Opšte i posebno rješenje sistema. Kako riješiti sistem linearnih jednačina? Gausova metoda i sistemi linearnih jednačina sa beskonačnim brojem rješenja

Rješenje. A= . Naći r(A). Jer matrica A ima red 3x4, tada je najviši red minora 3. Štaviše, svi minori trećeg reda su jednaki nuli (provjerite sami). Sredstva, r(A)< 3. Возьмем главный osnovni mol = -5-4 = -9 ≠ 0. Dakle, r(A) =2.

Razmislite matrica OD = .

Minor treći red ≠ 0. Dakle, r(C) = 3.

Pošto je r(A) ≠ r(C) , onda je sistem nekonzistentan.

Primjer 2 Odrediti kompatibilnost sistema jednačina

Riješite ovaj sistem ako je konzistentan.

Rješenje.

A = , C = . Očigledno, r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Pošto je detC = 0, onda je r(C)< 4. Razmislite minor treći red, koji se nalazi u gornjem lijevom uglu matrice A i C: = -23 ≠ 0. Dakle, r(A) = r(C) = 3.

Broj nepoznato u sistemu n=3. Dakle, sistem ima jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, četvrta jednačina je zbir prve tri i može se zanemariti.

Prema Cramerovim formulama dobijamo x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrična metoda. Gaussova metoda

sistem n linearne jednačine With n nepoznanice se mogu riješiti matrična metoda prema formuli X \u003d A -1 B (za Δ ≠ 0), koji se dobija iz (2) množenjem oba dela sa A -1.

Primjer 1. Riješite sistem jednačina

matričnom metodom (u odjeljku 2.2 ovaj sistem je riješen korištenjem Cramerovih formula)

Rješenje. Δ=10 ≠ 0 A = - nesingularna matrica.

= (provjerite ovo sami tako što ćete izvršiti potrebne proračune).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Odgovori: .

Sa praktične tačke gledišta matrične metode i formule Kramer povezani su sa velikom količinom proračuna, pa se prednost daje Gaussova metoda, koji se sastoji u sukcesivnom otklanjanju nepoznatih. Da bi se to postiglo, sistem jednačina se svodi na ekvivalentni sistem sa trouglastom proširenom matricom (svi elementi ispod glavne dijagonale su jednaki nuli). Ove akcije se nazivaju direktnim potezom. Iz rezultirajućeg trokutastog sistema, varijable se pronalaze korištenjem uzastopnih supstitucija (unazad).

Primjer 2. Rešite sistem Gaussovom metodom

(Ovaj sistem je gore riješen korištenjem Cramerove formule i matrične metode).

Rješenje.

Direktan potez. Pišemo proširenu matricu i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u trokutasti oblik:

~ ~ ~ ~ .

Get sistem

Obrnuti potez. Iz posljednje jednačine nalazimo X 3 = -6 i zamijenite ovu vrijednost u drugu jednačinu:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Odgovori: .

2.5. Opšte rješenje sistema linearnih jednačina

Neka je zadan sistem linearnih jednačina = b i(i=). Neka je r(A) = r(C) = r, tj. sistem je kolaborativan. Svaki minor koji nije nula reda r je osnovni mol. Bez gubitka općenitosti, pretpostavit ćemo da se osnovni minor nalazi u prvim r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) redovima i stupcima matrice A. Odbacujući posljednje m-r jednačine sistema, pišemo skraćeno sistem:

što je ekvivalentno originalu. Imenujmo nepoznate x 1 ,….x r osnovni, i x r +1 ,…, x r osloboditi i pomjeriti članove koji sadrže slobodne nepoznanice na desnu stranu jednadžbi skraćenog sistema. Dobijamo sistem u odnosu na osnovne nepoznanice:

koji za svaki skup vrijednosti slobodnih nepoznanica x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r ima jedino rešenje x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), pronađen po Cramerovom pravilu.

Odgovarajuće rješenje skraćeno, pa stoga originalni sistem ima oblik:

H(S 1 ,…, S n-r) = - opšte rešenje sistema.

Ako se u opštem rješenju slobodnim nepoznanicama daju neke numeričke vrijednosti, onda dobijamo rješenje linearnog sistema, koje se naziva privatnim.

Primjer. Uspostavite kompatibilnost i pronađite cjelokupno rješenje sistema

Rješenje. A = , S = .

Dakle kako r(A)= r(C) = 2 (uvjerite se sami), tada je originalni sistem kompatibilan i ima beskonačan broj rješenja (pošto je r< 4).

Matrična metoda SLAU rješenja koristi se za rješavanje sistema jednačina u kojima broj jednačina odgovara broju nepoznanica. Metoda se najbolje koristi za rješavanje sistema nižeg reda. Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina zasniva se na primjeni svojstava množenja matrice.

Ovako, drugim riječima metoda inverzne matrice, naziva se tako, budući da se rješenje svodi na uobičajenu matričnu jednadžbu, za čije rješenje treba pronaći inverznu matricu.

Metoda matričnog rješenja SLAE sa determinantom većom ili manjom od nule je kako slijedi:

Pretpostavimo da postoji SLE (sistem linearnih jednačina) sa n nepoznato (preko proizvoljnog polja):

Dakle, lako ga je prevesti u matrični oblik:

AX=B, gdje A je glavna matrica sistema, B i X- kolone slobodnih članova i rješenja sistema, odnosno:

Pomnožite ovu matričnu jednačinu na lijevoj strani sa A -1- inverzna matrica prema matrici A: A −1 (AX)=A −1 B.

Jer A −1 A=E, znači, X=A −1 B. Desna strana jednačine daje kolonu rješenja početnog sistema. Uslov za primjenjivost matrične metode je nedegeneriranost matrice A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da je determinanta matrice A:

detA≠0.

Za homogeni sistem linearnih jednačina, tj. ako vektor B=0, važi suprotno pravilo: sistem AX=0 je netrivijalno (tj. nije jednako nuli) rješenje samo kada detA=0. Ova veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se alternativa Fredholmu.

Dakle, rješenje SLAE matričnom metodom je napravljeno prema formuli . Ili, SLAE rješenje se može pronaći pomoću inverzna matrica A -1.

Poznato je da je kvadratna matrica ALI red n na n postoji inverzna matrica A -1 samo ako je njegova determinanta različita od nule. Dakle, sistem n linearne algebarske jednadžbe sa n nepoznanice se rješavaju matričnim metodom samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Unatoč činjenici da postoje ograničenja u mogućnosti korištenja ove metode i da postoje računske poteškoće za velike vrijednosti koeficijenata i sisteme visokog reda, metoda se lako može implementirati na računaru.

Primjer rješavanja nehomogenog SLAE.

Prvo, provjerimo da li determinanta matrice koeficijenata za nepoznate SLAE nije jednaka nuli.

Sada pronalazimo matrica saveza, transponirati ga i zamijeniti u formulu za određivanje inverzne matrice.

Zamjenjujemo varijable u formuli:

Sada nalazimo nepoznanice množenjem inverzne matrice i stupca slobodnih članova.

dakle, x=2; y=1; z=4.

Kada prelazite sa uobičajenog oblika SLAE na matrični oblik, budite pažljivi s redoslijedom nepoznatih varijabli u sistemskim jednačinama. Na primjer:

NEMOJTE pisati kao:

Potrebno je, prvo, poredati nepoznate varijable u svakoj jednadžbi sistema i tek nakon toga preći na matričnu notaciju:

Osim toga, morate biti oprezni s označavanjem nepoznatih varijabli, umjesto x 1 , x 2 , …, x n mogu postojati i druga slova. Na primjer:

u matričnom obliku pišemo:

Koristeći matričnu metodu, bolje je rješavati sisteme linearnih jednadžbi u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli. Kada postoji više od 3 jednačine u sistemu, biće potrebno više računskog napora da se pronađe inverzna matrica, stoga je u ovom slučaju preporučljivo koristiti Gaussovu metodu za rješavanje.

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : izraz "konzistentnost" implicira da sistem ima barem neko rješenje. U nizu zadataka potrebno je preliminarno ispitati sistem na kompatibilnost, kako to učiniti - pogledajte članak na matrični rang.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, "školska" metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sukcesivnog uklanjanja nepoznatih. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u kraju rješenja. Prvo, razmotrite nekoliko primjera u kojima sistem nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Šta vam odmah upada u oči u ovom sistemu? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.

Početak rješenja je sasvim običan - pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili -1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće raditi. Jedinica će se morati organizirati samostalno, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodajte treći red, pomnožen sa -1.

(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.

(3) Nakon što je transformacija obavljena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugu liniju dijelimo sa 2, istovremeno dobivajući željeni -1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa -3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerovatno su svi obratili pažnju na lošu liniju, koja se pokazala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepisujemo rezultujuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja) .

Kako snimiti kraj zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija dobija se linija oblika, gdje" i dajemo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽITI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno izdati rješenje u solidnijem stilu koje uključuje koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorema.

Imajte na umu da ovdje nema obrnutog kretanja Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Opet vas podsjećam da se vaša putanja rješenja može razlikovati od mog puta rješenja, Gaussov algoritam nema jaku "rigidnost".

Još jedna tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Razmotrimo uslovni primjer: pretpostavimo da nakon prve transformacije dobijemo matricu . Matrica još nije svedena na stepenasti oblik, ali nema potrebe za daljim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija oblika, gdje je . Treba odmah odgovoriti da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina

Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Šta god da je bilo, ali Gaussova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. U tome leži njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

To je sve, a ti si se uplašio.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjoj lijevoj prečki. U drugi red dodajemo prvi red, pomnožen sa -4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa -2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa -1.

Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju iz četvrtog reda oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno, iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo zbrojite: četvrtom redu dodajte prvi red, pomnožen sa -1 - upravo!

(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje je opet potrebno pokazati povećana pažnja, ali da li su linije zaista proporcionalne? Za reosiguranje (posebno za čajnik) ne bi bilo suvišno drugi red pomnožiti sa -1, a četvrti red podijeliti sa 2, što će rezultirati tri identična reda. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom izvršavanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.

Prepisujemo odgovarajući sistem jednačina:

“Uobičajeno” jedino rješenje sistema ovdje ne miriše. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, pod uslovom, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada, hajde da razložimo osnove:

Beskonačan skup rješenja sistema ukratko je zapisan u obliku tzv opšte sistemsko rešenje .

Opće rješenje sistema ćemo pronaći koristeći Gaussovu metodu obrnutog kretanja.

Prvo moramo odrediti koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Nije potrebno zamarati se terminima linearne algebre, dovoljno je zapamtiti da ih ima bazne varijable i slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
U ovom primjeru, osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dvije od njih: - slobodne varijable.

Sada ti treba sve bazne varijable express samo kroz slobodne varijable.

Obrnuti potez Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednačinu: . Prvo, zamjenjujemo pronađeni izraz u njega:

Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Rezultat je ono što vam treba - sve izražene su bazne varijable ( i ). samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako zapisati generalno rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u generalno rješenje "sama od sebe" i striktno na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, ima ih beskonačno mnogo privatne odluke. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamjena u općem rješenju:

je privatna odluka.

Jedan je još jedan slatki par, da ga zamenimo u opšte rešenje:

je još jedno posebno rješenje.

Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakom sistemska jednačina. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga lijevom stranom svake jednačine u originalnom sistemu:

Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi također trebalo konvergirati.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad vara; neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, a samo opšte rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Lako je, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:

Na lijevoj strani druge jednačine sistema:


Dobije se desna strana originalne jednadžbe.

Primjer 4

Rešite sistem Gaussovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva privatna rješenja. Provjerite cjelokupno rješenje.

Ovo je "uradi sam" primjer. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem ili biti nekonzistentan ili imati beskonačan broj rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rješenje: Napišimo proširenu matricu sistema i uz pomoć elementarnih transformacija dovedemo je u formu koraka:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa -5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Evo jedne takve ljepote:

Bazične varijable sjede na stepenicama, tako da su osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Obrnuti potez:
Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:
Iz treće jednačine:

Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze iu nju:

Da, kalkulator koji broji obične razlomke je i dalje zgodan.

Dakle, generalno rješenje je:

Još jednom, kako se to dogodilo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable , također su zauzeli svoja redna mjesta.

Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao za crnce, ali ja sam to već uradio, pa uhvati =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.

Sada iz pronađenog generalnog rješenja dobijamo dva konkretna rješenja. Ovdje je kuhar jedina besplatna varijabla. Ne morate da razbijate glavu.

Neka onda je privatna odluka.
Neka onda je još jedno posebno rješenje.

