Skriv ekvationen för en rät linje från punkterna. Allmän ekvation för en rät linje: beskrivning, exempel, problemlösning

Låt två poäng ges M(X 1 ,På 1) och N(X 2,y 2). Låt oss hitta ekvationen för den räta linjen som går genom dessa punkter.

Eftersom denna linje går genom punkten M, då enligt formel (1.13) har dess ekvation formen

På – Y 1 = K(X-x 1),

Var Kär den okända lutningen.

Värdet på denna koefficient bestäms från villkoret att den önskade räta linjen passerar genom punkten N, vilket betyder att dess koordinater uppfyller ekvationen (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Härifrån kan du hitta lutningen på denna linje:

,

Eller efter konvertering

(1.14)

Formel (1.14) definierar Ekvation för en linje som går genom två punkter M(X 1, Y 1) och N(X 2, Y 2).

I det särskilda fallet när punkterna M(A, 0), N(0, B), MEN ¹ 0, B¹ 0, ligg på koordinataxlarna, ekvation (1.14) har en enklare form

Ekvation (1,15) kallad Ekvation för en rät linje i segment, här MEN och B beteckna segment avskurna av en rak linje på axlarna (Figur 1.6).

Figur 1.6

Exempel 1.10. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M(1, 2) och B(3, –1).

. Enligt (1.14) har ekvationen för den önskade räta linjen formen

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Genom att överföra alla termer till vänster sida får vi äntligen den önskade ekvationen

3X + 2Y – 7 = 0.

Exempel 1.11. Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt M(2, 1) och skärningspunkten för linjerna X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Vi hittar koordinaterna för linjernas skärningspunkt genom att lösa dessa ekvationer tillsammans

Om vi ​​adderar dessa ekvationer term för term får vi 2 X+ 1 = 0, varifrån . Genom att ersätta det hittade värdet i valfri ekvation hittar vi värdet på ordinatan På:

Låt oss nu skriva ekvationen för en rät linje som går genom punkterna (2, 1) och :

eller .

Därav eller -5( Y – 1) = X – 2.

Slutligen får vi ekvationen för den önskade räta linjen i formuläret X + 5Y – 7 = 0.

Exempel 1.12. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkter M(2.1) och N(2,3).

Med formeln (1.14) får vi ekvationen

Det är inte vettigt eftersom den andra nämnaren är noll. Det framgår av problemets tillstånd att bägge punkternas abskiss har samma värde. Följaktligen är den erforderliga linjen parallell med axeln OY och dess ekvation är: x = 2.

Kommentar . Om, när man skriver ekvationen för en rät linje enligt formel (1.14), en av nämnarna visar sig vara lika med noll, så kan den önskade ekvationen erhållas genom att likställa motsvarande täljare med noll.

Låt oss överväga andra sätt att sätta en rak linje på ett plan.

1. Låt en vektor som inte är noll vara vinkelrät mot en given linje L, och poängen M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje (Figur 1.7).

Figur 1.7

Beteckna M(X, Y) en godtycklig punkt på linjen L. Vektorer och Ortogonal. Genom att använda ortogonalitetsvillkoren för dessa vektorer får vi eller MEN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Vi har fått ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 är vinkelrät mot vektorn. Denna vektor kallas Normal vektor till en rak linje L. Den resulterande ekvationen kan skrivas om som

Åh + Wu + Med= 0, där Med = –(MENX 0 + Förbi 0), (1.16),

Var MEN och PÅär koordinaterna för normalvektorn.

Vi får den allmänna ekvationen för en rät linje i parametrisk form.

2. En linje på ett plan kan definieras enligt följande: låt en vektor som inte är noll vara parallell med en given linje L och prick M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje. Återigen, ta en godtycklig poäng M(X, y) på en rak linje (Figur 1.8).

Figur 1.8

Vektorer och kolinjär.

Låt oss skriva ner tillståndet för kollinearitet för dessa vektorer: , där Tär ett godtyckligt tal som kallas en parameter. Låt oss skriva denna likhet i koordinater:

Dessa ekvationer kallas Parametriska ekvationer Hetero. Låt oss utesluta parametern från dessa ekvationer T:

Dessa ekvationer kan skrivas i formen

. (1.18)

Den resulterande ekvationen kallas Den kanoniska ekvationen för en rät linje. Vector samtal Riktning vektor rak .

