Cos summalari. Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar, ularning formulalari va hosilalari

Biz trigonometriyada eng ko'p ishlatiladigan formulalar haqida suhbatimizni davom ettiramiz. Ulardan eng muhimi qo'shish formulalaridir.

Ta'rif 1

Qo'shish formulalari bu burchaklarning trigonometrik funktsiyalaridan foydalangan holda farqning funktsiyalarini yoki ikki burchak yig'indisini ifodalash imkonini beradi.

Boshlash uchun biz taqdim etamiz to'liq ro'yxat qo'shish formulalari, keyin biz ularni isbotlaymiz va bir nechta tasviriy misollarni tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometriyada asosiy qo‘shish formulalari

Sakkizta asosiy formula mavjud: yig'indining sinusi va ikki burchak ayirmasining sinusi, yig'indi va ayirmaning kosinuslari, yig'indi va ayirmaning tangenslari va kotangentlari. Quyida ularning standart formulalari va hisob-kitoblari keltirilgan.

1. Ikki burchak yig‘indisining sinusini quyidagicha olish mumkin:

Birinchi burchak sinusining ko'paytmasini ikkinchisining kosinusiga hisoblaymiz;

Birinchi burchakning kosinusini birinchi burchakning sinusiga ko'paytiring;

Olingan qiymatlarni qo'shing.

Formulaning grafik yozilishi quyidagicha ko'rinadi: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

2. Farqning sinusi deyarli bir xil tarzda hisoblanadi, faqat natijada olingan mahsulotlar qo'shilmasligi kerak, lekin bir-biridan ayiriladi. Shunday qilib, biz birinchi burchak sinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchakning kosinusining ikkinchisining sinusiga ko'paytmalarini hisoblaymiz va ularning farqini topamiz. Formula shunday yoziladi: sin (a - b) = sin a cos b + sin a sin b.

3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun mos ravishda birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz: cos (a + b) = cos a. cos b - sin a sin b

4. Kosinuslar farqi: berilgan burchaklarning sinuslari va kosinuslarining ko’paytmalarini avvalgidek hisoblab chiqamiz va qo’shamiz. Formula: cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

5. Yig‘indining tangensi. Bu formula kasr sifatida ifodalanadi, uning numeratorida kerakli burchaklar tangenslarining yig'indisi, maxrajda esa kerakli burchaklar tangenslarining ko'paytmasi ayiriladi. Uning grafik yozuvidan hamma narsa aniq: t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a t g b

6. Farqning tangensi. Biz bu burchaklarning tangenslarining farqi va mahsulotini hisoblaymiz va ular bilan xuddi shunday harakat qilamiz. Maxrajda bittaga qo‘shamiz, aksincha emas: t g (a - b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b.

7. Yig‘indining kotangensi. Ushbu formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar uchun bizga ushbu burchaklarning kotangentlari ko'paytmasi va yig'indisi kerak bo'lib, biz quyidagicha harakat qilamiz: c t g (a + b) = - 1 + c t g a c t g b c t g a + c t g b.

8. Farq kotangensi . Formula avvalgisiga o'xshaydi, lekin pay va maxrajda - minus va ortiqcha emas c t g (a - b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g b.

Ehtimol, siz ushbu formulalar juftlik bilan o'xshashligini payqadingiz. ± (ortiqcha-minus) va ∓ (minus-plyus) belgilaridan foydalanib, biz ularni belgilash qulayligi uchun guruhlashimiz mumkin:

sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos (a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b t g (a ± b) = t g a ± t g b 1 ∓ t g a t c t g (a ± b) = - 1 ± c t g a c t g b c t g a ± c t g b

Shunga ko'ra, bizda har bir qiymatning yig'indisi va farqi uchun bitta ro'yxatga olish formulasi mavjud, faqat bitta holatda biz yuqori belgiga, ikkinchisida - pastki belgiga e'tibor beramiz.

