Rješavanje jednadžbi s promjenljivom u stepenu. Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe
Takozvane jednadžbe oblika, gdje je nepoznata i u eksponentu iu bazi stepena.
Možete odrediti potpuno jasan algoritam za rješavanje jednadžbe oblika. Za to se mora obratiti pažnja na činjenicu da Oh) ne nula, jedan i minus jedan, jednakost stupnjeva sa istim bazama (bilo pozitivnim ili negativnim) moguća je samo ako su indikatori jednaki. To jest, svi korijeni jednadžbe će biti korijeni jednadžbe f(x) = g(x) Obratna izjava nije tačna, ako Oh)< 0 i frakcijske vrijednosti f(x) i g(x) izrazi Oh) f(x) i
Oh) g(x) gube smisao. Odnosno, kada idete iz f(x) = g(x)(mogu se pojaviti i strani korijeni, koji se moraju isključiti provjerom prema originalnoj jednadžbi. A slučajevi a = 0, a = 1, a = -1 moraju se razmatrati odvojeno.
Dakle, za potpuno rješenje jednačine razmatramo slučajeve:
a(x) = 0 f(x) i g(x) su pozitivni brojevi, onda je ovo rješenje. Inače, ne
a(x) = 1. Korijeni ove jednačine su također korijeni originalne jednačine.
a(x) = -1. Ako za vrijednost x koja zadovoljava ovu jednačinu, f(x) i g(x) su cijeli brojevi iste parnosti (ili su oba parna ili su oba neparna), onda je ovo rješenje. Inače, ne
Za i rješavamo jednačinu f(x)=g(x) i zamjenom dobijenih rezultata u originalnu jednačinu, odsiječemo strane korijene.
Primjeri rješavanja jednadžbi eksponencijalne snage.
Primjer #1.
1) x - 3 = 0, x = 3. jer 3 > 0 i 3 2 > 0, tada je x 1 = 3 rješenje.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Oba indikatora su parna. Ovo je rješenje x 3 = 1.
4) x - 3? 0 i x? ± 1. x = x 2, x = 0 ili x = 1. Za x \u003d 0, (-3) 0 = (-3) 0, ovo rješenje je x 4 = 0. Za x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - ovo rješenje je tačno x 5 = 1.
Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.
Primjer #2.
Po definiciji aritmetike kvadratni korijen: x - 1 ? 0,x? jedan.
1) x - 1 = 0 ili x = 1, = 0, 0 0 nije rješenje.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 se ne uklapa u ODZ.
D = (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - nema korijena.
Rješenje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.
Tu ste primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
3 x 2 x = 8 x + 3
Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. AT indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa x. Ako se odjednom pojavi x u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:
ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.
U stvari, čak i čisto eksponencijalne jednačine nisu uvek jasno definisani. Ali postoje određene vrste eksponencijalne jednadžbe koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su tipovi koje ćemo gledati.
Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.
Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:
Čak i bez ikakve teorije, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja x vrijednosti. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:
Šta smo uradili? Mi smo, naime, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, šta je drago, pogodite metu!
Zaista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i desne strane isto brojeva u bilo kom stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Dobro je, zar ne?)
Međutim, prisjetimo se ironično: baze možete ukloniti samo kada su brojevi baza lijevo i desno u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednačinama:
2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili
Ne možete ukloniti duple!
Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednačine.
"Evo tih vremena!" - ti kažeš. "Ko će dati takav primitiv na kontrole i ispite!?"
Primoran da pristanem. Niko neće. Ali sada znate kuda treba ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno ga je sjetiti, kada je isti osnovni broj lijevo - desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasika matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeno nas um. Po pravilima matematike, naravno.
Razmotrite primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih dovedete do najjednostavnijeg. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.
Rješenje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa ovlastima. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.
Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Da li su nam potrebni isti osnovni brojevi? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.
Da vidimo kako se to radi u praksi?
