O'rtacha darajasi

Doira va chizilgan burchak. vizual qo'llanma (2019)

Asosiy shartlar.

Doira bilan bog'liq barcha nomlarni qanchalik yaxshi eslaysiz? Har holda, biz eslaymiz - rasmlarga qarang - bilimingizni yangilang.

Birinchidan - Aylana markazi - bu doiradagi barcha nuqtalar bir xil masofada joylashgan nuqta.

Ikkinchidan - radius - markazni va doiradagi nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti.

Radiuslar juda ko'p (aylanada qancha nuqta bo'lsa), lekin barcha radiuslar bir xil uzunlikka ega.

Ba'zan qisqacha radius chaqirishadi segment uzunligi"markaz aylanadagi nuqtadir" va segmentning o'zi emas.

Va bu erda nima sodir bo'ladi agar siz aylanadagi ikkita nuqtani bog'lasangiz? Shuningdek, kesishmi?

Shunday qilib, bu segment deyiladi "akkord".

Xuddi radius holatida bo'lgani kabi, diametr ko'pincha doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan va markazdan o'tuvchi segmentning uzunligi deb ataladi. Aytgancha, diametr va radius qanday bog'liq? Yaqindan qarang. Albatta, radius yarmi diametri.

Akkordlardan tashqari, ular ham bor sekant.

Eng oddiyini eslaysizmi?

Markaziy burchak ikki radius orasidagi burchakdir.

Va endi yozilgan burchak

Yozilgan burchak aylananing bir nuqtasida kesishgan ikkita akkord orasidagi burchakdir.

Bunday holda, ular yozilgan burchak yoyga (yoki akkordga) tayanadi, deyishadi.

Rasmga qarang:

Yoylar va burchaklarni o'lchash.

Atrof. Yoylar va burchaklar daraja va radianlarda o'lchanadi. Birinchidan, darajalar haqida. Burchaklar uchun hech qanday muammo yo'q - siz kamonni darajalarda o'lchashni o'rganishingiz kerak.

Daraja o'lchovi (ark qiymati) - mos keladigan markaziy burchakning qiymati (graduslarda).

Bu erda "tegishli" so'zi nimani anglatadi? Keling, diqqat bilan ko'rib chiqaylik:

Ikki yoy va ikkita markaziy burchakni ko'rasizmi? Xo'sh, kattaroq yoy kattaroq burchakka mos keladi (va u kattaroq bo'lsa ham yaxshi) va kichikroq yoy kichikroq burchakka mos keladi.

Shunday qilib, biz kelishib oldik: yoy tegishli markaziy burchakka teng darajada ko'p darajalarni o'z ichiga oladi.

Va endi dahshatli haqida - radyanlar haqida!

Bu "radian" qanday hayvon?

Buni tasavvur qiling: radyanlar burchakni o'lchash usulidir ... radiuslarda!

Radian burchak - yoy uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan markaziy burchak.

Keyin savol tug'iladi - to'g'rilangan burchakda qancha radian bor?

Boshqacha qilib aytganda: yarim doira ichida nechta radius "mos keladi"? Yoki boshqa yo'l bilan: yarim doira uzunligi radiusdan necha marta katta?

Bu savol qadimgi Yunoniston olimlari tomonidan so'ralgan.

Shunday qilib, uzoq izlanishlardan so'ng, ular aylananing radiusga nisbati "inson" raqamlari bilan ifodalanishini istamasligini aniqladilar.

Bu munosabatni esa ildiz orqali ifodalash ham mumkin emas. Ya'ni, aylananing yarmini radiusdan ikki marta yoki ko'p marta aytish mumkin emas! Tasavvur qila olasizmi, birinchi marta odamlarni kashf qilish qanchalik ajoyib bo'lgan?! Yarim doira uzunligining radiusga nisbati uchun "normal" raqamlar etarli edi. Men xat kiritishim kerak edi.

