Znajdź pochodną równania. Kalkulator online. Znajdź (z rozwiązaniem) pochodną funkcji
Zadanie znalezienia pochodnej danej funkcji jest jednym z głównych w toku matematyki Liceum i wyżej instytucje edukacyjne. Nie da się w pełni zbadać funkcji, zbudować jej wykresu bez obliczania jej pochodnej. Pochodną funkcji można łatwo znaleźć, jeśli znasz podstawowe zasady różniczkowania, a także tablicę pochodnych funkcji głównych. Zastanówmy się, jak znaleźć pochodną funkcji.
Pochodna funkcji nazywana jest granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera.
Trudno jest zrozumieć tę definicję, ponieważ pojęcie limitu nie jest w pełni poznane w szkole. Ale żeby znaleźć pochodne różnych funkcji, nie trzeba rozumieć definicji, zostawmy to matematykom i przejdźmy od razu do znalezienia pochodnej.
Proces znajdowania pochodnej nazywamy różniczkowaniem. Rozróżniając funkcję, otrzymamy nową funkcję.
Aby je oznaczyć, użyjemy listy f, g, itd.
Istnieje wiele różnych notacji dla instrumentów pochodnych. Użyjemy udaru. Na przykład wpis g” oznacza, że znajdziemy pochodną funkcji g.
Tabela pochodna
Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć pochodną, należy podać tablicę pochodnych funkcji głównych. Aby obliczyć pochodne funkcji elementarnych, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń. Wystarczy spojrzeć na jego wartość w tabeli instrumentów pochodnych.
- (sinx)”=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (ex)"=ex
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji y=500.
Widzimy, że to jest stałe. Z tabeli pochodnych wiadomo, że pochodna stałej jest równa zeru (wzór 1).
Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji y=x 100 .
to funkcja zasilania w której wykładnik wynosi 100 i aby znaleźć jej pochodną, należy pomnożyć funkcję przez wykładnik i zmniejszyć go o 1 (wzór 3).
(x 100)"=100 x 99
Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji y=5 x
Jest to funkcja wykładnicza, jej pochodną obliczamy za pomocą wzoru 4.
Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji y= log 4 x
Znajdujemy pochodną logarytmu za pomocą wzoru 7.
(log 4 x)"=1/x log 4
Zasady różnicowania
Zastanówmy się teraz, jak znaleźć pochodną funkcji, jeśli nie ma jej w tabeli. Większość z badanych funkcji nie jest elementarnych, lecz jest kombinacjami funkcji elementarnych przy użyciu najprostszych operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i mnożenie przez liczbę). Aby znaleźć ich pochodne, musisz znać zasady różniczkowania. Ponadto litery f i g oznaczają funkcje, a C jest stałą.
1. Ze znaku pochodnej można wyprowadzić stały współczynnik
Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji y= 6*x 8
Wyciągamy stały współczynnik 6 i różnicujemy tylko x 4 . Jest to funkcja potęgowa, której pochodną znajdujemy zgodnie ze wzorem 3 tabeli pochodnych.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych
(f + g)"=f" + g"
Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 + sin x
Funkcja jest sumą dwóch funkcji, których pochodne możemy znaleźć z tabeli. Ponieważ (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Pochodna sumy będzie równa sumie tych pochodnych:
(x 100 + grzech x)"= 100 x 99 + cos x
3. Pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych
(f – g)"=f" – g"
Przykład 7. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 - cos x
Ta funkcja jest różnicą dwóch funkcji, których pochodne również możemy znaleźć w tabeli. Wtedy pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych i nie zapomnij zmienić znaku, ponieważ (cos x) "= - sin x.
(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x
Przykład 8. Znajdź pochodną funkcji y=e x +tg x– x 2 .