Hajde da nam damo primjer:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prvi pogled na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo
Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće zapisati:
8 x+1 = (2 3) x+1
Ako se prisjetimo formule iz radnji s moćima:
(a n) m = a nm ,
generalno radi odlično:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Originalni primjer izgleda ovako:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobijamo:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
To je praktično sve. Uklanjanje baza:
Riješimo ovo čudovište i dobijemo
Ovo je tačan odgovor.
U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osmici, šifrovana dvojka. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različiti brojevi) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! Da, čak iu logaritmima. Čovek mora biti u stanju prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.
Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koji stepen nije problem. Pomnožite, čak i na komadu papira, i to je sve. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će se ispostaviti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo je češće potrebno ne podići na stepen, već obrnuto ... koji broj u kojoj meri krije se iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nijedan kalkulator neće pomoći.
Treba znati moći nekih brojeva iz vida, da... Hoćemo li vježbati?
Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odgovori (u neredu, naravno!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ako dobro pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Više je odgovora nego pitanja! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6 , 4 3 , 8 2 je sve 64.
Pretpostavimo da ste primili k znanju podatke o upoznavanju brojeva.) Da vas podsjetim i da za rješavanje eksponencijalnih jednačina primjenjujemo cjelina zaliha matematičkog znanja. Uključujući niže srednje klase. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?
Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada vrlo često pomaže (pozdrav 7. ocjeni!). Pogledajmo primjer:
3 2x+4 -11 9 x = 210
I opet, prvi pogled - na teren! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvodljiva!) Jer:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Prema istim pravilima za radnje sa stepenom:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Odlično, možete napisati:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Trojke se ne mogu izbaciti... Slepa ulica?
Ne sve. Sjećanje na najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja sve matematički zadaci:
Ako ne znate šta da radite, uradite ono što možete!
Vidite, sve je formirano).
Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini mogu učiniti? Da, lijeva strana direktno traži zagrade! Zajednički faktor 3 2x to jasno nagovještava. Hajde da probamo, pa cemo videti:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Primjer postaje sve bolji i bolji!
Podsjećamo, da bismo eliminirali baze, potreban nam je čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Smeta nam broj 70. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:
Op-pa! Sve je bilo u redu!
Ovo je konačan odgovor.
Dešava se, međutim, da se dobije taksiranje po istom osnovu, ali ne i njihova likvidacija. Ovo se dešava u eksponencijalnim jednačinama drugog tipa. Uzmimo ovaj tip.
Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.
Rešimo jednačinu:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Prvo - kao i obično. Pređimo na bazu. Za dvojku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dobijamo jednačinu:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
I ovdje ćemo se objesiti. Prethodni trikovi neće uspjeti, kako god okrenete. Morat ćemo dobiti iz arsenala još jedan moćan i svestran način. To se zove varijabilna zamjena.
Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer, t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerovatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!
Pa neka
Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
U našoj jednadžbi zamjenjujemo sve potencije sa x sa t:
Pa, svanulo je?) Još niste zaboravili kvadratne jednačine? Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
Ovdje je glavna stvar ne stati, kako to biva... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. pravljenje zamene. Prvo za t 1:
To je,
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:
Hm... Lijevo 2 x, Desno 1... Zakačenje? Da, nikako! Dovoljno je zapamtiti (iz radnji sa stepenom, da...) da je jedinstvo bilo koji broj na nulu. Bilo koji. Šta god vam treba, mi ćemo to staviti. Treba nam dvojka. znači:
To je sve. Imam 2 korijena:
Ovo je odgovor.
At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju se ponekad dobije neki nespretan izraz. Vrsta:
Od sedam, dvojka do jednostavnog stepena ne funkcionira. Nisu rođaci... Kako mogu biti ovdje? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je pročitala na ovoj stranici temu "Šta je logaritam?" , samo se štedljivo nasmiješi i čvrstom rukom zapiši apsolutno tačan odgovor:
Takvog odgovora ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.
Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavnu.
1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Da vidimo da li se ne mogu uraditi isto. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa ovlastima. Ne zaboravite da se brojevi bez x također mogu pretvoriti u stepene!
2. Pokušavamo eksponencijalnu jednačinu dovesti u formu kada su lijevo i desno isto brojevi u bilo kom stepenu. Koristimo akcije sa ovlastima i faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima – brojimo.
3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednačina koja se lako rješava. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.
4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina potrebno je znati stupnjeve nekih brojeva "iz viđenja".
Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo riješite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.
Riješite eksponencijalne jednadžbe:
Teže:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Pronađite proizvod korijena:
2 3-x + 2 x = 9
Desilo se?
Dobro onda najtezi primjer(odlučeno, međutim, u mislima...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Šta je zanimljivije? Onda evo lošeg primjera za tebe. Prilično povlačeći povećanu težinu. Nagovijestit ću da u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Primjer je jednostavniji, za opuštanje):
9 2 x - 4 3 x = 0
I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da da! Ovo je jednačina mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A što ih smatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa, potrebna je domišljatost... I da, sedmi razred će vam pomoći (ovo je nagoveštaj!).
Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):
jedan; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.
Je li sve uspješno? U redu.
Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odeljku 555, sve ove eksponencijalne jednačine su rešene sa detaljnim objašnjenjima. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo sa ovim.)
Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednadžbama je ovo vrlo važna stvar, inače...
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
eksponencijalne jednačine. Kao što znate, USE uključuje jednostavne jednačine. Neke smo već razmotrili - to su logaritamske, trigonometrijske, racionalne. Evo eksponencijalnih jednačina.
U nedavnom članku radili smo s eksponencijalnim izrazima, to će biti korisno. Same jednadžbe se rješavaju jednostavno i brzo. Potrebno je samo znati svojstva eksponenata i ... O ovomeDalje.
Navodimo svojstva eksponenata:
Nulta snaga bilo kojeg broja jednaka je jedinici.
Posljedica ove imovine:
Još malo teorije.
Eksponencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu u eksponentu, odnosno ova jednačina je oblika:
f(x) izraz koji sadrži varijablu
Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina
1. Kao rezultat transformacija, jednačina se može svesti na oblik:
Zatim primjenjujemo svojstvo:
2. Prilikom dobijanja jednačine oblika a f (x) = b ako se koristi definicija logaritma, dobijamo:
3. Kao rezultat transformacija, možete dobiti jednačinu oblika:
Primjenjuje se logaritam:
Izrazite i pronađite x.
U zadacima KORISTI opcije biće dovoljno koristiti prvu metodu.
Odnosno, potrebno je lijevi i desni dio predstaviti kao stepeni sa istom bazom, a zatim izjednačiti indikatore i riješiti uobičajenu linearnu jednačinu.
Razmotrite jednadžbe:
Pronađite korijen jednačine 4 1-2x = 64.
Potrebno je paziti da se u lijevom i desnom dijelu nalaze eksponencijalni izrazi sa istom osnovom. Možemo predstaviti 64 kao 4 na stepen 3. Dobijamo:
4 1–2x = 4 3
1 - 2x = 3
– 2x = 2
x = - 1
pregled:
4 1–2 (–1) = 64
4 1 + 2 = 64
4 3 = 64
64 = 64
Odgovor: -1
Pronađite korijen jednačine 3 x-18 = 1/9.
To je poznato
Dakle 3 x-18 = 3 -2
Osnove su jednake, možemo izjednačiti indikatore:
x - 18 \u003d - 2
x = 16
pregled:
3 16–18 = 1/9
3 –2 = 1/9
1/9 = 1/9
Odgovor: 16
Pronađite korijen jednačine:
Predstavimo razlomak 1/64 kao jednu četvrtinu na treći stepen:
2x - 19 = 3
2x = 22
x = 11
pregled:
Odgovor: 11
Pronađite korijen jednačine:
Predstavimo 1/3 kao 3 -1, a 9 kao 3 na kvadrat, dobićemo:
(3 –1) 8–2x = 3 2
3 –1∙(8–2h) = 3 2
3 -8 + 2x \u003d 3 2
Sada možemo izjednačiti indikatore:
– 8+2x = 2
2x = 10
x = 5
pregled:
Odgovor: 5
26654. Pronađite korijen jednadžbe:
Odluka:
Odgovor: 8,75
Zaista, bez obzira na koji stepen dižemo pozitivan broj a, ni na koji način ne možemo dobiti negativan broj.
Svaka eksponencijalna jednadžba nakon odgovarajućih transformacija svodi se na rješavanje jedne ili više jednostavnih jednadžbi.U ovom dijelu ćemo također razmotriti rješenje nekih jednačina, nemojte ga propustiti!To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.
Predavanje: "Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina."
1 . eksponencijalne jednačine.
Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentu nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0 i a ≠ 1.
1) Za b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedan korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljen kao b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.
Eksponencijalne jednadžbe kroz algebarske transformacije dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju slijedećim metodama:
1) način svođenja na jednu osnovu;
2) način ocjenjivanja;
3) grafički metod;
4) način uvođenja novih varijabli;
5) metod faktorizacije;
6) eksponencijalne - jednačine stepena;
7) eksponencijalni sa parametrom.
2 . Metoda svođenja na jednu osnovu.
Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. jednačina se mora pokušati svesti na oblik
Primjeri. Riješite jednačinu:
1 . 3x=81;
Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> i prijeđite na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Imajte na umu da su brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 potenci od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:
,
odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.
5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepišimo jednačinu kao 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle, x - 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku e. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.
Banka zadataka br.1.
Riješite jednačinu:
Test broj 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena |
1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda ocjenjivanja.
Teorema o korijenu: ako se funkcija f (x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f (x) = a ima jedan korijen na intervalu I.
Prilikom rješavanja jednadžbi metodom estimacije koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.
Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 - x.
Odluka. Prepišimo jednačinu kao 4x + x = 5.
1. ako je x = 1, tada je 41 + 1 = 5, 5 = 5 istina, tada je 1 korijen jednadžbe.
Funkcija f(x) = 4x raste na R i g(x) = x raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R kao zbir rastućih funkcija, pa je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.
2.
Odluka. Prepisujemo jednačinu u formu 
.
1. ako je x = -1, onda 
, 3 = 3-tačno, pa je x = -1 korijen jednačine.
2. dokazati da je jedinstven.
3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x - opada na R => h(x) = f(x) + g(x) - opada na R, kao zbir opadajućih funkcija. Dakle, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.
Banka zadataka br.2. riješi jednačinu
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Metoda uvođenja novih varijabli.
Metoda je opisana u odjeljku 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Razmotrite primjere.
Primjeri.
R jedi jednačinu: 1.
.
Prepišimo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" visina = "45">
Odluka. Zapišimo jednačinu drugačije: 
Označite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to 
Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, pa je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.
Odluka. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, dakle..png" width="118" height="56">
Korijeni kvadratne jednadžbe - t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Odluka . Prepisujemo jednačinu u formu
i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.
Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo 
Zamijenite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odgovor: 0; 0.5.
Banka zadataka #3. riješi jednačinu
b) 
G) 
Test #3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test #4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena |
5. Metoda faktorizacije.
1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Odluka. Uzmimo 6x na lijevoj strani jednadžbe, a 2x na desnoj strani. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha da ćemo izgubiti rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.
3. 
Odluka. Jednačinu rješavamo faktoringom.
Odabiremo kvadrat binoma 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je korijen jednadžbe.
Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test #6 Opšti nivo.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponencijalno - jednadžbe snaga.
Eksponencijalnim jednačinama pridružene su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).
Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja jednadžbe eksponencijalne snage.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Odluka. x2 +2x-8 - ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, pa je jednadžba ekvivalentna skupu
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.
1. Za koje vrijednosti parametra p ima jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) jedina odluka?
Odluka. Uvedemo promjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminanta jednačine (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.
1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.
2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Skup sistema zadovoljava uslov problema
Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Odluka. Neka bude 
tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)
Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.
Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako
D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. Ovo je moguće ako
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}
Dakle, pri a 0 jednačina (4) ima jedan pozitivan korijen 
. Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje 
Za< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;
ako je a 0, onda
Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta pun kvadrat; dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati po formuli korijena kvadratne jednačine, a zatim su izvedeni zaključci o tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.
Hajde da riješimo složenije jednačine.
Zadatak 3. Riješite jednačinu 
Odluka. ODZ: x1, x2.
Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će, kao rezultat transformacija, jednadžba poprimiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Pronađite vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odgovor: ako je a > - 13, a 11, a 5, onda ako je a - 13,
a = 11, a = 5, tada nema korijena.
Bibliografija.
1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.
2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.
M. "Upravnik" br. 4, 1996
3. Guzejev i organizacioni oblici obrazovanja.
4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.
M." javno obrazovanje“, 2001
5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.
Matematika u školi br. 2, 1987, str. 9 - 11.
6. Selevko obrazovne tehnologije.
M. "Narodno obrazovanje", 1998
7. Episheva školarci uče matematiku.
M. "Prosvjeta", 1990
8. Ivanov pripremiti lekcije - radionice.
Matematika u školi br. 6, 1990, str. 37-40.
9. Smirnov model nastave matematike.
Matematika u školi br. 1, 1997, str. 32-36.
10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.
Matematika u školi br. 1, 1993, str. 27 - 28.
11. O jednoj od vrsta individualnog rada.
Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 - 64.
12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.
Matematika u školi br. 2, 1989, str. deset.
13. Scanavi. Izdavač, 1997
14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za
15. Krivonogov zadaci iz matematike.
M. "Prvi septembar", 2002
16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i
upis na univerzitete. "A S T - press škola", 2002
17. Zhevnyak za kandidate za univerzitete.
Minsk i RF "Review", 1996
18. Pismeni D. Priprema za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999
19. i dr. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.
M. "Intelekt - Centar", 2003
20. i dr. Edukativni materijali i materijali za obuku za pripremu za E G E.
M. "Intelekt - Centar", 2003 i 2004
21 i dr. Varijante CMM. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003
22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971
23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.
Matematika, 1997 br. 3.
24 Okunev za lekciju, djeco! M. Prosvjeta, 1988
25. Yakimanskaya - usmjereno obrazovanje u školi.
26. Liimets radi na lekciji. M. Znanje, 1975
Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.
Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Biti u stanju riješiti takve konstrukcije je apsolutno neophodno kako se ne bi "visilo" u temi o kojoj će se sada raspravljati.
Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Neki od njih vam mogu izgledati komplikovaniji, neki su, naprotiv, previše jednostavni. Ali sve ih objedinjuje jedna važna karakteristika: sadrže eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, uvodimo definiciju:
Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Pored navedene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.
Uredu onda. Shvatio sam definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen u isto vrijeme.
Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva s mnogim studentima, mogu reći da su za većinu njih eksponencijalne jednačine mnogo lakše od istih logaritama, a još više od trigonometrije.
Ali postoji i loše vijesti: ponekad sastavljače zadataka za sve vrste udžbenika i ispita posjećuje "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da postaje problematično ne samo da ih učenici rješavaju - čak i mnogi nastavnici zaglave na takve probleme.
Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.
Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen treba podići broj 2 da bi se dobio broj 4? Možda drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, kapice, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da bi je čak i moja mačka mogla riješiti. :)
Pogledajmo sljedeću jednačinu:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ali ovdje je to malo teže. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativne moći(po analogiji sa formulom $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).
Konačno, samo nekoliko odabranih pretpostavlja da se ove činjenice mogu kombinirati i rezultat je sljedeći:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
A sada je to već potpuno riješeno! Na lijevoj strani jednadžbe nalazi se eksponencijalna funkcija, na desnoj strani jednadžbe nalazi se eksponencijalna funkcija, ne postoji ništa osim njih nigdje drugdje. Stoga je moguće "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:
Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:
\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]
Ako niste shvatili šta se dešava u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine' i ponovite. Jer bez jasne asimilacije ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednačinama.
