Lektion aus der Reihe "Geometrische Algorithmen"

Hallo lieber Leser!

Heute werden wir anfangen, Algorithmen zu lernen, die sich auf Geometrie beziehen. Tatsache ist, dass es in der Informatik ziemlich viele Olympiade-Probleme im Zusammenhang mit Computergeometrie gibt und die Lösung solcher Probleme oft Schwierigkeiten bereitet.

In einigen Lektionen werden wir eine Reihe elementarer Teilprobleme betrachten, auf denen die Lösung der meisten Probleme der Computergeometrie basiert.

In dieser Lektion schreiben wir ein Programm für Finden der Geradengleichung durch das Gegebene gehen zwei Punkte. Um geometrische Probleme zu lösen, benötigen wir einige Kenntnisse der Computergeometrie. Wir werden einen Teil der Lektion darauf verwenden, sie kennenzulernen.

Informationen aus der Computergeometrie

Computational Geometry ist ein Zweig der Informatik, der Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme untersucht.

Die Anfangsdaten für solche Probleme können eine Reihe von Punkten auf der Ebene, eine Reihe von Segmenten, ein Polygon (gegeben zum Beispiel durch eine Liste seiner Eckpunkte im Uhrzeigersinn) usw. sein.

Das Ergebnis kann entweder eine Antwort auf eine Frage sein (z. B. gehört ein Punkt zu einem Segment, schneiden sich zwei Segmente, ...) oder ein geometrisches Objekt (z. B. das kleinste konvexe Polygon, das gegebene Punkte verbindet, die Fläche von ein Polygon usw.) .

Wir werden Probleme der Computergeometrie nur in der Ebene und nur im kartesischen Koordinatensystem betrachten.

Vektoren und Koordinaten

Um die Methoden der Computergeometrie anzuwenden, ist es notwendig, geometrische Bilder in die Sprache der Zahlen zu übersetzen. Wir nehmen an, dass auf der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem gegeben ist, in dem die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn als positiv bezeichnet wird.

Nun erhalten geometrische Objekte einen analytischen Ausdruck. Um also einen Punkt festzulegen, reicht es aus, seine Koordinaten anzugeben: ein Zahlenpaar (x; y). Ein Segment kann durch Angabe der Koordinaten seiner Enden angegeben werden, eine gerade Linie kann durch Angabe der Koordinaten eines Paars ihrer Punkte angegeben werden.

Aber das Hauptwerkzeug zur Lösung von Problemen werden Vektoren sein. Lassen Sie mich Sie daher an einige Informationen über sie erinnern.

Liniensegment AB, was einen Sinn hat ABER betrachtet den Anfang (Anwendungspunkt) und den Punkt BEI- Das Ende wird als Vektor bezeichnet AB und bezeichnen entweder , oder fett Kleinbuchstaben, zum Beispiel a .

Um die Länge eines Vektors (d. h. die Länge des entsprechenden Segments) anzugeben, verwenden wir das Modulsymbol (z. B. ).

Ein beliebiger Vektor hat Koordinaten, gleiche Unterschiede entsprechende Koordinaten seines Endes und Anfangs:

,

Punkte hier EIN und B Koordinaten haben beziehungsweise.

Für Berechnungen verwenden wir das Konzept orientierten Winkel, also ein Winkel, der die relative Position der Vektoren berücksichtigt.

Orientierter Winkel zwischen Vektoren a und b positiv, wenn die Drehung vom Vektor weg ist a zum Vektor b erfolgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) und negativ im anderen Fall. Siehe Abb.1a, Abb.1b. Es wird auch gesagt, dass ein Paar von Vektoren a und b positiv (negativ) orientiert.

Somit hängt der Wert des orientierten Winkels von der Reihenfolge der Aufzählung der Vektoren ab und kann Werte im Intervall annehmen.

Viele Computergeometrieprobleme verwenden das Konzept von Vektorprodukten (schräg oder pseudoskalar) von Vektoren.

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist das Produkt der Längen dieser Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen ihnen:

.

