Kako pronaći vrh parabole grafa funkcije. Kako pronaći vrh parabole: tri formule
Svi znaju šta je parabola. Ali kako ga pravilno koristiti, kompetentno u rješavanju različitih praktičnih problema, razumjet ćemo u nastavku.
Prvo, označimo osnovne koncepte koje algebra i geometrija daju ovom pojmu. Uzmite u obzir sve mogući tipovi ovaj grafikon.
Saznajemo sve glavne karakteristike ove funkcije. Hajde da shvatimo osnove konstruisanja krive (geometrije). Naučimo kako pronaći gornje, druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.
Saznat ćemo: kako je tražena kriva ispravno konstruirana prema jednadžbi, na šta trebate obratiti pažnju. Da vidimo glavno praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.
Šta je parabola i kako izgleda
Algebra: Ovaj termin se odnosi na graf kvadratne funkcije.
Geometrija: Ovo je kriva drugog reda koja ima niz specifičnih karakteristika:
Kanonska parabola jednadžba
Na slici je prikazan pravougaoni koordinatni sistem (XOY), ekstremum, pravac crtanja funkcije grana se duž ose apscise.
Kanonska jednadžba je:
y 2 \u003d 2 * p * x,
gdje je koeficijent p fokalni parametar parabole (AF).
U algebri se drugačije piše:
y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).
Svojstva i graf kvadratne funkcije
Funkcija ima os simetrije i centar (ekstremum). Domen definicije su sve vrijednosti x-ose.
Raspon vrijednosti funkcije - (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grananja krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu reda.
Kako odrediti gdje su usmjerene grane parabole
Da biste pronašli smjer ove vrste krivulje iz izraza, potrebno je navesti znak ispred prvog parametra algebarskog izraza. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Inače, dole.
Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu
Pronalaženje ekstrema je glavni korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori ali bolje je da to možete sami da uradite.
Kako to definisati? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo tražiti koordinate ove tačke.
Formule za pronalaženje vrha:
- x 0 \u003d -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Primjer.
Postoji funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Nađimo vrhove ove funkcije.
Za takvu liniju:
- x \u003d -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Dobijamo koordinate vrha (-2, -41).
Parabola offset
Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar 0, a = 1 - vrh je u tački (0; 0).
Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi nastaje zbog promjene parametara b i c, respektivno. Pomicanje linije na ravnini će se izvršiti tačno brojem jedinica, što je jednako vrijednosti parametra.
Primjer.
Imamo: b = 2, c = 3.
To znači da će se klasični pogled na krivu pomaknuti za 2 jedinična segmenta duž ose apscise i za 3 duž ose ordinata.
Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe
Za školarce je važno da nauče kako pravilno nacrtati parabolu prema datim parametrima.
Analizom izraza i jednačina možete vidjeti sljedeće:
- Tačka preseka željene linije sa ordinatnim vektorom imaće vrednost jednaku c.
- Sve tačke grafa (duž x-ose) će biti simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.
Osim toga, sjecišta sa OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:
D \u003d (b 2 - 4 * a * c).
Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti sa nulom.
Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:
- D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D \u003d 0, zatim x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
- D ˂ 0, tada nema tačaka preseka sa vektorom OX.
Dobijamo algoritam za konstruisanje parabole:
- odrediti smjer grana;
- pronaći koordinate vrha;
- naći raskrsnicu sa y-osom;
- pronađite presek sa x-osom.
Primjer 1
Zadana funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je izgraditi parabolu. Radimo po algoritmu:
- a \u003d 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
- ekstremne koordinate: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- seče sa y-osom na vrednosti y = 4;
- naći diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
- u potrazi za korenima
- X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).
Primjer 2
Za funkciju y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, morate izgraditi parabolu. Radimo prema gore navedenom algoritmu:
- a \u003d 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
- ekstremne koordinate: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- sa y-osom će se presijecati na vrijednosti y \u003d -1;
- pronađite diskriminanta: D = 4 + 12 = 16. Dakle, korijeni:
- X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
Od dobijenih tačaka možete izgraditi parabolu.
Directrix, ekscentricitet, fokus parabole
Na osnovu kanonska jednačina, fokus F ima koordinate (p/2, 0).
Prava AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene dužine). Njena jednadžba je x = -p/2.
Ekscentricitet (konstanta) = 1.