Ta'rif 2

Biz har qanday a va b burchaklarni olishimiz mumkin va kosinus va sinus uchun qo'shish formulalari ular uchun ishlaydi. Agar biz bu burchaklarning tangenslari va kotangenslarining qiymatlarini to'g'ri aniqlay olsak, ular uchun tangens va kotangens uchun qo'shimcha formulalar ham tegishli bo'ladi.

Algebradagi ko'pgina tushunchalar singari, qo'shish formulalari ham isbotlanishi mumkin. Biz isbotlaydigan birinchi formula - bu farq kosinus formulasi. Undan keyin qolgan dalillarni osongina chiqarib olishingiz mumkin.

Keling, asosiy tushunchalarni aniqlaylik. Bizga birlik doira kerak. Agar ma'lum bir A nuqtani olib, markaz (O nuqta) atrofida a va b burchaklarni aylantirsak, shunday bo'ladi. U holda O A 1 → va O A → 2 vektorlari orasidagi burchak (a - b) + 2 p z yoki 2 p - (a - b) + 2 p z ga teng bo'ladi (z har qanday butun son). Olingan vektorlar a - b yoki 2 p - (a - b) ga teng burchak hosil qiladi yoki bu qiymatlardan to'liq aylanishlarning butun soni bilan farq qilishi mumkin. Rasmga qarang:

Biz qisqartirish formulalaridan foydalandik va quyidagi natijalarga erishdik:

cos ((a - b) + 2 p z) = cos (a - b) cos (2 p - (a - b) + 2 p z) = cos (a - b)

Xulosa: O A 1 → va O A 2 → vektorlari orasidagi burchakning kosinusu a - b burchakning kosinusiga teng, shuning uchun cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (a - b) .

Sinus va kosinusning ta'riflarini eslang: sinus - qarama-qarshi burchakning oyog'ining gipotenuzaga nisbatiga teng burchak funktsiyasi, kosinus - qo'shimcha burchakning sinusi. Shuning uchun, nuqtalar A 1 va A2 koordinatalariga ega (cos a , sin a) va (cos b , sin b) .

Biz quyidagilarni olamiz:

O A 1 → = (cos a , sin a) va O A 2 → = (cos b , sin b)

Agar aniq bo'lmasa, vektorlarning boshida va oxirida joylashgan nuqtalarning koordinatalariga qarang.

Vektorlarning uzunliklari 1 ga teng, chunki bizda bitta doira bor.

Endi O A 1 → va O A 2 → vektorlarining skalyar ko‘paytmasini tahlil qilaylik. Koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:

(O A 1 → , O A 2) → = cos a cos b + sin a sin b

Bundan biz tenglikni chiqarishimiz mumkin:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Shunday qilib, farqning kosinus formulasi isbotlangan.

Endi biz quyidagi formulani - yig'indining kosinusini isbotlaymiz. Bu osonroq, chunki biz oldingi hisob-kitoblardan foydalanishimiz mumkin. a + b = a - (- b) tasvirini oling. Bizda bor:

cos (a + b) = cos (a - (- b)) = = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = = cos a cos b + sin a sin b

Bu yig'indining kosinus formulasining isbotidir. Oxirgi qatorda qarama-qarshi burchaklarning sinusi va kosinuslari xossasi qo'llaniladi.

Yig'indining sinusi formulasini farqning kosinus formulasidan olish mumkin. Buning uchun kamaytirish formulasini olaylik:

shaklining sin (a + b) = cos (p 2 (a + b)) . Shunday qilib
sin (a + b) \u003d cos (p 2 (a + b)) \u003d cos ((p 2 - a) - b) \u003d \u003d cos (p 2 - a) cos b + sin (p 2 -) a) sin b = = sin a cos b + cos a sin b

Mana farqning sinusi formulasining isboti:

sin (a - b) = sin (a + (- b)) = sin a cos (- b) + cos a sin (- b) = = sin a cos b - cos a sin b.
Oxirgi hisoblashda qarama-qarshi burchaklarning sinus va kosinus xususiyatlaridan foydalanishga e'tibor bering.