Kommentar . Det är lätt att se att if är normalvektorn till linjen L, då kan dess riktningsvektor vara vektorn , eftersom , dvs.

Exempel 1.13. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0(1, 1) parallellt med linje 3 X + 2På– 8 = 0.

Beslut . Vektorn är normalvektorn till de givna och önskade linjerna. Låt oss använda ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 med en given normalvektor 3( X –1) + 2(På– 1) = 0 eller 3 X + 2 år- 5 \u003d 0. Vi fick ekvationen för den önskade räta linjen.

Låt den räta linjen passera genom punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2). Ekvationen för en rät linje som går genom punkten M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

var k - fortfarande okänd koefficient.

Eftersom den räta linjen passerar genom punkten M 2 (x 2 y 2), måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Härifrån hittar vi Substituting the found value k i ekvation (10.6) får vi ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 och M 2:

Det antas att i denna ekvation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Om x 1 \u003d x 2, är den räta linjen som går genom punkterna M 1 (x 1, y I) och M 2 (x 2, y 2) parallell med y-axeln. Dess ekvation är x = x 1 .

Om y 2 \u003d y I, så kan ekvationen för den räta linjen skrivas som y \u003d y 1, den räta linjen M 1 M 2 är parallell med x-axeln.

Ekvation för en rät linje i segment

Låt den räta linjen skära Ox-axeln i punkten M 1 (a; 0), och Oy-axeln - vid punkten M 2 (0; b). Ekvationen kommer att ha formen:
de där.
. Denna ekvation kallas ekvationen för en rät linje i segment, eftersom siffrorna a och b anger vilka segment den räta linjen skär av på koordinataxlarna.

Ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor

Hitta ekvationen för den räta linjen som går igenom given poäng Mo (x O; y o) är vinkelrät mot den givna icke-nollvektorn n = (A; B).

Ta en godtycklig punkt M(x; y) på den räta linjen och betrakta vektorn M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Eftersom vektorerna n och M o M är vinkelräta, är deras skalära produkt lika med noll: det vill säga,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ekvation (10.8) kallas ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor .

Vektorn n = (A; B) vinkelrät mot linjen kallas normal normal vektor för denna linje .

Ekvation (10.8) kan skrivas om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

där A och B är koordinaterna för normalvektorn, C \u003d -Ax o - Vu o - fri medlem. Ekvation (10.9) är den allmänna ekvationen för en rät linje(se fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniska ekvationer för den räta linjen

,

Var
är koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och
- riktningsvektor.

Kurvor av andra ordningens cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i ett plan på samma avstånd från en given punkt, som kallas centrum.

Kanonisk ekvation för en cirkel med radie R centrerad på en punkt
:

I synnerhet, om insatsens centrum sammanfaller med ursprunget, kommer ekvationen att se ut så här:

Ellips

En ellips är en uppsättning punkter i ett plan, summan av avstånden från var och en av dem till två givna punkter och , som kallas foci, är ett konstant värde
, större än avståndet mellan brännpunkterna
.

Den kanoniska ekvationen för en ellips vars härdar ligger på Ox-axeln och vars ursprung är i mitten mellan härdarna har formen
G de a längden på den stora halvaxeln; b är längden av den mindre halvaxeln (fig. 2).

Egenskaper för en rät linje i euklidisk geometri.

Det finns oändligt många linjer som kan dras genom vilken punkt som helst.

Genom två icke sammanfallande punkter finns det bara en rak linje.

Två icke-sammanfallande linjer i planet antingen skär varandra vid en enda punkt, eller är

parallell (följer av den föregående).

Det finns tre alternativ i 3D-rymden. relativ position två raka linjer:

• linjer skär varandra;

• raka linjer är parallella;

• raka linjer skär varandra.

Hetero linje- algebraisk kurva av första ordningen: i det kartesiska koordinatsystemet, en rät linje

ges på planet av en ekvation av första graden (linjär ekvation).