Demak, yarim doira uzunligining radiusga nisbatini ifodalovchi raqam.

Endi biz savolga javob berishimiz mumkin: to'g'ri burchakda qancha radian bor? Uning radiani bor. Chunki aylananing yarmi radiusdan ikki baravar katta.

Qadimgi (va shunday emas) odamlar asrlar davomida (!) ular bu sirli raqamni aniqroq hisoblashga, uni "oddiy" raqamlar orqali yaxshiroq (hech bo'lmaganda taxminan) ifodalashga harakat qilishdi. Va endi biz imkonsiz dangasamiz - band bo'lgandan keyin ikkita belgi bizga kifoya qiladi, biz bunga o'rganib qolganmiz.

O'ylab ko'ring, bu, masalan, radiusi bitta bo'lgan aylananing y uzunligi taxminan teng ekanligini anglatadi va bu uzunlikni "odam" raqami bilan yozib bo'lmaydi - sizga harf kerak. Va keyin bu aylana teng bo'ladi. Va, albatta, radiusning atrofi tengdir.

Keling, radianlarga qaytaylik.

To'g'ri burchakda radian borligini allaqachon bilib oldik.

Bizda nima bor:

Juda xursandman, bu xursand. Xuddi shu tarzda, eng mashhur burchaklarga ega bo'lgan plastinka olinadi.

Yozilgan va markaziy burchaklar qiymatlari o'rtasidagi nisbat.

Ajablanarlisi bor:

Yozilgan burchakning qiymati mos keladigan markaziy burchakning yarmiga teng.

Rasmda ushbu bayonot qanday ko'rinishini ko'ring. "Tegishli" markaziy burchak - bu uchlari chizilgan burchakning uchlari bilan to'g'ri keladigan va tepalik markazda joylashgan. Va shu bilan birga, "mos keladigan" markaziy burchak yozilgan burchak bilan bir xil akkordga () "qarashi" kerak.

Nega shunday? Avval oddiy ishni ko'rib chiqaylik. Akkordlardan biri markazdan o'tib ketsin. Axir, bu ba'zida sodir bo'ladi, to'g'rimi?

Bu erda nima bo'ladi? O'ylab ko'ring. Bu izossellar - oxir-oqibat va radiuslardir. Shunday qilib, (ularni ko'rsatdi).

Endi ko'rib chiqaylik. Bu tashqi burchak! Biz tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchakning yig'indisiga teng ekanligini eslaymiz va yozamiz:

Ya'ni! Kutilmagan effekt. Ammo yozilganlar uchun markaziy burchak ham mavjud.

Shunday qilib, bu holatda biz markaziy burchakning chizilgan burchakdan ikki barobar ekanligini isbotladik. Ammo bu juda og'riqli alohida holat: akkord har doim ham markazdan to'g'ri o'tmasligi rostmi? Lekin hech narsa, endi bu maxsus holat bizga ko'p yordam beradi. Qarang: ikkinchi holat: markaz ichkarida yotsin.

Keling, buni qilaylik: diametrni chizish. Va keyin ... biz birinchi holatda allaqachon tahlil qilingan ikkita rasmni ko'ramiz. Shuning uchun, bizda allaqachon mavjud

Shunday qilib (chizma bo'yicha, a)

Xo'sh, oxirgi holat qoladi: markaz burchakdan tashqarida.

Biz ham xuddi shunday qilamiz: nuqta orqali diametrni chizamiz. Hamma narsa bir xil, lekin yig'indi o'rniga - farq.

Hammasi shu!

Endi chizilgan burchak markaziy burchakning yarmi ekanligi haqidagi bayonotning ikkita asosiy va juda muhim natijasini tuzamiz.

Xulosa 1

Xuddi shu yoyni kesishgan barcha chizilgan burchaklar tengdir.

