So finden Sie das zweite Bein und die Hypotenuse. Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks. Trigonometrische Beziehungen, um das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden

Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Quadratwurzel der Differenz zwischen der quadrierten Hypotenuse und dem bekannten Bein, ebenfalls quadriert, zu finden. Das Bein wird die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks neben dem rechten Winkel genannt. Dieser Ausdruck leitet sich vom Satz des Pythagoras ab, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist.

Bevor wir uns die verschiedenen Möglichkeiten ansehen, ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden, nehmen wir eine Notation. Prüfen Sie, welcher der aufgelisteten Fälle der Bedingung Ihres Problems entspricht und folgen Sie abhängig davon dem entsprechenden Abschnitt. Finden Sie heraus, welche Größen im betrachteten Dreieck Ihnen bekannt sind. Verwenden Sie den folgenden Ausdruck, um das Bein zu berechnen: a=sqrt(c^2-b^2), wenn Sie die Werte der Hypotenuse und des anderen Beins kennen.

Die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln dieser geometrischen Figur werden in der mathematischen Disziplin der Trigonometrie ausführlich behandelt. Um diese Gleichung anzuwenden, musst du die Länge von zwei beliebigen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen.

Berechnen Sie die Länge eines der Beine, wenn die Abmessungen der Hypotenuse und des anderen Beins bekannt sind. Wenn die Hypotenuse und einer der angrenzenden spitzen Winkel in der Aufgabe angegeben sind, verwenden Sie die Bradys-Tabellen.

Das innere Dreieck wird dem äußeren ähnlich sein, da die Mittellinien parallel zu den Beinen und der Hypotenuse und jeweils gleich ihren Hälften sind. Da die Hypotenuse unbekannt ist, müssen Sie das Radikal aus dem Satz des Pythagoras ersetzen, um die Mittellinie M_c zu finden.

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Er liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Länge der Hypotenuse kann auf verschiedene Weise ermittelt werden. Wenn die Länge beider Beine bekannt ist, wird ihre Größe nach dem Satz des Pythagoras berechnet: Die Summe der Quadrate der beiden Beine ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Da wir wissen, dass die Summe aller Winkel 180 ° beträgt, subtrahieren wir den rechten Winkel und den bereits bekannten.

Bei der Berechnung der Parameter eines rechtwinkligen Dreiecks ist es wichtig, auf bekannte Werte zu achten und das Problem mit der einfachsten Formel zu lösen. Erinnern wir uns zunächst daran, was ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geometrische Figur aus drei Segmenten, die Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen, und einer der Winkel dieser Figur beträgt 90 Grad. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Beinlänge zu ermitteln.

Formel: c²=a²+b², wobei c die Hypotenuse ist, a und b die Beine sind

Wenn wir die Hypotenuse und das Bein kennen, können wir die Länge des unbekannten Beins mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Es klingt so: "Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine." Es gibt vier Möglichkeiten, das Bein mit trigonometrischen Funktionen zu finden: durch Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Der Sinus eines Winkels (sin) ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse. Formel: sin \u003d a / c, wobei a das Bein gegenüber dem angegebenen Winkel und c die Hypotenuse ist.

Die ungewöhnlichen Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke wurden vom antiken griechischen Wissenschaftler Pythagoras entdeckt, der entdeckte, dass das Quadrat der Hypotenuse in solchen Dreiecken gleich der Summe der Quadrate der Beine ist

Die Höhe ist die Senkrechte von jeder Ecke eines Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite (oder zu ihrer Verlängerung bei einem Dreieck mit stumpfem Winkel). Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Orthozentrum bezeichnet wird. Wenn es sich um ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck handelt, sind nicht genügend Daten vorhanden.

Es ist auch nützlich, die Werte trigonometrischer Funktionen für die typischsten Winkel 30, 45, 60, 90, 180 Grad zu kennen. Wenn die Bedingungen die Abmessungen der Beine angeben, finden Sie die Länge der Hypotenuse. Im Leben müssen wir uns oft mit Matheproblemen auseinandersetzen: in der Schule, im Studium und dann unserem Kind bei den Hausaufgaben helfen.