Allmän ekvation hetero.

Definition. Vilken linje som helst i planet kan ges av en första ordningens ekvation

Ah + Wu + C = 0,

och konstant A, B inte lika med noll samtidigt. Denna första ordningens ekvation kallas allmän

rak linje ekvation. Beroende på konstanternas värden A, B och Med Följande specialfall är möjliga:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går genom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- rät linje parallellt med axeln Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rät linje parallellt med axeln OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen sammanfaller med axeln OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen sammanfaller med axeln Åh

Ekvationen för en rät linje kan representeras i olika former beroende på någon given

initiala förhållanden.

Ekvation av en rät linje med en punkt och en normalvektor.

Definition. I ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrät mot linjen som ges av ekvationen

Ah + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom en punkt A(1, 2) vinkelrätt mot vektorn (3, -1).

Beslut. Låt oss komponera vid A \u003d 3 och B \u003d -1 ekvationen för den räta linjen: 3x - y + C \u003d 0. För att hitta koefficienten C

vi ersätter koordinaterna för den givna punkten A i det resulterande uttrycket.Vi får: 3 - 2 + C = 0, därför

C = -1. Totalt: önskad ekvation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ekvation för en rät linje som går genom två punkter.

Låt två poäng ges i rymden M 1 (x 1, y 1, z 1) och M2 (x 2, y2, z 2), sedan rak linje ekvation,

passerar genom dessa punkter:

Om någon av nämnarna är lika med noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll. På

plan, är ekvationen för en rät linje skriven ovan förenklad:

om x 1 ≠ x 2 och x = x 1, om x 1 = x 2 .

Fraktion = k kallad lutning faktor hetero.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).

Beslut. Genom att tillämpa formeln ovan får vi:

Ekvation av en rät linje med en punkt och en lutning.

Om den allmänna ekvationen för en rät linje Ah + Wu + C = 0 ta med till formuläret:

och utse , sedan anropas den resulterande ekvationen

ekvation för en rät linje med lutning k.

Ekvationen för en rät linje på en punkt och en riktningsvektor.

I analogi med punkten med tanke på ekvationen av en rät linje genom normalvektorn, kan du gå in i uppgiften

en rät linje genom en punkt och en riktningsvektor för en rät linje.

Definition. Varje vektor som inte är noll (α 1 , α 2), vars komponenter uppfyller villkoret

Aa1 + Ba2 = 0 kallad riktningsvektor för den räta linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med riktningsvektor (1, -1) och passerar genom punkt A(1, 2).

Beslut. Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade räta linjen i formen: Axe + By + C = 0. Enligt definitionen,

koefficienter måste uppfylla villkoren:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Då har ekvationen för en rät linje formen: Axe + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. önskad ekvation:

x + y - 3 = 0

Ekvation för en rät linje i segment.

Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, då, dividerat med -C, får vi:

eller var

geometrisk känsla koefficienter genom att koefficienten a är koordinaten för skärningspunkten

rak med axel Åh, a b- koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och axeln OU.

Exempel. Den allmänna ekvationen för en rät linje ges x - y + 1 = 0. Hitta ekvationen för denna räta linje i segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalekvationen för en rät linje.

Om båda sidor av ekvationen Ah + Wu + C = 0 dividera med tal , som kallas

normaliserande faktor, då får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalekvationen för en rät linje.

Tecknet ± för den normaliserande faktorn måste väljas så att μ * C< 0.

R- längden på den vinkelräta som faller från origo till linjen,

a φ - vinkeln som bildas av denna vinkelrät mot axelns positiva riktning Åh.

Exempel. Givet den allmänna ekvationen för en rät linje 12x - 5y - 65 = 0. Krävs för att skriva Olika typer ekvationer

denna raka linje.

Ekvationen för denna räta linje i segment:

Ekvationen för denna linje med lutning: (diva med 5)

Ekvation för en rät linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det bör noteras att inte varje rät linje kan representeras av en ekvation i segment, till exempel räta linjer,

parallellt med axlarna eller passerar genom origo.