Biz tasvirlaymiz:

Xuddi shu yoyga asoslangan son-sanoqsiz chizilgan burchaklar mavjud (bizda bu yoy bor), ular butunlay boshqacha ko'rinishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil markaziy burchakka ega (), ya'ni bu barcha chizilgan burchaklar o'zaro tengdir.

Natija 2

Diametrga asoslangan burchak to'g'ri burchakdir.

Qarang: qaysi burchak markazida?

Albatta, . Ammo u tengdir! Xo'sh, shuning uchun (shuningdek, juda ko'p yozilgan burchaklar asosida) va tengdir.

Ikki akkord va sekantlar orasidagi burchak

Ammo bizni qiziqtirgan burchak YOZILMASA va markaziy EMAS, lekin, masalan, shunday bo'lsa-chi:

yoki shunga o'xshashmi?

Uni qandaydir markaziy burchaklar orqali ifodalash mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Qarang, biz qiziqamiz.

a) (tashqi burchak uchun). Lekin - yozilgan, yoyga asoslangan - . - yozilgan, yoyga asoslangan - .

Go'zallik uchun ular aytadilar:

Akkordlar orasidagi burchak bu burchakka kiritilgan yoylarning burchak qiymatlari yig'indisining yarmiga teng.

Bu qisqalik uchun yozilgan, lekin, albatta, ushbu formuladan foydalanganda, siz markaziy burchaklarni yodda tutishingiz kerak.

b) Va endi - "tashqarida"! Qanday bo'lish kerak? Ha, deyarli bir xil! Faqat hozir (tashqi burchakning xususiyatini yana qo'llang). Bu hozir.

Va bu degani. Keling, yozuvlar va formulalarda go'zallik va qisqalikni keltiraylik:

Sekantlar orasidagi burchak bu burchakka o'ralgan yoylarning burchak qiymatlaridagi farqning yarmiga teng.

Xo'sh, endi siz aylana bilan bog'liq burchaklar haqidagi barcha asosiy bilimlar bilan qurollangansiz. Oldinga, vazifalar hujumiga!

AYLANA VA YAXSHILGAN BURCHAK. O'RTACHA DARAJASI

Doira nima, hatto besh yoshli bola ham biladi, to'g'rimi? Matematiklar, har doimgidek, bu mavzu bo'yicha mavhum ta'rifga ega, ammo biz buni bermaymiz (qarang), aksincha, aylana bilan bog'liq nuqtalar, chiziqlar va burchaklar nima deb atalishini eslaymiz.

Muhim shartlar

Birinchidan:

doira markazi- aylananing barcha nuqtalarigacha bo'lgan masofalari bir xil bo'lgan nuqta.

Ikkinchidan:

Bu erda yana bir qabul qilingan ibora bor: "akkord yoyni qisqartiradi". Mana, rasmda, masalan, akkord yoyni qisqartiradi. Va agar akkord to'satdan markazdan o'tib ketsa, unda u maxsus nomga ega: "diametri".

Aytgancha, diametr va radius qanday bog'liq? Yaqindan qarang. Albatta,

Va endi - burchaklar uchun nomlar.

Tabiiyki, shunday emasmi? Burchakning yon tomonlari markazdan chiqadi, bu burchakning markaziy ekanligini anglatadi.

Bu erda ba'zida qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Diqqat qilish - Doira ichidagi HAR QANDAY burchak chizilgan emas, lekin faqat cho'qqisi aylananing o'zida "o'tirgan".

Keling, fotosuratlardagi farqni ko'rib chiqaylik:

Ular ham boshqacha aytadilar:

Bu erda bitta qiyin nuqta bor. "Tegishli" yoki "o'z" markaziy burchak nima? Faqat aylananing markazida tepasi bo'lgan va yoyning uchlarida tugaydigan burchakmi? Albatta, bunday emas. Rasmga qarang.

