Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hoćemo li to shvatiti?)

Linearna jednadžba se obično definira kao jednačina oblika:

sjekira + b = 0 gdje a i b- bilo koji broj.

2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite, ali nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, a b=5, ispada nešto sasvim apsurdno:

Ono što opterećuje i podriva samopouzdanje u matematici, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza, također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučit ćemo kako to učiniti. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi šta izgled.) Trik je u tome što se linearne jednačine ne nazivaju samo jednadžbama oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama svode na ovaj oblik. I ko zna da li je smanjen ili ne?)

U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznate u prvom stepenu, da brojevi. A jednačina nije razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je to! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, u kocki, itd., a nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi x u prvom stepenu, ali postoji podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti i linearnu jednačinu, i kvadratnu, i sve što želite.

Ispostavilo se da je nemoguće pronaći linearnu jednačinu u nekom zamršenom primjeru dok je gotovo ne riješite. To je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? U zadacima su jednačine uređene odlučiti. Ovo me čini srećnom.)

Rješenje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (čak dvije!) leže u osnovi rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, odluka bilo koji Jednačina počinje istim ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rješenje) na ovim transformacijama završava se potpunim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bez ikakvih zamki. Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. X-ovi su svi na prvi stepen, nema dijeljenja sa X. Ali, zapravo, nije nas briga šta je jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa x-ovima na lijevoj strani jednačine, sve bez x-ova (brojeva) na desnoj strani.

Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu predznaka, naravno, ali - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? Dakle, nisu pratili link, ali uzalud ...) Dobijamo:

x + 4x = 2 + 3

Dajemo slično, smatramo:

Šta nam je potrebno da bismo bili potpuno srećni? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet stane na put. Riješite se pet sa druga identična transformacija jednačina. Naime, oba dijela jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:

Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzimamo bika za rogove.) Hajde da odlučimo nešto impresivnije.

Na primjer, evo ove jednadžbe:

Gdje da počnemo? Sa X - lijevo, bez X - desno? Moglo bi biti tako. Mali koraci duž dugog puta. A možete odmah, na univerzalan i moćan način. Osim ako, naravno, u vašem arsenalu postoje identične transformacije jednačina.

Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa u ovoj jednačini?

95 ljudi od 100 će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se rešimo. Tako da počinjemo odmah sa druga identična transformacija. Čime je potrebno pomnožiti razlomak s lijeve strane tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da pomnožimo obje strane sa isti broj. Kako da izađemo? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se tri smanjiti, a četiri. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojač (x+2) Uzeo sam u zagrade! To je zato što se kada se množe razlomci, brojilac množi s cjelinom, u potpunosti! A sada možete smanjiti razlomke i smanjiti:

Otvaranje preostalih zagrada:

Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjećamo čarolije iz nižih razreda: sa x - lijevo, bez x - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih poput:

I oba dijela podijelimo sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:

To je sve. odgovor: X=0,16

Imajte na umu: da bismo izvornu zbunjujuću jednadžbu doveli u ugodan oblik, koristili smo dva (samo dva!) identične transformacije- prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalni način! Radićemo na ovaj način bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koji. Zato stalno ponavljam ove identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je uz pomoć identičnih transformacija dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.

Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednadžbi ima takvih iznenađenja da ih mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da naiđete na elementarnu jednačinu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno prenosimo sa X na lijevo, bez X - na desno... Sa promjenom predznaka, sve je chin-chinar... Dobijamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Vjerujemo, i... oh moj! Dobijamo:

Sama po sebi, ova jednakost nije sporna. Zaista nula nula. Ali X je nestao! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako. Inače, rešenje se ne računa, da...) Slepa ulica?

Smiren! U takvim sumnjivim slučajevima spašavaju najopštija pravila. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.

Ali imamo tačnu jednakost već dogodilo! 0=0, gdje stvarno?! Ostaje da shvatimo pri kojim x-ovima se ovo dobija. U koje se vrijednosti x mogu zamijeniti početni jednadžba ako su ova x i dalje smanjiti na nulu? Hajde?)

Da!!! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!Šta želiš. Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koje vrijednosti x u početni jednačinu i izračunaj. Sve vreme će biti čista istina: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:

Volim ovo. Riješio linearnu jednačinu, dobio čudnu jednakost. Matematički gledano, imamo pogrešna jednakost. I govoreći običan jezik, ovo nije istina. Rave. Ali ipak, ova glupost je sasvim dobar razlog za ispravna odluka jednačine.)

Opet, mislimo iz opšta pravila. Šta će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu ispravan jednakost? Da, nijedan! Takvih X-ova nema. Šta god zamijenite, sve će se smanjiti, gluposti će ostati.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je takođe savršeno validan odgovor. U matematici se takvi odgovori često javljaju.

Volim ovo. Sada se nadam da vam gubitak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednadžbe neće nimalo smetati. Stvar je poznata.)

Sada kada smo se izborili sa svim zamkama linearne jednačine, ima smisla riješiti ih.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Servis za rješavanje jednadžbi na mreži će vam pomoći da riješite bilo koju jednačinu. Koristeći našu stranicu, ne samo da ćete dobiti odgovor na jednadžbu, već ćete i vidjeti detaljno rješenje, odnosno korak po korak prikaz procesa dobijanja rezultata. Naša usluga će biti korisna srednjoškolcima i njihovim roditeljima. Učenici će moći da se pripremaju za testove, ispite, provere svoje znanje, a roditelji će moći da kontrolišu rešavanje matematičkih jednačina od strane svoje dece. Sposobnost rješavanja jednačina je obavezan uslov za učenike. Usluga će vam pomoći da samostalno naučite i unaprijedite svoje znanje iz oblasti matematičkih jednačina. Pomoću njega možete riješiti bilo koju jednačinu: kvadratnu, kubičnu, iracionalnu, trigonometrijsku, itd. online usluga ali neprocjenjivo, jer pored tačnog odgovora dobijate detaljno rješenje svake jednačine. Prednosti rješavanja jednačina na mreži. Bilo koju jednačinu možete riješiti online na našoj web stranici apsolutno besplatno. Usluga je potpuno automatska, ne morate ništa da instalirate na računar, samo treba da unesete podatke i program će vam dati rešenje. Bilo kakve greške u proračunu ili tipografske greške su isključene. S nama je vrlo lako riješiti bilo koju jednadžbu na mreži, stoga svakako koristite našu stranicu za rješavanje bilo koje vrste jednadžbi. Potrebno je samo da unesete podatke i izračun će biti završen za nekoliko sekundi. Program radi samostalno, bez ljudske intervencije, a dobijate tačan i detaljan odgovor. Rješenje jednadžbe u opštem obliku. U takvoj jednadžbi promjenjivi koeficijenti i željeni korijeni su međusobno povezani. Najveća snaga varijable određuje redoslijed takve jednačine. Na osnovu toga, za jednačine se koriste razne metode i teoreme za pronalaženje rješenja. Rješavanje jednadžbi ovog tipa znači pronalaženje željenih korijena u općem obliku. Naša usluga vam omogućava da riješite i najsloženije algebarske jednadžbe na mreži. Možete dobiti i opće rješenje jednačine i privatno rješenje za one koje ste naveli. numeričke vrijednosti koeficijenti. Za rješavanje algebarske jednadžbe na stranici dovoljno je ispravno popuniti samo dva polja: lijevi i desni dio date