Vektorprodukt von Vektoren in Koordinaten:

Der rechte Ausdruck ist eine Determinante zweiter Ordnung:

Im Gegensatz zur Definition in der analytischen Geometrie ist dies ein Skalar.

Das Vorzeichen des Kreuzprodukts bestimmt die Lage der Vektoren zueinander:

a und b positiv orientiert.

Wenn der Wert ist, dann das Vektorpaar a und b negativ orientiert.

Das Kreuzprodukt von Vektoren ungleich Null ist genau dann Null, wenn sie kollinear sind ( ). Das bedeutet, dass sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen.

Betrachten wir einige einfache Aufgaben, die zur Lösung komplexerer Aufgaben erforderlich sind.

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie durch die Koordinaten zweier Punkte definieren.

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei verschiedene Punkte verläuft, die durch ihre Koordinaten gegeben sind.

Auf der Geraden seien zwei nicht übereinstimmende Punkte gegeben: mit Koordinaten (x1;y1) und mit Koordinaten (x2;y2). Dementsprechend hat der Vektor mit dem Anfang am Punkt und dem Ende am Punkt Koordinaten (x2-x1, y2-y1). Wenn P(x, y) ein beliebiger Punkt auf unserer Linie ist, dann sind die Koordinaten des Vektors (x-x1, y - y1).

Mit Hilfe des Kreuzprodukts lässt sich die Bedingung für die Kollinearität der Vektoren und wie folgt schreiben:

Diese. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Wir schreiben die letzte Gleichung wie folgt um:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Die Gerade kann also durch eine Gleichung der Form (1) gegeben werden.

Aufgabe 1. Die Koordinaten zweier Punkte sind gegeben. Finde seine Darstellung in der Form ax + by + c = 0.

In dieser Lektion haben wir einige Informationen aus der Computergeometrie kennengelernt. Wir haben das Problem gelöst, die Geradengleichung durch die Koordinaten zweier Punkte zu finden.

In der nächsten Lektion werden wir ein Programm schreiben, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, die durch unsere Gleichungen gegeben sind.

Gegeben seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2). Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in der Form (5), wobei k noch unbekannter Koeffizient:

Seit dem Punkt M 2 zu einer gegebenen Linie gehört, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung (5): . Wenn wir es hier ausdrücken und in Gleichung (5) einsetzen, erhalten wir die gewünschte Gleichung:

Wenn ein Diese Gleichung lässt sich in eine leichter zu merkende Form umschreiben:

(6)

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte M 1 (1,2) und M 2 (-2,3) verläuft.

Lösung. . Unter Verwendung der Proportionseigenschaft und der Durchführung der erforderlichen Transformationen erhalten wir die allgemeine Geradengleichung:

Winkel zwischen zwei Geraden

Betrachten Sie zwei Zeilen l 1 und l 2:

l 1: , , und

l 2: , ,

φ ist der Winkel zwischen ihnen (). Abbildung 4 zeigt: .

Von hier , oder

Mit Formel (7) kann einer der Winkel zwischen den Linien bestimmt werden. Der zweite Winkel ist .

Beispiel. Durch die Gleichungen y=2x+3 und y=-3x+2 sind zwei Geraden gegeben. Finden Sie den Winkel zwischen diesen Linien.

Lösung. Aus den Gleichungen ist ersichtlich, dass k 1 \u003d 2 und k 2 \u003d-3. Setzen wir diese Werte in Formel (7) ein, finden wir

. Der Winkel zwischen diesen Linien ist also .

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden

Wenn gerade l 1 und l 2 sind dann parallel φ=0 und tgφ=0. aus Formel (7) folgt , woraus k2 \u003d k1. Die Bedingung für die Parallelität zweier Geraden ist also die Gleichheit ihrer Steigungen.

Wenn gerade l 1 und l 2 dann senkrecht φ=π/2, &agr; 2 = &pgr;/2 + &agr; 1 . . Die Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden ist also, dass ihre Steigungen reziprok im Betrag und entgegengesetzt im Vorzeichen sind.