Biroq, ulardan biri burchakka o'xshamaydi - u kattaroqdir. Ammo uchburchakda ko'proq burchak bo'lishi mumkin emas, lekin aylanada - bu yaxshi bo'lishi mumkin! Shunday qilib: kichikroq AB yoyi kichikroq burchakka (to'q sariq) va kattaroq burchakka mos keladi. Xuddi shunday, shunday emasmi?

Yozilgan va markaziy burchaklar orasidagi munosabat

Juda muhim bayonotni eslang:

Darsliklarda ular xuddi shunday faktni yozishni yaxshi ko'radilar:

To'g'ri, markaziy burchak bilan formulalar oddiyroqmi?

Ammo baribir, keling, ikkita formula o'rtasidagi yozishmalarni topamiz va shu bilan birga raqamlarda "mos keladigan" markaziy burchakni va yozilgan burchak "tayanadigan" yoyni topishni o'rganamiz.

Mana, aylana va chizilgan burchak:

Uning "mos keladigan" markaziy burchagi qayerda?

Keling, yana qaraylik:

Qoida nima?

Lekin! Bunday holda, yozilgan va markaziy burchaklar yoyning bir tomoniga "ko'rinishi" muhim ahamiyatga ega. Misol uchun:

Ajabo, ko'k! Chunki yoy uzun, aylananing yarmidan uzun! Shunday ekan, hech qachon chalkashmang!

Yozilgan burchakning "yarimligi" dan qanday natijani chiqarish mumkin?

Va bu erda, masalan:

Diametrga asoslangan burchak

Siz allaqachon matematiklar bir xil narsa haqida gapirishni juda yaxshi ko'rishlarini payqadingiz. turli xil so'zlar? Nega ular uchun? Ko‘ryapsizmi, matematika tili rasmiy bo‘lsa-da, u tirik va shuning uchun ham oddiy tilda bo‘lgani kabi, har safar uni qulayroq qilib aytmoqchi bo‘lasiz. Xo'sh, biz allaqachon "burchak yoyga tayanadi" nima ekanligini ko'rib chiqdik. Va tasavvur qiling-a, xuddi shu rasm "burchak akkordga tayanadi" deb ataladi. Nima haqida? Ha, albatta, bu yoyni tortadigan kishida!

Qachon arkdan ko'ra akkordga tayanish qulayroq?

Xo'sh, ayniqsa, bu akkord diametri bo'lsa.

Bunday vaziyat uchun hayratlanarli darajada sodda, chiroyli va foydali bayonot mavjud!

Qarang: bu erda aylana, diametr va unga tayanadigan burchak bor.

AYLANA VA YAXSHILGAN BURCHAK. ASOSIY HAQIDA QISQA

1. Asosiy tushunchalar.

3. Yoylar va burchaklarni o'lchash.

Radian burchak - yoy uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan markaziy burchak.

Bu yarim doira uzunligining radiusga nisbatini ifodalovchi raqam.

Radiusning aylanasi ga teng.

4. Yozilgan va markaziy burchaklar qiymatlari orasidagi nisbat.

Yozilgan va markaziy burchak tushunchasi

Keling, birinchi navbatda markaziy burchak tushunchasi bilan tanishamiz.

Izoh 1

Eslab qoling daraja o'lchovi markaziy burchak u tayangan yoyning daraja o'lchoviga teng.

Endi biz chizilgan burchak tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 2

Choʻqqisi aylana ustida yotgan va tomonlari bir xil aylana bilan kesishgan burchak chizilgan burchak deyiladi (2-rasm).

2-rasm. Yozilgan burchak

Chizilgan burchak teoremasi

Teorema 1

Chizilgan burchakning o'lchami u kesib o'tgan yoyning yarmiga teng.

Isbot.

Bizga $O$ nuqtada markazlashtirilgan aylana berilsin. $ACB$ chizilgan burchakni belgilang (2-rasm). Quyidagi uchta holat mumkin:

• $CO$ nuri burchakning qaysidir tomoniga toʻgʻri keladi. Bu $CB$ tomoni bo'lsin (3-rasm).

