Forskningsarbete "peak formula". Toppformel i skolans planimetrikurs

Starkova Kristina, årskurs 8B

Uppsatsen överväger Picks teorem och dess bevis.

Problemen med att hitta området för polygoner beaktas

Ladda ner:

Förhandsvisning:

INSTÄLLNINGEN FÖR ALLMÄN OCH YRKESUTBILDNING

ADMINISTRATION AV TCHAIKOVSKY KOMMUNdistrikt

PERM REGION

VI KOMMUNAL FORSKNINGSKONFERENS
STUDENTER

Kommunal självstyrande allmän utbildningsinstitution

"Grundskola nr 11"

AVSNITT: MATEMATIK

Tillämpning av Picks formel

Elev av 8 "B" klass

MAOU gymnasieskola №11Tchaikovsky

Ledare: Batueva L, N.,

Matematiklärare MAOU gymnasieskola №11

Tjajkovskij

år 2012

I. INLEDNING……………………………………………………. 2

II. Toppformel

2.1.Gridnät.Knutar……………………………………………………….4

2.2.Triangulering av en polygon…………………………5

2.3. Bevis för Picks sats………………………6

2.4 Studera polygoners områden…………9

2.5. Slutsats………………………………………………………..12

III Geometriska problem med praktiskt innehåll ... 13

IV. Slutsats………………………………………………..14

V. Lista över använd litteratur………………………..16

1. Introduktion

Passion för matematik börjar ofta med att tänka på ett problem. Så när man studerade ämnet "Areas of polygons" uppstod frågan om det fanns uppgifter som skilde sig från uppgifterna i geometriläroböcker. Det här är uppgifter på rutiga papper. Vi hade frågor: vad är det speciella med sådana uppgifter, finns det några speciella metoder och tekniker för att lösa problem på rutiga papper. Att se sådana uppgifter i kontroll och mätning ANVÄND material och GIA, bestämde sig för att definitivt undersöka uppgifterna på rutigt papper relaterade till att hitta området för den avbildade figuren.

Jag började studera litteraturen, Internetresurser om detta ämne. Det verkar som att det som är fascinerande kan hittas på ett rutigt plan, det vill säga på ett oändligt papper ritat till identiska rutor? Döm inte förhastat. Det visar sig att uppgifterna i samband med rutigt papper är ganska olika. Jag lärde mig hur man beräknar polygoners ytor ritade på ett rutigt papper. För många uppgifter på papper i en bur finns ingen generell regel för att lösa, specifika metoder och tekniker. Detta är deras egendom som bestämmer deras värde för utvecklingen av en icke-specifik inlärningsförmåga eller skicklighet, men i allmänhet förmågan att tänka, reflektera, analysera, leta efter analogier, det vill säga dessa uppgifter utvecklar tankeförmåga i sin vidaste mening.

Vi definierade:

Studieobjekt: uppgifter på rutiga papper

Studieämne: problem för att beräkna arean av en polygon på rutigt papper, metoder och tekniker för att lösa dem.

Forskningsmetoder: modellering, jämförelse, generalisering, analogi, studie av litterära och internetresurser, analys och klassificering av information.

1. Syftet med studien:Härled och testa formler för att beräkna arean av geometriska former med hjälp av Peak-formeln

För att uppnå detta mål föreslår vi att lösa följande uppgifter:

1. Välj nödvändig litteratur
2. Välj material för forskning, välj den viktigaste, intressanta, begripliga informationen
3. Analysera och organisera den mottagna informationen
4. Att hitta olika metoder och tekniker för att lösa problem på rutiga papper
5. Skapa en elektronisk presentation av arbetet för att presentera det insamlade materialet för klasskamrater

en mängd olika uppgifter på papper i en låda, deras "underhållning", brist på generella regler och lösningsmetoder orsakar svårigheter för skolbarn i deras övervägande

1. Hypotes:. Arean av figuren beräknad med Pick-formeln är lika med arean av figuren beräknad med planimetriformeln.

När vi löser problem på rutiga papper behöver vi geometrisk fantasi och ganska enkel geometrisk information som är känd för alla.

