Viertel des Kosinus des Sinus des Tangens. trigonometrischer Kreis. Grundwerte trigonometrischer Funktionen

11.10.2019

Wenn Sie sich bereits auskennen trigonometrischer Kreis , und du möchtest nur einzelne Elemente in deinem Gedächtnis auffrischen, oder bist ganz ungeduldig, dann ist es hier, :

Hier werden wir Schritt für Schritt alles im Detail analysieren.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele sind mit einem unpassierbaren Dickicht verbunden. So viele Bedeutungen häufen sich plötzlich trigonometrische Funktionen, so viele Formeln ... Aber es ist so, - es hat zuerst nicht geklappt, und ... ab und zu ... reines Missverständnis ...

Es ist sehr wichtig, nicht mit der Hand zu winken Werte trigonometrischer Funktionen,- Sie sagen, Sie können sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf die Tabelle mit den Werten trigonometrischer Formeln schauen, lassen Sie uns diese Angewohnheit los!

Wird uns retten! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann taucht es von selbst in Ihrem Kopf auf. Warum ist es besser als ein Tisch? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber auf dem Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel: Betrachten Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was der Sinus von beispielsweise 300 Grad oder -45 ist.

Auf keinen Fall? .. Sie können sich natürlich verbinden Reduktionsformeln... Und wenn man sich den trigonometrischen Kreis ansieht, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen ohne trigonometrischen Kreis - nirgendwo.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Lass uns der Reihe nach gehen.

Schreiben Sie zunächst folgende Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und zu guter Letzt dieses:

Natürlich ist klar, dass an erster Stelle, an zweiter Stelle und an letzter Stelle -. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön es geworden ist! In diesem Fall stellen wir diese „wunderbare Leiter“ wieder her.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette ist die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Quartal.

Lassen Sie uns einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechteckigen Koordinatensystem zeichnen (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius entlang der Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Vom „0-Start“-Balken legen wir in Pfeilrichtung (siehe Abb.) Ecken ab.

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragst du?

Nehmen wir nicht alles auseinander. Prüfen Prinzip, die es Ihnen ermöglichen, mit anderen, ähnlichen Situationen fertig zu werden.

Dreieck AOB ist ein rechtwinkliges Dreieck mit . Und wir wissen, dass dem Winkel bei ein Bein gegenüberliegt, das doppelt so klein ist wie die Hypotenuse (unsere Hypotenuse = der Radius des Kreises, also 1).

Daher AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras

Ich hoffe, jetzt ist etwas klar.

Punkt B entspricht also dem Wert und Punkt M entspricht dem Wert

Ähnlich verhält es sich mit den restlichen Werten des ersten Quartals.

Wie Sie verstehen, wird die uns bekannte Achse (Ochse) sein Kosinusachse, und die Achse (oy) - Sinusachse . später.

Links von Null auf der Kosinusachse (unter Null auf der Sinusachse) wird natürlich sein negative Werte.

Hier ist er also, der ALLMÄCHTIGE, ohne den es nirgendwo in der Trigonometrie geht.

Aber wie man den trigonometrischen Kreis benutzt, darüber reden wir.

Bezugsdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tga) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Bein abhängt rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .

Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .

Tangente

Woher n- ganz.

BEIM Westliche Literatur Tangente ist wie folgt definiert:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tg x

Kotangens

Woher n- ganz.

In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.

Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( n- Ganzzahl).

	y= tg x	y= ctg x
Reichweite und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Aufsteigend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y= 0
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	-

Formeln

Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen

Produkt von Tangenten

Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments.

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Erweiterungen zur Serie

Um die Erweiterung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Erweiterung in nehmen Power-Reihe für Funktionen Sünde x und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.

Beim .

beim .
wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
wo .
Oder nach der Laplace-Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arctangens, arctg

, wo n- ganz.

Bogentangente, arcctg

, wo n- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Forscher und Ingenieure, 2012.

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, die zur Identifizierung verwendet werden können bestimmte Person oder Verbindung mit ihm.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erheben wir möglicherweise Daten verschiedene Informationen einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

Von uns gesammelt persönliche Informationen ermöglicht es uns, Sie zu kontaktieren und Sie darüber zu informieren einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen.
Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Nachrichten zu senden.
Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke wie Audits, Datenanalysen und verschiedene Studien um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

Falls erforderlich - in Übereinstimmung mit dem Gesetz, Gerichtsverfahren, in Rechtsstreit, und/oder basierend auf öffentlichen Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden auf dem Territorium der Russischen Föderation - geben Sie Ihre persönlichen Daten preis. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung aus Gründen der Sicherheit, der Strafverfolgung oder aus anderen Gründen des öffentlichen Interesses notwendig oder angemessen ist.
Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre personenbezogenen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Winkel auf einem trigonometrischen Kreis zählen.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Es ist fast dasselbe wie in der vorherigen Lektion. Es gibt Äxte, einen Kreis, einen Winkel, alles ist Chin-Porzellan. Zusätzliche Viertelzahlen (in den Ecken eines großen Quadrats) - vom ersten bis zum vierten. Und dann plötzlich, wer weiß es nicht? Wie Sie sehen können, Viertel (sie werden auch genannt schönes Wort"Quadranten") sind gegen die Bewegung nummeriert im Uhrzeigersinn. Winkelwerte auf Achsen hinzugefügt. Alles ist klar, kein Schnickschnack.

Und fügte einen grünen Pfeil hinzu. Mit Plus. Was meint sie? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die feste Seite der Ecke stets an die positive Achse OH genagelt. Also, wenn wir die bewegliche Seite der Ecke drehen plus Pfeil, d.h. in aufsteigenden Viertelzahlen, der Winkel wird als positiv betrachtet. Das Bild zeigt beispielsweise einen positiven Winkel von +60°.

Wenn wir die Ecken verschieben in Rückseite, im Uhrzeigersinn, Winkel wird als negativ betrachtet. Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf dem Tablett), Sie sehen einen blauen Pfeil mit einem Minus. Dies ist die Richtung der negativen Ablesung der Winkel. Als Beispiel ist ein negativer Winkel (-60°) dargestellt. Und Sie werden auch sehen, wie sich die Zahlen auf den Achsen geändert haben ... Ich habe sie auch in negative Winkel übersetzt. Die Nummerierung der Quadranten ändert sich nicht.

Hier beginnen meist die ersten Missverständnisse. Wie so!? Und wenn der negative Winkel auf dem Kreis mit dem positiven zusammenfällt!? Und im Allgemeinen stellt sich heraus, dass dieselbe Position der beweglichen Seite (oder ein Punkt auf dem Zahlenkreis) sowohl als negativer als auch als positiver Winkel bezeichnet werden kann!?

Ja. Genau so. Nehmen wir an, ein positiver Winkel von 90 Grad nimmt einen Kreis an genauso Position als negativer Winkel von minus 270 Grad. Ein positiver Winkel, zum Beispiel +110° Grad, wird angenommen genauso Position, da der negative Winkel -250° beträgt.

Kein Problem. Alles ist richtig.) Die Wahl einer positiven oder negativen Berechnung des Winkels hängt von der Bedingung der Zuordnung ab. Wenn die Bedingung nichts sagt Klartext über das Vorzeichen des Winkels, (wie "bestimme den kleinsten positiv Winkel" usw.), dann arbeiten wir mit Werten, die für uns bequem sind.

Eine Ausnahme (und wie ohne sie?!) sind trigonometrische Ungleichungen, aber da werden wir diesen Trick beherrschen.

Und jetzt eine Frage an Sie. Woher weiß ich, dass die Position des 110°-Winkels dieselbe ist wie die Position des -250°-Winkels?
Ich werde darauf hinweisen, dass dies auf den vollen Umsatz zurückzuführen ist. In 360°... Unklar? Dann zeichnen wir einen Kreis. Wir zeichnen auf Papier. Ecke markieren Über 110°. Und glauben wie viel bleibt bis zu einer vollen Umdrehung. Bleiben nur noch 250°...

Ich habs? Und jetzt - Achtung! Wenn die Winkel 110° und -250° den Kreis einnehmen gleich Stellung, was dann? Ja, die Tatsache, dass die Winkel 110 ° und -250 ° betragen genauso Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens!
Jene. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) und so weiter. Das ist jetzt wirklich wichtig! Und an sich - es gibt viele Aufgaben, bei denen es notwendig ist, Ausdrücke zu vereinfachen, und als Grundlage für die anschließende Entwicklung von Reduktionsformeln und anderen Feinheiten der Trigonometrie.

Natürlich habe ich 110° und -250° zufällig genommen, rein zum Beispiel. Alle diese Gleichheiten funktionieren für jeden Winkel, der dieselbe Position auf dem Kreis einnimmt. 60° und -300°, -75° und 285° und so weiter. Ich stelle sofort fest, dass die Ecken in diesen Paaren - verschieden. Aber sie haben trigonometrische Funktionen - das gleiche.

Ich denke, Sie verstehen, was negative Winkel sind. Es ist ganz einfach. Gegen den Uhrzeigersinn ist eine positive Zählung. Unterwegs ist es negativ. Betrachten Sie den Winkel als positiv oder negativ hängt von uns ab. Von unserer Sehnsucht. Nun, und natürlich mehr von der Aufgabe ... Ich hoffe, Sie verstehen, wie man sich in trigonometrischen Funktionen von negativen zu positiven Winkeln und umgekehrt bewegt. Zeichnen Sie einen Kreis, einen ungefähren Winkel, und sehen Sie, wie viel vor einer vollen Umdrehung fehlt, d.h. bis 360°.

Winkel größer als 360°.

Betrachten wir Winkel, die größer als 360° sind. Und solche Dinge passieren? Es gibt natürlich. Wie zeichnet man sie auf einen Kreis? Kein Problem! Angenommen, wir müssen verstehen, in welches Viertel ein Winkel von 1000 ° fällt? Leicht! Wir machen eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (der Winkel wurde uns positiv gegeben!). 360° zurückspulen. Nun, lass uns weitermachen! Eine weitere Wendung - es hat sich bereits 720 ° herausgestellt. Wieviel ist übrig? 280°. Für eine volle Drehung reicht es nicht ... Aber der Winkel beträgt mehr als 270 ° - und das ist die Grenze zwischen dem dritten und vierten Viertel. Unser Winkel von 1000° fällt also in das vierte Viertel. Alles.

Wie Sie sehen können, ist es ganz einfach. Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass der Winkel von 1000° und der Winkel von 280°, die wir erhalten haben, indem wir die "zusätzlichen" vollen Umdrehungen verworfen haben, streng genommen verschieden Ecken. Aber die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel genauso! Jene. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° usw. Wenn ich ein Sinus wäre, würde ich den Unterschied zwischen diesen beiden Winkeln nicht bemerken ...

Warum ist das alles nötig? Warum müssen wir Winkel von einem zum anderen übersetzen? Ja, alle für dasselbe.) Um Ausdrücke zu vereinfachen. Die Vereinfachung von Ausdrücken ist in der Tat die Hauptaufgabe der Schulmathematik. Nun, nebenbei trainiert der Kopf.)

Sollen wir üben?)

Wir beantworten Fragen. Zunächst einfach.

1. In welches Viertel fällt der Winkel -325°?

2. In welches Viertel fällt der Winkel 3000°?

3. In welches Viertel fällt der Winkel -3000°?

Es gibt ein Problem? Oder Unsicherheit? Wir gehen zu Abschnitt 555, Praktische Arbeit mit einem trigonometrischen Kreis. Dort, in der ersten Lektion dieses sehr " praktische Arbeit..." alles ist detailliert ... In solch Fragen der Ungewissheit sollte nicht!

4. Was ist das Zeichen der Sünde555°?

5. Was ist das Vorzeichen von tg555°?

Bestimmt? Bußgeld! Zweifel? Es ist notwendig, Abschnitt 555 ... Übrigens, dort lernen Sie, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet. Eine sehr nützliche Sache.

Und jetzt die klügeren Fragen.

6. Bringen Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des kleinsten positiven Winkels.

7. Bringe den Ausdruck cos777° auf den Kosinus des größten negativen Winkels.

8. Wandeln Sie den Ausdruck cos(-777°) in den Kosinus des kleinsten positiven Winkels um.

9. Bringen Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des größten negativen Winkels.

Was, Fragen 6-9 verwirrt? Gewöhn dich dran, solche Formulierungen gibt es nicht in der Klausur ... So sei es, ich werde es übersetzen. Nur für Sie!

Die Worte "den Ausdruck reduzieren auf ..." bedeuten, den Ausdruck so umzuwandeln, dass er seinen Wert erhält hat sich nicht geändert a Aussehen je nach Aufgabenstellung verändert. In den Aufgaben 6 und 9 müssen wir also einen Sinus erhalten, in dem sich befindet der kleinste positive Winkel. Alles andere spielt keine Rolle.

Ich werde die Antworten der Reihe nach geben (unter Verstoß gegen unsere Regeln). Aber was zu tun ist, es gibt nur zwei Zeichen und nur vier Viertel ... Sie werden nicht in Optionen streuen.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sünde(-57°)

Ich nehme an, dass die Antworten auf die Fragen 6-9 einige Leute verwirrt haben. Besonders -sünde(-57°), richtig?) Tatsächlich gibt es in den elementaren Regeln zum Zählen von Winkeln Raum für Fehler ... Deshalb musste ich eine Lektion machen: "Wie bestimmt man die Vorzeichen von Funktionen und gibt Winkel auf einem trigonometrischen Kreis an?" In Abschnitt 555. Dort werden die Aufgaben 4 - 9 aussortiert. Gut sortiert, mit allen Fallstricken. Und sie sind hier.)

In der nächsten Lektion beschäftigen wir uns mit dem mysteriösen Bogenmaß und der Zahl „Pi“. Erfahren Sie, wie Sie Grad einfach und korrekt in Radiant umwandeln und umgekehrt. Und wir werden überrascht sein, diese elementaren Informationen auf der Website zu finden genug jetzt um einige nicht standardmäßige Trigonometrie-Rätsel zu lösen!

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktion hängt ausschließlich von dem Koordinatenviertel ab, in dem sich das numerische Argument befindet. Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Argumente von einem Bogenmaß in ein Gradmaß umwandelt (siehe die Lektion „Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels“) und dann dasselbe Koordinatenviertel bestimmen. Kommen wir nun tatsächlich zur Definition der Vorzeichen von Sinus, Cosinus und Tangens.

Der Sinus des Winkels α ist die Ordinate (Koordinate y) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, der entsteht, wenn der Radius um den Winkel α gedreht wird.

Der Kosinus des Winkels α ist die Abszisse (x-Koordinate) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, der auftritt, wenn sich der Radius um den Winkel α dreht.

Der Tangens des Winkels α ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus. Oder äquivalent das Verhältnis der y-Koordinate zur x-Koordinate.

Schreibweise: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

All diese Definitionen sind Ihnen aus dem Algebrakurs der Oberstufe bekannt. Uns interessieren jedoch nicht die Definitionen selbst, sondern die Konsequenzen, die sich auf dem trigonometrischen Kreis ergeben. Schau mal:

Die blaue Farbe zeigt die positive Richtung der OY-Achse (Ordinatenachse), die rote Farbe zeigt die positive Richtung der OX-Achse (Abszissenachse) an. Auf diesem „Radar“ werden die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen deutlich. Insbesondere:

sin α > 0, wenn der Winkel α im I- oder II-Koordinatenviertel liegt. Dies liegt daran, dass ein Sinus per Definition eine Ordinate (y-Koordinate) ist. Und die y-Koordinate wird genau in den Koordinatenvierteln I und II positiv sein;
cos α > 0, wenn der Winkel α im I- oder IV-Koordinatenviertel liegt. Denn nur dort ist die x-Koordinate (sie ist auch die Abszisse) größer als Null;
tg α > 0, wenn der Winkel α im I- oder III-Koordinatenquadranten liegt. Das folgt aus der Definition: Immerhin ist tg α = y : x , also nur dort positiv, wo die Vorzeichen von x und y übereinstimmen. Dies geschieht im 1. Koordinatenviertel (hier x > 0, y > 0) und im 3. Koordinatenviertel (x< 0, y < 0).

Zur Verdeutlichung notieren wir die Vorzeichen jeder trigonometrischen Funktion – Sinus, Cosinus und Tangens – auf einem separaten „Radar“. Wir erhalten folgendes Bild:

Hinweis: In meiner Argumentation habe ich nie über die vierte trigonometrische Funktion gesprochen - den Kotangens. Tatsache ist, dass die Zeichen des Kotangens mit den Zeichen des Tangens übereinstimmen - es gibt dort keine besonderen Regeln.

Jetzt schlage ich vor, Beispiele zu betrachten, die den Problemen B11 ähneln Probeprüfung in Mathematik, die am 27. September 2011 stattfand. Immerhin Die beste Weise Theorie verstehen ist Praxis. Am besten viel üben. Natürlich wurden die Bedingungen der Aufgaben leicht verändert.

Aufgabe. Bestimmen Sie die Vorzeichen von trigonometrischen Funktionen und Ausdrücken (die Werte der Funktionen selbst müssen nicht berücksichtigt werden):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

Tan (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Der Aktionsplan sieht wie folgt aus: Zuerst rechnen wir alle Winkel vom Bogenmaß in Gradmaß um (π → 180°) und schauen dann, in welchem Koordinatenviertel die resultierende Zahl liegt. Wenn wir die Quartiere kennen, können wir die Zeichen leicht finden - gemäß den gerade beschriebenen Regeln. Wir haben:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Wegen 135° ∈ ist dies ein Winkel aus dem II-Koordinatenquadranten. Aber der Sinus im zweiten Viertel ist positiv, also sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. weil 210° ∈ , das ist ein Winkel aus dem III. Koordinatenquadranten, in dem alle Kosinusse negativ sind. Daher ist cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Seit 300° ∈ befinden wir uns im Quadranten IV, wo die Tangente negative Werte annimmt. Also tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Beschäftigen wir uns mit dem Sinus: weil 135° ∈ , das ist das zweite Viertel, in dem die Sinus positiv sind, also sin (3π/4) > 0. Jetzt arbeiten wir mit dem Kosinus: 150° ∈ - wieder das zweite Viertel, dort sind die Kosinus negativ. Also cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Wir betrachten den Kosinus: 120° ∈ ist das II-Koordinatenviertel, also cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Wieder haben wir ein Produkt bekommen, bei dem Faktoren mit unterschiedlichen Vorzeichen. Da „ein Minus mal ein Plus ein Minus ergibt“, gilt: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Wir arbeiten mit dem Sinus: seit 150° ∈ , wir reden um das II-Koordinatenviertel, wo die Sinus positiv sind. Daher ist sin (5π/6) > 0. Ebenso ist 315° ∈ das IV-Koordinatenviertel, die Kosinusse dort sind positiv. Daher ist cos (7π/4) > 0. Wir haben das Produkt zweier positiver Zahlen erhalten - ein solcher Ausdruck ist immer positiv. Wir schließen: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Aber der Winkel 135° ∈ ist das zweite Viertel, also Tan (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Da „ein Minus plus ein Minuszeichen ergibt“, gilt: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Wir betrachten das Kotangens-Argument: 240° ∈ ist das III-Koordinatenviertel, also ctg (4π/3) > 0. Analog gilt für die Tangente: 30° ∈ ist das I-Koordinatenviertel, d.h. einfachste Ecke. Daher ist tg (π/6) > 0. Wieder haben wir zwei positive Ausdrücke – ihr Produkt wird ebenfalls positiv sein. Also ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar an herausfordernde Aufgaben. Neben dem Herausfinden des Vorzeichens der trigonometrischen Funktion musst du hier ein wenig rechnen – so wie es auch in echten Aufgaben B11 gemacht wird. Im Prinzip sind das fast schon echte Aufgaben, die in der Klausur in Mathematik wirklich zu finden sind.

Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn sin 2 α = 0,64 und α ∈ [π/2; π].

Da sin 2 α = 0,64 ist, gilt: sin α = ±0,8. Es bleibt zu entscheiden: Plus oder Minus? Der Winkel α ∈ [π/2; π] ist das II-Koordinatenviertel, bei dem alle Sinuswerte positiv sind. Daher ist sin α = 0,8 - die Unsicherheit mit Vorzeichen wird eliminiert.

Aufgabe. Finden Sie cos α, wenn cos 2 α = 0,04 und α ∈ [π; 3π/2].

Wir handeln ähnlich, d.h. Extrakt Quadratwurzel: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Der Winkel α ∈ [π; 3π/2], d.h. wir sprechen über das III-Koordinatenviertel. Dort sind alle Kosinusse negativ, also cos α = −0,2.

Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn sin 2 α = 0,25 und α ∈ .

Es gilt: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Betrachten wir wieder den Winkel: α ∈ ist das IV-Koordinatenviertel, in dem bekanntlich der Sinus negativ wird. Daraus schließen wir: sin α = −0,5.

Aufgabe. Finde tg α wenn tg 2 α = 9 und α ∈ .

Alles ist gleich, nur für die Tangente. Wir ziehen die Quadratwurzel: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Aber nach der Bedingung ist der Winkel α ∈ der I-Koordinatenquadrant. Alle trigonometrischen Funktionen, inkl. Tangens, es gibt positive, also tg α = 3. Das war's!