Ta funkcja ma zarówno sumę, jak i różnicę, znajdujemy pochodne każdego wyrazu:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Wtedy pochodna pierwotnej funkcji to:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Pochodna produktu
(f * g)"=f" * g + f * g"
Przykład 9. Znajdź pochodną funkcji y= cos x *e x
Aby to zrobić, najpierw znajdź pochodną każdego czynnika (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x . Teraz zastąpmy wszystko formułą produktu. Pomnóż pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodaj iloczyn pierwszej funkcji przez pochodną drugiej.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Pochodna ilorazu
(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2
Przykład 10. Znajdź pochodną funkcji y= x 50 / sin x
Aby znaleźć pochodną ilorazu, najpierw znajdź osobno pochodną licznika i mianownika: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Zastępując we wzorze pochodną ilorazu otrzymujemy:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
Pochodna funkcji złożonej
Funkcja złożona to funkcja reprezentowana przez złożenie kilku funkcji. Aby znaleźć pochodną funkcji zespolonej, istnieje również reguła:
(u(v))"=u"(v)*v"
Zobaczmy, jak znaleźć pochodną takiej funkcji. Niech y= u(v(x)) będzie funkcją złożoną. Funkcja u będzie nazywana zewnętrzna, a v - wewnętrzna.
Na przykład:
y=sin (x 3) jest funkcją złożoną.
Wtedy y=sin(t) jest funkcją zewnętrzną
t=x 3 - wewnętrzny.
Spróbujmy obliczyć pochodną tej funkcji. Zgodnie ze wzorem należy pomnożyć pochodne funkcji wewnętrznej i zewnętrznej.
(sin t)"=cos (t) - pochodna funkcji zewnętrznej (gdzie t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - pochodna funkcji wewnętrznej
Wtedy (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 jest pochodną funkcji zespolonej.
Pierwszy poziom
Pochodna funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)
Wyobraź sobie prostą drogę przechodzącą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę iw dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, to linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:
Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako niego poziomu morza.
Posuwając się do przodu taką drogą, poruszamy się również w górę lub w dół. Możemy też powiedzieć: gdy zmienia się argument (poruszanie się wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (poruszanie się wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromo” naszej drogi? Jaka może być ta wartość? Bardzo proste: o ile zmieni się wysokość podczas poruszania się do przodu o określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, posuwając się do przodu (wzdłuż osi odciętej) przez jeden kilometr, wznosimy się lub opadamy o inna kwota metrów względem poziomu morza (wzdłuż osi y).
Oznaczamy postęp do przodu (czytaj „delta x”).
Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - to jest zmiana wielkości, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana rozmiaru.
Ważne: wyrażenie to pojedyncza jednostka, jedna zmienna. Nigdy nie należy odrywać „delty” od „x” ani żadnej innej litery! Czyli na przykład .
Tak więc posunęliśmy się do przodu, poziomo, dalej. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Oczywiście, . Oznacza to, że idąc naprzód, wznosimy się wyżej.
Łatwo policzyć wartość: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przemieszczeniu byliśmy na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazał się niższy niż punkt początkowy, będzie ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, ale schodzimy.
Powrót do „stromo”: jest to wartość, która wskazuje, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu na jednostkę odległości:
Załóżmy, że na jakimś odcinku ścieżki, posuwając się o kilometr, droga podnosi się o kilometr. Wtedy stromość w tym miejscu jest równa. A jeśli droga, posuwając się o m, zatonie o kilometr? Wtedy nachylenie jest równe.
Rozważmy teraz szczyt wzgórza. Jeśli weźmiesz początek odcinka pół kilometra do góry, a koniec pół kilometra za nim, zobaczysz, że wysokość jest prawie taka sama.
To znaczy, zgodnie z naszą logiką, okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Wiele może się zmienić w odległości kilku kilometrów. Należy wziąć pod uwagę mniejsze obszary, aby uzyskać bardziej adekwatne i dokładne oszacowanie stromości. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości podczas poruszania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – w końcu, jeśli na środku drogi stoi słup, możemy się przez niego po prostu prześlizgnąć. Jaką odległość zatem wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!
W prawdziwe życie zmierzenie odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczające. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego koncepcja była: nieskończenie mały, to znaczy, że wartość modulo jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jeden bilionowy! O ile mniej? I dzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że wartość jest nieskończenie mała, piszemy tak: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest równa zero! Ale bardzo blisko. Oznacza to, że można go podzielić na.