Als nächstes wandeln wir die Formel um und erhalten: a=sin*c

Um die Probleme zu lösen, hilft uns die folgende Tabelle. Betrachten wir diese Optionen. Ein interessanter Spezialfall ist, wenn einer der spitzen Winkel gleich 30 Grad ist.

Menschen bestimmter Berufe begegnen der Mathematik täglich.

Es ist auch möglich, ein unbekanntes Bein zu finden, wenn jede andere Seite und jeder spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind. Finde die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras. Auch die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks können je nach Anzahl der bekannten Variablen mit verschiedenen Formeln ermittelt werden.

Die ersten sind Segmente, die an den rechten Winkel angrenzen, und die Hypotenuse ist der längste Teil der Figur und liegt gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Ein pythagoräisches Dreieck ist eines, dessen Seiten gleich natürlichen Zahlen sind; ihre Längen werden in diesem Fall als "pythagoräisches Tripel" bezeichnet.

ägyptisches dreieck

Damit die heutige Generation Geometrie in der Form lernen kann, wie sie heute in der Schule gelehrt wird, wurde sie über mehrere Jahrhunderte weiterentwickelt. Der grundlegende Punkt ist der Satz des Pythagoras. Die Seiten eines Rechtecks ​​sind der ganzen Welt bekannt) sind 3, 4, 5.

Nur wenige Menschen kennen den Satz „Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich“. Tatsächlich klingt der Satz jedoch so: c 2 (das Quadrat der Hypotenuse) \u003d a 2 + b 2 (die Summe der Quadrate der Beine).

Unter Mathematikern wird ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 (cm, m usw.) als "ägyptisch" bezeichnet. Es ist interessant, dass das, was in die Figur eingeschrieben ist, gleich eins ist. Der Name entstand um das 5. Jahrhundert v. Chr., als griechische Philosophen nach Ägypten reisten.

Beim Bau der Pyramiden verwendeten Architekten und Vermessungsingenieure das Verhältnis 3:4:5. Solche Strukturen erwiesen sich als proportional, angenehm anzusehen und geräumig und brachen auch selten zusammen.

Um einen rechten Winkel zu bauen, verwendeten die Baumeister ein Seil, an dem 12 Knoten gebunden waren. In diesem Fall stieg die Wahrscheinlichkeit, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, auf 95 %.

Zeichen der Zahlengleichheit

• Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck und eine große Seite, die den gleichen Elementen im zweiten Dreieck entsprechen, sind ein unbestreitbares Zeichen für die Gleichheit der Figuren. Unter Berücksichtigung der Winkelsumme lässt sich leicht nachweisen, dass auch die zweiten spitzen Winkel gleich sind. Somit sind die Dreiecke im zweiten Kriterium identisch.
• Wenn zwei Figuren übereinander gelegt werden, drehen wir sie so, dass sie zusammen ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. Entsprechend ihrer Eigenschaft sind die Seiten oder besser gesagt die Hypotenusen gleich, ebenso wie die Winkel an der Basis, was bedeutet, dass diese Figuren gleich sind.

Durch das erste Zeichen ist es sehr einfach zu beweisen, dass die Dreiecke wirklich gleich sind, Hauptsache, die beiden kleineren Seiten (also die Schenkel) sind einander gleich.

Die Dreiecke sind gemäß dem II-Zeichen gleich, dessen Essenz die Gleichheit des Beins und des spitzen Winkels ist.

Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke

Die im rechten Winkel abgesenkte Höhe teilt die Figur in zwei gleiche Teile.

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und seine Mittellinie sind leicht an der Regel zu erkennen: Die Mittellinie, die auf die Hypotenuse abgesenkt ist, ist gleich der Hälfte davon. kann sowohl durch die Formel von Heron als auch durch die Aussage gefunden werden, dass sie gleich dem halben Produkt der Beine ist.

In einem rechtwinkligen Dreieck gelten die Eigenschaften von Winkeln von 30 o, 45 o und 60 o.

• Bei einem Winkel von 30 ° ist zu beachten, dass das gegenüberliegende Bein 1/2 der größten Seite entspricht.
• Wenn der Winkel 45° beträgt, beträgt der zweite spitze Winkel ebenfalls 45°. Dies deutet darauf hin, dass das Dreieck gleichschenklig ist und seine Beine gleich sind.
• Die Eigenschaft eines Winkels von 60 Grad ist, dass der dritte Winkel ein Maß von 30 Grad hat.

Die Fläche lässt sich leicht mit einer von drei Formeln ermitteln:

1. durch die Höhe und die Seite, auf der es abfällt;
2. nach der Formel von Heron;
3. entlang der Seiten und den Winkel zwischen ihnen.

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, oder besser gesagt die Beine, laufen mit zwei Höhen zusammen. Um das dritte zu finden, muss das resultierende Dreieck betrachtet und dann mit dem Satz des Pythagoras die erforderliche Länge berechnet werden. Neben dieser Formel gibt es noch das Verhältnis der doppelten Fläche und der Länge der Hypotenuse. Der häufigste Ausdruck unter Schülern ist der erste, da er weniger Berechnungen erfordert.

Sätze, die für ein rechtwinkliges Dreieck gelten

Die Geometrie eines rechtwinkligen Dreiecks beinhaltet die Verwendung von Theoremen wie:

Unter den zahlreichen Berechnungen, die zur Berechnung bestimmter Größen verschiedener Größen durchgeführt werden, befindet sich die Hypotenuse des Dreiecks. Denken Sie daran, dass ein Dreieck ein Polyeder mit drei Winkeln ist. Im Folgenden finden Sie mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse verschiedener Dreiecke zu berechnen.

Lassen Sie uns zuerst sehen, wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für diejenigen, die es vergessen haben, ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Außerdem ist es die längste Seite des Dreiecks. Abhängig von den bekannten Werten berechnet sich die Länge der Hypotenuse wie folgt:

• Die Beinlängen sind bekannt. Die Hypotenuse wird in diesem Fall mit dem Satz des Pythagoras berechnet, der wie folgt lautet: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine. Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck BKF, wobei BK und KF Schenkel sind und FB die Hypotenuse ist, dann ist FB2= BK2+KF2. Aus dem Vorstehenden folgt, dass bei der Berechnung der Länge der Hypotenuse jeder der Beinwerte der Reihe nach quadriert werden muss. Zähle dann die Zahlen zusammen und ziehe die Quadratwurzel aus dem Ergebnis.

Betrachten Sie ein Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Ein Bein ist 3 cm lang, das andere 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse. Die Lösung sieht so aus.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrahieren und FB=5cm erhalten.

• Bekanntes Bein (BK) und der daran angrenzende Winkel, der von der Hypotenuse und diesem Bein gebildet wird. Wie findet man die Hypotenuse eines Dreiecks? Lassen Sie uns den bekannten Winkel als α bezeichnen. Gemäß der Eigenschaft, die besagt, dass das Verhältnis der Länge des Beins zur Länge der Hypotenuse gleich dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Bein und der Hypotenuse ist. Betrachtet man ein Dreieck, lässt sich dies wie folgt schreiben: FB= BK*cos(α).
• Das Bein (KF) und der gleiche Winkel α sind bekannt, nur wird es jetzt schon entgegengesetzt sein. Wie findet man in diesem Fall die Hypotenuse? Wenden wir uns den gleichen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks zu und finden heraus, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels zur Länge der Hypotenuse gleich dem Sinus des Winkels gegenüber dem Schenkel ist. Das heißt, FB = KF * sin (α).

Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei das gleiche rechtwinklige Dreieck BKF mit Hypotenuse FB. Der Winkel F sei gleich 30 Grad, der zweite Winkel B entspricht 60 Grad. Bekannt ist auch das Bein BK, dessen Länge 8 cm entspricht, den gewünschten Wert errechnest du wie folgt:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Bekannt für (R), umschrieben von einem Dreieck mit einem rechten Winkel. Wie findet man die Hypotenuse, wenn man ein solches Problem betrachtet? Aus den Eigenschaften eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises ist bekannt, dass der Mittelpunkt eines solchen Kreises mit dem Hypotenusenpunkt zusammenfällt, der ihn in zwei Hälften teilt. Vereinfacht ausgedrückt entspricht der Radius der halben Hypotenuse. Daher ist die Hypotenuse gleich zwei Radien. FB=2*R. Wenn ein ähnliches Problem gegeben ist, bei dem nicht der Radius, sondern der Median bekannt ist, dann sollte man auf die Eigenschaft eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises achten, die besagt, dass der Radius gleich dem gezeichneten Median ist zur Hypotenuse. Unter Verwendung all dieser Eigenschaften wird das Problem auf die gleiche Weise gelöst.

Wenn die Frage lautet, wie man die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks findet, muss man sich dem gleichen Satz des Pythagoras zuwenden. Aber denken Sie zunächst daran, dass ein gleichschenkliges Dreieck ein Dreieck ist, das zwei identische Seiten hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel gleich lang. Wir haben FB2= BK2+ KF2, aber wegen BK= KF haben wir folgendes: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Wie Sie sehen können, ist es sehr einfach, Probleme zu lösen, bei denen die Länge der Hypotenuse berechnet werden muss, wenn Sie den Satz des Pythagoras und die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks kennen. Wenn es schwierig ist, sich alle Eigenschaften zu merken, lernen Sie vorgefertigte Formeln, indem Sie bekannte Werte ersetzen, in die Sie die erforderliche Länge der Hypotenuse berechnen können.

Anweisung

Die den Schenkeln a und b gegenüberliegenden Winkel bezeichnen wir mit A bzw. B. Die Hypotenuse ist per Definition die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (gleichzeitig bildet die Hypotenuse einen Spitzbogen). Winkel mit anderen Seiten des Dreiecks). Bezeichnen wir die Länge der Hypotenuse mit s.

Du wirst brauchen:
Taschenrechner.

Verwenden Sie für das Bein folgenden Ausdruck: a=sqrt(c^2-b^2), wenn Sie die Werte der Hypotenuse und des anderen Beins kennen. Dieser Ausdruck leitet sich vom Satz des Pythagoras ab, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist. Der sqrt-Operator steht für das Ziehen der Quadratwurzel. Das Zeichen „^2“ bedeutet Potenzierung in die zweite Potenz.

Verwenden Sie die Formel a=c*sinA, wenn Sie die Hypotenuse (c) und den Winkel gegenüber dem gewünschten Bein kennen (wir haben diesen Winkel als A bezeichnet).
Verwenden Sie den Ausdruck a=c*cosB, um das Bein zu finden, wenn Sie die Hypotenuse (c) und den Winkel neben dem gewünschten Bein kennen (wir haben diesen Winkel als B bezeichnet).
Berechnen Sie das Bein mit der Formel a = b * tgA für den Fall, dass das Bein b und der Winkel gegenüber dem gewünschten Bein gegeben sind (wir haben uns darauf geeinigt, diesen Winkel A zu bezeichnen).

Beachten Sie:
Wenn bei Ihrer Aufgabe das Bein mit keiner der beschriebenen Methoden gefunden wird, kann es höchstwahrscheinlich auf eine von ihnen reduziert werden.

Hilfreiche Ratschläge:
Alle diese Ausdrücke werden aus den bekannten Definitionen trigonometrischer Funktionen erhalten, sodass Sie sie, selbst wenn Sie eine davon vergessen haben, immer schnell mit einfachen Operationen ableiten können. Es ist auch nützlich, die Werte trigonometrischer Funktionen für die typischsten Winkel 30, 45, 60, 90, 180 Grad zu kennen.

Ein Dreieck ist eine geometrische Zahl, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf derselben Linie liegen. Die Punkte, die ein Dreieck bilden, werden seine Punkte genannt, und die Segmente liegen nebeneinander.

Abhängig von der Art des Dreiecks (rechteckig, einfarbig usw.) können Sie die Seite des Dreiecks auf unterschiedliche Weise berechnen, abhängig von den Eingabedaten und den Bedingungen des Problems.

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Zur Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks wird der Satz des Pythagoras verwendet, wonach das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate des Beins ist.

Wenn wir die Schenkel mit „a“ und „b“ und die Hypotenuse mit „c“ beschriften, dann lassen sich Seiten mit folgenden Formeln finden:

Wenn die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks (a und b) bekannt sind, können seine Seiten mit den folgenden Formeln gefunden werden:

abgeschnittenes Dreieck

Ein Dreieck heißt gleichseitiges Dreieck, bei dem beide Seiten gleich sind.

So finden Sie die Hypotenuse in zwei Beinen

Wenn der Buchstabe „a“ mit derselben Seite identisch ist, „b“ die Basis ist, „b“ die Ecke gegenüber der Basis ist, „a“ die angrenzende Ecke ist, können die folgenden Formeln zur Berechnung der Seiten verwendet werden:

Zwei Ecken und Seite

Wenn eine Seite (c) und zwei Winkel (a und b) eines beliebigen Dreiecks bekannt sind, wird die Sinusformel verwendet, um die verbleibenden Seiten zu berechnen:

Sie müssen den dritten Wert y = 180 - (a + b) finden, weil

die Summe aller Winkel eines Dreiecks ist 180°;

Zwei Seiten und ein Winkel

Wenn zwei Seiten eines Dreiecks (a und b) und der Winkel zwischen ihnen (y) bekannt sind, kann der Kosinussatz verwendet werden, um die dritte Seite zu berechnen.

So bestimmen Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein dreieckiges Dreieck ist ein Dreieck, von denen eines 90 Grad hat und die anderen beiden spitz sind. Berechnung Umfang solch Dreieck abhängig von der Menge der bekannten Informationen darüber.

Du wirst es brauchen

• Beherrsche je nach Anlass 2 der drei Seiten des Dreiecks sowie eine seiner scharfen Ecken.

Anweisungen

Erste Methode 1. Wenn alle drei Seiten bekannt sind Dreieck Dann wird der Umfang, ob rechtwinklig oder nicht dreieckig, wie folgt berechnet: P = A + B + C, wo möglich, c ist die Hypotenuse; a und b sind Beine.

zweite Methode 2.

Wenn ein Rechteck nur zwei Seiten hat, dann mit dem Satz des Pythagoras, Dreieck kann nach folgender Formel berechnet werden: P = v (a2 + b2) + a + b oder P = v (c2 - b2) + b + c.

der dritte Methode 3. Die Hypotenuse sei c und ein spitzer Winkel? Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist es möglich, den Umfang auf diese Weise zu finden: P = (1 + Sünde?

vierte Methode 4. Sie sagen, dass im rechtwinkligen Dreieck die Länge eines Beins gleich a ist und im Gegenteil einen spitzen Winkel hat. Dann rechnen Umfang Das Dreieck wird nach der Formel: P = a * (1 / tg?

1 / Sohn? + 1)

fünfte Methode 5.

Dreieck Online-Berechnung

Lassen Sie unser Bein führen und darin enthalten sein, dann wird die Reichweite berechnet als: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

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Der Satz des Pythagoras ist die Grundlage jeder Mathematik. Gibt die Beziehung zwischen den Seiten eines echten Dreiecks an. Nun gibt es 367 Beweise dieses Theorems.

Anweisungen

Erste Die klassische Schulformulierung des Satzes des Pythagoras klingt so: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Kathetenquadrate.

Um die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck aus zwei Catets zu finden, müssen Sie die Länge der Beine quadrieren, sie zusammensetzen und die Quadratwurzel der Summe ziehen. In der ursprünglichen Formulierung seiner Aussage basiert der Markt auf der Hypotenuse, gleich der Summe der Quadrate von 2 von Catete erzeugten Quadraten. Die moderne algebraische Formulierung erfordert jedoch nicht die Einführung einer Bereichsdarstellung.

zweite Zum Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Beine 7 cm und 8 cm lang sind.

Dann ist nach dem Satz des Pythagoras die quadratische Hypotenuse R + S = 49 + 64 = 113 cm Die Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel von 113.

Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Ergebnis war eine unangemessene Zahl.

der dritte Wenn die Dreiecke die Beine 3 und 4 sind, dann ist die Hypotenuse = 25 = 5. Wenn Sie die Quadratwurzel ziehen, erhalten Sie eine natürliche Zahl. Die Zahlen 3, 4, 5 bilden ein pygagoräisches Tripel, da sie die Beziehung x? +J? = Z, was natürlich ist.

Andere Beispiele für ein pythagoräisches Triplett sind: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

vierte Wenn die Beine in diesem Fall identisch sind, wird der Satz des Pythagoras zu einer primitiveren Gleichung. Lassen Sie zum Beispiel eine solche Hand gleich der Zahl A sein und die Hypotenuse ist für C definiert, und dann ist c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. In diesem Fall brauchen Sie A nicht.

fünfte Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall, der größer ist als der allgemeine Kosinussatz, der eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks für jeden Winkel zwischen zwei von ihnen herstellt.

Tipp 2: So bestimmen Sie die Hypotenuse für Beine und Winkel

Die Hypotenuse heißt die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt.

Anweisungen

Erste Bei bekannten Kathetern sowie einem spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Größe der Hypotenuse gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus / Sinus dieses Winkels sein, wenn der Winkel entgegengesetzt / e war: H = C1 (oder C2) / sin, H = C1 (oder С2 ?) / cos ?. Beispiel: Gegeben sei ABC ein unregelmäßiges Dreieck mit Hypotenuse AB und rechtem Winkel C.

Sei B 60 Grad und A 30 Grad. Die Länge des Stammes BC beträgt 8 cm, die Länge der Hypotenuse AB sollte gefunden werden. Dazu können Sie eine der oben genannten Methoden verwenden: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Die Hypotenuse ist die längste Seite des Rechtecks Dreieck. Es befindet sich im rechten Winkel. Methode zum Finden der Hypotenuse eines Rechtecks Dreieck abhängig von den Quelldaten.

Anweisungen

Erste Wenn Ihre Beine senkrecht stehen Dreieck, dann die Länge der Hypotenuse des Rechtecks Dreieck kann durch das pythagoreische Analogon gefunden werden - das Quadrat der Länge der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beinlängen: c2 = a2 + b2, wobei a und b die Länge der rechten Beine sind Dreieck .

zweite Wenn es bekannt ist und sich eines der Beine in einem spitzen Winkel befindet, hängt die Formel zum Auffinden der Hypotenuse von der Anwesenheit oder Abwesenheit in einem bestimmten Winkel in Bezug auf das bekannte Bein ab - benachbart (das Bein befindet sich in der Nähe) oder umgekehrt umgekehrt (der umgekehrte Fall befindet sich nego.V des angegebenen Winkels ist gleich dem Bruchbein Hypotenuse im Kosinuswinkel: a = a / cos; E, andererseits ist die Hypotenuse dasselbe wie das Verhältnis der Sinuswinkel: da = ein / Sünde.

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Ein abgewinkeltes Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 3:4:5 verbunden sind, wird als ägyptisches Delta bezeichnet, da diese Figuren von den Architekten des alten Ägypten häufig verwendet wurden.

Dies ist auch das einfachste Beispiel für Jerons Dreiecke, wobei Seiten und Fläche als ganze Zahlen dargestellt werden.

Ein Dreieck heißt Rechteck, dessen Winkel 90° beträgt. Die Seite gegenüber der rechten Ecke heißt Hypotenuse, die andere Seite heißt Beine.

Wenn Sie herausfinden möchten, wie ein rechtwinkliges Dreieck gebildet wird, verwenden Sie einige Eigenschaften regelmäßiger Dreiecke, nämlich die Tatsache, dass die Summe der spitzen Winkel 90 ° beträgt, was verwendet wird, und die Tatsache, dass die Länge des gegenüberliegenden Schenkels die Hälfte der Hypotenuse ist beträgt 30°.

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abgeschnittenes Dreieck

Eine der Eigenschaften eines gleichen Dreiecks ist, dass seine beiden Winkel gleich sind.

Um den Winkel eines rechtwinkligen gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, müssen Sie Folgendes wissen:

• Es ist nicht schlechter als 90°.
• Die Werte der spitzen Winkel werden durch die Formel bestimmt: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, d.h.

  Die Winkel α und β betragen 45°.

Wenn der bekannte Wert eines der spitzen Winkel bekannt ist, kann der andere mit der Formel gefunden werden: β = 180º-90º-α oder α = 180º-90º-β.

Dieses Verhältnis wird am häufigsten verwendet, wenn einer der Winkel 60° oder 30° beträgt.

