Ono što se zove paralelepiped. kuboid
Definicija
poliedar nazvat ćemo zatvorenu površinu sastavljenu od poligona i koja ograničava neki dio prostora.
Segmenti koji su stranice ovih poligona nazivaju se rebra poliedar, i sami poligoni - lica. Vrhovi poligona se nazivaju vrhovi poliedra.
Razmotrićemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi na jednoj strani svake ravnine koja sadrži lice).
Poligoni koji čine poliedar formiraju njegovu površinu. Dio prostora omeđen datim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.
Definicija: prizma
Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) smještena u paralelnim ravnima tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) su paralelne. Poliedar formiran od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i od paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-ugalj) prizma.
Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) se nazivaju osnove prizme, paralelogram \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočne ivice prizme su paralelne i jednake jedna drugoj.
Razmotrimo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), čija je osnova konveksan pentagon.
Visina Prizma je okomita iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze.
Ako bočne ivice nisu okomite na bazu, onda se takva prizma naziva koso(Sl. 1), inače - ravno. Za ravnu prizmu, bočne ivice su visine, a bočne strane su jednaki pravokutnici.
Ako pravilni mnogokut leži u osnovi prave prizme, tada se prizma naziva ispravan.
Definicija: koncept volumena
Jedinica zapremine je jedinična kocka (kocka sa dimenzijama \(1\x1\x1\) jedinica\(^3\) , gde je jedinica neka jedinica mere).
Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju ovaj poliedar ograničava. Inače: ovo je vrijednost numerička vrijednost koji pokazuje koliko se puta jedinična kocka i njeni dijelovi uklapaju u dati poliedar.
Volumen ima ista svojstva kao i površina:
1. Zapremine jednakih figura su jednake.
2. Ako je poliedar sastavljen od nekoliko poliedara koji se ne seku, onda je njegov volumen jednak je zbiru zapremine ovih poliedara.
3. Volumen je nenegativna vrijednost.
4. Zapremina se mjeri u cm\(^3\) (kubnim centimetrima), m\(^3\) ( Cubic Meters) itd.
Teorema
1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme.
Bočna površina je zbir površina bočnih površina prizme.
2. Zapremina prizme jednaka je umnošku površine osnove i visine prizme: \
Definicija: kutija
Paralelepiped To je prizma čija je osnova paralelogram.
Sve strane paralelepipeda (njihove \(6\) : \(4\) bočne površine i \(2\) baze) su paralelogrami, a suprotne strane (paralelne jedna drugoj) su jednaki paralelogrami (slika 2).
Dijagonala kutije je segment koji povezuje dva vrha paralelepipeda koji ne leže na istoj strani (njihov \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itd.).
kuboid je pravi paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi.
Jer je pravi paralelepiped, tada su bočne strane pravokutnici. Dakle, općenito, sva lica pravokutnog paralelepipeda su pravokutnici.
Sve dijagonale kvadra su jednake (ovo proizilazi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).
Komentar
Dakle, paralelepiped ima sva svojstva prizme.
Teorema
Površina bočne površine pravokutnog paralelepipeda jednaka je \
Square puna površina pravougaoni paralelepiped je jednak \
Teorema
Zapremina kvadra jednaka je proizvodu tri njegove ivice koje izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \
Dokaz
Jer za pravougaoni paralelepiped, bočne ivice su okomite na osnovu, tada su i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) osnova je pravougaonik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi formula.
Teorema
Dijagonala \(d\) kvadra se traži po formuli (gdje su \(a,b,c\) dimenzije kvadra)\
Dokaz
Razmotrite sl. 3. Jer osnova je pravougaonik, tada je \(\trougao ABD\) pravougaonik, dakle, prema Pitagorinoj teoremi \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Jer onda su sve bočne ivice okomite na baze \(BB_1\perp (ABC) \Strelica desno BB_1\) okomito na bilo koju pravu u ovoj ravni, tj. \(BB_1\perp BD\) . Dakle, \(\trougao BB_1D\) je pravougaonik. Zatim po Pitagorinoj teoremi \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definicija: kocka
Kocka je pravougaoni paralelepiped čije su sve strane jednake kvadrate.
