Daire denklemi. Bir daire ve bir doğrunun denklemi Bu denklemin çevrim içi olarak bir daireyi tanımladığını gösterin

Sınıf: 8

Dersin amacı: bir dairenin denklemini tanıtın, öğrencilere bitmiş bir çizime göre bir daire denklemi çizmeyi öğretin, verilen bir denkleme göre bir daire inşa edin.

Teçhizat: etkileşimli tahta.

Ders planı:

1. Organizasyonel an - 3 dk.
2. Tekrarlama. Zihinsel aktivitenin organizasyonu - 7 dak.
3. Yeni malzemenin açıklaması. Daire denkleminin türetilmesi - 10 dak.
4. İncelenen materyalin konsolidasyonu - 20 dak.
5. Ders özeti - 5 dak.

Dersler sırasında

2. Tekrar:

− (ek 1 slayt 2) segmentin ortasının koordinatlarını bulmak için formülü yazın;

− (Slayt 3) Z noktalar arasındaki mesafenin formülünü yazın (parçanın uzunluğu).

3. Yeni malzemenin açıklaması.

(Slayt 4 - 6) Bir dairenin denklemini tanımlayın. Bir noktada ortalanmış bir dairenin denklemlerini türet ( a;b) ve orijinde ortalanır.

(X – a ) 2 + (de – b ) 2 = R 2 - merkezli daire denklemi İle (a;b) , yarıçap R , X ve de – daire üzerinde rastgele bir noktanın koordinatları .

X 2 + y 2 = R 2, orijinde merkezli bir dairenin denklemidir.

(Slayt 7)

Bir dairenin denklemini yazmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

• merkezin koordinatlarını bilir;
• yarıçapın uzunluğunu bilin;
• daire denkleminde merkezin koordinatlarını ve yarıçapın uzunluğunu değiştirin.

4. Problem çözme.

1 - 6 No'lu görevlerde, bitmiş çizimlere göre dairenin denklemlerini çizin.

(Slayt 14)

№ 7. Tabloda doldurunuz.

(Slayt 15)

№ 8. Denklemlerle verilen defterde daireler oluşturun:

a) ( X – 5) 2 + (de + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (de– 7) 2 = 7 2 .

(Slayt 16)

№ 9. Merkezin koordinatlarını ve yarıçapın uzunluğunu bulun. AB dairenin çapıdır.

Verilen:		Karar:
		R	Merkez koordinatları
1	ANCAK(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	ANCAK(0; -6) AT(0 ; 2) İle(0 ; – 2) – merkez
2	ANCAK(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	ANCAK (-2;0) AT (4 ;0) İle(1 ; 0) – merkez

(Slayt 17)

№ 10. noktasından geçen orijini merkezli bir çemberin denklemini yazınız. İle(-12;5).

Karar.

R2 = Tamam 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Daire denklemi: x 2 + y 2 = 169 .

(Slayt 18)

№ 11. Orijinden geçen ve bu noktada ortalanmış bir daire için bir denklem yazın İle(3; - 1).

Karar.

R2= işletim sistemi 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Çember denklemi: ( X - 3) 2 + (+ 1) 2 = 10.

(Slayt 19)

№ 12. Merkezi olan bir dairenin denklemini yazın ANCAK(3;2) içinden geçen AT(7;5).

Karar.

1. Çemberin merkezi - ANCAK(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Çember denklemi ( X – 3) 2 + (de − 2) 2 = 25.

(Slayt 20)

№ 13. Noktaların yalan olup olmadığını kontrol edin ANCAK(1; -1), AT(0;8), İle(-3; -1) denklemi ile verilen çember üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

Karar.

İ. Noktanın koordinatlarını değiştirin ANCAK(1; -1) daire denklemine:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - eşitlik yanlış, yani ANCAK(1; -1) yalan söylemez denklem tarafından verilen daire üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

II. Noktanın koordinatlarını değiştirin AT(0;8) daire denklemine:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)yalanlar X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

III. Noktanın koordinatlarını değiştirin İle(-3; -1) daire denklemine:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - eşitlik doğrudur, yani İle(-3; -1) yalanlar denklem tarafından verilen daire üzerinde ( X + 3) 2 + (de − 4) 2 = 25.

Dersin özeti.

1. Tekrar edin: bir dairenin denklemi, orijinde merkezli bir dairenin denklemi.
2. (Slayt 21)Ödev.

çevre düzlemde verilen bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktalar kümesidir ve merkez adı verilir.

C noktası dairenin merkeziyse, R onun yarıçapıdır ve M daire üzerinde keyfi bir noktaysa, o zaman bir dairenin tanımı gereği

Eşitlik (1) daire denklemi C noktasında ortalanmış R yarıçapı.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi (Şekil 104) ve bir C noktası ( a; b) yarıçapı R olan bir çemberin merkezidir. М( X; de) bu dairenin keyfi bir noktasıdır.

|CM|'den beri = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), o zaman denklem (1) aşağıdaki gibi yazılabilir:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R2 (2)

Denklem (2) denir bir dairenin genel denklemi veya noktasında merkezlenmiş R yarıçaplı bir dairenin denklemi ( a; b). Örneğin, denklem

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

(1; -3) noktasında ortalanmış R = 5 yarıçaplı bir dairenin denklemidir.

Dairenin merkezi orijine denk geliyorsa, denklem (2) şu şekli alır:

x 2 + de 2 = R2 . (3)

Denklem (3) denir çemberin kanonik denklemi .

Görev 1. Orijinde merkezlenmiş R = 7 yarıçaplı bir daire için denklemi yazın.

Yarıçap değerini doğrudan denklem (3)'e koyarak, şunu elde ederiz:

x 2 + de 2 = 49.

Görev 2. C(3; -6) noktasında ortalanmış R = 9 yarıçaplı bir daire için denklemi yazın.

C noktasının koordinatlarının değerini ve yarıçapın değerini formül (2)'de değiştirerek elde ederiz.

(X - 3) 2 + (de- (-6) 2 = 81 veya ( X - 3) 2 + (de + 6) 2 = 81.

Görev 3. Bir dairenin merkezini ve yarıçapını bulun

(X + 3) 2 + (de-5) 2 =100.

Bu denklemi genel daire denklemi (2) ile karşılaştırdığımızda görüyoruz ki a = -3, b= 5, R = 10. Bu nedenle, С(-3; 5), R = 10.

Görev 4. Denklemin olduğunu kanıtlayın

x 2 + de 2 + 4X - 2y - 4 = 0

daire denklemidir. Merkezini ve yarıçapını bulun.

Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:

x 2 + 4X + 4- 4 + de 2 - 2de +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (de - 1) 2 = 9.

Bu denklem (-2; 1) merkezli bir dairenin denklemidir; dairenin yarıçapı 3'tür.

Görev 5. A (2; -1), B(-1; 3) ise AB düz çizgisine dokunan C(-1; -1) noktasında merkezli bir dairenin denklemini yazın.

AB düz çizgisinin denklemini yazalım:

veya 4 X + 3y-5 = 0.

Çember verilen doğruya teğet olduğu için temas noktasına çizilen yarıçap bu doğruya diktir. Yarıçapı bulmak için, C noktasından (-1; -1) - dairenin merkezinden düz çizgiye 4 olan mesafeyi bulmanız gerekir. X + 3y-5 = 0:

İstenen çemberin denklemini yazalım

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir daire verilsin x 2 + de 2 = R2 . Keyfi noktası M( X; de) (Şek. 105).

yarıçap vektörü olsun OM> M noktası bir büyüklük açısı oluşturur t O ekseninin pozitif yönü ile X, daha sonra M noktasının apsisi ve ordinatı buna bağlı olarak değişir. t

(0 t x ve y t, bulduk

x= Rcos t ; y= R günah t , 0 t

Denklem (4) denir orijinde merkezli bir dairenin parametrik denklemleri.

Görev 6. Daire denklemler tarafından verilir

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Bu çember için kanonik denklemi yazın.

Koşuldan geliyor x 2 = 3 çünkü 2 t, de 2 = 3 günah 2 t. Bu eşitlikleri terim terim toplayarak,

x 2 + de 2 = 3(çünkü 2 t+ günah 2 t)

veya x 2 + de 2 = 3

Ders konusu: daire denklemi

Dersin Hedefleri:

eğitici: Bu sorunun çözümünü koordinat yöntemini kullanma olasılıklarından biri olarak göz önünde bulundurarak daire denklemini türetiniz.

Yapabilmek:

– Önerilen denkleme göre bir dairenin denklemini tanır, öğrencilere bitmiş bir çizime göre bir daire denklemi çizmeyi, verilen bir denkleme göre bir daire oluşturmayı öğretin.

eğitici : Eleştirel düşünmenin oluşumu.

eğitici : Algoritmik reçete yazma ve önerilen algoritmaya göre hareket etme becerisinin geliştirilmesi.

Yapabilmek:

– Sorunu görün ve çözmenin yollarını planlayın.

– Düşüncelerinizi sözlü ve yazılı olarak özetleyin.

Ders türü: yeni bilginin asimilasyonu.

Teçhizat : PC, multimedya projektörü, perde.

Ders planı:

1. Açılış konuşması - 3 dk.

2. Bilginin güncellenmesi - 2 dak.

3. Problemin ifadesi ve çözümü -10 dk.

4. Yeni malzemenin önden sabitlenmesi - 7 dak.

5. Gruplar halinde bağımsız çalışma - 15 dk.

6. Çalışmanın sunumu: tartışma - 5 dak.

7. Dersin sonucu. Ev ödevi - 3 dak.

Dersler sırasında

Bu aşamanın amacı: Öğrencilerin psikolojik ruh hali; Tüm öğrencilerin öğrenme sürecine katılımı, bir başarı durumu yaratmak.

1. Organizasyon zamanı.

3 dakika

Çocuklar! Çemberle 5. ve 8. sınıflarda tanıştınız. Onun hakkında ne biliyorsun?

Çok şey biliyorsunuz ve bu veriler geometrik problemlerin çözümünde kullanılabilir. Ancak koordinat yönteminin kullanıldığı problemlerin çözümü için bu yeterli değildir.Niye ya?

Kesinlikle doğru.

Bu nedenle, bugünkü dersin temel amacı, verilen bir doğrunun geometrik özelliklerinden bir dairenin denklemini türetmek ve onu geometrik problemleri çözmek için uygulamaktır.

Bırak gitsindersin sloganı Orta Asyalı bilim adamı-ansiklopedist El-Biruni'nin sözleri şöyle olacak: “İlim, mülklerin en mükemmelidir. Herkes bunun için çabalıyor ama kendi kendine gelmiyor.”

Dersin konusunu bir deftere yazın.

Bir dairenin tanımı.

yarıçap.

Çap.

akor Vb.

Çember denkleminin genel biçimini henüz bilmiyoruz.

Öğrenciler çember hakkında bildikleri her şeyi listelerler.

slayt 2

slayt 3

Aşamanın amacı, öğrencilerin materyalin öğrenme kalitesi hakkında bir fikir edinmek, temel bilgileri belirlemektir.

2. Bilgi güncellemesi.

2 dakika

Çember denklemi türetilirken bir dairenin zaten bilinen tanımına ve iki nokta arasındaki mesafeyi koordinatlarına göre bulmanızı sağlayan bir formüle ihtiyacınız olacak.Bu gerçekleri hatırlayalım /Pmalzemenin tekrarı daha önce çalışılan/:

– Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak için formülü yazın.

– Bir vektörün uzunluğunu hesaplamak için formülü yazın.

– Noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için formülü yazın (segmentin uzunluğu).

Kayıtlar düzenleniyor...

Geometrik egzersiz.

Verilen puanlarBir (-1; 7) ve(7; 1)'de.

AB doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını ve uzunluğunu hesaplayın.

Yürütmenin doğruluğunu kontrol eder, hesaplamaları düzeltir ...

Tahtada bir öğrenci ve geri kalanı defterlere formüller yazıyor

Daire, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan tüm noktalardan oluşan geometrik bir şekildir.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Hesapla: C (3; 4)

| AB | = 10

İle 4 yatırmak

slayt 5

3. Yeni bilginin oluşumu.

12 dakika

Amaç: kavramın oluşumu - dairenin denklemi.

Problemi çöz:

A(x; y) merkezli bir daire dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulur. M(x; y) - dairenin keyfi noktası. Çemberin yarıçapını bulun.

Başka herhangi bir noktanın koordinatları bu eşitliği sağlayacak mı? Niye ya?

Denklemin her iki tarafının karesini alalım.Sonuç olarak, elimizde:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² dairenin denklemidir, burada (x; y) dairenin merkezinin koordinatlarıdır, (x; y) keyfi bir koordinatın koordinatlarıdır. daire üzerinde bulunan nokta, r dairenin yarıçapıdır.

Problemi çöz:

Orijini merkez alan bir çemberin denklemi ne olur?

Peki, bir dairenin denklemini yazmak için bilmeniz gerekenler nelerdir?

Daire denklemini derlemek için bir algoritma önerin.

Sonuç: ... bir deftere yazın.

Yarıçap, bir dairenin merkezini daire üzerinde bulunan rastgele bir nokta ile birleştiren bir segmenttir. Bu nedenle, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Çember üzerindeki herhangi bir nokta o çemberin üzerindedir.

Öğrenciler defterlere yazarlar.

(0;0)-dairenin merkezinin koordinatları.

x² + y² = r², burada r dairenin yarıçapıdır.

Çemberin merkezinin koordinatları, yarıçap, çember üzerindeki herhangi bir nokta...

Bir algoritma öneriyorlar...

Algoritmayı bir not defterine yazın.

slayt 6

Slayt 7

Slayt 8

Öğretmen denklemi tahtaya yazar.

Slayt 9

4. Birincil sabitleme.

23 dakika

Hedef:Oluşturulan fikir ve kavramların kaybolmasını önlemek için öğrenciler tarafından henüz algılanan materyalin yeniden üretilmesi. Yeni bilgi, fikir ve kavramların konsolidasyonuuygulamalar.

ZUN kontrolü

Edinilen bilgileri aşağıdaki problemleri çözmede uygulayalım.

Görev: Önerilen denklemlerden dairenin denklemleri olanların numaralarını adlandırın. Ve denklem bir dairenin denklemiyse, merkezin koordinatlarını adlandırın ve yarıçapı belirtin.

İki değişkenli ikinci dereceden her denklem bir daire tanımlamaz.

4x² + y² \u003d 4-elips denklemi.

x²+y²=0-nokta.

x² + y² \u003d -4-bu denklem herhangi bir rakam tanımlamaz.

Çocuklar! Bir daire için bir denklem yazmak için bilmeniz gerekenler nelerdir?

Problemi çöz 966 s. 245 (ders kitabı).

Öğretmen öğrenciyi tahtaya çağırır.

Problemin durumunda belirtilen veriler bir daire denklemi oluşturmaya yetiyor mu?

Görev:

Orijini merkezli ve çapı 8 olan bir dairenin denklemini yazın.

Görev : bir daire çizer.

Merkezin koordinatları var mı?

Yarıçapı belirle... ve inşa et

Sayfa 243'teki görev (ders kitabı) sözlü olarak anlaşılır.

Sayfa 243'teki problem çözme planını kullanarak problemi çözün:

Daire B(7;5) noktasından geçiyorsa, A(3;2) noktasında merkezli bir dairenin denklemini yazın.

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - daire denklemi; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - daire denklemi; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - daire denklemi; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- daire denklemi; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 bir daire denklemi değildir.

6) x² + y² = 0- bir daire denklemi değildir.

7) x² + y² = -4- bir daire denklemi değildir.

Çemberin merkezinin koordinatlarını bilin.

Yarıçap uzunluğu.

Merkezin koordinatlarını ve yarıçapın uzunluğunu bir dairenin genel denkleminde yerine koyun.

966 s. 245 (ders kitabı) problemini çözün.

Yeterli veri.

Sorunu çözerler.

Bir dairenin çapı, yarıçapının iki katı olduğundan, r=8÷2=4'tür. Bu nedenle, x² + y² = 16.

Dairelerin yapımını gerçekleştirin

Ders kitabı çalışması. Sayfa 243'teki görev.

Verilen: A (3; 2) - dairenin merkezi; В(7;5)є(А;r)

Bul: daire denklemi

Çözüm: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Cevap: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

slayt 10-13

Çözümü yüksek sesle söyleyerek tipik sorunları çözme.

Öğretmen ortaya çıkan denklemi yazmak için bir öğrenciyi çağırır.

Slayt 9'a dön

Bu sorunu çözmek için bir planın tartışılması.

Kaymak. on beş. Öğretmen bu problemi çözmek için bir öğrenciyi tahtaya çağırır.

slayt 16.

slayt 17.

5. Dersin özeti.

5 dakika

Etkinliklerin sınıfa yansıması.

Ödev: §3, madde 91, kontrol soruları No. 16,17.

Problemler No. 959(b,d,e), 967.

Ek değerlendirme görevi (problem görevi): Denklemde verilen bir daire oluşturun

x² + 2x + y² -4y = 4.

Sınıfta ne konuştuk?

Ne almak istedin?

Dersin amacı neydi?

"Keşifimiz" ile hangi görevler çözülebilir?

Hanginiz derste öğretmen tarafından belirlenen hedefe %100, %50 oranında ulaştığınıza inanıyor; hedefe ulaşamadı...?

Derecelendirme.

Ev ödevi yaz.

Öğrenciler öğretmen tarafından sorulan soruları cevaplar. Kendi performanslarının öz değerlendirmesini yapın.

Öğrencilerin sonucu ve bunu başarmanın yollarını bir kelimeyle ifade etmeleri gerekir.

Bir düzlemde bir çizginin denklemi

Önce iki boyutlu bir koordinat sisteminde bir doğrunun denklemi kavramını tanıtalım. Kartezyen koordinat sisteminde rastgele bir $L$ doğrusu oluşturulsun (Şekil 1).

Şekil 1. Koordinat sistemindeki rastgele çizgi

tanım 1

$x$ ve $y$ olmak üzere iki değişkenli bir denklem, eğer bu denklem $L$ doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanıyorsa ve bu denklem, $L$ doğrusuna ait olmayan herhangi bir nokta tarafından sağlanmıyorsa, $L$ doğrusu denklemi olarak adlandırılır. satır $L.$

daire denklemi

$xOy$ Kartezyen koordinat sisteminde daire denklemini türetelim. $C$ çemberinin merkezi $(x_0,y_0)$ koordinatlarına sahip olsun ve çemberin yarıçapı $r$'a eşit olsun. $(x,y)$ koordinatlı $M$ noktası bu dairenin rastgele bir noktası olsun (Şekil 2).

Şekil 2. Kartezyen koordinatlarda daire

Dairenin merkezinden $M$ noktasına olan uzaklık aşağıdaki gibi hesaplanır.

Ancak, $M$ daire üzerinde bulunduğundan, $CM=r$ elde ederiz. Sonra aşağıdakileri elde ederiz

Denklem (1), $(x_0,y_0)$ noktasında ve $r$ yarıçapında merkezli bir dairenin denklemidir.

Özellikle, dairenin merkezi orijine denk geliyorsa. O zaman dairenin denklemi şu şekildedir:

Düz bir çizginin denklemi.

Kartezyen koordinat sistemi $xOy$'da $l$ doğrusunun denklemini türetelim. $A$ ve $B$ noktaları sırasıyla $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ ve $\(x_2,\ y_2\)$ koordinatlarına ve $A$ ve $B noktalarına sahip olsun. $, $l$ doğrusu $AB$ doğru parçasına dik açıortay olacak şekilde seçilir. $l$ satırına ait rastgele bir $M=\(x,y\)$ noktası seçiyoruz (Şekil 3).

$l$ doğrusu $AB$ doğru parçasına dik açıortay olduğundan, $M$ noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır, yani $AM=BM$.

Noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu kenarların uzunluklarını bulun:

Buradan

$a=2\sol(x_1-x_2\sağ),\ b=2\sol(y_1-y_2\sağ),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 ile belirtin -(y_1)^2$, Kartezyen koordinat sistemindeki bir doğrunun denkleminin aşağıdaki forma sahip olduğunu elde ederiz:

Kartezyen koordinat sisteminde doğruların denklemlerini bulmak için bir problem örneği

örnek 1

$(2,\ 4)$ noktasında merkezli bir dairenin denklemini bulun. Orijinden geçen ve merkezinden geçen $Ox,$ eksenine paralel bir doğru.

Karar.

Önce verilen çemberin denklemini bulalım. Bunu yapmak için dairenin genel denklemini kullanacağız (yukarıda türetilmiştir). Dairenin merkezi $(2,\ 4)$ noktasında bulunduğundan, şunu elde ederiz:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

$(2,\ 4)$ noktasından $(0,0)$ noktasına olan uzaklık olarak dairenin yarıçapını bulun.

Çemberin denklemini şu şekilde elde ederiz:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Şimdi özel durum 1'i kullanarak daire denklemini bulalım.