II. Toppformel

2.1 Gitter, knutar.

Betrakta på planet två familjer av parallella linjer som delar planet i lika kvadrater; uppsättningen av alla skärningspunkter för dessa linjer kallas ett punktgitter eller helt enkelt ett gitter, och själva punkterna kallas gitternoder.

Interna noder i en polygon - röd.

Knutar på ytorna av en polygon - blå.

För att uppskatta arean av en polygon på rutigt papper räcker det att beräkna hur många celler denna polygon täcker (vi tar arean av cellen som en enhet). Mer exakt, om S är polygonens area, B är antalet celler som ligger helt inuti polygonen och G är antalet celler som har minst en gemensam punkt med polygonens inre.

Vi kommer endast att överväga sådana polygoner, vars alla hörn ligger vid noderna på det rutiga papperet - i de där rutnätslinjerna skär varandra.

Arean av vilken triangel som helst som ritas på rutigt papper kan enkelt beräknas genom att representera den som summan eller skillnaden av områdena av rätvinkliga trianglar och rektanglar vars sidor följer rutnätslinjerna som går genom hörnen på den ritade triangeln.

2.2 Triangulering av en polygon

Vilken polygon som helst med hörn vid rutnätsnoderna kan trianguleras - delas upp i "enkla" trianglar.

Låt någon polygon och någon finit mängd ges på planet Till punkter som ligger innanför polygonen och på dess gräns (desutom hör alla hörn i polygonen till mängden TO).

Triangulering med hörn Till kallas partitionering given polygon till trianglar med hörn i mängden Till så att varje punkt in Till fungerar som en vertex för var och en av de trianguleringstrianglar som denna punkt tillhör (det vill säga punkter från Till fall inte inuti eller på sidorna av trianglarna, fig. 1,37).

Ris. 1,37

Sats 2. a) Något n -gon kan skäras av diagonaler till trianglar, och antalet trianglar kommer att vara lika med n – 2 (denna partition är en triangulering med hörn i hörn n-gon).

Betrakta en icke-degenererad enkel heltalspolygon (det vill säga den är ansluten - vilken som helst två av dess punkter kan kopplas samman med en kontinuerlig kurva som är helt innesluten i den, och alla dess hörn har heltalskoordinater, dess gräns är en ansluten polylinje utan självkorsningar, och den har en area som inte är noll).

För att beräkna arean av en sådan polygon kan du använda följande teorem:

2.3. Bevis för Picks teorem.

Låt B vara antalet heltalspunkter inuti polygonen, Г vara antalet heltalspunkter på dess gräns,- dess område. Sedan Picks formel: S=V+G2-1

Exempel. För polygonen i figuren B=23 (gula prickar), D=7, (blå prickar, låt oss inte glömma hörnen!), såkvadratiska enheter.

Observera först att Picks formel är sann för enhetskvadraten. I det här fallet har vi faktiskt B=0, D=4 och.

Betrakta en rektangel med sidor som ligger på gitterlinjerna. Låt längderna på dess sidor vara lika och . Vi har i det här fallet, B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, sedan genom plockformeln,

Betrakta nu en rätvinklig triangel med ben liggande på koordinataxlarna. En sådan triangel erhålls från en rektangel med sidor och , betraktat i det föregående fallet, genom att skära den diagonalt. Låt dem ligga på diagonalenheltalspunkter. Då för detta fall B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 och vi förstår det4) Betrakta nu en godtycklig triangel. Den kan fås genom att skära bort flera rätvinkliga trianglar och eventuellt en rektangel från en rektangel (se bilder). Eftersom Picks formel är sann för både en rektangel och en rätvinklig triangel får vi att den även kommer att vara sann för en godtycklig triangel.

Det återstår att ta det sista steget: flytta från trianglar till polygoner. Vilken polygon som helst kan delas in i trianglar (till exempel med diagonaler). Därför behöver vi bara bevisa att när man lägger till valfri triangel till en godtycklig polygon förblir Picks formel sann. Låt polygonen och triangel har en gemensam sida. Låt oss anta att förPicks formel är giltig, vi kommer att bevisa att den kommer att stämma för polygonen som erhålls från lägga till. Sedan och har en gemensam sida, då blir alla heltalspunkter som ligger på denna sida, förutom två hörn, inre punkter i den nya polygonen. Vertices kommer att vara gränspunkter. Låt oss beteckna numret gemensamma punkter genom och få B=MT=BM+BT+c-2 - antalet interna heltalspunkter för den nya polygonen, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - antalet gränspunkter för den nya polygonen. Från dessa jämlikheter får vi: BM+BT+c-2 G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Eftersom vi har antagit att satsen är sann för och för separat, sedan S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2-1)+B(T)+ GT2-1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22-2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Därmed är Pick-formeln bevisad.