jednačine. Algebarske jednadžbe sa promjenjivim koeficijentima imaju beskonačan broj rješenja, a postavljanjem određenih uslova iz skupa rješenja se biraju određena. Kvadratna jednadžba. Kvadratna jednadžba ima oblik ax^2+bx+c=0 za a>0. Rješenje jednadžbi kvadratnog oblika podrazumijeva pronalaženje vrijednosti x, pri čemu je zadovoljena jednakost ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Da biste to učinili, vrijednost diskriminanta se nalazi po formuli D=b^2-4ac. Ako je diskriminanta manja od nule, onda jednačina nema realnih korijena (korijeni su iz polja kompleksnih brojeva), ako je nula, onda jednačina ima jedan pravi korijen, a ako je diskriminanta veća od nule, tada jednadžba ima dva realna korijena, koji se nalaze po formuli: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Za rješavanje kvadratne jednadžbe na mreži, trebate samo unijeti koeficijente takve jednačine (cijeli brojevi, razlomci ili decimalne vrijednosti). Ako u jednačini postoje znaci za oduzimanje, morate staviti minus ispred odgovarajućih članova jednačine. Kvadratnu jednačinu možete riješiti i online u zavisnosti od parametra, odnosno varijabli u koeficijentima jednačine. Naš online servis za pronalaženje zajedničkih rješenja savršeno se nosi s ovim zadatkom. Linearne jednadžbe. Za rješavanje linearnih jednačina (ili sistema jednačina) u praksi se koriste četiri glavne metode. Hajde da detaljno opišemo svaku metodu. Metoda zamjene. Rješavanje jednadžbi metodom zamjene zahtijeva izražavanje jedne varijable u terminima drugih. Nakon toga, izraz se zamjenjuje u druge jednačine sistema. Otuda i naziv metode rješenja, odnosno umjesto varijable, zamjenjuje se njen izraz kroz ostale varijable. U praksi, metoda zahtijeva složene proračune, iako je lako razumljiva, pa će rješavanje takve jednadžbe na mreži uštedjeti vrijeme i olakšati proračune. Potrebno je samo navesti broj nepoznatih u jednadžbi i popuniti podatke iz linearnih jednačina, a zatim će servis izvršiti proračun. Gaussova metoda. Metoda se zasniva na najjednostavnijim transformacijama sistema kako bi se došlo do ekvivalentnog trouglastog sistema. Nepoznate se iz njega određuju jedna po jedna. U praksi je potrebno riješiti takvu jednačinu na mreži sa Detaljan opis, zahvaljujući čemu ćete dobro savladati Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina. Zapišite sistem linearnih jednačina u ispravnom formatu i uzmite u obzir broj nepoznanica kako biste pravilno riješili sistem. Cramerova metoda. Ova metoda rješava sisteme jednačina u slučajevima kada sistem ima jedina odluka. Glavna matematička operacija ovdje je izračunavanje matričnih determinanti. Rješavanje jednadžbi Cramer metodom se provodi online, rezultat dobijate odmah s potpunim i detaljnim opisom. Dovoljno je samo popuniti sistem koeficijentima i odabrati broj nepoznatih varijabli. matrična metoda. Ova metoda se sastoji u prikupljanju koeficijenata nepoznatih u matrici A, nepoznatih u koloni X i slobodnih članova u koloni B. Tako se sistem linearnih jednačina svodi na matrična jednačina oblika AxX=B. Ova jednačina ima jedinstveno rješenje samo ako je determinanta matrice A različita od nule, u suprotnom sistem nema rješenja, ili je beskonačan broj rješenja. Rješenje jednadžbi matričnom metodom je pronalaženje inverzne matrice A.