Vinkel mellan linjer på ett plan.

Definition. Om två rader ges y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sedan den spetsiga vinkeln mellan dessa linjer

kommer att definieras som

Två linjer är parallella if k 1 = k 2. Två raka linjer är vinkelräta,

om k 1 \u003d -1 / k 2 .

Sats.

Direkt Ah + Wu + C = 0 och A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0är parallella när koefficienterna är proportionella

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Om också С 1 \u003d λС, då sammanfaller linjerna. Koordinater för skärningspunkten mellan två linjer

hittas som en lösning på ekvationssystemet för dessa linjer.

Ekvationen för en linje som går genom en given punkt är vinkelrät mot en given linje.

Definition. En linje som går genom en punkt M 1 (x 1, y 1) och vinkelrätt mot linjen y = kx + b

representeras av ekvationen:

Avståndet från en punkt till en linje.

Sats. Om en poäng ges M(x 0, y 0), sedan avståndet till linjen Ah + Wu + C = 0 definierad som:

Bevis. Låt poängen M 1 (x 1, y 1)- basen av vinkelrät föll från punkten M för en given

direkt. Sedan avståndet mellan punkterna M och M 1:

(1)

Koordinater x 1 och 1 kan hittas som en lösning på ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt

given rad. Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Ekvation för en rät linje som går genom två punkter. I artikeln" " Jag lovade dig att analysera det andra sättet att lösa de presenterade problemen för att hitta derivatan, med en given funktionsgraf och en tangent till denna graf. Vi kommer att utforska denna metod i , missa inte! Varför Nästa?

Faktum är att formeln för ekvationen för en rät linje kommer att användas där. Naturligtvis kan man helt enkelt visa denna formel och råda dig att lära dig den. Men det är bättre att förklara var det kommer ifrån (hur det är härlett). Det är nödvändigt! Om du glömmer det, återställ det snabbtkommer inte att vara svårt. Allt är detaljerat nedan. Så vi har två punkter A på koordinatplanet(x 1; y 1) och B (x 2; y 2), en rät linje dras genom de angivna punkterna:

Här är den direkta formeln:

*Det vill säga, när vi ersätter punkternas specifika koordinater får vi en ekvation av formen y=kx+b.

** Om denna formel helt enkelt är "memorerad", är det stor sannolikhet att man blir förvirrad med index när X. Dessutom kan index betecknas på olika sätt, till exempel:

Det är därför det är viktigt att förstå innebörden.

Nu härledningen av denna formel. Allt är väldigt enkelt!

Trianglarna ABE och ACF liknar varandra i vasst hörn(det första tecknet på likhet räta trianglar). Det följer av detta att förhållandena mellan de motsvarande elementen är lika, det vill säga:

Nu uttrycker vi helt enkelt dessa segment i termer av skillnaden i punkternas koordinater:

Naturligtvis blir det inget fel om du skriver förhållandena mellan elementen i en annan ordning (det viktigaste är att behålla korrespondensen):

Resultatet är samma ekvation av en rät linje. Det är allt!

Det vill säga, oavsett hur själva punkterna (och deras koordinater) betecknas, om du förstår denna formel, kommer du alltid att hitta ekvationen för en rät linje.

Formeln kan härledas med hjälp av egenskaperna hos vektorer, men principen för härledning kommer att vara densamma, eftersom vi kommer att prata om proportionaliteten hos deras koordinater. I det här fallet fungerar samma likhet med räta trianglar. Enligt min åsikt är slutsatsen som beskrivs ovan mer förståelig)).

Visa utdata via vektorkoordinater >>>

Låt en rät linje konstrueras på koordinatplanet som går genom två givna punkter A (x 1; y 1) och B (x 2; y 2). Låt oss markera en godtycklig punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betecknar också två vektorer:

Det är känt att för vektorer som ligger på parallella linjer (eller på en linje), är deras motsvarande koordinater proportionella, det vill säga:

- vi skriver likheten mellan förhållandena mellan motsvarande koordinater:

Tänk på ett exempel:

Hitta ekvationen för en rät linje som går genom två punkter med koordinater (2;5) och (7:3).