Zaključak
Razmotrili smo temu po kojoj studenti uče srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njen vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, postoji li pomak duž osi i, ako imate algoritam konstrukcije, možete nacrtati njen graf.
Funkcija oblika , gdje se zove kvadratna funkcija.
Graf kvadratne funkcije − parabola.
Razmotrite slučajeve:
SLUČAJ I, KLASIČNA PARABOLA
To je , ,
Da biste izgradili, popunite tablicu zamjenom x vrijednosti u formulu:
Označite bodove (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatnoj ravni (što manji korak uzimamo x vrijednosti (u ovom slučaju, korak 1), a što više x vrijednosti uzimamo, to je kriva glatkija), dobijamo parabolu:
Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , odnosno, onda ćemo dobiti parabolu simetričnu oko ose (ox). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tabele:
II SLUČAJ, "a" RAZLIČIT OD JEDNE
Šta će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Prva slika (vidi gore) jasno pokazuje da su tačke iz tabele za parabolu (1;1), (-1;1) transformisane u tačke (1;4), (1;-4), tj. sa istim vrednostima, ordinata svake tačke se množi sa 4. Ovo će se desiti sa svim ključnim tačkama originalne tabele. Slično raspravljamo u slučajevima slika 2 i 3.
A kada parabola "postane šira" parabola:
da rezimiramo:
1)Predznak koeficijenta je odgovoran za smjer grana. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modulus) je odgovoran za “širenje”, “kompresiju” parabole. Što je veća, što je parabola uža, što je |a| manja, to je parabola šira.
SLUČAJ III, "C" SE POJAVA
Sada idemo u igru (to jest, razmatramo slučaj kada ), razmotrit ćemo parabole oblika . Lako je pogoditi (uvijek možete pogledati tabelu) da će se parabola kretati gore ili dolje duž ose, ovisno o predznaku:
IV POJAVA SE SLUČAJ, "b".
Kada će se parabola „otrgnuti“ od ose i konačno će „prošetati“ duž cele koordinatne ravni? Kada prestane da bude jednak.
Ovdje nam je potrebno da bismo konstruirali parabolu formula za izračunavanje vrha: , .
Dakle, u ovom trenutku (kao u tački (0; 0) novi sistem koordinate) izgradićemo parabolu, koja je već u našoj moći. Ako imamo posla sa slučajem, onda od vrha odvajamo jedan jedinični segment desno, jedan gore, - rezultirajuća tačka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša tačka); ako imamo posla, na primjer, onda odozgo odvajamo jedan segment desno, dva - gore itd.
Na primjer, vrh parabole:
Sada je glavna stvar koju treba razumjeti je da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema šablonu parabole, jer u našem slučaju.
Prilikom konstruisanja parabole nakon pronalaženja koordinata vrha je vrloPogodno je razmotriti sljedeće točke:
1) parabola mora proći kroz tačku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobijamo da . To jest, ordinata tačke preseka parabole sa osom (oy), to je. U našem primjeru (gore), parabola siječe y-osu na , budući da .
2) osa simetrije parabole je prava linija, tako da će sve tačke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru odmah uzimamo tačku (0; -2) i gradimo parabolu simetričnu oko ose simetrije, dobijamo tačku (4; -2) kroz koju će parabola proći.
3) Izjednačujući sa , nalazimo točke presjeka parabole s osom (ox). Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu. U zavisnosti od diskriminanta, dobićemo jedan (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru imamo korijen diskriminanta - ne cijeli broj, kada ga gradimo, nema smisla da pronađemo korijene, ali jasno možemo vidjeti da ćemo imati dvije točke presjeka sa (oh) osa (od naslova = " Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Pa hajde da vežbamo
Algoritam za konstruisanje parabole ako je data u obliku
1) odrediti smjer grana (a>0 - gore, a<0 – вниз)
2) pronaći koordinate vrha parabole po formuli , .
3) nalazimo tačku preseka parabole sa osom (oy) slobodnim članom, gradimo tačku simetričnu datoj u odnosu na osu simetrije parabole (treba napomenuti da se dešava da je neisplativo označiti ovu tačku, na primjer, jer je vrijednost velika... preskačemo ovu tačku...)
