Jeśli istnieje wartość wyrażenia liczbowego, to wyrażenie. Wyrażenia liczbowe. Porównywanie wyrażeń liczbowych

Pisanie warunków zadania za pomocą notacji przyjętej w matematyce prowadzi do pojawienia się tak zwanych wyrażeń matematycznych, które nazywamy po prostu wyrażeniami. W tym artykule omówimy szczegółowo wyrażenia liczbowe, literałowe i zmienne: podamy definicje i podamy przykłady wyrażeń każdego typu.

Nawigacja po stronach.

Wyrażenia liczbowe - co to jest?

Znajomość wyrażeń liczbowych zaczyna się prawie od pierwszych lekcji matematyki. Ale ich nazwa - wyrażenia liczbowe - oficjalnie nabywają nieco później. Na przykład, jeśli podążasz za kursem M. I. Moro, dzieje się to na stronach podręcznika do matematyki dla klasy 2. Tam reprezentacja wyrażeń liczbowych jest podana w następujący sposób: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 itd. - to wszystko wyrażenia numeryczne, a jeśli wykonamy wskazane w wyrażeniu czynności, to znajdziemy wartość wyrażenia.

Można stwierdzić, że na tym etapie nauki matematyki wyrażenia liczbowe nazywa się zapisami o znaczeniu matematycznym, złożonymi z liczb, nawiasów oraz znaków dodawania i odejmowania.

Nieco później, po zapoznaniu się z mnożeniem i dzieleniem, wpisy wyrażeń liczbowych zaczynają zawierać znaki „·” i „:”. Oto kilka przykładów: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 itd.

A w liceum różnorodność wpisów dla wyrażeń liczbowych rośnie jak śnieżka tocząca się z góry. Ułamki zwykłe i dziesiętne, liczby mieszane i liczby ujemne, stopnie, pierwiastki, logarytmy, sinusy, cosinusy i tak dalej.

Podsumujmy wszystkie informacje zawarte w definicji wyrażenia liczbowego:

Definicja.

Wyrażenie numeryczne jest kombinacją liczb, znaków operacji arytmetycznych, kresek ułamkowych, znaków pierwiastków (rodników), logarytmów, zapisu funkcji trygonometrycznych, odwrotnych funkcji trygonometrycznych i innych, a także nawiasów i innych specjalnych symboli matematycznych, zestawionych zgodnie z zasadami przyjętymi w matematyka.

Wyjaśnijmy wszystkie części składowe definicji dźwięcznej.

W wyrażeniach liczbowych mogą brać udział absolutnie dowolne liczby: od naturalnych do rzeczywistych, a nawet złożonych. Oznacza to, że w wyrażeniach liczbowych można się spotkać

Wszystko jest jasne ze znakami operacji arytmetycznych - są to odpowiednio znaki dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w postaci „+”, „−”, „·” i „:”. W wyrażeniach liczbowych może występować jeden z tych znaków, niektóre z nich lub wszystkie naraz i więcej niż jeden raz. Oto przykłady wyrażeń liczbowych z nimi: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41-2 4:2-5+12 3 2:2:3:12-1/12.

Jeśli chodzi o nawiasy, istnieją zarówno wyrażenia liczbowe, w których występują nawiasy, jak i wyrażenia bez nich. Jeśli w wyrażeniu liczbowym występują nawiasy, to w zasadzie są to

A czasami nawiasy w wyrażeniach liczbowych mają określony, osobno wskazany cel specjalny. Na przykład możesz znaleźć nawiasy kwadratowe oznaczające część całkowitą liczby, więc wyrażenie liczbowe +2 oznacza, że ​​liczba 2 jest dodawana do części całkowitej liczby 1,75.

Z definicji wyrażenia liczbowego wynika również, że wyrażenie może zawierać , , log , ln , lg , oznaczenia itp. Oto przykłady wyrażeń liczbowych z nimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 i .

Podział w wyrażeniach liczbowych można oznaczyć . W tym przypadku istnieją wyrażenia liczbowe z ułamkami. Oto przykłady takich wyrażeń: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 i .

Jako specjalne symbole matematyczne i zapisy, które można znaleźć w wyrażeniach liczbowych, podajemy. Na przykład pokażmy wyrażenie liczbowe z modułem .

Co to są wyrażenia dosłowne?

Pojęcie wyrażeń dosłownych podaje się niemal natychmiast po zapoznaniu się z wyrażeniami liczbowymi. Wprowadza się to w ten sposób. W pewnym wyrażeniu liczbowym nie zapisuje się jednej z liczb, ale w jej miejsce wstawia się okrąg (lub kwadrat lub coś podobnego) i mówi się, że można zastąpić okrąg pewną liczbą. Weźmy ten wpis jako przykład. Jeśli umieścisz na przykład liczbę 2 zamiast kwadratu, otrzymasz wyrażenie liczbowe 3 + 2. Więc zamiast kółek, kwadratów itp. zgodził się pisać listy, a takie wyrażenia z literami nazywano wyrażenia dosłowne. Wróćmy do naszego przykładu, jeśli w tym wpisie zamiast kwadratu umieścimy literę a, to otrzymamy dosłowne wyrażenie postaci 3+a.

Tak więc, jeśli w wyrażeniu liczbowym dopuścimy obecność liter oznaczających pewne liczby, otrzymamy tak zwane wyrażenie dosłowne. Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Wyrażenie zawierające litery oznaczające niektóre liczby nazywa się dosłowne wyrażenie.

Z ta definicja jasne jest, że zasadniczo wyrażenie dosłowne różni się od wyrażenia liczbowego tym, że może zawierać litery. Zwykle w wyrażeniach dosłownych używane są małe litery alfabetu łacińskiego (a, b, c, ...), a przy oznaczaniu kątów małe litery alfabetu greckiego (α, β, γ, ...).

Tak więc wyrażenia dosłowne mogą składać się z liczb, liter i zawierać wszystkie symbole matematyczne, które można znaleźć w wyrażeniach liczbowych, takie jak nawiasy, znaki pierwiastków, logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne itp. Osobno podkreślamy, że wyrażenie dosłowne zawiera co najmniej jedną literę. Ale może również zawierać kilka identycznych lub różnych liter.

Teraz podajemy kilka przykładów wyrażeń dosłownych. Na przykład a+b to wyrażenie dosłowne z literami a i b . Oto kolejny przykład wyrażenia dosłownego 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. I podajemy przykład dosłownego wyrażenia formy złożonej: .

