O'rtacha darajasi

To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)

O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.

Muammolarda to'g'ri burchak mutlaqo kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni qanday tanib olishni o'rganishingiz kerak,

va shunga o'xshash

va shunga o'xshash

To'g'ri uchburchakda nima yaxshi? Xo'sh ... birinchi navbatda, maxsus bor chiroyli ismlar uning tomonlari uchun.

Chizmaga diqqat!

Eslab qoling va chalkashtirmang: oyoqlari - ikkita, gipotenuz esa - faqat bitta(yagona, noyob va eng uzun)!

Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi.

Ushbu teorema ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir to'g'ri uchburchak. Pifagor buni mukammal isbotladi qadim zamonlar, va o'shandan beri u uni taniganlarga ko'p foyda keltirdi. Va uning eng yaxshi tomoni shundaki, u sodda.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi:

Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?

Keling, bu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik.

Bu haqiqatan ham shortilarga o'xshaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni shunday tuzatdi:

"sum kvadratlar maydoni, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon gipotenuzaga qurilgan.

Bu biroz boshqacha eshitilmaydi, shunday emasmi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, xuddi shunday rasm paydo bo'ldi.

Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun kimdir Pifagor shimlari haqida bu hazilni o'ylab topdi.

Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?

Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?

Ko'ryapsizmi, qadimda ... algebra yo'q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimda kambag'al o'quvchilar hamma narsani so'z bilan yodlashlari qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslash uchun yana takrorlaymiz:

Endi bu oson bo'lishi kerak:

Gipotenuzaning kvadrati summasiga teng oyoq kvadratlari.

To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz buning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalarini o'qing va endi trigonometriyaning qorong'u o'rmoniga o'tamiz! Kimga dahshatli so'zlar sinus, kosinus, tangens va kotangens.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin siz haqiqatan ham xohlamaysiz, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Nima uchun hamma narsa burchak bilan bog'liq? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun siz 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!

1.
Bu aslida shunday eshitiladi:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi, ya'ni qarama-qarshi oyoq (burchak uchun) bormi? Albatta bor! Bu katet!

Ammo burchak haqida nima deyish mumkin? Yaqindan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, mushuk. Shunday qilib, burchak uchun oyoq qo'shni va

Va endi, diqqat! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik ajoyib ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni so'z bilan qanday ifodalash mumkin? Burchakka nisbatan oyoq nima? Albatta, qarama-qarshi - burchakka qarama-qarshi "yotadi". Va katet? Burchakka ulashgan. Xo'sh, biz nima oldik?

Hisob va maxraj qanday teskari bo'lishini ko'rasizmi?

Va endi yana burchaklar va almashinuvni amalga oshirdi:

Xulosa

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakning asosiy teoremasi Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Ehtimol, siz Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangansiz, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlagan bo'lardingiz? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Ko'ryapsizmi, biz uning tomonlarini qanday qilib ayyorlik bilan uzunlikdagi segmentlarga ajratganimizni va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ulardan ikkitasini oldik va gipotenuslar bilan bir-biriga suyanib qoldik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Shunday qilib, "kesish" maydoni teng.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

Sinus o'tkir burchak qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbatiga teng.

Va yana bir bor, bularning barchasi plastinka shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki oyoqda

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

a)

b)

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "tegishli" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar u shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida - qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementining tengligi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uch tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Bu ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan taxminan bir xil holat.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. O'tkir burchak

II. Ikki oyoqda

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday bo'ldi

1. - median:

Bu haqiqatni eslang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Yaqindan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan hammagacha bo'lgan masofalar uchta cho'qqi uchburchaklar teng. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta mavjud bo'lib, uchburchakning barcha uchta uchlari teng bo'lgan masofalar va bu tasvirlangan AYLANMA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, i ni ko'rib chiqaylik.

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarda barcha burchaklar tengdir!

Xuddi shu narsani va haqida ham aytish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foydalanish mumkin.