4) U pronađenoj tački - vrhu parabole (kao u tački (0; 0) novog koordinatnog sistema), gradimo parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Pronalazimo točke presjeka parabole sa osom (oy) (ako one same još nisu "isplivale"), rješavajući jednadžbu
Primjer 1
Primjer 2
Napomena 1. Ako nam je parabola u početku data u obliku , gdje su neki brojevi (na primjer, ), tada će biti još lakše izgraditi je, jer smo već dobili koordinate vrha . Zašto?
Uzmimo kvadratni trinom i odaberimo puni kvadrat u njemu: Gledajte, ovdje smo dobili to , . Ranije smo zvali vrh parabole, odnosno sada,.
Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravni, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (relativno). To jest, izvodimo korake 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruisanje parabole (vidi gore).
Napomena 2. Ako je parabola data u obliku sličnom ovome (to jest, predstavljena kao proizvod dva linearna faktora), tada odmah vidimo tačke presjeka parabole sa (x) osom. U ovom slučaju - (0;0) i (4;0). Za ostalo postupamo prema algoritmu, otvarajući zagrade.
Parabola je graf kvadratne funkcije. Ova linija ima značajnu fizička vrijednost. Da biste lakše pronašli vrh parabole, morate ga nacrtati. Tada možete lako vidjeti njegov vrh na grafikonu. Ali da biste napravili parabolu, morate znati kako pronaći tačke parabole i kako pronaći koordinate parabole.
Pronalaženje tačaka i vrha parabole
IN opšta ideja kvadratna funkcija ima sljedeći oblik: y = ax 2 + bx + c. raspored zadata jednačina je parabola. Kada je vrijednost a > 0, njegove grane su usmjerene prema gore, a kada je vrijednost a ‹ 0 - prema dolje. Da biste napravili parabolu na grafu, morate znati tri tačke ako ide duž y-ose. U suprotnom, moraju biti poznate četiri građevinske tačke.
Prilikom pronalaženja apscise (x), potrebno je uzeti koeficijent na (x) iz date polinomske formule, a zatim podijeliti sa dva puta koeficijent na (x 2), a zatim pomnožiti sa brojem - 1.
Da biste pronašli ordinatu, morate pronaći diskriminanta, zatim ga pomnožiti sa - 1, a zatim podijeliti sa koeficijentom na (x 2), nakon što ga pomnožite sa 4.
Dalje, zamjenom numeričkih vrijednosti, izračunava se vrh parabole. Za sve proračune preporučljivo je koristiti inženjerski kalkulator, a pri crtanju grafova i parabola koristiti ravnalo i lumograf, to će značajno povećati točnost vaših proračuna.
Razmotrite sljedeći primjer koji će nam pomoći da shvatimo kako pronaći vrh parabole.
x 2 -9=0. U ovom slučaju, koordinate vrha se izračunavaju na sljedeći način: tačka 1 (-0/(2*1); tačka 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Dakle, koordinate vrha su vrijednosti (0; 9).
Pronalaženje apscise vrha
Kada znate kako pronaći parabolu i možete izračunati njene točke presjeka sa x-osom, lako možete izračunati apscisu vrha.
Neka su (x 1) i (x 2) korijeni parabole. Korijeni parabole su tačke njenog preseka sa x-osom. Ove vrijednosti poništavaju sljedeću kvadratnu jednačinu: ax 2 + bx + c.
Štaviše, |x 2 | > |x 1 |, tada se vrh parabole nalazi u sredini između njih. Dakle, može se naći sljedećim izrazom: x 0 \u003d ½ (|x 2 | - |x 1 |).
Pronalaženje površine figure
Da biste pronašli površinu figure na koordinatnoj ravni, morate znati integral. A da biste ga primijenili, dovoljno je poznavati određene algoritme. Da bi se pronašlo područje ograničeno parabolama, potrebno je proizvesti njegovu sliku u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Prvo, prema gore opisanoj metodi, određuje se koordinata vrha ose (x), zatim osa (y), nakon čega se nalazi vrh parabole. Sada je potrebno odrediti granice integracije. Po pravilu, oni su naznačeni u opisu problema pomoću varijabli (a) i (b). Ove vrijednosti treba postaviti u gornji i donji dio integrala, respektivno. Zatim uđite opšti pogled vrijednost funkcije i pomnožite je sa (dx). U slučaju parabole: (x 2)dx.
Zatim trebate izračunati u općim uvjetima antiderivativnu vrijednost funkcije. Da biste to učinili, koristite posebnu tablicu vrijednosti. Zamjenjujući granice integracije tamo, nalazi se razlika. Ova razlika će biti površina.