Wyrażenia ze zmiennymi

Jeśli w wyrażeniu dosłownym litera oznacza wartość, która nie przyjmuje żadnej określonej wartości, ale może przyjąć różne znaczenia, wtedy ten list nazywa się zmienny a wyrażenie nazywa się wyrażenie zmienne.

Definicja.

Wyrażenie ze zmiennymi to wyrażenie dosłowne, w którym litery (wszystkie lub niektóre) oznaczają ilości, które przyjmują różne wartości.

Np. niech w wyrażeniu x 2 −1 litera x może przyjmować dowolne wartości naturalne z przedziału od 0 do 10, wtedy x jest zmienną, a wyrażenie x 2 −1 jest wyrażeniem ze zmienną x .

Warto zauważyć, że w wyrażeniu może być kilka zmiennych. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę x i y jako zmienne, to wyrażenie jest wyrażeniem z dwiema zmiennymi x i y .

Ogólnie rzecz biorąc, przejście od pojęcia wyrażenia dosłownego do wyrażenia ze zmiennymi następuje w 7 klasie, kiedy zaczynają uczyć się algebry. Do tego momentu wyrażenia dosłowne modelowały pewne specyficzne zadania. W algebrze zaczynają patrzeć na wyrażenie bardziej ogólnie, bez odniesienia do konkretnego zadania, rozumiejąc, że wyrażenie to pasuje do ogromnej liczby zadań.

Kończąc ten akapit, zwróćmy uwagę na jeszcze jedną kwestię: według wygląd zewnętrzny wyrażenie dosłowne, nie można stwierdzić, czy litery w nim zawarte są zmiennymi, czy nie. Dlatego nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy uznali te litery za zmienne. W tym przypadku znika różnica między terminami „wyrażenie dosłowne” i „wyrażenie ze zmiennymi”.

Bibliografia.

• Matematyka. 2 komórki Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje z przym. do elektronu. nośnik. O godzinie 2, część 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i inni] - wyd. - M.: Edukacja, 2012. - 96 s.: chor. - (Szkoła Rosji). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Studiując temat wyrażeń liczbowych, dosłownych i wyrażeń ze zmiennymi, należy zwrócić uwagę na koncepcję wartość wyrażenia. W tym artykule odpowiemy na pytanie, jaka jest wartość wyrażenia liczbowego, a co nazywa się wartością wyrażenia dosłownego i wyrażenia ze zmiennymi z wybranymi wartościami zmiennych. Aby wyjaśnić te definicje, podajemy przykłady.

Nawigacja po stronach.

Jaka jest wartość wyrażenia liczbowego?

Znajomość wyrażeń liczbowych zaczyna się niemal od pierwszych lekcji matematyki w szkole. Niemal natychmiast wprowadza się pojęcie „wartości wyrażenia liczbowego”. Odnosi się do wyrażeń składających się z liczb połączonych znakami arytmetycznymi (+, −, ·, :). Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Wartość wyrażenia liczbowego- jest to liczba, którą uzyskuje się po wykonaniu wszystkich czynności w oryginalnym wyrażeniu liczbowym.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe 1+2 . Po wykonaniu otrzymujemy liczbę 3 , jest to wartość wyrażenia liczbowego 1+2 .

Często w wyrażeniu „wartość wyrażenia liczbowego” pomija się słowo „liczbowe”, a mówią po prostu „wartość wyrażenia”, ponieważ nadal jest jasne, o które wyrażenie chodzi.

Powyższa definicja znaczenia wyrażenia odnosi się również do wyrażeń liczbowych o bardziej złożonej formie, których uczy się w szkole średniej. W tym miejscu należy zauważyć, że można spotkać wyrażenia liczbowe, których wartości nie można określić. Wynika to z faktu, że w niektórych wyrażeniach niemożliwe jest wykonanie zarejestrowanych czynności. Na przykład nie możemy określić wartości wyrażenia 3:(2−2) . Takie wyrażenia liczbowe nazywają się wyrażenia, które nie mają sensu.

Często w praktyce interesuje nie tyle wyrażenie liczbowe, ile jego wartość. Czyli pojawia się zadanie, które polega na określeniu wartości tego wyrażenia. W takim przypadku zwykle mówią, że musisz znaleźć wartość wyrażenia. W niniejszym artykule szczegółowo przeanalizowano proces znajdowania wartości wyrażeń liczbowych. różnego rodzaju i rozważyliśmy wiele przykładów z szczegółowe opisy rozwiązania.

Znaczenie wyrażeń dosłownych i zmiennych

Oprócz wyrażeń liczbowych badają wyrażenia dosłowne, czyli wyrażenia, w których wraz z liczbami występuje jedna lub więcej liter. Litery w wyrażeniu dosłownym mogą oznaczać różne liczby, a jeśli litery zostaną zastąpione tymi liczbami, wówczas wyrażenie dosłowne stanie się liczbowym.

Definicja.

Liczby zastępujące litery w wyrażeniu dosłownym są nazywane znaczenie tych liter, a wartość wynikowego wyrażenia liczbowego nazywa się wartość dosłownego wyrażenia podana wartościami liter.

Tak więc w przypadku wyrażeń dosłownych mówi się nie tylko o znaczeniu wyrażenia dosłownego, ale o znaczeniu wyrażenia dosłownego dla danych (podanych, wskazanych itp.) wartości liter.

Weźmy przykład. Weźmy dosłowne wyrażenie 2·a+b . Niech zostaną podane wartości liter a i b, na przykład a=1 i b=6 . Zastępując litery w oryginalnym wyrażeniu ich wartościami, otrzymujemy wyrażenie liczbowe postaci 2 1+6 , jego wartość wynosi 8 . Zatem liczba 8 jest wartością wyrażenia dosłownego 2·a+b przy wartościach liter a=1 i b=6 . Gdyby podano inne wartości literowe, otrzymalibyśmy wartość wyrażenia dosłownego dla tych wartości literowych. Na przykład przy a=5 i b=1 mamy wartość 2 5+1=11 .

W liceum, podczas nauki algebry, litery w wyrażeniach dosłownych mogą przybierać różne znaczenia, takie litery są nazywane zmiennymi, a wyrażenia dosłowne nazywane są wyrażeniami ze zmiennymi. Dla tych wyrażeń wprowadza się pojęcie wartości wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych. Dowiedzmy się, co to jest.

Definicja.