2.4 Studie av polygoner.

2) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm avbildas triangel. Hitta dess area i kvadratcentimeter.
Bild	Enligt geometriformeln	Enligt Picks formel
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G=3; V=0. S=0+3/2-1=0,5

3) En fyrkant avbildas på rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm. Hitta dess yta i kvadratcentimeter.
Bild	Enligt geometriformeln	Enligt Picks formel
	S=a∙b Sq.KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​∙ 3=4,5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S= V+G2-1 D=14, W=19. S=18+14/2-1=24

4) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm avbildas
Bild	Enligt geometriformeln	Enligt Picks formel
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 Sq.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm²	S= V+G2-1 D=5, V=31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm fyra kvadrat. Hitta dess yta i kvadratcentimeter.
	S= a b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm 2
6) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm avbildas fyra kvadrat. Hitta dess yta i kvadratcentimeter
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S= V+G2-1 D=18, W=28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm avbildas fyra kvadrat. Hitta dess yta i kvadratcentimeter
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Sq.=9²=81cm² S=81-4,5-18-4,5-18=36cm²	S= V+G2-1 D=18, W=28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) På rutigt papper med celler som mäter 1 cm x 1 cm avbildas fyra kvadrat. Hitta dess yta i kvadratcentimeter
Bild	Enligt geometriformeln	Enligt Picks formel
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 D=16, W=17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Slutsats

1. Genom att jämföra resultaten i tabellerna och bevisa Picks teorem kom jag till slutsatsen att arean av figuren beräknad med hjälp av Pick-formeln är lika med arean av figuren beräknad med den härledda planimetriformeln

Så min hypotes visade sig vara korrekt.

III.Geometriska problem med praktiskt innehåll.

Pick-formeln hjälper oss också att lösa geometriska problem med praktiskt innehåll.

Uppgift 9. Hitta området skog(i m²), avbildad på en plan med ett kvadratiskt rutnät 1 × 1 (cm) i en skala av 1 cm - 200 m (Fig. 10)

Beslut.

Ris. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Svar: 420 000 m²

Uppgift 10 . Hitta arean av fältet (i m²) avbildat på en plan med ett kvadratiskt rutnät 1 × 1 (cm) på en skala av 1 cm - 200 m. (Fig. 11)

Beslut. Låt oss hitta S arean av fyrhörningen avbildad på rutiga papper med hjälp av toppformeln: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Ris. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)

Svar: 320 000 m²

Slutsats

Under forskningsprocessen studerade jag referens, populärvetenskaplig litteratur, lärde mig hur man arbetar i programmet Notebook. jag fick reda på att

Problemet med att hitta arean för en polygon med hörn vid rutnätets noder inspirerade den österrikiska matematikern Pick 1899 att bevisa den underbara Pick-formeln.

Som ett resultat av mitt arbete utökade jag mina kunskaper om att lösa problem på rutiga papper, bestämde själv klassificeringen av problemen som studerades och blev övertygad om deras mångfald.

Jag lärde mig hur man beräknar arean av polygoner ritade på ett rutigt ark. annan nivå svårigheter - från enkel till Olympiad. Alla kan bland dem hitta uppgifter av en genomförbar komplexitetsnivå, från vilken det kommer att vara möjligt att gå vidare till att lösa svårare.

Jag kom till slutsatsen att ämnet som intresserade mig är ganska mångfacetterat, uppgifterna på rutigt papper är olika, metoderna och teknikerna för att lösa dem är också olika. Därför bestämde vi oss för att fortsätta arbeta i denna riktning.