3-rasm

Bu holda $AB$ yoyi $(180)^(()^\circ )$ dan kichik, shuning uchun $AOB$ markaziy burchagi $AB$ yoyiga teng. $AO=OC=r$ ekan, $AOC$ uchburchagi teng yon tomonli. Demak, $CAO$ va $ACO$ tayanch burchaklari teng. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremaga ko'ra, bizda:

• Rey $CO$ ichki burchakni ikki burchakka ajratadi. Aylana bilan $D$ nuqtada kesishsin (4-rasm).

4-rasm

olamiz

• Rey $CO$ ichki burchakni ikki burchakka ajratmaydi va uning birorta tomoni bilan mos kelmaydi (5-rasm).

5-rasm

$ACD$ va $DCB$ burchaklarini alohida ko'rib chiqing. 1-bandda nima isbotlangan bo'lsa, biz olamiz

olamiz

Teorema isbotlangan.

olib kelamiz oqibatlari bu teoremadan.

Xulosa 1: Xuddi shu yoyni kesishgan chizilgan burchaklar tengdir.

Xulosa 2: Diametrni kesib o'tgan chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.

Ko'pincha matematika bo'yicha imtihonga tayyorgarlik jarayoni asosiy ta'riflar, formulalar va teoremalarni, shu jumladan "Markaziy va aylana burchakka chizilgan" mavzusini takrorlash bilan boshlanadi. Qoida tariqasida, planimetriyaning ushbu bo'limi o'rganiladi o'rta maktab. Ko'pgina talabalar "Ayraning markaziy burchagi" mavzusidagi asosiy tushunchalar va teoremalarni takrorlash zarurati bilan duch kelishlari ajablanarli emas. Bunday muammolarni hal qilish algoritmini aniqlab, maktab o'quvchilari yagona davlat imtihonini topshirish natijalariga ko'ra raqobatbardosh ball olishga ishonishlari mumkin.

Sertifikatlash testiga qanday oson va samarali tayyorgarlik ko'rish mumkin?

Singlni taslim qilishdan oldin yetib olish davlat imtihoni, ko'plab o'rta maktab o'quvchilari topish muammosiga duch kelishmoqda zarur ma'lumotlar“Ayradagi markaziy va chizilgan burchaklar” mavzusida. Har doim ham maktab darsligi qo'lida emas. Internetda formulalarni qidirish esa ba'zan ko'p vaqtni oladi.

Planimetriya kabi geometriyaning qiyin bo'limida ko'nikmalarni "nasoslash" va bilimlarni yaxshilash uchun ta'lim portali. Shkolkovo o'rta maktab o'quvchilari va ularning o'qituvchilarini yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik jarayonini yangi usulda qurishga taklif qiladi. Barcha asosiy materiallar bizning mutaxassislarimiz tomonidan eng qulay shaklda taqdim etiladi. “Nazariy ma’lumotnoma” bo‘limidagi ma’lumotlarni o‘rganib chiqqandan so‘ng, o‘quvchilar aylananing markaziy burchagi qanday xossalarga ega ekanligini, uning qiymatini qanday topish mumkinligini bilib oladilar.

Keyin olingan bilimlarni mustahkamlash va ko'nikmalarni rivojlantirish uchun sizga tegishli mashqlarni bajarishingizni tavsiya qilamiz. Katta tanlov aylanaga chizilgan burchakning qiymatini topish vazifalari va boshqa parametrlar "Katalog" bo'limida keltirilgan. Har bir mashq uchun bizning mutaxassislarimiz yechimning batafsil kursini yozdilar va to'g'ri javobni ko'rsatdilar. Saytdagi vazifalar ro'yxati doimiy ravishda to'ldiriladi va yangilanadi.

O'rta maktab o'quvchilari imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun mashqlarni bajarishlari mumkin, masalan, markaziy burchakning qiymatini va aylananing yoyi uzunligini topish, onlayn, har qanday Rossiya hududida bo'lish.