Dakle, tri dimenzije su jedna drugoj jednake: \(a=b=c\) . Dakle, sljedeće su istinite
Teoreme
1. Zapremina kocke sa rubom \(a\) je \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. Dijagonala kocke se traži po formuli \(d=a\sqrt3\) .
3. Ukupna površina kocke \(S_(\text(pune iteracije kocke))=6a^2\).
Paralelepiped je geometrijska figura čiji su svih 6 lica paralelogrami.
Ovisno o vrsti ovih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:
- ravno;
- inclined;
- pravougaona.
Pravi paralelepiped je četvorougaona prizma čije ivice čine ugao od 90° sa osnovnom ravninom.
Pravougaoni paralelepiped je četvorougaona prizma, čija su sva lica pravougaonici. Kocka je vrsta četvorougaone prizme u kojoj su sve strane i ivice jednake.
Osobine figure unaprijed određuju njena svojstva. One uključuju sljedeće 4 izjave:
Zapamtite sva gore navedena svojstva je jednostavno, lako ih je razumjeti i logički su izvedeni na osnovu tipa i karakteristika geometrijsko tijelo. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerovatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za polaganje testa.
Formule paralelepipeda
Da biste pronašli odgovore na problem, nije dovoljno znati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule da pronađete površinu i zapreminu geometrijskog tijela.
Područje baza nalazi se i kao odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Osnovu paralelograma možete odabrati sami. U pravilu, pri rješavanju problema lakše je raditi s prizmom, koja se temelji na pravokutniku.
Formula za pronalaženje bočne površine paralelepipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.
Primjeri rješavanja tipičnih USE zadataka
Vježba 1.
Dato: kvadar dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno Pronađite dužinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Rješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izradom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačeno „dato“ i željena vrijednost. Slika ispod je primjer ispravan dizajn uslove zadatka.
Nakon što smo razmotrili napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog ispravnog načina da ga riješimo. Primjenom svojstva 4 paralelepipeda dobijamo sljedeći izraz:
Nakon jednostavnih proračuna dobijamo izraz b2=169, dakle, b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, potrebno je ne više od 5 minuta da ga potražite i nacrtate.
Ciljevi lekcije:
1. Obrazovni:
Upoznati pojam paralelepipeda i njegove vrste;
- formulisati (koristeći analogiju sa paralelogramom i pravougaonikom) i dokazati svojstva paralelepipeda i pravougaonog paralelepipeda;
- ponoviti pitanja vezana za paralelizam i okomitost u prostoru.
2. Razvijanje:
Nastaviti razvoj kognitivnih procesa kod učenika kao što su percepcija, razumijevanje, mišljenje, pažnja, pamćenje;
- promovirati razvoj elemenata kod učenika kreativna aktivnost kao kvaliteti mišljenja (intuicija, prostorno razmišljanje);
- formirati kod učenika sposobnost izvođenja zaključaka, uključujući i analogiju, što pomaže u razumijevanju unutarpredmetnih veza u geometriji.
3. Obrazovni:
Doprinijeti obrazovanju organizacije, navika sistematski rad;
- promovirati formiranje estetskih vještina u izradi zapisa, izvođenju crteža.
Vrsta časa: lekcija - učenje novog gradiva (2 sata).
Struktura lekcije:
1. Organizacioni momenat.
2. Aktuelizacija znanja.
3. Učenje novog gradiva.
4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.
Oprema: posteri (slajdovi) sa dokazima, modeli raznih geometrijskih tijela, uključujući sve vrste paralelepipeda, graf projektor.
Tokom nastave.
1. Organizacioni momenat.
2. Aktuelizacija znanja.
Izvještavanje o temi časa, formulisanje ciljeva i zadataka zajedno sa učenicima, pokazivanje praktičnog značaja proučavanja teme, ponavljanje prethodno proučenih pitanja vezanih za ovu temu.
3. Učenje novog gradiva.
3.1. Paralelepiped i njegove vrste.
Modeli paralelepipeda su demonstrirani uz identifikaciju njihovih karakteristika, koje pomažu da se formulira definicija paralelepipeda koristeći koncept prizme.
definicija:
Paralelepiped Zove se prizma čija je osnova paralelogram.