Litteratur

1. Geometri på rutigt papper. Liten MEHMAT MSU.

2. Zharkovskaya N.M., Riss E.A. Rutig pappersgeometri. Picks formel // Matematik, 2009, nr 17, sid. 24-25.

3. Uppgifter öppen bank uppgifter i matematik FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov. Polygoner på gitter. M.MTsNMO, 2006.

5. Tematiska studier.etudes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev och andra. Geometri. 7-9 klasser. M. Upplysning, 2010

Verkets text är placerad utan bilder och formler.
Full version arbete är tillgängligt på fliken "Arbetsfiler" i PDF-format

Introduktion

Jag är en elev i 6:e klass. Jag började studera geometri sedan förra året, eftersom jag studerar i skolan med hjälp av läroboken ”Matematik. Aritmetisk. Geometry” redigerad av E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva och andra.

Min största uppmärksamhet lockades av ämnena "Figurkvadrater", "Sammanställning av formler". Jag märkte att områdena för samma figurer kan hittas olika sätt. I vardagen möter vi ofta problemet med att hitta området. Hitta till exempel golvytan som ska målas. Det är ju konstigt, för att köpa den nödvändiga mängden tapeter för renovering måste du veta storleken på rummet, d.v.s. väggyta. Att beräkna arean av en kvadrat, en rektangel och en rätvinklig triangel orsakade mig inga svårigheter.

Intresserad av detta ämne började jag leta efter ytterligare material på Internet. Som ett resultat av sökningen stötte jag på Pick-formeln - det här är en formel för att beräkna arean av en polygon ritad på rutigt papper. Att beräkna arean med den här formeln tycktes mig vara tillgänglig för alla elever. Det var därför jag bestämde mig för det forskningsarbete.

Ämnets relevans:

Detta ämne är ett tillägg och en fördjupning av studiet av geometrikursen.

Att studera det här ämnet kommer att hjälpa dig att bättre förbereda dig för olympiader och prov.

Mål:

Bekanta dig med Pick-formeln.

Bemästra teknikerna för att lösa geometriska problem med hjälp av Pick-formeln.

Systematisera och generalisera teoretiska och praktiska material.

Forskningsmål:

Kontrollera effektiviteten och ändamålsenligheten av att tillämpa formeln för att lösa problem.

Lär dig hur du tillämpar Pick-formeln på problem av varierande komplexitet.

Jämför problem lösta med hjälp av Pick-formeln och det traditionella sättet.

Huvudsak

1.1. Historik referens

Georg Alexander Pick är en österrikisk matematiker född 10 augusti 1859. Han var begåvat barn, fick han undervisning av sin far, som ledde ett privat institut. Vid 16 tog Georg examen från gymnasiet och gick in på universitetet i Wien. Vid 20 års ålder fick han rätt att undervisa i fysik och matematik. Formeln för att bestämma arean av ett gitter av polygoner gav honom världsomspännande berömmelse. Han publicerade sin formel i en artikel 1899. Den blev populär när den polske vetenskapsmannen Hugo Steinhaus inkluderade den 1969 i en publikation med matematiska bilder.

Georg Pieck utbildades vid universitetet i Wien och avslutade sin doktorsexamen 1880. Efter att ha tagit sin doktorsexamen utnämndes han till assistent åt Ernest Mach vid Scherl-Ferdinand University i Prag. Där blev han lärare. Han stannade i Prag tills han gick i pension 1927 och återvände sedan till Wien.

Pick var ordförande för kommittén vid det tyska universitetet i Prag som utsåg Einstein till professor i matematisk fysik 1911.

Han valdes in som medlem av den tjeckiska akademin för vetenskap och konst, men uteslöts efter nazisternas övertagande av Prag.

När nazisterna gick in i Österrike den 12 mars 1938 återvände han till Prag. I mars 1939 invaderade nazisterna Tjeckoslovakien. Den 13 juli 1942 deporterades Pick till det av nazisterna upprättade lägret Theresienstadt i norra Böhmen, där han dog två veckor senare vid 82 års ålder.

1.2. Forskning och bevis

Jag började mitt forskningsarbete med att ställa frågan: Vilka områden av figurer kan jag hitta? Jag skulle kunna göra en formel för att beräkna arean av olika trianglar och fyrhörningar. Men vad sägs om fem-, sex- och i allmänhet med polygoner?

Under forskningen på olika platser såg jag lösningar på problem för att beräkna arean av fem-, sex- och andra polygoner. Formeln för att lösa dessa problem kallades Picks formel. Hon ser ut så här :S =B+G/2-1, var PÅ- antalet noder som ligger inuti polygonen, G- antalet noder som ligger på gränsen till polygonen. Det speciella med denna formel är att den bara kan tillämpas på polygoner ritade på rutigt papper.

Varje sådan polygon kan lätt delas in i trianglar med hörn vid gittrets noder, som inte innehåller några noder vare sig inuti eller på sidorna. Det kan visas att områdena för alla dessa trianglar är lika och lika med ½, och därför är polygonens area lika med hälften av deras antal T.

För att hitta detta tal betecknar vi med n antalet sidor av polygonen, med PÅ- antalet noder inuti den, genom Gär antalet noder på sidorna, inklusive hörnen. Den totala summan av vinklarna för alla trianglar är 180°. T.

Låt oss nu hitta summan på ett annat sätt.

Summan av vinklar med en vertex vid valfri inre nod är 2,180°, dvs. den totala summan av vinklarna är 360°. PÅ; den totala summan av vinklarna vid noderna på sidorna men inte vid hörnen är ( herr n)180°, och summan av vinklarna vid polygonens hörn kommer att vara lika med ( G-2)180°. Således, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Genom att utöka parenteserna och dividera med 360° får vi formeln för arean S av en polygon, känd som Picks formel.

2. Praktisk del

Jag bestämde mig för att kontrollera denna formel på uppgifter från OGE-2017-kollektionen. Jag tog uppgifter för att beräkna arean av en triangel, en fyrhörning och en femhörning. Jag bestämde mig för att jämföra svaren och lösa på två sätt: 1) Jag lade till figurerna till en rektangel och subtraherade arean av rätvinkliga trianglar från arean av den resulterande rektangeln; 2) tillämpade Peak-formeln.

S = 18-1,5-4,5 = 12 och S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 och S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 och S = 43+14/2-1 = 49

När jag jämför resultaten drar jag slutsatsen att båda formlerna ger samma svar. Att hitta arean för en figur med Peak-formeln visade sig vara snabbare och enklare, eftersom det fanns färre beräkningar. Lättheten att fatta beslut och spara tid på beräkningar kommer att vara användbart för mig i framtiden när jag klarar OGE.

Detta fick mig att testa möjligheten att tillämpa Pick-formeln på mer komplexa figurer.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Slutsats

Picks formel är lätt att förstå och lätt att använda. Först räcker det med att kunna räkna, dividera med 2, addera och subtrahera. För det andra kan du hitta området och en komplex figur utan att spendera mycket tid. För det tredje fungerar denna formel för alla polygoner.

Nackdelen är att plockformeln endast är tillämplig för figurer som är ritade på rutiga papper och hörnen ligger på cellernas noder.

Jag är säker på att problem med att beräkna arean av figurer inte kommer att orsaka svårigheter när jag klarar slutproven. Jag är trots allt redan bekant med Pick-formeln.

Bibliografi

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. etc. Matematik. Aritmetisk. Geometri. Årskurs 5: lärobok. för allmänbildning organisationer med app. till en elektron. bärare -3:e uppl.-M.: Upplysning, 2014.- 223, sid. : sjuk. - (Sfärer).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. etc. Matematik. Aritmetisk. Geometri. Årskurs 6: lärobok. för allmänbildning organisationer-5:e uppl.-M.: Utbildning, 2016.-240s. : ill.- (Sfärer).

Vasiliev N.B. Runt Pick-formeln. //Quantum.- 1974.-№2. -s.39-43

Rassolov V.V. Problem i planimetri. / 5:e uppl., korrigerad. Och extra. - M.: 2006.-640-talet.

I.V. Yaschenko, OGE. Matematik: typiska tentamensval: O-39 36 alternativ - M .: National Education Publishing House, 2017. -240 sid. - (OGE. FIPI-skola).

