen numerischen Ausdruck mit einem Modul zeigen .

Was sind wörtliche Ausdrücke?

Das Konzept der wörtlichen Ausdrücke wird fast unmittelbar nach dem Kennenlernen numerischer Ausdrücke gegeben. Es wird so eingegeben. Bei einem bestimmten Zahlenausdruck wird eine der Zahlen nicht aufgeschrieben, sondern ein Kreis (oder ein Quadrat oder etwas Ähnliches) an ihre Stelle gesetzt, und es wird gesagt, dass der Kreis durch eine bestimmte Zahl ersetzt werden kann. Nehmen wir den Eintrag als Beispiel. Wenn Sie beispielsweise anstelle eines Quadrats die Zahl 2 eingeben, erhalten Sie einen numerischen Ausdruck 3 + 2. Also statt Kreise, Quadrate etc. stimmten zu, Briefe zu schreiben, und solche Ausdrücke mit Buchstaben wurden genannt wörtliche Ausdrücke. Kehren wir zu unserem Beispiel zurück: Wenn wir in diesen Eintrag anstelle eines Quadrats den Buchstaben a einfügen, erhalten wir einen wörtlichen Ausdruck der Form 3+a.

Wenn wir also in einem numerischen Ausdruck das Vorhandensein von Buchstaben zulassen, die einige Zahlen bezeichnen, erhalten wir den sogenannten wörtlichen Ausdruck. Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Ein Ausdruck, der Buchstaben enthält, die einige Zahlen bezeichnen, wird aufgerufen wörtlicher Ausdruck.

Aus diese Definition Es ist klar, dass sich ein wörtlicher Ausdruck von einem numerischen Ausdruck grundsätzlich dadurch unterscheidet, dass er Buchstaben enthalten kann. In wörtlichen Ausdrücken werden normalerweise kleine Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendet (a, b, c, ...), und wenn Winkel bezeichnet werden, kleine Buchstaben des griechischen Alphabets (α, β, γ, ...).

Literale Ausdrücke können also aus Zahlen, Buchstaben bestehen und alle mathematischen Symbole enthalten, die in numerischen Ausdrücken vorkommen, wie Klammern, Wurzelzeichen, Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen usw. Unabhängig davon betonen wir, dass ein wörtlicher Ausdruck mindestens einen Buchstaben enthält. Es kann aber auch mehrere gleiche oder unterschiedliche Buchstaben enthalten.

Nun geben wir einige Beispiele für wörtliche Ausdrücke. Beispielsweise ist a+b ein wörtlicher Ausdruck mit den Buchstaben a und b . Hier ist ein weiteres Beispiel für den wörtlichen Ausdruck 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. Und wir geben ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck einer komplexen Form: .

Ausdrücke mit Variablen

Wenn in einem wörtlichen Ausdruck ein Buchstabe einen Wert bezeichnet, der keinen bestimmten Wert annimmt, aber annehmen kann verschiedene Bedeutungen, dann heißt dieser Brief Variable und der Ausdruck heißt variabler Ausdruck.

Definition.

Ausdruck mit Variablen ist ein wörtlicher Ausdruck, bei dem die Buchstaben (alle oder einige) Größen bezeichnen, die unterschiedliche Werte annehmen.

Angenommen, im Ausdruck x 2 −1 kann der Buchstabe x beliebige natürliche Werte aus dem Intervall von 0 bis 10 annehmen, dann ist x eine Variable und der Ausdruck x 2 −1 ist ein Ausdruck mit der Variablen x .

Beachten Sie, dass ein Ausdruck mehrere Variablen enthalten kann. Betrachten wir zum Beispiel x und y als Variablen, dann ist der Ausdruck ist ein Ausdruck mit zwei Variablen x und y .

Im Allgemeinen erfolgt der Übergang vom Konzept eines wörtlichen Ausdrucks zu einem Ausdruck mit Variablen in der 7. Klasse, wenn sie mit dem Studium der Algebra beginnen. Bis zu diesem Punkt haben wörtliche Ausdrücke einige spezifische Aufgaben modelliert. In der Algebra beginnen sie, den Ausdruck allgemeiner zu betrachten, ohne Bezug auf eine bestimmte Aufgabe, mit dem Verständnis, dass dieser Ausdruck für eine große Anzahl von Aufgaben geeignet ist.

Lassen Sie uns am Ende dieses Absatzes auf einen weiteren Punkt achten: gemäß Aussehen Bei einem wörtlichen Ausdruck ist es unmöglich zu wissen, ob die darin enthaltenen Buchstaben Variablen sind oder nicht. Daher hindert uns nichts daran, diese Buchstaben als Variablen zu betrachten. In diesem Fall verschwindet der Unterschied zwischen den Begriffen „literaler Ausdruck“ und „Ausdruck mit Variablen“.

Referenzliste.

• Mathematik. 2 Zellen Proz. für Allgemeinbildung Institutionen mit adj. zu einem Elektron. Träger. Um 14 Uhr, Teil 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova und andere] - 3. Aufl. - M.: Bildung, 2012. - 96 S.: mit Abb. - (Schule von Russland). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Mathematik: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Beim Studium des Themas numerische, wörtliche Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen muss auf das Konzept geachtet werden Ausdruckswert. In diesem Artikel beantworten wir die Frage, was der Wert eines numerischen Ausdrucks ist, und was der Wert eines literalen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen mit den ausgewählten Werten der Variablen ist. Um diese Definitionen zu verdeutlichen, geben wir Beispiele.

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Welchen Wert hat ein numerischer Ausdruck?

Die Bekanntschaft mit numerischen Ausdrücken beginnt fast mit den ersten Mathematikstunden in der Schule. Fast sofort wird das Konzept des „Wertes eines numerischen Ausdrucks“ eingeführt. Es bezieht sich auf Ausdrücke, die aus Zahlen bestehen, die durch arithmetische Zeichen verbunden sind (+, −, ·, :). Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks- Dies ist die Zahl, die nach Ausführung aller Aktionen im ursprünglichen numerischen Ausdruck erhalten wird.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck 1+2 . Nach der Ausführung erhalten wir die Zahl 3 , es ist der Wert des numerischen Ausdrucks 1+2 .

Oftmals wird bei der Wendung „Wert eines numerischen Ausdrucks“ das Wort „numerisch“ weggelassen und man sagt einfach „Wert des Ausdrucks“, da immer noch klar ist, welcher Ausdruck gemeint ist.