Wartość wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych wywoływana jest wartość wyrażenia liczbowego, którą uzyskuje się po podstawieniu wybranych wartości zmiennych do oryginalnego wyrażenia.

Wyjaśnijmy brzmiącą definicję na przykładzie. Rozważ wyrażenie ze zmiennymi x i y postaci 3·x·y+y . Weźmy x=2 i y=4 , podstawmy te wartości zmiennych do pierwotnego wyrażenia, otrzymamy wyrażenie liczbowe 3 2 4+4 . Obliczmy wartość tego wyrażenia: 3 2 4+4=24+4=28 . Znaleziona wartość 28 jest wartością oryginalnego wyrażenia ze zmiennymi 3·x·y+y z wybranymi wartościami zmiennych x=2 i y=4 .

Jeśli wybierzesz inne wartości zmiennych, na przykład x=5 i y=0 , to te wybrane wartości zmiennych będą odpowiadały wartości wyrażenia ze zmiennymi równymi 3 5 0+0=0 .

Można zauważyć, że czasami dla różnych wybranych wartości zmiennych można uzyskać równe wartości wyrażenia. Na przykład, dla x=9 i y=1, wartość wyrażenia 3 x y+y wynosi 28 (ponieważ 3 9 1+1=27+1=28 ), a powyżej pokazaliśmy, że ta sama wartość jest wyrażeniem z zmienne mają x=2 i y=4 .

Zmienne wartości można wybrać z ich odpowiednich zakresy dopuszczalnych wartości. W przeciwnym razie zastąpienie wartości tych zmiennych w oryginalnym wyrażeniu da w wyniku wyrażenie liczbowe, które nie ma sensu. Na przykład, jeśli wybierzesz x=0 i podstawisz tę wartość do wyrażenia 1/x , otrzymasz wyrażenie liczbowe 1/0 , co nie ma sensu, ponieważ dzielenie przez zero jest niezdefiniowane.

Pozostaje tylko dodać, że istnieją wyrażenia ze zmiennymi, których wartości nie zależą od wartości ich zmiennych składowych. Na przykład wartość wyrażenia ze zmienną x postaci 2+x−x nie zależy od wartości tej zmiennej, jest równa 2 dla dowolnej wybranej wartości zmiennej x z jej zakresu poprawnych wartości, który w tym przypadku jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Bibliografia.

• Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

W s. 8.2.1 pokazano, że pojęcia algebraiczne są środkami uogólniania, językiem opisu operacji arytmetycznych. Pojęcie wyrażenia matematycznego ma inny charakter niż pojęcia dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Związek między tymi pojęciami można uznać za relację formy i treści: wyrażenia matematyczne są jedną z form znaku, pisemnym oznaczeniem działań arytmetycznych. Wyrażenie numeryczne można również uznać za jedną z form liczby, ponieważ każde wyrażenie numeryczne ma jedną wartość liczbową - liczbę.

Wyrażenia pojawiają się w nauczaniu matematyki, gdy tylko zapisy postaci 2 + 3, 4 - 3 pojawiają się w pierwszej klasie podczas nauki czynności.

Dodawanie i odejmowanie. Na początku nazywa się je tak: rekord dodawania, rekord odejmowania. Jak wiadomo rekordy te mają również nazwy własne: „suma”, „różnica”, które można wpisać na jednej lekcji wraz z odpowiadającymi im akcjami lub po pewnym czasie. A pojęcie wypowiedzi jako przedmiotu studiów powinno powstać dopiero po tym, jak studenci mają już pewne praktyczne doświadczenie z takimi zapisami. Jednocześnie nauczyciel może używać w swojej mowie terminu „wyrażenie”, nie wymagając od dzieci używania go, ale wprowadzając go do biernego słownictwa uczniów. Dokładnie tak się dzieje, gdy Życie codzienne kiedy dzieci słyszą nowe słowo związane z wizualnie wyróżnionym obiektem. Np. wskazując na wpisy dodawania i odejmowania kilka lekcji po wprowadzeniu tych czynności, nauczyciel mówi: „Przeczytaj te wpisy, te wyrażenia:…”, „Znajdź w podręczniku pod nr… wyrażenie w które trzy należy odjąć od siedmiu. ...”, „Rozważ te wyrażenia (pokazy na tablicy). Przeczytaj ten, który pozwala znaleźć liczbę 3 większą od 5, w której jest liczba 3 większa od 5; 3 mniej niż 5.

Podczas studiowania wyrażeń liczbowych w Szkoła Podstawowa rozważ następujące koncepcje i metody działania.

Koncepcje: wyrażenie matematyczne, wyrażenie liczbowe (wyrażenie), rodzaje wyrażeń liczbowych(w jednej akcji i w kilku akcjach; z nawiasami i bez; zawierający akcje jednego kroku i działania dwóch kroków); wartość liczbowa wyrażenia; zasady procedury; porównanie relacji.

Sposoby działania: czytanie wyrażeń w jednym lub dwóch krokach; nagrywanie wyrażeń z dyktando w jednym lub dwóch krokach; określenie kierunku działania; obliczanie wartości wyrażeń zgodnie z zasadami kolejności czynności; porównywanie dwóch wyrażeń liczbowych; konwersja wyrażenia - zastąpienie jednego wyrażenia innym równym mu na podstawie właściwości akcji.

Wprowadzenie pojęć.Lekcja wprowadzająca w pojęcie ekspresji warto zacząć od omówienia notatek. Jakie są zapisy? Dlaczego ludzie piszą? Dlaczego uczysz się pisać? Jakie notatki robimy, studiując matematykę? (Dzieci sięgają do swoich zeszytów, do podręcznika, do przygotowanych kartek z przykładami zapisów z tych, które uczniowie sporządzili w okresie studiów). Na jakie grupy można podzielić zapisy podczas nauki matematyki?

W wyniku tej dyskusji skupiamy się na dwóch głównych grupach zapisów: zapisie liczb i zapisie działań arytmetycznych. Z kolei zapisy działań arytmetycznych dzielimy na dwie grupy: bez obliczeń oraz z obliczeniami tj. postaci 2+3 i 2+3=5. Na podstawie tej klasyfikacji informujemy, że zapis dodawania i odejmowania formy 2+3 i 7 -5, jak również dowolny zapis złożony z takich zapisów np. 2+3-4, 7-5-1 i tym podobne, zwyczajowo dzwonić (uzgodniliśmy to) matematyczny

wyrażenie, lub tylko wyrażenie. Ponadto, podobnie jak przy wprowadzaniu innych pojęć, konieczne jest wykonywanie zadań rozpoznawczych, uczących uniwersalnej akcji edukacyjnej - rozpoznawania obiektów związanych z badanym pojęciem. Liczba rozpoznawalnych obiektów powinna obejmować te, które nie mają wszystkich wspólnych (podstawowych) właściwości pojęcia, a zatem nie reprezentują ta koncepcja i mieszczące się w koncepcji, ale mające różne zmienne (nieistotne) właściwości. Na przykład: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.