Nacrtan je paralelepiped (slika 1), elementi paralelepipeda navedeni su kao poseban slučaj prizme. Prikazan je slajd 1.
Šematski zapis definicije:
Zaključci se izvlače iz definicije:
1) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepiped.
2) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepiped, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD je paralelogram.
3) Ako ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram, tada
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ne paralelepiped.
četiri) . Ako ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije paralelepiped, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram.
Zatim se razmatraju posebni slučajevi paralelepipeda sa konstrukcijom klasifikacione šeme (vidi sliku 3), demonstriraju se modeli i izdvajaju karakteristična svojstva pravog i pravougaonog paralelepipeda, formulišu se njihove definicije.
definicija:
Paralelepiped se naziva ravnim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu.
definicija:
Paralelepiped se zove pravougaona, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu, a osnova je pravougaonik (vidi sliku 2).
Nakon pisanja definicija u šematskom obliku, formuliraju se zaključci iz njih.
3.2. Svojstva paralelepipeda.
Potražite planimetrijske figure čiji su prostorni analogi paralelepiped i pravougaoni paralelepiped (paralelogram i pravougaonik). U ovom slučaju radi se o vizualnoj sličnosti figura. Koristeći pravilo zaključivanja po analogiji, tabele se popunjavaju.
Pravilo zaključivanja po analogiji:
1. Birajte između prethodno proučavanih figure figure slično ovome.
2. Formulirajte svojstvo odabrane figure.
3. Formulirajte slično svojstvo originalne figure.
4. Dokažite ili opovrgnite formulisanu tvrdnju.
Nakon formulacije svojstava, dokaz svakog od njih provodi se prema sljedećoj shemi:
- rasprava o planu dokaza;
- demonstracija probnog slajda (slajdovi 2-6);
- upis dokaza u sveske od strane učenika.
3.3 Kocka i njena svojstva.
Definicija: Kocka je kvadar čije su sve tri dimenzije jednake.
Po analogiji s paralelepipedom, učenici samostalno prave šematski zapis definicije, izvode posljedice iz nje i formulišu svojstva kocke.
4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.
Zadaća:
- Koristeći nacrt časa, prema udžbeniku geometrije za 10-11 razred, L.S. Atanasyan i drugi, studija pogl.1, §4, str.13, pogl.2, §3, str.24.
- Dokazati ili opovrgnuti svojstvo paralelepipeda, tačka 2 tabele.
- Odgovorite na sigurnosna pitanja.
Test pitanja.
1. Poznato je da su samo dvije bočne strane paralelepipeda okomite na osnovu. Koja vrsta paralelepipeda?
2. Koliko bočnih strana pravougaonog oblika može imati paralelepiped?
3. Da li je moguće imati paralelepiped sa samo jednom bočnom stranom:
1) okomito na osnovu;
2) ima oblik pravougaonika.
4. U desnom paralelepipedu sve dijagonale su jednake. Da li je pravougaona?
5. Da li je tačno da su u desnom paralelepipedu dijagonalni presjeci okomiti na ravni osnove?
6. Formulirajte teoremu suprotnu teoremi o kvadratu dijagonale pravokutnog paralelepipeda.
7. Koje dodatne karakteristike razlikuju kocku od kockaste?
8. Hoće li kocka biti paralelepiped u kojem su sve ivice jednake u jednom od vrhova?
9. Formulirajte teoremu o kvadratu dijagonale pravokutnog paralelepipeda za slučaj kocke.
Ili (ekvivalentno) poliedar sa šest lica i svako od njih - paralelogram.
Vrste kutija
Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:
- Kuboid je kvadar čije su sve strane pravokutnici.
- Desni paralelepiped je paralelepiped sa 4 bočne strane koje su pravokutnici.
- Kosa kutija je kutija čije bočne strane nisu okomite na osnove.
Glavni elementi
Dvije strane paralelepipeda koje nemaju zajedničku ivicu nazivaju se suprotne, a one koje imaju zajedničku ivicu su susjedne. Dva vrha paralelepipeda koji ne pripadaju istom licu nazivaju se suprotnim. Odsječak koji povezuje suprotne vrhove naziva se dijagonala paralelepipeda. Dužine tri ivice kvadra koje imaju zajednički vrh nazivaju se njegove dimenzije.