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz nisbatni yechib, olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Shunday qilib, keling, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Ushbu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolish kerak va ulardan foydalanish qulayroqdir. Keling, ularni yana yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

• ikki oyoqda:
• oyoq va gipotenuz bo'ylab: yoki
• oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
• oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
• gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

• bitta o'tkir burchak: yoki
• ikki oyoqning mutanosibligidan:
• oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati:.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda cho'qqidan olingan mediana to'g'ri burchak, gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

• kateterlar orqali:

Sinus to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi a nisbati qarama-qarshi gipotenuzaga kateter.
U quyidagicha ifodalanadi: sin a.

Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi a - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: cos a.

Tangent o'tkir burchak a - qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: tg a.

Kotangent o'tkir burchak a - qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomoniga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: ctg a.

Burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi faqat burchak kattaligiga bog'liq.

Qoidalar:

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar to'g'ri uchburchakda:

(α - oyoqqa qarama-qarshi o'tkir burchak b va oyoqqa ulashgan a . Yon Bilan - gipotenuza. β - ikkinchi o'tkir burchak).

b sina = - c	sin 2 a + cos 2 a = 1
a cosa = - c	1 1 + tg 2 a = -- cos 2 a
b tga = - a	1 1 + ctg 2 a = -- sin2a
a ctga = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 a sin 2 a
sina tga = -- kosa

O'tkir burchak ortishi bilansina vatg a ortishi, vachunki a kamayadi.

Har qanday o'tkir burchak a uchun:

sin (90° - a) = cos a

cos (90° - a) = sin a

Tushuntiruvchi misol:

ABC to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin
AB = 6,
BC = 3,
burchak A = 30º.

A burchakning sinusini va B burchakning kosinusini toping.

Yechim.

1) Birinchidan, biz B burchagining qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: chunki to'g'ri burchakli uchburchakda o'tkir burchaklar yig'indisi 90º, keyin B burchagi \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Sin A ni hisoblang. Biz bilamizki, sinus qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng. A burchagi uchun qarama-qarshi oyoq BC tomonidir. Shunday qilib:

Miloddan avvalgi 3 1
gunoh A = -- = - = -
AB 6 2

3) Endi biz cos B ni hisoblaymiz. Biz bilamizki, kosinus qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng. B burchagi uchun qo'shni oyoq bir xil BC tomonidir. Bu shuni anglatadiki, biz yana BC ni AB ga bo'lishimiz kerak - ya'ni A burchak sinusini hisoblashda xuddi shunday harakatlarni bajaring:

Miloddan avvalgi 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Natijada:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda bir o'tkir burchakning sinusi boshqa o'tkir burchakning kosinusiga teng va aksincha. Bu bizning ikkita formulamiz nimani anglatadi:
sin (90° - a) = cos a
cos (90° - a) = sin a

Keling, yana bir bor tekshirib ko'ramiz:

1) a = 60º bo'lsin. a qiymatini sinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
gunoh (90º - 60º) = cos 60º.
gunoh 30º = cos 60º.

2) a = 30º bo'lsin. a qiymatini kosinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Trigonometriya haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Algebra bo'limiga qarang)

Leksiya: Ixtiyoriy burchakning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi

Ixtiyoriy burchakning sinusi, kosinasi

Nima ekanligini tushunish uchun trigonometrik funktsiyalar, biz birlik radiusi bilan aylanaga o'tamiz. Berilgan doira koordinata tekisligida koordinata boshida joylashgan. Berilgan funksiyalarni aniqlash uchun radius vektoridan foydalanamiz YOKI, aylananing markazidan boshlanadigan va nuqta R aylanadagi nuqtadir. Ushbu radius vektori o'q bilan alfa burchak hosil qiladi OH. Doira birga teng radiusga ega bo'lgani uchun OR = R = 1.

Agar nuqtadan R o'qga perpendikulyar tushiring OH, keyin gipotenuzasi birga teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz.

Agar radius vektori soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsa, u holda bu yo'nalish deyiladi salbiy, lekin agar u soat miliga teskari harakat qilsa - ijobiy.