Pojęcie przeciwne do nieskończenie małego jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już zetknąłeś się z tym, gdy pracowałeś nad nierównościami: ta liczba jest większa pod względem modułu niż jakakolwiek liczba, którą możesz wymyślić. Jeśli wymyślisz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze więcej. A nieskończoność to nawet więcej niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są odwrotne do siebie, to znaczy w i odwrotnie: w.
Teraz wróćmy na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego segmentu ścieżki, czyli:
Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości również będzie nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie małe nie znaczy zero. Jeśli podzielisz nieskończenie małe liczby przez siebie, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład. Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie dwa razy większa od innej.
Po co to wszystko? Droga, stromizna... Nie jedziemy na rajd, ale uczymy się matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej nazywane.
Pojęcie pochodnej
Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu przy nieskończenie małym przyrostie argumentu.
Przyrost w matematyce nazywa się zmianą. Jak bardzo zmienił się argument () podczas poruszania się wzdłuż osi jest nazywany przyrost argumentów i oznaczony jako Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas poruszania się do przodu wzdłuż osi o odległość jest wywoływana przyrost funkcji i jest oznaczony.
Zatem pochodną funkcji jest relacja do kiedy. Pochodną oznaczamy taką samą literą jak funkcja, tylko kreską od góry po prawej: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, używając tych notacji:
Podobnie jak w analogii do drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.
Ale czy pochodna jest równa zeru? Oczywiście. Na przykład, jeśli jedziemy po płaskiej poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. Rzeczywiście, wysokość wcale się nie zmienia. Czyli z pochodną: pochodna funkcji stałej (stałej) jest równa zeru:
ponieważ przyrost takiej funkcji wynosi zero dla każdego.
Weźmy przykład ze szczytu wzgórza. Okazało się, że można było ułożyć końce segmentu po przeciwnych stronach wierzchołka w taki sposób, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli segment był równoległy do osi:
Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wtedy jego długość się zmniejszy.
W końcu, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostała równoległa do osi, to znaczy różnica wysokości na jej końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Więc pochodna
Można to rozumieć w następujący sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost pomijalnie.
Jest też wyjaśnienie czysto algebraiczne: po lewej stronie od góry funkcja rośnie, a po prawej maleje. Jak już wcześniej dowiedzieliśmy się, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (bo droga nie zmienia nigdzie ostro swojego nachylenia). Dlatego między negatywem a wartości dodatnie musi być. Będzie tam, gdzie funkcja ani nie wzrasta, ani nie maleje - w punkcie wierzchołka.
To samo dotyczy doliny (obszar, w którym funkcja zmniejsza się z lewej strony, a zwiększa z prawej):
Trochę więcej o przyrostach.
Więc zmieniamy argument na wartość. Z jakiej wartości się zmieniamy? Czym się teraz (argument) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy z niego tańczyć.
Rozważ punkt ze współrzędną. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie robimy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaki jest teraz argument? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie idzie argument, funkcja idzie tam: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: to wciąż kwota, o jaką zmieniła się funkcja:
Przećwicz znajdowanie przyrostów:
- Znajdź przyrost funkcji w punkcie z przyrostem argumentu równym.
- To samo dla funkcji w punkcie.
Rozwiązania:
W różnych punktach, z tym samym przyrostem argumentu, przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie ma swoją własną (o tym mówiliśmy na samym początku - stromość drogi w różnych punktach jest różna). Dlatego pisząc pochodną musimy wskazać w którym momencie:
Funkcja zasilania.
Funkcja potęgowa nazywana jest funkcją, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).
I - w dowolnym zakresie: .
Najprostszy przypadek to wykładnik:
Znajdźmy jego pochodną w punkcie. Zapamiętaj definicję pochodnej:
Tak więc argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?
Przyrost jest. Ale funkcja w dowolnym momencie jest równa jej argumentowi. Dlatego:
Pochodna to:
Pochodna to:
b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .
A teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, ponieważ jest nieskończenie mała, a więc nieistotna na tle innego wyrazu:
Mamy więc kolejną zasadę:
c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .
Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. Spróbuj zrobić to sam w dowolny z sugerowanych sposobów.
Tak więc otrzymałem:
I pamiętajmy o tym jeszcze raz. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:
Otrzymujemy: .
d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:
e) Okazuje się, że regułę tę można uogólnić na funkcję potęgową z dowolnym wykładnikiem, a nawet liczbą całkowitą:
| (2) |
Możesz sformułować regułę słowami: „stopień jest przesuwany do przodu jako współczynnik, a następnie maleje o”.
Tę zasadę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Spójrzmy teraz na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:
- (na dwa sposoby: według wzoru i wykorzystując definicję pochodnej - przez obliczenie przyrostu funkcji);
- . Wierzcie lub nie, to jest funkcja władzy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? A gdzie jest stopień? ”, Zapamiętaj temat„ ”!
Tak, tak, korzeń to także stopień, tylko ułamkowy:.
Więc nasze Pierwiastek kwadratowy to tylko stopień z wykładnikiem:
.
Pochodnej szukamy według niedawno poznanego wzoru:Jeśli w tym momencie znowu stanie się niejasne, powtórz temat „” !!! (około stopnia ze wskaźnikiem ujemnym)
- . Teraz wykładnik:
A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
;
.
Teraz jak zwykle pomijamy termin zawierający:
. - . Połączenie poprzednich spraw: .
funkcje trygonometryczne.
Tutaj użyjemy jednego faktu z wyższej matematyki:
Kiedy wyrażenie.
Dowód poznasz w pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, trzeba dobrze zdać egzamin). Teraz pokażę to tylko graficznie:
Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje - punkt na wykresie jest przebijany. Ale im bliżej wartości, tym bliżej funkcji.To jest właśnie „dążenie”.
Dodatkowo możesz sprawdzić tę zasadę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, jeszcze nie jesteśmy na egzaminie.
Więc spróbujmy: ;
Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!
itp. Widzimy, że im mniejszy, tym bliżej wartości stosunku.
a) Rozważ funkcję. Jak zwykle znajdujemy jego przyrost:
Zamieńmy różnicę sinusów w iloczyn. Aby to zrobić, używamy formuły (pamiętaj o temacie „”):.
Teraz pochodna:
Zróbmy podstawienie: . Wtedy dla nieskończenie małego jest również nieskończenie mały: . Wyrażenie for przyjmuje postać:
A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co jeśli nieskończenie małą wartość można pominąć w sumie (to znaczy w).
Więc dostajemy następna zasada:pochodna sinusa jest równa cosinusowi:
Są to podstawowe („tablicowe”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:
Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, bo są najczęściej używane.
Ćwiczyć:
- Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
- Znajdź pochodną funkcji.
Rozwiązania:
- Najpierw znajdujemy pochodną w ogólna perspektywa, a następnie zastąp go jego wartością:
;
. - Tutaj mamy coś podobnego do funkcji potęgowej. Spróbujmy doprowadzić ją do
normalny widok:
.
Ok, teraz możesz skorzystać ze wzoru:
.
. - . Eeeeeee….. Co to jest????
Ok, masz rację, nadal nie wiemy, jak znaleźć takie pochodne. Tutaj mamy kombinację kilku rodzajów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:
Wykładnik i logarytm naturalny.
W matematyce istnieje taka funkcja, której pochodna dla każdego jest równa wartości samej funkcji dla tego samego. Nazywa się „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą
Podstawą tej funkcji jest stała - jest nieskończona dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera”, dlatego jest oznaczona literą.
Więc zasadą jest:
Bardzo łatwo to zapamiętać.
Cóż, nie zajdziemy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Jaka jest odwrotność funkcji wykładniczej? Logarytm:
W naszym przypadku podstawą jest liczba:
Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy logarytmem „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.
Co jest równe? Oczywiście, .
Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:
Przykłady:
- Znajdź pochodną funkcji.
- Jaka jest pochodna funkcji?
Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi pod względem pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą omówimy później, po przejrzyjmy zasady różnicowanie.
Zasady różnicowania
Jakie zasady? Znowu nowy termin?!...
Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.
Tylko i wszystko. Jakie jest inne słowo na ten proces? Not proizvodnovanie... Różniczka matematyki nazywana jest samym przyrostem funkcji przy. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.
Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebne będą nam również formuły na ich przyrosty:
W sumie jest 5 zasad.
Stała jest pobierana ze znaku pochodnej.
Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.
Oczywiście ta zasada działa również na różnicę: .
Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.
Przykłady.
Znajdź pochodne funkcji:
- w punkcie;
- w punkcie;
- w punkcie;
- w punkcie.
Rozwiązania:
- (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);
Pochodna produktu
Tutaj wszystko jest podobnie: wprowadzamy nową funkcję i znajdujemy jej przyrost:
Pochodna:
Przykłady:
- Znajdź pochodne funkcji i;
- Znajdź pochodną funkcji w punkcie.
Rozwiązania:
Pochodna funkcji wykładniczej
Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś jeszcze, co to jest?).
Więc gdzie jest jakaś liczba.
Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy przenieść naszą funkcję do nowej bazy:
Do tego używamy prosta zasada: . Następnie:
Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest złożona.
Stało się?
Tutaj sprawdź sam:
Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.
Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:
Odpowiedzi:
To tylko liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie ma sposobu, aby zapisać ją w więcej prosta forma. Dlatego w odpowiedzi pozostaje w tej formie.
Pochodna funkcji logarytmicznej
Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:
Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmu o innej podstawie, na przykład :
Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:
Dopiero teraz zamiast napiszemy:
Mianownik okazał się po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują na egzaminie, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.
Pochodna funkcji zespolonej.
Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko się ułoży), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.
Wyobraź sobie mały przenośnik: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Na przykład pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony przedmiot: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.
Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Więc dają nam numer (czekolada), ja znajduję jego cosinus (opakowanie), a potem podbijasz to, co mam (wiążę wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: kiedy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co stało się w wyniku pierwszej.
Równie dobrze możemy wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja złożone funkcje: kiedy zmieniasz kolejność działań, zmienia się funkcja.
Innymi słowy, Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .
W pierwszym przykładzie .
Drugi przykład: (to samo). .
Ostatnia akcja, którą wykonamy, zostanie nazwana funkcja „zewnętrzna”, a czynność wykonywana jako pierwsza - odpowiednio funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).
Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:
Odpowiedzi: Rozdzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji
- Jakie działania podejmiemy w pierwszej kolejności? Najpierw obliczamy sinus, a dopiero potem podnosimy go do sześcianu. Jest to więc funkcja wewnętrzna, a nie zewnętrzna.
A pierwotną funkcją jest ich skład: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.
No to teraz wydobędziemy naszą czekoladę - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W oryginalnym przykładzie wygląda to tak:
Inny przykład:
Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
Wszystko wydaje się proste, prawda?
Sprawdźmy na przykładach:
Rozwiązania:
1) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
2) Wewnętrzne: ;
(tylko nie próbuj teraz zmniejszać! Nic nie jest wyjęte spod cosinusa, pamiętasz?)
3) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
Od razu widać, że istnieje tutaj trzypoziomowa funkcja złożona: w końcu jest to już złożona funkcja sama w sobie i nadal wydobywamy z niej korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma się czego bać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.
Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.
W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować akcje. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:
Im później zostanie wykonana akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:
Tutaj zagnieżdżenie jest ogólnie 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.
1. Radykalna ekspresja. .
2. Korzeń. .
3. Zatok. .
4. Kwadrat. .
5. Łącząc to wszystko w całość:
POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM
Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:
Podstawowe pochodne:
Zasady różnicowania:
Stała jest brana ze znaku pochodnej:
Pochodna sumy:
Produkt pochodny:
Pochodna ilorazu:
Pochodna funkcji zespolonej:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
- Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
- Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
- Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.