Svojstva
- Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
- Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je na pola; posebno, sve dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele je na pola.
- Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
- Kvadrat dužine dijagonale kvadra jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije.
Osnovne formule
Desni paralelepiped
Bočna površina S b \u003d R o * h, gdje je R o obim baze, h je visina
Ukupna površina S p \u003d S b + 2S o, gdje je S o površina baze
Volume V=S o *h
kuboid
Bočna površina S b \u003d 2c (a + b), gdje su a, b stranice baze, c je bočna ivica pravokutnog paralelepipeda
Ukupna površina S p \u003d 2 (ab + bc + ac)
Volume V=abc, gdje su a, b, c dimenzije kvadra.
Kocka
Površina:
Volume: , gdje - ivica kocke.
Proizvoljna kutija
Volumen i omjeri u kosoj kutiji se često definiraju pomoću vektorske algebre. Zapremina paralelepipeda jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda tri vektora definirana sa tri strane paralelepipeda koji izlaze iz jednog vrha. Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih daje tvrdnju da je Gramova determinanta ova tri vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda: 215 .
U matematičkoj analizi
U matematičkoj analizi, pod n-dimenzionalnim pravougaonim paralelepipedom razumiju mnoge tačke vrsta
Napišite recenziju na članak "Paralelepiped"
Bilješke
Linkovi
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Odlomak koji karakteriše paralelepiped
- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Kažu da su se rivali pomirili zahvaljujući ovoj bolesti.]Reč angine se ponavljala sa velikim zadovoljstvom.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stari grof je vrlo dirljiv, kažu. Plakao je kao dijete kad je doktor rekao da je opasan slučaj.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, to bi bio veliki gubitak. Tako ljupka žena.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", reče Ana Pavlovna prilazeći. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - rekla je Ana Pavlovna sa osmehom preko svog oduševljenja. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Govorite o jadnoj grofici... Poslao sam da saznam za njeno zdravlje. Rečeno mi je da joj je malo bolje. Oh, bez sumnje, ovo je najljepša žena na svijetu. Mi pripadamo različitim taborima, ali to me ne sprečava da je poštujem prema njenim zaslugama. Ona je tako nesrećna.] dodala je Ana Pavlovna.
Vjerujući da je ovim riječima Anna Pavlovna malo podigla veo tajne nad bolešću grofice, jedan nemarni mladić dozvolio je sebi da izrazi iznenađenje što nisu pozvani poznatih doktora, ali groficu liječi šarlatan koji može dati opasne lijekove.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes", iznenada je napala Ana Pavlovna neiskusnog mladi čovjek. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Vaše vijesti su možda tačnije od mojih... ali ja sam iz dobri izvori Znam da je ovaj doktor veoma učena i vešta osoba. Ovo je životni lekar španske kraljice.] - I tako uništivši mladića, Ana Pavlovna se obratila Bilibinu, koji je u drugom krugu, podigavši kožu i, očigledno, spremajući je da je rastvori, da kažem un mot, progovorio o Austrijancima.
- Je trouve que c "est charmant! [Smatram to šarmantnim!] - rekao je o diplomatskom papiru, pod kojim su austrijske zastave koje je uzeo Vitgenštajn poslate u Beč, le heros de Petropol [heroj Petropolisa] (kako je on zvao se u Petersburgu).
- Kako, kako je? Ana Pavlovna se okrenula prema njemu, izazivajući tišinu da čuje mot, koji je već poznavala.
I Bilibin je ponovio sljedeće autentične riječi diplomatske depeše koju je sastavio:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", rekao je Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Car šalje austrijske zastave, prijateljske i pogrešne transparente koje je pronašao napolju pravi put.] završio je Bilibin, opuštajući kožu.