Schlüssel Konzepte

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

Da es sich um eine Ebene handelt, bleiben zwei scharf.

Dreieck online berechnen

Wenn Sie sie finden möchten, müssen Sie Folgendes wissen:

andere Methoden

Die spitzen Winkelwerte eines rechtwinkligen Dreiecks können aus dem Mittelwert – bei einer Linie von einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks und der Höhe – berechnet werden, wobei die Linie eine Senkrechte ist, die im rechten Winkel von der Hypotenuse gezogen wird.

Der Median soll sich von der rechten Ecke bis zur Mitte der Hypotenuse erstrecken und h sei die Höhe. In diesem Fall stellt sich heraus:

• sinα = b / (2 * s); Sünde β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; Sünde β = h / a.

Zwei Seiten

Wenn die Längen der Hypotenuse und eines der Beine in einem rechtwinkligen Dreieck oder von zwei Seiten bekannt sind, werden trigonometrische Identitäten verwendet, um die Werte spitzer Winkel zu bestimmen:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=Arcos(b/c), β=Arcos(a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Länge eines rechtwinkligen Dreiecks

Fläche und Fläche eines Dreiecks

Umfang

Der Umfang jedes Dreiecks ist gleich der Summe der Längen der drei Seiten. Die allgemeine Formel zum Finden eines dreieckigen Dreiecks lautet:

wobei P der Umfang des Dreiecks ist, a, b und c seine Seiten sind.

Umfang eines gleich großen Dreiecks kann durch sukzessives Kombinieren der Seitenlängen oder durch Multiplizieren der Seitenlänge mit 2 und Addieren der Basislänge zum Produkt ermittelt werden.

Die allgemeine Formel zum Finden eines Gleichgewichtsdreiecks sieht folgendermaßen aus:

wobei P der Umfang eines gleichen Dreiecks ist, aber entweder b, b die Basis sind.

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks kann durch sukzessives Kombinieren der Seitenlängen oder durch Multiplizieren der Länge einer beliebigen Seite mit 3 ermittelt werden.

Die allgemeine Formel zum Ermitteln des Randes gleichseitiger Dreiecke würde folgendermaßen aussehen:

wobei P der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ist, a eine seiner Seiten ist.

Region

Wenn Sie die Fläche eines Dreiecks messen möchten, können Sie es mit einem Parallelogramm vergleichen. Betrachten Sie das Dreieck ABC:

Wenn wir dasselbe Dreieck nehmen und es so fixieren, dass wir ein Parallelogramm erhalten, erhalten wir ein Parallelogramm mit derselben Höhe und Basis wie dieses Dreieck:

In diesem Fall wird die gemeinsame Seite der Dreiecke entlang der Diagonalen des geformten Parallelogramms zusammengefaltet.

Aus den Eigenschaften eines Parallelogramms. Es ist bekannt, dass die Diagonalen eines Parallelogramms immer in zwei gleiche Dreiecke geteilt werden, dann ist die Fläche jedes Dreiecks gleich der halben Reichweite des Parallelogramms.

Da die Fläche des Parallelogramms das Produkt seiner Basishöhe ist, ist die Fläche des Dreiecks die Hälfte dieses Produkts. Für ΔABC ist die Fläche also dieselbe

Betrachten Sie nun ein rechtwinkliges Dreieck:

Zwei identische rechtwinklige Dreiecke können zu einem Rechteck gebogen werden, wenn man sich an sie lehnt, was jede andere Hypotenuse ist.

Da die Oberfläche des Rechtecks ​​​​mit der Oberfläche der angrenzenden Seiten zusammenfällt, ist die Fläche dieses Dreiecks gleich:

Daraus können wir schließen, dass die Oberfläche jedes rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Produkt der Schenkel geteilt durch 2 ist.

Aus diesen Beispielen können wir schließen, dass die Oberfläche jedes Dreiecks gleich dem Produkt der Länge ist und die Höhe auf die Basis geteilt durch 2 reduziert wird.

Die allgemeine Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks würde folgendermaßen aussehen:

wobei S die Fläche des Dreiecks ist, aber seine Basis, aber die Höhe fällt auf den Boden a.