Odgovori: Zajednička odluka: , posebna rješenja: , .

Nisam se trebao sjetiti crnaca ovdje ... ...jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i sjetio sam se poznate fotožabe, na kojoj pripadnici Ku Klux Klana u bijelim kombinezonima trče po terenu nakon crnog fudbala igrač. Sjedim i tiho se smijem. Znate koliko ometa…

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za nezavisno rješenje.

Primjer 6

Naći opće rješenje sistema linearnih jednačina.

Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, najvažnije je da se opća rješenja poklapaju.

Vjerovatno su mnogi primijetili neugodan momenat u rješenjima: vrlo često, tokom obrnutog toka Gaussove metode, morali smo petljati s običnim razlomcima. U praksi je to tačno, slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički, i što je najvažnije, tehnički.

Zadržaću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opšte rješenje sistema ponekad može uključivati ​​konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uslovima, potrebno je mirno dovesti proširenu matricu sistema u stepenasti oblik prema standardnom algoritmu. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedinstveno rješenje.

Gaussova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvedu sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.

Razmotrite druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg zajedničkog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.

Primjer 1 Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.

1. Pravimo matricu A i proširena matrica sistema (1)

2. Istražite sistem (1) za kompatibilnost. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija konzistentnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).

a. Mi nalazimo rA.

Naći rA, razmatraćemo sukcesivno nenulte minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.

M1=1≠0 (1 se uzima iz gornjeg lijevog ugla matrice ALI).

Bordering M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. . Nastavljamo do granice M1 drugi red i treci stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo nenulti mol M2′ drugi red.

Imamo: (jer su prve dvije kolone iste)

(jer su drugi i treći red proporcionalni).

Vidimo to rA=2, i osnovni je minor matrice A.

b. Mi nalazimo .

Dovoljno osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih članova i svim redovima (imamo samo zadnji red).

. Iz ovoga proizilazi da M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Jer M2′- bazni minor matrice A sistemi (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).

(3)

Pošto je osnovni mol https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

U ovom sistemu, dvije slobodne nepoznate ( x2 i x4 ). Zbog toga FSR sistemi (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznanice (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 dobijamo:

.

Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći Cramerovim pravilom ili bilo kojom drugom metodom). Oduzimanjem prve jednačine od druge jednačine dobijamo:

Njena odluka će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 i x4 , koje smo dali, dobijamo prvo fundamentalno rešenje sistema (2) : .

Sada stavljamo (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:

.

Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:

.

Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .

Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemi (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti

γ= C1 β1+S2β2=S1(-1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(-S1+5S2, S1, 4S2, S2)

Evo C1 , C2 su proizvoljne konstante.

4. Pronađite jedan privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) razmotrite ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .

(5)

Prenosimo slobodne nepoznanice na desne strane x2 i x4.

(6)

Dajmo besplatne nepoznate x2 i x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i uključite ih (6) . Hajde da uzmemo sistem

Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (jer je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 i x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sada ostaje napisati opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatna odluka ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).

Ovo znači: (7)

6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je generalno rješenje (7) zamena u (1) . Ako svaka jednadžba postane identitet ( C1 i C2 treba uništiti), tada je rješenje pronađeno ispravno.

Zamenićemo (7) na primjer, samo u posljednjoj jednadžbi sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1

(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1

Gdje je -1=-1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .

Komentar. Verifikacija je obično prilično glomazna. Možemo preporučiti sljedeću "djelimičnu provjeru": u cjelokupnom rješenju sistema (1) dodijelite neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijenite rezultirajuće određeno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednačine iz (1) koji nisu uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda najvjerovatnije, rješenje sistema (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.

Primjer 2 Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući glavne nepoznanice u terminima slobodnih.

Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, a koji je ekvivalentan sistemu (1).

Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.

sistem (9) rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući prave dijelove slobodnim članovima.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opcija 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opcija 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opcija 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opcija 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:

1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem se može svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jednačinu u obliku x 5 = x 4 .

Sada razmotrite opštiji slučaj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima, varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina naprednih nastavnika matematike preporučuje pisanje varijabli leksikografskim redom, tj. uzlazni indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:

1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim pronađemo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rješenja.
2. Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Tada ćemo, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobiti gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, biće neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jednačina dobiti riješeno? Za ovo postoji