Iracionalne jednadžbe. Iscrpni vodič. Transformacije iracionalnih izraza

Iracionalni izrazi i njihove transformacije

Prošli put smo se sjetili (ili saznali - kako se to kome sviđa) šta je , naučio kako da izvuče takve korijene, razdvojio glavna svojstva korijena dio po dio i odlučio da ne složeni primjeri sa korenima.

Ova lekcija će biti nastavak prethodne i bit će posvećena transformaciji širokog spektra izraza koji sadrže sve vrste korijena. Takvi izrazi se nazivaju iracionalno. Ovdje će biti i izrazi sa slovima, i dodatni uvjeti, i oslobađanje od iracionalnosti u razlomcima, i neki napredni trikovi u radu s korijenima. Te tehnike koje će se razmatrati u ovoj lekciji postat će dobra osnova za rješavanje problema upotrebe (i ne samo) gotovo bilo kojeg nivoa složenosti. Pa počnimo.

Prije svega, ovdje ću duplicirati osnovne formule i svojstva korijena. Da ne bi skakao s teme na temu. Evo ih:

at

Ove formule moraju biti poznate i sposobne za primjenu. I to u oba smjera - i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Na njima se zasniva rješavanje većine zadataka s korijenima bilo kojeg stepena složenosti. Počnimo s najjednostavnijim - direktnom primjenom formula ili njihovih kombinacija.

Jednostavna primjena formula

U ovom dijelu će se razmatrati jednostavni i bezazleni primjeri - bez slova, dodatnih uslova i drugih trikova. Međutim, čak iu njima, u pravilu, postoje opcije. I što je primjer elegantniji, više je takvih opcija. A neiskusni student ima glavni problem– odakle početi? Odgovor je ovdje jednostavan - ne znaš šta da radiš, uradi šta možeš. Kad bi samo vaši postupci išli u miru i skladu s pravilima matematike i ne bi im bili u suprotnosti.) Na primjer, takav zadatak:

Izračunati:

Čak iu ovako jednostavnom primjeru moguće je nekoliko puteva do odgovora.

Prvi je da jednostavno pomnožite korijene s prvim svojstvom i izvučete korijen iz rezultata:

Druga opcija je ova: ne dirajte, radite sa . Izvadimo faktor ispod znaka korijena, a zatim - prema prvom svojstvu. Volim ovo:

Možete odlučiti šta god želite. U bilo kojoj od opcija, odgovor je jedan - osam. Na primjer, lakše mi je pomnožiti 4 i 128 i dobiti 512, a kubni korijen je savršeno izvučen iz ovog broja. Ako se neko ne sjeća da je 512 8 kubnih, onda nema veze: možete napisati 512 kao 2 9 (prvih 10 potencija od dva, nadam se da se sjećate?) I koristeći formulu korijena stepena:

Još jedan primjer.

Izračunati: .

Ako radite na prvom svojstvu (sve tjerate pod jedan korijen), onda dobijete pozamašan broj, iz kojeg se potom vadi korijen - također ne šećer. I nije činjenica da će se ravnomjerno izdvajati.) Stoga je ovdje korisno izvaditi faktore ispod korijena u broju. I maksimalno iskoristite:

I sad je sve u redu:

Ostaje zapisati osam i dva pod jednim korijenom (prema prvom svojstvu) i - slučaj je spreman. :)

Sada dodajmo neke razlomke.

Izračunati:

Primjer je prilično primitivan, ali ima i mogućnosti. Možete koristiti množitelj da pretvorite brojilac i smanjite sa nazivnikom:

I možete odmah koristiti formulu za podjelu korijena:

Kao što vidite, ovako i onako - sve je u redu.) Ako se ne spotaknete na pola puta i ne pogriješite. Ali gde je tu greska...

Razmotrimo sada najnoviji primjer zadaća zadnja lekcija:

Pojednostavite:

Potpuno nezamisliv skup korijena, pa čak i ugniježđenih. Kako biti? Glavna stvar je da se ne plašite! Ovdje prvo primjećujemo ispod korijena brojeva 2, 4 i 32 - stepen dvojke. Prvo što treba učiniti je dovesti sve brojeve do dva: na kraju krajeva, što je više identičnih brojeva u primjeru i manje različitih, to je lakše.) Počnimo odvojeno s prvim faktorom:

Broj se može pojednostaviti smanjenjem dva ispod korijena s četiri u korijenskom eksponentu:

Sada, prema korijenu rada:

.

U broju vadimo dvojku za znak korijena:

I bavimo se izrazom prema formuli korijena iz korijena:

Dakle, prvi faktor će biti napisan ovako:

Ugniježđeni korijeni su nestali, brojevi su postali manji, što je već drago. Samo su korijeni drugačiji, ali za sada ćemo to ostaviti tako. Bit će potrebno - preći ćemo na isto. Uzimamo drugi faktor.)