"Jag ska lösa OGE": matematik. Dmitry Gushchins träningssystem. OGE-2017: uppgifter, svar, lösningar [ Elektronisk resurs]. Åtkomstläge: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (tillgänglig 04/02/2017)

Bibliografisk beskrivning: Tatyanenko A. A., Tatyanenko S. A. Beräkning av områdena av figurer avbildade på rutigt papper // Ung vetenskapsman. - 2016. - Nr 3..03.2019).



Som förberedelse för det huvudsakliga statlig examen Jag mötte uppgifter där det krävs att beräkna arean av figuren avbildad på ett rutigt pappersark. Som regel orsakar dessa uppgifter inte stora svårigheter om figuren är en trapets, parallellogram eller triangel. Det räcker med att känna till formlerna för att beräkna arean av dessa figurer, räkna antalet celler och beräkna arean. Om figuren är någon godtycklig polygon, måste speciella knep användas här. Jag blev intresserad det här ämnet. Naturligtvis uppstod frågor: var i Vardagsliv kan det vara problem att beräkna ytor på rutiga papper? Vad är speciellt med sådana uppgifter? Finns det andra metoder eller en universell formel för att beräkna arean av geometriska former avbildade på rutigt papper?

Studiet av speciallitteratur och internetkällor visade att det finns en universell formel som låter dig beräkna arean av figuren som avbildas på cellen. Denna formel kallas Picks formel. Inom ramen för skolans läroplan övervägs dock inte denna formel, trots att den är lätt att använda och att få resultat. Dessutom genomförde jag en undersökning av vänner och klasskamrater (i två former: i ett personligt samtal och i sociala nätverk), där 43 elever från skolor i staden Tobolsk deltog. Denna undersökning visade att endast en person (en elev i årskurs 11) är bekant med Peak-formeln för beräkning av arealer.

Låt ett rektangulärt koordinatsystem ges. I detta system, betrakta en polygon som har heltalskoordinater. PÅ utbildningslitteratur punkter med heltalskoordinater kallas noder. Dessutom behöver polygonen inte vara konvex. Och låt det krävas för att bestämma dess område.

Följande fall är möjliga.

1. Figuren är en triangel, parallellogram, trapets:

1) räknar cellerna måste du hitta höjden, diagonalerna eller sidorna som krävs för att beräkna arean;

2) ersätt de hittade värdena i areaformeln.

Till exempel vill du beräkna arean av figuren som visas i figur 1 med en cellstorlek på 1 cm gånger 1 cm.

Ris. 1. Triangel

Beslut. Vi räknar cellerna och hittar: . Enligt formeln får vi: .

2 Figuren är en polygon

Om figuren är en polygon är det möjligt att använda följande metoder.

Partitionsmetod:

1) bryt polygonen i trianglar, rektanglar;

2) beräkna arean av de resulterande siffrorna;

3) hitta summan av alla areor av de erhållna figurerna.

Till exempel är det nödvändigt att beräkna arean av figuren som visas i figur 2 med en cellstorlek på 1 cm gånger 1 cm med hjälp av partitioneringsmetoden.

Ris. 2. Polygon

Beslut. Det finns många sätt att partitionera. Vi kommer att dela upp figuren räta trianglar och en rektangel som visas i figur 3.

Ris. 3. Polygon. Partitionsmetod

Arean av trianglarna är: , , , arean av rektangeln är . Lägga till områdena för alla figurer vi får:

Ytterligare konstruktionsmetod

1) komplettera figuren till en rektangel

2) hitta områdena för de erhållna ytterligare figurerna och området för själva rektangeln

3) subtrahera arean av alla "extra" figurer från arean av rektangeln.

Till exempel är det nödvändigt att beräkna arean av figuren som visas i figur 2 med en cellstorlek på 1 cm gånger 1 cm med hjälp av den extra konstruktionsmetoden.

Beslut. Låt oss bygga vår figur till en rektangel som visas i figur 4.

Ris. 4. Polygon. Komplementmetod

Arean av den stora rektangeln är , en rektangel placerad inuti - , områden med "extra" trianglar - , , då är ytan för den önskade figuren .

När man beräknar polygonernas ytor på rutigt papper är det möjligt att använda en annan metod, som kallas Pick-formeln, efter namnet på den forskare som upptäckte den.