Kao primjer, razmotrite sistem jednadžbi: y = x 2 +1 i x + y = 3.
Pronađene su apscise tačaka presjeka: x 1 = -2 i x 2 = 1.
Vjerujemo da y 2 = 3, i y 1 = x 2 + 1, zamjenjujemo vrijednosti u gornjoj formuli i dobivamo vrijednost jednaku 4,5.
Sada smo naučili kako pronaći parabolu, a također, na osnovu ovih podataka, izračunati površinu figure koju ona ograničava.
U matematici postoji čitav ciklus identiteta, među kojima značajno mjesto zauzimaju kvadratne jednačine. Slične jednakosti se mogu rješavati i zasebno i za crtanje grafova na koordinatnoj osi. jednadžbe su presječne točke parabole i prave ox.
Opšti oblik
Generalno, ima sljedeću strukturu:
U ulozi "x" mogu se smatrati i pojedinačne varijable i cijeli izrazi. Na primjer:
(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.
U slučaju kada izraz djeluje kao x, potrebno ga je predstaviti kao varijablu i pronaći Nakon toga polinom izjednačiti s njima i pronaći x.
Dakle, ako je (x + 7) \u003d a, onda jednadžba ima oblik a 2 + 3a + 2 = 0.
D=3 2 -4*1*2=1;
i 1 = (-3-1) / 2 * 1 = -2;
i 2 = (-3 + 1) / 2 * 1 \u003d -1.
Sa korijenima jednakim -2 i -1, dobijamo sljedeće:
x+7=-2 i x+7=-1;
Korijeni su vrijednost x-koordinate točke presjeka parabole sa x-osom. U principu, njihova vrijednost nije toliko bitna ako je zadatak samo pronaći vrh parabole. Ali za planiranje, korijeni igraju važnu ulogu.
Vratimo se originalnoj jednadžbi. Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći vrh parabole, morate znati sljedeću formulu:
gdje je x vp vrijednost x-koordinate željene tačke.
Ali kako pronaći vrh parabole bez vrijednosti y-koordinate? Dobivenu vrijednost x zamjenjujemo u jednačinu i nalazimo željenu varijablu. Na primjer, riješimo sljedeću jednačinu:
Pronađite vrijednost x-koordinate za vrh parabole:
x VP \u003d -b / 2a \u003d -3 / 2 * 1;
Pronađite vrijednost y-koordinate za vrh parabole:
y = 2x 2 + 4x-3 = (-1,5) 2 + 3 * (-1,5) -5;
Kao rezultat, dobijamo da je vrh parabole u tački sa koordinatama (-1,5; -7,25).
Parabola je veza tačaka koja ima okomitu liniju, zbog čega sama njena konstrukcija nije teška. Najteže je napraviti ispravne proračune koordinata tačaka.
Vrijedi platiti Posebna pažnja na koeficijente kvadratne jednačine.
Koeficijent a utječe na smjer parabole. U slučaju da ima negativno značenje, grane će biti usmjerene prema dolje, a sa pozitivnim predznakom - prema gore.
Koeficijent b pokazuje koliko će biti širok krak parabole. Što je veća njegova vrijednost, to će biti širi.
Koeficijent c pokazuje pomak parabole duž y-ose u odnosu na ishodište.
Već smo naučili kako pronaći vrh parabole, a da bismo pronašli korijene, trebali bismo se voditi sljedećim formulama:
gdje je D diskriminanta koja je potrebna za pronalaženje korijena jednadžbe.
x 1 \u003d (-b + V - D) / 2a
x 2 \u003d (-b-V - D) / 2a
Rezultirajuće x vrijednosti će odgovarati nula y vrijednosti, jer one su tačke preseka sa x-osom.
Nakon toga, dobivene vrijednosti označavamo u vrhu parabole. Za više detaljne grafike potrebno je pronaći još nekoliko tačaka. Da bismo to učinili, biramo bilo koju vrijednost x koja je dopuštena domenom definicije i zamjenjujemo je u jednadžbu funkcije. Rezultat proračuna će biti koordinata tačke duž y-ose.
Da biste pojednostavili proces crtanja, možete nacrtati okomitu liniju kroz vrh parabole i okomitu na x-os. To će biti uz pomoć koje, imajući jednu tačku, možete odrediti drugu, jednako udaljenu od nacrtane linije.