Agar kerak bo'lsa, tugallangan vazifa keyinchalik unga qaytish va uni hal qilish tamoyilini yana bir bor tahlil qilish uchun "Sevimlilar" bo'limida saqlanishi mumkin.

Bu ikki tomonidan hosil qilingan burchak akkordlar aylananing bir nuqtasidan kelib chiqadi. Yozilgan burchak deyiladi tayanadi uning tomonlari orasiga o'ralgan yoyda.

Yozilgan burchak u tayangan yoyning yarmiga teng.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, yozilgan burchak qancha daraja, daqiqa va soniyalarni o'z ichiga oladi yoy darajalari, daqiqalar va soniyalar u tayanadigan yoyning yarmiga kiritilgan. Asoslash uchun biz uchta holatni tahlil qilamiz:

Birinchi holat:

O markazi yon tomonda joylashgan yozilgan burchak ABS. AO radiusini chizib, biz DABO ni olamiz, bunda OA = OB (radiuslar sifatida) va shunga mos ravishda ∠ABO = ∠BAO. Shu munosabat bilan uchburchak, AOC burchagi tashqi. Va bu uni anglatadi summasiga teng burchaklar ABO va BAO, yoki ABO ikki burchakka teng. Shunday qilib, ∠ABO yarmi markaziy burchak AOC. Ammo bu burchak AC yoyi bilan o'lchanadi. Ya'ni, chizilgan ABC burchagi AC yoyining yarmi bilan o'lchanadi.

Ikkinchi holat:

Markaz O tomonlar orasida joylashgan yozilgan burchak ABC.BD diametrini chizib, biz ABC burchagini ikkita burchakka bo'lamiz, birinchi holatda belgilanganiga ko'ra, bittasi yarmi bilan o'lchanadi. yoylar AD, va boshq CD ning ikkinchi yarmi. Va shunga ko'ra, ABC burchagi (AD + DC) / 2 bilan o'lchanadi, ya'ni. 1/2 AC.

Uchinchi holat:

O markazi tashqarida joylashgan yozilgan burchak ABS. BD diametrini chizib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: ∠ABS = ∠ABD - ∠CBD . Ammo ABD va CBD burchaklari oldindan tasdiqlangan yarmiga asoslangan holda o'lchanadi yoylar AD va CD. Va ∠ABS (AD-CD)/2 bilan o'lchanganligi sababli, ya'ni AC yoyining yarmi.

Natija 1. Har qanday , bir xil yoyga asoslangan bir xil, ya'ni ular bir-biriga teng. Chunki ularning har biri bir xilning yarmi bilan o'lchanadi yoylar .

Natija 2. Yozilgan burchak, diametriga qarab - to'g'ri burchak. Chunki har bir bunday burchak yarim doira bilan o'lchanadi va shunga mos ravishda 90 ° ni o'z ichiga oladi.

Yozilgan burchak, muammo nazariyasi. Do'stlar! Ushbu maqolada biz vazifalar haqida gapiramiz, ularni hal qilish uchun chizilgan burchakning xususiyatlarini bilish kerak. Bu butun guruh vazifalar, ular imtihonga kiritilgan. Ularning aksariyati juda oddiy, bir qadamda hal qilinadi.

Bundan qiyinroq vazifalar bor, lekin ular siz uchun unchalik qiyinchilik tug'dirmaydi, siz yozilgan burchakning xususiyatlarini bilishingiz kerak. Asta-sekin, biz barcha vazifalar prototiplarini tahlil qilamiz, sizni blogga taklif qilaman!

Endi zarur nazariya. Ushbu burchaklar qanday markaziy va chizilgan burchak, akkord, yoyni eslang:

Doiradagi markaziy burchak tekis burchak deb ataladiuning markazida cho'qqi.