Ponieważ hasła, zwane wyrażeniami, były już używane, czytane i pisane przez uczniów, konieczne jest uogólnienie sposobów odczytywania tych wyrażeń. Na przykład wyrażenie 17 - 10 można odczytać jako „różnicę między liczbami 17 i 10”, jako zadanie – „odejmij 10 od 17”, „zmniejsz liczbę 17 o 10” lub „znajdź liczbę mniejszą niż siedemnaście”. przez dziesięć” i pod podobnymi nazwami uczymy uczniów pisać wyrażenia. W przyszłości, wraz z pojawieniem się nowych typów wyrażeń, zostaną omówione pytania: jak czytać wypowiedzi pisane i jak pisać wypowiedziane.

W tej samej lekcji, w której wprowadzamy pojęcie wyrażenia, przedstawiamy również pojęcie wartość wyrażenia - liczba wynikająca ze wszystkich jej działań arytmetycznych.

Aby podsumować wprowadzenie pojęć i zaplanować dalszą pracę, warto omówić pytania w tej lekcji lub w następujących lekcjach: Ile jest wyrażeń? Jak jedno wyrażenie może być podobne do drugiego? Czym może się różnić od innych? W jaki sposób wszystkie wyrażenia są do siebie podobne? Co mogą nam powiedzieć wyrażenia? Co możesz zrobić z wyrażeniami? Czego potrzebujesz (możesz się nauczyć), studiując wyrażenia?

Odpowiadając na ostatnie pytanie formułować ze studentami cele nauki przyszłe działania: możemy się uczyć i będziemy się uczyć odczytywanie i zapisywanie wyrażeń, znajdowanie wartości wyrażeń, porównywanie wyrażeń.

Czytanie i pisanie wyrażeń. Ponieważ wyrażenia są rekordami, trzeba umieć je czytać. Podczas wprowadzania akcji ustalane są główne sposoby czytania. Wyrażenie można odczytać jako nazwę, listę znaków, zadanie lub pytanie. Po zbadaniu relacji „mniej (większe) o”, „mniej (większe) w” między liczbami, wyrażenia są również odczytywane jako stwierdzenia lub pytania dotyczące relacji równości i nierówności. Każdy sposób czytania ujawnia pewien aspekt znaczenia odpowiadającej mu czynności lub czynności. Dlatego bardzo przydatne jest zachęcanie różne sposoby czytanie. Wzorzec czytania jest ustalany przez nauczyciela podczas wprowadzania działania lub rozważania odpowiedniego pojęcia, właściwości lub relacji.

Podstawą czytania dowolnego wyrażenia jest odczytanie wyrażenia w jednej akcji. Nauka czytania przebiega jak nauka czegokolwiek

mu czytanie podczas wykonywania zadań wymagających takiego czytania. Mogą to być zadania specjalne: „Przeczytaj wyrażenia”. Odczyt jest niezbędny przy sprawdzaniu wartości wyrażenia (odczytują wyrażenie w ramach równości), przy raportowaniu wyników porównania. Ważna jest również akcja odwrotna: zapisanie wyrażenia pod jego nazwą lub zadaniem, które stawia, relacji. Uczniowie wykonują takie czynności podczas prowadzenia dyktand matematycznych, specjalnie zaprojektowanych do kształtowania umiejętności zapisywania wyrażeń lub w ramach zadań do obliczania, porównywania itp. Czytanie wyrażeń matematycznych, nauka czytania wyrażeń nie jest raczej celem, ale narzędziem do nauki - środek rozwijania mowy, środek pogłębiania rozumienia sensu działania.

Użyjmy przykładów, aby pokazać, jak czytać główne typy prostych wyrażeń:

1) 2 + 3 dodaj trzy do dwóch; dodaj liczby dwa i trzy; suma
ma liczby dwa i trzy; dwa plus trzy; znajdź sumę liczb dwa i trzy;

Znajdź sumę terminów dwa i trzy; znajdź liczbę większą niż trzy
niż numer dwa; dwa wzrosty o trzy; pierwszy semestr 2, drugi
semestr 3, znajdź sumę;

2) 5 - 3 z pięciu odejmij (w żadnym wypadku „odejmij 1”!) Trzy;

Różnica między liczbami pięć i trzy; pięć minus trzy; Znajdź różnicę
liczby pięć i trzy; odjąć pięć, odjąć trzy, znaleźć czasy
ness; znajdź numer trzy mniej niż pięć; pięć zmniejszyć
na trzech;

3) 2 3 dwoje trzy razy bierze sumę; weź dwa trzy razy;

Dwa razy trzy; iloczyn liczb dwa i trzy; pierwszy
mnożnik dwa, drugi - trzy, znajdź produkt; znajdź produkt
utrzymywanie numerów dwa i trzy; dwa razy trzy, trzy razy dwa; dwa wzrosty
trzy razy; znajdź liczbę trzy razy większą niż dwa; pierwszy mono
mieszkaniec drugi, drugi trzeci, znajdź produkt;

4) 12:4 dwanaście podzielone przez cztery; iloraz dwunastej
tsat i cztery prywatne dwanaście i cztery); iloraz dzielenia
dwanaście na cztery; podzielna dwanaście, dzielnik cztery, znajdź
iloraz (dla 13:4 - znajdź iloraz i resztę); zmniejszyć 12 w tym
trzy razy; znajdź liczbę cztery razy mniejszą niż dwanaście.