Mnogi tehnički, ekonomski i socijalna pitanja predviđeno pomoću krivulja. Najčešći tip među njima je parabola, odnosno njena polovica. Važna komponenta svake paraboličke krivulje je njen vrh, čije određivanje točnih koordinata ponekad igra ključnu ulogu ne samo u prikazu samog procesa, već i za naknadne zaključke. Kako pronaći njegove točne koordinate, raspravljat ćemo u ovom članku.
U kontaktu sa
Početak pretrage
Prije nego pređemo na pronalaženje koordinata vrha parabole, upoznajmo se sa samom definicijom i njenim svojstvima. U klasičnom smislu, parabola je takav raspored tačaka koji udaljeni na istoj udaljenosti od određene tačke(fokus, tačka F), kao i iz prave linije koja ne prolazi kroz tačku F. Razmislite ovu definiciju detaljnije na slici 1.
Slika 1. Klasičan pogled na parabolu
Slika prikazuje klasičnu formu. Fokus je tačka F. U ovom slučaju, direktrisa će se smatrati pravom linijom Y ose (označeno crvenom bojom). Iz definicije se može osigurati da apsolutno svaka tačka krivulje, ne računajući fokus, ima sličnu na drugoj strani, udaljenu na istoj udaljenosti od ose simetrije kao i ona sama. Štaviše, udaljenost od bilo koje tačke na paraboli jednaka udaljenosti do direktrise. Gledajući unaprijed, recimo da centar funkcije ne mora biti na početku, a grane mogu biti usmjerene u različitim smjerovima.
Parabola, kao i svaka druga funkcija, ima svoju notaciju u obliku formule:
U ovoj formuli, slovo "s" označava parametar parabole, koji je jednak udaljenosti od fokusa do direktrise. Postoji i drugi oblik snimanja, označen GMT, koji ima oblik:
Takva formula se koristi u rješavanju problema iz oblasti matematičke analize i češće se koristi od tradicionalne (zbog pogodnosti). U budućnosti ćemo se fokusirati na drugu ploču.
Ovo je zanimljivo!: dokaz
Izračunavanje koeficijenata i glavnih tačaka parabole
Među glavnim parametrima uobičajeno je uključiti lokaciju vrha na osi apscise, koordinate vrha na osi ordinate i parametar direktrise.
Numerička vrijednost koordinate vrha na x-osi
Ako je jednadžba parabole data u klasičnom obliku (1), tada je vrijednost apscise u željenoj tački biće jednaka polovini vrednosti parametra s(pola udaljenosti između direktrise i fokusa). Ako je funkcija predstavljena u obliku (2), tada se nula x izračunava po formuli:
Odnosno, gledajući ovu formulu, može se tvrditi da će vrh biti u desnoj polovini u odnosu na os y ako je jedan od parametara a ili b manji od nule.
Jednačina direktrise je data sljedećom jednačinom:
Vrijednost vrha na y-osi
Numerička vrijednost lokacije vrha za formulu (2) na y-osi može se pronaći pomoću sljedeće formule:
Iz ovoga možemo zaključiti da ako a<0, то vrh krive će biti u gornjoj poluravni, inače, na dnu. U ovom slučaju, tačke parabole će imati ista svojstva koja smo ranije spomenuli.
Ako se daje klasična notacija, onda bi bilo racionalnije izračunati vrijednost položaja vrha na osi apscise, a preko njega i naknadnu vrijednost ordinate. Imajte na umu da će se za notaciju (2) osa simetrije parabole, u klasičnom prikazu, poklapati sa y-osom.
Bitan! Prilikom rješavanja zadataka pomoću jednadžbe parabole, prije svega, istaknite glavne vrijednosti koje su već poznate. Štaviše, bilo bi korisno da se utvrde parametri koji nedostaju. Ovaj pristup će unaprijed dati više "manevarskog prostora" i racionalnije rješenje. U praksi pokušajte koristiti notaciju (2). Lakše je razumjeti (ne morate "okrenuti Descartesove koordinate"), štoviše, velika većina zadataka je prilagođena upravo ovom obliku notacije.
Konstrukcija krivulje paraboličnog tipa
Koristeći uobičajenu notaciju, prije konstruiranja parabole potrebno je pronaći njen vrh. Jednostavno rečeno, potrebno je izvršiti sljedeći algoritam:
- Pronađite koordinate vrha na x-osi.
- Pronađite koordinate lokacije vrha na Y osi.
- Zamjenjujući različite vrijednosti zavisne varijable X, pronađite odgovarajuće Y vrijednosti i nacrtajte krivu.
One. algoritam nije ništa komplikovano, glavni fokus je na tome kako pronaći vrh parabole. Dalji proces izgradnje može se smatrati mehaničkim.
Pod uslovom da su date tri tačke čije su koordinate poznate, prije svega je potrebno formulirati jednadžbu same parabole, a zatim ponoviti postupak koji je ranije opisan. Jer u jednadžbi (2) postoje 3 koeficijenta, a zatim, koristeći koordinate tačaka, izračunavamo svaki od njih:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
U formulama (5.1), (5.2), (5.3) koriste se one tačke koje su poznate (na primjer, A (, B (, C (. Na taj način nalazimo jednačinu parabole u 3 tačke). S praktične tačke gledišta, ovaj pristup nije „najprijatniji“, ali daje jasan rezultat na osnovu kojeg se naknadno gradi sama kriva.
Prilikom konstruisanja parabole, uvek mora postojati osa simetrije. Formula osi simetrije za pisanje (2) će izgledati ovako:
One. nije teško pronaći os simetrije kojoj su sve tačke krive simetrične. Tačnije, jednaka je prvoj koordinati vrha.
ilustrativni primjeri
Primjer 1. Recimo da imamo jednačinu parabole:
Potrebno je pronaći koordinate vrha parabole, kao i provjeriti da li tačka D (10; 5) pripada datoj krivoj.
Rješenje: Prije svega provjerimo da li navedena tačka pripada samoj krivulji
Odakle zaključujemo da navedena tačka ne pripada datoj krivoj. Pronađite koordinate vrha parabole. Iz formula (4) i (5) dobijamo sljedeći niz:
Ispostavilo se da su koordinate na vrhu, u tački O, sljedeće (-1,25; -7,625). To znači da je naš parabola potiče iz 3. kvadranta kartezijanskog sistema koordinate.
Primjer 2. Pronađite vrh parabole, znajući tri tačke koje mu pripadaju: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Koristeći formule (5.1), (5.2), (5.3), nalazimo koeficijente jednačine parabole. Dobijamo sljedeće:
Koristeći dobijene vrijednosti, dobijamo sljedeću jednačinu:
Na slici će data funkcija izgledati ovako (slika 2):
Slika 2. Dijagram parabole koja prolazi kroz 3 tačke
One. graf parabole koji prolazi kroz tri date tačke imaće vrh u 1. kvadrantu. Međutim, grane ove krive su usmjerene prema dolje; postoji pomak parabole u odnosu na ishodište. Ovakva konstrukcija se mogla predvidjeti obraćajući pažnju na koeficijente a, b, c.
Posebno, ako a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 kriva će biti rastegnuta, a ako je manja od 1 bit će komprimirana.
Konstanta c je odgovorna za "kretanje" krive duž y-ose. Ako je c>0, onda parabola "puzi" gore, inače dolje. Što se tiče koeficijenta b, stepen uticaja je moguće odrediti samo promjenom oblika jednačine, dovodeći je u sljedeći oblik:
Ako je koeficijent b>0, tada će koordinate vrha parabole biti pomaknute udesno za b jedinica, ako je manje, onda za b jedinica ulijevo.
Bitan! Korištenje tehnika za određivanje pomaka parabole na koordinatnoj ravni ponekad pomaže da se uštedi vrijeme pri rješavanju problema ili da se sazna o mogućem presjeku parabole s drugom krivom čak i prije konstrukcije. Obično gledaju samo na koeficijent a, jer upravo on daje jasan odgovor na postavljeno pitanje.
Koristan video: kako pronaći vrh parabole
Koristan video: kako jednostavno napisati jednadžbu parabole iz grafa
Zaključak
Kao što je algebarski proces, kao što je određivanje vrhova parabole, nije težak, ali u isto vrijeme prilično naporan. U praksi pokušavaju koristiti drugi oblik notacije kako bi olakšali razumijevanje grafičkog rješenja i rješenja u cjelini. Stoga toplo preporučujemo korištenje upravo takvog pristupa, a ako se ne sjećate formule koordinata vrhova, onda barem imate cheat sheet.