Cos sums. Osnovni trigonometrijski identiteti, njihove formulacije i izvođenje
Nastavljamo razgovor o najčešće korištenim formulama u trigonometriji. Najvažnije od njih su formule sabiranja.
Definicija 1
Formule za sabiranje vam omogućavaju da izrazite funkcije razlike ili zbroja dva ugla koristeći trigonometrijske funkcije ovih uglova.
Za početak ćemo predstaviti puna lista formule sabiranja, onda ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Osnovne formule sabiranja u trigonometriji
Postoji osam osnovnih formula: sinus zbira i sinus razlike dva ugla, kosinus zbira i razlike, tangente i kotangensa zbira i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i proračuni.
1. Sinus zbira dva ugla može se dobiti na sljedeći način:
Izračunavamo proizvod sinusa prvog ugla sa kosinusom drugog;
Pomnožite kosinus prvog ugla sa sinusom prvog;
Zbrojite rezultirajuće vrijednosti.
Grafičko pisanje formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Sinus razlike se izračunava na skoro isti način, samo se dobijeni proizvodi ne smeju sabirati, već oduzimati jedan od drugog. Tako izračunavamo umnožak sinusa prvog ugla kosinusom drugog i kosinusom prvog ugla sa sinusom drugog i nalazimo njihovu razliku. Formula se piše ovako: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Kosinus sume. Za njega pronalazimo proizvode kosinusa prvog ugla kosinusom drugog i sinusom prvog ugla sa sinusom drugog, respektivno, i nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Kosinusna razlika: izračunavamo proizvode sinusa i kosinusa datih uglova, kao i ranije, i sabiramo ih. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent sume. Ova formula se izražava kao razlomak u čijem je brojniku zbir tangenta željenih uglova, a u nazivniku jedinica od koje se oduzima proizvod tangenta željenih uglova. Sve je jasno iz njene grafičke oznake: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangenta razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i proizvod tangenta ovih uglova i postupamo s njima na sličan način. U nazivniku dodajemo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Kotangens zbira. Za proračune koristeći ovu formulu, potreban nam je proizvod i zbir kotangensa ovih uglova, s kojima postupimo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali u brojniku i nazivniku - minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Vjerovatno ste primijetili da su ove formule u paru slične. Koristeći znakove ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), možemo ih grupirati radi lakšeg označavanja:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ g t g α α c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Shodno tome, imamo jednu formulu snimanja za zbir i razliku svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.
Definicija 2
Možemo uzeti bilo koje uglove α i β, a formule sabiranja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangenta i kotangensa ovih uglova, tada će formule sabiranja za tangentu i kotangens također vrijediti za njih.
Kao i većina koncepata u algebri, formule za sabiranje se mogu dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Iz toga možete lako zaključiti ostatak dokaza.
Hajde da razjasnimo osnovne koncepte. Potreban nam je jedinični krug. Ispostaviće se ako uzmemo određenu tačku A i zarotiramo oko centra (tačke O) uglove α i β. Tada će ugao između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π z ili 2 π - (α - β) + 2 π z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori formiraju ugao koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β) , ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj kompletnih okretaja. Pogledajte sliku:
Koristili smo formule redukcije i dobili smo sljedeće rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Zaključak: kosinus ugla između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu ugla α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Prisjetimo se definicija sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta koji je jednak omjeru kraka suprotnog ugla i hipotenuze, kosinus je sinus dodatnog ugla. Dakle, bodovi A 1 i A2 imaju koordinate (cos α , sin α) i (cos β , sin β) .
Dobijamo sljedeće:
O A 1 → = (cos α , sin α) i O A 2 → = (cos β , sin β)
Ako nije jasno, pogledajte koordinate tačaka koje se nalaze na početku i kraju vektora.
Dužine vektora su jednake 1, jer imamo jedan krug.
Analizirajmo sada skalarni proizvod vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Iz ovoga možemo izvesti jednakost:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Dakle, formula za kosinus razlike je dokazana.
Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus sume. Ovo je lakše jer možemo koristiti prethodne proračune. Uzmimo prikaz α + β = α - (- β) . Imamo:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ovo je dokaz formule za kosinus sume. Posljednji red koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih uglova.
Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu smanjenja za ovo:
oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Dakle
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
A evo i dokaza formule za sinus razlike:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na korištenje svojstava sinusa i kosinusa suprotnih uglova u posljednjem proračunu.
Zatim su nam potrebni dokazi formula za sabiranje za tangentu i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangenta je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens je obrnuto) i uzmimo formule koje su već izvedene unaprijed. Mi smo to napravili:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojilac i imenilac sa cos α cos β , s obzirom da su cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0 , dobićemo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos αβ cos β - sin α sin β cos α cos β
Sada smanjujemo razlomke i dobijamo formulu sledećeg oblika: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Ovo je dokaz formule sabiranja tangenta.
Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula tangente razlike. Sve je jasno prikazano u proračunima:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formule za kotangens se dokazuju na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
dalje:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g
- sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne sviđa zbog toga što mora nagurati ogroman broj teških formula koje vrve od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stranica je već jednom dala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, koristeći primjer Eulerove i Peel formule.
I u ovom članku pokušat ćemo pokazati da je dovoljno čvrsto znati samo pet jednostavnih trigonometrijskih formula, a o ostalima imati opšta ideja i izvadi ih dok ideš. To je kao sa DNK: oni nisu pohranjeni u molekulu kompletni crteži gotovo živo biće. Sadrži, prije, upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Tako je u trigonometriji, znajući nešto opšti principi, dobićemo sve potrebne formule iz malog skupa onih koje se moraju imati na umu.
Oslonićemo se na sledeće formule:
Iz formula za sinus i kosinus zbira, znajući da je kosinusna funkcija parna i da je sinusna funkcija neparna, zamjenjujući -b za b, dobijamo formule za razlike:
- Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
- kosinus razlika: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb
Stavljajući a \u003d b u iste formule, dobijamo formule za sinus i kosinus dvostrukih uglova:
- Sinus dvostrukog ugla: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
- Kosinus dvostrukog ugla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2a-grijeh2a
Formule za druge višestruke uglove dobivaju se na sličan način:
- Sinus trostrukog ugla: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2a-grijeh2a)grijeha = 2grijehacos2a+grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
- Kosinus trostrukog ugla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2a-grijeh2a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3a- grijeh2acosa-2grijeh2acosa = cos 3a-3 grijeh2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa
Prije nego krenemo dalje, razmotrimo jedan problem.
Dato: ugao je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , onda grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)
Dakle, definicija tangente povezuje ovu funkciju i sa sinusom i sa kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja daje vezu tangente samo s kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo osnovni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. Dobijamo:
Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:
(Budući da je ugao oštar, pri vađenju korijena uzima se znak +)
Formula za tangent sume je još jedna koja se teško sjeća. Hajde da to izbacimo ovako:
odmah izlaz i
Iz kosinusne formule za dvostruki ugao možete dobiti formule sinusa i kosinusa za pola ugla. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2
a = cos 2
a-grijeh 2
a
dodajemo jedinicu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbir kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2a-grijeh2a+cos2a+grijeh2a
2cos 2
a = cos2
a+1
izražavanje cosa kroz cos2
a i promjenom varijabli dobijamo:
Znak se uzima u zavisnosti od kvadranta.
Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i sume kvadrata sinusa i kosinusa s desne strane, dobivamo:
cos2a-1 = cos2a-grijeh2a-cos2a-grijeh2a
2grijeh 2
a = 1-cos2
a
I na kraju, da bismo pretvorili zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod, koristimo se sljedećim trikom. Pretpostavimo da trebamo predstaviti zbir sinusa kao proizvod grijeha+grijehb. Hajde da uvedemo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Onda
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.
Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Dakle
Možete se odmah povući
- Formula particije produkti sinusa i kosinusa in iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))
Preporučujemo da uvježbate i izvedete formule za pretvaranje proizvoda razlike sinusa i zbira i razlike kosinusa u proizvod, kao i za cijepanje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir. Radeći ove vježbe, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni u najtežoj kontroli, olimpijadi ili testiranju.
Jedna od grana matematike s kojom se školarci nose s najvećim poteškoćama je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u proračunima. Osim toga, morate biti u stanju primijeniti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a za to je potrebna ili razvijena matematička memorija ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Poreklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom naukom trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.
Istorijski gledano, pravokutni trouglovi su bili glavni predmet proučavanja u ovom dijelu matematičke nauke. Prisutnost ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje različitih operacija koje omogućavaju određivanje vrijednosti svih parametara figure koja se razmatra koristeći dvije strane i jedan kut ili dva ugla i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.
Prva faza
U početku su ljudi govorili o odnosu uglova i stranica isključivo na primjeru pravokutnih trouglova. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u Svakodnevni život ovu granu matematike.
Izučavanje trigonometrije u školi danas počinje pravouglim trouglovima, nakon čega stečeno znanje učenici koriste u fizici i rješavanju apstraktnih trigonometrijskih jednačina, sa kojima se rad počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je nauka dostigla sledeći nivo razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe različita pravila, a zbir uglova u trouglu je uvek veći od 180 stepeni. Ovaj odjeljak se ne izučava u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje, barem zato zemljine površine, a površina bilo koje druge planete je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti "u obliku luka" u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pažnju - dobio je oblik luka. Upravo se takvim oblicima bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim oblastima.
Pravokutni trokut
Pošto smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. Ona je najduža. Sjećamo se da je, prema Pitagorinoj teoremi, njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbira kvadrata druge dvije stranice.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.
Dvije preostale stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trouglu u pravougaonom koordinatnom sistemu 180 stepeni.
Definicija
Konačno, uz solidno razumijevanje geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.
Sinus ugla je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Jer hipotenuza je po defaultu najduža. Bez obzira koliko je krak dugačak, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manje od jedan. Stoga, ako dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1 u odgovoru na problem, potražite grešku u proračunima ili zaključivanju. Ovaj odgovor je očigledno pogrešan.
Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Isti rezultat će dati podjelu sinusa kosinusom. Pogledajte: u skladu s formulom, duljinu stranice dijelimo hipotenuzom, nakon čega dijelimo dužinom druge stranice i množimo hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti omjer kao u definiciji tangente.
Kotangens je odnos strane koja je susedna uglu i suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedinice sa tangentom.
Dakle, razmotrili smo definicije šta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens, i možemo se baviti formulama.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji se ne može bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? A to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.
Prva formula koju trebate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako želite znati vrijednost ugla, a ne stranice.
Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte pažljivije: na kraju krajeva, ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Zapamtite: znajući šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens, pravila konverzije i nekoliko osnovne formule u svakom trenutku možete sami prikazati potrebne složenije formule na listu papira.
Formule dvostrukog ugla i dodavanje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa zbroja i razlike uglova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje parni proizvod sinusa i kosinusa.
Postoje i formule povezane sa argumentima dvostrukog ugla. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte da ih dobijete sami uzimajući alfa ugao jednaka uglu beta.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog ugla mogu pretvoriti u niži stepen sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
Teoreme
Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, lako možete razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a samim tim i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Teorema sinusa kaže da kao rezultat dijeljenja dužine svake od stranica trokuta vrijednošću suprotnog ugla, dobijemo isti broj. Štaviše, ovaj broj će biti jednak sa dva poluprečnika opisane kružnice, odnosno kruga koji sadrži sve tačke datog trougla.
Kosinusna teorema generalizira Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koji trokut. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen dvostrukim kosinusom ugla koji im je susjedan - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.
Greške zbog nepažnje
Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve greške, upoznajmo se s najpopularnijim od njih.