\[((9)^(x))=-3\]
Pa, kako se odlučuješ? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati ovako:
\[((\lijevo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]
Zatim se prisjećamo da se pri podizanju stepena na stepen indikatori množe:
\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]
A za takvu odluku dobijamo pošteno zasluženu dvojku. Jer mi smo, sa smirenošću Pokemona, poslali znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. I ne možete to da uradite. I zato. Pogledajte različite moći trojke:
\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]
Sastavljanje ovog tableta, čim nisam izopačio: i pozitivnim stepenima uzeti u obzir, i negativne, pa čak i razlomke ... pa, gdje je barem jedan negativan broj? On nije! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti(bez obzira koliko pomnožite jedan ili podijelite sa dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!
Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ne, nema korena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim - također možda nema korijena. Ali ako je u kvadratnim jednadžbama broj korijena određen diskriminantom (diskriminanta je pozitivna - 2 korijena, negativna - nema korijena), onda u eksponencijalnim jednačinama sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.
Dakle, formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. isplati li se to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.
Ovo znanje će nam pomoći više puta kada budemo morali više odlučivati izazovni zadaci. U međuvremenu, dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.
Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe
Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Prema "naivnom" algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:
Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu, koja se već može riješiti. Na primjer:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]
I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa ostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Na koju snagu trebate podići 2 da biste dobili 3? U prvom? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. U drugom? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Šta onda?
Upućeni studenti su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada je nemoguće riješiti „lijepo“, „teška artiljerija“ se vezuje za slučaj - logaritme. Da vas podsjetim da se korištenjem logaritama svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):
Sjećate se ove formule? Kada govorim svojim studentima o logaritmima, uvijek vas upozoravam: ova formula (to je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas još dugo proganjati i „izroniti“ u neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:
\[\begin(poravnati)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnati) \]
Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj na desnoj strani, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]
Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku, s takvim odgovorom, mnogi bi posumnjali i počeli da provjeravaju svoje rješenje: šta ako je negdje bila greška? Požurim da vas zadovoljim: ovdje nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)
Sada analogno rješavamo preostale dvije jednadžbe:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:
Mi smo ti koji smo uveli množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne sprečava da dodamo ovaj faktor bazi:
U ovom slučaju, sve tri opcije su tačne - to je jednostavno različite forme evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovoj odluci, na vama je.
Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednačine oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. kako god surova realnost naš svijet je toliko sličan jednostavni zadaci sretaće te veoma, veoma retko. Češće ćete naići na nešto poput ovoga:
\[\begin(poravnati)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(poravnati)\]
Pa, kako se odlučuješ? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?
Bez panike. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo trebate znati da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ovdje nema pravila za rad sa diplomama. Sad ću o svemu ovome. :)
Transformacija eksponencijalnih jednačina
Prva stvar koju treba zapamtiti je da se svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora svesti na najjednostavnije jednačine - upravo one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:
- Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Uradi neka glupa sranja. Ili čak neko sranje zvano "transformacija jednačine";
- Na izlazu dobijte najjednostavnije izraze poput $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.
Sa prvom tačkom sve je jasno - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na listu. I sa trećom tačkom je, čini se, više-manje jasno - već smo gore riješili čitavu gomilu takvih jednačina.
Ali šta je sa drugom tačkom? Koje su transformacije? Šta pretvoriti u šta? I kako?
Pa, hajde da shvatimo. Prije svega, želio bih istaći sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:
- Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Počnimo sa jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je odabir stabilnih izraza.
Isticanje stabilnog izraza
Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(poravnati)\]
Jednostavno rečeno, sabiranje eksponenata može se pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se lako pretvara u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na potencije iz naše jednadžbe:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]
Prepisujemo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim prikupljamo sve članove s lijeve strane:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]
Prva četiri člana sadrže element $((4)^(x))$ — hajde da ga izvučemo iz zagrade:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]
Ostaje podijeliti oba dijela jednačine razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Originalnu jednačinu sveli smo na najjednostavniju i dobili konačan odgovor.
Istovremeno, u procesu rješavanja, otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla, ili je možete jednostavno precizno izraziti i dobiti odgovor. u svakom slučaju, ključni princip rješenja su sljedeća:
Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.
Dobra vijest je da skoro svaka eksponencijalna jednadžba dopušta tako stabilan izraz.
Ali ima i loših vijesti: takvi izrazi mogu biti vrlo zeznuti i može biti prilično teško razlikovati ih. Pa pogledajmo još jedan problem:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje su različite baze - 5 i 0,2. Ali hajde da pokušamo da pretvorimo snagu sa bazom 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka, dovodeći ga na uobičajeno:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Kao što vidite, broj 5 se i dalje pojavljuje, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada se prisjećamo jednog od njih bitna pravila rad sa diplomama:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Ovdje sam, naravno, malo prevario. Jer za potpuno razumijevanje, formula za oslobađanje od negativnih indikatora morala je biti napisana na sljedeći način:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo s jednim razlomkom:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((5)^(\levo(-1 \desno)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]
Ali u ovom slučaju morate biti u mogućnosti da podignete stepen na drugi stepen (podsjećam vas: u ovom slučaju indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao da "prebacujem" razlomke - možda će nekome biti lakše. :)
U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]
Tako se ispostavilo da je originalnu jednadžbu još lakše riješiti od prethodno razmatrane: ovdje ne morate ni izdvajati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, odakle dobijamo:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(poravnati)\]
To je cijelo rješenje! Dobili smo konačan odgovor: $x=-2$. Istovremeno, želio bih napomenuti jedan trik koji nam je uvelike pojednostavio sve proračune:
U eksponencijalnim jednačinama, obavezno ih se riješite decimalni razlomci, pretvorite ih u normalne. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.
Pređimo sada na složenije jednadžbe u kojima postoje različite baze, koje se općenito ne svode jedna na drugu korištenjem potencija.
Korištenje svojstva eksponenta
Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(poravnati)\]
Glavna poteškoća ovdje je što nije jasno do čega i do koje osnove voditi. Gdje su fiksni izrazi? Gdje su zajedničke osnove? Nema ništa od ovoga.
Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nije spreman iste baze, možete ih pokušati pronaći faktoringom dostupnih baza.
Počnimo s prvom jednačinom:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]
Ali na kraju krajeva, možete učiniti suprotno - sastavite broj 21 od brojeva 7 i 3. To je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Izvadili ste eksponent iz proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.
Sada se pozabavimo drugom jednačinom. Ovdje je sve mnogo komplikovanije:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. To će često rezultirati zanimljivim terenima s kojima već možete raditi.
Nažalost, nismo ništa smislili. Ali vidimo da su eksponenti s lijeve strane u proizvodu suprotni:
Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u eksponentu, trebate samo "okrenuti" razlomak. Pa hajde da prepišemo originalnu jednačinu:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]
U drugom redu, jednostavno smo zagradili zbroj iz proizvoda prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, a u potonjem su jednostavno pomnožili broj 100 s razlomkom.
Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno: to su moći istog broja! Imamo:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]
Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \desno))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
Istovremeno, na desnoj strani možete dobiti i diplomu sa istom bazom, za koju je dovoljno samo "okrenuti" razlomak:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Konačno, naša jednačina će poprimiti oblik:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]
To je cijelo rješenje. Njegova glavna ideja se svodi na to da čak i sa različitim osnovama, pokušavamo na udicu ili na prevaru svesti ove osnove na isti. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednačina i pravila za rad sa stepenom.
Ali koja pravila i kada koristiti? Kako razumjeti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti nečim, au drugoj - faktorizirati bazu eksponencijalne funkcije?
Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprva se okušajte u jednostavnim jednadžbama, a zatim postupno komplicirajte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe iz istog USE-a ili bilo kojeg nezavisnog/probnog rada.
A da vam pomognem u ovom teškom zadatku, predlažem da preuzmete skup jednadžbi na mojoj web stranici za nezavisno rješenje. Sve jednačine imaju odgovore, tako da uvijek možete sami provjeriti.