Drugi faktor transformiramo na isti način, prema formuli korijena iz proizvoda i korijena iz korijena. Gdje je potrebno, smanjujemo indikatore prema petoj formuli:

Sve zalijepimo u originalni primjer i dobijemo:

Dobili smo proizvod čitave gomile potpuno različitih korijena. Bilo bi lijepo da ih sve dovedemo do jednog pokazatelja, a onda ćemo vidjeti. Pa, sasvim je moguće. Najveći indeks korijena je 12, a svi ostali - 2, 3, 4, 6 - su djelitelji broja 12. Stoga ćemo sve korijene prema petom svojstvu dovesti na jedan indikator - na 12:

Računamo i dobijamo:

Nismo dobili dobar broj, ali to je u redu. Pitali su nas pojednostaviti izraz, ne count. Pojednostavljeno? Svakako! A tip odgovora (cijeli ili ne) ovdje ne igra nikakvu ulogu.

Neke formule za sabiranje/oduzimanje i skraćeno množenje

nažalost, opšte formule za sabiranje i oduzimanje korijena ne u matematici. Međutim, u zadacima se ove radnje vrlo često nalaze s korijenima. Ovdje je potrebno razumjeti da su svi korijeni potpuno iste matematičke ikone kao slova u algebri.) I za korijene vrijede iste tehnike i pravila kao i za slova - otvaranje zagrada, dovođenje sličnih, skraćene formule za množenje, itd. P.

Na primjer, svima je jasno da . Slično isto Korijeni se mogu lako dodati/oduzeti između sebe:

Ako su korijeni različiti, onda tražimo način da ih učinimo istim - dodavanjem/uklanjanjem faktora ili petim svojstvom. Ako je dobro, to ni na koji način ne pojednostavljuje, onda su, možda, transformacije teže.

Pogledajmo prvi primjer.

Pronađite vrijednost izraza: .

Sva tri korijena, iako kubična, jesu drugačije brojevi. Oni nisu čisto ekstrahovani i dodaju se/oduzimaju jedno od drugog. Stoga primjena općih formula ovdje ne funkcionira. Kako biti? I hajde da izvadimo faktore u svakom korenu. U svakom slučaju, neće biti gore.) Štaviše, nema drugih opcija:

To je, .

To je cijelo rješenje. Ovdje smo prešli iz različitih korijena u iste uz pomoć vađenje množitelja ispod korijena. A onda su samo donijeli slične.) Odlučujemo dalje.

Pronađite vrijednost izraza:

Sa korijenom od sedamnaest, definitivno ne možete ništa učiniti po tom pitanju. Radimo prema prvom svojstvu - pravimo jedan korijen od proizvoda dva korijena:

Sada pogledajmo izbliza. Šta imamo pod velikim kubnim korijenom? Razlika je kva.. Pa naravno! Kvadratna razlika:

Sada ostaje samo izdvojiti korijen: .

Izračunati:

Ovdje morate pokazati matematičku domišljatost.) Mislimo otprilike ovako: „Dakle, u primjeru, proizvod korijena. Ispod jednog korijena je razlika, a ispod drugog je zbir. Vrlo slično formuli razlike kvadrata. Ali… Koreni su drugačiji! Prvi je kvadratni, a drugi je četvrtog stepena... Bilo bi lijepo da budu isti. Do petog svojstva, može se lako iz kvadratni korijen napravi četvrti korijen. Da biste to učinili, dovoljno je kvadrirati korijen izraza.

Ako ste razmišljali o istom, onda ste na pola puta do uspjeha. Prilično tačno! Pretvorimo prvi faktor u četvrti korijen. Volim ovo:

Sada se ništa ne može učiniti, ali morate zapamtiti formulu za kvadrat razlike. Samo kada se nanese na korijenje. Pa šta? Zašto su korijeni gori od drugih brojeva ili izraza?! Gradimo:

„Hm, pa, oni su ga napravili, pa šta? Hren od rotkvice nije slađi. Stani! A ako izvadiš četiri ispod korijena? Tada će se pojaviti isti izraz kao pod drugim korijenom, samo sa minusom, a to je upravo ono što pokušavamo postići!

Tačno! Uzmimo četiri:

.

A sada - stvar tehnologije:

Ovako se razotkrivaju složeni primjeri.) Sada je vrijeme za vježbanje s razlomcima.

Izračunati:

Jasno je da je potrebno transformisati brojilac. Kako? Prema formuli kvadrata zbira, naravno. Imamo li druge opcije? :) Kvadriranje, vađenje množitelja, redukcijski indikatori (gdje je potrebno):

Kako! Dobili smo tačno imenilac našeg razlomka.) Dakle, cijeli razlomak je, očito, jednak jedan:

Još jedan primjer. Tek sada na drugu formulu za skraćeno množenje.)

Izračunati:

Jasno je da se kvadrat razlike mora primijeniti u poslovanju. Imenilac ispisujemo posebno i - idemo!

Izvadimo množitelje ispod korijena:

dakle,

Sada je sve loše super smanjeno i ispada:

Pa, idemo na sljedeći nivo. :)

Pisma i dodatni uslovi

Slovni izrazi s korijenima su lukavija stvar numeričke izraze, i nepresušan je izvor dosadnih i vrlo grubih grešaka. Blokirajmo ovaj izvor.) Greške se pojavljuju zbog činjenice da se negativni brojevi i izrazi često pojavljuju u takvim zadacima. Oni su nam ili dati direktno u zadatku, ili skriveni u njima pisma i dodatni uslovi. A u procesu rada s korijenima, stalno se moramo toga sjećati u korijenima čak stepen kako ispod samog korijena tako i kao rezultat vađenja korijena treba biti nenegativni izraz. Ključna formula u zadacima ovog paragrafa bit će četvrta formula:

Sa korijenima neparnog stepena, nema pitanja - tamo se uvijek sve izvlači sa plusom, sa minusom. I minus se, ako ništa drugo, iznosi naprijed. Odmah ćemo se pozabaviti korijenima čak stepeni.) Na primjer, tako kratak zadatak.