Keyinchalik, bizga tangens va kotangens uchun qo'shish formulalarini isbotlash kerak. Keling, asosiy ta'riflarni eslaylik (tangent - sinusning kosinusga nisbati va kotangent aksincha) va oldindan olingan formulalarni olamiz. Biz buni qildik:

t g (a + b) = sin (a + b) cos (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b - sin a sin b.

Bizda murakkab kasr bor. Keyinchalik, uning soni va maxrajini cos a cos b ga bo'lishimiz kerak, cos a ≠ 0 va cos b ≠ 0 ekanligini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:
sin a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b - sin a sin b cos a cos b = sin a cos b cos a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos b - sin a sin b cos a cos b

Endi kasrlarni kamaytiramiz va quyidagi ko rinishdagi formulani olamiz: sin a cos a + sin b cos b 1 - sin a cos a s i n b cos b = t g a + t g b 1 - t g a t g b.
Biz t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a · t g b ni oldik. Bu tangens qo'shish formulasining isbotidir.

Biz isbotlaydigan keyingi formula bu farqning tangens formulasidir. Hisob-kitoblarda hamma narsa aniq ko'rsatilgan:

t g (a - b) = t g (a + (- b)) = t g a + t g (- b) 1 - t g a t g (- b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b

Kotangent formulalari xuddi shunday isbotlangan:
c t g (a + b) = cos (a + b) sin (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin a cos b + cos a sin b = = cos a cos b - sin a sin b sin. a sin b sin a cos b + cos a sin b sin a sin b = cos a cos b sin a sin b - 1 sin a cos b sin a sin b + cos a sin b sin a sin b = = - 1 + c t g a c t g b c t g a + c t g b
Yana:
c t g (a - b) = c t g   (a + (- b)) = - 1 + c t g a c t g (- b) c t g a + c t g (- b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g

- albatta trigonometriyada vazifalar bo'ladi. Trigonometriya ko'pincha sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar bilan to'lib-toshgan juda ko'p murakkab formulalarni to'plash kerakligi uchun yoqmaydi. Sayt allaqachon Eyler va Peel formulalari misolidan foydalanib, unutilgan formulani qanday eslab qolish bo'yicha maslahat bergan.

Va ushbu maqolada biz eng oddiy trigonometrik formulalardan faqat beshtasini aniq bilish va qolganlari haqida bilish kifoya ekanligini ko'rsatishga harakat qilamiz. umumiy fikr va ketayotganda ularni olib tashlang. Xuddi DNK bilan: ular molekulada saqlanmaydi to'liq chizmalar tugallangan tirik mavjudot. Unda, aksincha, mavjud aminokislotalardan uni yig'ish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud. Demak, bu trigonometriyada, ba'zilarini bilish umumiy tamoyillar, biz hamma narsani olamiz zarur formulalar yodda tutish kerak bo'lganlarning kichik to'plamidan.

Biz quyidagi formulalarga tayanamiz:

Yig‘indilarning sinusi va kosinasi formulalaridan kosinus funksiyasi juft va sinus funksiyasi toq ekanligini bilib, b o‘rniga -b ni qo‘yib, farqlar formulalarini olamiz:

1. Farq sinusi: gunoh(a-b) = gunohacos(-b)+cosagunoh(-b) = gunohacosb-cosagunohb
2. kosinus farqi: cos(a-b) = cosacos(-b)-gunohagunoh(-b) = cosacosb+gunohagunohb

Xuddi shu formulalarga a \u003d b qo'yib, biz juft burchaklarning sinusi va kosinuslari uchun formulalarni olamiz:

1. Ikki burchakli sinus: gunoh2a = gunoh(a+a) = gunohacosa+cosagunoha = 2gunohacosa
2. Ikki burchakli kosinus: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-gunohagunoha = cos2a-gunoh2a