Du kan inte ens bygga själva linjen. Vi tillämpar formeln:

Det är viktigt att du fångar korrespondensen när du tar upp förhållandet. Du kan inte gå fel om du skriver:

Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

För att se till att den resulterande ekvationen hittas korrekt, se till att kontrollera den - ersätt datakoordinaterna i den i punkternas tillstånd. Du bör få korrekta jämlikheter.

Det är allt. Jag hoppas att materialet var användbart för dig.

Med vänlig hälsning, Alexander.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

Den här artikeln fortsätter ämnet för ekvationen för en rät linje på ett plan: vi kommer att överväga en sådan typ av ekvation som den allmänna ekvationen för en rät linje. Låt oss definiera ett teorem och ge dess bevis; Låt oss ta reda på vad en ofullständig allmän ekvation för en rät linje är och hur man gör övergångar från en allmän ekvation till andra typer av ekvationer för en rät linje. Vi kommer att konsolidera hela teorin med illustrationer och lösa praktiska problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Låt ett rektangulärt koordinatsystem O x y ges på planet.

Sats 1

Varje ekvation av första graden, med formen A x + B y + C \u003d 0, där A, B, C är några reella tal (A och B är inte lika med noll samtidigt) definierar en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem på planet. I sin tur bestäms vilken linje som helst i ett rektangulärt koordinatsystem på planet av en ekvation som har formen A x + B y + C = 0 för en viss uppsättning värden A, B, C.

Bevis

Denna sats består av två punkter, vi kommer att bevisa var och en av dem.

1. Låt oss bevisa att ekvationen A x + B y + C = 0 definierar en linje på planet.

Låt det finnas någon punkt M 0 (x 0 , y 0) vars koordinater motsvarar ekvationen A x + B y + C = 0 . Alltså: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahera från vänster och höger sida av ekvationerna A x + B y + C \u003d 0 vänster och höger sida av ekvationen A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, vi får en ny ekvation som ser ut som A (x - x 0) + B (y - y0) = 0 . Det är ekvivalent med A x + B y + C = 0 .

Den resulterande ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Således definierar uppsättningen av punkter M (x, y) i ett rektangulärt koordinatsystem en rät linje vinkelrät mot riktningen för vektorn n → = (A, B) . Vi kan anta att det inte är så, men då skulle vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) inte vara vinkelräta, och likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 skulle inte vara sant.

Därför definierar ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 en viss linje i ett rektangulärt koordinatsystem på planet, och därför den ekvivalenta ekvationen A x + B y + C \u003d 0 definierar samma linje. Därmed har vi bevisat den första delen av satsen.

1. Låt oss bevisa att vilken rät linje som helst i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan kan ges av en ekvation av första graden A x + B y + C = 0 .

Låt oss sätta en rät linje a i ett rektangulärt koordinatsystem på planet; punkt M 0 (x 0 , y 0) genom vilken denna linje passerar, samt normalvektorn för denna linje n → = (A , B) .

Låt det också finnas någon punkt M (x , y) - en flytande punkt på linjen. I detta fall är vektorerna n → = (A , B) och M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vinkelräta mot varandra, och deras skalära produkt är noll:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Låt oss skriva om ekvationen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiera C: C = - A x 0 - B y 0 och slutligen få ekvationen A x + B y + C = 0 .

Så vi har bevisat den andra delen av satsen, och vi har bevisat hela satsen som helhet.

Definition 1

En ekvation som ser ut A x + B y + C = 0 - Det här generell ekvation för en rät linje på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystemO x y .

Baserat på den bevisade satsen kan vi dra slutsatsen att en rät linje som ges på ett plan i ett fast rektangulärt koordinatsystem och dess allmänna ekvation är oupplösligt sammanlänkade. Med andra ord, den ursprungliga linjen motsvarar dess allmänna ekvation; den allmänna ekvationen för en rät linje motsvarar en given rät linje.

Det följer också av beviset för satsen att koefficienterna A och B för variablerna x och y är koordinaterna för den räta linjens normalvektor, som ges av den allmänna ekvationen för den räta linjen A x + B y + C = 0.