Toppformel

Låt polygonen ritad på rutigt papper endast ha heltalshörn. Punkter för vilka båda koordinaterna är heltal kallas gitternoder. Dessutom kan polygonen vara både konvex och icke-konvex.

Arean av en polygon med heltalshörn är , där B är antalet heltalspunkter inuti polygonen, och Г är antalet heltalspunkter på polygonens gräns.

Till exempel för polygonen som visas i figur 5.

Ris. 5. Knutar i Pick's Formula

Till exempel vill du beräkna arean av figuren som visas i figur 2 med en cellstorlek på 1 cm gånger 1 cm med hjälp av Pick-formeln.

Ris. 6. Polygon. Toppformel

Beslut. Enligt figur 6: V=9, G=10, då har vi enligt toppformeln:

Nedan finns exempel på några uppgifter utvecklade av författaren för att beräkna arean av figurer avbildade på rutigt papper.

1. In dagis barn ansökte om sina föräldrar som gåva (bild 7). Hitta applikationsområdet. Storleken på varje cell är 1cm 1cm.

Ris. 7. Problemets tillstånd 1

2. En hektar granbestånd kan hålla upp till 32 ton damm per år, tall - upp till 35 ton, alm - upp till 43 ton, ek - upp till 50 ton. Bok - upp till 68 ton. Beräkna hur många ton av damm en granskog kommer att hålla om 5 år. Planen över granskogen visas i figur 8 (skala 1 cm - 200 m).

Ris. 8. Problemets tillstånd 2

3. Khanty och Mansi ornament domineras av geometriska motiv. Ofta finns stiliserade bilder av djur. Figur 9 visar ett fragment av Mansi-prydnaden "Hareöron". Beräkna området för den skuggade delen av prydnaden.

Ris. 9. Problemets tillstånd 3

4. Det krävs att man målar väggen i fabriksbyggnaden (Fig. 10). Beräkna den nödvändiga mängden vattenbaserad färg (i liter). Färgförbrukning: 1 liter per 7 kvm. meter Skala 1cm - 5m.

Ris. 10. Problemets tillstånd 4

5. Stjärnpolygon - en platt geometrisk figur som består av triangulära strålar som utgår från gemensamt centrum sammansmältning vid konvergenspunkten. särskild uppmärksamhet förtjänar femuddig stjärna- pentagram. Pentagrammet är en symbol för perfektion, intelligens, visdom och skönhet. Detta är den enklaste formen av en stjärna, som kan avbildas med ett enda penndrag, som aldrig sliter av papperet och samtidigt aldrig går två gånger längs samma linje. Rita en femuddig stjärna utan att lyfta pennan från ett rutigt papper, så att alla hörn av den resulterande polygonen är vid cellens noder. Beräkna arean av den resulterande figuren.

Efter att ha analyserat den matematiska litteraturen och analyserat Ett stort antal exempel på forskningsämnet kom jag till slutsatsen att valet av metod för att beräkna arean av en figur på rutigt papper beror på figurens form. Om figuren är en triangel, rektangel, parallellogram eller trapets, är det bekvämt att använda de välkända formlerna för beräkning av ytor. Om figuren är en konvex polygon är det möjligt att använda både partitionsmetoden och additionsmetoden (i de flesta fall är additionsmetoden mer bekväm). Om figuren är en icke-konvex eller stjärnformad polygon, är det bekvämare att tillämpa Pick-formeln.

Eftersom Picks formel är en universell formel för beräkning av ytor (om hörnen på en polygon är vid gitterpunkterna), kan den användas för vilken form som helst. Men om polygonen upptar en tillräckligt stor yta (eller cellerna är små), är det stor sannolikhet att göra ett fel i beräkningarna av gitternoder. I allmänhet kom jag under studiens gång till slutsatsen att när jag löser sådana problem i OGE är bättre använd traditionella metoder (partitioner eller tillägg) och kontrollera resultatet med hjälp av formeln Välj.

Litteratur:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Polygoner på galler. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 sid.
2. Vasiliev I. N. Around the Pick-formel// Populärvetenskaplig fysikalisk och matematisk tidskrift "Kvant". - 1974. - Nr 12. Åtkomstläge: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Geometri av rutigt papper. Toppformel. // Första september. Matematik. - 2009. - Nr 23. - s.24,25.