Burchakning sinusi YOKI, nuqtaning ordinatasi R aylanadagi vektorlar.

Ya'ni, berilgan alfa burchak sinusining qiymatini olish uchun koordinatani aniqlash kerak. Da yuzada.

Qanday berilgan qiymat qabul qilindi? To'g'ri burchakli uchburchakdagi ixtiyoriy burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati ekanligini bilganimiz uchun, biz shuni olamiz.

Va shundan beri R=1, keyin sin(a) = y 0 .

Birlik aylanasida ordinataning qiymati -1 dan kichik va 1 dan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni

Sinus qabul qiladi ijobiy qiymat birlik doirasining birinchi va ikkinchi choraklarida, uchinchi va to'rtinchilarida esa salbiy.

Burchakning kosinusu radius vektori tomonidan hosil qilingan berilgan doira YOKI, nuqtaning abssissasi R aylanadagi vektorlar.

Ya'ni, berilgan alfa burchagining kosinus qiymatini olish uchun koordinatani aniqlash kerak. X yuzada.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi ixtiyoriy burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati, biz buni olamiz

Va shundan beri R=1, keyin cos(a) = x 0 .

Birlik doirada abscissaning qiymati -1 dan kichik va 1 dan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni

Kosinus birlik aylanasining birinchi va toʻrtinchi kvadrantlarida musbat, ikkinchi va uchinchilarida esa manfiy.

tangensixtiyoriy burchak sinusning kosinusga nisbati hisoblanadi.

Agar biz to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqsak, bu qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati. Agar gaplashamiz birlik doirasi haqida, u holda bu ordinataning abscissaga nisbati.

Ushbu munosabatlarga ko'ra, agar abscissaning qiymati nolga teng bo'lsa, ya'ni 90 graduslik burchak ostida bo'lsa, tangens mavjud bo'lmasligini tushunish mumkin. Tangens boshqa barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Tangens birlik doirasining birinchi va uchinchi choragida ijobiy, ikkinchi va to‘rtinchi choraklarida esa manfiy bo‘ladi.

Tangens (tg x) va kotangent (ctg x) uchun mos yozuvlar ma'lumotlari. Geometrik ta'rif, xossalar, grafiklar, formulalar. Tangens va kotangentlar jadvali, hosilalar, integrallar, qator kengaytmalari. Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar. Giperbolik funktsiyalar bilan bog'lanish.

Geometrik ta'rif

|BD| - markazi A nuqtada joylashgan aylana yoyi uzunligi.
a - radianlarda ifodalangan burchak.

tangent ( tga) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .

kotangent ( ctga) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .

Tangent

Qayerda n- butun.

DA G'arb adabiyoti tangens quyidagicha aniqlanadi:
.
;
;
.

Tangens funksiyaning grafigi, y = tg x

Kotangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgi ham qabul qilindi:
;
;
.

Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x

Tangens va kotangensning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y= tg x va y= ctg x davri p davri bilan davriydir.

Paritet

Tangens va kotangens funksiyalari toq.

Ta'rif va qiymat sohalari, o'sish, pasayish

Tangens va kotangens funksiyalar aniqlanish sohasi bo‘yicha uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).

	y= tg x	y= ctg x
Qamrov va davomiylik
Qiymatlar diapazoni	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ko'tarilish		-
Pastga	-
Ekstremallar	-	-
Nollar, y= 0
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0	y= 0	-

Formulalar

Sinus va kosinus bilan ifodalangan ifodalar

; ;
; ;
;

Yig'indi va ayirmaning tangensi va kotangensi uchun formulalar

Masalan, qolgan formulalarni olish oson

Tangenslar mahsuloti

Tangenslar yig‘indisi va ayirmasi formulasi

Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlarini ko'rsatadi.

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar

;
;

Hosila hosilalari

; .

.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >

Integrallar

Seriyalarga kengaytmalar

Tangensning x darajasida kengayishini olish uchun siz kengayishning bir necha shartlarini olishingiz kerak. quvvat seriyasi funktsiyalar uchun gunoh x va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, . Buning natijasida quyidagi formulalar olinadi.