Boshqa ko'p burchaklar uchun formulalar xuddi shunday olinadi:

1. Uch burchak sinusi: gunoh3a = gunoh(2a+a) = gunoh2acosa+cos2agunoha = (2gunohacosa)cosa+(cos2a-gunoh2a)gunoha = 2gunohacos2a+gunohacos2a-gunoh 3 a = 3 gunohacos2a-gunoh 3 a = 3 gunoha(1-gunoh2a)-gunoh 3 a = 3 gunoha-4gunoh 3a
2. Uch burchakli kosinus: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-gunoh2agunoha = (cos2a-gunoh2a)cosa-(2gunohacosa)gunoha = cos 3a- gunoh2acosa-2gunoh2acosa = cos 3a-3 gunoh2acosa = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Davom etishdan oldin, keling, bitta muammoni ko'rib chiqaylik.
Berilgan: burchak o'tkir.
Agar uning kosinusini toping
Bitta talaba tomonidan berilgan yechim:
Chunki , keyin gunoha= 3,a cosa = 4.
(Matematik hazildan)

Shunday qilib, tangensning ta'rifi bu funktsiyani ham sinus, ham kosinus bilan bog'laydi. Ammo tangensning faqat kosinus bilan bog'lanishini beradigan formulani olishingiz mumkin. Uni olish uchun biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani olamiz: gunoh 2 a+cos 2 a= 1 va uni bo'linadi cos 2 a. Biz olamiz:

Shunday qilib, bu muammoni hal qilish quyidagicha bo'ladi:

(Burchak oʻtkir boʻlgani uchun ildizni olishda + belgisi olinadi)

Yig'indining tangensi formulasi eslash qiyin bo'lgan yana bir formuladir. Keling, buni shunday chiqaramiz:

darhol chiqarish va

Ikki burchak uchun kosinus formulasidan yarim burchak uchun sinus va kosinus formulalarini olishingiz mumkin. Buning uchun ikki burchakli kosinus formulasining chap tomoniga:
cos2 a = cos 2 a-gunoh 2 a
biz bir birlikni qo'shamiz va o'ngda - trigonometrik birlik, ya'ni. sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi.
cos2a+1 = cos2a-gunoh2a+cos2a+gunoh2a
2cos 2 a = cos2 a+1
ifodalash cosa orqali cos2 a va o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

Belgisi kvadrantga qarab olinadi.

Xuddi shunday, tenglikning chap tomonidan bittasini va o'ng tomonidan sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisini ayirib, biz quyidagilarni olamiz:
cos2a-1 = cos2a-gunoh2a-cos2a-gunoh2a
2gunoh 2 a = 1-cos2 a

Va nihoyat, trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mahsulotga aylantirish uchun biz quyidagi hiyla ishlatamiz. Aytaylik, biz sinuslar yig'indisini mahsulot sifatida ifodalashimiz kerak gunoha+gunohb. X va y o‘zgaruvchilarni shunday kiritamizki, a = x+y, b+x-y. Keyin
gunoha+gunohb = gunoh(x+y)+ gunoh(x-y) = gunoh x cos y+ cos x gunoh y+ gunoh x cos y- cos x gunoh y=2 gunoh x cos y. Endi x va y ni a va b shaklida ifodalaymiz.

Chunki a = x+y, b = x-y, keyin . Shunung uchun

Siz darhol bekor qilishingiz mumkin

1. Bo'lim formulasi sinus va kosinus hosilalari ichida miqdori: gunohacosb = 0.5(gunoh(a+b)+gunoh(a-b))

Sinuslar ayirmasi va kosinuslar yig‘indisi va ayirmasi ko‘paytmasini ko‘paytmaga aylantirish, shuningdek, sinuslar va kosinuslar ko‘paytmalarini yig‘indiga bo‘lish formulalarini mashq qilish va chiqarishni tavsiya qilamiz. Ushbu mashqlarni bajarib, siz trigonometrik formulalarni chiqarish mahoratini puxta egallaysiz va hatto eng qiyin nazorat, olimpiada yoki testlarda ham adashib qolmaysiz.

Maktab o'quvchilari eng katta qiyinchiliklarga duch keladigan matematikaning sohalaridan biri trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: ushbu bilim sohasini erkin egallash uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va hisob-kitoblarda pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. Bundan tashqari, siz teoremalarni isbotlashda trigonometriyani qo'llay bilishingiz kerak va bu rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyatini talab qiladi.

Trigonometriyaning kelib chiqishi

Ushbu fan bilan tanishish burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin birinchi navbatda trigonometriya umuman nima qilishini aniqlab olishingiz kerak.

Tarixan to‘g‘ri burchakli uchburchaklar matematika fanining ushbu bo‘limida asosiy tadqiqot ob’ekti bo‘lib kelgan. 90 graduslik burchakning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha parametrlarining qiymatlarini ikki tomon va bitta burchak yoki ikkita burchak va bir tomondan aniqlashga imkon beradigan turli xil operatsiyalarni bajarishga imkon beradi. Ilgari odamlar bu naqshni payqashdi va uni binolarni qurish, navigatsiya, astronomiya va hatto san'atda faol qo'llashni boshladilar.

Birinchi bosqich

Dastlab, odamlar burchaklar va tomonlarning munosabatlari haqida faqat misolda gaplashdilar to'g'ri uchburchaklar. Keyin foydalanish chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi Kundalik hayot matematikaning ushbu bo'limi.

Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'g'ri burchakli uchburchaklardan boshlanadi, shundan so'ng olingan bilimlar talabalar tomonidan fizika va mavhum trigonometrik tenglamalarni echishda qo'llaniladi, ular bilan ishlash o'rta maktabda boshlanadi.

Sferik trigonometriya

Keyinchalik fan rivojlanishning keyingi bosqichiga ko'tarilgach, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens, kotangensli formulalar qo'llanila boshlandi, bu erda boshqa qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 darajadan yuqori bo'ladi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin uning mavjudligi haqida bilish kerak, hech bo'lmaganda, chunki yer yuzasi, va har qanday boshqa sayyoraning yuzasi qavariq, ya'ni sirtning har qanday belgisi uch o'lchovli fazoda "yoy shaklida" bo'ladi.

Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u kamon shaklini oldi. Geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan sferik geometriya ana shunday shakllar bilan shug'ullanadi.

To'g'ri uchburchak

Trigonometriyadan foydalanish usullari haqida bir oz ma'lumotga ega bo'lgandan so'ng, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ularning yordami bilan qanday hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.

Birinchi qadam to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunishdir. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. U eng uzuni. Pifagor teoremasiga ko'ra, uning son qiymati qolgan ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng ekanligini eslaymiz.

Misol uchun, agar ikki tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.

To'g'ri burchakni tashkil etuvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deb ataladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 daraja ekanligini unutmasligimiz kerak.

Ta'rif

Nihoyat, geometrik asosni yaxshi tushungan holda, biz burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashga murojaat qilishimiz mumkin.

Burchakning sinusi - qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Yodingizda bo'lsin, na sinus, na kosinus birdan katta bo'lishi mumkin emas! Nega? Chunki gipotenuza sukut boʻyicha eng uzun boʻladi.Oyoq qancha uzun boʻlmasin, u gipotenuzadan qisqa boʻladi, yaʼni ularning nisbati har doim shunday boʻladi. birdan kam. Shunday qilib, agar siz muammoning javobida 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob aniq noto'g'ri.

Nihoyat, burchakning tangensi - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Xuddi shu natija sinusning kosinusga bo'linishini beradi. Qarang: formulaga muvofiq, biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, shundan so'ng biz ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifidagi kabi nisbatni olamiz.

Kotangent, o'z navbatida, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birlikni tangensga bo'lish orqali biz bir xil natijaga erishamiz.

Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini ko'rib chiqdik va formulalar bilan shug'ullanishimiz mumkin.

Eng oddiy formulalar

Trigonometriyada formulalarsiz qilolmaysiz - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Va muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.

Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Bu formula Pifagor teoremasining to'g'ridan-to'g'ri natijasidir, lekin agar siz tomonni emas, balki burchakning qiymatini bilmoqchi bo'lsangiz, vaqtni tejaydi.

Ko'pgina talabalar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda ham juda mashhur: birning yig'indisi va burchak tangensining kvadrati burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan birga teng. Yaxshilab ko'ring: axir, bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma’lum bo‘lishicha, oddiy matematik amal trigonometrik formulani butunlay tanib bo‘lmaydigan qilib qo‘yadi. Esingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini bilish, konversiya qoidalari va bir nechta asosiy formulalar Siz istalgan vaqtda qog'oz varag'ida kerakli murakkabroq formulalarni ko'rsatishingiz mumkin.

Ikki burchakli formulalar va argumentlar qo'shish

Siz o'rganishingiz kerak bo'lgan yana ikkita formulalar burchaklar yig'indisi va farqi uchun sinus va kosinusning qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikkala marta ko'paytiriladi, ikkinchi holatda esa sinus va kosinusning juft ko'paytmasi qo'shiladi.

Ikki burchakli argumentlar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - amaliyot sifatida, alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling burchakka teng beta.

Nihoyat, ikki burchakli formulalar sinus, kosinus, tangens alfa darajasini pasaytirish uchun aylantirilishi mumkinligini unutmang.

Teoremalar

Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalar yordamida siz sinus, kosinus va tangensni, shuning uchun rasmning maydonini va har bir tomonning o'lchamini va hokazolarni qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.

Sinus teoremasida aytilishicha, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchak qiymatiga bo'lish natijasida biz bir xil sonni olamiz. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.

Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi, uni har qanday uchburchaklarga proyeksiya qiladi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini ularga qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.

E'tiborsizlik tufayli xatolar

Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, ularning eng mashhurlari bilan tanishaylik.

Birinchidan, yakuniy natija olinmaguncha oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirmasligingiz kerak - javobni shaklda qoldirishingiz mumkin. oddiy kasr agar shart boshqacha ko'rsatmasa. Bunday o'zgartirishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, vazifaning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, siz vaqtni keraksiz narsalarga sarflaysiz matematik operatsiyalar. Bu, ayniqsa, uchta yoki ikkitaning ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har bir qadamda vazifalarda uchraydi. Xuddi shu narsa "xunuk" raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.

Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki barobar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat butunlay noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq noto'g'ri tushunishni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ko'ra yomonroqdir.

Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 graduslik burchaklar qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslang, chunki 30 graduslik sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ularni aralashtirish oson, buning natijasida siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.

Ilova

Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishni boshlashga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz, boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, ob'ekt yuzasidagi yukni yoki traektoriyani hisoblash mumkin emas. Va bu eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda hamma joyda, musiqadan tibbiyotgacha qo'llaniladi.

Nihoyat

Demak, siz sinus, kosinus, tangenssiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.

Trigonometriyaning butun mohiyati shundan iboratki, noma'lum parametrlar uchburchakning ma'lum parametrlaridan hisoblanishi kerak. Hammasi bo'lib oltita parametr mavjud: uchta tomonning uzunligi va uchta burchakning kattaligi. Vazifalarning butun farqi turli xil kirish ma'lumotlari berilganligidadir.

Oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topish mumkin, endi siz bilasiz. Chunki bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi va nisbat kasrdir, asosiy maqsad oddiy tenglama yoki tenglamalar sistemasining ildizlarini topish trigonometrik masalaga aylanadi. Va bu erda sizga oddiy maktab matematikasi yordam beradi.

Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri burchakli uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus, shuningdek, tangens va kotangens nima ekanligini aniqlaymiz o'tkir burchak. Bu trigonometriyaning asoslari.

Shuni eslang to'g'ri burchak 90 darajaga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, ochilgan burchakning yarmi.

O'tkir burchak- 90 darajadan kam.

O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'mtoq" haqorat emas, balki matematik atama :-)

Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan belgilanadi, faqat kichik. Demak, A burchakka qarama-qarshi yotgan tomon belgilanadi.

Burchak tegishli yunoncha harf bilan belgilanadi.

Gipotenuza To'g'ri burchakli uchburchak - bu to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon.

Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi tomonlar.

Burchakning qarshisidagi oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning bir tomonida yotgan boshqa oyog'i deyiladi qo'shni.

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati:

Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki ekvivalenti kosinusning sinusga nisbati):

Quyida keltirilgan sinus, kosinus, tangens va kotangensning asosiy nisbatlariga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.

Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.

Yaxshi, biz ta'riflar va yozma formulalar berdik. Lekin nima uchun bizga sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?

Biz buni bilamiz har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi.

o'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .

Ma'lum bo'lishicha, uchburchakdagi ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri uchburchakda ikki tomonni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Shunday qilib, burchaklar uchun - ularning nisbati, tomonlar uchun - o'z. Ammo to'g'ri uchburchakda bitta burchak (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomoni ma'lum bo'lsa, nima qilish kerak, lekin siz boshqa tomonlarni topishingiz kerak?

O'tmishda odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzgan holda duch kelishgan. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.

Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi burchakning trigonometrik funktsiyalari- orasidagi nisbatni bering partiyalar va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, siz hamma narsani topishingiz mumkin trigonometrik funktsiyalar maxsus jadvallarga muvofiq. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlaridan birini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.

Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Burchaklarning mos keladigan qiymatlari uchun tangens va kotangens mavjud emas.

Keling, FIPI Banki topshiriqlaridan trigonometriyadagi bir nechta muammolarni tahlil qilaylik.

1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.

Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.

Chunki , .

2. Uchburchakda burchak , , ga teng. Toping.

Pifagor teoremasi orqali topamiz.

Muammo hal qilindi.

Ko'pincha masalalarda burchakli va yoki burchakli uchburchaklar va . Ular uchun asosiy nisbatlarni yoddan yodlang!

Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.

Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.

To‘g‘ri burchakli uchburchaklarni yechish, ya’ni noma’lum tomonlar yoki burchaklarni topish masalalarini ko‘rib chiqdik. Lekin bu hammasi emas! DA FOYDALANISH opsiyalari matematikada uchburchakning tashqi burchagining sinusi, kosinusu, tangensi yoki kotangensi paydo bo'ladigan ko'plab muammolar mavjud. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.

Eng tez-tez so'raladigan savollar

Taqdim etilgan namunaga muvofiq hujjatga muhr bosish mumkinmi? Javob Ha, mumkin. Skanerlangan nusxasini yoki fotosuratini elektron pochta manzilimizga yuboring yaxshi sifat va biz kerakli dublikat qilamiz.

Siz qanday to'lov turlarini qabul qilasiz? Javob Hujjatni to'ldirish to'g'riligini va diplom sifatini tekshirgandan so'ng, kurer tomonidan qabul qilingan paytda to'lashingiz mumkin. Buni yetkazib berish bo'yicha naqd pul taklif qiluvchi pochta kompaniyalari ofisida ham qilish mumkin.
Hujjatlarni etkazib berish va to'lashning barcha shartlari "To'lov va yetkazib berish" bo'limida tasvirlangan. Hujjatni yetkazib berish va to‘lash shartlari bo‘yicha takliflaringizni ham tinglashga tayyormiz.

Buyurtma berganingizdan so'ng siz mening pulim bilan yo'q bo'lib ketmasligingizga ishonchim komilmi? Javob Diplom ishlab chiqarish sohasida ancha uzoq tajribamiz bor. Bizda doimiy ravishda yangilanib turadigan bir nechta saytlar mavjud. Mutaxassislarimiz mamlakatimizning turli hududlarida kuniga 10 dan ortiq hujjat tayyorlaydilar. Yillar davomida bizning hujjatlarimiz ko‘pchilikning ish bilan bog‘liq muammolarini hal qilishda yoki yuqori maoshli ishlarga o‘tishda yordam berdi. Biz mijozlar orasida ishonch va e'tirofga sazovor bo'ldik, shuning uchun buni qilish uchun mutlaqo hech qanday sabab yo'q. Bundan tashqari, buni jismonan amalga oshirishning iloji yo'q: siz buyurtmani qo'lingizga olish vaqtida to'laysiz, oldindan to'lov yo'q.

Har qanday universitetdan diplom buyurtma qilsam bo'ladimi? Javob Umuman olganda, ha. Biz bu sohada qariyb 12 yildan beri ishlaymiz. Shu vaqt ichida mamlakatimiz va xorijdagi deyarli barcha oliy o‘quv yurtlari tomonidan berilgan hujjatlarning deyarli to‘liq bazasi shakllantirildi. turli yillar chiqarish. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - universitet, mutaxassislik, hujjat tanlash va buyurtma shaklini to'ldirish.

Hujjatda matn terish xatolari va xatolarni topsam nima qilishim kerak? Javob Bizning kuryer yoki pochta kompaniyamizdan hujjat olganingizda, barcha tafsilotlarni diqqat bilan tekshirishingizni tavsiya qilamiz. Agar matn terish xatosi, xato yoki noaniqlik aniqlansa, siz diplomni olmaslik huquqiga egasiz va topilgan kamchiliklarni shaxsan kurerga yoki yozma ravishda xat yuborish orqali ko'rsatishingiz kerak. elektron pochta.
DA imkoni boricha tezda Hujjatni tuzatamiz va ko'rsatilgan manzilga qayta yuboramiz. Albatta, yuk bizning kompaniyamiz tomonidan to'lanadi.
Bunday tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun, asl shaklni to'ldirishdan oldin, biz yakuniy versiyani tekshirish va tasdiqlash uchun mijozning pochtasiga kelajakdagi hujjatning tartibini yuboramiz. Hujjatni kurer yoki pochta orqali yuborishdan oldin biz qo'shimcha fotosurat va video (jumladan ultrabinafsha nurda) olamiz, shunda siz oxirida nimaga ega bo'lishingiz haqida vizual tasavvurga ega bo'lasiz.

Sizning kompaniyangizdan diplom buyurtma qilish uchun nima qilish kerak? Javob Hujjatga (sertifikat, diplom, akademik sertifikat va boshqalar) buyurtma berish uchun siz bizning veb-saytimizda onlayn buyurtma shaklini to'ldirishingiz yoki elektron pochtangizni ko'rsatishingiz kerak, shunda biz sizga anketa shaklini jo'natamiz, uni to'ldirishingiz va yuborishingiz kerak. bizga qaytib.
Buyurtma shakli/so'rovnomasining biron bir qismida nimani ko'rsatishni bilmasangiz, ularni bo'sh qoldiring. Shuning uchun biz telefon orqali barcha etishmayotgan ma'lumotlarni aniqlab beramiz.

Eng so'nggi sharhlar

Aleksey:

Menejer sifatida ishga kirishim uchun diplom olishim kerak edi. Va eng muhimi, menda ham tajriba, ham ko'nikma bor, lekin hujjatsiz men qila olmayman, men har qanday joyda ishga kiraman. Bir marta sizning saytingizda men hali ham diplom sotib olishga qaror qildim. Diplom 2 kunda tugatildi! Endi men ilgari orzu qilmagan ishim bor!! Rahmat!