Aylananing tekis burchak ichida joylashgan qismiaylana yoyi deb ataladi.

Doira yoyining daraja o'lchovi daraja o'lchovidirmos keladigan markaziy burchak.

Agar burchakning tepasi yotsa, burchak aylana ichiga chizilgan deyiladiaylana ustida va burchakning tomonlari bu doirani kesib o'tadi.

Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti deyiladiakkord. Eng uzun akkord aylananing markazidan o'tadi va deyiladidiametri.

Aylana ichiga chizilgan burchaklar uchun masalalarni yechish uchun,siz quyidagi xususiyatlarni bilishingiz kerak:

1. Yozilgan burchak bir xil yoyga asoslangan markaziy burchakning yarmiga teng.

2. Xuddi shu yoyga asoslangan barcha chizilgan burchaklar tengdir.

3. Bir akkordga asoslangan, uchlari shu akkordning bir tomonida yotgan barcha chizilgan burchaklar tengdir.

4. Bir xil akkordga asoslangan, uchlari akkordning qarama-qarshi tomonlarida yotadigan har qanday juft burchaklar qo'shilib 180° gacha bo'ladi.

Xulosa: Aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari yig'indisi 180 darajaga teng.

5. Diametrga asoslangan barcha chizilgan burchaklar to'g'ri.

Umuman olganda, bu xususiyat mulkning oqibatidir (1), bu uning alohida holati. Qarang - markaziy burchak 180 darajaga teng (va bu ishlab chiqilgan burchak diametrdan boshqa narsa emas), ya'ni birinchi xususiyatga ko'ra, yozilgan burchak C uning yarmiga, ya'ni 90 darajaga teng.

Bilim berilgan mulk ko'p muammolarni hal qilishda yordam beradi va ko'pincha keraksiz hisob-kitoblardan qochish imkonini beradi. Uni yaxshi o'zlashtirganingizdan so'ng siz ushbu turdagi masalalarning yarmidan ko'pini og'zaki hal qila olasiz. Ikkita oqibatlarga olib kelishi mumkin:

Xulosa 1: agar uchburchak aylana ichiga chizilgan bo'lsa va uning tomonlaridan biri ushbu doira diametriga to'g'ri kelsa, u holda uchburchak to'g'ri burchakli (cho'qqi) to'g'ri burchak doira ustida yotadi).

Xulosa 2: haqida tasvirlangan markaz to'g'ri uchburchak aylana uning gipotenuzasining o'rta nuqtasiga to'g'ri keladi.

Stereometrik masalalarning ko'plab prototiplari ham ushbu xususiyat va bu natijalardan foydalanish orqali hal qilinadi. Haqiqatning o'zini eslang: agar aylananing diametri chizilgan uchburchakning bir tomoni bo'lsa, u holda bu uchburchak to'g'ri burchakli (diametrga qarama-qarshi burchak 90 daraja). Boshqa barcha xulosalar va oqibatlarni o'zingiz qilishingiz mumkin, ularni o'rgatishingiz shart emas.

Qoidaga ko'ra, chizilgan burchak uchun masalalarning yarmi eskiz bilan berilgan, ammo yozuvsiz. Muammolarni echishda fikr yuritish jarayonini tushunish uchun (quyida maqolada) uchlari (burchaklar) belgilari kiritiladi. Imtihonda siz buni qilolmaysiz.Vazifalarni ko'rib chiqing:

Aylana radiusiga teng akkordni kesib o'tuvchi o'tkir chizilgan burchak nima? Javobingizni darajalarda bering.

Berilgan chizilgan burchak uchun markaziy burchak quramiz, uchlarini belgilaymiz:

Aylana ichiga chizilgan burchakning xususiyatiga ko'ra:

AOB burchagi 60 0 ga teng, chunki AOB uchburchak teng yonli, teng yonli uchburchakda esa barcha burchaklar 60 0 ga teng. Uchburchakning tomonlari teng, chunki shart akkord radiusga teng ekanligini aytadi.

