Srednji nivo

Pravokutni trokut. Kompletan ilustrovani vodič (2019.)

PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.

U problemima pravi ugao uopće nije neophodan - donji lijevi, tako da morate naučiti kako prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvim

i u takvim

Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa... prije svega, postoje posebni prelepa imena za njegove strane.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravougaonog trougla. Pitagora je to savršeno dokazao od pamtivijeka, i od tada je donijela mnoge koristi onima koji je poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

dakle, Pitagorina teorema:

Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?

Hajde da nacrtamo ove pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.

Da li zaista izgleda kao šorc? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to ovako formulisao:

"Suma površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađen na hipotenuzi.

Zar ne zvuči malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. I kako bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, neko je duhovit izmislio ovaj vic o pitagorejskim pantalonama.

Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu

Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u stara vremena nije postojala ... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da sve napamet riječima??! I može nam biti drago da imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo to još jednom da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata nogu.

Pa, raspravljalo se o najvažnijoj teoremi o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! To strašne riječi sinus, kosinus, tangent i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali ti stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto je sve u uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Šta je sa uglom? Postoji li noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna noga (za ugao)? Naravno! Ovo je katet!

Ali šta je sa uglom? Pogledaj izbliza. Koja je noga uz ugao? Naravno, mačka. Dakle, za ugao, noga je susjedna, i

A sada, pažnja! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako to sada pretočiti u riječi? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" naspram ugla. A katet? U blizini ugla. Pa šta smo dobili?

Vidite kako su brojnik i imenilac obrnuti?

A sada opet uglovi i napravljena razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo šta smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema pravouglog trougla je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorinu teoremu, ali da li ste se ikada zapitali zašto je takva teorema tačna. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente dužina i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Šta je sa manjom površinom? Svakako, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštar ugao jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve ovo u obliku ploče:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Na dvije noge

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Po hipotenuzi i oštrom uglu

IV. Uz nogu i oštri ugao

a)

b)

Pažnja! Ovdje je jako bitno da noge "odgovaraju". Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla noga je bila susjedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da je za jednakost „običnih“ trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trouglova dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično je, zar ne?

Približno ista situacija sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Akutni ugao

II. Na dvije noge

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je tako?

Razmotrite ceo pravougaonik umesto pravouglog trougla.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo

1. - srednja vrijednost:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakva korist se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj izbliza. Imamo: , odnosno udaljenosti od tačke do svih tri vrha trouglovi su jednaki. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, rastojanja od kojih su otprilike sva tri vrha trougla jednaka, a to je CENTAR opisane KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trouglovima svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakva korist se može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se dobro zapamtiti i ona koja je pogodnija za primjenu. Hajde da ih ponovo zapišemo.

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• na dvije noge:
• duž kraka i hipotenuze: ili
• duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
• hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar ugao: ili
• iz proporcionalnosti dvije noge:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangenta oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne krake i susjedne:
• Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trokuta: ili.

U pravokutnom trokutu, medijana povučena iz vrha pravi ugao, jednako je polovini hipotenuze: .

Površina pravokutnog trougla:

• kroz katetere:

Sinus oštar ugao α pravouglog trougla je omjer suprotno kateter do hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: sin α.

Kosinus oštar ugao α pravokutnog trougla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.

Tangenta oštar ugao α je omjer suprotne noge i susjedne noge.
Označava se na sljedeći način: tg α.

Kotangens oštar ugao α je omjer susjednog kraka i suprotnog.
Označava se kako slijedi: ctg α.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla zavise samo od veličine ugla.

pravila:

Main trigonometrijski identiteti u pravokutnom trouglu:

(α - oštar ugao naspram noge b i uz nogu a . Side sa - hipotenuza. β - drugi oštri ugao).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Kako se akutni ugao povećavasinα itg α povećanje, icos α se smanjuje.

Za bilo koji oštar ugao α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Primjer objašnjenja:

Neka je pravougli trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
ugao A = 30º.

Pronađite sinus ugla A i kosinus ugla B.

Odluka.