Młodszym uczniom pewne trudności sprawia czytanie wyrażeń zawierających więcej niż dwie czynności. W planowanych wynikach przedmiotowych zatem umiejętność czytania takich wyrażeń może:

1 "ZDEJMIJ, ... 1. kogo (co). Zabierz od kogoś. siłą, aby kogoś czegoś pozbawić. O. pieniądze. O. synu. Och, nadziejo. O. ktoś ma swój czas.(tłum. zmusić kogoś do spędzania czasu na czymś). O. czyjeś życie.(zabić). 2. Co. Wchłoń, zjedz coś. Praca zabrała komuś dużo siły. 3. Co. Odłóż na bok, oddziel od. O. drabina ze ściany.... ”. [Ożegow S.I. Słownik/ S. I. Ozhegov, N. Yu Shvedova. - M., 1949 -1994.]

można umieścić na podwyższeniu lub wysoki poziom opanowanie mowy matematycznej. Wyrażenia są wywoływane z co najmniej dwoma akcjami w ostatniej akcji, której składniki są uważane za wyrażenia. Jednak niektóre rodzaje wyrażeń zawarte są w tekstach przepisów. Znajomość słownych sformułowań reguł oznacza również znajomość sposobów (metod) czytania. Na przykład rozdzielcza własność mnożenia względem dodawania lub zasada mnożenia sumy przez liczbę w samej nazwie reguły daje nazwę wyrażenia postaci ( ALE+ □ ) · ten. A w sformułowaniu tej właściwości nazywa się dwa rodzaje wyrażeń: „Iloczyn sumy przez liczbę jest równy sumie iloczynów każdego wyrazu przez tę liczbę”. Metody odczytywania wyrażeń w dwóch lub więcej akcjach mogą być określone przez zalecenia algorytmiczne. Podrozdział 4.2 podaje przykład takiego algorytmu. Opanowanie sposobów czytania takich wyrażeń następuje przy wykonywaniu tego samego rodzaju zadań, co przy nauce czytania wyrażeń w jednej akcji.

Znajdowanie wartości wyrażeń. Zasady postępowania. Od początku badań nad operacjami arytmetycznymi i pojawianiem się wyrażeń w sposób dorozumiany przyjęto zasadę: czynności należy wykonywać od lewej do prawej w kolejności ich zapisywania. Problem kolejności działań ujawnia się, gdy występują trudności w oznaczeniu pewnych obiektywnych sytuacji poprzez wyrażenie. Na przykład, musisz wziąć 7 niebieskich kostek, 2 mniej białych kostek i dowiedzieć się, ile kostek zostało w sumie wziętych. Wykonujemy prawie wszystkie czynności, oznaczając liczbę sześcianów liczbami i czynności ze znakami operacji arytmetycznych. Policzmy 7 niebieskich kostek. Aby wziąć 2 mniej białych, odsuńmy na chwilę dwie niebieskie kości i łącząc w pary, weźmy tyle białych kostek, ile jest niebieskich bez dwóch. Połącz białe i niebieskie kostki. Nasze działania z sześcianami w notacji arytmetycznej: 7 + 7-2. Ale w takim zapisie czynności muszą być wykonywane w kolejności zapisu i nie są to czynności, dla których zrobiliśmy zapis! Istnieje sprzeczność. Musimy najpierw odjąć 2 od 7 (określamy wymaganą liczbę białych kostek), a następnie wynik odjęcia 7 i 2 dodać do 7 - liczby niebieskich kostek. Jak być?

Wyjście z tej i podobnych sytuacji może być następujące: musisz jakoś wybrać akcję lub akcje, które mają być wykonane, nie w kolejności pisania od lewej do prawej w rekordzie wyrażenia. I jest taki sposób. to zdanie wtrącone, które są właśnie wymyślone dla sytuacji, w których czynności w wyrażeniu muszą być wykonywane w kolejności od lewej do prawej. W nawiasach zapis matematyczny naszego praktyczne działanie z kostką będzie wyglądać tak: 7 + (7 - 2). Akcje zapisane w nawiasach są zwykle wykonywane jako pierwsze. Aby opanować i przypisać tę właściwość nawiasów, komponujemy z uczniami różne wyrażenia, umieszczamy w nich nawiasy na różne sposoby, obliczamy, porównujemy wyniki. Zastąpienie

herbata: czasami zmiana kolejności działań nie zmienia wartości wyrażenia, a czasami tak. Na przykład 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

Wprowadzając nawiasy, ogólnie przyjęte zasady kolejności czynności nie są jeszcze wyraźnie zbadane, chociaż dwie zasady są już praktycznie stosowane: a) jeśli w wyrażeniu bez nawiasów występuje tylko dodawanie i odejmowanie, to czynności są wykonywane w kolejności są pisane od lewej do prawej; b) czynności w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.

Ponownie problem kolejności działań staje się dotkliwy po pojawieniu się wyrażeń zawierających operacje mnożenia i (lub) dzielenia oraz operacje dodawania i (lub) odejmowania. W tym okresie studenci mogą dostrzegać potrzebę reguł porządkowych i właśnie w tym okresie studenci mogą już omawiać ten problem, formułować i rozumieć ogólnie przyjęte sformułowania reguł porządkowych.

Możesz zrozumieć potrzebę takich reguł, eksperymentując z wieloetapowym wyrażeniem. Na przykład obliczmy wartość wyrażenia 7 - 3 2 + 15: 5, wykonując czynności w trzech różnych sekwencjach: 1) - + (w kolejności pisania); 2) - + ·: (najpierw dodawanie i odejmowanie, potem mnożenie i dzielenie); 3) ·: - + (najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie). W rezultacie otrzymujemy trzy różne wartości: 1) 4 (pozostałe 3); 2) 13 (poz. 3); 3) 6. Omawiając sytuację z uczniami dochodzimy do wniosku: konieczne jest uzgodnienie i zaakceptowanie tylko jednej sekwencji jako ogólnie przyjętej zasady działania. A ponieważ wartości wyrażeń zostały obliczone jeszcze przed nami, a nawet ponad sto lat, to prawdopodobnie takie umowy już istnieją. Znajdujemy je w podręczniku.

Następnie omawiamy z uczniami potrzebę znajomości tych zasad i umiejętności ich stosowania. Uzasadniając taką potrzebę dla siebie, uczniowie mogą równie dobrze próbować określić dla siebie typy Praca akademicka, wykonując które, będą mogli zapamiętać zasady i nauczyć się ich dokładnie przestrzegać. Taką definicję rodzajów pracy wychowawczej można nakreślić w pracy grupowej, a na tej samej lekcji można wykonać niektóre rodzaje takiej pracy. W trakcie pracy grupowej uczniowie zapoznają się z treścią odpowiednich stron podręcznika i zeszytu dla niezależna praca do podręcznika mogą samodzielnie uzupełnić zadania edukacyjne, wykonać niektóre z nich, sprawdzić się, a następnie sporządzić raport z pracy grupowej z tego, co już opanowali w wyniku pracy grupowej. Na przykład: „W naszej grupie wszyscy nauczyli się określać kolejność czynności w wyrażeniach bez nawiasów w trzech lub czterech czynnościach, odwołując się do tekstu reguły w podręczniku, i oznaczać tę kolejność numerami czynności nad znakami czynności w ekspresja." Następnie celem jest nauczenie się odnajdywania znaczeń takich „dużych” wyrażeń - w trzech, czterech lub więcej działaniach na wielu lekcjach dla uczniów.

studenci występują działania edukacyjne aby to osiągnąć. Sposób znajdowania wartości wyrażenia złożonego można przedstawić w postaci algorytmicznej.