Prvo, ne biste trebali pretvarati obične razlomke u decimale dok se ne dobije konačni rezultat - odgovor možete ostaviti u obliku običan razlomak osim ako uslov ne navodi drugačije. Takva se transformacija ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema ideji autora, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubite vrijeme na nepotrebno matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen od tri ili dva, jer se pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da dvaput oduzmete umnožak stranica pomnožen kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stepeni jednak kosinsu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Aplikacija
Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju, jer ne razumiju njeno primijenjeno značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? Ovo su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.
Konačno
Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.
Čitava suština trigonometrije se svodi na to da se nepoznati parametri moraju izračunati iz poznatih parametara trougla. Ukupno ima šest parametara: dužine tri strane i veličine tri ugla. Čitava razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.
Kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze, sada znate. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijski problem postaje pronalaženje korena obične jednačine ili sistema jednačina. I ovdje će vam pomoći obična školska matematika.
Započinjemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštar ugao. Ovo su osnove trigonometrije.
Prisjetite se toga pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, polovina rasklopljenog ugla.
Oštar ugao- manje od 90 stepeni.
Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravougli trougao. Obično se označava pravi ugao. Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kuta A.
Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza Pravougli trokut je strana suprotna od pravog ugla.
noge- strane suprotne oštrim uglovima.
Noga nasuprot uglu se zove suprotno(u odnosu na ugao). Druga noga, koja leži na jednoj strani ugla, zove se susjedni.
Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:
Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge i susjedne:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:
Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka prema suprotnom (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):
Obratite pažnju na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangent i kotangens, koji su dati u nastavku. Oni će nam biti od koristi u rješavanju problema.
Dokažimo neke od njih.
U redu, dali smo definicije i napisane formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangent i kotangens?
Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je.
Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .
Ispostavilo se da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za uglove - njihov odnos, za strane - svoj. Ali šta učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan ugao (osim pravog) i jedna stranica, ali morate pronaći druge strane?
S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, praveći mape područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.
Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati omjer između stranke i uglovi trougao. Znajući ugao, možete pronaći sve trigonometrijske funkcije prema posebnim tabelama. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Za odgovarajuće vrijednosti uglova, tangenta i kotangens ne postoje.
Analizirajmo nekoliko problema u trigonometriji iz zadataka Banke FIPI.
1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Ukoliko , .
2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .
Pronađimo po Pitagorinoj teoremi.
Problem riješen.
Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i . Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!
Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.
Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.
Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trougla – odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! AT KORISTI opcije u matematici postoje mnogi problemi u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.
Najčešća pitanja
Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu email adresu dobra kvaliteta a mi ćemo napraviti potreban duplikat.
Koje vrste plaćanja prihvatate?
Odgovori Dokument možete platiti u trenutku prijema kod kurira, nakon što provjerite ispravnost popunjavanja i kvalitet diplome. To se može učiniti i u uredima poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku "Plaćanje i dostava". Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije o uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.
Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe svoje probleme sa zapošljavanjem ili pređu na bolje plaćene poslove. Stekli smo povjerenje i priznanje među kupcima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: narudžbu plaćate u trenutku kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.
Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i inostranstvu. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i ispuniti obrazac za narudžbu.
Šta da radim ako pronađem greške u kucanju i greške u dokumentu?
Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se nađe greška, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, a utvrđene nedostatke morate lično navesti kuriru ili pismeno slanjem pisma na adresu email.
AT što je brže moguće Ispravićemo dokument i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca šaljemo izgled budućeg dokumenta na mail kupca radi provjere i odobrenja konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, snimamo i dodatnu fotografiju i video (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali vizualnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.
Šta treba da uradite da biste naručili diplomu od vaše kompanije?
Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje i sl.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam poslali upitnik, koji je potrebno popuniti i poslati nazad k nama.
Ako ne znate šta naznačiti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.
Najnovije recenzije
Aleksej:
Trebalo je da dobijem diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I što je najvažnije, imam i iskustva i vještine, ali bez dokumenta ne mogu, zaposliću se bilo gdje. Jednom na vašem sajtu, ipak sam odlučio da kupim diplomu. Diploma je završena za 2 dana! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala ti!