1) Prvo, nalazimo vrijednost ugla B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbir oštrih uglova 90º, onda je ugao B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Izračunajte sin A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze. Za ugao A, suprotni krak je strana BC. dakle:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sada izračunavamo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Za ugao B, susjedni krak je ista stranica BC. To znači da opet trebamo podijeliti BC na AB - odnosno izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog ugla jednak kosinsu drugog oštrog ugla - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pogledajmo ponovo:

1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u sinusnu formulu, dobijamo:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u kosinus formulu, dobijamo:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Za više o trigonometriji, pogledajte odjeljak Algebra)

Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog ugla

Sinus, kosinus proizvoljnog ugla

Da razumem šta je trigonometrijske funkcije, okrećemo se kružnici s jediničnim polumjerom. Dati krug je centriran u ishodištu u koordinatnoj ravni. Da bismo odredili date funkcije, koristit ćemo radijus vektor ILI, koji počinje u centru kruga, i tačku R je tačka na kružnici. Ovaj radijus vektor formira ugao alfa sa osom OH. Pošto krug ima poluprečnik jednak jedan, onda ILI = R = 1.

Ako iz tačke R ispusti okomicu na osu OH, tada dobijamo pravougli trokut sa hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, onda se ovaj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivno.

Sinus ugla ILI, je ordinata tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinatu At na površini.

kako datu vrijednost je primljen? Pošto znamo da je sinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobijamo da je

I od tada R=1, onda sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Sinus prihvata pozitivna vrijednost u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativ u trećoj i četvrtoj.

Kosinus ugla dati krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinate X na površini.

Kosinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

I od tada R=1, onda cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jediničnog kruga, a negativan u drugom i trećem.

tangentaproizvoljan ugao izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako mi pričamo o jediničnom krugu, onda je ovo omjer ordinate prema apscisi.

Sudeći po ovim odnosima, može se shvatiti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod uglom od 90 stepeni. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - dužina luka kružnice sa središtem u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

tangenta ( tgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .

kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .

Tangenta

Gdje n- cela.

AT Zapadna književnost tangenta je definirana na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Usvojena je i sljedeća notacija:
;
;
.

Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x su periodične sa periodom π.

Paritet

Funkcije tangenta i kotangens su neparne.

Domeni definicija i vrijednosti, rastući, silazni

Funkcije tangenta i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Obim i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazno		-
Silazno	-
Ekstremi	-	-
Nule, y= 0
Tačke presjeka sa y-osom, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi u terminima sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangente i kotangense zbira i razlike

Ostale formule je lako dobiti, na primjer

Proizvod tangenti

Formula za zbir i razliku tangenta

Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili proširenje tangente po stepenu x, morate uzeti nekoliko članova proširenja u snaga serije za funkcije sin x i cos x i podijeliti ove polinome jedan u drugi , . Ovo rezultira sljedećim formulama.

U .

u .
gdje B n- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangenti i kotangensu su arktangens i arkkotangens, respektivno.

Arktangent, arctg

, gdje n- cela.

Arc tangenta, arcctg

, gdje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za istraživače i inženjere, 2012.

U ovom članku ćemo sveobuhvatno pogledati . Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla i omogućavaju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete, koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tabelu, a ispod dajemo derivaciju ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog ugla

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tabeli, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet vrsta . Objašnjenje za ovu činjenicu je prilično jednostavno: jednakosti se dobijaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele sa i, redom, i jednakosti i slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.

Odnosno, jednakost je od posebnog interesa, kojoj je dato ime glavnog trigonometrijskog identiteta.

Prije nego što dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla identično je jednak jedinici. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet se vrlo često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Omogućava da se zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangentu i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog ugla oblika i odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Zaista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate prema apscisi, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog ove očiglednosti identiteta i često se definicije tangenta i kotangensa daju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ovog ugla, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

Da zaključimo ovaj dio, treba napomenuti da su identiteti i vrijedi za sve takve uglove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koje drugo osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje nulom), a formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .

Odnos između tangente i kotangensa

Još očigledniji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog ugla oblika . Jasno je da se to odvija za bilo koje uglove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule veoma jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz je mogao biti izveden na malo drugačiji način. Od i , onda .

Dakle, tangenta i kotangens jednog ugla, pod kojim imaju smisla, jeste.