Algorytm znajdowania wartości wyrażenia liczbowego(ustalane ustnie w formie listy kroków).

1. Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy, następnie wykonuj czynności w nawiasach jak w wyrażeniu bez nawiasów. 2. Jeśli w wyrażeniu nie ma nawiasów, następnie: a) jeśli w wyrażeniu tylko dodawanie i (lub) odejmowanie lub tylko mnożenie i (lub) dzielenie, następnie wykonaj te czynności w kolejności od lewej do prawej; b) jeśli wyrażenie zawiera akcje z grupy dodawania - odejmowania oraz z mnożenia - grupy dzielenia, następnie najpierw wykonaj mnożenie i dzielenie w kolejności od lewej do prawej, następnie Wykonuj dodawanie i odejmowanie w kolejności od lewej do prawej. 3. Wynik ostatniej akcji nazywamy wartością wyrażenia.

Szczególną rolę w uczeniu się odgrywają metody znajdowania wartości wyrażeń na podstawie właściwości działań. Metody takie polegają na tym, że najpierw wyrażenia są przekształcane na podstawie właściwości czynności, a dopiero potem stosowane są reguły kolejności czynności. Na przykład musisz znaleźć wartość wyrażenia: 23 + 78 + 77. Zgodnie z regułami kolejności działań, musisz najpierw dodać 78 do 23, a do wyniku dodać 17. Jednak przemienne i skojarzone właściwości lub reguła „Możesz dodawać liczby w dowolnej kolejności” pozwala nam zastąpić to wyrażenie równe mu inną kolejnością operacji 23 + 77 + 78. Po wykonaniu czynności zgodnie z regułami kolejności operacji łatwo uzyskaj wynik 100 + 78 = 178.

Właściwie aktywność matematyczna, rozwój matematyczny uczniów następuje właśnie wtedy, gdy szukają racjonalnych lub oryginalne sposoby przekształcenia wyrażeń z późniejszymi wygodnymi obliczeniami. Dlatego konieczne jest wyrobienie wśród uczniów nawyku we wszelkich obliczeniach nieobliczeniowych, szukanie sposobów na uproszczenie obliczeń, przekształcanie wyrażeń tak, aby zamiast niewygodnych, brzydkich obliczeń, pożądana wartość wyrażenia znalazła się za pomocą prostych i pięknych przypadków obliczeń. Zadania są w tym celu sformułowane w następujący sposób: „Oblicz w wygodny (lub racjonalny) sposób…”.

Znajdowanie wartości wyrażeń dosłownych - ważna umiejętność, która kształtuje wyobrażenia o zmiennej i jest podstawą do zrozumienia zależności funkcjonalnej w przyszłości. Bardzo wygodna forma zadań do znajdowania wartości wyrażeń dosłownych i obserwacji zależności wartości wyrażenia od wartości zawartych w nim liter jest tabelaryczna. Na przykład według tabeli. 8.1 uczniowie mogą ustalić szereg zależności: jeśli wartości a są kolejnymi liczbami, to wartości 2a są spójne liczby parzyste i wartości 3a - co trzecia liczba zaczynając od wartości 3a w najmniejsza wartość a itd.

Tabela 8.1

Porównanie wyrażeń. Relacje łączące wartości wyrażeń są przenoszone na wyrażenia. Główne porównanie to znajdowanie wartości porównywanych wyrażeń i porównanie wartości wyrażenia. Algorytm porównawczy:

1. Znajdź wartości porównywanych wyrażeń. 2. Porównaj otrzymane liczby. 3. Przenieś wynik porównania liczb do wyrażeń. Jeśli to konieczne, umieść odpowiedni znak między wyrażeniami. Koniec.

Podobnie jak przy znajdowaniu wartości wyrażeń, metody porównawcze oparte na właściwościach operacji arytmetycznych, właściwości równości liczbowych i nierówności są cenione, ponieważ takie porównanie wymaga rozumowania dedukcyjnego, a zatem zapewnia rozwój logicznego myślenia.

Na przykład musisz porównać 73 + 48 i 73 + 50. Właściwość jest znana: „Jeśli jeden termin zostanie zwiększony lub zmniejszony o kilka jednostek, suma wzrośnie lub zmniejszy się o tę samą liczbę jednostek”. Dlatego wartość pierwszego wyrażenia jest mniejsza niż wartość drugiego, co oznacza, że ​​pierwsze wyrażenie jest mniejsze od drugiego, a drugie jest większe od pierwszego. Porównaliśmy wyrażenia bez znajdowania wartości wyrażeń, bez wykonywania żadnych operacji arytmetycznych, stosując dobrze znaną właściwość dodawania. W takich przypadkach przydatne jest porównanie wyrażeń napisanych przy użyciu ogólnej symboliki. Porównaj wyrażenia. © + F oraz © + (F+ 4), © + F oraz © + (F- 4).

Ciekawe metody porównań opierają się na przekształceniu porównywanych wyrażeń - zastąpieniu ich równymi. Na przykład: 18 4 i 18 + 18 + 18 + 18; 25 (117-19) i 25 117-19; 25 (117 -119) i 25 117 - - 19 117 itd. Przekształcając wyrażenie w jedną część na podstawie właściwości czynności, otrzymujemy wyrażenia, które można już porównać porównując liczby - składowe tego samego działania.

Przykład. 126 + 487 i 428 + 150. Dla porównania używamy własności przemienności. Otrzymujemy: 487 + 126 oraz 428 i 150. Przekształćmy pierwsze wyrażenie: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Teraz musisz porównać wyrażenia 463 + 150 i 428 + 150.

Formuła

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie - działania arytmetyczne (lub działania arytmetyczne). Te operacje arytmetyczne odpowiadają znakom operacji arytmetycznych:

+ (czytać " plus") - znak operacji dodawania,

- (czytać " minus") - znak operacji odejmowania,

∙ (czytać " zwielokrotniać") - znak operacji mnożenia,

: (czytać " dzielić") jest znakiem operacji podziału.