Na której przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój – materiał nie jest łatwy, ale nadal postaram się przedstawić go prosto i przejrzyście.
W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.
Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różnicowania funkcji złożonej:
Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.
Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).
! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.
Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji
Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej bezpośrednio z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:
W tym przykładzie już intuicyjnie wynika z moich wyjaśnień, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcja wewnętrzna(osadzenie) oraz - funkcja zewnętrzna.
Pierwszy krok, które należy wykonać, gdy wyznaczamy pochodną funkcji zespolonej to zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.
W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli to nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.
Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna).
Co najpierw obliczamy? Po pierwsze będziesz musiał wykonać następującą akcję: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną: 
Po drugie musisz znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną: 
Po tym, jak my ROZUMIESZ z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas na zastosowanie reguły różnicowania funkcji złożonych 
.
Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - ujmujemy wyrażenie w nawiasy i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:
Pierwszy znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:
Zauważ, że wewnętrzna funkcja się nie zmieniła, nie dotykamy tego.
Cóż, to dość oczywiste
Wynik zastosowania formuły 
czysty wygląda tak:
Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:
Jeśli jest jakieś nieporozumienie, zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Jak zawsze piszemy: 
Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że wielomian jest funkcją wewnętrzną: 
I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną: 
Zgodnie ze wzorem 
, najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Poszukujemy pożądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej 
następny:
Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmienia: 
Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).
Aby skonsolidować rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję to rozgryźć samodzielnie, rozum, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?
Przykład 5
a) Znajdź pochodną funkcji
b) Znajdź pochodną funkcji
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. W ten sposób najpierw sprowadzamy funkcję do odpowiedniej postaci do zróżnicowania:
Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej 
:
Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:
Gotowy. Możesz również sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyska się nieporęczne długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).
Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu 
, ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na nietypową perwersję. Oto typowy przykład:
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz skorzystać z zasady różniczkowania ilorazu 
, ale o wiele bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej przez zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wyjmujemy znak minus pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:
Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły 
:
Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, cofamy cosinus w dół:
Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły 
, odpowiedzi muszą się zgadzać.
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).
Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżone są jednocześnie 3 lub nawet 4-5 funkcji.
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy ocenić wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej . Jak moglibyśmy liczyć na kalkulator?
Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:
Ten arcus sinus jedności powinien być następnie podniesiony do kwadratu:
I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi: 
Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja to arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.
Zaczynamy decydować
Zgodnie z regułą 
najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Czyli wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej 
następny.
Jak obliczyć pochodną, jak obliczyć pochodną? W tej lekcji dowiemy się, jak znaleźć pochodne funkcji. Ale przed zapoznaniem się z tą stroną zdecydowanie zalecam zapoznanie się z materiałem metodologicznym.Gorące formuły kurs szkolny matematyka. Podręcznik referencyjny można otworzyć lub pobrać ze strony Wzory matematyczne i tabele . Również stamtąd potrzebujemyTabela pochodna, lepiej to wydrukować, często będziesz musiał się do niego odwoływać i to nie tylko teraz, ale także offline.
Jest? Zacznijmy. Mam dla Ciebie dwie wiadomości: dobrą i bardzo dobrą. Dobrą wiadomością jest to, że aby nauczyć się znajdować instrumenty pochodne, wcale nie trzeba znać i rozumieć, czym jest instrument pochodny. Co więcej, definicja pochodnej funkcji, matematyczne, fizyczne, geometryczne znaczenie pochodnej jest bardziej celowe do późniejszego przetrawienia, ponieważ jakościowe badanie teorii, moim zdaniem, wymaga zbadania wielu innych tematów, a także trochę praktycznego doświadczenia.
A teraz naszym zadaniem jest techniczne opanowanie tych właśnie pochodnych. Bardzo dobrą wiadomością jest to, że nauka liczenia pochodnych nie jest taka trudna, istnieje dość jasny algorytm rozwiązywania (i wyjaśniania) tego zadania, na przykład całki lub granice są trudniejsze do opanowania.
Doradzam następującą kolejność studiowania tematu: po pierwsze, Ten artykuł. Następnie musisz przeczytać najważniejszą lekcję Pochodna funkcji złożonej . Te dwie podstawowe klasy pozwolą ci podnieść swoje umiejętności od podstaw. Ponadto w artykule będzie można zapoznać się z bardziej złożonymi pochodnymi. złożone pochodne.
pochodna logarytmiczna. Jeśli poprzeczka jest zbyt wysoka, najpierw przeczytaj artykuł pierwotniaki typowe zadania z pochodną. Oprócz nowego materiału lekcja obejmowała inne, więcej proste typy pochodnych i jest świetna okazja, aby poprawić swoją technikę różnicowania. Poza tym w praca kontrolna prawie zawsze istnieją zadania polegające na znalezieniu pochodnych funkcji, które są określone niejawnie lub parametrycznie. Jest też samouczek na ten temat: Pochodne funkcji uwikłanych i zdefiniowanych parametrycznie.
Spróbuję w przystępnej formie, krok po kroku, nauczyć Cię, jak znaleźć pochodne funkcji. Wszystkie informacje są przedstawione szczegółowo, prostymi słowami.
Właściwie od razu rozważ przykład: Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji Rozwiązanie: 
to najprostszy przykład, proszę go znaleźć w tabeli pochodnych funkcji elementarnych. Spójrzmy teraz na rozwiązanie i przeanalizujmy, co się stało? I wydarzyła się następująca rzecz:
mieliśmy funkcję , która w wyniku rozwiązania przekształciła się w funkcję.
Całkiem proste, znaleźć pochodną
funkcje, musisz zmienić je w inną funkcję zgodnie z określonymi zasadami . Spójrz jeszcze raz na tabelę instrumentów pochodnych – tam funkcje zamieniają się w inne funkcje. jedyny
wyjątkiem jest funkcja wykładnicza, która
zamienia się w siebie. Operacja znajdowania pochodnej nazywa sięróżnicowanie.
Notacja: pochodną oznaczono lub.
UWAGA, WAŻNE! Zapominanie o wykonaniu kresu (gdzie jest to konieczne) lub wyciągnięcie dodatkowego kresu (tam, gdzie nie jest to konieczne) to WIELKI BŁĄD! Funkcja i jej pochodna to dwie różne funkcje!
Wróćmy do naszej tabeli instrumentów pochodnych. Z tego stołu jest pożądane zapamiętać: zasady różniczkowania i pochodne niektórych funkcji elementarnych, w szczególności:
pochodna stałej:
Gdzie jest stała liczba; pochodna funkcji potęgowej:
W szczególności:,,.
Dlaczego zapamiętywać? Ta wiedza jest podstawową wiedzą o instrumentach pochodnych. A jeśli nie potrafisz odpowiedzieć na pytanie nauczyciela „Jaka jest pochodna liczby?”, to dla Ciebie studia na uniwersytecie mogą się dla Ciebie skończyć (ja znam dwa prawdziwe przypadki z życia). Ponadto są to najczęstsze formuły, z których musimy korzystać niemal za każdym razem, gdy napotykamy pochodne.
W W rzeczywistości proste przykłady tabelaryczne są rzadkie, zwykle przy znajdowaniu pochodnych stosuje się najpierw reguły różniczkowania, a następnie tabelę pochodnych funkcji elementarnych.
W W związku z tym zwracamy się do rozważeniazasady różnicowania:
1) Ze znaku pochodnej można (i należy) wyjąć stałą liczbę
Gdzie jest liczbą stałą (stałą) Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Patrzymy na tabelę instrumentów pochodnych. Istnieje pochodna cosinusa, ale mamy .