Pojednostavite: , ako .

Čini se da je sve jednostavno. Ispostaviće se samo x.) Ali zašto onda dodatni uslov ? U takvim slučajevima, korisno je procijeniti brojevima. Čisto za sebe.) Ako, tada je x negativan broj. Minus tri, na primjer. Ili minus četrdeset. Neka bude . Možete li podići minus tri na četvrti stepen? Svakako! Ispada 81. Da li je moguće izvući korijen četvrtog stepena iz 81? Zašto ne? Može! Uzmi tri. Sada analizirajmo cijeli naš lanac:

šta vidimo? Ulaz je bio negativan, a izlaz pozitivan. Bilo je minus tri, sada je plus tri.) Vratimo se slovima. Bez sumnje, po modulu će biti tačno X, ali samo X je sa minusom (po uslovu!), a rezultat ekstrakcije (zbog aritmetičkog korena!) treba da bude sa plusom. Kako dobiti plus? Veoma jednostavno! Za ovo je dovoljno ranije negativan broj stavi minus.) I ispravno rješenje izgleda ovako:

Usput, ako bismo koristili formulu, tada bismo, prisjetivši se definicije modula, odmah dobili tačan odgovor. Ukoliko

|x| = -x na x<0.

Izvadite faktor iz korijenskog znaka: , gdje .

Prvi pogled je na korijenski izraz. Ovde je sve u redu. U svakom slučaju, neće biti negativno. Počinjemo sa ekstrakcijom. Prema formuli korijena proizvoda izdvajamo korijen iz svakog faktora:

Odakle su moduli, mislim, više nije potrebno objašnjavati.) A sada analiziramo svaki od modula.

Multiplikator | a | pa ga ostavljamo nepromijenjenim: nemamo nikakav uslov za pismoa. Ne znamo da li je to pozitivno ili negativno. Sljedeći modul |b 2 | može se sigurno izostaviti: u svakom slučaju, izrazb 2 nenegativan. A šta je sa |c 3 | - ovo je već problem.) Ako, zatim i c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть sa minusom: | c 3 | = - c 3 . Dakle, ispravno rješenje bi bilo:

A sada - obrnuti zadatak. Nije najlakše, upozoravam vas odmah!

Unesite faktor ispod predznaka korijena: .

Ako odmah napišete rješenje ovako

onda ti upao u zamku. Ovo je pogrešna odluka! Sta je bilo?

Pogledajmo izraz ispod korijena. Pod korenom četvrtog stepena, kao što znamo, trebalo bi da bude nenegativan izraz. Inače, korijen nema značenje.) Stoga, A ovo, zauzvrat, znači to i, stoga, samo po sebi je također nepozitivno: .

A greška je što dovodimo pod korijen nepozitivna broj: četvrta snaga ga pretvara u nenegativan i dobije se netačan rezultat - namjerni minus lijevo, a već plus desno. I dovesti pod korijen čak stepen imamo samo pravo nenegativan brojevima ili izrazima. I ostavite minus, ako postoji, ispred korijena.) Kako možemo izdvojiti nenegativan faktor u broju, znajući da je sam po sebi negativan? Da, potpuno isto! Stavite minus.) I da se ništa nije promijenilo, nadoknadite ga još jednim minusom. Volim ovo:

I sada nenegativan broj (-b) se mirno upisuje pod korijen prema svim pravilima:

Ovaj primjer jasno pokazuje da, za razliku od drugih grana matematike, tačan odgovor u korijenima ne slijedi uvijek automatski iz formula. Morate razmisliti i lično donijeti pravu odluku.) Posebno treba biti oprezniji sa prijavama iracionalne jednačine i nejednačine.

Bavimo se sledećom važnom tehnikom u radu sa korenima - oslobađanje od iracionalnosti.

Oslobađanje od iracionalnosti u razlomcima

Ako u izrazu ima korijena, onda, da vas podsjetim, takav izraz se zove izraz sa iracionalnošću. U nekim slučajevima je korisno osloboditi se ove same iracionalnosti (tj. korijena). Kako možete ukloniti korijen? Naš korijen nestaje kada se... podignemo na stepen. Sa eksponentom ili jednakim eksponentu korijena, ili višestrukim. Ali, ako podignemo korijen na stepen (tj. pomnožimo korijen sam sa sobom potreban broj puta), tada će se izraz promijeniti iz ovoga. Nije dobro.) Međutim, u matematici postoje teme u kojima je množenje prilično bezbolno. U razlomcima, na primjer. Prema osnovnom svojstvu razlomka, ako se brojilac i imenilac pomnože (podijele) istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

Pretpostavimo da nam je dat sljedeći razlomak:

Da li je moguće riješiti se korijena u nazivniku? Može! Da biste to učinili, korijen mora biti narezan na kocke. Šta nam nedostaje u nazivniku za punu kocku? Nedostaje nam množitelj, tj.. Dakle, pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa

Korijen u nazivniku je nestao. Ali... pojavio se u brojiocu. Nema šta da se radi, takva je sudbina.) To nam više nije važno: od nas se tražilo da oslobodimo imenilac iz korena. Oslobođen? Bez sumnje.)

Inače, oni koji su već u sukobu s trigonometrijom možda su obratili pažnju na to da u nekim udžbenicima i tablicama, na primjer, označavaju drugačije: negdje, ali negdje. Pitanje je šta je ispravno? Odgovor: sve je tačno!) Ako pogoditeje jednostavno rezultat oslobađanja od iracionalnosti u nazivniku razlomka. :)

Zašto bismo se u razlomcima trebali osloboditi iracionalnosti? Kakva je razlika da li je korijen u brojniku ili u nazivniku? Kalkulator će ionako sve izračunati.) Pa, za one koji se ne odvajaju od kalkulatora, zaista nema razlike... Ali, čak i računajući na kalkulator, možete obratiti pažnju na činjenicu da dijeliti na cijeli broj je uvijek praktičniji i brži od iracionalno. A o podjeli ću prećutati u koloni.)

Sljedeći primjer će samo potvrditi moje riječi.

Kako ovdje eliminirati kvadratni korijen u nazivniku? Ako se brojnik i imenilac pomnože sa izrazom, tada će imenilac biti kvadrat zbira. Zbir kvadrata prvog i drugog broja dat će nam samo brojeve bez korijena, što je vrlo ugodno. Međutim... pojaviće se dvostruki proizvod od prvog broja do drugog, pri čemu će i dalje ostati korijen od tri. Ne kanališe. Kako biti? Zapamtite još jednu divnu formulu za skraćeno množenje! Gdje nema dvostrukih proizvoda, već samo kvadrata:

Takav izraz, koji, kada se pomnoži nekim zbrojem (ili razlikom), vodi do razlika kvadrata, također tzv konjugirani izraz. U našem primjeru, spojni izraz će biti razlika. Dakle, pomnožimo brojilac i imenilac ovom razlikom:

Šta se tu može reći? Kao rezultat naših manipulacija, ne samo da je nestao korijen nazivnika - nestao je razlomak općenito! :) Čak i sa kalkulatorom, lakše je oduzimanje korijena od tri od tri nego brojati razlomak sa korijenom u nazivniku. Još jedan primjer.

Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka:

Kako izaći odavde? Skraćene formule množenja s kvadratima ne rade odmah - neće biti moguće potpuno eliminirati korijene zbog činjenice da ovaj put naš korijen nije kvadratan, već kubni. Potrebno je da se korijen nekako podigne u kocku. Stoga je potrebno primijeniti neku od formula sa kockama. Šta? Hajde da razmislimo. Imenilac je zbir. Kako postižemo kubni korijen? Pomnoži sa nepotpuna kvadratna razlika! Stoga ćemo primijeniti formulu sume kocki. Ovaj:

As a imamo tri, i kao b je kubni korijen od pet:

I opet je razlomak nestao.) Takve situacije, kada, kada se oslobodi iracionalnosti u nazivniku razlomka, sam razlomak potpuno nestane zajedno s korijenima, vrlo su česte. Kako vam se sviđa ovaj primjer!

Izračunati:

Samo pokušajte da saberete ova tri razlomka! Nema grešaka! :) Jedan zajednički imenitelj nešto vredi. Ali šta ako pokušamo da se riješimo iracionalnosti u nazivniku svakog razlomka? Pa, hajde da probamo:

Vau, kako zanimljivo! Svi razlomci su nestali! Potpuno. A sada je primjer riješen u dvije točke:

Jednostavno i elegantno. I to bez dugih i zamornih kalkulacija. :)

Zato se operacija oslobađanja od iracionalnosti u razlomcima mora moći izvesti. U takvim otmjenim primjerima samo ona spašava, da.) Naravno, niko nije otkazao pažnju. Postoje zadaci u kojima se od njih traži da se otarase iracionalnosti brojilac. Ovi zadaci se ne razlikuju od razmatranih, samo je brojnik očišćen od korijena.)

Složeniji primjeri

Ostaje razmotriti neke posebne tehnike u radu s korijenima i vježbati otkrivanje ne najjednostavnijih primjera. I tada će primljene informacije već biti dovoljne za rješavanje zadataka s korijenima bilo kojeg nivoa složenosti. Dakle - samo naprijed.) Prvo, hajde da shvatimo šta da radimo sa ugniježđenim korijenima kada korijenska formula iz korijena ne radi. Na primjer, evo primjera.

Izračunati:

Korijen ispod korijena... Osim toga, ispod korijena je zbir ili razlika. Dakle, formula korijena iz korijena (sa množenjem indikatora) je ovdje Ne radi. Dakle, nešto treba poduzeti radikalni izrazi O: Jednostavno nemamo druge opcije. U takvim primjerima najčešće se šifrira pod velikim korijenom pun kvadrat neki iznos. Ili razlike. A korijen kvadrata je već savršeno izvučen! A sada je naš zadatak da ga dešifrujemo.) Takvo dešifrovanje je lijepo izvedeno sistem jednačina. Sada možete i sami da vidite.)

Dakle, ispod prvog korijena imamo ovaj izraz:

Šta ako nisi pogodio? Hajde da proverimo! Kvadriranje pomoću formule zbira kvadrata:

Tako je.) Ali... Odakle mi ovaj izraz? Sa neba?

Ne.) Iskreno ćemo dobiti malo niže. Samo koristeći ovaj izraz, pokazujem tačno kako kompajleri zadataka šifriraju takve kvadrate. :) Šta je 54? Ovo je zbir kvadrata prvog i drugog broja. I, obratite pažnju, već bez korijena! Ali korijen ostaje dvostruki proizvod, što je u našem slučaju jednako . Stoga, otkrivanje takvih primjera počinje potragom za dvostrukim proizvodom. Ako se raspetljate sa uobičajenim odabirom. I usput, o znakovima. Ovdje je sve jednostavno. Ako je prije udvostručen plus, onda je kvadrat sume. Ako je minus, onda razlika.) Imamo plus - što znači kvadrat zbira.) A sada - obećana analitička metoda dekodiranja. kroz sistem.)

Dakle, ispod našeg korena, izraz jasno visi (a+b) 2, a naš zadatak je pronaći a i b. U našem slučaju, zbir kvadrata daje 54. Dakle, pišemo:

Sada udvostručite proizvod. Imamo ga. Pa pišemo:

Imamo sledeći sistem:

Rješavamo uobičajenim metodom zamjene. Iz druge jednačine izražavamo, na primjer, i zamjenjujemo u prvu:

Rešimo prvu jednačinu:

Imam bi-kvadrat jednadžba zaa . Diskriminantnim smatramo:

znači,

Dobili smo čak četiri moguće vrijednostia. Ne bojimo se. Sada ćemo izbaciti sve suvišno.) Ako sada izračunamo odgovarajuće vrijednosti za svaku od četiri pronađene vrijednosti, dobićemo četiri rješenja za naš sistem. Evo ih:

I onda se postavlja pitanje – koje od rješenja nam odgovara? Hajde da razmislimo. Negativna rješenja se mogu odmah odbaciti: pri kvadriranju minusi će "izgorjeti", a cijeli radikalni izraz se neće promijeniti u cjelini.) Ostaju prve dvije opcije. Možete ih odabrati potpuno proizvoljno: zbir se ionako ne mijenja od preuređivanja pojmova.) Neka, na primjer, , i .

Ukupno, dobili smo kvadrat sljedeće količine ispod korijena:

Sve je jasno.)

Nije uzalud što ovako detaljno opisujem tok rješenja. Da bude jasno kako se dešifrovanje odvija.) Ali postoji jedan problem. Analitička metoda dekodiranja, iako pouzdana, vrlo je duga i glomazna: morate riješiti bikvadratnu jednačinu, dobiti četiri rješenja sistema, a zatim razmisliti koja da odaberete... Problematično? Slažem se, teško je. Ova metoda radi besprijekorno u većini ovih primjera. Međutim, često je sjajno smanjiti svoj posao i kreativno pronaći oba broja. Izbor.) Da, da! Sada ću na primjeru drugog člana (drugi korijen) pokazati lakši i brži način odabira cijelog kvadrata ispod korijena.

Dakle, sada imamo ovaj root: .

Mislimo ovako: “Ispod korijena je najvjerovatnije šifrirani puni kvadrat. Vremena ispred udvostručenog minusa označavaju kvadrat razlike. Zbir kvadrata prvog i drugog broja daje nam broj 54. Ali šta su ovi kvadrati? 1 i 53? 49 i 5 ? Previše opcija... Ne, bolje je započeti rasplet sa dvostrukim proizvodom. Našmože se napisati kao . Jednom posao duplo, onda odmah odbacujemo dvojku. Zatim kandidati za ulogu a i b ostaju 7 i . I odjednom je 14 i/2 ? Nije isključeno. Ali uvijek počinjemo s jednostavnim! Dakle, neka , a . Provjerimo ih za zbir kvadrata:

Desilo se! Dakle, naš korijenski izraz je zapravo kvadrat razlike:

Evo takvog svjetla, da se ne petljate sa sistemom. Ne radi uvijek, ali je u mnogim takvim primjerima sasvim dovoljno. Dakle, ispod korijena su puni kvadrati. Ostaje samo ispravno izvaditi korijene i izbrojati primjer:

A sada analizirajmo još nestandardniji zadatak u korijenima.)

Dokazati da je broj Aje cijeli broj ako .

Ništa se ne vadi direktno, korijeni su ugniježđeni, pa čak i različitog stepena... Noćna mora! Međutim, zadatak ima smisla.) Dakle, postoji ključ za njegovo rješenje.) A ključ je ovdje. Uzmite u obzir našu jednakost

as jednadžba za A. Da da! Bilo bi lijepo riješiti se korijena. Naši korijeni su kubni, pa podignimo obje strane jednadžbe na kocku. Prema formuli sum cube:

Kocke i kubni korijeni se međusobno kompenziraju, a ispod svakog velikog korijena uzimamo jednu zagradu iz kvadrata i pretvaramo umnožak razlike i zbroja u razliku kvadrata:

Zasebno izračunavamo razliku kvadrata ispod korijena:

Prilikom pretvaranja aritmetičkih korijena koriste se njihova svojstva (vidi tačku 35).