Nazywa się rekord składający się z liczb połączonych znakami operacji arytmetycznych wyrażenie liczbowe. Nawiasy mogą również występować w wyrażeniu liczbowym, na przykład wpis 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) to wyrażenie liczbowe.

Wynik wykonywania operacji na liczbach w wyrażeniu liczbowym nazywa się wartość wyrażenia liczbowego. Wykonywanie tych czynności nazywa się obliczaniem wartości wyrażenia liczbowego. Przed zapisaniem wartości wyrażenia liczbowego wpisz znak równości„=”. W tabeli 1 przedstawiono przykłady wyrażeń numerycznych i ich znaczenie.

Nazywa się rekord składający się z cyfr i małych liter alfabetu łacińskiego, połączonych znakami operacji arytmetycznych dosłowne wyrażenie. Ten wpis może zawierać nawiasy. Na przykład wpis +b - 3c jest wyrażeniem dosłownym. Zamiast liter w dosłownym wyrażeniu możesz podstawić różne liczby. W takim przypadku znaczenie liter może się zmienić, więc litery w wyrażeniu dosłownym są również nazywane zmienne.

Zastępując liczby zamiast liter w wyrażeniu dosłownym i obliczając wartość wynikowego wyrażenia liczbowego, znajdują wartość wyrażenia dosłownego przy podanych wartościach liter(dla podanych wartości zmiennych). Tabela 2 pokazuje przykłady wyrażeń dosłownych.

Wyrażenie dosłowne może nie mieć wartości, jeśli zastępując wartości liter otrzymuje się wyrażenie numeryczne, którego wartości dla liczb naturalnych nie można znaleźć. Takie wyrażenie liczbowe nazywa się błędny dla liczb naturalnych. Mówią też, że znaczenie takiego wyrażenia „ nieokreślony" dla liczb naturalnych i samego wyrażenia „nie ma sensu”. Na przykład wyrażenie dosłowne a-b nie ma znaczenia dla a = 10 i b = 17. Rzeczywiście, dla liczb naturalnych odjemna nie może być mniejsza niż odjemna. Na przykład mając tylko 10 jabłek (a = 10), nie możesz oddać 17 z nich (b = 17)!

Tabela 2 (kolumna 2) przedstawia przykład wyrażenia dosłownego. Analogicznie wypełnij tabelę w całości.

Dla liczb naturalnych wyrażenie 10 -17 źle (nie ma sensu), tj. różnica 10-17 nie może być wyrażona jako liczba naturalna. Inny przykład: nie można dzielić przez zero, więc dla dowolnej liczby naturalnej b iloraz b:0 nieokreślony.

Prawa matematyczne, właściwości, niektóre zasady i relacje są często pisane w formie dosłownej (tj. w formie wyrażenia dosłownego). W takich przypadkach wyrażenie dosłowne nazywa się formuła. Na przykład, jeśli boki siedmiokąta są równe a,b,c,d,mi,f,g, to wzór (wyrażenie dosłowne) na obliczenie jego obwodu p wygląda jak:

p=+b +c +d+e +f +g

Dla a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, obwód heptagonu wynosi p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Dla a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, obwód innego heptagonu wynosi p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Blok 1. Słownik

Zrób słownik nowych terminów i definicji z akapitu. W tym celu w pustych komórkach wpisz słowa z poniższej listy terminów. W tabeli (na końcu bloku) wskaż numery terminów zgodnie z numerami ramek. Zaleca się uważne przejrzenie akapitu przed wypełnieniem komórek słownika.

1. Działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.

2. Znaki „+” (plus), „-” (minus), „∙” (mnożenie, „ : " (dzielić).

3. Rekord składający się z liczb połączonych znakami operacji arytmetycznych, w których mogą występować również nawiasy.

4. Wynik wykonywania operacji na liczbach w ujęciu liczbowym.

5. Znak przed wartością wyrażenia liczbowego.

6. Wpis składający się z cyfr i małych liter alfabetu łacińskiego, połączonych znakami operacji arytmetycznych (mogą występować również nawiasy).

7. Nazwa zwyczajowa litery w dosłownym wyrażeniu.

8. Wartość wyrażenia liczbowego, którą uzyskuje się przez podstawienie zmiennych do wyrażenia dosłownego.

9. Wyrażenie numeryczne, którego wartości dla liczb naturalnych nie można znaleźć.

10. Wyrażenie numeryczne, którego wartość dla liczb naturalnych można znaleźć.

11. Prawa matematyczne, własności, niektóre reguły i stosunki zapisane w formie dosłownej.

12. Alfabet, którego małe litery są używane do pisania wyrażeń dosłownych.

Blok 2. Mecz

Dopasuj zadanie w lewej kolumnie do rozwiązania w prawej. Zapisz odpowiedź w formie: 1a, 2d, 3b ...

Blok 3. Test fasetowy. Wyrażenia numeryczne i alfabetyczne

Testy fasetowe zastępują kolekcje problemów matematycznych, ale wypadają z nimi korzystnie w porównaniu z tym, że można je rozwiązać na komputerze, sprawdzić rozwiązania i natychmiast dowiedzieć się o wyniku pracy. Ten test zawiera 70 zadań. Ale możesz rozwiązywać problemy z wyboru, ponieważ istnieje tabela oceny, która wskazuje: proste zadania i trudniejsze. Poniżej znajduje się test.