Czas skorzystać z reguły, wyjmujemy czynnik stały poza znakiem pochodnej:
A teraz odwracamy nasz cosinus zgodnie z tabelą:
Cóż, pożądane jest trochę „przeczesanie” wyniku - umieść minus na pierwszym miejscu, jednocześnie pozbywając się nawiasów:
2) Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych
Znajdź pochodną funkcji
My decydujemy. Jak zapewne już zauważyłeś, pierwszą czynnością, która jest zawsze wykonywana podczas znajdowania pochodnej, jest umieszczenie całego wyrażenia w nawiasach i wstawienie myślnika w prawym górnym rogu:
Stosujemy drugą zasadę:
Należy pamiętać, że w celu zróżnicowania wszystkie pierwiastki, stopnie muszą być reprezentowane jako , a jeśli są w mianowniku, to
przenieś je w górę. Jak to zrobić, jest omówione w moich materiałach metodologicznych.
Przypomnijmy teraz pierwszą zasadę różniczkowania - wyjmujemy czynniki stałe (liczby) poza znakiem pochodnej:
Zwykle podczas rozwiązywania te dwie zasady są stosowane jednocześnie (aby nie przepisywać ponownie długiego wyrażenia).
Wszystkie funkcje pod myślnikami są podstawowymi funkcjami tabelowymi, korzystając z tabeli wykonujemy transformację:
Możesz zostawić wszystko w tej formie, ponieważ nie ma już kresek, a pochodna została znaleziona. Jednak wyrażenia takie jak to zwykle upraszczają:
Pożądane jest, aby ponownie przedstawić wszystkie stopnie gatunku jako korzenie,
stopnie z ujemnymi wykładnikami - zresetuj do mianownika. Chociaż nie możesz tego zrobić, nie będzie to błąd.
Znajdź pochodną funkcji 
Spróbuj sam rozwiązać ten przykład (odpowiedz na końcu lekcji).
3) Pochodna iloczynu funkcji
Wydaje się, że analogicznie formuła nasuwa się sama…., ale niespodzianką jest to, że:
Ta niezwykła zasada(jak w rzeczywistości inni) wynika z definicje pochodnej. Ale na razie poczekamy z teorią - teraz ważniejsze jest nauczenie się rozwiązywania:
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj mamy iloczyn dwóch funkcji w zależności od . Najpierw stosujemy naszą dziwną regułę, a następnie przekształcamy funkcje zgodnie z tablicą pochodnych:
Trudny? Wcale nie, całkiem przystępne nawet jak na czajniczek.
Znajdź pochodną funkcji
Ta funkcja zawiera sumę i iloczyn dwóch funkcji - trójmianu kwadratowego i logarytmu. Ze szkoły pamiętamy, że mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem.
Tutaj jest tak samo. NAJPIERW stosujemy zasadę różnicowania produktu:
Teraz dla nawiasu używamy dwóch pierwszych zasad:
W wyniku zastosowania reguł różniczkowania pod kreskami pozostały nam tylko funkcje elementarne, zgodnie z tabelą pochodnych zamieniamy je na inne funkcje:
Mając pewne doświadczenie w znajdowaniu instrumentów pochodnych, wydaje się, że proste instrumenty pochodne nie muszą być opisywane tak szczegółowo. Na ogół są one zwykle rozwiązywane ustnie i od razu odnotowuje się, że 
.
Znajdź pochodną funkcji 
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji)
4) Pochodna funkcji prywatnych
W suficie otworzył się właz, nie bój się, to usterka. A oto trudna rzeczywistość:
Znajdź pochodną funkcji
Czego tu nie ma - suma, różnica, iloczyn, ułamek .... Od czego powinienem zacząć?! Są wątpliwości, nie ma wątpliwości, ale W KAŻDYM PRZYPADKU najpierw narysuj nawiasy i uderz w prawym górnym rogu:
Teraz spójrzmy na wyrażenie w nawiasach, jak moglibyśmy je uprościć? W tym przypadku zwracamy uwagę na czynnik, który zgodnie z pierwszą zasadą wskazane jest wyjęcie go ze znaku pochodnej:
Jednocześnie pozbywamy się nawiasów w liczniku, które nie są już potrzebne. Ogólnie rzecz biorąc, stałe czynniki w znajdowaniu pochodnej