- Šarmantan, šarmantan, [Šarmantan, šarmantan,] - reče princ Vasilij.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Ovo je varšavski put, možda.] - rekao je knez Hipolit glasno i neočekivano. Svi su ga pogledali, ne shvatajući šta je ovim hteo da kaže. Princ Hipolit je takođe pogledao okolo sa veselo iznenađenje oko sebe. On, kao i drugi, nije razumeo šta znače reči koje je izgovorio. Tokom svoje diplomatske karijere više puta je primetio da su odjednom ovako izgovorene reči ispale veoma duhovite, a za svaki slučaj rekao je ove riječi: „Možda će ispasti jako dobro“, pomisli on, „ali ako ne izađe, moći će to tamo urediti.“ Zaista, dok je vladala neugodna tišina, to nedovoljno patriotsko lice, koga su Ana Pavlovna i ona, smeškajući se i tresući prstom Ipolitu, pozvale kneza Vasilija za sto i, donevši mu dve sveće i rukopis, zamolile ga da počne.
U ovoj lekciji svi će moći da prouče temu "Pravougaona kutija". Na početku lekcije ponovit ćemo šta su proizvoljni i pravi paralelepipedi, podsjetiti se na svojstva njihovih suprotnih strana i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo razmotriti šta je kvadar i razmotriti njegova glavna svojstva.
Tema: Okomitost pravih i ravni
Lekcija: Kuboid
Površina sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelepiped(Sl. 1).
Rice. 1 paralelepiped
To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelnim ravnima tako da su bočne ivice AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelne. Tako se zove površina sastavljena od paralelograma paralelepiped.
Dakle, površina paralelepipeda je zbir svih paralelograma koji čine paralelopiped.
1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
(cifre su jednake, odnosno mogu se kombinovati preklapanjem)
Na primjer:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (pošto su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda).
2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku.
Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B seku se u jednoj tački O, a svaka dijagonala je podijeljena na pola ovom tačkom (slika 2).
Rice. 2 Dijagonale paralelepipeda se sijeku i sijeku presječnu točku.
3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih ivica paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice.
Neka bočna ivica AA 1 bude okomita na osnovu (slika 3). To znači da je prava AA 1 okomita na prave AD i AB, koje leže u ravni baze. I, stoga, pravokutnici leže u bočnim stranama. A baze su proizvoljni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, ugao φ može biti bilo koji.
Rice. 3 Desna kutija
Dakle, desna kutija je kutija u kojoj su bočne ivice okomite na osnove kutije.
Definicija. Paralelepiped se naziva pravougaonim, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu. Osnove su pravokutnici.
Paralelepiped AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 je pravougaonog oblika (slika 4) ako:
1. AA 1 ⊥ ABCD (bočna ivica je okomita na ravan osnove, odnosno pravi paralelepiped).
2. ∠BAD = 90°, tj. osnova je pravougaonik.
Rice. 4 Kuboid
Pravougaona kutija ima sva svojstva proizvoljnog okvira. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.
dakle, kuboid je paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovu. Osnova kvadra je pravougaonik.
1. U kvadru, svih šest lica su pravokutnici.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su pravokutnici po definiciji.
2. Bočna rebra su okomita na osnovu. To znači da su sve bočne strane kvadra pravokutnici.
3. Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi.
Razmotrimo, na primjer, diedarski ugao pravougaonog paralelepipeda sa ivicom AB, tj. diedarski ugao između ravnina ABB 1 i ABC.
AB je ivica, tačka A 1 leži u jednoj ravni - u ravni ABB 1, a tačka D u drugoj - u ravni A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski ugao može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 AVD.
Uzmite tačku A na rubu AB. AA 1 je okomita na ivicu AB u ravni ABB-1, AD je okomita na ivicu AB u ravni ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni ugao datog diedralnog ugla. ∠A 1 AD \u003d 90 °, što znači da je ugao diedara na ivici AB 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Slično se dokazuje da su svaki diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda pravi.
Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.
Bilješka. Dužine tri ivice koje izlaze iz istog vrha kvadra su mjere kvadra. Ponekad se nazivaju dužina, širina, visina.
Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravougaoni paralelepiped (slika 5).
Dokaži: .
Rice. 5 Kuboid
dokaz:
Prava CC 1 je okomita na ravan ABC, a time i na pravu AC. Dakle, trokut CC 1 A je pravougli trokut. Prema Pitagorinoj teoremi:
Razmislite pravougaonog trougla ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:
Ali BC i AD su suprotne strane pravougaonika. Dakle BC = AD. onda:
Jer , a , onda. Pošto je CC 1 = AA 1, ono što je trebalo dokazati.
Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.
Označimo dimenzije paralelepipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