U sedmom razredu matematike prvo se susreću sa jednadžbe sa dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sistema jednačina sa dvije nepoznanice. Zato je van vidokruga cela linija problemi u kojima se uvode određeni uslovi na koeficijente jednačine koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje problema poput “Rješavanje jednadžbe prirodnim ili cijelim brojevima”, iako u KORISTITE materijale a na prijemnim ispitima sve češće se susreću problemi ove vrste.

Koja će se jednačina zvati jednačina sa dvije varijable?

Tako, na primjer, jednačine 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ili xy = 12 su jednadžbe s dvije varijable.

Razmotrite jednadžbu 2x - y = 1. Ona se pretvara u pravu jednakost pri x = 2 i y = 3, tako da je ovaj par varijabilnih vrijednosti rješenje jednačine koja se razmatra.

Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ova jednadžba pretvara u pravu numeričku jednakost.

Jednačina sa dvije nepoznanice može:

a) imaju jedno rešenje. Na primjer, jednadžba x 2 + 5y 2 = 0 ima jedinstveno rješenje (0; 0);

b) imaju više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

u) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;

G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednačine će biti brojevi čiji je zbir 3. Skup rješenja ove jednačine može se napisati kao (k; 3 - k), gdje je k bilo koji realan broj.

Glavne metode za rješavanje jednadžbi s dvije varijable su metode zasnovane na faktorskim izrazima, isticanje punog kvadrata, korištenje svojstava kvadratne jednadžbe, ograničenih izraza i metoda evaluacije. Jednačina se, po pravilu, pretvara u oblik iz kojeg se može dobiti sistem za pronalaženje nepoznatih.

Faktorizacija

Primjer 1

Riješite jednačinu: xy - 2 = 2x - y.

Rješenje.

Grupiramo pojmove u svrhu faktoringa:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Izvadite zajednički faktor iz svake zagrade:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Imamo:

y = 2, x je bilo koji realan broj ili x = -1, y je bilo koji realan broj.

Na ovaj način, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Zero nije negativni brojevi

Primjer 2

Riješite jednačinu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rješenje.

Grupisanje:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može skupiti korištenjem formule kvadratne razlike.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Zbir dva nenegativna izraza je nula samo ako je 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Dakle, x = 2/3 i y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda evaluacije

Primjer 3

Riješite jednačinu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Rješenje.

U svakoj zagradi odaberite cijeli kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procjena značenje izraza u zagradama.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, pa je x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Hajde da se upoznamo sa još jednom metodom za rešavanje jednačina sa dve varijable drugog stepena. Ova metoda je da se jednačina smatra kao kvadrat u odnosu na neku varijablu.

Primjer 4

Riješite jednačinu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Rješenje.

Rešimo jednačinu kao kvadratnu u odnosu na x. Nađimo diskriminanta:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Jednačina će imati rješenje samo kada je D = 0, tj. ako je y = 4. Zamjenjujemo vrijednost y u originalnu jednačinu i nalazimo da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Često u jednadžbama sa dvije nepoznanice označavaju ograničenja na varijable.

Primjer 5

Riješite jednačinu u cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rješenje.

Prepišimo jednačinu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana rezultirajuće jednačine, kada se podijeli sa 5, daje ostatak od 2. Dakle, x 2 nije djeljiv sa 5. Ali kvadrat broja koji nije djeljiv sa 5 daje ostatak od 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 6

Riješite jednačinu: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Rješenje.

Odaberimo pune kvadrate u svakoj zagradi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednačine je uvijek veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća ako |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).

Primjer 7

Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x; y) koji zadovoljavaju jednačinu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunajte zbroj (x + y). Odgovorite na najmanji iznos.

Rješenje.

Odaberite pune kvadrate:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Pošto su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Zbroj kvadrata dva cijela broja, jednak 37, dobijemo ako dodamo 1 + 36. Dakle:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rješavajući ove sisteme i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne očajavajte ako imate poteškoća pri rješavanju jednačina sa dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, moći ćete savladati bilo koju jednačinu.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe sa dvije varijable?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Uputstvo

Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu koju želite. Na primjer, izrazite "y" iz druge jednadžbe:
x-y=2 => y=x-2 Zatim spojite sve u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestite sve bez x na desnu stranu i brojite:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, za "x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4. Dakle, pronašli ste "x. Pronađite "na. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Provjeri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznato pronađeno tačno!

Kako sabirati ili oduzimati jednačine Riješite se bilo koje varijable odjednom. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa "y.
Pošto je u "y" "+", a u drugom "-", tada možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. Lijevo dodajemo lijevu stranu, a desnu desnu stranu:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Zamijenite "x" u bilo koju jednačinu i pronađite "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Prema 1. metodi, možete pronaći ono što ste pronašli ispravno.

Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo "2x", au drugoj samo "x. Da bi se sabiranje ili „x smanjilo, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu jednačinu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
pronađite y = 2 "x izražavanjem iz bilo koje jednadžbe, tj.
x=4

Povezani video zapisi

Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu s dvije varijable

Jednačina, napisan u općem obliku ax + by + c = 0, naziva se linearna jednadžba s dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.

Trebaće ti

• - linearna jednačina sa dvije varijable;
• - druga jednačina ili dodatni uslovi.

Uputstvo

Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti prije varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim tu vrijednost koja sadrži y ubacite u drugu jednačinu. U rezultirajućoj jednadžbi bit će samo jedna varijabla y, pomjerite sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina, pronađite x.

Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent ispred jedne od varijabli, na primjer ispred x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostalo samo jedno y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.

Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte grafike dvije prave, čije su jednadžbe naznačene u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladnije je pronaći sjecište s koordinatnim osama - samo zamijenite vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.

Ako postoji samo jedna linearna jednadžba u uslovima zadatka, onda su vam dati dodatni uslovi zbog kojih možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako a varijable x i y su udaljenost, brzina, težina - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skriva broj , jabuke itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da ne može biti stariji od oca, pa ga navedite u uslovima zadatka.

Izvori:

• kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Uputstvo

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i priključiti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj s ovim je da ga pretvorite u normalno jednačina sa nepoznatim. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jedan od sa ili varijablu tako da se dvije nepoznanice smanje odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je, najvjerovatnije, naknadna odluka neće biti teška. Ne zaboravite da prilikom množenja brojem morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Slično tome, kada oduzimate jednačine, zapamtite da desna strana također mora biti oduzeta.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednadžbe u obliku a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3. Sada napravite matricu koeficijenata na x (A), matricu nepoznatih (X) i matricu slobodnih (B). Obratite pažnju, množeći matricu koeficijenata matricom nepoznatih, dobit ćete matricu, matricu slobodnih članova, odnosno A * X \u003d B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) nakon pronalaženja , imajte na umu da ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara matrici sistema. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Rješavanje sistema jednačina je složeno i uzbudljivo. Što je sistem složeniji, to je zanimljivije za rješavanje. Najčešće u matematici srednja škola postoje sistemi jednačina sa dve nepoznanice, ali u višoj matematici može biti više varijabli. Sistemi se mogu riješiti na nekoliko načina.

Uputstvo

Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu kroz drugu i zamijeniti je drugom jednačina sistema, dovodeći tako jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date jednačine: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Pogodno je izraziti jednu od varijabli iz drugog izraza, prebacujući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.

Otvaramo zagrade: 6-2y-3y-1 = 0; -5y + 5 = 0; y = 1. Rezultirajuća vrijednost y zamjenjuje se u izraz: x = 3-y; x \u003d 3-1; x = 2.

U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2 * (2x-y-3) = 0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti y, jer je modulo koeficijent za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.

Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Rezultirajuću vrijednost zamijenimo u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.

Vidimo da je koeficijent na y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednadžbe, potpuno ćemo se riješiti y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 = 0; 7x -14 \u003d 0; x = 2. Zamjenjujemo vrijednost x u bilo koju od dvije jednadžbe sistema i dobivamo y=1.

Povezani video zapisi

Bisquare jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. U ovom slučaju, x^2 se zamjenjuje drugom promjenljivom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.

Uputstvo

Riješite kvadrat jednačina rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2 ? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.

Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bila jedna odluka, onda će biti dvije - pozitivne i negativno značenje kvadratni korijen. Da postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina bi imala četiri korijena.

Povezani video zapisi

Jedan od klasičnim načinima rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sukcesivnom isključivanju varijabli, kada se sistem jednačina konvertuje u stepenasti sistem uz pomoć jednostavnih transformacija, iz kojih se redom pronalaze sve varijable, počevši od poslednjih.

Uputstvo

Prvo, dovedite sistem jednačina u takav oblik kada će sve nepoznanice biti u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X-ovi će biti prvi u svakom redu, svi Y-ovi će doći nakon X, svi Z-ovi će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Dovedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Onda donesi slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počećemo, kao što ste već shvatili, sa najviše jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:

Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali one se ničim ne množe, samo stoje ispred njih razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo posljednji korak - sve dijelimo koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, rekao bih sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenicaće vas spriječiti da napravite glupe i štetne greške u srednjoj školi kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Hajdemo sada da uzmemo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očigledno, ova jednačina nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da srednjoškolci dolaze kod mene i ponovo uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Uradimo retreat:

Evo nekih poput:

Uradimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima se nalazi član veći od njega, onda se to radi prema sledeće pravilo: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Zadnjim primjerom želim podsjetiti učenike šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite sa faktorom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite sa faktorom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot četiri\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Vršimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednačinu.

Primjer #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljnjih transformacija one smanjiti.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivih stvari!