Abstand von Punkt zu Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, ist der Abstand zur Linie Ax + Vy + C \u003d 0 definiert als

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M auf die gegebene Linie fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 finden sich als Lösung des Gleichungssystems:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen geraden Linie verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Wir finden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, daher sind die Linien senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) sind gegeben. Finden Sie die Gleichung für die vom Scheitelpunkt C gezogene Höhe.

Wir finden die Seitengleichung AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Die gesuchte Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k= . Dann ist y = . Da Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woher b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die von dem Punkt zu der Linie fallen gelassen wird.

Wenn die Linie parallel zur Projektionsebene ist (h | | P 1), dann um die Entfernung vom Punkt zu bestimmen ABER zu gerade h Es ist notwendig, eine Senkrechte vom Punkt fallen zu lassen ABER zur Waagerechten h.

Überlegen Sie mehr komplexes Beispiel wenn die Leitung besetzt ist allgemeine Stellung. Lassen Sie es notwendig sein, die Entfernung von dem Punkt zu bestimmen M zu gerade a allgemeine Stellung.

Definitionsaufgabe Abstände zwischen parallelen Linienähnlich wie die vorherige gelöst. Ein Punkt wird auf einer Linie genommen und eine Senkrechte von ihm zu einer anderen Linie gezogen. Die Länge der Senkrechten ist gleich dem Abstand zwischen den Parallelen.

Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie, die durch eine Gleichung zweiten Grades in Bezug auf die aktuellen kartesischen Koordinaten definiert ist. Im allgemeinen Fall Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

wobei A, B, C, D, E, F reelle Zahlen sind und mindestens eine der Zahlen A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ist.

Kreis

Kreismitte- Dies ist der Ort der Punkte in der Ebene, die vom Punkt der Ebene C (a, b) gleich weit entfernt sind.

Der Kreis ist durch die folgende Gleichung gegeben:

Wo x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis sind, ist R der Radius des Kreises.

Vorzeichen der Kreisgleichung

1. Es gibt keinen Term mit x, y

2. Koeffizienten bei x 2 und y 2 sind gleich

Ellipse

Ellipse der Ort der Punkte in einer Ebene heißt, die Summe der Abstände von jedem von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene heißt Brennpunkte (konstanter Wert).

Kanonische Gleichung einer Ellipse:

X und y gehören zu einer Ellipse.

a ist die große Halbachse der Ellipse

b ist die kleine Halbachse der Ellipse

Die Ellipse hat 2 Symmetrieachsen OX und OY. Die Symmetrieachsen der Ellipse sind ihre Achsen, ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Achse, auf der sich die Brennpunkte befinden, wird genannt Fokusachse. Der Schnittpunkt der Ellipse mit den Achsen ist der Scheitelpunkt der Ellipse.

Kompressions- (Dehnungs-) Verhältnis: ε = c/a- Exzentrizität (charakterisiert die Form der Ellipse), je kleiner sie ist, desto weniger wird die Ellipse entlang der Brennachse verlängert.

Wenn die Mittelpunkte der Ellipse nicht im Mittelpunkt liegen С(α, β)

Hyperbel

Hyperbel Ort von Punkten in einer Ebene genannt, der Absolutwert der Differenz der Entfernungen, von denen jede von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Brennpunkte, ein konstanter Wert ist, der von Null verschieden ist.

Kanonische Gleichung einer Hyperbel

Eine Hyperbel hat 2 Symmetrieachsen:

a - echte Symmetriehalbachse

b - imaginäre Halbachse der Symmetrie

Asymptoten einer Hyperbel:

Parabel

Parabel ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt F, genannt Brennpunkt, und einer gegebenen Linie, genannt Leitlinie, gleich weit entfernt sind.

Kanonische Parabelgleichung:

Y 2 \u003d 2px, wobei p der Abstand vom Fokus zur Leitlinie ist (Parabelparameter)

Wenn der Scheitelpunkt der Parabel C (α, β) ist, dann ist die Gleichung der Parabel (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Wenn die Fokusachse als y-Achse genommen wird, hat die Parabelgleichung die Form: x 2 \u003d 2qy

Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist gerade. Normaler Vektor

Eine gerade Linie in einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Formen, die Ihnen seit Grundschulklassen vertraut ist, und heute lernen wir, mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umzugehen. Um das Material zu beherrschen, ist es notwendig, eine gerade Linie bauen zu können; wissen, welche Gleichung eine Gerade definiert, insbesondere eine Gerade durch den Ursprung und Geraden parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für matan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion ist sehr gelungen und ausführlich geworden. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch dort erstmal auf. Darüber hinaus müssen Sie haben Grundwissen um Vektoren andernfalls wird das Verständnis des Materials unvollständig sein.

In dieser Lektion werden wir uns ansehen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene schreiben können. Ich empfehle Ihnen, praktische Beispiele (auch wenn es sehr einfach erscheint) nicht zu vernachlässigen, da ich sie mit elementaren und praktischen Beispielen versorgen werde wichtige Fakten, technische Methoden, die zukünftig auch in anderen Bereichen der höheren Mathematik benötigt werden.

• Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?
• Wie ?
• Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?
• Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?

und wir beginnen:

Liniengleichung mit Steigung

Die bekannte "Schul"-Form der Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit Neigungsfaktor . Wenn zum Beispiel eine Gerade durch die Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung: . In Betracht ziehen geometrische bedeutung gegebener Koeffizient und wie sich sein Wert auf die Position der Linie auswirkt:

Im Laufe der Geometrie wird das bewiesen die Steigung der Geraden ist Tangens eines Winkels zwischen positiver Achsrichtungund gegebene Linie: , und die Ecke wird gegen den Uhrzeigersinn „abgeschraubt“.

Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich Winkel für nur zwei gerade Linien gezeichnet. Betrachten Sie die "rote" Gerade und ihre Steigung. Entsprechend dem Obigen: (Winkel "Alpha" wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die „blaue“ Gerade mit der Steigung gilt Gleichheit (der Winkel „beta“ ist durch den braunen Bogen angedeutet). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, dann ist er notfalls leicht zu finden und die Ecke mit der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie sie sagen, eine trigonometrische Tabelle oder einen Taschenrechner in der Hand. Auf diese Weise, die Steigung charakterisiert den Grad der Neigung der Geraden zur x-Achse.

Dabei sind folgende Fälle möglich:

1) Wenn die Steigung negativ ist: , dann verläuft die Gerade grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind "blaue" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.

2) Wenn die Steigung positiv ist: , dann verläuft die Gerade von unten nach oben. Beispiele sind "schwarze" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.

3) Wenn die Steigung gleich Null ist: , dann hat die Gleichung die Form , und die entsprechende Linie ist parallel zur Achse. Ein Beispiel ist die "gelbe" Linie.

4) Für eine Familie von geraden Linien parallel zur Achse (es gibt kein Beispiel in der Zeichnung, außer der Achse selbst), die Steigung existiert nicht (Tangens von 90 Grad nicht definiert).

Je größer der Steigungsmodulo ist, desto steiler wird das Liniendiagramm.

Stellen Sie sich beispielsweise zwei gerade Linien vor. Hier hat also die Gerade eine steilere Steigung. Ich erinnere Sie daran, dass Sie mit dem Modul das Zeichen ignorieren können, an dem wir nur interessiert sind absolute Werte Winkelkoeffizienten.

Eine gerade Linie ist wiederum steiler als gerade Linien. .

Umgekehrt gilt: Je kleiner der Steigungsmodulo, desto flacher ist die Gerade.

Für gerade Linien die Ungleichung ist wahr, also ist die gerade Linie mehr als ein Baldachin. Kinderrutsche, um keine blauen Flecken und Beulen zu pflanzen.

Warum wird das benötigt?

Verlängern Sie Ihre Qual Wenn Sie die oben genannten Fakten kennen, können Sie Ihre Fehler sofort erkennen, insbesondere Fehler beim Zeichnen von Diagrammen - wenn sich herausstellte, dass „eindeutig etwas nicht stimmt“. Es ist wünschenswert, dass Sie sofort Es war klar, dass zum Beispiel eine gerade Linie sehr steil ist und von unten nach oben geht, und eine gerade Linie sehr flach ist, nahe an der Achse liegt und von oben nach unten geht.

Bei geometrischen Problemen erscheinen oft mehrere gerade Linien, daher ist es praktisch, sie irgendwie zu bezeichnen.

Notation: gerade Linien werden durch klein angezeigt mit lateinischen Buchstaben: . Eine beliebte Option ist die Bezeichnung desselben Buchstabens mit natürlichen Indizes. Beispielsweise können die gerade betrachteten fünf Linien mit bezeichnet werden .

Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie durch diese Punkte bezeichnet werden: usw. Die Notation impliziert ganz offensichtlich, dass die Punkte zur Linie gehören.

Zeit etwas aufzulockern:

Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?

Wenn ein Punkt bekannt ist, der zu einer bestimmten Linie gehört, und die Steigung dieser Linie, dann wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 1

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung auf, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Lösung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen . In diesem Fall:

Antworten:

Untersuchung elementar durchgeführt. Zuerst sehen wir uns die resultierende Gleichung an und vergewissern uns, dass unsere Steigung an ihrem Platz ist. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes die gegebene Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wird erreicht, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Fazit: Gleichung richtig gefunden.

Ein kniffligeres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass ihr Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse ist und der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Wenn Sie Probleme haben, lesen Sie erneut theoretischer Stoff. Genauer gesagt, praktischer, ich vermisse viele Beweise.

klingelte letzter Aufruf, der Abschlussball ist nach unten gestorben, und vor den Toren Schule zu Hause wir warten tatsächlich auf die analytische Geometrie. Witze sind vorbei... Vielleicht fängt es gerade erst an =)

Nostalgisch schwenken wir den Griff zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Geradengleichung vertraut. Denn in der analytischen Geometrie wird genau das verwendet:

Die allgemeine Geradengleichung hat die Form: , wo sind einige Zahlen. Gleichzeitig die Koeffizienten gleichzeitig nicht gleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.

Lassen Sie uns einen Anzug anziehen und eine Gleichung mit einer Steigung binden. Zuerst verschieben wir alle Terme auf die linke Seite:

Der Begriff mit „x“ muss an erster Stelle stehen:

Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form , aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Terms (in diesem Fall ) positiv sein. Vorzeichen wechseln:

Merk dir das technisches Merkmal! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!

In der analytischen Geometrie wird fast immer die Geradengleichung angegeben generelle Form. Nun, bei Bedarf ist es einfach, es in eine „Schulform“ mit Neigung zu bringen (mit Ausnahme von geraden Linien parallel zur y-Achse).

Fragen wir uns was genügend Weißt du, wie man eine gerade Linie baut? Zwei Punkte. Aber über diesen Kindheitsfall später, klebt jetzt mit Pfeilen die Regel. Jede gerade Linie hat eine genau definierte Steigung, an die sie sich leicht „anpassen“ kann Vektor.

Ein Vektor, der parallel zu einer Geraden verläuft, heißt Richtungsvektor dieser Geraden.. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - es spielt keine Rolle).

Ich bezeichne den Richtungsvektor wie folgt: .

Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu bilden, der Vektor ist frei und hängt an keinem Punkt der Ebene. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zu der Linie gehört.

Wie schreibt man eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor?

Wenn ein bestimmter Punkt, der zu der Linie gehört, und der Richtungsvektor dieser Linie bekannt sind, kann die Gleichung dieser Linie durch die Formel aufgestellt werden:

Manchmal heißt es Kanonische Geradengleichung .

Was ist wann zu tun eine der Koordinaten Null ist, werden wir uns im Folgenden mit praktischen Beispielen befassen. Beachten Sie übrigens - beides auf einmal Koordinaten können nicht Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung vorgibt.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor

Lösung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen. In diesem Fall:

Unter Verwendung der Proportionseigenschaften werden wir Brüche los:

Und wir bringen die Gleichung auf Gesamtansicht:

Antworten:

Das Einzeichnen solcher Beispiele ist in der Regel nicht erforderlich, dient jedoch dem Verständnis:

In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem Punkt der Ebene verschoben werden) und die konstruierte Linie. Übrigens wird die Konstruktion einer Geraden in vielen Fällen am bequemsten mit der Steigungsgleichung durchgeführt. Unsere Gleichung lässt sich leicht in die Form umwandeln und nimmt problemlos einen weiteren Punkt auf, um eine Gerade zu bilden.

Wie zu Beginn des Abschnitts erwähnt, hat eine Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und sie sind alle kollinear. Zum Beispiel habe ich drei solcher Vektoren gezeichnet: . Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis ist immer dieselbe Geradengleichung.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Richtungsvektor auf:

Aufschlüsselung des Anteils:

Teilen Sie beide Seiten durch -2 und erhalten Sie die bekannte Gleichung:

Wer möchte, kann auf ähnliche Weise Vektoren testen oder irgendein anderer kollinearer Vektor.

Lösen wir nun das Umkehrproblem:

Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?

Sehr einfach:

Ist durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben, so ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Geraden.

Beispiele zum Finden von Richtungsvektoren von Geraden:

Die Aussage erlaubt uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Menge zu finden, aber wir brauchen nicht mehr. Obwohl es in einigen Fällen ratsam ist, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:

Die Gleichung gibt also eine gerade Linie an, die parallel zur Achse ist, und die Koordinaten des resultierenden Lenkvektors werden bequem durch -2 geteilt, wodurch genau der Basisvektor als Lenkvektor erhalten wird. Logisch.

In ähnlicher Weise definiert die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse, und wenn wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir den Ort als Richtungsvektor.

Lassen Sie uns jetzt ausführen siehe Beispiel 3. Das Beispiel ging nach oben, also erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie mit einem Punkt und einem Richtungsvektor aufgestellt haben

Erstens, stellen wir gemäß der Gleichung einer geraden Linie ihren Richtungsvektor wieder her: - alles in Ordnung, wir haben den Originalvektor (in einigen Fällen kann es sich herausstellen, dass er kollinear zum Originalvektor ist, was normalerweise leicht an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten zu erkennen ist).

Zweitens, müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen . Wir setzen sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wurde erreicht, was uns sehr freut.

Fazit: Job korrekt abgeschlossen.

Beispiel 4

Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es ist sehr wünschenswert, eine Überprüfung gemäß dem gerade betrachteten Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie immer (wenn möglich) einen Entwurf zu überprüfen. Es ist dumm, Fehler zu machen, wo sie zu 100 % vermieden werden können.

Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, ist es sehr einfach zu tun:

Beispiel 5

Lösung: Die Formel ist ungültig, da der Nenner auf der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Unter Verwendung der Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um, und der Rest rollt entlang einer tiefen Furche:

Antworten:

Untersuchung:

1) Stellen Sie den Richtungsvektor der Geraden wieder her:
– der resultierende Vektor ist kollinear zum ursprünglichen Richtungsvektor.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes in der Gleichung:

Die korrekte Gleichheit wird erhalten

Fazit: Auftrag korrekt abgeschlossen

Es stellt sich die Frage, warum sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die sowieso funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Zuerst die Bruchformel viel besser zu merken. Und zweitens ist das der Nachteil der Universalformel deutlich erhöhte Verwechslungsgefahr beim Ersetzen von Koordinaten.

Beispiel 6

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor gegeben sind.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Kommen wir zurück zu den allgegenwärtigen zwei Punkten:

Wie schreibe ich die Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten?

Wenn zwei Punkte bekannt sind, kann die Gleichung einer durch diese Punkte verlaufenden Geraden mit der Formel erstellt werden:

Tatsächlich ist dies eine Art Formel, und zwar aus folgendem Grund: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies wir betrachten die einfachste Aufgabe– wie man die Koordinaten eines Vektors von zwei Punkten aus findet. Nach diesem Problem sind die Koordinaten des Richtungsvektors:

Notiz : Punkte können "getauscht" werden und die Formel verwenden . Eine solche Entscheidung wäre gleich.

Beispiel 7

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten .

Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Wir kämmen die Nenner:

Und mische das Deck:

Jetzt ist die Zeit loszuwerden Bruchzahlen. In diesem Fall müssen Sie beide Teile mit 6 multiplizieren:

Öffnen Sie die Klammern und erinnern Sie sich an die Gleichung:

Antworten:

Untersuchung ist offensichtlich - die Koordinaten der Anfangspunkte müssen die resultierende Gleichung erfüllen:

1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

Fazit: Die Geradengleichung ist richtig.

Wenn ein mindestens ein von Punkten die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach einem Fehler.

Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, weil man eine Linie baut und sieht, ob die Punkte dazu gehören , nicht so einfach.

Ich werde ein paar technische Punkte der Lösung anmerken. Vielleicht ist es bei diesem Problem vorteilhafter, die Spiegelformel zu verwenden und für die gleichen Punkte eine gleichung aufstellen:

Es gibt weniger Brüche. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende vervollständigen, das Ergebnis sollte die gleiche Gleichung sein.

Der zweite Punkt ist, sich die endgültige Antwort anzusehen und zu sehen, ob sie weiter vereinfacht werden kann? Wenn beispielsweise eine Gleichung erhalten wird, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: - Die Gleichung wird dieselbe gerade Linie festlegen. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema gegenseitige Anordnung von Geraden.

Nachdem ich eine Antwort erhalten habe In Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Kürzungen jedoch während der Lösung vorgenommen.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht .

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, die es Ihnen nur ermöglicht, die Berechnungstechnik besser zu verstehen und zu erarbeiten.

Ähnlich wie im vorherigen Absatz: if in der Formel einer der Nenner (Richtungsvektorkoordinate) verschwindet, dann schreiben wir ihn um als . Und wieder, beachte, wie unbeholfen und verwirrt sie aussah. Ich sehe nicht viel Sinn darin, praktische Beispiele zu geben, da wir ein solches Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).

Gerade Normalenvektor (Normalenvektor)

Was ist normal? In einfachen Worten, die Normale ist die Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf der gegebenen Geraden. Es ist offensichtlich, dass jede gerade Linie unendlich viele davon hat (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (kodirektional oder nicht - es spielt keine Rolle).

Der Umgang mit ihnen wird noch einfacher als mit Richtungsvektoren:

Wenn durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben ist, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Geraden.

Wenn die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden müssen, können die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“ werden.

Der Normalenvektor steht immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Wir werden die Orthogonalität dieser Vektoren mit überprüfen Skalarprodukt:

Ich werde Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor geben:

Ist es möglich, eine Geradengleichung zu schreiben, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Es fühlt sich an, als wäre es möglich. Ist der Normalenvektor bekannt, so ist auch die Richtung der geradesten Linie eindeutig bestimmt – das ist ein „starres Gebilde“ mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?

Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Linie bekannt sind, wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:

Hier lief alles ohne Brüche und sonstige Überraschungen. Das ist unser normaler Vektor. Liebe es. Und Respekt =)

Beispiel 9

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.

Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Die allgemeine Gleichung der geraden Linie wird erhalten, prüfen wir:

1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: - Ja, tatsächlich, der ursprüngliche Vektor wird aus der Bedingung erhalten (oder der Vektor sollte kollinear zum ursprünglichen Vektor sein).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichberechtigung.

Nachdem wir uns von der Richtigkeit der Gleichung überzeugt haben, erledigen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe. Wir ziehen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antworten:

In der Zeichnung ist die Situation wie folgt:

Zu Trainingszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 10

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.

Der letzte Abschnitt der Lektion widmet sich weniger verbreiteten, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form , wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, z. B. direkte Proportionalität (da der freie Term Null ist und es keine Möglichkeit gibt, einen auf die rechte Seite zu bringen).