Da .

da .
qayerda B n- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:

Teskari funksiyalar

Tangens va kotangensga teskari funksiyalar mos ravishda arktangens va arkkotangensdir.

Arktangens, arctg

, qayerda n- butun.

Yoy tangensi, arkktg

, qayerda n- butun.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
G. Korn, Tadqiqotchilar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.

Ushbu maqolada biz har tomonlama ko'rib chiqamiz. Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar - bu bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnatadigan va ma'lum bo'lgan boshqasi orqali ushbu trigonometrik funktsiyalardan istalgan birini topishga imkon beruvchi tengliklar.

Biz darhol ushbu maqolada tahlil qiladigan asosiy trigonometrik identifikatsiyalarni sanab o'tamiz. Biz ularni jadvalga yozamiz va quyida bu formulalarning hosilasini keltiramiz va kerakli tushuntirishlarni beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Bir burchakning sinusi va kosinusu o'rtasidagi bog'liqlik

Ba'zan ular yuqoridagi jadvalda keltirilgan asosiy trigonometrik identifikatsiyalar haqida emas, balki bitta bitta haqida gapirishadi asosiy trigonometrik identifikatsiya mehribon . Bu haqiqatni tushuntirish juda oddiy: tengliklar asosiy trigonometrik o'ziga xoslikdan uning ikkala qismini mos ravishda va tengliklarga bo'lingandan keyin olinadi. va sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqing. Buni keyingi paragraflarda batafsil muhokama qilamiz.

Ya'ni, asosiy trigonometrik o'ziga xoslik nomini olgan tenglik alohida qiziqish uyg'otadi.

Asosiy trigonometrik o'ziga xoslikni isbotlashdan oldin, biz uning formulasini beramiz: bir burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bir xil tarzda birga teng. Endi buni isbotlaylik.

Asosiy trigonometrik identifikatsiya juda tez-tez ishlatiladi trigonometrik ifodalarni o'zgartirish. Bu bir burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirish imkonini beradi. Ko'pincha, asosiy trigonometrik identifikatsiya teskari tartibda qo'llaniladi: birlik har qanday burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bilan almashtiriladi.

Sinus va kosinus orqali tangens va kotangens

Shaklning bir burchagining sinusi va kosinuslari bilan tangens va kotangensni bog'lovchi o'ziga xosliklar va darhol sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, ta'rifga ko'ra, sinus - y ning ordinatasi, kosinus - x ning abssissasi, tangens - ordinataning abscissaga nisbati, ya'ni. , kotangens esa abtsissaning ordinataga nisbati, ya’ni .

Shaxslarning bu ravshanligi tufayli va ko'pincha tangens va kotangensning ta'riflari abscissa va ordinataning nisbati orqali emas, balki sinus va kosinus nisbati orqali beriladi. Demak, burchakning tangensi sinusning bu burchakning kosinusiga nisbati, kotangens esa kosinusning sinusga nisbatidir.

Ushbu bo'limni yakunlash uchun shuni ta'kidlash kerakki, shaxs va Ulardagi trigonometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan barcha burchaklar uchun ushlab turing. Shunday qilib, formuladan boshqa har qanday formula uchun amal qiladi (aks holda maxraj nolga teng bo'ladi va biz nolga bo'linishni aniqlamadik) va formula - hamma uchun , dan farq qiladi, bu erda z har qanday.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

Oldingi ikkitasiga qaraganda aniqroq trigonometrik o'ziga xoslik bu shaklning bir burchagining tangensi va kotangensini bog'laydigan o'ziga xoslikdir. . Bu dan boshqa har qanday burchaklar uchun sodir bo'lishi aniq, aks holda tangens yoki kotangens aniqlanmaydi.

Formulaning isboti juda onson. Ta'rifi bo'yicha va qaerdan . Tasdiqlash biroz boshqacha tarzda amalga oshirilishi mumkin edi. O'shandan beri va , keyin .

Demak, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kotangensi bo'ladi.