Die obige Definition der Bedeutung eines Ausdrucks gilt auch für numerische Ausdrücke komplexerer Form, die in der High School gelernt werden. Hierbei ist zu beachten, dass man auf Zahlenausdrücke stoßen kann, deren Werte nicht angegeben werden können. Dies liegt daran, dass es in einigen Ausdrücken unmöglich ist, die aufgezeichneten Aktionen auszuführen. Daher können wir beispielsweise den Wert des Ausdrucks 3:(2−2) nicht angeben. Solche numerischen Ausdrücke werden aufgerufen Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

In der Praxis interessiert oft weniger der numerische Ausdruck als vielmehr sein Wert. Das heißt, es entsteht die Aufgabe, die darin besteht, den Wert dieses Ausdrucks zu bestimmen. In diesem Fall sagen sie normalerweise, dass Sie den Wert des Ausdrucks finden müssen. In diesem Artikel wird der Prozess der Ermittlung des Wertes numerischer Ausdrücke im Detail analysiert. andere Art, und betrachtete viele Beispiele mit detaillierte Beschreibungen Lösungen.

Bedeutung von wörtlichen und variablen Ausdrücken

Neben numerischen Ausdrücken studieren sie wörtliche Ausdrücke, dh Ausdrücke, in denen ein oder mehrere Buchstaben zusammen mit Zahlen vorhanden sind. Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können für verschiedene Zahlen stehen, und wenn die Buchstaben durch diese Zahlen ersetzt werden, wird der wörtliche Ausdruck zu einem numerischen.

Definition.

Die Zahlen, die Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck ersetzen, werden aufgerufen die Bedeutung dieser Buchstaben, und der Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks wird aufgerufen der Wert des wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben.

Bei wörtlichen Ausdrücken spricht man also nicht nur von der Bedeutung des wörtlichen Ausdrucks, sondern von der Bedeutung des wörtlichen Ausdrucks für die gegebenen (gegebenen, angegebenen usw.) Werte der Buchstaben.

Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen wir den wörtlichen Ausdruck 2·a+b . Seien die Werte der Buchstaben a und b gegeben, zum Beispiel a=1 und b=6 . Ersetzen wir die Buchstaben im ursprünglichen Ausdruck durch ihre Werte, erhalten wir einen numerischen Ausdruck der Form 2 1+6 , sein Wert ist 8 . Somit ist die Zahl 8 der Wert des wörtlichen Ausdrucks 2·a+b, wenn die Werte der Buchstaben a=1 und b=6 gegeben sind. Wenn andere Buchstabenwerte angegeben würden, würden wir den Wert des wörtlichen Ausdrucks für diese Buchstabenwerte erhalten. Bei a=5 und b=1 haben wir beispielsweise den Wert 2 5+1=11 .

In der High School, wenn man Algebra studiert, dürfen Buchstaben in wörtlichen Ausdrücken verschiedene Bedeutungen annehmen, solche Buchstaben werden Variablen genannt, und wörtliche Ausdrücke werden Ausdrücke mit Variablen genannt. Für diese Ausdrücke wird das Konzept des Werts eines Ausdrucks mit Variablen für die gewählten Werte der Variablen eingeführt. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen für die ausgewählten Werte der Variablen wird der Wert eines numerischen Ausdrucks aufgerufen, der nach dem Einsetzen der ausgewählten Werte der Variablen in den ursprünglichen Ausdruck erhalten wird.

Lassen Sie uns die Klangdefinition anhand eines Beispiels erläutern. Betrachten Sie einen Ausdruck mit Variablen x und y der Form 3·x·y+y . Nehmen wir x=2 und y=4 , setzen diese Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein, wir erhalten den numerischen Ausdruck 3 2 4+4 . Berechnen wir den Wert dieses Ausdrucks: 3 2 4+4=24+4=28 . Der gefundene Wert 28 ist der Wert des ursprünglichen Ausdrucks mit den Variablen 3·x·y+y mit den ausgewählten Werten der Variablen x=2 und y=4 .

Wenn Sie andere Variablenwerte auswählen, z. B. x=5 und y=0 , entsprechen diese ausgewählten Variablenwerte dem Wert des Ausdrucks mit Variablen gleich 3 5 0+0=0 .

Es kann angemerkt werden, dass man manchmal für verschiedene gewählte Werte von Variablen erhalten kann gleiche Werte Ausdrücke. Zum Beispiel ist für x=9 und y=1 der Wert des Ausdrucks 3 x y+y 28 (weil 3 9 1+1=27+1=28 ), und oben haben wir gezeigt, dass derselbe Wert Ausdruck mit ist Variablen hat bei x=2 und y=4 .

Variable Werte können aus ihren jeweiligen ausgewählt werden Bereiche akzeptabler Werte. Andernfalls führt das Ersetzen der Werte dieser Variablen in den ursprünglichen Ausdruck zu einem numerischen Ausdruck, der keinen Sinn ergibt. Wenn Sie beispielsweise x=0 wählen und diesen Wert in den Ausdruck 1/x einsetzen, erhalten Sie den numerischen Ausdruck 1/0 , was keinen Sinn ergibt, da die Division durch Null nicht definiert ist.

Es bleibt nur hinzuzufügen, dass es Ausdrücke mit Variablen gibt, deren Werte nicht von den Werten der darin enthaltenen Variablen abhängen. Beispielsweise hängt der Wert eines Ausdrucks mit einer Variablen x der Form 2+x−x nicht vom Wert dieser Variablen ab, er ist gleich 2 für jeden gewählten Wert der Variablen x aus ihrem Bereich gültiger Werte, was in diesem Fall die Menge aller reellen Zahlen ist.

Referenzliste.

• Mathematik: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Auf S. 8.2.1 wurde gezeigt, dass algebraische Begriffe Mittel zur Verallgemeinerung sind, eine Sprache zur Beschreibung arithmetischer Operationen. Der Begriff eines mathematischen Ausdrucks ist anderer Natur als die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Beziehung zwischen diesen Konzepten kann als Beziehung von Form und Inhalt betrachtet werden: mathematische Ausdrücke sind eine der Zeichenformen, schriftliche Bezeichnungen für arithmetische Operationen. Ein numerischer Ausdruck kann auch als eine der Formen einer Zahl betrachtet werden, da jeder numerische Ausdruck einen einzigen numerischen Wert hat – eine Zahl.

Ausdrücke treten im Mathematikunterricht auf, sobald in der ersten Klasse beim Studium von Handlungen Sätze der Form 2 + 3, 4 - 3 erscheinen.