1. Biorąc pod uwagę trójkąt z bokami c,d,m, wyrażona w cm
2. Biorąc pod uwagę czworobok z bokami b,c,d,m wyrażona w m
3. Prędkość samochodu w km/h wynosi b, czas podróży w godzinach to d
4. Odległość przebyta przez turystę m godzin, jest Z km
5. Dystans przebyty przez turystę poruszającego się z prędkością m km/h to b km
6. Suma dwóch liczb jest większa od drugiej o 15
7. Różnica jest mniejsza niż zmniejszona o 7
8. Liniowiec pasażerski ma dwa pokłady z taką samą liczbą miejsc pasażerskich. W każdym z rzędów pokładów m siedzenia, rzędy na pokładzie włączone n więcej niż miejsca w rzędzie
9. Petya ma m lat Masza ma n lat, a Katia jest k lat młodsza niż Petya i Masza razem
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Wartość tego wyrażenia
2. Dosłowne wyrażenie określające obwód to
3. Obwód wyrażony w centymetrach
4. Wzór na odległość s przebytą przez samochód
5. Formuła prędkości v, ruchy turystyczne
6. Formuła czasowa t, ruchy turystyczne
7. Odległość przebyta samochodem w kilometrach
8. Prędkość turystyczna w kilometrach na godzinę
9. Czas podróży w godzinach
10. Pierwsza liczba to...
11. Odjęcie równa się….
12. Wyrażenie dla bardzo pasażerów, których może przewozić liniowiec k loty
13. Największa liczba pasażerów, jaką może przewieźć samolot k loty
14. Wyrażenie literowe dla wieku Katyi
15. Wiek Katii
16. Współrzędna punktu B, jeśli współrzędna punktu C to t
17. Współrzędna punktu D, jeśli współrzędna punktu C to t
18. Współrzędna punktu A, jeśli współrzędna punktu C to t
19. Długość odcinka BD na osi liczbowej
20. Długość odcinka CA na osi liczbowej
21. Długość odcinka DA na osi liczbowej

Wyrażenie numeryczne to dowolny zapis liczb, znaków arytmetycznych i nawiasów. Wyrażenie numeryczne może również składać się tylko z jednej liczby. Przypomnijmy, że podstawowe operacje arytmetyczne to „dodawanie”, „odejmowanie”, „mnożenie” i „dzielenie”. Działania te odpowiadają znakom „+”, „-”, „∙”, „:”.

Oczywiście, żebyśmy otrzymali wyrażenie liczbowe, zapis liczb i znaków arytmetycznych musi być sensowny. Czyli np. takiego wpisu 5: + ∙ nie można nazwać wyrażeniem liczbowym, ponieważ jest to losowy zestaw znaków, który nie ma sensu. Wręcz przeciwnie, 5 + 8 ∙ 9 jest już prawdziwym wyrażeniem liczbowym.

Wartość wyrażenia liczbowego.

Powiedzmy od razu, że jeśli wykonamy czynności wskazane w wyrażeniu liczbowym, w rezultacie otrzymamy liczbę. Ten numer nazywa się wartość wyrażenia liczbowego.

Spróbujmy obliczyć, co otrzymamy w wyniku wykonania działań z naszego przykładu. Zgodnie z kolejnością wykonywania operacji arytmetycznych najpierw wykonujemy operację mnożenia. Pomnóż 8 przez 9. Otrzymamy 72. Teraz dodajemy 72 i 5. Otrzymujemy 77.
Tak więc 77 - oznaczający wyrażenie liczbowe 5 + 8 ∙ 9.

Równość liczbowa.

Możesz napisać to w ten sposób: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tutaj po raz pierwszy użyliśmy znaku "=" ("Równe"). Taki zapis, w którym dwa wyrażenia liczbowe oddzielone są znakiem „=”, nazywa się równość liczbowa. Co więcej, jeśli wartości lewej i prawej części równości są takie same, nazywa się równość wierny. 5 + 8 ∙ 9 = 77 to prawidłowa równość.
Jeśli napiszemy 5 + 8 ∙ 9 = 100, to już będzie fałszywa równość, ponieważ wartości lewej i prawej strony tej równości już się nie pokrywają.

Należy zauważyć, że w wyrażeniu liczbowym możemy również użyć nawiasów. Nawiasy wpływają na kolejność wykonywania czynności. Na przykład modyfikujemy nasz przykład, dodając nawiasy: (5 + 8) ∙ 9. Teraz najpierw musimy dodać 5 i 8. Otrzymamy 13. A potem pomnożymy 13 przez 9. Otrzymamy 117. Zatem (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – oznaczający wyrażenie liczbowe (5 + 8) ∙ 9.

Aby poprawnie odczytać wyrażenie, musisz określić, która akcja jest wykonywana jako ostatnia, aby obliczyć wartość danego wyrażenia liczbowego. Tak więc, jeśli ostatnią czynnością jest odejmowanie, to wyrażenie nazywa się „różnicą”. W związku z tym, jeśli ostatnią czynnością jest suma - „suma”, dzielenie - „prywatne”, mnożenie - „produkt”, potęgowanie - „stopień”.

Na przykład wyrażenie liczbowe (1 + 5) (10-3) brzmi następująco: „iloczyn sumy liczb 1 i 5 oraz różnicy między liczbami 10 i 3.”

Przykłady wyrażeń liczbowych.

Oto przykład bardziej złożonego wyrażenia liczbowego:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

W tym wyrażeniu liczbowym używane są liczby pierwsze, ułamki zwykłe i dziesiętne. Używane są również symbole dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Słupek ułamka zastępuje również znak podziału. Przy pozornej złożoności znalezienie wartości tego wyrażenia liczbowego jest dość proste. Najważniejsze jest, aby móc wykonywać operacje na ułamkach, a także dokładnie i dokładnie wykonywać obliczenia, zachowując kolejność działań.

W nawiasach mamy wyrażenie $\frac(1)(4)+3.75$ . Przekształćmy się dziesiętny 3,75 w zwykłym.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Więc, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Dalej w liczniku ułamka \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] mamy wyrażenie 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Aby uprościć to wyrażenie, stosujemy przemienne prawo dodawania, które mówi: „Suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrazów”. Czyli 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

W mianowniku ułamka wyrażenie $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

dostajemy $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kiedy wyrażenia numeryczne nie mają sensu?

Rozważmy jeszcze jeden przykład. W mianowniku ułamka $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ wartość wyrażenia $3\centerdot 3-9$ wynosi 0. A jak wiemy, dzielenie przez zero jest niemożliwe. Dlatego ułamek $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nie ma wartości. O wyrażeniach numerycznych, które nie mają znaczenia, mówi się, że „nie mają znaczenia”.

Jeśli w wyrażeniu liczbowym oprócz liczb użyjemy liter, otrzymamy wyrażenie algebraiczne.

Data publikacji: 30.08.2014 10:58 UTC

• Geometria, książka rozwiązań do książki Balayana E.N. "Geometria. Zadania na gotowych rysunkach do przygotowania do OGE i Unified State Examination: klasy 7-9, klasa 7, Balayan E.N., 2019
• Trener geometrii, Grade 7, do podręcznika Atanasyana L.S. itp. „Geometria. Klasy 7-9”, Federalny Państwowy Standard Edukacyjny, Glazkov Yu.A., Yegupova M.V., 2019