Betrakta ett specifikt exempel på den allmänna ekvationen för en rät linje.

Låt ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0 ges, vilket motsvarar en rät linje i ett givet rektangulärt koordinatsystem. Den normala vektorn för denna linje är vektorn n → = (2, 3). Rita en given rak linje i ritningen.

Följande kan också argumenteras: den räta linjen som vi ser på ritningen bestäms av den allmänna ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0, eftersom koordinaterna för alla punkter på en given rät linje motsvarar denna ekvation.

Vi kan få ekvationen λ A x + λ B y + λ C = 0 genom att multiplicera båda sidor av den allmänna räta linjeekvationen med talet λ, inte noll-. Den resulterande ekvationen är ekvivalent med den ursprungliga allmänna ekvationen, därför kommer den att beskriva samma linje i planet.

Definition 2

Komplettera den allmänna ekvationen för en rät linje- en sådan generell ekvation av linjen A x + B y + C \u003d 0, där talen A, B, C är icke-noll. Annars är ekvationen Ofullständig.

Låt oss analysera alla variationer av den ofullständiga allmänna ekvationen för den räta linjen.

1. När A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, blir den allmänna ekvationen B y + C \u003d 0. En sådan ofullständig generell ekvation definierar en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem O x y som är parallell med O x-axeln, eftersom för varje reellt värde på x kommer variabeln y att ta på sig värdet - C B . Med andra ord, den allmänna ekvationen för linjen A x + B y + C \u003d 0, när A \u003d 0, B ≠ 0, definierar platsen för punkter (x, y) vars koordinater är lika med samma nummer - C B .
2. Om A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, blir den allmänna ekvationen y \u003d 0. En sådan ofullständig ekvation definierar x-axeln O x .
3. När A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, får vi en ofullständig generell ekvation A x + C \u003d 0, som definierar en rät linje parallell med y-axeln.
4. Låt A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, då kommer den ofullständiga allmänna ekvationen att ha formen x \u003d 0, och detta är ekvationen för koordinatlinjen O y.
5. Slutligen, när A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, har den ofullständiga allmänna ekvationen formen A x + B y \u003d 0. Och denna ekvation beskriver en rät linje som går genom origo. Faktum är att talparet (0 , 0) motsvarar likheten A x + B y = 0 , eftersom A · 0 + B · 0 = 0 .

Låt oss grafiskt illustrera alla ovanstående typer av den ofullständiga allmänna ekvationen för en rät linje.

Exempel 1

Det är känt att den givna räta linjen är parallell med y-axeln och går genom punkten 2 7 , - 11 . Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för en given rät linje.

Beslut

En rät linje parallell med y-axeln ges av en ekvation av formen A x + C \u003d 0, där A ≠ 0. Villkoret specificerar också koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och koordinaterna för denna punkt motsvarar villkoren för den ofullständiga allmänna ekvationen A x + C = 0 , dvs. jämställdhet är korrekt:

A27 + C = 0

Det är möjligt att bestämma C från det genom att ge A ett värde som inte är noll, till exempel A = 7 . I det här fallet får vi: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Vi känner till båda koefficienterna A och C, ersätter dem med ekvationen A x + C = 0 och får den nödvändiga ekvationen för linjen: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Exempel 2

Ritningen visar en rak linje, det är nödvändigt att skriva ner dess ekvation.

Beslut

Den givna ritningen gör att vi enkelt kan ta de första uppgifterna för att lösa problemet. Vi ser på ritningen att den givna linjen är parallell med O x-axeln och går genom punkten (0 , 3).

Den räta linjen, som är parallell med abskissan, bestäms av den ofullständiga allmänna ekvationen B y + С = 0. Hitta värdena för B och C. Koordinaterna för punkten (0, 3), eftersom den givna räta linjen passerar genom den, kommer att uppfylla ekvationen för den räta linjen B y + С = 0, då är likheten giltig: В · 3 + С = 0. Låt oss sätta B till något annat värde än noll. Låt oss säga B \u003d 1, i det här fallet, från likheten B · 3 + C \u003d 0 kan vi hitta C: C \u003d - 3. Vi använder kända värden B och C får vi den erforderliga ekvationen för linjen: y - 3 = 0.