Razmotrimo nekoliko primjera primjene svojstava aritmetičkih korijena za najjednostavnije transformacije radikala. U ovom slučaju, smatrat će se da sve varijable uzimaju samo ne-negativne vrijednosti.

Primjer 1. Izdvojite korijen iz proizvoda Odluka. Primenom svojstva 1° dobijamo:

Primjer 2. Izvadite faktor ispod znaka korijena

Odluka.

Takva transformacija se zove faktoring ispod predznaka korijena. Svrha transformacije je pojednostavljenje radikalnog izraza.

Primjer 3: Pojednostavite

Odluka. Prema svojstvu 3°, obično pokušavamo da pojednostavimo radikalni izraz, za koji se izvlače faktori izvan predznaka korijena. Imamo

Primjer 4: Pojednostavite

Odluka. Transformišemo izraz uvođenjem faktora pod znakom korena: Po svojstvu 4° imamo

Primjer 5: Pojednostavite

Odluka. Svojstvom 5° imamo pravo podijeliti eksponent korijena i eksponent radikalnog izraza istim prirodnim brojem. Ako u primjeru koji se razmatra podijelimo naznačene indikatore sa 3, onda ćemo dobiti

Primjer 6. Pojednostavite izraze: a)

Rješenje, a) Svojstvom 1° dobijamo da je za množenje korijena istog stepena dovoljno pomnožiti korijenske izraze i iz dobivenog rezultata izdvojiti korijen istog stepena. znači,

b) Prije svega, moramo svesti radikale na jedan indeks. Prema svojstvu 5°, eksponent korijena i eksponent korijenskog izraza možemo pomnožiti istim prirodnim brojem. Dakle, Dalje, imamo I sada, u dobijenom rezultatu, dijeleći indikatore korijena i stepena radikalnog izraza sa 3, dobijamo

Trener broj 1

Tema: Pretvaranje snaga i iracionalni izrazi

1. Program izbornog predmeta matematika za učenike 10. razreda

   Program

   Aplikacija. Primjena osnovnih trigonometrijskih formula na transformacija izrazi. Predmet 4. Trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Sumiraj... . 16.01-20.01 18 transformacija moć i iracionalno izrazi. 23.01-27.01 19 ...

2. Kalendarsko-tematsko planiranje algebre nastavnog materijala i početak analize, 11. razred

   Kalendarsko-tematsko planiranje

   I racionalan pokazatelj. transformacija moć i iracionalno izrazi. 2 2 2 septembar Osobine logaritama. transformacija logaritamski izrazi. 1 1 1 ... potpuno obrađen one studenti koji teže visokim...

3. Tema lekcije Vrsta lekcije (4)

   Lekcija

   ... transformacije numerički i alfabetski izrazi koji sadrži stepen ... stepeni Znati: koncept stepen sa iracionalnim eksponentom; osnovna svojstva stepeni. Biti u stanju: pronaći značenje stepen sa iracionalno... 3 od tema « Stepen pozitivan broj...

4. Tema Kulturno-istorijske osnove za razvoj psiholoških znanja u radu Tema Rad kao socio-psihološka stvarnost

   Dokument

   I itd.) predmet rad je usko povezan sa socio-ekonomskim transformacije. Na primjer, ... restrukturiranje svijesti, instinkta, iracionalno trendovi, tj. unutrašnji sukobi ... utvrđivanje prisustva i stepen ekspresivnost osoba ima određene...

5. Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene (1)

   Lekcija

   Uredio S.A. Telyakovsky. Predmet lekcija: transformacija izrazi koji sadrži kvadrat...) transformacije korijenje iz proizvoda, frakcije i stepen, množenje ... (formiranje vještine identičnog transformacije iracionalno izrazi). br. 421. (kod table...

Svojstva korijena leže u osnovi sljedeće dvije transformacije, koje se nazivaju dovođenje pod znak korijena i vađenje ispod znaka korijena, na koje se sada okrećemo.

Unos faktora pod znakom korijena

Unošenje faktora pod znakom znači zamjenu izraza , gdje su B i C neki brojevi ili izrazi, a n je prirodni broj veći od jedan, identično jednakim izrazom oblika ili .

Na primjer, iracionalni izraz nakon dodavanja faktora 2 ispod predznaka korijena poprima oblik .

Teorijske osnove ove transformacije, pravila za njenu implementaciju, kao i rješenja za sve vrste tipičnih primjera dati su u članku u kojem se uvodi faktor pod predznakom korijena.

Vađenje množitelja ispod znaka korijena

Transformacija, u određenom smislu, obrnuta od uvođenja faktora ispod predznaka korena, jeste uklanjanje faktora ispod predznaka korena. Sastoji se od predstavljanja korijena kao proizvoda za neparno n ili kao proizvoda za parno n, gdje su B i C neki brojevi ili izrazi.

Za primjer, vratimo se na prethodni pasus: nakon što se faktor izvadi ispod predznaka korijena, iracionalni izraz poprima oblik . Drugi primjer: uzimanje faktora ispod znaka korijena u izrazu daje proizvod koji se može prepisati kao .