Addition und Subtraktion. Anfangs heißen sie so: Additionsrekord, Subtraktionsrekord. Wie Sie wissen, haben diese Einträge auch Eigennamen: "Summe", "Differenz", die in einer Lektion zusammen mit den entsprechenden Aktionen oder nach einiger Zeit eingegeben werden können. Und das Konzept des Ausdrucks als Studienfach sollte erst gemacht werden, nachdem die Studierenden bereits einige praktische Erfahrungen mit solchen Aufzeichnungen gemacht haben. Gleichzeitig kann der Lehrer den Begriff „Ausdruck“ in seiner Rede verwenden, ohne die Kinder zu zwingen, ihn aber in den passiven Wortschatz der Schüler einzuführen. Genau das passiert wann Alltagsleben wenn Kinder ein neues Wort hören, das sich auf ein visuell hervorgehobenes Objekt bezieht. Der Lehrer zeigt beispielsweise einige Stunden nach Einführung dieser Aktionen auf Additions- und Subtraktionseinträge und sagt: „Lesen Sie diese Einträge, diese Ausdrücke: ...“, „Suchen Sie im Lehrbuch unter Nr. ... einen Ausdruck in welche drei von sieben abgezogen werden müssen. ...“, „Betrachten Sie diese Ausdrücke (zeigt an der Tafel). Lesen Sie diejenige, die es Ihnen ermöglicht, eine Zahl 3 größer als 5 zu finden, in der es eine Zahl 3 größer als 5 gibt; 3 weniger als 5.

Beim Studium numerischer Ausdrücke in Grundschule Betrachten Sie die folgenden Konzepte und Aktionsmethoden.

Konzepte: mathematischer Ausdruck, numerischer Ausdruck (Ausdruck), Arten von numerischen Ausdrücken(in einer Aktion und in mehreren Aktionen; mit und ohne Klammern; enthält Aktionen mit einem Schritt und Aktionen mit zwei Schritten); der numerische Wert des Ausdrucks; Geschäftsordnung; Beziehungsvergleich.

Handlungsmöglichkeiten: Ausdrücke in einem oder zwei Schritten lesen; Ausdrücke aus dem Diktat in einem oder zwei Schritten aufnehmen; Festlegung der Vorgehensweise; Berechnung des Wertes von Ausdrücken nach den Regeln der Aktionsreihenfolge; zwei numerische Ausdrücke vergleichen; Ausdruckskonvertierung - Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm entspricht, basierend auf den Eigenschaften von Aktionen.

Einführung von Konzepten.Lektion zur Einführung in das Konzept des Ausdrucks Es ist hilfreich, mit der Besprechung der Notizen zu beginnen. Was sind die Rekorde? Warum schreiben Menschen? Warum lernst du schreiben? Welche Notizen machen wir uns beim Mathematikstudium? (Kinder greifen zu ihren Heften, zu einem Lehrbuch, zu vorgefertigten Karten mit Beispielen von Aufzeichnungen, die Schüler während der Studienzeit gemacht haben.) In welche Gruppen können Aufzeichnungen beim Mathematikstudium eingeteilt werden?

Als Ergebnis dieser Diskussion konzentrieren wir uns auf zwei Hauptgruppen von Aufzeichnungen: die Aufzeichnung von Zahlen und die Aufzeichnung von arithmetischen Operationen. Aufzeichnungen über Rechenoperationen wiederum werden in zwei Gruppen eingeteilt: ohne Berechnungen und mit Berechnungen, also in der Form 2 + 3 und 2 + 3 = 5. Basierend auf dieser Einteilung teilen wir den Schülern mit, dass die Aufzeichnung der Addition und Subtraktion der Form 2 + 3 und 7 - 5, sowie alle Aufzeichnungen, die aus solchen Aufzeichnungen bestehen, zum Beispiel 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 und dergleichen, ist es üblich, zu rufen (wir vereinbarten zu rufen es) mathematisch

Ausdruck, oder nur ein Ausdruck. Darüber hinaus ist es wie bei der Einführung anderer Konzepte erforderlich, Erkennungsaufgaben auszuführen und eine universelle Bildungsaktion zu lehren - das Erkennen von Objekten, die mit dem untersuchten Konzept zusammenhängen. Die Anzahl der erkennbaren Objekte sollte auch solche umfassen, die nicht alle gemeinsamen (wesentlichen) Eigenschaften des Begriffs haben und daher nicht darstellen dieses Konzept und unter den Begriff fallen, aber unterschiedliche variable (unbedeutende) Eigenschaften haben. Zum Beispiel: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.

Da die als Ausdrücke bezeichneten Einträge bereits von Schülern verwendet, gelesen und geschrieben wurden, ist es notwendig, die Art und Weise, wie die betreffenden Ausdrücke gelesen werden, zu verallgemeinern. Der Ausdruck 17 – 10 kann beispielsweise gelesen werden als „die Differenz zwischen den Zahlen 17 und 10“, als Aufgabe – „subtrahiere 10 von 17“, „reduziere die Zahl 17 um 10“ oder „finde eine Zahl kleiner als siebzehn by ten" und ähnlichen Namen bringen wir den Schülern bei, Ausdrücke zu schreiben. In Zukunft werden die Fragen, wie man den geschriebenen Ausdruck liest und wie man den benannten Ausdruck schreibt, mit dem Aufkommen neuer Ausdruckstypen diskutiert.

In derselben Lektion, in der wir das Konzept eines Ausdrucks vorstellen, führen wir auch das Konzept ein Ausdruckswert - die Zahl, die sich aus all seinen arithmetischen Operationen ergibt.

Um die Einführung von Konzepten zusammenzufassen und die weitere Arbeit zu planen, ist es hilfreich, Fragen in dieser oder in den folgenden Lektionen zu diskutieren: Wie viele Ausdrücke gibt es? Wie kann ein Ausdruck einem anderen ähnlich sein? Wie kann es sich von einem anderen unterscheiden? Wie ähneln sich alle Ausdrücke? Was können uns Ausdrücke sagen? Was kann man mit Ausdrücken machen? Was brauchen Sie (können Sie lernen), indem Sie Ausdrücke studieren?

Antworten auf letzte Frage mit Schülern formulieren Lernziele zukünftige Aktivitäten: wir können lernen und wir werden lernen Ausdrücke lesen und schreiben, Ausdruckswerte finden, Ausdrücke vergleichen.

Ausdrücke lesen und schreiben. Da Ausdrücke Aufzeichnungen sind, muss man sie lesen können. Die wichtigsten Lesearten werden bei der Einführung von Aktionen festgelegt. Sie können den Ausdruck als Namen, als Liste von Zeichen, als Aufgabe oder Frage lesen. Nach dem Studium der Beziehungen „weniger (größer) um“, „weniger (größer) in“ zwischen Zahlen werden Ausdrücke auch als Aussagen oder Fragen zum Verhältnis von Gleichheit und Ungleichheit gelesen. Jede Lesart offenbart eine bestimmte Facette der Bedeutung der entsprechenden Handlung oder Handlungen. Daher ist es sehr nützlich, zu ermutigen verschiedene Wege lesen. Das Lesemuster wird vom Lehrer festgelegt, wenn er eine Handlung einleitet oder wenn er das entsprechende Konzept, die Eigenschaft oder die Beziehung betrachtet.

Die Grundlage für das Lesen eines Ausdrucks ist das Lesen des Ausdrucks in einer Aktion. Lesen lernen geschieht wie jedes andere

mu-Lesen, wenn Aufgaben ausgeführt werden, die ein solches Lesen erfordern. Dies können spezielle Aufgaben sein: „Lies die Ausdrücke“. Das Lesen ist erforderlich, wenn die Werte des Ausdrucks überprüft werden (sie lesen den Ausdruck als Teil der Gleichheit), wenn die Ergebnisse des Vergleichs gemeldet werden. Wichtig ist auch die umgekehrte Aktion: Einen Ausdruck mit seinem Namen schreiben oder die Aufgabe, die er stellt, die Relation. Schüler führen solche Aktionen aus, wenn sie mathematische Diktate führen, die speziell entwickelt wurden, um die Fähigkeit zu entwickeln, Ausdrücke aufzuschreiben, oder als Teil von Aufgaben zum Rechnen, Vergleichen usw. Das Lesen mathematischer Ausdrücke, das Lesen von Ausdrücken zu lernen, ist eher kein Ziel, sondern ein Lernwerkzeug - ein Mittel zur Entwicklung der Sprache, ein Mittel zur Vertiefung des Verständnisses der Bedeutung von Handlungen.

Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie die Haupttypen einfacher Ausdrücke zu lesen sind:

1) 2 + 3 addiere drei zu zwei; addiere die Zahlen zwei und drei; Summe
ma Nummer zwei und drei; zwei plus drei; Finden Sie die Summe der Zahlen zwei und drei;

Finden Sie die Summe der Terme zwei und drei; Finden Sie eine Zahl größer als drei
als die Nummer zwei; zwei erhöhen sich um drei; erster Term 2, zweiter
Term 3, finde die Summe;

2) 5 - 3 von fünf abziehen (auf keinen Fall „1 abziehen“!) Drei;

Der Unterschied zwischen den Zahlen fünf und drei; fünf minus drei; Finde den Unterschied
die Zahlen fünf und drei; Minuend fünf, subtrahiere drei, finde Zeiten
ness; finde eine Zahl drei kleiner als fünf; fünf reduzieren
auf drei;

3) 2 3 zwei bilde den Summanden dreimal; nimm zwei dreimal;

Zwei mal drei; Produkt der Zahlen zwei und drei; Erste
Multiplikator zwei, der zweite - drei, finde das Produkt; Produkt finden
Nummer zwei und drei behalten; zweimal drei, dreimal zwei; zwei steigen
drei Mal; eine Zahl finden, die dreimal größer als zwei ist; zuerst Mono
Resident zwei, zweite drei, finden Sie das Produkt;

4) 12:4 zwölf geteilt durch vier; Quotient von Zwölftel
tsat und vier privat zwölf und vier); Quotient der Division
zwölf mal vier; teilbar zwölf, teiler vier, finden
Quotient (für 13:4 - finde den Quotienten und den Rest); Abnahme 12 in th
drei Mal; Finden Sie eine Zahl, die viermal kleiner als zwölf ist.

Das Lesen von Ausdrücken, die mehr als zwei Aktionen enthalten, bereitet jüngeren Schülern gewisse Schwierigkeiten. Im geplanten Fach ergibt sich also die Fähigkeit, solche Ausdrücke lesen zu können

1 "ABHEBEN, ... 1. wen (was). Von jemandem nehmen. mit Gewalt jemandem etwas wegnehmen O. Geld. O Sohn. Oh Hoffnung. O. jemand hat seine Zeit.(übersetzt: jemanden dazu bringen, Zeit mit etwas zu verbringen). O. jemandes Leben.(töten). 2. was. Absorbieren, etwas konsumieren. Die Arbeit hat jemandem viel Kraft gekostet. 3. was. Beiseite legen, trennen von. O. Leiter von der Wand.... ". [Ozhegov S.I. Wörterbuch/ S. I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. -M., 1949 -1994.]

kann in einer erhöhten oder platziert werden hohes Niveau Beherrschung der mathematischen Sprache. Ausdrücke werden mit zwei oder mehr Aktionen für die letzte Aktion aufgerufen, deren Komponenten als Ausdrücke betrachtet werden. Einige Arten von Ausdrücken sind jedoch in den Texten der Regeln enthalten. Die Kenntnis der verbalen Formulierungen der Regeln bedeutet auch die Kenntnis der Weisen (Methoden) des Lesens. Zum Beispiel gibt das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition oder die Regel der Multiplikation einer Summe mit einer Zahl schon im Namen der Regel den Namen eines Ausdrucks der Form ( SONDERN+ □ ) · th. Und bei der Formulierung der Eigenschaft werden zwei Arten von Ausdrücken genannt: „Das Produkt einer Summe durch eine Zahl ist gleich der Summe der Produkte jedes Terms durch diese Zahl.“ Methoden zum Lesen von Ausdrücken in zwei oder mehr Aktionen können durch algorithmische Vorschriften spezifiziert werden. Unterabschnitt 4.2 liefert ein Beispiel für einen solchen Algorithmus. Das Beherrschen der Art und Weise, wie solche Ausdrücke gelesen werden, erfolgt, wenn die gleichen Arten von Aufgaben ausgeführt werden wie beim Erlernen des Lesens von Ausdrücken in einer Aktion.

Den Wert von Ausdrücken finden. Verfahrensregeln. Seit Beginn des Studiums arithmetischer Operationen und des Auftretens von Ausdrücken ist die Regel implizit akzeptiert: Aktionen müssen von links nach rechts in der Reihenfolge ausgeführt werden, in der sie geschrieben wurden. Das Problem der Handlungsreihenfolge zeigt sich, wenn es schwierig ist, bestimmte objektive Situationen durch Ausdrücke zu bezeichnen. Zum Beispiel müssen Sie 7 blaue Würfel nehmen, 2 weiße Würfel weniger und herausfinden, wie viele Würfel insgesamt genommen werden. Wir führen fast alle Aktionen aus und bezeichnen die Anzahl der Würfel mit Zahlen und Aktionen mit Vorzeichen arithmetischer Operationen. Zählen wir 7 blaue Würfel. Um 2 weiße weniger zu nehmen, ziehen wir zwei blaue Würfel für eine Weile weg und nehmen durch Paarung so viele weiße Würfel, wie blaue ohne zwei vorhanden sind. Kombiniere weiße und blaue Würfel. Unsere Aktionen mit Würfeln in arithmetischer Notation: 7 + 7-2. Aber in einer solchen Aufzeichnung müssen die Aktionen in der Reihenfolge der Aufzeichnung ausgeführt werden, und dies sind nicht die Aktionen, für die wir die Aufzeichnung gemacht haben! Es gibt einen Widerspruch. Wir müssen zuerst 2 von 7 subtrahieren (wir finden die erforderliche Anzahl weißer Würfel heraus), und dann wird das Ergebnis der Subtraktion von 7 und 2 zu 7 addiert - der Anzahl der blauen Würfel.

Der Ausweg aus dieser und ähnlichen Situationen kann wie folgt sein: Sie müssen die Aktion oder Aktionen, die ausgeführt werden müssen, irgendwie auswählen, nicht in der Reihenfolge, in der Sie im Ausdrucksdatensatz von links nach rechts schreiben. Und es gibt einen solchen Weg. Das Klammern, die nur für Situationen erfunden wurden, in denen Aktionen in einem Ausdruck von links nach rechts in der falschen Reihenfolge ausgeführt werden müssen. Mit Klammern die mathematische Schreibweise unserer praktisches Handeln mit Würfeln sieht so aus: 7 + (7 - 2). Aktionen, die in Klammern stehen, werden normalerweise zuerst ausgeführt. Um diese Eigenschaft von Klammern zu beherrschen und zuzuordnen, bilden wir mit den Schülern verschiedene Ausdrücke, setzen Klammern auf unterschiedliche Weise ein, rechnen, vergleichen die Ergebnisse. Ersatz

Tee: Manchmal ändert das Ändern der Reihenfolge der Aktionen den Wert des Ausdrucks nicht, und manchmal tut es das. Zum Beispiel 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

Bei der Einführung von Klammern werden die allgemein anerkannten Regeln für die Reihenfolge von Aktionen offensichtlich noch nicht studiert, obwohl zwei Regeln bereits praktisch angewendet werden: a) Wenn in einem Ausdruck ohne Klammern nur Addition und Subtraktion enthalten sind, werden die Aktionen in der Reihenfolge ausgeführt sie werden von links nach rechts geschrieben; b) Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt.

Auch hier wird das Problem der Reihenfolge der Operationen akut nach dem Auftreten von Ausdrücken, die die Operationen der Multiplikation und (oder) Division und die Operationen der Addition und (oder) Subtraktion enthalten. In dieser Zeit kann die Notwendigkeit von Ordnungsregeln von den Studierenden erkannt werden und die Studierenden können in dieser Zeit bereits diese Problematik diskutieren, allgemeingültige Formulierungen von Ordnungsregeln formulieren und verstehen.

Sie können sich ein Verständnis für die Notwendigkeit solcher Regeln verschaffen, indem Sie mit einem mehrstufigen Ausdruck experimentieren. Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 7 - 3 2 + 15: 5 berechnen und Aktionen in drei verschiedenen Sequenzen ausführen: 1) - + (in der Reihenfolge des Schreibens); 2) - + ·: (erst Addition und Subtraktion, dann Multiplikation und Division); 3) ·: - + (zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion). Als Ergebnis erhalten wir drei verschiedene Werte: 1) 4 (verbleibende 3); 2) 13 (rest. 3); 3) 6. Bei der Diskussion der Situation mit den Schülern kommen wir zu dem Schluss: Es ist notwendig, nur eine Sequenz als allgemein akzeptierte Handlungsregel zu vereinbaren und zu akzeptieren. Und da die Werte von Ausdrücken bereits vor uns und sogar vor mehr als hundert Jahren berechnet wurden, existieren solche Vereinbarungen wahrscheinlich bereits. Wir finden sie im Lehrbuch.

Als nächstes besprechen wir mit den Schülern die Notwendigkeit, diese Regeln zu kennen und sie anzuwenden. Nachdem die Schüler ein solches Bedürfnis für sich selbst begründet haben, können sie versuchen, die Typen für sich selbst zu bestimmen akademische Arbeit, die sie ausführen, können sie sich an die Regeln erinnern und lernen, sie genau zu befolgen. Eine solche Definition der Arten von Bildungsarbeit kann in Gruppenarbeiten skizziert werden, und einige Arten solcher Arbeit können in derselben Unterrichtsstunde durchgeführt werden. In der Gruppenarbeit lernen die Schüler den Inhalt der entsprechenden Seiten des Lehrbuchs und des Notizbuchs für kennen unabhängige Arbeit zum Lehrbuch können sie die Lernaufgaben selbst ergänzen, teilweise bearbeiten, sich selbst testen und dann in einer Gruppenarbeit berichten, was sie als Ergebnis der Gruppenarbeit bereits gemeistert haben. Zum Beispiel: „In unserer Gruppe hat jeder gelernt, die Handlungsreihenfolge in Ausdrücken ohne Klammern in drei oder vier Handlungen anhand des Regeltextes im Lehrbuch festzulegen und diese Reihenfolge mit Handlungsnummern über den Handlungszeichen zu kennzeichnen der Ausdruck." Dann geht es darum zu lernen, wie man die Bedeutung solcher „großen“ Ausdrücke findet – in drei, vier oder mehr Handlungen in vielen Unterrichtseinheiten für Schüler.

Schüler treten auf Aktivitäten lernen um es zu erreichen. Die Methode zum Auffinden der Werte eines zusammengesetzten Ausdrucks kann in algorithmischer Form dargestellt werden.

Algorithmus zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks(festgelegt durch mündliche Vorgabe in Form einer Schrittliste).

1. Wenn ein der Ausdruck enthält Klammern, dann Aktionen in Klammern wie in einem Ausdruck ohne Klammern ausführen. 2. Wenn ein es gibt keine Klammern im Ausdruck, dann: a) Wenn im Ausdruck nur Addition und (oder) Subtraktion oder nur Multiplikation und (oder) Division, dann führen Sie diese Schritte in der Reihenfolge von links nach rechts aus; b) wenn der Ausdruck Aktionen aus der Gruppe Addition - Subtraktion und aus der Gruppe Multiplikation - Division enthält, dann Führen Sie zuerst Multiplikation und Division in der Reihenfolge von links nach rechts durch, dann Führen Sie Addition und Subtraktion in der Reihenfolge von links nach rechts durch. 3. Das Ergebnis der letzten Aktion wird als Wert des Ausdrucks bezeichnet.

Eine besondere Rolle beim Lernen spielen Methoden zum Finden der Werte von Ausdrücken basierend auf den Eigenschaften von Aktionen. Solche Methoden bestehen darin, dass zuerst die Ausdrücke basierend auf den Eigenschaften der Aktionen transformiert werden und erst dann die Regeln der Reihenfolge der Aktionen angewendet werden. Zum Beispiel müssen Sie den Wert des Ausdrucks finden: 23 + 78 + 77. Gemäß den Regeln der Aktionsreihenfolge müssen Sie zuerst 78 zu 23 addieren und zum Ergebnis 17 addieren, jedoch kommutativ und assoziativ Eigenschaften oder die Regel „Sie können Zahlen in beliebiger Reihenfolge hinzufügen“ ermöglicht es uns, diesen Ausdruck gleich durch eine andere Reihenfolge der Operationen 23 + 77 + 78 zu ersetzen. Nachdem wir die Aktionen gemäß den Regeln der Reihenfolge der Operationen ausgeführt haben, können wir leicht erhalten Sie das Ergebnis 100 + 78 = 178.

Eigentlich mathematische Aktivität, die mathematische Entwicklung von Schülern findet genau dann statt, wenn sie nach rationalem oder suchen originelle Wege Transformationen von Ausdrücken mit anschließenden bequemen Berechnungen. Daher ist es notwendig, bei allen nicht rechnerischen Berechnungen unter den Schülern eine Gewohnheit zu entwickeln, nach Wegen zu suchen, um Berechnungen zu vereinfachen, Ausdrücke so umzuwandeln, dass anstelle von umständlichen, hässlichen Berechnungen der gewünschte Wert des Ausdrucks anhand einfacher und schöner Fälle gefunden wird der Berechnung. Dazu werden Aufgaben wie folgt formuliert: "Auf bequeme (oder rationale) Weise rechnen ...".

Finden der Werte von wörtlichen Ausdrücken - eine wichtige Fähigkeit, die Vorstellungen über die Variable bildet und die Grundlage für das Verständnis der funktionalen Abhängigkeit in der Zukunft bildet. Eine sehr bequeme Form von Aufgaben, um die Werte wörtlicher Ausdrücke zu finden und die Abhängigkeit des Werts eines Ausdrucks von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben zu beobachten, ist tabellarisch. Beispielsweise gemäß Tabelle. 8.1 Studenten können eine Reihe von Abhängigkeiten feststellen: Wenn die Werte a sind fortlaufende Nummern, dann die Werte 2a es gibt konsequent gerade Zahlen, und die Werte 3a - jede dritte Zahl ab Wert 3a beim der kleinste Wert a usw.

Tabelle 8.1

Ausdrucksvergleich. Relationen, die die Werte von Ausdrücken verbinden, werden auf Ausdrücke übertragen. Der Hauptvergleich ist Finden der Werte von verglichenen Ausdrücken und Vergleich von Ausdruckswerten. Vergleichsalgorithmus:

1. Finden Sie die Werte der verglichenen Ausdrücke. 2. Vergleichen Sie die empfangenen Nummern. 3. Übertragen Sie das Ergebnis des Vergleichs von Zahlen in Ausdrücke. Setzen Sie ggf. das entsprechende Zeichen zwischen die Ausdrücke. Ende.

Neben dem Finden der Werte von Ausdrücken werden Vergleichsmethoden, die auf den Eigenschaften von arithmetischen Operationen basieren, die Eigenschaften von numerischen Gleichheiten und Ungleichungen bewertet, da ein solcher Vergleich deduktives Denken erfordert und daher die Entwicklung des logischen Denkens gewährleistet.

Zum Beispiel müssen Sie 73 + 48 und 73 + 50 vergleichen. Die Eigenschaft ist bekannt: „Wenn ein Term um mehrere Einheiten erhöht oder verringert wird, erhöht oder verringert sich die Summe um die gleiche Anzahl von Einheiten.“ Daher ist der Wert des ersten Ausdrucks kleiner als der Wert des zweiten, was bedeutet, dass der erste Ausdruck kleiner als der zweite und der zweite größer als der erste ist. Wir haben Ausdrücke verglichen, ohne die Werte der Ausdrücke zu finden, ohne arithmetische Operationen durchzuführen, indem wir die bekannte Eigenschaft der Addition angewendet haben. In solchen Fällen ist es hilfreich, Ausdrücke zu vergleichen, die mit generischer Symbologie geschrieben wurden. Ausdrücke vergleichen. © + F und © + (F+ 4), © + F und © + (F- 4).

Interessante Vergleichsmethoden basieren auf der Transformation der verglichenen Ausdrücke - deren Ersetzung durch gleiche. Zum Beispiel: 18 4 und 18 + 18 + 18 + 18; 25 (117 - 19) und 25 117 - 19; 25 (117 -119) und 25 117 - - 19 117 usw. Durch Umwandeln des Ausdrucks in einen Teil basierend auf den Eigenschaften von Aktionen erhalten wir Ausdrücke, die bereits durch Vergleichen von Zahlen verglichen werden können - Komponenten derselben Aktion.

Beispiel. 126 + 487 und 428 + 150. Zum Vergleich verwenden wir das Kommutativgesetz. Wir erhalten: 487 + 126 und 428 und 150. Transformieren wir den ersten Ausdruck: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Jetzt müssen Sie die Ausdrücke 463 + 150 und 428 + 150 vergleichen.

Formel

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division - arithmetische Operationen (bzw Rechenoperationen). Diese Rechenoperationen entsprechen den Vorzeichen von Rechenoperationen:

+ (lesen " Plus") - das Zeichen der Additionsoperation,

- (lesen " Minus-") - das Vorzeichen der Subtraktionsoperation,

∙ (lesen " multiplizieren") - das Vorzeichen der Multiplikationsoperation,

: (lesen " Teilen") ist das Zeichen der Divisionsoperation.

Es wird ein Datensatz aufgerufen, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind numerischer Ausdruck. Klammern können auch in einem numerischen Ausdruck vorkommen, zum Beispiel Eintrag 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) ist ein numerischer Ausdruck.

Das Ergebnis der Durchführung von Operationen an Zahlen in einem numerischen Ausdruck wird aufgerufen der Wert eines numerischen Ausdrucks. Das Ausführen dieser Aktionen wird als Berechnen des Werts eines numerischen Ausdrucks bezeichnet. Bevor Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks schreiben, put Gleichheitszeichen"=". Tabelle 1 zeigt Beispiele für numerische Ausdrücke und ihre Bedeutung.

Ein Datensatz, der aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht, die durch Zeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind, wird aufgerufen wörtlicher Ausdruck. Dieser Eintrag kann Klammern enthalten. Zum Beispiel der Eintrag ein +b - 3 ∙c ist ein wörtlicher Ausdruck. Anstelle von Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können Sie verschiedene Zahlen ersetzen. In diesem Fall kann sich die Bedeutung der Buchstaben ändern, daher werden die Buchstaben im wörtlichen Ausdruck auch genannt Variablen.

Indem sie Zahlen anstelle von Buchstaben in den wörtlichen Ausdruck einsetzen und den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen, finden sie heraus der Wert eines wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben(für die gegebenen Werte der Variablen). Tabelle 2 zeigt Beispiele für wörtliche Ausdrücke.

Ein wörtlicher Ausdruck darf keinen Wert haben, wenn durch Ersetzen der Werte der Buchstaben ein numerischer Ausdruck erhalten wird, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann. Ein solcher numerischer Ausdruck wird aufgerufen falsch für natürliche Zahlen. Sie sagen auch, dass die Bedeutung eines solchen Ausdrucks " nicht definiert" für natürliche Zahlen und den Ausdruck selbst "Es ist nicht sinnvoll". Zum Beispiel der wörtliche Ausdruck a-b spielt für a = 10 und b = 17 keine Rolle. Tatsächlich kann bei natürlichen Zahlen der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend sein. Wenn Sie beispielsweise nur 10 Äpfel haben (a = 10), können Sie nicht 17 davon verschenken (b = 17)!

Tabelle 2 (Spalte 2) zeigt ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck. Füllen Sie analog dazu die Tabelle vollständig aus.

Für natürliche Zahlen der Ausdruck 10 -17 falsch (ergibt keinen Sinn), d.h. die Differenz 10 -17 kann nicht als natürliche Zahl ausgedrückt werden. Ein weiteres Beispiel: Man kann nicht durch Null dividieren, also für jede natürliche Zahl b den Quotienten b:0 nicht definiert.

Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen werden oft in wörtlicher Form (d. h. in Form eines wörtlichen Ausdrucks) geschrieben. In diesen Fällen wird der wörtliche Ausdruck aufgerufen Formel. Zum Beispiel, wenn die Seiten eines Siebenecks gleich sind a,b,c,d,e,f,g, dann die Formel (wörtlicher Ausdruck) zur Berechnung seines Umfangs p sieht aus wie:

p=ein +b+c+d+e +f +g

Für a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 ist der Umfang des Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Für a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 ist der Umfang eines weiteren Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Block 1. Wörterbuch

Erstellen Sie aus dem Absatz ein Wörterbuch mit neuen Begriffen und Definitionen. Geben Sie dazu in die leeren Zellen die Wörter aus der unten stehenden Begriffsliste ein. Geben Sie in der Tabelle (am Ende des Blocks) die Nummern der Begriffe entsprechend den Nummern der Rahmen an. Es wird empfohlen, den Absatz sorgfältig zu überprüfen, bevor Sie die Zellen des Wörterbuchs ausfüllen.

1. Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

2. Zeichen „+“ (plus), „-“ (minus), „∙“ (multiplizieren, „ : " (Teilen).

3. Ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind und in denen auch Klammern vorhanden sein können.

4. Das Ergebnis der Durchführung von Operationen an Zahlen in numerischer Form.

5. Das Zeichen vor dem Wert eines numerischen Ausdrucks.

6. Ein Datensatz, der aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht, die durch Rechenzeichen miteinander verbunden sind (es können auch Klammern vorhanden sein).

7. Gemeinsamen Namen Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck.

8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks, der durch Ersetzen von Variablen in einen wörtlichen Ausdruck erhalten wird.

9. Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann.

10. Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen gefunden werden kann.

11. Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Verhältnisse in wörtlicher Form geschrieben.

12. Ein Alphabet, dessen Kleinbuchstaben verwendet werden, um wörtliche Ausdrücke zu schreiben.

Block 2. Übereinstimmung

Ordnen Sie die Aufgabe in der linken Spalte der Lösung in der rechten zu. Notieren Sie die Antwort in der Form: 1a, 2d, 3b ...

Block 3. Facettentest. Numerische und alphabetische Ausdrücke

Facettentests ersetzen Sammlungen von Problemen in der Mathematik, sind jedoch im Vergleich zu ihnen günstig, da sie auf einem Computer gelöst werden können, Lösungen überprüfen und das Ergebnis der Arbeit sofort herausfinden. Dieser Test enthält 70 Aufgaben. Aber man kann Aufgaben nach Belieben lösen, dafür gibt es eine Bewertungstabelle, die darauf hinweist einfache Aufgaben und schwieriger. Unten ist ein Test.

1. Gegeben sei ein Dreieck mit Seiten c,d,m, ausgedrückt in cm
2. Gegeben sei ein Viereck mit Seiten b,c,d,m ausgedrückt in Mio
3. Die Geschwindigkeit des Autos in km/h ist b, Reisezeit in Stunden ist d
4. Von einem Touristen zurückgelegte Entfernung m Stunden, ist mit km
5. Die Entfernung, die ein Tourist zurücklegt, wenn er sich mit einer Geschwindigkeit fortbewegt m km/h ist b km
6. Die Summe zweier Zahlen ist um 15 größer als die zweite Zahl
7. Die Differenz ist kleiner als die um 7 reduzierte
8. Ein Passagierschiff hat zwei Decks mit der gleichen Anzahl von Passagiersitzen. In jeder der Deckreihen m Sitzplätze, Reihen an Deck auf n mehr als Sitzplätze in einer Reihe
9. Petja ist m Jahre alt, Mascha ist n Jahre alt, und Katja ist k Jahre jünger als Petja und Mascha zusammen
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Der Wert dieses Ausdrucks
2. Der wörtliche Ausdruck für den Umfang ist
3. Umfang in Zentimetern ausgedrückt
4. Formel für die vom Auto zurückgelegte Strecke s
5. Geschwindigkeitsformel v, Touristenbewegungen
6. Zeitformel t, Touristenbewegungen
7. Mit dem Auto zurückgelegte Strecke in Kilometern
8. Touristengeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde
9. Fahrzeit in Stunden
10. Die erste Zahl ist...
11. Subtrahiert gleich….
12. Ausdruck für die meisten Passagiere, die der Liner befördern kann k Flüge
13. Die größte Anzahl von Passagieren, die ein Flugzeug befördern kann k Flüge
14. Buchstabenausdruck für Katjas Alter
15. Katjas Alter
16. Die Koordinate von Punkt B, wenn die Koordinate von Punkt C ist t
17. Die Koordinate von Punkt D, wenn die Koordinate von Punkt C ist t
18. Die Koordinate von Punkt A ist die Koordinate von Punkt C t
19. Die Länge des Segments BD auf dem Zahlenstrahl
20. Die Länge des Segments CA auf dem Zahlenstrahl
21. Die Länge des Segments DA auf dem Zahlenstrahl

Numerischer Ausdruck ist eine beliebige Aufzeichnung von Zahlen, Rechenzeichen und Klammern. Ein numerischer Ausdruck kann auch nur aus einer Zahl bestehen. Denken Sie daran, dass die Grundrechenarten "Addition", "Subtraktion", "Multiplikation" und "Division" sind. Diese Aktionen entsprechen den Zeichen "+", "-", "∙", ":".

Damit wir zu einem Zahlenausdruck kommen, muss natürlich die Notation aus Zahlen und Rechenzeichen sinnvoll sein. So kann beispielsweise eine solche Eingabe 5: + ∙ nicht als numerischer Ausdruck bezeichnet werden, da dies eine zufällige Menge von Zeichen ist, die keinen Sinn ergibt. Dagegen ist 5 + 8 ∙ 9 bereits ein echter Zahlenausdruck.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks.

Nehmen wir gleich an, wenn wir die in einem numerischen Ausdruck angegebenen Aktionen ausführen, erhalten wir als Ergebnis eine Zahl. Diese Nummer wird angerufen der Wert eines numerischen Ausdrucks.

Versuchen wir zu berechnen, was wir als Ergebnis der Ausführung der Aktionen unseres Beispiels erhalten. Gemäß der Reihenfolge der Durchführung arithmetischer Operationen führen wir zuerst die Multiplikationsoperation durch. Multiplizieren Sie 8 mit 9. Wir erhalten 72. Jetzt addieren wir 72 und 5. Wir erhalten 77.
Also, 77 - Bedeutung numerischer Ausdruck 5 + 8 ∙ 9.

Numerische Gleichheit.

Du kannst es so schreiben: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Hier haben wir zuerst das Zeichen „=" („Gleich“) verwendet. Eine solche Notation, bei der zwei Zahlenausdrücke durch das Zeichen „=“ getrennt werden, nennt man zahlenmäßige Gleichheit. Wenn außerdem die Werte des linken und rechten Teils der Gleichheit gleich sind, wird die Gleichheit aufgerufen treu. 5 + 8 ∙ 9 = 77 ist die richtige Gleichheit.
Wenn wir 5 + 8 ∙ 9 = 100 schreiben, dann wird dies bereits sein falsche Gleichheit, da die Werte der linken und rechten Seite dieser Gleichheit nicht mehr übereinstimmen.

Es ist zu beachten, dass wir in einem numerischen Ausdruck auch Klammern verwenden können. Klammern wirken sich auf die Reihenfolge aus, in der Aktionen ausgeführt werden. So modifizieren wir beispielsweise unser Beispiel, indem wir Klammern hinzufügen: (5 + 8) ∙ 9. Jetzt müssen wir zuerst 5 und 8 addieren. Wir erhalten 13. Und dann multiplizieren wir 13 mit 9. Wir erhalten 117. Also (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – Bedeutung numerischer Ausdruck (5 + 8) ∙ 9.

Um einen Ausdruck korrekt zu lesen, müssen Sie bestimmen, welche Aktion zuletzt ausgeführt wird, um den Wert eines gegebenen numerischen Ausdrucks zu berechnen. Wenn also die letzte Aktion eine Subtraktion ist, dann heißt der Ausdruck "Differenz". Dementsprechend, wenn die letzte Aktion die Summe ist - "Summe", Division - "Privat", Multiplikation - "Produkt", Potenzierung - "Grad".

Der Zahlenausdruck (1 + 5) (10-3) lautet beispielsweise so: „das Produkt aus der Summe der Zahlen 1 und 5 und der Differenz der Zahlen 10 und 3.“

Beispiele für numerische Ausdrücke.

Hier ist ein Beispiel für einen komplexeren numerischen Ausdruck:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

In diesem numerischen Ausdruck werden Primzahlen, gewöhnliche und dezimale Brüche verwendet. Auch die Symbole für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division werden verwendet. Der Bruchstrich ersetzt auch das Divisionszeichen. Bei scheinbarer Komplexität ist es ziemlich einfach, den Wert dieses numerischen Ausdrucks zu finden. Die Hauptsache ist, in der Lage zu sein, Operationen mit Brüchen durchzuführen sowie Berechnungen sorgfältig und genau durchzuführen und dabei die Reihenfolge der Aktionen zu beachten.

In Klammern haben wir den Ausdruck $\frac(1)(4)+3.75$ . Verwandeln wir uns Dezimal 3,75 im Durchschnitt.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

So, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Weiter im Zähler des Bruchs \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] wir haben den Ausdruck 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, wenden wir das kommutative Additionsgesetz an, das besagt: "Die Summe ändert sich nicht durch eine Änderung der Stellen der Terme." Das heißt, 1,25 + 3,47 + 4,75 – 1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47 – 1,47 = 6 + 2 = 8.

Im Nenner des Bruchs steht der Ausdruck $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Wir bekommen $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Wann machen numerische Ausdrücke keinen Sinn?

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Im Nenner eines Bruchs $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ der Wert des Ausdrucks $3\centerdot 3-9$ ist 0. Und wie wir wissen, ist eine Division durch Null unmöglich. Daher hat der Bruch $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ keinen Wert. Numerische Ausdrücke, die keine Bedeutung haben, werden als „keine Bedeutung“ bezeichnet.

Wenn wir in einem numerischen Ausdruck neben Zahlen auch Buchstaben verwenden, dann haben wir einen algebraischen Ausdruck.

Veröffentlichungsdatum: 30.08.2014 10:58 UTC

• Geometrie, Lösungsbuch zum Buch von Balayan E.N. "Geometrie. Aufgaben zu fertigen Zeichnungen zur Vorbereitung auf die OGE und das Einheitliche Staatsexamen: Grades 7-9, Grade 7, Balayan E.N., 2019
• Geometrietrainer, Klasse 7, zum Lehrbuch von Atanasyan L.S. usw. „Geometrie. Klassen 7-9“, Bundesstaatlicher Bildungsstandard, Glazkov Yu.A., Yegupova M.V., 2019