Shunday qilib, chizilgan burchak DIA 30 0 ga teng.

Javob: 30

Radiusi 3 bo‘lgan aylana ichiga chizilgan 30 0 burchak tayangan akkordni toping.

Bu asosan teskari muammo (avvalgi muammo). Keling, markaziy burchakni quraylik.

U chizilganidan ikki baravar katta, ya'ni AOB burchagi 60 0 ga teng. Bundan AOB uchburchagi teng yonli degan xulosaga kelish mumkin. Shunday qilib, akkord radiusga teng, ya'ni uchta.

Javob: 3

Doira radiusi 1. Ikkining ildiziga teng bo'lgan akkordga asoslangan o'tmas chizilgan burchakning qiymatini toping. Javobingizni darajalarda bering.

Keling, markaziy burchakni quramiz:

Radius va akkordni bilib, biz DIA markaziy burchagini topishimiz mumkin. Buni kosinuslar qonuni yordamida amalga oshirish mumkin. Markaziy burchakni bilib, biz ACB chizilgan burchagini osongina topishimiz mumkin.

Kosinus teoremasi: uchburchakning istalgan tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng, bu tomonlarning ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki baravar oshirmasdan.

Demak, ikkinchi markaziy burchak 360 0 ga teng – 90 0 = 270 0 .

Yozilgan burchakning xususiyatiga ko'ra, DIA burchagi uning yarmiga teng, ya'ni 135 daraja.

Javob: 135

Radiusli aylanaga 120 gradus burchak, uchning ildizi yozilgan akkordni toping.

A va B nuqtalarini aylananing markazi bilan bog'lang. Keling, uni O deb nomlaymiz:

Biz DIA radiusi va chizilgan burchagini bilamiz. Biz markaziy AOB burchagini (180 darajadan katta) topamiz, keyin AOB uchburchagida AOB burchagini topamiz. Va keyin, kosinus teoremasidan foydalanib, AB ni hisoblang.

Chizilgan burchakning xususiyatiga ko'ra, markaziy burchak AOB (u 180 darajadan katta) chizilgan burchakning ikki barobariga, ya'ni 240 darajaga teng bo'ladi. Bu AOB uchburchakdagi AOB burchagi 360 0 - 240 0 = 120 0 ekanligini bildiradi.

Kosinuslar qonuniga ko'ra:

Javob: 3

Doiraning 20% ​​ni tashkil etuvchi yoyga asoslanib, chizilgan burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

Yozilgan burchakning xususiyatiga ko'ra, u bir xil yoyga asoslangan markaziy burchakning yarmiga teng, bu holda biz AB yoyi haqida gapiramiz.

Aytishlaricha, AB yoyi aylananing 20 foizini tashkil qiladi. Bu shuni anglatadiki, markaziy burchak AOB ham 360 0 ning 20 foizini tashkil qiladi.* Doira 360 graduslik burchakdir. Ma'nosi,

Shunday qilib, chizilgan ACB burchagi 36 daraja.

Javob: 36

aylana yoyi AC, nuqtalarni o'z ichiga olmaydi B, 200 daraja. Va nuqtalarni o'z ichiga olmaydi aylana yoyi BC A, 80 daraja. ACB chizilgan burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

Aniqlik uchun burchak o'lchovlari berilgan yoylarni belgilaylik. 200 darajaga to'g'ri keladigan yoy - ko'k rang, 80 gradusga mos keladigan yoy qizil, aylananing qolgan qismi sariq.

Shunday qilib, AB yoyining daraja o'lchovi (sariq) va shuning uchun AOB markaziy burchagi: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Yozilgan burchak DAB AOB markaziy burchagining yarmi, ya'ni 40 darajaga teng.

Javob: 40

Aylana diametriga asoslangan chizilgan burchak nima? Javobingizni darajalarda bering.