Na čemu se temelji ova transformacija i po kojim pravilima se provodi, analizirat ćemo u posebnom članku uklanjanje faktora ispod predznaka korijena. Na istom mjestu dajemo rješenja za primjere i navodimo načine da se radikalni izraz dovede u oblik pogodan za uzimanje množitelja.

Pretvaranje razlomaka koji sadrže korijene

Iracionalni izrazi mogu sadržavati razlomke, u brojniku i nazivniku kojih se nalaze korijeni. S takvim frakcijama možete izvršiti bilo koji od glavnih identične transformacije razlomaka.

Prvo, ništa vas ne sprječava da radite s izrazima u brojniku i nazivniku. Uzmimo razlomak kao primjer. Iracionalni izraz u brojiocu je očito identično jednak , i, pozivajući se na svojstva korijena, izraz u nazivniku može se zamijeniti korijenom. Kao rezultat toga, originalni razlomak se pretvara u oblik .

Drugo, možete promijeniti predznak prije razlomka mijenjanjem predznaka brojnika ili nazivnika. Na primjer, postoje takve transformacije iracionalnog izraza: .

Treće, ponekad je moguće i svrsishodno smanjiti frakciju. Na primjer, kako sebi uskratiti zadovoljstvo smanjivanja razlomka na iracionalni izraz , kao rezultat dobijamo .

Jasno je da u mnogim slučajevima, prije nego što se izvrši redukcija razlomka, moraju se rastaviti na faktore izrazi u njegovom brojiocu i nazivniku, što se u jednostavnim slučajevima može postići skraćenim formulama za množenje. A ponekad zamjena varijable pomaže u smanjenju razlomka, omogućavajući vam da prijeđete s originalnog razlomka s iracionalnošću na racionalni razlomak, koji je ugodniji i poznatiji za rad.

Uzmimo izraz kao primjer. Hajde da uvedemo nove varijable i , u tim varijablama originalni izraz ima oblik . Izvođenje u brojiocu

Članak otkriva značenje iracionalnih izraza i transformacija s njima. Razmotrimo sam koncept iracionalnih izraza, transformacije i karakterističnih izraza.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta su iracionalni izrazi?

Kada se u školi upoznamo s korijenom, proučavamo pojam iracionalnih izraza. Takvi izrazi su usko povezani s korijenima.

Definicija 1

Iracionalni izrazi su izrazi koji imaju korijen. Odnosno, to su izrazi koji imaju radikale.

Na osnovu ove definicije, imamo da su x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 svi izrazi iracionalnog tipa.

Kada razmatramo izraz x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, nalazimo da je izraz racionalan. Racionalni izrazi uključuju polinome i algebarske razlomke. Iracionalni uključuju rad sa logaritamskim izrazima ili radikalnim izrazima.

Glavne vrste transformacija iracionalnih izraza

Prilikom izračunavanja takvih izraza potrebno je obratiti pažnju na ODZ. Često zahtijevaju dodatne transformacije u obliku proširenih zagrada, ubacivanja poput članova, grupisanja i tako dalje. Osnova takvih transformacija su operacije s brojevima. Transformacije iracionalnih izraza slijede strogi redoslijed.

Primjer 1

Pretvori izraz 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .

Odluka

Potrebno je zamijeniti broj 9 izrazom koji sadrži korijen. Onda to shvatamo

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Dobijeni izraz ima slične pojmove, pa hajde da izvršimo redukciju i grupisanje. Get

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
odgovor: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Primjer 2

Predstavite izraz x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 kao proizvod dva iracionalna koristeći skraćene formule za množenje.

Rješenja

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Predstavljamo 9 u obliku 3 2 i primjenjujemo formulu za razliku kvadrata:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Rezultat identičnih transformacija doveo je do proizvoda dva racionalna izraza, koja je trebalo pronaći.

odgovor:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Možete izvesti niz drugih transformacija koje se odnose na iracionalne izraze.

Radikalna transformacija izraza

Važno je da se izraz pod znakom korijena može zamijeniti njemu identično jednakim. Ova izjava omogućava rad sa radikalnim izrazom. Na primjer, 1 + 6 se može zamijeniti sa 7 ili 2 · a 5 4 - 6 sa 2 · a 4 · a 4 - 6 . Oni su identično jednaki, tako da zamjena ima smisla.

Kada ne postoji 1 različit od a, gdje je tačna nejednakost oblika a n = a 1 n, tada je takva jednakost moguća samo kada je a = a 1. Vrijednosti takvih izraza jednake su bilo kojoj vrijednosti varijabli.

Korištenje korijenskih svojstava

Svojstva korijena koriste se za pojednostavljenje izraza. Da primijenimo svojstvo a · b = a · b, gdje je a ≥ 0, b ≥ 0, onda iz iracionalnog oblika 1 + 3 · 12 može postati identično jednako 1 + 3 · 12. Nekretnina. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2 , . . . , · n k , pri čemu a ≥ 0 znači da se x 2 + 4 4 3 može zapisati u obliku x 2 + 4 24 .

Postoje neke nijanse prilikom pretvaranja radikalnih izraza. Ako postoji izraz, onda - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 ne možemo zapisati, jer formula a b n = a n b n služi samo za nenegativno a i pozitivno b. Ako je svojstvo ispravno primijenjeno, tada će se dobiti izraz oblika 7 4 81 4.

Za ispravnu transformaciju koriste se transformacije iracionalnih izraza koristeći svojstva korijena.

Unos faktora pod znakom korijena

Definicija 3

Uđite pod znakom korijena– znači zamijeniti izraz B · C n , a B i C su neki brojevi ili izrazi, gdje je n prirodan broj veći od 1, jednakim izrazom koji ima oblik B n · C n ili - B n · C n .

Ako pojednostavimo izraz oblika 2 x 3, onda nakon što ga dodamo ispod korijena, dobijemo da je 2 3 x 3. Takve transformacije su moguće tek nakon detaljnog proučavanja pravila za uvođenje faktora ispod predznaka korijena.

Vađenje množitelja ispod znaka korijena

Ako postoji izraz oblika B n · C n , onda se on svodi na oblik B · C n , gdje postoje neparni n , koji imaju oblik B · C n sa parnim n , B i C su neki brojevi i izrazi.

Odnosno, ako uzmemo iracionalan izraz oblika 2 3 · x 3 , izvadimo faktor ispod korijena, onda ćemo dobiti izraz 2 · x 3 . Ili će x + 1 2 · 7 rezultirati izrazom kao što je x + 1 · 7, koji ima drugu notaciju u obliku x + 1 · 7.

Vađenje množitelja ispod korijena potrebno je da bi se izraz pojednostavio i njegova brza transformacija.

Pretvaranje razlomaka koji sadrže korijene

Iracionalni izraz može biti ili prirodan broj ili razlomak. Za pretvaranje frakcijskih izraza velika se pažnja posvećuje njegovom nazivniku. Ako uzmemo razlomak oblika (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, tada će brojilac dobiti oblik 5 x 4, a koristeći svojstva korijena, dobijamo da će imenilac postati x 2 + 5 6. Originalni razlomak se može napisati kao 5 x 4 x 2 + 5 6 .

Imajte na umu da je potrebno promijeniti samo predznak brojnika ili samo nazivnik. Shvatili smo to

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Smanjenje razlomaka najčešće se koristi kod pojednostavljivanja. Shvatili smo to

3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 smanjujemo za x + 4 3 - 1 . Dobijamo izraz 3 · x x + 4 3 - 1 2 .

Prije redukcije potrebno je izvršiti transformacije koje pojednostavljuju izraz i omogućavaju faktorizaciju složenog izraza. Najčešće korištene formule su skraćeno množenje.

Ako uzmemo razlomak oblika 2 · x - y x + y, tada je potrebno uvesti nove varijable u = x i v = x, tada će dati izraz promijeniti oblik i postati 2 · u 2 - v 2 u + v. Brojač treba razložiti na polinome prema formuli, onda to dobijemo

2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v . Nakon izvršenja obrnute zamjene, doći ćemo do oblika 2 · x - y, koji je jednak originalnom.

Dozvoljeno je svođenje na novi imenilac, tada je potrebno brojilac pomnožiti dodatnim faktorom. Ako uzmemo razlomak oblika x 3 - 1 0, 5 · x, onda se svodi na imenilac x. za ovo trebate pomnožiti brojilac i nazivnik sa izrazom 2 x, tada ćemo dobiti izraz x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Smanjenje razlomaka ili dovođenje sličnih potrebno je samo na ODZ navedenog razlomka. Kada pomnožimo brojilac i imenilac iracionalnim izrazom, dobijamo da se oslobađamo iracionalnosti u nazivniku.

Oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku

Kada se izraz oslobodi korijena u nazivniku transformacijom, onda se to zove oslobađanje od iracionalnosti. Razmotrimo primjer razlomka oblika x 3 3 . Nakon što se riješimo iracionalnosti, dobijamo novi razlomak oblika 9 3 · x 3 .

Prijelaz iz korijena u stupnjeve

Prijelazi s korijena na moći su neophodni za brzu transformaciju iracionalnih izraza. Ako uzmemo u obzir jednakost a m n = a m n , onda je jasno da je njena upotreba moguća kada je a pozitivan broj, m cijeli broj, a n prirodan broj. Ako uzmemo u obzir izraz 5 - 2 3 , u suprotnom imamo pravo da ga zapišemo kao 5 - 2 3 . Ovi izrazi su ekvivalentni.

Kada postoji negativan broj ili broj sa varijablama ispod korijena, onda formula a m n = a m n nije uvijek primjenjiva. Ako takve korijene (- 8) 3 5 i (- 16) 2 4 trebate zamijeniti potencijama, onda dobijamo da - 8 3 5 i - 16 2 4 prema formuli a m n = a m n ne rade s negativnim a. Da bi se detaljnije analizirala tema radikalnih izraza i njihovih simplifikacija, potrebno je proučiti članak o prijelazu s korijena na stepene i obrnuto. Treba imati na umu da formula a m n = a m n nije primjenjiva na sve izraze ove vrste. Oslobađanje od iracionalnosti doprinosi daljem pojednostavljenju izraza, njegovoj transformaciji i rješenju.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter