Hayali çizgiler. Bir denklemin kanonik formu nedir? Elips ve kanonik denklemi

Şimdi, ikinci mertebeden eğrilerin afin sınıflandırmasının, eğrilerin isimleriyle verildiğini, yani ikinci mertebeden eğrilerin afin sınıflarının sınıflar olduğunu göstereceğiz:

gerçek elipsler;

hayali elipsler;

abartma;

gerçek kesişen çizgi çiftleri;

kesişen hayali (eşlenik) çiftler;

paralel gerçek çizgi çiftleri;

paralel hayali eşlenik çizgi çiftleri;

çakışan gerçek çizgi çiftleri.

İki ifadeyi kanıtlamamız gerekiyor:

A. Aynı adı taşıyan tüm eğriler (yani, tüm elipsler, tüm hiperboller, vb.) birbirine yakın olarak eşdeğerdir.

B. Farklı isimlerdeki iki eğri asla afin eşdeğer değildir.

A iddiasını kanıtlıyoruz. Bölüm XV, § 3'te, tüm elipslerin bunlardan birine yakın bir şekilde eşdeğer olduğu, yani çemberlerin ve tüm hiperbollerin hiperbol olduğu zaten kanıtlanmıştı. herbiri. Tüm hayali elipsler, - - 1 yarıçaplı bir daireye yakın olarak eşdeğerdir, aynı zamanda birbirine yakın olarak eşdeğerdir.

Tüm parabollerin afin denkliğini ispatlayalım. Daha da fazlasını, yani tüm parabollerin birbirine benzer olduğunu kanıtlayacağız. Bazı koordinat sistemlerinde verilen parabolün kendi kanonik denklemiyle kanıtlanması yeterlidir.

bir parabol gibi

Bunu yapmak için, uçağı - katsayılı bir benzerlik dönüşümüne tabi tutuyoruz:

O zaman bizim dönüşümümüz altında eğri

bir eğriye girer

yani bir parabol içine

Q.E.D.

Çürüyen eğrilere geçelim. § formülleri (9) ve (11), sayfa 401 ve 402'de, bazı (hatta dikdörtgen) koordinat sistemlerinde kesişen bir çift doğruya ayrılan bir eğrinin denkleme sahip olduğu kanıtlanmıştır.

Ek bir koordinat dönüşümü yapmak

Bir çift kesişen gerçek, sırasıyla hayali eşlenik, düz çizgilere ayrışan herhangi bir eğrinin, bazı afin koordinat sistemlerinde denkleme sahip olduğunu görüyoruz.

Bir çift paralel çizgiye ayrılan eğrilere gelince, bunların her biri (bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde bile) denklem tarafından verilebilir.

sırasıyla gerçek

hayali için, doğrudan. Koordinatların dönüşümü, bu denklemleri (veya çakışan doğrular için) koymamıza izin verir.Bu, aynı adı taşıyan tüm azalan ikinci dereceden eğrilerin afin denkliğini ifade eder.

B iddiasının kanıtına dönüyoruz.

Her şeyden önce, bir düzlemin afin dönüşümü altında, cebirsel bir eğrinin sırası değişmeden kalır. Ayrıca: ikinci dereceden herhangi bir çürüyen eğri bir çift düz çizgidir ve afin dönüşüm altında düz bir çizgi düz bir çizgi olur, bir çift kesişen çizgi bir çift kesişen çizgi olur ve bir çift paralel çizgi bir çift çizgi olur. bir çift paralel; ek olarak, gerçek çizgiler gerçek olur ve hayali çizgiler hayali olur. Bu, formül (3)'teki (Bölüm XI, § 3) afin dönüşümü tanımlayan tüm katsayıların gerçek sayılar olduğu gerçeğinden kaynaklanır.

Söylenenlerden, belirli bir azalan ikinci dereceden eğriye yakın bir şekilde eşdeğer olan bir çizginin, aynı adı taşıyan bir bozunan eğri olduğu sonucu çıkar.

Ayrışmayan eğrilere geçiyoruz. Yine, afin bir dönüşümle, gerçek bir eğri hayali olana gidemez ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle, hayali elipslerin sınıfı afin değişmezdir.

Gerçek ayrışmayan eğri sınıflarını düşünün: elipsler, hiperboller, paraboller.

İkinci mertebeden tüm eğriler arasında, her elips ve yalnızca bir elips, bir dikdörtgenin içinde yer alırken, paraboller ve hiperboller (ve tüm çürüyen eğriler) sonsuza kadar uzanır.

Bir afin dönüşüm altında, verilen elipsi içeren ABCD dikdörtgeni, dönüştürülmüş eğriyi içeren bir paralelkenara gidecektir, bu nedenle sonsuza gidemez ve bu nedenle bir elipstir.

Bu nedenle, bir elipse yakın olarak eşdeğer bir eğri, zorunlu olarak bir elipstir. Kanıtlanmış olanlardan, bir hiperbol veya bir parabole afin eşdeğer olan bir eğrinin bir elips olamayacağı sonucu çıkar (ve bildiğimiz gibi, çürüyen bir eğri de olamaz. Bu nedenle, yalnızca bir afin altında olduğunu kanıtlamak için kalır. düzlemin dönüşümü, bir hiperbol bir parabole geçemez ve tam tersine, bu muhtemelen en basit şekilde bir parabolün simetri merkezinin olmaması, bir hiperbolün ise simetri merkezi olmaması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. bir parabol sadece bir sonraki bölümde ispatlanacak, şimdi hiperbol ve parabolün afin eşdeğersizliğinin ikinci, aynı zamanda çok basit bir ispatını vereceğiz.

Lemma. Bir parabol, verilen bir d doğrusu düzleminde tanımlanan iki yarım düzlemin her biri ile ortak noktalara sahipse, o zaman doğru ile en az bir ortak noktası vardır.

Gerçekten de, verilen parabolün denklemine sahip olduğu bir koordinat sistemi olduğunu gördük.

Bu koordinat sistemine göre, d düz çizgisinin denklemi olsun

Varsayım olarak, parabol üzerinde iki nokta vardır, bunlardan biri denklem (1)'e göre pozitif ve diğeri negatif yarı düzlemdedir. Bu nedenle, yazabileceğimizi hatırlamak

İkinci dereceden hatlar

Kartezyen dikdörtgen koordinatları 2. dereceden bir cebirsel denklemi sağlayan düzlem çizgileri

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

(*) denklemi gerçek geometrik görüntüyü belirlemeyebilir, ancak genellik adına bu gibi durumlarda hayali lineer v'yi belirlediği söylenir. is. Genel denklemin (*) katsayılarının değerlerine bağlı olarak, orijinin paralel ötelenmesi ve koordinat sisteminin bir açıyla döndürülmesiyle, her biri aşağıdaki 9 kanonik formdan birine dönüştürülebilir. belirli bir çizgi sınıfına karşılık gelir. Aynen öyle,

kırılmaz çizgiler

y 2 = 2 piksel - paraboller,

kırılma hatları:

x 2 - a 2 \u003d 0 - çift paralel çizgi,

x 2 + a 2 \u003d 0 - hayali paralel çizgi çiftleri,

x 2 = 0 - çakışan paralel çizgi çiftleri.

L.'de bir bakış araştırması. genel denklemi kanonik forma indirgemeden gerçekleştirilebilir. Bu, sözde değerlerin ortak değerlendirilmesi ile elde edilir. L.v.'nin temel değişmezleri is. - koordinat sisteminin paralel ötelenmesi ve dönüşü ile değerleri değişmeyen denklemin (*) katsayılarından oluşan ifadeler:

S \u003d 11 + 22,(bir ij = bir ji).

Bu nedenle, örneğin, bozulmayan çizgiler olarak elipsler, onlar için Δ ≠ 0; δ değişmezinin pozitif değeri, elipsleri diğer bozulmayan çizgi türlerinden ayırır (hiperboller için δ

Üç ana değişmez Δ, δ ve S, LV'yi belirler. (paralel çizgiler hariç) Öklid düzleminin hareketine (bkz. Başka bir deyişle, bu çizgiler düzlemin hareket grubuna göre eşdeğerdir (metrik olarak eşdeğer).

L.'nin sınıflandırmaları var. diğer dönüşüm gruplarının bakış açısından. Böylece, hareketler grubundan nispeten daha genel, afin dönüşümler grubu (Bkz. Afin dönüşümler), aynı kanonik formun denklemleriyle tanımlanan herhangi iki çizgi eşdeğerdir. Örneğin, iki benzer L. in. n. (bkz. benzerlik) eşdeğer kabul edilir. Lineer c.v.'nin farklı afin sınıfları arasındaki bağlantılar. sonsuzdaki elemanların özel bir rol oynamadığı projektif geometri (bkz. projektif geometri) açısından bir sınıflandırma oluşturmamıza izin verir. Gerçek parçalanmayan L. in. vb.: elipsler, hiperboller ve paraboller bir projektif sınıf oluşturur - gerçek oval çizgiler (ovaller) sınıfı. Gerçek oval çizgi, sonsuzdaki çizgiye göre nasıl konumlandırıldığına bağlı olarak bir elips, hiperbol veya paraboldür: elips uygun olmayan çizgiyi iki sanal noktada keser, hiperbol iki farklı gerçek noktada kesişir, parabol uygun olmayan çizgiye dokunur. ; bu çizgileri birbirine bağlayan projektif dönüşümler var. L.v.'nin yalnızca 5 projektif denklik sınıfı vardır. is. Kesinlikle,

dejenere olmayan çizgiler

(x 1 , x 2 , x 3- homojen koordinatlar):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - gerçek oval,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - hayali oval,

dejenere çizgiler:

x 1 2 - x 2 2= 0 - bir çift gerçek çizgi,

x 1 2 + x 2 2= 0 - bir çift hayali çizgi,

x 1 2= 0 - bir çift çakışan gerçek çizgi.

A.B. İvanov.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde "İkinci dereceden satırlar" ın ne olduğunu görün:

Dikdörtgen nokta koordinatları 2. dereceden bir cebirsel denklemi sağlayan düzlem çizgiler. İkinci derecenin çizgileri arasında elipsler (özellikle daireler), hiperboller, paraboller ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Dikdörtgen nokta koordinatları 2. dereceden bir cebirsel denklemi sağlayan düzlem çizgiler. İkinci derecenin çizgileri arasında elipsler (özellikle daireler), hiperboller, paraboller bulunur. * * * İKİNCİ DÜZENLİ HATLAR İKİNCİ DÜZENLİ HATLAR,… … ansiklopedik sözlük

Düz çizgiler, dikdörtgen k px noktalarının koordinatları cebirleri karşılar. 2. derece urniyum. L. arasında. n. elipsler (özellikle daireler), hiperboller, paraboller… Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Düz çizgi, kartezyen dikdörtgen koordinatları sürü için cebirsel olarak tatmin eder. 2. dereceden denklemin (*) gerçek geometrik değerini belirlemeyebilir. görüntü, ancak genelliği korumak için böyle durumlarda onu belirlediğini söylüyorlar... ... Matematik Ansiklopedisi

Kartezyen sistemdeki koordinatları cebirsel olarak tatmin eden 3 boyutlu gerçek (veya karmaşık) bir uzayın noktaları kümesi. 2. dereceden denklem (*) Denklem (*) gerçek geometrik değeri belirlemeyebilir. görüntüler, böyle ... ... Matematik Ansiklopedisi

Eğri çizgilerin geometrisinde çok sık kullanılan bu kelimenin tam olarak kesin bir anlamı yoktur. Bu kelime kapalı olmayan ve dallanmayan eğri çizgilere uygulandığında, o zaman eğrinin dalı her sürekli birey anlamına gelir ... ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. efron

Her biri bu eğrinin kirişlerini birbirine paralel olarak ikiye bölen ikinci dereceden çizgiler, iki çap. SD'ler, ikinci dereceden hatların genel teorisinde önemli bir rol oynar. Bir elipsin S. d. çemberine paralel izdüşümü ile. ... ...

Bir dik dairesel Koninin tepe noktasından geçmeyen düzlemlerle kesilmesiyle elde edilen çizgiler. K. s. üç tip olabilir: 1) kesme düzlemi, koninin tüm jeneratörlerini, boşluklarından birinin noktalarında kesişir; astar… … Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Bir dik dairesel koninin tepe noktasından geçmeyen düzlemlerle kesilmesiyle elde edilen çizgiler. K. s. üç tip olabilir: 1) kesme düzlemi, koninin tüm jeneratörlerini, boşluklarından birinin noktalarında kesişir (Şekil, a): kesişme çizgisi ... ... Matematik Ansiklopedisi

Geometri bölümü. Cebirsel geometrinin temel kavramları en basit geometrik görüntülerdir (noktalar, çizgiler, düzlemler, eğriler ve ikinci dereceden yüzeyler). A. g.'deki ana araştırma araçları, koordinat yöntemi (aşağıya bakınız) ve yöntemlerdir ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

• Analitik geometride kısa bir kurs, Efimov Nikolai Vladimirovich. Analitik geometri çalışmasının konusu, Kartezyen koordinatlarda birinci veya ikinci derece denklemlerle verilen rakamlardır. Bir düzlemde bunlar düz çizgiler ve ikinci dereceden çizgilerdir. ...

Bu, birkaç saniye içinde hangi geometrik nesneyi tanımladığı netleştiğinde, denklemin genel olarak kabul edilen standart biçimidir. Ek olarak, kanonik form birçok pratik problemin çözümü için çok uygundur. Yani, örneğin, kanonik denkleme göre "düz" düz, ilk olarak, bunun düz bir çizgi olduğu hemen anlaşılır ve ikincisi, ona ait nokta ve yön vektörü basitçe görülebilir.

Açıkçası, herhangi 1. sipariş satırı düz bir çizgiyi temsil eder. İkinci katta artık bizi bekleyen bir kapıcı değil, dokuz heykelden oluşan çok daha çeşitli bir şirket var:

İkinci dereceden hatların sınıflandırılması

Özel bir dizi eylemin yardımıyla, herhangi bir ikinci dereceden satır denklemi aşağıdaki türlerden birine indirgenir:

(ve pozitif gerçek sayılardır)

1) elipsin kanonik denklemidir;

2) hiperbolün kanonik denklemidir;

3) parabolün kanonik denklemidir;

4) – hayali elips;

5) - bir çift kesişen çizgi;

6) - çift hayali kesişen çizgiler (başlangıçtaki tek gerçek kesişme noktası ile);

7) - bir çift paralel çizgi;

8) - çift hayali paralel çizgiler;

9) çakışan bir çift çizgidir.

Bazı okuyucular listenin eksik olduğu izlenimini edinebilir. Örneğin, 7 numaralı paragrafta denklem çifti ayarlar. doğrudan, eksene paralel ve soru ortaya çıkıyor: y eksenine paralel doğruları belirleyen denklem nerede? Cevapla kanon sayılmaz. Düz çizgiler, 90 derece döndürülmüş aynı standart durumu temsil eder ve temelde yeni bir şey taşımadığından, sınıflandırmaya ek bir giriş gereksizdir.

Böylece, dokuz ve sadece dokuz farklı 2. mertebe çizgi türü vardır, ancak pratikte en yaygın olanları şunlardır: elips, hiperbol ve parabol.

Önce elipse bakalım. Her zamanki gibi, problemleri çözmek için büyük önem taşıyan noktalara odaklanıyorum ve ayrıntılı bir formül türevine, teorem kanıtlarına ihtiyacınız varsa, lütfen örneğin Bazylev / Atanasyan veya Aleksandrov'un ders kitabına bakın.

Elips ve kanonik denklemi

Yazım ... lütfen "elips nasıl yapılır", "elips ve oval arasındaki fark" ve "elebs eksantrikliği" ile ilgilenen bazı Yandex kullanıcılarının hatalarını tekrarlamayın.

Bir elipsin kanonik denklemi, pozitif gerçek sayıların olduğu ve şeklindedir. Bir elipsin tanımını daha sonra formüle edeceğim, ancak şimdilik konuşmaya ara vermenin ve ortak bir sorunu çözmenin zamanı geldi:

Bir elips nasıl inşa edilir?

Evet, al ve sadece çiz. Ödev yaygındır ve öğrencilerin önemli bir kısmı çizimle oldukça yetkin bir şekilde baş edemez:

örnek 1

Denklemde verilen bir elips oluşturun

Karar: önce denklemi kanonik forma getiriyoruz:

Neden getirsin? Kanonik denklemin avantajlarından biri, anında belirlemenize izin vermesidir. elips köşeleri, hangi noktalarda bulunmaktadır . Bu noktaların her birinin koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır.

Bu durumda :


Çizgi segmenti isminde ana eksen elips;
çizgi segmenti – küçük eksen;
sayı isminde yarı büyük eksen elips;
sayı – yarı küçük eksen.
örneğimizde: .

Bunun veya bu elipsin neye benzediğini hızlı bir şekilde hayal etmek için, kanonik denkleminin "a" ve "be" değerlerine bakmanız yeterlidir.

Her şey yolunda, düzenli ve güzel ama bir uyarı var: Çizimi programı kullanarak yaptım. Ve herhangi bir uygulama ile çizebilirsiniz. Ancak, acımasız gerçeklikte, masanın üzerinde kareli bir kağıt parçası yatıyor ve fareler ellerimizin etrafında dans ediyor. Sanatsal yeteneğe sahip insanlar elbette tartışabilir, ancak fareleriniz de var (daha küçük olsalar da). İnsanlığın bir cetvel, bir pusula, bir iletki ve çizim için diğer basit cihazları icat etmesi boşuna değildir.

Bu nedenle, yalnızca köşeleri bilerek bir elips çizmemiz pek olası değildir. Yine de, elips küçükse, örneğin yarım eksenliyse. Alternatif olarak, ölçeği ve buna göre çizimin boyutlarını azaltabilirsiniz. Ancak genel durumda, ek noktalar bulmak oldukça arzu edilir.

Bir elips oluşturmak için iki yaklaşım vardır - geometrik ve cebirsel. Kısa algoritma ve çizimin önemli dağınıklığı nedeniyle pusula ve cetvelle inşa etmeyi sevmiyorum. Acil bir durumda lütfen ders kitabına bakın, ancak gerçekte cebir araçlarını kullanmak çok daha mantıklı. Taslaktaki elips denkleminden hızlıca şunu ifade ederiz:

Denklem daha sonra iki fonksiyona bölünür:
– elipsin üst yayını tanımlar;
– elipsin alt yayını tanımlar.

Herhangi bir elips, koordinat eksenleri ve orijin hakkında simetriktir.. Ve bu harika - simetri neredeyse her zaman bir bedavanın habercisidir. Açıkçası, 1. koordinat çeyreği ile ilgilenmek yeterlidir, bu yüzden bir fonksiyona ihtiyacımız var. . Apsislerle ek noktalar bulmayı önerir. . Hesap makinesinde üç SMS'e bastık:

Tabii ki, hesaplamalarda ciddi bir hata yapılırsa, inşaat sırasında bunun hemen ortaya çıkması da sevindiricidir.

Çizimdeki noktaları (kırmızı renk), diğer yaylardaki simetrik noktaları (mavi renk) işaretleyin ve tüm şirketi dikkatlice bir çizgi ile bağlayın:


İlk taslağı ince ve ince bir şekilde çizmek ve ancak bundan sonra kurşun kaleme baskı uygulamak daha iyidir. Sonuç oldukça iyi bir elips olmalıdır. Bu arada, bu eğrinin ne olduğunu bilmek ister misiniz?

Bunu somut bir örnekle açıklamak için, bu yorumda aşağıdaki ifadeye neyin karşılık geldiğini size göstereceğim: (gerçek veya hayali) P noktası (gerçek veya hayali) g doğrusu üzerindedir. Bu durumda, elbette, aşağıdaki durumlar arasında ayrım yapmak gerekir:

1) gerçek nokta ve gerçek doğru,

2) gerçek nokta ve hayali doğru,

Durum 1) bizden herhangi bir özel açıklama gerektirmez; burada sıradan geometrinin temel ilişkilerinden birine sahibiz.

2. durumda, verilen hayali doğru ile birlikte, ona eşlenilen doğru kompleksi mutlaka verilen gerçek noktadan geçmelidir; sonuç olarak, bu nokta, hayali çizgiyi temsil etmek için kullandığımız ışın demetinin tepe noktasıyla çakışmalıdır.

Benzer şekilde, 3) durumunda, gerçek çizgi, verilen hayali noktanın bir temsilcisi olarak hizmet eden noktaların bu doğrusal evrilişinin desteğiyle aynı olmalıdır.

En ilginç durum 4) (Şek. 96): burada, açıkçası, karmaşık eşlenik nokta da karmaşık eşlenik doğru üzerinde yer almalıdır ve bu nedenle, P noktasını temsil eden noktaların evrilişinin her bir nokta çiftinin uzanması gerektiği sonucu çıkar. düz çizgi g'yi temsil eden bazı çizgi çiftleri üzerinde, yani bu dönüşlerin her ikisi de birbirine göre perspektif olarak yerleştirilmelidir; dahası, her iki dönüşün oklarının da perspektife yerleştirildiği ortaya çıktı.

Genel olarak, karmaşık alana da dikkat eden düzlemin analitik geometrisinde, tüm gerçek noktaları ve doğruları kümesine involüsyon kümesini yeni öğeler olarak eklersek, bu düzlemin tam bir gerçek resmini elde ederiz. yönleri okları ile birlikte yukarıda ele alınan rakamlar. Böyle gerçek bir karmaşık geometri resminin inşasının nasıl bir biçim alacağını genel hatlarıyla özetlemem burada yeterli olacaktır. Bunu yaparken, temel geometrinin ilk önermelerinin şimdi genellikle sunulduğu sırayı takip edeceğim.

1) Varoluş aksiyomlarıyla başlarlar, amacı az önce bahsedilen elementlerin mevcudiyetinin sıradan geometriye kıyasla genişletilmiş bir alanda tam bir formülasyonunu vermektir.

2) Ardından, madde 1)'de tanımlanan genişletilmiş alanda da olduğunu belirten bağlantı aksiyomları! (her) iki noktadan bir ve yalnızca bir doğru geçer ve (herhangi bir) iki doğrunun bir ve yalnızca bir ortak noktası vardır.

Aynı zamanda, tıpkı yukarıda yaptığımız gibi, verilen öğelerin gerçek olup olmadığına bağlı olarak her seferinde dört durumu ayırt etmek zorundayız ve nokta ve çizgilerin dönüşleriyle tam olarak hangi gerçek yapıların bir görüntü olarak hizmet ettiğini düşünmek çok ilginç görünüyor. bu karmaşık ilişkilerden

3) Düzenleme (düzen) aksiyomlarına gelince, burada gerçek ilişkilerle karşılaştırıldığında tamamen yeni koşullar devreye giriyor; özellikle, sabit bir doğru üzerinde bulunan tüm gerçek ve karmaşık noktalar ile sabit bir noktadan geçen tüm ışınlar iki boyutlu bir süreklilik oluşturur. Sonuçta, her birimiz fonksiyonlar teorisi çalışmasından, karmaşık bir değişkenin değerlerinin toplamını düzlemin tüm noktaları tarafından temsil etme alışkanlığını öğrendik.

4) Son olarak, süreklilik aksiyomları ile ilgili olarak, burada yalnızca, gerçek bir noktaya istediğiniz kadar yakın duran karmaşık noktaların nasıl tasvir edildiğini göstereceğim. Bunu yapmak için, alınan gerçek P noktasından (veya ona yakın başka bir gerçek noktadan), bir düz çizgi çizmeniz ve üzerinde birbirini ayıran (yani, "çapraz bir şekilde uzanan) iki nokta çiftini düşünmeniz gerekir. ") nokta çiftleri (Şekil . 97), böylece farklı çiftlerden alınan iki nokta birbirine yakın ve P noktasına uzanır; şimdi noktaları süresiz olarak bir araya getirirsek, o zaman adlandırılmış nokta çiftleri tarafından tanımlanan involüsyon yozlaşır, yani şimdiye kadarki karmaşık çift noktalarının her ikisi de nokta ile çakışır. diğer ok) geçer, dolayısıyla P'ye yakın bir noktaya kadar süreklidir, hatta doğrudan P'ye kadar. Elbette, bu süreklilik kavramlarını iyi bir şekilde kullanabilmek için, onlarla ayrıntılı olarak çalışılmalıdır.

Tüm bu yapı, sıradan gerçek geometriye kıyasla oldukça hantal ve sıkıcı olsa da, kıyaslanamayacak kadar fazlasını verebilir. Özellikle, gerçek ve karmaşık öğelerinin kümeleri olarak anlaşılan cebirsel görüntüleri tam geometrik netlik düzeyine yükseltme yeteneğine sahiptir ve onun yardımıyla, cebirin temel teoremi gibi teoremleri rakamlar üzerinde kendisi açıkça anlayabilir. veya Bezout'un iki eğri düzeninin, genel olarak, tam olarak ortak noktalara sahip olduğu teoremi. Bunun için elbette temel hükümlerin şimdiye kadar olduğundan çok daha açık ve açıklayıcı bir biçimde kavranması gerekecektir; bununla birlikte, literatür zaten bu tür araştırmalar için gerekli tüm materyalleri içermektedir.

Ancak çoğu durumda, tüm teorik avantajlarına rağmen, bu geometrik yorumun uygulanması, kişinin temel olasılığı ile yetinmesi ve gerçekte daha naif bir bakış açısına dönmesi gereken karmaşıklıklara yol açacaktır, bu da aşağıdaki gibidir: a. karmaşık nokta, üç karmaşık koordinattan oluşan bir koleksiyondur ve onunla gerçek noktalarla tam olarak aynı şekilde çalıştırılabilir. Gerçekten de, herhangi bir temel akıl yürütmeden kaçınarak, hayali öğelerin böyle bir girişi, hayali döngüsel noktalarla veya bir küre çemberi ile uğraşmamız gereken durumlarda her zaman verimli olmuştur. Daha önce de belirtildiği gibi Poncelet ilk kez bu anlamda hayali unsurları kullanmaya başladı; bu konuda takipçileri diğer Fransız geometricilerdi, özellikle Chall ve Darboux; Almanya'da başta Lie olmak üzere bir takım geometriciler de bu hayali element anlayışını büyük bir başarı ile uygulamışlardır.

Hayali alemin içine bu saptırmayla, kursumun ikinci bölümünün tamamını bitiriyor ve yeni bir bölüme geçiyorum,

8.3.15. A noktası bir doğru üzerindedir. A noktasından düzleme olan uzaklık

8.3.16. Düz bir çizgiye simetrik olan düz bir çizgi için bir denklem yazın

uçağa göre .

8.3.17. Bir düzlemde izdüşüm denklemlerini oluşturun aşağıdaki satırlar:

a) ;

b)

içinde) .

8.3.18. Düzlem ile doğru arasındaki açıyı bulun:

a) ;

b) .

8.3.19. Bir noktaya simetrik bir nokta bulun çizgilerden geçen düzleme göre:

ve

8.3.20. A noktası bir çizgi üzerinde yer alır

A noktasından düz bir çizgiye olan uzaklık eşittir. A noktasının koordinatlarını bulunuz.

§ 8.4. İKİNCİ DERECE EĞRİLER

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturalım ve ikinci derecenin genel denklemini ele alalım.

nerede .

Koordinatları (8.4.1) denklemini sağlayan düzlemdeki tüm noktaların kümesine denir. çarpık (astar) ikinci emir.

İkinci dereceden herhangi bir eğri için, bu eğrinin denkleminin aşağıdaki biçimlerden birine sahip olduğu, kanonik adı verilen dikdörtgen bir koordinat sistemi vardır:

1) (elips);

2) (hayali elips);

3) (bir çift hayali kesişen çizgi);

4) (hiperbol);

5) (bir çift kesişen çizgi);

6) (parabol);

7) (bir çift paralel çizgi);

8) (bir çift hayali paralel çizgi);

9) (bir çift çakışan çizgi).

Denklemler 1) - 9) denir ikinci dereceden eğrilerin kanonik denklemleri.

İkinci dereceden bir eğrinin denklemini kanonik forma indirgeme probleminin çözümü, eğrinin kanonik denklemini ve kanonik koordinat sistemini bulmayı içerir. Kanonik forma indirgeme, eğrinin parametrelerini hesaplamanıza ve orijinal koordinat sistemine göre konumunu belirlemenize olanak tanır. Orijinal dikdörtgen koordinat sisteminden geçiş kanonik orijinal koordinat sisteminin eksenlerini O noktası etrafında bir j açısı kadar döndürerek ve ardından koordinat sisteminin paralel aktarımıyla gerçekleştirilir.

İkinci mertebeden eğri değişmezleri(8.4.1), bir dikdörtgen koordinat sisteminden aynı sistemin diğerine geçerken değerleri değişmeyen, denkleminin katsayılarının bu tür işlevleri olarak adlandırılır.

İkinci dereceden (8.4.1) bir eğri için, kare koordinatlardaki katsayıların toplamı

,

öncü terimlerin katsayılarından oluşan determinant

ve üçüncü dereceden determinant

değişmezler.

s, d, D değişmezlerinin değeri, türü belirlemek ve ikinci mertebeden eğrinin kanonik denklemini oluşturmak için kullanılabilir.

Tablo 8.1.

Değişmezlere göre ikinci dereceden eğrilerin sınıflandırılması

Elips, hiperbol ve parabole daha yakından bakalım.

Elips(Şekil 8.1), iki sabit noktaya olan mesafelerin toplamının olduğu düzlemin noktalarının yeri olarak adlandırılır. denilen bu uçak elips hileleri, sabit bir değerdir (odaklar arasındaki mesafeden daha büyük). Bu, elipsin odaklarının çakışmasını dışlamaz. Odaklar aynıysa, elips bir dairedir.

Elips noktasından odak noktalarına kadar olan mesafelerin toplamı a ile gösterilir, odaklar arasındaki mesafelerin yarısı - c. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi, elipsin odaklarının orijine göre simetrik olarak Ox ekseninde yer alması için seçilirse, bu koordinat sisteminde elips denklem tarafından verilir.

, (8.4.2)

isminde elipsin kanonik denklemi, nerede .

Pirinç. 8.1

Belirtilen dikdörtgen koordinat sistemi seçimi ile elips, koordinat eksenleri ve orijin etrafında simetriktir. Bir elipsin simetri eksenleri buna eksenler, ve simetri merkezi elipsin merkezi. Aynı zamanda, 2a ve 2b sayılarına genellikle elipsin eksenleri denir ve a ve b sayılarına genellikle elipsin eksenleri denir. büyük ve yarı küçük eksen sırasıyla.

Bir elipsin eksenleriyle kesiştiği noktalara ne denir elipsin köşeleri. Elipsin köşeleri (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b) koordinatlarına sahiptir.

Elips eksantrikliği bir numara aradı

0£c'den beri

.

Bu, eksantrikliğin elipsin şeklini karakterize ettiğini gösterir: e sıfıra ne kadar yakınsa, elips bir daireye o kadar çok benziyor; e arttıkça, elips daha uzar.