Wiktionary har en post för "pika" Pika I militära angelägenheter: Pika ett kallt genomborrande vapen, en typ av långt spjut. Pikemen är en typ av infanteri i de europeiska arméerna på 1500- och tidigt 1700-tal. Pickelhelm (s ... Wikipedia

Picks teorem (kombinatorisk geometri)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picks sats är ett klassiskt resultat av kombinatorisk geometri och talgeometri. Area av en polygon med ett heltal ... Wikipedia

Triangel- Denna term har andra betydelser, se Triangel (betydelser). En triangel (i det euklidiska rymden) är en geometrisk figur som bildas av tre linjesegment som förbinder tre icke-linjära punkter. Tre prickar, ... ... Wikipedia

Trapets- Denna term har andra betydelser, se Trapes (betydelser). Trapes (från annan grekisk τραπέζιον "tabell"; ... Wikipedia

Fyrsidig- QUADRANGLES ┌─────────────┼─────────────────┐ som inte samverkar med Wikipedia

Bigon- En vanlig digon på ytan av en sfär En digon i geometri är ... Wikipedia

Pentagon- Regelbunden femhörning (femhörning) En femhörning är en polygon med fem hörn. Alla föremål av denna form kallas också en femhörning. Mängden interna ... Wikipedia

Sexhörning- Vanlig hexagon En hexagon är en polygon med sex hörn. Alla föremål av denna form kallas också en hexagon. Summan av de inre vinklarna för en konvex hexagon p ... Wikipedia

Dodecagon- Korrekt dodecagon Dodecagon (grekiska ... Wikipedia

Rektangel En parallellogramrektangel där alla vinklar är räta (lika med 90 grader). Notera. I euklidisk geometri, för att en fyrhörning ska vara en rektangel, är det tillräckligt att minst tre av dess hörn är rätta. Det fjärde hörnet (i kraft av ... Wikipedia

Böcker

• Platåeffekt. Hur man övervinner stagnation och går vidare, Sullivan, B.
• Matematisk klubb "Känguru". Upplaga nr 8. Matematik på rutiga papper,. Numret är tillägnat olika uppgifter och spel relaterade till ett rutigt papper. I synnerhet tar det en detaljerad titt på att beräkna arean av en polygon vars hörn är belägna vid...

En polygon utan självskärningar kallas en gitterpolygon om alla dess hörn är i punkter med heltalskoordinater (i det kartesiska koordinatsystemet).

Picks teorem

Formel

Låt någon gitterpolygon med area som inte är noll ges.

Låt oss beteckna dess område med ; antalet punkter med heltalskoordinater som ligger strikt innanför polygongenomgången; antalet punkter med heltalskoordinater som ligger på sidorna av polygongenomgången.

Då ringde relationen Picks formel:

I synnerhet, om värdena för I och B är kända för någon polygon, kan dess yta beräknas som , även utan att känna till koordinaterna för dess hörn.

Detta samband upptäcktes och bevisades av den österrikiske matematikern Georg Alexander Pick 1899.

Bevis

Beviset görs i flera steg: från de enklaste figurerna till godtyckliga polygoner:

Generalisering till högre dimensioner

Tyvärr är denna enkla och vackra Pick-formel dåligt generaliserad till högre dimensioner.

Detta visades tydligt av Reeve, som 1957 föreslog att man skulle överväga tetraedern (nu kallad Reeve tetraeder) med följande hörn:

var är ett naturligt tal. Sedan innehåller denna tetraeder, för någon, inte en enda punkt med heltalskoordinater inuti, och på dess gräns finns det bara fyra punkter , , , och inga andra. Således kan volymen och ytarean för denna tetraeder vara olika, medan antalet punkter inuti och på gränsen är oförändrade; därför tillåter inte Picks formel generaliseringar ens till det tredimensionella fallet.

Ändå finns det fortfarande någon liknande generalisering till rum av högre dimension, det är det Earhart polynom(Ehrhart Polynomial), men de är mycket komplexa och beror inte bara på antalet punkter inuti och på figurens kant.