Dies ist, bildlich gesprochen, eine "technische" Art von Gleichung. Die übliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung als Streckengleichung darzustellen. Warum ist es bequem? Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten ermöglicht es Ihnen, schnell die Schnittpunkte einer geraden Linie mit Koordinatenachsen zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das „y“ zurück und die Gleichung nimmt die Form an. Angestrebte Stelle automatisch erhalten: .

Dasselbe mit der Achse ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet.

Die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum sind Gleichungen, die eine gerade Linie definieren, die durch einen gegebenen Punkt kollinear zu einem Richtungsvektor verläuft.

Gegeben sei ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, also die Bedingung erfüllen:

.

Die obigen Gleichungen sind Kanonische Gleichungen gerade.

Zahlen m , n und p sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor nicht Null ist, dann alle Zahlen m , n und p kann nicht gleichzeitig Null sein. Aber ein oder zwei von ihnen können sein Null. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Notation erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf die Achsen Ey und Unze gleich Null sind. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen gegebene Gerade senkrecht zu den Achsen Ey und Unze, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1 Stellen Sie Gleichungen einer geraden Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene auf und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Unze .

Lösung. Finden Sie den Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze. Da jeder Punkt auf der Achse Unze, hat dann Koordinaten , vorausgesetzt, in der gegebenen Gleichung der Ebene x=y= 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 bzw z= 2 . Also der Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gesuchte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden dienen Flugzeug gegeben.

Jetzt schreiben wir die gewünschten Gleichungen der Geraden, die durch den Punkt geht EIN= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors :

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden und Dabei kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Linie die Form an

.

Die obigen Gleichungen definieren eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Wir schreiben die gewünschten Gleichungen der Geraden in der oben im theoretischen Nachschlagewerk angegebenen Form:

.

Da , dann ist die gesuchte Linie senkrecht zur Achse Ey .

Gerade als Schnittlinie von Ebenen

Eine gerade Linie im Raum kann als Schnittlinie zweier nicht paralleler Ebenen definiert werden, d.h. als eine Menge von Punkten, die ein System von zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch genannt allgemeine Gleichungen Gerade im Raum.

Beispiel 3 Stellen Sie kanonische Gleichungen einer geraden Linie in dem durch allgemeine Gleichungen gegebenen Raum auf

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie oder, was dasselbe ist, die Gleichung einer geraden Linie zu schreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen Sie die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten auf der geraden Linie finden. Dies können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene yOz hat eine Abszisse x= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem angenommen x= 0 erhalten wir ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit x= 0 definiert einen Punkt EIN(0; 2; 6) der gewünschten Zeile. Geht man dann in das gegebene Gleichungssystem ein j= 0 erhalten wir das System

Ihre Entscheidung x = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Jetzt schreiben wir die Gleichungen einer geraden Linie, die durch die Punkte geht EIN(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Die Gerade soll durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k In Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 \u003d x 2, dann ist die gerade Linie, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, parallel zur y-Achse. Seine Gleichung ist x = x 1 .

Wenn y 2 \u003d y I, dann kann die Gleichung der geraden Linie geschrieben werden als y \u003d y 1, die gerade Linie M 1 M 2 ist parallel zur x-Achse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die gerade Linie die Ox-Achse am Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - am Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
diese.
. Diese Gleichung heißt die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, weil die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Gerade auf den Koordinatenachsen abschneidet.

Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B) verläuft.

Nimm einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachte den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B) senkrecht zur Geraden heißt normal Normalenvektor dieser Linie .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C \u003d -Ax o - Vu o - freies Mitglied. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb.2).

Abb.1 Abb.2

Kanonische Gleichungen der Geraden

,

Wo
sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und
- Richtungsvektor.

Kurven zweiter Ordnung Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Kanonische Gleichung eines Radiuskreises R auf einen Punkt zentriert
:

Wenn insbesondere der Mittelpunkt des Einsatzes mit dem Ursprung zusammenfällt, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten und , die Foci genannt werden, ist ein konstanter Wert
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Ursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
G de a die Länge der großen Halbachse; b ist die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).