Svar: y - 3 = 0 .

Allmän ekvation för en rät linje som går genom en given punkt i planet

Låt den givna linjen passera genom punkten M 0 (x 0, y 0), då motsvarar dess koordinater linjens allmänna ekvation, dvs. likheten är sann: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahera vänster och höger sida av denna ekvation från vänster och höger sida av generalen fullständig ekvation hetero. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, denna ekvation är ekvivalent med den ursprungliga allmänna, passerar genom punkten M 0 (x 0, y 0) och har en normal vektor n → \u003d (A, B) .

Resultatet som vi har erhållit gör det möjligt att skriva den allmänna ekvationen för en rät linje för kända koordinater för den räta linjens normalvektor och koordinaterna för en viss punkt på denna räta linje.

Exempel 3

Givet en punkt M 0 (- 3, 4) genom vilken linjen passerar, och normalvektorn för denna linje n → = (1, -2). Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för en given rät linje.

Beslut

De initiala förhållandena tillåter oss att erhålla nödvändiga data för att kompilera ekvationen: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sedan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunde ha lösts annorlunda. Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen A x + B y + C = 0 . Den givna normalvektorn låter dig få värdena för koefficienterna A och B, då:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Hitta nu värdet på C med hjälp av ges av tillståndet problempunkt M 0 (- 3 , 4) genom vilken linjen passerar. Koordinaterna för denna punkt motsvarar ekvationen x - 2 · y + C = 0 , dvs. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Alltså C = 11. Den nödvändiga räta linjeekvationen har formen: x - 2 · y + 11 = 0 .

Svar: x - 2 y + 11 = 0 .

Exempel 4

Givet en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 och en punkt M 0 som ligger på denna linje. Endast abskissan för denna punkt är känd, och den är lika med - 3. Det är nödvändigt att bestämma ordinatan för den givna punkten.

Beslut

Låt oss sätta beteckningen för koordinaterna för punkten M 0 som x 0 och y 0 . De initiala uppgifterna indikerar att x 0 \u003d - 3. Eftersom punkten tillhör en given linje, så motsvarar dess koordinater den allmänna ekvationen för denna linje. Då kommer följande jämställdhet att vara sant:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiera y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Övergång från den allmänna ekvationen för en rät linje till andra typer av ekvationer för en rät linje och vice versa

Som vi vet finns det flera typer av ekvationen för samma räta linje i planet. Valet av ekvationstyp beror på problemets förutsättningar; det är möjligt att välja den som är mer bekväm för sin lösning. Det är här skickligheten att omvandla en ekvation av ett slag till en ekvation av ett annat slag kommer väl till pass.

Betrakta först övergången från den allmänna ekvationen av formen A x + B y + C = 0 till den kanoniska ekvationen x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Om A ≠ 0 överför vi termen B y till höger sida av den allmänna ekvationen. På vänster sida tar vi A ur parentes. Som ett resultat får vi: A x + C A = - B y .

Denna likhet kan skrivas som en proportion: x + C A - B = y A .

Om B ≠ 0 lämnar vi bara termen A x på vänster sida av den allmänna ekvationen, vi överför de andra till höger sida, vi får: A x \u003d - B y - C. Vi tar ut - B ur parentes, sedan: A x \u003d - B y + C B.

Låt oss skriva om likheten som en proportion: x - B = y + C B A .

Naturligtvis finns det inget behov av att memorera de resulterande formlerna. Det räcker att känna till algoritmen för åtgärder under övergången från den allmänna ekvationen till den kanoniska.

Exempel 5

Den allmänna ekvationen för linjen 3 y - 4 = 0 ges. Det måste konverteras till en kanonisk ekvation.

Beslut

Vi skriver den ursprungliga ekvationen som 3 y - 4 = 0 . Därefter agerar vi enligt algoritmen: termen 0 x förblir på vänster sida; och på höger sida tar vi ut - 3 ur parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Låt oss skriva den resulterande likheten som en proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Således har vi fått en ekvation av den kanoniska formen.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

För att omvandla den allmänna ekvationen för en rät linje till parametriska, går man först över till kanonisk form, och sedan övergången från den räta linjens kanoniska ekvation till parametriska ekvationer.

Exempel 6

Den räta linjen ges av ekvationen 2 x - 5 y - 1 = 0 . Skriv ner de parametriska ekvationerna för denna linje.

Beslut

Låt oss göra övergången från den allmänna ekvationen till den kanoniska:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Låt oss nu ta båda delarna av den resulterande kanoniska ekvationen lika med λ, då:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den allmänna ekvationen kan konverteras till ekvationen för en rät linje med lutning y \u003d k x + b, men bara när B ≠ 0. För övergången på vänster sida lämnar vi termen B y , resten överförs till höger. Vi får: B y = - A x - C . Låt oss dividera båda delarna av den resulterande likheten med B , som skiljer sig från noll: y = - A B x - C B .

Exempel 7

Den allmänna ekvationen för en rät linje ges: 2 x + 7 y = 0 . Du måste konvertera den ekvationen till en lutningsekvation.

Beslut

Låt oss utföra de nödvändiga åtgärderna enligt algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = - 2 7 x .

Från den allmänna ekvationen för en rät linje räcker det att helt enkelt få en ekvation i segment av formen x a + y b \u003d 1. För att göra en sådan övergång överför vi talet C till höger sida av likheten, dividerar båda delarna av den resulterande likheten med - С och, slutligen, överför koefficienterna för variablerna x och y till nämnarna:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exempel 8

Det är nödvändigt att omvandla den allmänna ekvationen för den räta linjen x - 7 y + 1 2 = 0 till ekvationen för en rät linje i segment.

Beslut

Låt oss flytta 1 2 till höger sida: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Dividera med -1/2 på båda sidor av ekvationen: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

I allmänhet är den omvända övergången också lätt: från andra typer av ekvationer till den allmänna.

Ekvationen för en rät linje i segment och ekvationen med en lutning kan enkelt omvandlas till en generell genom att helt enkelt samla alla termer på vänster sida av ekvationen:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniska ekvationen konverteras till den allmänna enligt följande schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

För att gå från det parametriska utförs först övergången till det kanoniska och sedan till det allmänna:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exempel 9

De parametriska ekvationerna för den räta linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 ges. Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för denna linje.

Beslut

Låt oss göra övergången från parametriska ekvationer till kanoniska:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Låt oss gå från kanoniskt till allmänt:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Exempel 10

Ekvationen för en rät linje i segment x 3 + y 1 2 = 1 ges. Det är nödvändigt att göra övergången till allmän syn ekvationer.

Beslut:

Låt oss bara skriva om ekvationen i den form som krävs:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Rita upp en generell ekvation för en rät linje

Ovan sa vi att den allmänna ekvationen kan skrivas med kända koordinater för normalvektorn och koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar. En sådan rät linje definieras av ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . På samma ställe analyserade vi motsvarande exempel.

Låt oss nu ta en titt på mer komplexa exempel, där det först är nödvändigt att bestämma koordinaterna för normalvektorn.

Exempel 11

Givet en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Också känd är punkten M 0 (4 , 1) genom vilken den givna linjen passerar. Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för en given rät linje.

Beslut

De initiala förhållandena säger oss att linjerna är parallella, och som normalvektor för linjen vars ekvation måste skrivas tar vi riktningsvektorn för linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Nu vet vi alla nödvändiga data för att komponera den allmänna ekvationen för en rät linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exempel 12

Den givna linjen går genom origo vinkelrätt mot linjen x - 2 3 = y + 4 5 . Det är nödvändigt att skriva den allmänna ekvationen för en given rät linje.

Beslut

Normalvektorn för den givna linjen kommer att vara riktningsvektorn för linjen x - 2 3 = y + 4 5 .

Sedan n → = (3 , 5) . Den räta linjen går genom origo, d.v.s. genom punkten O (0, 0) . Låt oss komponera den allmänna ekvationen för en given rät linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter